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Exercícios Resolvidos - Física 4

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1 
 Prof. A.F.Guimarães 
Física 4 – Questões 01 
 Questão 1
Obtenha uma expressão para a corrente 
máxima num circuito LC em função dos valores de 
L, de C e de ଴ܸ (a tensão correspondente à carga 
máxima do capacitor). 
Resolução: 
Para um circuito LC, a expressão da carga em um 
capacitor é dada por: ݍ ൌ ݍ௠ܿ݋ݏሺ߱ݐ െ ߶ሻ 
(1.1) 
Em que ݍ௠ ൌ ܥ ଴ܸ é a carga máxima no capacitor, ߱ ൌ ሺܮܥሻିభమ é a frequência angular do circuito e ߶ 
é a fase inicial. (Veja, por exemplo – Física 4, D. 
Halliday e R. Resnick; 4ª edição; editora LTC, Rio 
de Janeiro, 1983). Para a intensidade de corrente 
no circuito, temos de (1.1): ݅ ൌ ݀ݍ݀ݐ �׵ ݅ ൌ െ߱ݍ௠ݏ݁݊ሺ߱ݐ െ ߶ሻ 
(1.2) 
Logo, de (1.2), temos para a intensidade de 
corrente máxima no indutor: 
݅௠ ൌ ߱ݍ௠ ׵ ݅௠ ൌ ଴ܸ ൬ܮܥ൰భమ 
(1.3) 
 Questão 2
Um circuito LC oscilante consistindo de um 
capacitor de 1,0 nF e de um bobina de 1,5 mH 
possui uma voltagem máxima de 2,0 V. Determine: 
(a) a carga máxima no capacitor, (b) a corrente 
máxima percorrendo o circuito, (c) a energia 
máxima armazenada no campo magnético da 
bobina. 
Resolução: 
a) Para a carga máxima, temos: ݍ௠ ൌ ܥ ଴ܸ ׵ ݍ௠ ൌ ʹ�݊ܥ 
 (2.1) 
b) Para a intensidade de corrente máxima, temos, 
de (1.3): 
 ݅௠ ൌ ଴ܸ ൬ܮܥ൰భమ ؆ ͳǡ͸͵�݉ܣ 
(2.2) 
 
c) A energia máxima armazenada na bobina é 
dada por: 
 ܷ஻ ൌ ܮ݅௠ଶʹ ؆ ͳǡͻͻ ή ͳͲିଽ�ܬ 
(2.3) 
 
 Questão 3
 
Num circuito LC oscilante, (a) que valor da 
carga, em termos da carga máxima no capacitor, 
está presente quando a energia é distribuída 
igualmente entre os campos elétrico e magnético? 
(b) Para que essa condição seja satisfeita, que 
fração de um período tem que transcorrer após o 
instante em que o capacitor se encontre 
plenamente carregado? 
Resolução: 
a) A energia máxima no referido circuito é dada 
por: 
 ܷ௠ ൌ ݍ௠ଶʹܥ 
(3.1) 
 
Ou em termos de corrente: 
 ܷ௠ ൌ ܮ݅௠ଶʹ 
(3.2) 
 
Tomando a energia distribuída uniformemente 
entre o capacitor e o indutor, podemos escrever 
que metade da energia total se encontra 
armazenada no capacitor. Assim, utilizando (3.1), 
teremos: 
 ܷ ൌ ܷ௠ʹ� 
 
