Física 4 16 exercícios resolvidos

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 Prof. A.F.Guimarães 
Física 4 – Questões 16 
 Questão 1
Sabemos que a energia cinética média do 
átomo ou da molécula de um gás ideal a uma 
temperatura Kelvin ܶ é igual a ͵݇஻ܶ ʹΤ . Para que 
valor de ܶ essa energia corresponde ao valor da 
(a) Energia de ligação para a ligação de Van der 
Waals no ܪ݁ଶ (igual a ͹ǡͻ ή ͳͲିସ�ܸ݁)? (b) Energia 
de ligação para a ligação covalente no ܪଶ (igual a ͶǡͶͺ�ܸ݁)? (c) A energia cinética na colisão entre 
moléculas pode se transformar na energia de 
dissociação de uma ou das duas moléculas desde 
que a energia cinética seja maior do que a energia 
de ligação. Na temperatura ambiente (300 K) é 
provável que as moléculas de ܪ݁ଶ permaneçam 
intactas após a colisão? O que dizer sobre as 
moléculas de ܪଶ? Explique. 
Resolução: 
a) ܶ ൌ ʹ ή ͹ǡͻ ή ͳͲିସ͵ ή ͺǡ͸͵ ή ͳͲିହ ؆ ͸ǡͳ�ܭ 
(1.1) 
Em que ݇஻ ൌ ͺǡ͸͵ ή ͳͲିହ�ܸ݁ ή ݏିଵ. 
b) ܶ ൌ ʹ ή ͶǡͶͺ͵ ή ͺǡ͸͵ ή ͳͲିହ ؆ ͵Ͷǡ͸ͳ ή ͳͲଷ�ܭ 
(1.2) 
c) Para ܶ ൌ ͵ͲͲ�ܭ, teremos: 
ܧത ൌ ͵ ή ͺǡ͸͵ ή ͳͲିହ ή ͵ͲͲʹ ؆ ͵ǡͺͺ ή ͳͲିଶ�ܸ݁ 
(1.3) 
Podemos observar do resultado de (1.3), que a 
energia cinética média das moléculas é maior do 
que a energia de ligação para a molécula ܪ݁ଶ, 
assim, provável é que as mesmas se dissociem. 
Esse fato não ocorre para as moléculas de ܪଶ, que 
possui energia de ligação maior do que a energia 
cinética média, dada em (1.3). 
 Questão 2
 
Ligações iônicas. (a) Calcule a energia 
potencial elétrica para um íon ܭା e um íon ܤݎି 
separados por uma distância igual a Ͳǡʹͻ�݊݉, a 
distância correspondente ao equilíbrio da 
molécula de ܭܤݎ. Considere os íons cargas 
puntiformes. (b) A energia de ionização do átomo 
de potássio é igual a Ͷǡ͵�ܸ݁. O átomo de bromo 
possui uma afinidade igual a ͵ǡͷ�ܸ݁. Use esses 
dados e o resultado do item (a) para estimar a 
energia de ligação da molécula de ܭܤݎ. Você 
espera que a energia de ligação real seja maior ou 
menor do que a energia que você estimou? 
Explique seu raciocínio. 
Resolução: 
a) A energia potencial de interação entre as duas 
cargas é dada por: 
 ܷ ൌ െ ͳͶߨ߳଴ ή ݁ଶݎ 
(2.1) 
 
Substituindo os valores em (2.1), teremos: 
 ܷ ؆ െ͹ǡͻ ή ͳͲିଵଽ�ܬ ൌ െͶǡͻͶ�ܸ݁ 
(2.2) 
 
b) A energia de ionização do potássio é de Ͷǡ͵�ܸ݁; 
a afinidade eletrônica do bromo é de ͵ǡͷ�ܸ݁. Isso 
nos fornece um saldo de Ͳǡͺ�ܸ݁. Logo, como 
energia de ligação, teremos: 
 െͶǡͻͶ ൅ Ͳǡͺ ൌ െͶǡͳͶ�ܸ݁ 
(2.3) 
 
Os resultados (2.2) e (2.3) foram obtidos levando 
em consideração que os íons seriam cargas 
puntiformes. No entanto, os íons não são 
exatamente cargas puntiformes; pelo menos, não a 
essa distância. Um resultado mais preciso, seria 
obtido, se fosse levado em conta que esses os íons 
são, de fato, uma distribuição de cargas. Desta 
forma, o resultado (2.3) é um tanto maior que o 
esperado. 
 
 
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 Questão 3
Um átomo de lítio possui massa igual a ͳǡͳ͹ ή ͳͲିଶ଺�݇݃ e um átomo de hidrogênio tem 
massa de ͳǡ͸͹ ή ͳͲିଶ଻�݇݃. A distância de equilíbrio 
entre os dois núcleos da molécula ܮ݅ܪ é igual a Ͳǡͳͷͻ�݊݉. (a) Qual é a diferença de energia entre 
os níveis de energia de rotação ݈ ൌ ͵�‡�݈ ൌ Ͷ? (b) 
Qual é o comprimento e onda do fóton emitido em 
uma transição entre os níveis de energia de 
rotação ݈ ൌ Ͷ�‡�݈ ൌ ͵? 
Resolução: 
Previamente, devemos determinar a massa 
reduzida do sistema, uma vez que a energia leva 
em conta o momento de inércia, que por sua vez, 
precisa da referida massa. Assim, teremos: ݉௥ ൌ ݉ு݉௅௜݉ு ൅݉௅௜ 
(3.1) 
Substituindo os valores das massas em (3.1), 
teremos: ݉௥ ؆ ͳǡͶ͸ ή ͳͲିଶ଻�݇݃ 
(3.2) 
O momento de inércia é dado por: ܫ ൌ ݉௥ݎ଴ଶ 
(3.3) 
Em que ݎ଴ é a distância de equilíbrio entre os dois 
núcleos. Assim, substituindo os valores, teremos: ܫ ؆ ͵ǡ͹ ή ͳͲିସ଻�݇݃ ή ݉ଶ 
(3.4) 
a) Os níveis de energia rotacionais, para uma 
molécula diatômica, são dados por: ܧ௟ ൌ ݈ሺ݈ ൅ ͳሻ ή ԰ଶʹܫ 
(3.5) 
Para o nível ݈ ൌ ͵�‡�݈ ൌ Ͷ, utilizando (3.5), teremos 
respectivamente: ܧଷ ൌ ͳǡ͹ͻ ή ͳͲିଶଵ�ܬ��݁�ܧସ ൌ ʹǡͻͺ ή ͳͲିଶଵ�ܬ 
(3.6) 
Assim, a diferença de energia será: οܧ ൌ ܧସ െ ܧଷ ؆ ͳǡͳͻ ή ͳͲିଶଵ�ܬ 
(3.7) 
 
b) Para obtermos o comprimento de onda, 
referente ao resultado (3.7), utilizaremos a 
seguinte expressão: 
 οܧ ൌ ݄ ή ܿߣ 
(3.8) 
 
