09-Difração, redes de difração, espectros e polarização.

Prévia do material em texto

www.profafguimaraes.net 
1 
 Prof. A.F.Guimarães 
Física 4 – Questões 09 
 Questão 1
Uma fenda de largura ܽ é iluminada por um 
feixe colimado de luz monocromática ൫ߣ ൌ ͸ͲͲͲՀ൯ que incide ortogonalmente ao plano 
da fenda. O anteparo está situado a uma distância 
de ͶͲ�ܿ݉ do plano da fenda. A distância entre o 
primeiro mínimo e o quarto mínimo da figura de 
interferência produzida pela difração na fenda é 
igual a ͲǡͶͲ�݉݉. Calcule ܽ. 
Resolução: 
Para a difração, as franjas de mínimos se localizam 
de acordo com a expressão: ܽ ή ݏ݁݊ߠ ൌ ݉ߣ 
 (1.1) 
No anteparo, a posição dos mínimos é dada por: ݕ ൌ ܦ ή ݐ݃ߠ 
(1.2) 
Em que ݕ é a distância, a partir do ponto central e ܦ é a distância do anteparo até a posição da fenda. 
Levando em consideração que o ângulo envolvido 
é pequeno, poderemos efetuar a seguinte 
aproximação: ݏ݁݊ߠ ؆ ݐ݃ߠ 
(1.3) 
De (1.1), (1.2) e (1.3) teremos: ݕ௠ ൌ ݉ ή ߣ ή ܦܽ 
(1.4) 
Utilizando os dados numéricos do enunciado, 
teremos: ݕସ െ ݕଵ ൌ ͵ ή ͸ ή ͳͲି଻ ή ͲǡͶܽ ൌ ͲǡͶ ή ͳͲିଷ ׵ ܽ ൌ ͳͺ ή ͳͲି଻݉ 
(1.5) 
 Questão 2
 
Suponha que um feixe de luz monocromática 
incida sobre uma fenda única de largura ܽ ൌ ͲǡͲʹ�݉݉, formando um ângulo de ͵Ͳι com a 
direção da normal ao plano da fenda. 
Imediatamente atrás da fenda coloca-se uma lente 
convergente ሺ݂ ൌ ͺͲ�ܿ݉ሻ que focaliza a luz sobre 
um anteparo. (a) Sabendo que ൫ߣ ൌ ͸ͲͲͲՀ൯, 
determine a distância, sobre o anteparo, entre o 
centro ሺߠ ൌ Ͳιሻ e o terceiro mínimo. (b) Calcule o 
ângulo entre o centro do anteparo e a posição do 
sétimo mínimo. 
Resolução: 
a) De forma semelhante ao que foi efetuado em 
Física 4-08, questão 01, equação (1.3), teremos: 
 ݏ݁݊�ߠ ൌ ݉ ή ߣܽ െ ݏ݁݊ߚ� 
(2.1) 
 
Também, poderemos utilizar a expressão (1.2) da 
questão anterior. Sendo assim, teremos: 
 ݕ௠ ൌ ݂ ή ݐ݃ߠ� 
(2.2) 
 
Com a mesma aproximação efetuada na questão 
anterior (1.3), teremos, de (2.1) e (2.2): 
 ݕ௠ ൌ ൬݉ܽߣ െ ݏ݁݊ߚ൰ߣ 
(2.3) 
 
Utilizando os dados numéricos em (2.3), teremos: 
 ݕଷ ൌ ቆ͵ ή ͸ ή ͳͲି଻ʹ ή ͳͲିହ െ ݏ݁݊͵Ͳιቇ ή Ͳǡͺ ׵ ݕଷ ൌ െͲǡ͵ʹͺ�݉ 
(2.4) 
 
b) Utilizando (2.1), teremos: 
 ݏ݁݊ߠ଻ ൌ ͹ ή ͸ ή ͳͲି଻ʹ ή ͳͲିହ െ ݏ݁݊͵Ͳι ׵ ߠ଻ ؆ െͳ͸ǡͺ͸ι 
(2.5) 
 
www.profafguimaraes.net 
2 
 Questão 3
Mostrar que os valores de ߙ, correspondentes 
às intensidades máximas no caso de difração de 
fenda única, podem ser obtidos exatamente 
fazendo ݐ݃ߙ ൌ ߙ. Determine também, os valores 
de ߙ que satisfazem a esta relação e também 
encontre as intensidades máximas para os três 
primeiros máximos adjacentes ao máximo central. 
Resolução: 
A expressão que fornece a intensidade de um 
dispositivo de fenda única é dada por: ܫఏ ൌ ܫ௠ ቀݏ݁݊ߙߙ ቁଶ 
(3.1) 
Em que ܫ௠ é a intensidade máxima referente ao 
máximo central. O argumento ߙ, por sua vez, é 
dado por: ߙ ൌ ߨܽߣ ݏ݁݊ߠ 
(3.2) 
Em (3.1), podemos determinar com facilidade os 
mínimos, no entanto, para determinarmos os 
máximos, vamos derivar (3.1) e igualar a zero. 
Assim, teremos: ݀ܫఏ݀ߙ ൌ ʹܫ௠ ቀߙܿ݋ݏߙ െ ݏ݁݊ߙߙଶ ቁ 
(3.3) 
Fazendo o termo (3.3) igual a zero, teremos: ߙ ൌ ݏ݁݊ߙܿ݋ݏߙ ൌ ݐ݃ߙ ׵ ߙ ൌ ݐ݃ߙ 
(3.4) 
A equação obtida em (3.4) não pode ser 
resolvida por meios analíticos, logo, teremos que 
resolver por tentativas ou então construir um 
gráfico e encontrar os pontos de intersecção. A 
figura 3.1 mostra o gráfico das duas funções. 
 