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2 
ݍଶʹܥ ൌ ݍ௠ଶͶܥ �׵ ݍ ൌ ݍ௠ξʹ 
(3.3) 
 
b) Partindo do tempo inicial com a carga no 
capacitor sendo máxima, na metade do período, o 
campo elétrico no capacitor tem seu sentido 
invertido, mas com a mesma carga inicial. Para um 
quarto do período, toda a energia estará 
armazenada no indutor, e nenhuma carga estará 
presente no capacitor. Logo, temos que tomar, a 
partir do início, a oitava parte do período ቀݐ ൌ ଼்ቁ, 
onde teremos metade da energia em cada 
dispositivo. 
 Questão 4
Calcule o tempo necessário para carregar o 
capacitor descarregado de 8,0 pF, num circuito LC 
no qual a tensão máxima é de 1,0 mV e a corrente 
máxima é de 50 mA. 
Resolução: 
De (1.2), temos para a corrente máxima: ݅௠ ൌ ߱ܥ ଴ܸ 
(4.1) 
Utilizando os dados numéricos, temos: ߱ ൌ ͸ǡʹͷ ή ͳͲଵଶ�ݎܽ݀ ή ݏିଵ 
(4.2) 
Que conduz a um período dado por: ܶ ൌ ʹ߱ߨ ؆ ͳǡͲͳ ή ͳͲିଵଶ�ݏ 
(4.3) 
Partindo do início, onde o capacitor se encontra 
completamente descarregado, para um tempo 
correspondente a um quarto do período, o 
capacitor terá carga máxima. Assim, teremos: ݐ ൌ Ͷܶ ؆ ʹǡͷ͵ ή ͳͲିଵଷ�ݏ 
(4.4) 
 
 Questão 5
 
A fim de sintonizar o sinal de entrada de um 
rádio, utiliza-se um bonina e um capacitor variável 
com capacitância entre 20 e 500 pF. Calcule: (a) a 
razão entre as frequências máxima e mínima que 
podem ser sintonizadas com tal capacitor. (b) 
Para sintonizar as frequências num intervalo de 
0,54 a 1,60 MHz a razão calculada em (a) será 
grande demais. Adicionando-se um capacitor em 
paralelo com o capacitor variável, o intervalo de 
variação deste último pode ser ajustado. 
Determine a capacitância e a indutância 
necessárias para sintonizar o referido intervalo de 
frequências. 
Resolução: 
a) Para a requerida razão das frequências 
teremos: 
 ߱௠ž௫߱௠À௡ ൌ ቌͳ ܮܥଵൗͳ ܮܥଶൗ ቍ
భమ � ׵ ߱௠ž௫߱௠À௡ ൌ ൬ܥଶܥଵ൰భమ 
(5.1) 
 
Assim, utilizando os dados numéricos, teremos: 
 ߱௠ž௫߱௠À௡ ൌ ͷ 
(5.2) 
 
b) Quando adicionamos um capacitor em paralelo 
ao capacitor variável, temos para a capacitância 
equivalente, por exemplo, para a menor: 
 ܥ௘௤ଵ ൌ ܥ ൅ ܥଵ 
(5.3) 
 
A razão entre as frequências dadas é dada por: 
 ߥଶߥଵ ൌ ͳǡ͸ͲͲǡͷͶ ؆ ʹǡͻ͸ 
(5.4) 
 
Assim, utilizando a relação (5.1), temos: 
 ͷͲͲ ൅ ܥʹͲ ൅ ܥ ൌ ͺǡ͹͸� ׵ ܥ ؆ Ͷͳǡͻ�݌ܨ 
(5.5) 
 
 
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3 
Para a indutância, podemos utilizar uma das 
frequências dadas. Por exemplo, para a frequência 
de 0,54 MHz, temos: ߱ଵ ൌ ʹߨߥଵ ؆ ͵ǡ͵ͻ ή ͳͲ଺�ݎܽ݀ ή ݏିଵ 
(5.6) 
Agora, de (5.6), teremos: ߱ଵ ൌ ൫ܮܥ௘௤ଵ൯ିభమ � ׵ ܮ ؆ ͳǡ͸ ή ͳͲିସ�ܪ 
(5.7) 
Utilizando a outra frequência, obteremos um 
resultado igual ao resultado obtido em (5.7), pelo 
menos até a primeira casa decimal. 
 Questão 6
Um corpo de 20 kg oscila preso a uma mola 
que, quando distendida 2 cm da sua posição de 
equilíbrio, tem uma força restauradora de 5 N. 
Determine a capacitância do sistema LC análogo, 
com ܮ ൌ ͳǡͲ ή ͳͲିଷ�ܪ. 
Resolução: 
A frequência angular de oscilação de um sistema 
massa-mola é dada por: 
߱ ൌ ൬ ݇݉ ൰భమ 
(6.1) 
Em que ݇ ൌ ி௫ é a constante elástica. Para um 
circuito LC oscilar com a mesma frequência 
angular, teremos: ͳܮܥ ൌ ݇݉ 
(6.2) 
Agora utilizando os dados numéricos em (6.2), 
teremos: ܥ ൌ ݉݇ܮ ൌ ͺͲ�݌ܨ 
(6.3) 
 Questão 7
 