Substituindo os valores em (3.8), teremos: 
 ߣ ൌ ͳǡ͸͹ ή ͳͲିସ�݉ 
(3.9) 
 
 Questão 4
 
Se a molécula de cloreto de sódio ሺܰܽܥ݈ሻ 
pudesse sofrer uma transição de vibração ݊ ՜ ݊ െ ͳ sem nenhuma variação do número 
quântico de rotação, um fóton com um 
comprimento de onda igual a ʹͲǡͲ�ߤ݉ seria 
emitido. A massa do átomo de sódio é igual a ͵ǡͺʹ ή ͳͲିଶ଺�݇݃ e a massa do átomo de cloro é 
igual a ͷǡͺͳ ή ͳͲିଶ଺�݇݃. Calcule a constante da 
mola ݇ǯ para a força entre os átomos do ܰܽܥ݈. 
Resolução: 
Os níveis de energia de vibração são dados por: 
 ܧ௡ ൌ ൬݊ ൅ ͳʹ൰ ԰ቆ ݇Ԣ݉௥ቇଵଶ 
(4.1) 
 
Assim, a diferença de energia será: 
 ܧ௡ െ ܧ௡ିଵ ൌ ԰ቆ ݇Ԣ݉௥ቇଵଶ 
(4.2) 
 
A diferença em (4.2), fornece o comprimento de 
onda do fóton emitido. Então, de (3.8), teremos: 
 ܧ௡ െ ܧ௡ିଵ ൌ ݄ ή ܿߣ 
(4.3) 
 
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Substituindo os valores numéricos em (4.3), 
teremos: ܧ௡ െ ܧ௡ିଵ ൌ ͻǡͻͶͷ ή ͳͲିଶଵ�ܬ 
(4.4) 
A massa reduzida, por sua vez, é dada utilizando 
(3.1). Assim, para esse sistema, teremos: ݉௥ ൌ ʹǡ͵ͳ ή ͳͲିଶ଺�݇݃ 
(4.5) 
Utilizando os resultados de (4.4) e (4.5) em (4.2), 
teremos: ݇ᇱ ൌ ʹͲ͹ǡʹ�ܰ ή ݉ିଵ 
(4.6) 
Em que ԰ ؆ ͳǡͲͷ ή ͳͲିଷସ�ܬ ή ݏ. 
 Questão 5
O brometo de potássio, ܭܤݎ, possui densidade 
igual a ʹǡ͹ͷ ή ͳͲଷ�݇݃ ή ݉ିଷ e a mesma estrutura 
cristalina do cloreto de sódio. A massa do átomo 
de potássio é igual a ͸ǡͶͻ ή ͳͲିଶ଺�݇݃ e a massa do 
átomo de bromo é igual a ͳǡ͵͵ ή ͳͲିଶହ�݇݃. (a) 
Calcule o espaçamento médio entre átomos 
adjacentes do cristal de ܭܤݎ. (b) Como o valor 
calculado no item (a) se compara com o 
espaçamento no ܰܽܥ݈? A relação entre os dois 
valores encontrados concorda qualitativamente 
com o que você esperava? Explique. 
Resolução: 
Podemos pensar que na estrutura do cloreto de 
sódio, existem dois átomos, um de cada elemento, 
dentro de um volume, dado por: ܸ ൌ ʹܽଷ 
(5.1) 
Em que ܽ é a distância entre dois átomos 
adjascentes. Para o cloreto de sódio, temos: ܽ ൌ Ͳǡʹͺʹ�݊݉. Logo, para a densidade do cloreto 
de sódio, teremos: ߩே௔஼௟ ൌ ݉ே௔ ൅݉஼௟ܸ 
(5.2) 
Sabendo que ݉ே௔ ൌ ͵ǡͺʹ ή ͳͲିଶ଺�݇݃ e ݉஼௟ ൌ ͷǡͺͻ ή ͳͲିଶ଺�݇݃, e utilizando (5.1) e (5.2), 
poderemos encontrar: 
 ߩே௔஼௟ ൌ ʹǡͳ͸ͷ ή ͳͲଷ�݇݃ ή ݉ିଷ 
(5.3) 
 
a) Utilizando um raciocínio semelhante, teremos 
para a densidade do brometo de potássio: 
 ߩ௄஻௥ ൌ ݉௄ ൅݉஻௥ܸ 
(5.4) 
 
Para a distância entre os átomos adjacentes, 
teremos: 
 ܽ௄஻௥ ൌ ൤݉௄ ൅݉஻௥ʹߩ௄஻௥ ൨ଵଷ 
(5.5) 
 
Substituindo os dados numéricos em (5.5), 
teremos: 
 ܽ௄஻௥ ൌ Ͳǡ͵͵Ͳ ή ݊݉ 
(5.6) 
 
b) A distância entre os átomos de bromo e 
potássio no ܭܤݎ é maior do que a distância entre 
os átomos de cloro e sódio no ܰܽܥ݈. Pode-se 
creditar essa diferença devido à força de repulsão 
entre os núcleos que é mais intensa no brometo de 
potássio. 
 
 Questão 6
 
A largura da banda de energia proibida entre a 
banda de valência e a banda de condução do 
diamante é igual a ͷǡͶ͹�ܸ݁. (a) Qual é o 
comprimento de onda máximo de um fóton capaz 
de excitar um elétron do topo da banda de 
valência até a banda de condução? E qual região 
do espectro eletromagnético esse fóton se 
encontra? (b) Por que o diamante puro é 
transparente e não tem cor? (c) Muitas pedras de 
diamante possuem uma coloração amarela. 
Explique como as impurezas no diamante podem 
produzir essa cor. 
 