Figura 3.1 
 
Observando a figura 3.1, podemos encontra os 
argumentos para os máximos. Assim, o primeiro 
máximo, após o máximo central, ocorre com ߙଵ ؆ ͶǡͶͻ͵Ͷ�ݎܽ݀, que equivale a ʹͷ͹ǡͶͷ͵ι, o 
segundo máximo ocorre para ߙଶ ؆ ͹ǡ͹ʹͷ͵�ݎܽ݀, 
que equivale a ͶͶʹǡ͸ʹ͹ι, e o terceiro ocorre para ߙଷ ؆ ͳͲǡͻͲͶͳ�ݎܽ݀ ou ͸ʹͶǡ͹ͷͻι. Agora, utilizando 
(3.1), teremos: 
 ܫఏଵܫ௠ ൌ ൬ݏ݁݊ͶǡͶͻ͵ͶͶǡͶͻ͵Ͷ ൰ଶ ؆ ͲǡͲͶ͹ʹ ܫఏଶܫ௠ ൌ ൬ݏ݁݊͹ǡ͹ʹͷ͵͹ǡ͹ʹͷ͵ ൰ଶ ؆ ͲǡͲͳ͸ͷ ܫఏଷܫ௠ ൌ ൬ݏ݁݊ͳͲǡͻͲͶͳͳͲǡͻͲͶͳ ൰ଶ ؆ ͲǡͲͲͺ͵ 
(3.5) 
 
 Questão 4
 
Um satélite “espião” em órbita a, digamos ͳ͸Ͳ�݇݉ da superfície da Terra, possui uma lente 
com uma distância focal de ʹǡͶ�݉. O seu poder de 
resolução para objetos no solo é de ͵ǡ͸�݉, ou seja, 
poderia facilmente detectar um automóvel. Qual é 
o diâmetro efetivo da lente, determinado 
unicamente por considerações de difração? 
Considere ߣ ൌ ͷͷͲͲ�Հ. 
Resolução: 
Utilizando o critério de Rayleigh, teremos: 
 ߠோ ؆ ͳǡʹʹ ή ߣ݀ 
(4.1) 
 
-12,00
-7,00
-2,00
3,00
8,00
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00
Tg Ƚ e Ƚ (rad) 
Ƚ (rad) 
Tg Ƚ x Ƚ� e Ƚ x Ƚ 
 
www.profafguimaraes.net 
3 
Em que o ângulo ߠோ é a menor separação angular 
para a qual a resolução é possível. E ݀ é o 
diâmetro da lente. Para um objeto no solo, a 
relação entre a resolução e a distância fornece o 
referido ângulo: ߠோ ؆ ͵ǡ͸ͳ͸Ͳ ή ͳͲଷ ؆ ʹǡʹͷ ή ͳͲିହ�ݎܽ݀ 
(4.2) 
Agora, substituindo em (4.1), teremos: ݀ ൌ ͳǡʹʹ ή ͷͷͲͲ ή ͳͲିଵ଴ʹǡʹͷ ή ͳͲିହ ؆ ʹǡͻͺ�ܿ݉ 
(4.3) 
A distância entre os centros das figuras de 
difração existente no plano focal da lente será: ݔ ؆ ݂ ή ߠோ ൌ ʹǡͶ ή ʹǡʹͷ ή ͳͲିହ ൌ ͲǡͲͷͶ�݉݉ 
(4.4) 
 Questão 5
Num dispositivo de fenda dupla existem 
exatamente 9 franjas no interior da envoltória 
central. Seja ܽ ൌ ͵ͲͲͲͲ�Հ. Determine: (a) o valor 
de d, (b) o número de franjas completas existentes 
dentro da segunda envoltória, isto é, entre ߙ ൌ ߨ�‡�ߙ ൌ ʹߨ. 
Resolução: 
a) Para interferência de fenda dupla, levando em 
consideração o fenômeno da difração, pode-se 
considerar a intensidade da interferência de fenda 
dupla dentro da envoltória de uma intensidade de 
fenda única para a difração. O argumento 
responsável pela formação de mínimos para uma 
interferência de fenda dupla é dado por: ߚ ൌ ߨߣ ݀ݏ݁݊ߠ 
(5.1) 
O argumento que fornece o primeiro mínimo da 
difração é dado por (3.2). De (3.2) e (5.1), 
teremos: ߚߙ ൌ ݀ܽ 
(5.2) 
Como existem 9 franjas, podemos relacionar: 
 ʹ݉ ൅ ͳ ൌ ͻǢ݉ ൌ Ͷ 
(5.3) 
 
Também para (5.1), podemos escrever: 
 ߚ ൌ ߨ ൬݉ ൅ ͳʹ൰ 
(5.4) 
 
Em (5.4) temos a condição para formação de 
mínimos. A relação (5.4) deve coincidir com o 
primeiro mínimo para (3.2), ou seja: 
 ߙ ൌ ߨ 
(5.5) 
 