Num circuito LC, temos: ܮ ൌ ʹͲ�݉ܪ e ܥ ൌ ͺͲͲ�݌ܨ. Calcule a resistência de um resistor 
que deve ser adicionado ao circuito para que a 
frequência do circuito RLC livre obtido seja dada 
por ߱Ԣ ൌ Ͳǡͻ߱, onde ߱ é a frequência angular do 
circuito LC livre. 
Resolução: 
A frequência do circuito LC é dada por: 
 ߱ ൌ ሺܮܥሻିభమ 
(7.1) 
 
E a frequência do circuito RLC é dada por: 
 ߱Ԣ ൌ ቈ ͳܮܥ െ ൬ ܴʹܮ൰ଶ቉భమ 
(7.2) 
 
Assim, utilizando (7.1) e (7.2), teremos: 
 ቈ ͳܮܥ െ ൬ ܴʹܮ൰ଶ቉భమ ൌ Ͳǡͻ ൤ ͳܮܥ൨భమ ׵ ܴ ؆ Ͳǡͺͺ ൬ܮܥ൰భమ 
(7.3) 
 
Utilizando os dados numéricos, teremos: 
 ܴ ؆ ͶͶͲͲ�ȳ 
(7.4) 
 
 Questão 8
 
Num circuito LC amortecido, determine o 
tempo necessário para que a energia máxima 
presente no capacitor durante uma oscilação caia 
à metade da energia máxima presente durante a 
primeira oscilação. Suponha ݍ ൌ ݍ௠ em ݐ ൌ Ͳ. 
Resolução: 
A carga em no capacitor para esse circuito é dada 
por: 
 ݍ ൌ ݍ௠݁ିೃ೟మಽܿ݋ݏ߱Ԣݐ 
(8.1) 
 
 
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4 
Em que ߱Ԣ é dado por (7.2). (Veja, por exemplo – 
Física 4, D. Halliday e R. Resnick; 4ª edição; 
editora LTC, Rio de Janeiro, 1983). A energia 
máxima no capacitor é dada por (3.1). Para a 
energia máxima cair pela metade, a carga máxima 
no capacitor deverá ser igual a: ݍԢ௠ ൌ ݍ௠ξʹ 
(8.2) 
Logo, a amplitude dada em (8.1) deve cair para o 
valor dado em (8.2). Logo: ݍ௠ξʹ ൌ ݍ௠݁ିೃ೟మಽ�� Ž ʹ ൌ ܴݐܮ ��׵ ݐ ൌ Ž ʹಽೃ 
(8.3) 
 Questão 9
Mostre que, no caso de amortecimento fraco, a 
intensidade da corrente num circuito LC 
amortecido, é dada aproximadamente por: ݅ ൌ െݍ௠߱Ԣ݁ିೃ೟మಽݏ݁݊ሺ߱ᇱݐ ൅ ߶ሻ 
em que ߶ ൌ ܽݎܿݐ݃ ோଶ௅ఠᇱ. 
 