 
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Resolução: 
a) Poderemos encontrar o comprimento de onda 
do fóton utilizando (3.8). Logo: ߣ௠ž௫ ൌ ͳǡʹͶ ή ͳͲସοܧ 
(6.1) 
Sendo que, em (6.1), a energia é dada em ܸ݁ e o 
comprimento de onda é dado em Հ. Logo: ߣ௠ž௫ ൌ ͳǡʹͶ ή ͳͲସͷǡͶ͹ ؆ ʹʹ͸͸ǡͻ�Հ 
(6.2) 
O comprimento de onda encontrado em (6.2),refere-se à região do ultravioleta. 
b) De (6.2), pode-se concluir que a região do 
espectro visível não possui energia suficiente para 
excitar um elétron da banda de valência para a 
banda de condução. Portanto, fótons com 
comprimentos de ondas do espectro visível não 
são absorvidos. O que confere ao diamante uma 
transparência para a luz visível. 
c) As impurezas podem emitir luz por meio da 
fluorescência. 
 Questão 7
Mostre que a função de onda dada por: ߰ሺݔǡ ݕǡ ݖሻ ൌ ܣݏ݁݊ ݊௫ߨݔܮ ݏ݁݊ ݊௬ߨݕܮ ݏ݁݊ ݊௭ߨݖܮ 
 
é uma solução da equação de Schrödinger em três 
dimensões. Quais são as energias do nível 
fundamental e dos dois níveis excitados mais 
baixos? Qual é a degeneração de cada um desses 
níveis? (Inclua o fator 2 na degeneração 
correspondente aos dois estados possíveis para o 
spin.) 
Resolução: 
Para a equação de Schrödinger em três 
dimensões, temos: െ ԰ଶʹ݉ቆ߲ଶ߲߰ݔଶ ൅ ߲ଶ߲߰ݕଶ ൅ ߲ଶ߲߰ݖଶቇ ൅ ܷ߰ ൌ ܧ߰ 
(7.1) 
Substituindo a expressão da função de onda na 
equação (7.1), teremos:
 െ ԰ଶʹ݉ ൫െ݊௫ଶ െ ݊௬ଶ െ ݊௭ଶ൯ ή ቀߨܮቁଶ ൌ ܧ� ׵ ܧ ൌ ԰ଶߨଶʹ݉ܮଶ ൫݊௫ଶ ൅ ݊௬ଶ ൅ ݊௭ଶ൯ 
(7.2) 
 
Assim, a função de onda é solução da equação de 
Schrödinger em três dimensões, desde que a 
energia seja dada pela expressão (7.2). Esse é o 
resultado do modelo do elétron livre em uma 
caixa, com potenciais infinitos nas paredes da 
caixa. Para o estado fundamental, a energia é dada 
por: 
 ܧଵǡଵǡଵ ൌ ͵԰ଶߨଶʹ݉ܮଶ 
(7.3) 
 
Em que ݊௫ ൌ ݊௬ ൌ ݊௭ ൌ ͳ. Levando em 
consideração o spin, para esse caso temos dois 
estados. Para o primeiro estado excitado: 
 ܧଵǡଵǡଶ ൌ ͸԰ଶߨଶʹ݉ܮଶ 
(7.4) 
 
Em que ݊௫ ൌ ݊௬ ൌ ͳ�‡�݊௭ ൌ ʹ, e suas permutações, 
que nos conduz a seis estados, levando em 
consideração o spin. Para o próximo estado 
excitado: 
 ܧଵǡଶǡଶ ൌ ͻ԰ଶߨଶʹ݉ܮଶ 
(7.5) 
 
Em que ݊௫ ൌ ͳ�‡�݊௬ ൌ ݊௭ ൌ ʹ, e suas permutações, 
que nos conduz a seis estados como no caso 
anterior. 
 
 Questão 8
 
Qual é o valor da constante ܣ na função de onda 
da questão anterior, para que a mesma seja 
normalizada? 
Resolução: 
 
 
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A condição de normalização da função de onda 
requer: න߰כ߰�ܸ݀ ൌ ͳ 
(8.1) 
A expressão (8.1) fornece a probabilidade de se 
encontrar o elétron em algum lugar do universo, 
ou seja, poderemos interpretar esse resultado, 
como sendo uma condição de existência do 
referido elétron. Em (8.1), ߰כ é o complexo 
conjutado de ߰. Levando em consideração a nossa 
caixa, a integração será feita dentro do volume da 
mesma, assim: 
ܣଶන ݏ݁݊ଶ ݊௫ݔߨܮ௅଴ ݀ݔන ݏ݁݊ଶ ݊௬ݕߨܮ௅଴ ݀ݕන ݏ݁݊ଶ ݊௭ݖߨܮ௅଴ ݀ݖ ൌ ͳ 
(8.2) 
Com o auxílio de uma tabela de integração, por 
exemplo, Manual de Fórmulas e Tabelas 
Matemáticas de Murray R. Spiegel, Coleção Schaum, 
ed. McGraw-Hill, Rio de Janeiro, 1973, teremos de 
(8.2): 
ܣ ൌ ൬ʹܮ൰ଷଶ 
(8.3) 
 Questão 9
A energia de Fermi do sódio é igual a ͵ǡʹ͵�ܸ݁. 
(a) Calcule a energia média ܧ௠±ௗ dos elétrons no 
zero absoluto. (b) Qual é a velocidade de um 
elétron que possui a energia ܧ௠±ௗ? (c) Para qual 
temperatura Kelvin ܶ o valor de ݇஻ܶ é igual a ܧி? 
(Essa temperatura é chamada de tempreatura de 
Fermi do metal. Ela é aproximadamente igual a 
uma temperatura na qual as moléculas de um gás 
ideal clássico possuem a mesma energia cinética 
correspondente ao do elétron mais veloz do 
metal.) 
Resolução: 
a) A energia média e dada por: ܧ௠±ௗ ൌ ͷ͵ ή ܧி 
(9.1) 
Em que ܧி é a energia de Fermi. Para (9.1), 
consulte, por exemplo, Sears e Zemansky (Young & 
Freedman), Física IV Ótica e Física Moderna, 10ª 
edição, ed. Person do Brasil, Addison Wesley, São 
Paulo,2004. Utilizando os dados numéricos em 
(9.1), teremos: 
 ܧ௠±ௗ ؆ ͳǡͻͶ�ܸ݁ ൌ ͳǡͳͲͶ ή ͳͲିଵଽܬ 
(9.2) 
 
b) Utilizando o resultado de (9.2), teremos: 
 ܭ ൌ ܧ௠±ௗ � ׵ ݒ ؆ ͺǡʹͷ ή ͳͲହ�݉ ή ݏିଵ 
(9.3) 
 
c) Para ܶ, teremos: 
 ݇஻ܶ ൌ ܧி ׵ ܶ ؆ ͵ǡ͹ ή ͳͲସ�ܭ 
(9.4) 
 