Veja a relação (3.1). Logo, de (5.4) e (5.5), 
teremos: 
 ߚߙ ൌ ݀ܽ ൌ ݉ ൅ ͳʹ 
(5.6) 
 
Utilizando o resultado de (5.3) e os dados 
numéricos em (5.6), teremos: 
 ݀͵ͲͲͲͲ ൌ ͻʹ ׵ ݀ ൌ ͳ͵ͷͲͲͲ�Հ 
(5.7) 
 
b) Utilizando a relação (5.2), teremos: 
 ߚଵ ൌ ͻʹߨ Ǣ�ߚଶ ൌ ͻߨ 
(5.8) 
 
Agora, com (5.8) e (5.4), teremos: 
 ݉ଵ ൌ ͶǢ�݉ଶ ൌ ͳ͹ʹ 
(5.9) 
 
Tomando a diferença entre os resultados de (5,9), 
teremos cerca de 4 franjas completas e mais 
metade. 
 
 
 
 
 
www.profafguimaraes.net 
4 
 Questão 6
Deduzir a seguinte distribuição de 
intensidades, relativa a uma “rede” de três fendas: ܫఏ ൌ ூ೘ଽ ሺͳ ൅ Ͷܿ݋ݏ߶ ൅ Ͷܿ݋ݏଶ߶ሻ, 
 
onde ߶ ൌ ଶగௗ�௦௘௡ఏఒ . 
 
Supor ܽ ا ߣ. 
Resolução: 
Seja o campo elétrico resultante dado por: ܧ ൌ ܧଵ ൅ ܧଶ ൅ ܧଷ 
(6.1) 
Em que ܧଵ é o componente da primeira fenda, ܧଶ é 
o componente da segunda fenda e ܧଷ é o 
componente da terceira fendas, que por sua vez 
são dados por: ܧଵ ൌ ܧ଴ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ 
(6.2) ܧଶ ൌ ܧ଴ݏ݁݊ሺ߱ݐ ൅ ߶ሻ 
(6.3) ܧଷ ൌ ܧ଴ݏ݁݊ሺ߱ݐ ൅ ʹ߶ሻ 
(6.4) 
Aqui ߶ representa a diferença de fase, dada no 
enunciado da questão. Substituindo (6.2)-(6.4) em 
(6.1), teremos: ܧ ൌ ܧ଴ሾݏ݁݊ሺ߱ݐሻ ൅ ݏ݁݊ሺ߱ݐ ൅ ߶ሻ ൅ ݏ݁݊ሺ߱ݐ ൅ ʹ߶ሻሿ 
(6.5) 
Sejam as relações trigonométricas que se seguem: ݏ݁݊ሺܽ ൅ ܾሻ ൌ ݏ݁݊�ܽ�ܿ݋ݏ�ܾ ൅ ܿ݋ݏ�ܽ�ݏ݁݊�ܾ 
(6.6) ܿ݋ݏʹߠ ൌ ʹܿ݋ݏଶߠ െ ͳ 
(6.7) ݏ݁݊ʹߠ ൌ ʹݏ݁݊ߠܿ݋ݏߠ 
(6.8) 
Agora, utilizando as relações (6.6)-(6.7) em (6.5), 
teremos: 
 ܧ ൌ ܧ଴ݏ݁݊ሺ߱ݐሻሾܿ݋ݏ߶ሺͳ ൅ ʹܿ݋ݏ߶ሻሿ൅ ܧ଴ܿ݋ݏሺ߱ݐሻሾݏ݁݊߶ሺͳ ൅ ʹܿ݋ݏ߶ሻሿ 
 ܧ ൌ ܧ଴ሺͳ ൅ ʹܿ݋ݏ߶ሻᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥாഇ ݏ݁݊ሺ߱ݐ ൅ ߶ሻ 
(6.9) 
 
Assim, de (6.9), temos: 
 ܧఏ ൌ ܧ଴ሺͳ ൅ ʹܿ݋ݏ߶ሻ 
(6.10) 
 
Sabemos que a intensidade é proporcional ao 
quadrado de (6.9). Logo, vamos tomar o quadrado 
de (6.10) para escrever: 
 ܫఏ ן ܧఏଶ 
(6.11) 
 
Assim, teremos: 
 ܫఏ ן ܧ଴ଶሺͳ ൅ Ͷܿ݋ݏ߶ ൅ Ͷܿ݋ݏଶ߶ሻ 
(6.12) 
 
Para ߶ ൌ Ͳ ֜ ܫఏ ൌ ܫ௠, em que ܫ௠ é a intensidade 
máxima. Então, de (6.12),teremos: 
 ܫ௠ ן ͻܧ଴ଶ ֜ ܧ଴ଶ ן ܫ௠ͻ 
(6.13) 
 
Assim, de (6.12) e (6.13), teremos: 
 ܫఏ ൌ ܫ௠ͻ ሺͳ ൅ Ͷܿ݋ݏ߶ ൅ Ͷܿ݋ݏଶ߶ሻ 
(6.14) 
 
