Física 4-04

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 Prof. A.F.Guimarães 
Física 4 – Questões 04 
 Questão 1
Considere uma escala em que cada milímetro 
de papel corresponda a ͳͲଵହ�ܪݖ. (a) Calcule a 
distância, sobre a escala, em milímetros, entre o 
ponto correspondente a uma onda ultravioleta 
(com frequência de ͳͲଵ଺�ܪݖ) e o ponto 
correspondente a uma onda de Raio X (com 
frequência de ͳͲଵ଼�ܪݖ). (b) Considere uma escala 
tal que os pontos sejam obtidos pela relação: ܼ ൌ Ž‘‰ଵ଴ ߥ, onde Z é dado em centímetros. Calcule 
a distância em centímetros, entre os pontos 
referentes às frequências mencionadas no item 
anterior. 
Resolução: 
a) Tomando a diferença: ͳͲଵ଼ െ ͳͲଵ଺ ൌ ͳͲଵହሺͳͲଷ െ ͳͲሻ ൌ ͻͻͲ ή ͳͲଵହ ׵ ͻͻͲ�݉݉ 
(1.1) 
b) Tomando o logaritmo e depois a diferença: 
 �ଵ଴భఴ െ �ଵ଴భల ൌ Ž‘‰ଵ଴ ͳͲଵ଼ െ Ž‘‰ଵ଴ ͳͲଵ଺�� ׵ �ଵ଴భఴ െ �ଵ଴భల ൌ ʹ�ܿ݉ 
(1.2) 
 Questão 2
O raio médio da Terra é de ͸ǡͶ ή ͳͲ଺�݉ e a 
distância média da Terra-Sol é de ͳǡͷ ή ͳͲ଼�݇݉. 
Qual é a fração da radiação eletromagnética 
emitida pelo Sol que é interceptada pelo disco da 
Terra? Suponha uma lei que varie com o inverso 
do quadrado da distância para o decréscimo da 
intensidade, medida em ܹ ή ݉ିଶ. 
Resolução: 
Seja ଴ܲ a taxa de emissão de energia pelo Sol e ܲԢ a 
taxa de energia interceptada pela Terra. Assim, 
teremos: 
଴ܲͶߨܦ்ିௌଶ ൌ ܲᇱߨܴଶ் �� ܲԢ଴ܲ ൌ ܴଶ்Ͷܦ்ିௌଶ ؆ Ͷǡ͸ ή ͳͲିଵ଴ 
(2.1) 
Em que ܦ்ିௌ é a distância que separa a Terra do 
Sol e ்ܴ é o raio da Terra. 
 
 Questão 3
 
O nosso vizinho estelar mais próximo, Alfa do 
Centauro, encontra-se a 43 anos-luz de distância. 
Foi sugerido que programas de TV do nosso 
planeta alcançaram essa estrela, podendo ter sido 
vistos pelos hipotéticos habitantes de um 
hipotético planeta em órbita dessa estrela. A Lua 
encontra-se a ͵ǡͺ ή ͳͲହ�݇݉ da Terra e talvez os 
seus hipotéticos habitantes (que sempre se 
escondem quando uma nave espacial se 
aproxima) também observem esses programas. 
Pela lei do inverso do quadrado da distância, qual 
seria a razão entre as intensidades desses sinais, 
medidos em ܹ ή ݉ିଶ, para a Lua e para Alfa do 
Centauro? 
Resolução: 
Sejam ܫ௅ �‡�ܫ஺஼ as intensidades medidas 
respectivamente na Lua e em Alfa do Centauro. A 
distância em metros que separa a Terra de Alfa do 
Centauro vale: 
 ܦ்ି஺஼ ൌ Ͷ͵ ή ͵͸ͷ ή ʹͶ ή ͵͸ͲͲ ή ͵ ή ͳͲ଼ ׵ ܦ்ି஺஼ ؆ Ͷǡͳ ή ͳͲଵ଻݉ 
(3.1) 
 
Agora, utilizando a relação da intensidade ܫ ൌ ଴ܲ ͶߨݎଶΤ , teremos: 
 ܫ௅ܫ஺஼ ൌ ܦ்ି஺஼ଶܦ்ି௅ଶ � ׵ ܫ௅ܫ஺஼ ؆ ͳǡͳ͸ ή ͳͲଵ଼ 
(3.2) 
 
Em que ܦ்ି௅ é a distância que separa a Terra da 
Lua. 
 