Em que ݇஻ ؆ ͺǡ͸͵ ή ͳͲିହ�ܸ݁ ή ܭିଵ. 
 
 Questão 10
 
A prata possui uma energia de Fermi igual a ͷǡͶͺ�ܸ݁. Calcule a contribuição eletrônica para o 
calor específico molar a um volume constante da 
prata, ܥ௏, para ͵ͲͲ�ܭ. Expresse seu resultado (a) 
como um múltiplo de ܴ; (b) como uma fração do 
valor real ܥ௏ ൌ ʹͷǡ͵�ܬ ή ሺ݉݋݈ ή ܭሻିଵ. (c) O valor de ܥ௏ é determinado principalmente pela 
contribuição eletrônica? Se não é, qual é a 
contribuição mais relevante? 
Resolução: 
 
a) A contribuição eletrônica é dada por: 
 ܥ௏௘ ൌ ߨଶ݇஻ܶʹܧி 
(10.1) 
 
Para (10.1), consulte, por exemplo: Sears e 
Zemansky (Young & Freedman), Física IV Ótica e 
Física Moderna, 10ª edição, ed. Person do Brasil, 
Addison Wesley, São Paulo,2004. Agora, utilizando 
os dados numéricos na expressão de (10.1), 
teremos: 
 
 
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ܥ௏௘ ൌ ͲǡͲʹ͵͵ܴ 
(10.2)
Ou, utilizando ܴ ൌ ͺǡ͵ͳͷ�ܬ ή ሺ݉݋݈ ή ܭሻିଵ, teremos: ܥ௏௘ ൌ ͲǡͳͻͶ�ܬ ή ሺ݉݋݈ ή ܭሻିଵ� 
(10.3) 
b) Tomando a razão entre os valores: ܥ௏௘ܥ௏ ؆ ͲǡͲͲ͹͹ 
(10.4) 
c) A contribuição mais relevante ocorre por parte 
dos íons. 
 Questão 11
A largura da banda proibida entre a banda de 
valência e a banda de condução do germânio puro 
é igual a Ͳǡ͸͹�ܸ݁. A energia de Fermi está no meio 
da banda proibida. (a) Para temperaturas de ʹͷͲ�ܭǡ ͵ͲͲ�ܭ�‡�͵ͷͲ�ܭ, calcule ݂ሺܧሻ de ocupação 
de um estado na parte inferior da banda de 
condução. (b) Para cada temperatura indicada no 
item (a) calcule a probabilidade de um estado no 
topo da banda de valência estar vazio. 
Resolução: 
a) Seja a diferença entre a energia de Fermi e a 
energia da parte inferior da banda de condução 
dada por: ܧ െ ܧி ൌ Ͳǡ͸͹ʹ ൌ Ͳǡ͵͵ͷ�ܸ݁ 
(11.1) 
Seja a função de distribuição de Fermi-Dirac dada 
por: ݂ሺܧሻ ൌ ͳ݁ாିாಷ௞ಳ் ൅ ͳ 
(11.2) 
Utilizando o resultado de (11.1) e valor de ݇஻ 
dado na questão 9, teremos: 
ଶ݂ହ଴ሺܧሻ ؆ ͳǡ͹ͺ ή ͳͲି଻Ǣ 
 
ଷ݂଴଴ሺܧሻ ؆ ʹǡ͵ͺ ή ͳͲି଺Ǣ 
 � ଷ݂ହ଴ሺܧሻ ؆ ͳǡͷͳ ή ͳͲିହ 
(11.3) 
 
b) Veja o item anterior. Agora, para determinar a 
probabilidade de ocupação deste estado, basta 
tomar ͳ െ ݂ሺܧሻ. Logo: 
 ͳ െ ଶ݂ହ଴ሺܧሻ ؆ ͲǡͻͻͻͻͻͻͺʹʹǢ 
 ͳ െ ଷ݂଴଴ሺܧሻ ؆ Ͳǡͻͻͻͻͻ͹͸ʹ; 
 ͳ െ ଷ݂ହ଴ሺܧሻ ؆ ͲǡͻͻͻͻͺͶͻ 
(11.4) 
 
 Questão 12
 
Uma junção ݌ െ ݊ possui uma corrente de 
saturação igual a ͵ǡ͸Ͳ�݉ܣ. (a) Para uma 
temperatura de ͵ͲͲ�ܭ, qual é a voltagem 
necessária para produzir uma corrente positiva de ͶͲǡͲ�݉ܣ? (b) Para uma voltagem igual ao valor 
negativo do valor calculado no item (a), qual é a 
corrente negativa? 
Resolução: 
a) Para ܫௌ ൌ ͵ǡ͸Ͳ�݉ܣ�݁�ܶ ൌ ͵ͲͲ�ܭ, teremos: 
 ܫ ൌ ͵ǡ͸ ൬݁ ௘௏௞ಳ் െ ͳ൰ 
(12.1) 
 
A expressão (12.1), como é possível observar, 
fornece a relação entre a corrente e a voltagem de 
um diodo ideal feito com uma junção ݌ െ ݊. Para 
(12.1) consulte: Sears e Zemansky (Young & 
Freedman), Física IV Ótica e Física Moderna, 10ª 
edição, ed. Person do Brasil, Addison Wesley, São 
Paulo,2004. Assim, utilizando (12.1), teremos: 
 ͶͲ ൌ ͵ǡ͸ ൬݁ ௘௏௞ಳ் െ ͳ൰� ݁ ௘௏௞ಳ் ൌ ͳʹǡͳ ׵ ܸ ؆ ͸ͷ�ܸ݉ 
(12.2) 
 