 Questão 7
 
Uma rede de difração tem um número ܰ 
(grande) de fendas, todas de largura ݀. Seja ܫ௠ž௫ a 
intensidade de um máximo principal qualquer e 
seja ܫ௞ a intensidade do k-ésimo máximo 
secundário adjacente. (a) Se ݇ ا ܰ, mostrar do 
diagrama de fasores que, aproximadamente, ܫ௞ ܫ௠ž௫ ൌ ͳ ൫݇ ൅ భమ൯ଶߨଶΤΤ . (b) Para os máximos 
secundários que estão aproximadamente no meio 
 
www.profafguimaraes.net 
5 
entre dois máximos principais adjacentes, mostrar 
que vale ܫ௞ ܫ௠ž௫ ൌ ͳ ܰଶΤΤ . (c) Considerar o 
máximo principal central e os máximos 
secundários adjacentes para os quais ݇ ا ܰ. 
Mostrar que esta parte da figura de difração se 
assemelha quantitativamente com a de uma fenda 
única de largura ܰ݀. 
Resolução: 
De forma semelhante ao que foi realizado na 
questão anterior, vamos desenvolver o 
componente elétrico resultante devido às várias 
fendas existentes na rede. Assim, teremos: ܧ ൌ ܧ଴ሼݏ݁݊ሺ߱ݐሻሾͳ ൅ ܿ݋ݏ߶ ൅ ܿ݋ݏʹ߶ ൅ ڮ൅ ܿ݋ݏ݊߶ሿ൅ ܿ݋ݏሺ߱ݐሻሾݏ݁݊߶ ൅ ݏ݁݊ʹ߶ ൅ڮݏ݁݊�݊߶ሿሽ 
(7.1) 
Em que ݊ ൌ ܰ െ ͳ. Com o auxílio de um manual 
de fórmulas, poderemos encontrar as séries 
contidas em (7.1). Por exemplo, M. R. Spiegel, 
Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas, 
Coleção Shaum, Ed. McGraw-Hill, São Paulo, 1973, 
pág. 109. Assim, teremos para (7.1): 
ܧ ൌ ܧ଴ ቐݏ݁݊ሺ߱ݐሻ ቎ͳʹ ൅ ݏ݁݊ ቀ݊ ൅ ͳʹቁ߶ʹݏ݁݊ ߶ʹ ቏൅ ܿ݋ݏሺ߱ݐሻ ቎ݏ݁݊ ቀ݊ ൅ ߶ʹ ቁ ή ݏ݁݊ ቀ݊߶ʹቁݏ݁݊ ߶ʹ ቏ቑ 
(7.2) 
Ainda, utilizando ݏ݁݊�ܽ ൅ ݏ݁݊�ܾ ൌ ʹݏ݁݊ ൬ܽ ൅ ܾʹ ൰ ܿ݋ݏ ൬ܽ െ ܾʹ ൰ 
(7.3) 
Em (7.2), teremos: 
ܧ ൌ ܧ଴ ݏ݁݊ ቀ݊ ൅ ͳʹ ቁ߶ݏ݁݊ ቀ߶ʹቁᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥாഇ ή ݏ݁݊ ൬߱ݐ ൅
݊߶ʹ൰ 
(7.4) 
E como foi efetuado na questão anterior (6.11), 
teremos aqui a seguinte relação: 
ܫఏ ן ܧ଴ଶ ቌݏ݁݊ ቀ݊ ൅ ͳʹ ቁ߶ݏ݁݊ ቀ߶ʹቁ ቍ
ଶ
 
(7.5) 
 
Para ߠ ՜ Ͳ ֜ ߶ ՜ Ͳ, pois ߶ ൌ ଶగௗ�௦௘௡ఏఒ . Assim, 
teremos para o máximo central: 
 ܫ௠ž௫ ן ܧ଴ଶ ቌŽ‹థ՜଴ ݏ݁݊ ቀ݊ ൅ ͳʹ ቁ߶ݏ݁݊ ቀ߶ʹቁ ቍ
ଶ ൌ 
ൌ ܧ଴ଶ ቌŽ‹థ՜଴ ቀ݊ ൅ ͳʹ ቁ ܿ݋ݏ ቀ݊ ൅ ͳʹ ቁ߶ͳʹ ܿ݋ݏ ߶ʹ ቍ
ଶ ൌ ܧ଴ଶሺ݊ ൅ ͳሻଶ 
(7.6) 
 
Aqui se utilizou L’Hospital. Ou ainda, 
 ܫ௠ž௫ ן ܧ଴ଶቌŽ‹థ՜଴ ݏ݁݊ ቀ݊ ൅ ͳʹ ቁ߶ݏ݁݊ ቀ߶ʹቁ ቍ
ଶ ൌ ܧ଴ଶܰଶ 
(7.7) 
 
Assim, poderemos escrever: 
 ܫఏ ൌ ܫ௠ž௫ܰଶ ቌݏ݁݊ ቀܰʹቁ߶ݏ݁݊ ቀ߶ʹቁ ቍ
ଶ
 
(7.8) 
 
Agora, para ߠ pequeno, o argumento ߶ também 
será pequeno. Logo, poderemos reescrever a 
equação (7.8) da seguinte forma: 
 ܫఏ ؆ ܫ௠ž௫ܰଶ ቌݏ݁݊ ቀܰʹቁ߶߶ʹ ቍଶ 
(7.9) 
 