Resolução: 
Da equação (8.1), teremos: ݅ ൌ ݀ݍ݀ݐ ൌ െݍ௠݁ିೃ೟మಽ ൤ ܴʹܮ ܿ݋ݏ߱ᇱݐ ൅ ߱Ԣݏ݁݊߱Ԣݐ൨ 
(9.1) 
Poderemos utilizar a relação: ݏ݁݊ሺܣ േ ܤሻ ൌ ݏ݁݊ܣ�ܿ݋ݏܤ േ ܿ݋ݏܣ�ݏ݁݊ܤ 
(9.2) 
Comparando com (9.1), podemos ter: ݅ ൌ െݍ௠݁ିೃ೟మಽݏ݁݊ሺ߱ᇱݐ ൅ ߶ሻ 
(9.3) 
Desde que: 
 ݏ݁݊�߶ ൌ ܴʹܮ ��‡��ܿ݋ݏ�߶ ൌ ߱Ԣ 
(9.4) 
 
 Questão 10
 
“Q” de um circuito. Mostre que, no circuito LC 
amortecido, a fração 
୼௎௎ da energia perdida por 
ciclo é muito aproximadamente igual a 
ଶగோఠ௅ . A 
quantidade 
ఠ௅ோ é muitas vezes chamada o “Q” do 
circuito (inicial de “qualidade”). Um circuito de 
“alto Q” tem resistênciabaixa, e baixa perda 
relativa de energia por ciclo ቀൌ ଶగொ ቁ. 
Resolução: 
Por exemplo, para o primeiro ciclo, temos que a 
energia máxima é dada por: 
 ܷ௠ ൌ ݍ௠ଶʹܥ 
(10.1) 
 
Para o ciclo subsequente, de (8.1), a energia 
máxima será dada por: 
 ܷԢ௠ ൌ ݍ௠ଶʹܥ ή ݁ିଶగோ௅ఠᇱ 
(10.2) 
 
Em que ܶ ൌ ଶగఠᇱ. Assim, teremos: 
 οܷܷ ൌ ܷԢ௠ െ ܷ௠ܷ௠ ൌ ݁ିଶగோ௅ఠᇱ െ ͳ 
(10.3) 
 
Utilizando ݁௫ ؆ ͳ ൅ ݔ ൅ڮ Ǣ�െλ ൏ ݔ ൏ λ, (Veja: 
Manual de fórmulas e tabelas matemáticas, 
Coleção Schaum, McGraw Hill, Murray R. Spiegel, 
São Paulo , 1973), teremos: 
 οܷܷ ؆ െʹߨܴܮ߱Ԣ 
(10.4) 
 
O sinal negativo indica a perda de energia por 
ciclo. 
 
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5 
Obs.: Penso que na digitação da questão, foi 
esquecido o apóstrofo em ߱, no enunciado. Ainda 
que fosse desprezado o termo da resistência em ߱Ԣ, ver (7.2), fazendo ߱Ԣ ؆ ߱, o erro para tal 
aproximação é muito pequeno. Isto acontece 
devido à baixa resistência. 
 Questão 11
Seja ߥ଴ a frequência natural das oscilações de 
um circuito LC. Ligamos este circuito em série com 
uma resistência R. Supondo ߱଴ܮ ب ܴ, obtenha 
uma expressão aproximada para a determinação 
da variação relativa da frequência de ressonância. 
Resolução: 
Seja a frequência natural dada por: ߱଴ ൌ ʹߨߥ଴ ൌ ሺܮܥሻିభమ 
(11.1) 
A frequência para o circuito LC amortecido é dada 
por (7.2). Logo: 
ʹߨߥ ൌ ቈ ͳܮܥ െ ൬ ܴʹܮ൰ଶ቉భమ 
(11.2) 
Substituindo (11.1) em (11.2), teremos: 
ʹߨߥ ൌ ʹߨߥ଴ ቈͳ െ ൬ ܴʹߨߥ଴ʹܮ൰ଶ቉భమ 
(11.3) 
Utilizando ሺͳ ൅ ݔሻభమ ؆ ͳ ൅ ௫ଶ ൅ڮ Ǣ�െͳ ൏ ݔ ൑ ͳ, 
(Veja: Manual de fórmulas e tabelas matemáticas, 
Coleção Schaum, McGraw Hill, Murray R. Spiegel, 
São Paulo , 1973), teremos: ߥ ؆ ߥ଴ െ ߥ଴߱଴ ή ܴଶͺܮଶ �� ׵ ߥ଴ െ ߥߥ଴ ൌ ܴଶܥͺܮ 
(11.4) 
Em que ߱଴ é dado por (11.1), e para chegar a 
(11.4), utilizou-se o fato de que ߱଴ܮ ب ܴ. 
 Questão 12
 