Aqui, ݇஻ ൌ ͳǡ͵ͺ ή ͳͲିଶଷ�ܬ ή ܭିଵ. Para ܸ ؆ െ͸ͷ�ܸ݉, 
teremos: 
 
 
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ܫ ൌ ͵ǡ͸ ቆ݁ି଴ǡ଴଺ହ௘௞ಳ் െ ͳቇ׵ ܫ ؆ െ͵ǡ͵�݉ܣ 
(12.3) 
 Questão 13
Quando uma molécula diatômica sofre uma 
transição de ݈ ൌ ʹ até o estado ݈ ൌ ͳ, um fóton de 
comprimento de onda igual a ͸͵ǡͺ�ߤ݉ é emitido. 
Qual é o momento de inércia em relação a um eixo 
que passa pelo centro de massa e é perpendicular 
à linha que une os dois núcleos? 
Resolução: 
De acordo com (3.5) temos: ܧଶ ൌ ͵԰ଶܫ 
(13.1) 
E ܧଵ ൌ ԰ଶܫ 
(13.2) 
Assim, teremos: οܧ ൌ ʹ԰ଶܫ 
(13.3) 
Mas, de acordo com (3.8), poderemos relacionar 
(13.3) com o comprimento de onda. Logo: ܫ ൌ ʹߣ݄Ͷߨଶܿ� ׵ ܫ ؆ ͹ǡͳ ή ͳͲିସ଼�݇݃ ή ݉ଶ 
(13.4) 
 Questão 14
A energia de ligação da molécula de cloreto de 
potássio ܭܥ݈ é igual a ͶǡͶ͵�ܸ݁. A energia de 
ionização de um átomo e potássio é igual a Ͷǡ͵�ܸ݁ 
e a afinidade eletrônica do cloro é de ͵ǡ͸�ܸ݁. Use 
esses dados para estimar a distância entre os dois 
átomos dea molécula de ܭܥ݈ no equilíbrio. 
Explique por queseu resultado é apenas uma 
estimativa e não um valor preciso.
Resolução: 
Semelhantemente ao que foi efetuado na questão 
2, temos para a energia de ligação: 
 ܧ௟ ൌ ܷ െ ሺܧ௜ ൅ ܧ௔ሻ 
(14.1) 
 
Em que ܷ é a energia potencial, ܧ௜ é a energia de 
ionização e ܧ௔ é a energia de afinidade. 
Substituindo os dados numéricos, teremos: 
 ܷ ൌ െͷǡ͹͵�ܸ݁ 
(14.2) 
 
Assim, poderemos encontrar, por meio de (2.1) a 
distância equilíbrio. Logo: 
 ݎ଴ ؆ ͳǡ͸ͺ ή ͳͲିହ�݉ 
(14.3) 
 
Para a utilização de (2.1), consideramos os íons 
como duas cargas puntiformes. Deveríamos levar 
em consideração a distribuição eletrônica para um 
cálculo mais preciso. 
 
 Questão 15
 
O espectro rotaciona do ܪܥ݈ contém os 
seguintes comprimentos de onda (entre outros): ͸ͲǡͶ�ߤ݉Ǣ �͸ͻǡͲ�ߤ݉Ǣ ͺͲǡͶ�ߤ݉Ǣ ͻ͸ǡͶ�ߤ݉�‡�ͳʹͲǡͶ�ߤ݉. 
Use esse espectro para calcular o momento de 
inércia da molécula de ܪܥ݈ em relação a um eixo 
que passa pelo centro de massa e é perpendicular 
à linha que une os dois núcleos. 
Resolução: 
Com auxílio de (3.8), teremos para cada 
comprimemto de onda, uma energia dada por: 
 ܧ଺଴ǡଷ ൌ ͵ǡ͵ ή ͳͲିଶଵܬǢ ܧ଺ଽ ൌ ʹǡͺ͸ ή ͳͲିଶଵܬǢ ܧ଼଴ǡସ ൌ ʹǡͶͷ ή ͳͲିଶଵܬǢ ܧଽ଺ǡସ ൌ ʹ ή ͳͲିଶଵܬǢ ܧଵଶ଴ǡସ ൌ ͳǡ͸Ͷ ή ͳͲିଶଵܬ 
(15.1) 
 
Para a transição das energias de rotação, por 
exemplo, ݈ ՜ ݈ െ ͳ, teremos: 
 
 
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ܫ ൌ ݈԰ଶܧఒ 
(15.2) 
Não sabemos ao certo, quais foram as transições 
efetuadas, logo, para encontrar o momento de 
inércia, vamos utilizar o auxílio de uma planilha. 
Assim, considere a planilha a seguir: 
 
Tabela 15.1 
Da tabela 15.1, temos na primeira coluna os 
valores de ݈ e na primeira linha, a energia 
referente a transição. Podemos observar que as 
transições em questão são as seguintes: ͺ ՜ ͹Ǣ ͹ ՜ ͸Ǣ ͸ ՜ ͷǢ ͷ ՜ Ͷ�‡�Ͷ ՜ ͵. Destacada em 
azul, temos o valor do momento de inércia, ou 
seja: ܫ ؆ ʹǡ͹ ή ͳͲିସ଻�݇݃ ή ݉ଶ 
(15.3) 
 Questão 16
Considere um gás de moléculas diatômicas 
(momento de inércia ܫ) a uma temperatura 
absoluta ܶ. Seja ܧ௚ a energia do estado 
fundamental e ܧ௘௫ a energia do estado excitado; 
então, de acordo com a distribuição de Boltzmann, 
a razão entre os números de moléculas nos dois 
estados é dada por: ݊௘௫݊௚ ൌ ݁ି൫ா೐ೣିா೒൯ ௞ಳ்Τ 
 