Também, em (7.9), podemos desprezar as 
contribuições das outras fendas, fazendo ܰ ՜ ͳ, 
logo, teremos para (7.9): 
 ܫ௞ ൌ ܫ௠ž௫ ቌݏ݁݊ ቀ߶ʹቁ߶ʹ ቍଶ 
(7.10) 
 
www.profafguimaraes.net 
6 
Ͷͷι 
d 
Direção do feixe 
incidente 
Para os máximos dados por (7.10), teremos: ߶ʹ ൌ ൬݇ ൅ ͳʹ൰ߨ 
(7.11) 
Que conduz a: ܫ௞ ؆ ܫ௠ž௫ቀ݇ ൅ ͳʹቁଶ ߨଶ 
(7.12) 
Ainda, de (7,9), podemos escrever: ܫఏ ൌ ܫ௠ž௫ ቀݏ݁݊�ߙߙ ቁଶ 
(7.13) 
Sendo que: ߙ ൌ ܽߨߠߣ 
(7.14) 
 
E ߶ ൌ ʹߨ݀ ή ߠߣ Ǣ ݀ ൌ ܽܰ 
(7.15) 
 Questão 8
Duas raias espectrais têm comprimento de 
onda ߣ e ߣ ൅ ȟߣ, respectivamente, onde ߣ ب ȟߣ. 
Mostrar que sua separação angular ȟߠ num 
espectrômetro de rede é dada, aproximadamente, 
por οߠ ൌ ȟߣ ඥሺ݀ ݉Τ ሻଶ െ ߣଶΤ , onde d é a separação 
entre dois centros de fendas adjacentes e m é a 
ordem na qual as linhas são observadas. Notar que 
a separação angular é maior nas ordens mais 
elevadas. 
Resolução: 
Para as raias espectrais, escrevemos: ݀ ή ݏ݁݊ߠ ൌ ݉ߣ 
(8.1) 
Tomando a variação: 
݀ߣ݀ߠ ൌ ݀ ή ܿ݋ݏߠ݉ 
(8.2) 
 
Para ângulos próximos, podemos escrever: 
 οߠ ൌ ݉οߣ݀ ή ܿ݋ݏߠ 
(8.3) 
 
Agora, utilizando a relação ݏ݁݊ଶߠ ൅ ܿ݋ݏଶߠ ൌ ͳ, 
juntamente com a equação (8.1) em (8.3), 
teremos: 
 οߠ ൌ οߣට݀ଶ݉ଶ െ ߣ 
(8.4) 
 
 Questão 9
 
Raios X monocromáticos ൫ߣ ൌ ͳǡʹͷՀ൯ incidem 
sobre um cristal de cloreto de sódio, fazendo um 
ângulo de Ͷͷι com a linha de referência, como se 
vê na figura 9.1. Os planos são separados por uma 
distância de ʹǡͷʹՀ. De que ângulo o cristal deve 
ser girado para ocorrer um feixe difratado, 
associado aos planos indicados? Supor que o giro 
seja executado em torno de um eixo perpendicular 
ao plano da página. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.1 
 
Resolução: 
Para a localização dos máximos temos: 
 ʹ݀ݏ݁݊ߠ ൌ ݉ߣ 
(9.1) 
 
Assim, utilizaremos (9.1) para encontrar os 
ângulos. 
 
www.profafguimaraes.net 
7 
· Para ݉ ൌ ͳ: ʹ ή ʹǡͷʹ ή ݏ݁݊ߠଵ ൌ ͳǡʹͷ� ݏ݁݊ߠଵ ؆ ͲǡʹͶͺ ׵ ߠଵ ൌ ͳͶǡ͵͸ι 
(9.2) 
Assim, teremos que girar o cristal no sentido 
horário segundo um ângulo de: Ͷͷι െ ߙଵ ൌ ͳͶǡ͵͸ι� ׵ �ߙଵ ؆ ͵Ͳǡ͸Ͷι 
(9.3) 
· Para ݉ ൌ ʹ: ʹ ή ʹǡͷʹ ή ݏ݁݊ߠଶ ൌ ʹǡͷͲ� ݏ݁݊ߠଶ ؆ ͲǡͶͻ͸ ׵ ߠଶ ൌ ʹͻǡ͹Ͷι 
(9.4) 
Assim, teremos que girar o cristal no sentido 
horário segundo um ângulo de: Ͷͷι െ ߙଶ ൌ ʹͻǡ͹Ͷι� ׵ �ߙଶ ؆ ͳͷǡʹ͸ι 
(9.5) 
· Para ݉ ൌ ͵: ʹ ή ʹǡͷʹ ή ݏ݁݊ߠଷ ൌ ͵ǡ͹ͷ� ݏ݁݊ߠଷ ؆ Ͳǡ͹ͶͶ ׵ ߠଷ ൌ ͶͺǡͲͺι 
(9.6) 
Assim, teremos que girar o cristal no sentido anti-
horário segundo um ângulo de: Ͷͷι ൅ ߙଷ ൌ ʹͻǡ͹Ͷι� ׵ �ߙଷ ؆ ͵ǡͲͺι 
(9.7) 
· Para ݉ ൌ Ͷ: ʹ ή ʹǡͷʹ ή ݏ݁݊ߠସ ൌ ͷǡͲͲ� ݏ݁݊ߠସ ؆ Ͳǡͻͻʹ ׵ ߠସ ൌ ͺʹǡ͹ͺι 
(9.8) 
Assim, teremos que girar o cristal no sentido anti-
horário segundo um ângulo de: Ͷͷι ൅ ߙସ ൌ ʹͻǡ͹Ͷι� ׵ �ߙସ ؆ ͵͹ǡͺι 
(9.9) 
 Questão 10
 