Numa cavidade ressonante cilíndrica o raio da 
cavidade vale 2 cm; determine a frequência 
angular das oscilações eletromagnéticas no 
interior desta cavidade. 
Resolução: 
A frequência angular para a cavidade ressonante 
cilíndrica é dada por: 
 ߱ ൌ ʹǡͶͳܿܽ 
(12.1) 
 
Em que ܿ ؆ ͵ ή ͳͲ଼�݉ ή ݏିଵ é a velocidade da 
radiação eletromagnética no vácuo e a é o raio da 
cavidade. (Veja, por exemplo – Física 4, D. Halliday 
e R. Resnick; 4ª edição; editora LTC, Rio de 
Janeiro, 1983). Assim, teremos: 
 ߱ ؆ ͵ǡ͸ʹ ή ͳͲଵ଴�ݎܽ݀ ή ݏିଵ 
(12.2) 
 
 Questão 13
 
Considere o circuito da figura 13.1. A chave S é 
fechada para ݐ� ൌ �Ͳ, produzindo uma corrente ݅ଵ 
que passa através do ramo do indutor e uma 
corrente ݅ଶ que passa através do ramo do 
capacitor. A carga inicial do capacitor é igual a 
zero e a carga no instante t é igual a ݍଶ. A) Deduza 
expressões para ݅ଵǡ ݅ଶ�‡�ݍଶ em função do tempo. 
Expresse as respostas em termos de ࣟǡ ܮǡ ܥǡ ܴଵǡ ܴଶ�‡�ݐ. Para o restante deste problema, 
use os seguintes valores para os elementos do 
circuito: ࣟ ൌ Ͷͺ�ܸǡ ܮ ൌ ͺǡͲ�ܪǡ ܥ ൌ ʹͲ�ߤܨǡ ܴଵ ൌʹͷ�ȳ�‡�ܴଶ ൌ ͷͲͲͲ�ȳ. B) Qual é a corrente inicial 
que passa através do ramo do indutor? Qual é a 
corrente inicial que passa através do ramo do 
capacitor? C) Quais são as correntes que passam 
através do ramo do indutor e do ramo do 
capacitor um longo tempo depois de a chave ser 
fechada? Qual é a duração desse “longo tempo”. 
Explique. D) Para qual tempo ݐଵ (com precisão de 
dois algarismos significativos) a corrente ݅ଵ torna-
se igual a ݅ଶ? (Dica: Você deve considerar os 
desenvolvimentos em série da função 
exponencial.). E) Calcule ݅ଵ para as condições 
especificadas no item (D). F) A corrente total 
através do da bateria é ݅ ൌ ݅ଵ ൅ ݅ଶ. Para qual 
 
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6 
tempo ݐଶ (com precisão de dois algarismos 
significativos) a corrente i torna-se igual a um 
meio de seu valor final? (Dica: O cálculo numérico 
pode ser simplificado se você fizer aproximações 
adequadas. Um desenho de ݅ଵ�‡�†‡�݅ଶ em função de 
t pode ajudar a decidir qual é a aproximação 
válida.) 
Figura 13.1 
Resolução: 
A) Para o ramo do indutor, temos: ࣟ ൌ ܴଵ݅ଵ ൅ ܮ ݀݅ଵ݀ݐ 
(13.1) 
A solução de (13.1) é bem conhecida e é dada por: ݅ଵ ൌ ܴࣟଵ ቀͳ െ ݁ିೃభ೟ಽ ቁ 
(13.2) 
Sendo que para ݐ ൌ Ͳ ֜ ݅ଵ ൌ Ͳ. Agora para o ramo 
do capacitor, temos: ࣟ ൌ ܴଶ݅ଶ ൅ ݍଶܥ 
(13.3) 
Em que ݅ଶ ൌ ௗ௤మௗ௧ . Logo, (13.3) se torna: ࣟ ൌ ܴଶ ݀ݍଶ݀ݐ ൅ ݍଶܥ 
(13.4) 
Cujo resultado é bastante conhecido, e é dado por: 
݅ଶ ൌ ܴࣟଶ ݁ି ೟ೃమ಴ 
(13.5) 
 