Explique por que a razão entre o número de 
moléculas no nível rotacional de ordem ݈ e o 
número de moléculas no estado fundamental 
rotacional ሺ݈ ൌ Ͳሻ é dada por: ݊௟݊଴ ൌ ሺʹ݈ ൅ ͳሻ݁ି൫௟ሺ௟ାଵሻ԰మ൯ ଶூ௞ಳ்Τ 
 
(Dica: Para cada valor de ݈, quantos estados 
existem com valores diferentes de ݉௟?). 
Determine a razão ݊௟ ݊଴Τ para o gás de moléculas 
de ܥܱ a ͵ͲͲ�ܭ para os seguintes casos: i) ݈ ൌ ͳ; ii) ݈ ൌ ʹ; iii) ݈ ൌ ͳͲ; iv) ݈ ൌ ʹͲ; v) ݈ ൌ ͷͲ. O momento 
de inércia da molécula de ܥܱ vale ͳǡͶͷ ήͳͲିସ଺��݇݃ ή ݉ଶ. Seus resultados mostram que, 
quando ݈ cresce, a razão ݊௟ ݊଴Τ inicialmente cresce 
e depois decresce. Por quê? 
Resolução: 
A diferença entre as energias dos estados será 
dada por: 
 ܧ௘௫ െ ܧ௚ ൌ ݈ሺ݈ ൅ ͳሻ ή ԰ଶʹܫ 
(16.1) 
 
Sendo que para ݈ ൌ Ͳ ֜ ܧ௚ ൌ Ͳ. Podemos 
perceber que para ݈ ൌ Ͳ, ݉௟ ൌ Ͳ e para ݈ ് Ͳ, ݉௟ ൌ Ͳǡേͳǡേʹǡڮ�േ ݈. Ou seja, para ݈ ് Ͳ, temos ʹ݈ ൅ ͳ estados. Podemos escrever a seguinte 
expressão para o número de moléculas no estado ݈ ് Ͳ: 
 ݊௘௫ ൌ ݊௟ ן ሺʹ݈ ൅ ͳሻ݁ିா೐ೣ ௞ಳ்Τ 
(16.2) 
 
E como para ݊଴ ൌ ͳ, teremos então: 
 ݊௟݊଴ ൌ ሺʹ݈ ൅ ͳሻ݁ି൫௟ሺ௟ାଵሻ԰మ൯ ଶூ௞ಳ்Τ 
(16.3) 
 
Substituindo os dados numéricos em (16.3), 
teremos: 
 ݊ଵ݊଴ฬ஼ை ؆ ʹǡͻͷǢ ݊ଶ݊଴ฬ஼ை ؆ Ͷǡ͹Ǣ �݊ଵ଴݊଴ ฬ஼ை ؆ ͹ǡ͸Ǣ� ݊ଶ଴݊଴ ฬ஼ை ؆ Ͳǡͺ͸Ǣ �݊ହ଴݊଴ ฬ஼ை ؆ ͸ǡͷͶ ή ͳͲିଽ 
(16.4) 
 
 l E 1,64E-21 2,00E-21 2,45E-21 2,86E-21 3,30E-21
2,00 1,35366E-47 1,11E-47 9,06122E-48 7,76224E-48 6,72727E-48
3,00 2,03049E-47 1,665E-47 1,35918E-47 1,16434E-47 1,00909E-47
4,00 2,70732E-47 2,22E-47 1,81224E-47 1,55245E-47 1,34545E-47
5,00 3,38415E-47 2,775E-47 2,26531E-47 1,94056E-47 1,68182E-47
6,00 4,06098E-47 3,33E-47 2,71837E-47 2,32867E-47 2,01818E-47
7,00 4,7378E-47 3,885E-47 3,17143E-47 2,71678E-47 2,35455E-47
8,00 5,41463E-47 4,44E-47 3,62449E-47 3,1049E-47 2,69091E-47
 
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Tanto será elevado o valor da energia, comparado 
com ݇஻ܶ quanto o valor de l. Assim, o número de 
moléculas com esse nível de excitação, comparado 
com o estado fundamental será reduzido. 
 Questão 17
Quando a molécula de ܱܪ sofre uma transição 
do nível vibracional ݊ ൌ Ͳ até ݊ ൌ ͳ, sua energia 
interna vibracional cresce de ͲǡͶ͸͵�ܸ݁. Calcule a 
frequência da vibração e a constante da mola para 
a força interatômica. (a massa do átomo de 
oxigênio é de ʹǡ͸͸ ή ͳͲିଶ଺�݇݃ e o átomo de 
hidrogênio possui massa igual a ͳǡ͸͹ ή ͳͲିଶ଻�݇݃). 
Resolução: 
Previamente, determinaremos a massa reduzida 
da molécula, com auxílio de (3.1). Logo: ݉௥ ؆ ͳǡͷ͹ ή ͳͲିଶ଻�݇݃ 
(17.1) 
De acordo com (4.2), a diferença de energia de 
vibração do estado 1 para o estado 0 é dada por: οܧ ൌ ԰߱ 
(17.2) 
Sabendo a diferença de energia, dada no 
enunciado da questão, podemos encontrar a 
frequência de vibração. Logo: ߱ ؆ ͹ǡͲʹʹ ή ͳͲଵସ�ݏିଵ ֜ ߥ ؆ ͳǡͳʹ ή ͳͲଵସ�ܪݖ 
(17.3) 
Para a constante elástica, utilizando os resultados 
de (17.1) e (17.3), teremos: ߱ଶ ൌ ݇݉௥ ׵ ݇ ؆ ͹͹ͶǡͳͶ�ܰ ή ݉ିଵ 
(17.4) 
 Questão 18
Prove a seguinte afirmação: Para elétrons livres 
em um sólido, se um estado com uma energia οܧ 
acima de ܧி possui uma probabilidade ܲ de estar 
ocupado, então existe uma probabilidade ͳ െ ܲ de 
que um estado com uma energia οܧ abaixo de ܧி 
esteja ocupado.
Resolução: 
Utilizando a expressão (11.2), teremos para a 
probabilidade de ocupação de um estado com 
energia ܧி ൅ οܧ: 
 ݂ሺܧி ൅ οܧሻ ൌ ͳ݁ οா௞ಳ் ൅ ͳ ൌ ܲ 
(18.1) 
 
E para um estado ܧி െ οܧ: 
 ݂ሺܧி െ οܧሻ ൌ ͳ݁ି� οா௞ಳ் ൅ ͳ ൌ ͳ െ ܲ 
(18.2) 
 
Agora, utilizando a expressão (18.1), e fazendo ͳ െ ܲ, teremos: 
 ͳ െ ܲ ൌ ͳ െ ቎ ͳ݁ οா௞ಳ் ൅ ͳ቏ ൌ ݁
οா௞ಳ்݁ οா௞ಳ் ൅ ͳ 
 ͳ െ ܲ ൌ ͳ݁ି� οா௞ಳ் ൅ ͳ 
 ׵ ͳ െ ܲ ൌ ݂ሺܧி െ οܧሻ 
(18.3) 
 
O resultado (18.3) traduz a expressão do 
enunciado. 
 