A equação ݐ݃ߠ஻ ൌ ݊ଶ ݊ଵΤ foi deduzida a partir 
de uma comprovação experimental atribuída a 
Brewster. Faça uma dedução simplificada desta 
equação com base em argumentos teóricos. 
Consulte um livro de Eletromagnetismo ou um 
livro de Ótica mais avançado. 
Resolução: 
Consultando um livro de Eletromagnetismo, por 
exemplo, Reitz, Milford e Christy, Fundamentos da 
Teoria Eletromagnética, 1982, Ed. Campus, Rio de 
Janeiro, R.J., páginas 372-378, podemos encontrar 
os coeficientes de reflexão e transmissão dados 
por: 
 ݎଵଶ௦ ൌ ݏ݁݊ሺߠଶ െ ߠଵሻݏ݁݊ሺߠଶ ൅ ߠଵሻ Ǣ 
(10.1) 
 ݐଵଶ௦ ൌ ʹܿ݋ݏߠଵݏ݁݊ߠଶݏ݁݊ሺߠଶ ൅ ߠଵሻ Ǣ 
(10.2) 
 ݎଵଶ௣ ൌ ݐ݃ሺߠଵ െ ߠଶሻݐ݃ሺߠଵ ൅ ߠଶሻ Ǣ 
(10.3) 
 ݐଵଶ௣ ൌ ʹܿ݋ݏߠଵݏ݁݊ߠଶݏ݁݊ሺߠଶ ൅ ߠଵሻܿ݋ݏሺߠଵ െ ߠଶሻ 
(10.4) 
 
As equações (10.1) e (10.2) se referem aos 
componentes perpendiculares ao plano de 
incidência. As equações (10.3) e (10.4) se referem 
aos componentes paralelos ao plano de incidência. 
Verifica-se que: se ߠଵ ൅ ߠଶ ൌ ഏమ, a amplitude 
paralela ao plano de incidência não será refletida ൫ݎଵଶ௣ ՜ Ͳ൯ e a amplitude da onda perpendicular 
ao plano de incidência será parcialmente refletida. 
Assim, a luz não polarizada que incide segundo 
um ângulo que satisfaz ߠଵ ൅ ߠଶ ൌ ഏమ, será 
polarizada por reflexão. A lei de Snell então prevê: 
 ݊ଵݏ݁݊ߠଵ ൌ ݊ଶݏ݁݊ ቀʹߨ െ ߠଵቁ ݊ଵݏ݁݊ߠଵ ൌ ݊ଶܿ݋ݏߠଵ ׵ ݐ݃ߠଵ ൌ ݊ଶ݊ଵ 
(10.5) 
 
www.profafguimaraes.net 
8 
 Questão 11
Um feixe de luz plano-polarizada de 
intensidade ܫ଴ ൌ ͳͲ�ܹ ή ݉ିଶ incide sobre duas 
placas polarizadoras superpostas. A direção 
característica da primeira placa forma um ângulo ߠ com o plano de polarização do feixe incidente; a 
direção característica da segunda placa é 
ortogonal ao plano de polarização do feixe 
incidente. Determine os valores de ߠ para que a 
intensidade do feixe transmitido seja: (a) máxima, 
(b) mínima. (c) Suponha ߠ ൌ ͵Ͳι; encontre a 
intensidade do feixe emergente da segunda placa. 
Resolução: 
Para a intensidade transmitida pela primeira 
placa temos: ܫଵ ൌ ܫ଴ܿ݋ݏଶߠ 
(11.1) 
Agora, para a intensidade transmitida pela 
segunda placa teremos, utilizando (11.1): ܫଶ ൌ ܫଵܿ݋ݏଶሺͻͲι െ ߠሻ ׵ ܫଶ ൌ ܫ଴ܿ݋ݏଶߠܿ݋ݏଶሺͻͲι െ ߠሻ 
(11.2) 
Utilizando as relações trigonométricas, teremos: ܫଶ ൌ ܫ଴ ή ݏ݁݊ଶʹߠͶ 
(11.3) 
Para (11.3) assumir os valores máximos, temos 
que: ʹߠ ൌ గଶ ሺʹ݊ ൅ ͳሻǡ ݊ ൌ Ͳǡͳǡʹǥ Logo, ߠ ൌ ߨͶ ሺʹ݊ ൅ ͳሻǡ ݊ ൌ Ͳǡͳǡʹǥ 
(11.4) 
Para (11.3) assumir valores mínimos, temos que: ʹߠ ൌ ߨ݊ǡ ݊ ൌ Ͳǡͳǡʹǥ Logo, ߠ ൌ ߨ݊ʹ ǡ ݊ ൌ Ͳǡͳǡʹǥ 
(11.5) 
E para ߠ ൌ ͵Ͳι, teremos: 
ܫଶ ൌ ͳͲͶ ή ݏ݁݊ଶ͸Ͳι ׵ ܫଶ ൌ ͳǡͺ͹ͷ�ܹ ή ݉ିଶ 
(11.6) 
 