Sendo que para ݐ ൌ Ͳ ֜ ݅ଶ ൌ ࣟோమ. 
B) Conforme as condições iniciais: ݅ଵ ൌ Ͳ�‡�݅ଶ ൌ ࣟோమ. 
C) Para que as condições estacionárias se 
estabeleçam, o intervalo de tempo deve ser muito 
grande ሺݐ ՜ λሻ. Assim, utilizando os dados 
numéricos e (13.2), teremos: 
 ݅ଵ ՜ ܴࣟଵ ൌ ͳǡͻʹ�ܣ 
(13.6) 
 
E de (13.5): 
 ݅ଶ ՜ Ͳ 
(13.7) 
 
D) Utilizando as expressões de (13.2) e (13.5), 
teremos: 
 ܴࣟଵ ቀͳ െ ݁ିೃభ೟ಽ ቁ ൌ ܴࣟଶ ݁ି ೟ೃమ಴�� ͳ െ ݁ିೃభ೟ಽ ൌ ܴଵܴଶ ݁ି ೟ೃమ಴ 
(13.8) 
 
Utilizando a expansão da exponencial, conforme 
foi utilizada na Questão 9, teremos: 
 ݐ ቆͳܮ ൅ ͳܴଶଶܥቇ ൌ ͳܴଶ 
(13.9) 
 
Utilizando os dados numéricos em (13.9), 
teremos: 
 ݐ ؆ ͳǡ͸ ή ͳͲିଷ�ݏ 
(13.10) 
 
E) Utilizando o resultado de (13.10) em (13.2), 
teremos: 
 ݅ଵ ؆ ͻǡ͸�݉ܣ 
(13.11) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ࣟ 
ܵ ܴଵ 
ܴʹ 
ܮ 
ܥ 
 
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7 
F) Utilizando (13.2) e (13.5), teremos para a 
corrente total: ݅ ൌ ࣟ ൤ ͳܴଵ ቀͳ െ ݁ିೃభ೟ಽ ቁ ൅ ͳܴଶ ݁ି ೟ೃమ಴൨ 
(13.12) 
A corrente final é dada por (13.6), logo, tomando a 
metade, teremos: Ͳǡͻ͸ ൌ Ͷͺ ൤ ͳʹͷ ቀͳ െ ݁ିమఱ೟ఴ ቁ ൅ ͳͷ ή ͳͲଷ ݁ି ೟బǡభ൨ 
(13.13) 
Com o auxílio de uma planilha poderemos 
confeccionar o gráfico de i X t. No entanto, pode 
ser muito laborioso mesmo com o referido auxílio. 
Então, vamos partir do tempo um pouco superior 
ao que foi encontrado em (13.10) até um valor de 
0,3 s (pode-se plotar até 1 s, porém um valor 
menor já é suficiente). 
 
Figura 13.2 
Observando o gráfico da figura 13.2, podemos 
concluir que o instante procurado está entre 0,2 s 
e 0,25 s. Agora efetuando outra plotagem, 
podemos encontrar o instante procurado. 
 
Figura 13.3 
O instante mais próximo é o de 0,22 s. Para esse 
instante, o gráfico confere uma corrente de 
aproximadamente 0,956 A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,85
0,9
0,95
1
1,05
0,2 0,22 0,24
i(
A
) 
t (s) 
i X t 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 0,1 0,2 0,3 0,4
i(
A
) 
t(s)
i X t

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