 Questão 19
 
Considere um sistema de ܰ elétrons livres no 
interior de um volume ܸ. Mesmo no zero absoluto 
tal sistema exerce uma pressão sobre suas 
vizinhanças por causa do movimento dos elétrons. 
Para calcular essa pressão, imagine que o volume 
cresça de uma quantidade ܸ݀. O trabalho 
realizado pelo elétron sobre suas vizinhanças é 
igual ݌ܸ݀, o que significa que a energia total dos 
elétrons ܧ௧௢௧ deverá variar de uma quantidade ݀ܧ௧௢௧ ൌ െ݌ܸ݀. Logo, ݌ ൌ െ݀ܧ௧௢௧ ܸ݀Τ . (a) Mostre 
que a pressão do elétron no zero absoluto é dada 
por: 
 
 
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݌ ൌ ଷమయήగరయή԰మହ௠ ቀே௏ቁఱయ. 
 
Calcule essa pressão para o cobre, que possui uma 
concentração de elétrons livres igual a ͺǡͶͷ ή ͳͲଶ଼݉ିଷ. Expresse seu resultado em pascals 
e em atmosferas. A pressão que você encontrou é 
extremamente elevada. Por que então os elétrons 
em uma placa de cobre simplesmente não 
explodem e saem do metal? 
Resolução: 
A energia total é dada por: ܧ௧௢௧ ൌ ܰܧ௠௘ௗ 
(19.1) 
Sendo que ܧ௠௘ௗ ൌ ଷହ ή ܧி଴. Assim, teremos para a 
energia total: 
ܧ௧௢௧ ൌ ͵ହଷ ή ߨସଷ ή ԰ଶͷ݉ ή ܰହଷܸଶଷ 
(19.2) 
Sabendo que a energia de Fermi é dada por: ܧி଴ ൌ ଷమయήగరయή԰మଶ௠ ቀே௏ቁమయ. Utilizando a expressão da 
pressão dada no enunciado, teremos: 
݌ ൌ െ ܸ݀݀ ቌ͵ହଷ ή ߨସଷ ή ԰ଶͷ݉ ή ܰହଷܸଶଷቍ 
 ׵ ݌ ൌ ͵ଶଷ ή ߨସଷ ή ԰ଶͷ݉ ൬ܸܰ൰ହଷ 
(19.3) 
Substituindo os dados numéricos no resultado de 
(19.3), teremos, para o cobre: ݌ ൌ ͵ǡͺͲ ή ͳͲଵ଴�ܰ ή ݉ିଶ 
(19.4) 
Que corresponde a ͵͹ͷͲ͵Ͳǡͺ�ܽݐ݉. É de fato uma 
pressão elevada. No entanto, a pressão externa 
tem igual valor. Isto ocorre devido à ausência de 
estados vazios na parte externa, com a respectiva 
energia de Fermi. 
 Questão 20
 
Quando a pressão ݌ de um material cresce de ο݌, o volume do material varia de ܸ para ܸ ൅ οܸ, 
onde οܸ é negativo. O módulo de compressão ܤ 
do material é definido como a razão entre a 
variação da pressão ο݌ e o módulo da variação 
relativa de volume ȁοܸ ܸΤ ȁ. Quanto maior for o 
módulode compressão, maior será o aumento da 
pressão necessária para obter uma dada variação 
relativa de volume e mais incompressível é o 
material. Como οܸ ൏ Ͳ, o módulo de compressão 
pode ser escrito como ܤ ൌ െο݌ ሺοܸ ܸΤ ሻΤ . No 
limite, para variações muito pequenas de volume 
e de pressão a relação anterior é escrita na forma: 
 ܤ ൌ െܸ ή ௗ௣ௗ௏. 
 
Use o resultado da questão anterior para mostrar 
que o módulo de compressão para um sistema de ܰ elétrons em um volume a baixas temperaturas é 
dado por ܤ ൌ ହଷ ή ݌. (Dica: A grandeza ݌ na 
expressão ܤ ൌ െܸሺ݀݌ ܸ݀Τ ሻ é a pressão externa ao 
sistema. Você é capaz de explicar por que ela é 
igual à pressão interna do sistema, como na 
questão anterior?). Calcule o módulo de 
compressão para o cobre, que possui uma 
concentração de elétrons livres igual a ͺǡͶͷ ή ͳͲଶ଼݉ିଷ. Expresse seu resultado em 
pascals. O módulo de compressão real do cobre é 
igual a ͳǡͶ ή ͳͲଵଵ�ܲܽ. Com base nos seus resultados 
anteriores, a contribuição dos elétrons livres do 
cobre corresponde a que fração desse módulo de 
compressão? (O resultado mostra que os elétrons 
livres do metal desempenham papel fundamental 
na resistência do material a uma compressão.) 
Que grandeza você imagina ser responsável pela 
fração restante do módulo de compressão? 
Resolução: 
Utilizando a expressão (19.3), teremos: 
 ܤ ൌ െܸ ή ܸ݀݀ ቌ͵ଶଷ ή ߨସଷ ή ԰ଶͷ݉ ൬ܸܰ൰ହଷቍ 
 ׵ ܤ ൌ ͷ͵ ή ͵ଶଷ ή ߨସଷ ή ԰ଶͷ݉ ൬ܸܰ൰ହଷ ൌ ͷ͵ ή ݌ 
(20.1) 
 