 Questão 12
 
Luz parcialmente polarizada (uma mistura de 
feixes não polarizados e de feixes plano-
polarizados) pode ser representada por dois 
feixes plano-polarizados de intensidadesdesiguais, ܫ ao longo do eixo dos ݔ e ݅ ao longo do 
eixo dos ݕ, e com uma defasagem aleatória. O grau 
de polarização é definido por ݌ ൌ ሺܫ െ ݅ሻሺܫ ൅ ݅ሻ. 
(a) Supor que um feixe de luz parcialmente 
polarizada atravessa uma placa Polaróide com a 
sua direção característica fazendo um ângulo ߠ 
com o eixo dos ݔ. Mostrar que a intensidade 
transmitida, ܫ௧ é 
 ܫ௧ ൌ ܫ ή ͳ ൅ ݌ܿ݋ݏʹߠͳ ൅ ݌ 
 
(b) Esta expressão reduz-se a valores esperados 
para ݌ ൌ ͳ�‡�݌ ൌ Ͳ�ǫ 
Resolução: 
a) Acredito que a definição de polarização dada no 
enunciado esteja equivodada. Até porque penso 
que a mesma seja um número puro. Assim, seria 
mais correto definir da sequinte forma: 
 ݌ ൌ ሺܫ െ ݅ሻሺܫ ൅ ݅ሻ 
(12.1) 
 
A intensidade transmitida seria dada por: 
 ܫ௧ ൌ ܫܿ݋ݏଶߠ ൅ ݅ݏ݁݊ଶߠ 
(12.2) 
 
Utilizando a relação fundamental da 
trigonometria, teremos para (12.2): 
 ܫ௧ ൌ ሺܫ െ ݅ሻܿ݋ݏଶߠ ൅ ݅ 
(12.3) 
 
Utilizando a relação ܿ݋ݏଶߠ ൌ ௖௢௦ଶఏାଵଶ , em (12.3), 
teremos: 
 
 
www.profafguimaraes.net 
9 
ܫ௧ ൌ ሺܫ ൅ ݅ሻʹ ቈሺܫ െ ݅ሻሺܫ ൅ ݅ሻ ܿ݋ݏʹߠ ൅ ͳ቉ 
(12.4) 
De (12.1), temos: ݅ ൌ ܫሺͳ െ ݌ሻͳ ൅ ݌ 
(12.5) 
Utilizando (12.1), (12.4) e (12.5), teremos: ܫ௧ ൌ ቈܫ ൅ ܫሺͳ െ ݌ሻͳ ൅ ݌ ቉ ή ͳʹ ή ሾ݌ܿ݋ݏʹߠ ൅ ͳሿ ׵ ܫ௧ ൌ ܫͳ ൅ ݌ ሾ݌ܿ݋ݏʹߠ ൅ ͳሿ 
(12.6) 
b) Para ݌ ൌ ͳ temos, ݅ ൌ Ͳ, logo, de (12.2), 
teremos: ܫ௧ ൌ ܫܿ݋ݏଶߠ. 
(12.7) 
Que corresponde a: ܫ௧ ൌ ʹܫ ή ሾܿ݋ݏʹߠ ൅ ͳሿ 
(12.8) 
Que é forma assumida por (12.6). Agora, para ݌ ൌ Ͳ, temos ܫ ൌ ݅. E de (12.2), teremos: ܫ௧ ൌ ܫ 
(12.9) 
Que é a forma assumida por (12.6). 
 Questão 13
Um feixe estreito de luz não polarizada incide 
em um cristal de calcita cortado, em relação ao 
seu eixo ótico, de modo indicado na figura 13.1. 
(a) Considerando ݐ ൌ ͳ�ܿ݉ e ߠ௜ ൌ Ͷͷι, calcular a 
distância entre os feixes emergentes x e y. (b) Qual 
deles será o raio ordinário e qual o raio 
extraordinário? (c) Qual o estado de polarização 
de cada um dos raios emergentes? (d) Dizer o que 
acontencerá inserindo-se um polarizador no feixe 
emergente e em seguida, fazendo-o girar. 
(Sugestão: Dentro do cristal, as vibrações do vetor 
E de um dos raios são sempre perpendiculares ao 
eixo ótico, e as do outro, sempre paralelas. Esses 
dois raios são definidos pelos índices ݊௢�‡��݊௘; no 
plano em questão, cada raio obedece à lei de Snell.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13.1 
Resolução: 
O enunciado da questão não indicou o 
comprimento de onda do feixe que incide no 
cristal. Assim sendo, vamos adotar um 
comprimento de onda dado por ߣ ൌ ͷͺͻͲ�Հ, que 
possui os seguintes índices de refração para a 
calcita (D. Halliday e R. Resnick, Física 4, 4ª edição, 
Editora LTC, Rio de Janeiro, 1984, pág.: 257), ݊௢ ൌ ͳǡ͸ͷͺ�‡�݊௘ ൌ ͳǡͶͺ͸, respectivamente, para 
raios ordinários e extraordinários. Utilizando a lei 
de Snell, temos: 
 ݏ݁݊ߠ௥ ൌ ξʹʹ݊ 
(13.1) 
 
Em que ߠ௥ é o ângulo de refraçaõ. Observando a 
figura 13.1, podemos concluir que ߠ௥௫ ൐ ߠ௥௬ , logo, 
de (13.1), podemos verificar que ݊௫ ൏ ݊௬ o que 
indica que x é o raio extraordinário. Seja d, o 
desvio sofrido pelos raios emergentes, dado por: 
 ݀ ൌ ݐ ή ݏ݁݊ሺߠ௜ െ ߠ௥ሻܿ݋ݏߠ௥ 
(13.2) 
 
Assim, a distância entre os raios emergentes será 
dada por: 
 ܦ ൌ ݀௬ െ ݀௫ 
(13.3) 
 
Utilizando a relação (13.2) em (13.3), teremos: 
. . . . . 
. . . . . 
. . . . .
. . . .. .
ߠ௜ 
ݐ 
Eixo ótico 
x y 
 
www.profafguimaraes.net 
10 
ܦ ൌ ݐ ቈݏ݁݊൫Ͷͷι െ ߠ௥௬൯ܿ݋ݏߠ௥௬ െ ݏ݁݊ሺͶͷι െ ߠ௥௫ሻܿ݋ݏߠ௥௫ ቉ 
(13.4) 
Da relação (13.1), podemos escrever: 
ܿ݋ݏߠ௥ ൌ ሺͶ݊ଶ െ ʹሻభమʹ݊ 
(13.5) 
Com o auxílio de (13.1) e (13.5), também podemos 
escrever: 
ݏ݁݊ሺͶͷι െ ߠ௥ሻ ൌ ቂሺͺ݊ଶ െ Ͷሻభమ െ ʹቃͶ݊ 
(13.6) 
Utilizando os resultados (13.5) e (13.6) em (13.4), 
teremos: 
ܦ ൌ ʹݐ ቎൫ͺ݊௬ଶ െ Ͷ൯భమ െ ʹ൫Ͷ݊௬ଶ െ ʹ൯భమ െ ሺͺ݊௫ଶ െ Ͷሻభమ െ ʹሺͶ݊௫ଶ െ ʹሻభమ ቏ 
(13.7) 
Utilizando os valores dos índices de refração, em 
que ݊௫ ൌ ݊௘�‡�݊௬ ൌ ݊௢, teremos, para (13.7), o 
valor aproximado de ͲǡͶͻ�݉݉. A polarização do 
raio y se encontra no plano da figura 13.1 e a e a 
do raio x é perpendicular a esse plano. O 
polarizador fará um ou outro raio desaparecer, 
alternadamente, à medida que o polarizador girar 
de ͻͲι. 
 Questão 14
Que espessura deve ter uma placa de mica de 
modo a constituir uma placa de um quarto de 
onda para a luz amarela ൫ͷͺͻͲ�Հ൯? A clivagem da 
mica ocorre de maneira que os índices de 
refração, correspondentes à transmissão da luz 
ortogonalmente ao plano de clivagem, são 1,6049 
e 1,6117. 
Resolução: 
Seja ܰ o número de onda dado por: 
ܰ ൌ ݀ߣ 
(14.1) 
 
Em que ݀ é a espessura da placa. Assim, tomando 
a diferença entre os números de ondas como um 
quarto, teremos: 
 ͳͶ ൌ ݀ ൬ ͳߣଶ െ ͳߣଵ൰ 
(14.2) 
 
Sabendo que na refração: 
 ߣԢ ൌ ݊ߣ 
(14.3) 
 
Então, utilizando (14.2) e (14.3), teremos: 
 ͳͶ ൌ ݀ͷͺͻͲ ή ሺͳǡ͸ͳͳ͹ െ ͳǡ͸ͲͶͻሻ ׵ ݀ ؆ ͲǡͲʹʹ�݉݉ 
(14.4) 
 
 Questão 15
 
Suponha-se que um objeto absorva um feixe de 
raios paralelos de luz circularmente polarizada, 
cuja intensidade seja de ͳͲͲ�ݓܽݐݐݏ. Com que taxa 
em relação ao tempo será cedido ao objeto o 
momento angular do feixe luminoso? Tratando-se 
de um disco chato, com ͷ�݉݉ de diâmetro e 
massa de ͳǡͲ ൈ ͳͲିଶ݃, após quanto tempo atingirá 
a velocidade angular de ͳ� ݎ݋ݐ ݏΤ (supondo que 
possa girar livremente em torno do seu eixo)? 
Considerar o comprimento de onda de ͷͲͲͲՀ. 
Resolução: 
O momento angular do feixe é dado por: 
 ܮ ൌ ܷ߱ 
(15.1) 
 
Em que ܷ é a quantidade de energia absorvida e ߱ 
é a frequência angular da luz. Utilizando a 
potência fornecida, podemos reescrever (15.1): 
 ܮοݐ ൌ ͳͲͲߣʹߨܿ 
(15.2) 
 
www.profafguimaraes.net 
11 
De (15.2), teremos: ܮȟݐ ൌ ʹǡ͸ͷ ή ͳͲିଵସ�݇݃ ή ݉ଶ ή ݏିଶ 
(15.3) 
O momento de inércia do disco é dado por: ܫ ൌ ݉݀ଶͺ ֜ ܫ ൌ ͵ǡͳʹͷ ή ͳͲିଵଵ�݇݃ ή ݉ଶ 
(15.4) 
Para o eixo de rotação perpendicular a superfície 
passando pelo centro. O momento angular para a 
supracitada velocidade de rotação será: ܮ ൌ ܫ߱ ֜ ܮ ൌ ͳǡͻ͸ ή ͳͲିଵ଴݇݃ ή ݉ଶ ή ݏିଵ 
(15.5) 
Logo, de (15.5) e (15.3), teremos: οݐ ൌ ͳǡͻ͸ ή ͳͲିଵ଴ʹǡ͸ͷ ή ͳͲିଵସ ൌ ͹ǡͶ ή ͳͲଷݏ 
(15.6)