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Substituindo os dados numéricos no resultado de 
(20.1), teremos:ܤ௘ ൌ ͷ ή ͵ǡͺͲ ή ͳͲଵ଴͵ ൌ ͸ǡ͵͵ ή ͳͲଵ଴�ܰ ή ݉ିଶ 
(20.2) 
Determinando a razão, teremos: ܤ௘ܤ ൌ ͲǡͶͷ 
(20.3) 
Em uma eventual compressão, temos a resistência 
dada pela contribuição dos elétrons, devido ao 
princípio da exclusão e também pela contribuição 
da repulsão dos núcleos. 
 Questão 21
Imagine a molécula de hidrogênio ሺܪଶሻ como 
um oscilador harmônico simples, sendo a 
distância entre os átomos no equilíbrio igual a ͲǡͲ͹Ͷ�݊݉, e estime espaçamento entre os níveis 
de energia vibracionais para o ܪଶ. A massa de um 
átomo de hidrogênio é igual a ͳǡ͸͹ ή ͳͲିଶ଻�݇݃. 
(Dica: Estime a constante elástica da mola 
identificando a força da mola com a força de 
Coulomb de repulsão entre os prótons quando 
eles se aproximam um pouco até uma distância 
menor do que a distância ݎ଴ no equilíbrio. Ou seja, 
suponha que a força da ligação química 
permaneça aproximadamente constante quando ݎ 
fica ligeiramente menor do que ݎ଴.) Use o 
resultado anterior para calcular o espaçamento 
entre os níveis de energia vibracionais para a 
molécula de deutério, ܦଶ seja a mesma do ܪଶ. A 
massa de um átomo de deutério é de ͵ǡ͵Ͷ ήͳͲିଶ଻�݇݃. 
Resolução: 
A força de repulsão coulombiana será: ܨ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݁ଶݎ଴ଶ ؆ Ͷǡʹͳ ή ͳͲି଼�ܰ 
(21.1) 
A força elástica é dada por: ܨ ൌ ݇ݔ 
(21.2) 
Em que ݔ é a deformação da mola. Vamos 
considerar aqui, uma deformação da ordem de ͳͲିଵଶ�݉ e também, que a força de repulsão 
permaneça constante durante a deformação. 
Assim, utilizando o resultado de (21.1) em (21.2), 
teremos: 
 ݇ ൌ Ͷǡʹͳ ή ͳͲି଼ͳͲିଵଶ ؆ ͶʹͳͲͲ�ܰ ή ݉ିଵ 
(21.3) 
 
Para a variação de energia vibracional teremos: 
 οܧ ൌ ԰ඨ ݇݉௥ ׵ οܧ ؆ ͹ǡͶͻ ή ͳͲିଵଽ�ܬ 
(21.4) 
 
Cerca de Ͷǡ͹�ܸ݁. Aqui, a massa reduzida vale ͺǡ͵ͷ ή ͳͲିଷ଴�݇݃. Para o deutério, utilizando a 
mesma constante, teremos: 
 οܧ஽మ ؆ ͷǡ͵ ή ͳͲିଵଽ�ܬ ൌ ͵ǡ͵�ܸ݁ 
(21.5) 
 
A massa reduzida, nesse caso é de ͳǡ͸͹ ή ͳͲିଶ଻�݇݃. 
 
 Questão 22
 
As ligações de Van der Walls surgem da 
interação entre dois dipolos elétricos 
permanentes ou induzidos existentes em pares de 
átomos ou de moléculas. (a) Considere dois 
dipolos idênticos, cada qual constituído por cargas ൅ݍ e െݍ separadas por uma distância ݀ e 
orientadas como indicado na figura 22.1a. Calcule 
a energia potencial elétrica expressa em termos 
do momento de dipolo ݌ ൌ ݍ݀, para a situação na 
qual ݎ ب ݀. A interação é de atração ou repulsão? 
E como a energia potencial varia em função de ݎ, a 
distância entre os centros dos dois dipolos? (b) 
Repita o procedimento para os dipolos orientados 
como indicado na figura 22.1b. A interação entre 
os dipolos é mais complicada quando, por causa 
da agitação térmica, temos de tomar a média 
sobre as orientações relativas dos dipolos ou, 
então, no caso de dipolos induzidos em vez de 
dipolos permanentes. 
 
 
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Figura 22.1 
Resolução: 
Observando a figura 22.1a, podemos calcular a 
energia total de interação das cargas. Assim, 
teremos: 
௧ܷ ൌ ܷାା ൅ ܷାି ൅ ܷିା ൅ ܷȄ 
(22.1) 
Em que: ܷାା ൌ ଵସగఢబ ή ௤మ௥ ; 
 ܷାି ൌ െ ଵସగఢబ ή ௤మ௥ାௗ; 
 ܷିା ൌ െ ଵସగఢబ ή ௤మ௥ିௗ; 
 ܷିି ൌ ଵସగఢబ ή ௤మ௥ ; 
(22.2) 
Substituindo (22.2) em (22.1), teremos: 
௧ܷ ൌ ݍଶͶߨ߳଴ ൤ʹݎ െ ൬ ͳݎ ൅ ݀൰ െ ൬ ͳݎ െ ݀൰൨ ௧ܷ ൌ ݍଶͶߨ߳଴ ቈ െʹ݀ଶݎሺݎ ൅ ݀ሻሺݎ െ ݀ሻ቉ 
(22.3) 
Agora, levando em consideração a condição ݎ ب ݀, 
no denominador, teremos: 
௧ܷ ؆ െ ݍଶ݀ଶʹߨ߳଴ݎଷ ൌ െ ݌ଶʹߨ߳଴ݎଷ 
(22.4) 
 
O sinal negativo demonstra que a interação é de 
atração. Utilizando o mesmo procedimento para a 
orientação da figura 22.1b, teremos: 
 ௧ܷ ؆ ݍଶ݀ଶʹߨ߳଴ݎଷ ൌ ݌ଶʹߨ߳଴ݎଷ 
(22.5) 
 
E nesse caso, a interação é de repulsão. 
 
 
 
൅ݍ െݍ ൅ݍ െݍ ݎ 
݀ 
 
݀ 
൅ݍ െݍ െݍ ൅ݍ ݎ 
 
݀ 
 
݀ 
ሺܽሻ 
ሺܾሻ