 Questão 4
 
Um cabo coaxial é feito de um fio central de 
raio a, envolto por um tubo fino de metal de raio b. 
Faz-se vácuo no espaço entre os condutores. (a) 
 
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Determinar a capacitância por unidade de 
comprimento deste cabo coaxial. (Sugestão: 
Imaginar cargas opostas e iguais no fio e no tubo.) 
(b) Determinar a indutância por unidade de 
comprimento deste cabo coaxial. (Sugestão: 
Imaginar uma corrente i atravessando o fio 
central e voltando ao longo do tubo.). 
Resolução: 
a) Utilizando o que foi sugerido, teremos: රܧሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ ߳ݍ଴ 
(4.1) 
Em que q é a carga contida no fio central. A 
superfície gaussiana adotada será a de um cilindro 
de raio r e comprimento l. Assim, teremos para o 
campo elétrico: ܧ ൌ ݍʹߨ߳଴ݎ݈ 
(4.2) 
A tensão elétrica entre o fio central e o tubo será 
dada por: 
ܸ ൌ න ܧሬԦ ή ݀ݎԦ௕௔ �� ܸ ൌ ݍʹߨ߳଴݈ න ݀ݎݎ௕௔ � ׵ ܸ ൌ ݍʹߨ߳଴݈ ή Ž ܾܽ 
(4.3) 
Agora, utilizando a definição de capacitância, 
teremos: ܥ ൌ ܸݍ �� ׵ ݈ܥ ൌ ʹߨ߳଴Ž ܾܽ 
(4.4) 
b) Para a indutância, utilizaremos um 
procedimento semelhante. O campo de indução 
magnética, devido à corrente que percorre o fio 
central é dado por: ܤ ൌ ߤ଴ʹߨ ή ݅ݎ 
(4.5) 
Em que ܽ ൏ ݎ ൏ ܾ. Agora, calculando o fluxo do 
campo de indução magnética através de um 
retângulo de lado dado por ݄ ൌ ܾ�Ȃ �ܽ, teremos: 
 Ȱ஻ ൌ නܤሬԦ ή ݀ܣԦ� Ȱ஻ ൌ ߤ଴݈݅ʹߨ න ݀ݎݎ௕௔ �� ׵ Ȱ஻ ൌ ߤ଴݈݅ʹߨ Ž ܾܽ 
(4.6) 
 
 
Em que ݀ܣ ൌ ݈݀ݎ. Utilizando a definição de 
indutância, teremos: 
 ܮ ൌ Ȱ஻݅ � ׵ ݈ܮ ൌ ߤ଴ʹߨ Ž ܾܽ 
(4.7) 
 
 Questão 5
 
Considere um guia retangular de ʹǤͷ�ܿ݉. (a) 
Qual deve ser o comprimento de onda no vácuo da 
radiação se a energia associada deve percorrer ͳͳͲ�݉ do guia em ͳǡͲ�ߤݏ? (b) Qual é, nessas 
condições, a velocidade de fase no guia? 
Resolução: 
a) A velocidade de grupo em um guia de ondas é 
dada por: 
 ݒ௚ ൌ ܿ ή ඨͳ െ ൬ ʹܽߣ ൰ଶ 
 (5.1) 
 
Utilizando os dados numéricos em (5.1), teremos: �� ͳͳͲͳ ή ͳͲି଺ ൌ ͵ ή ͳͲ଼ ή ඨͳ െ ൬ߣͷ൰ଶ�� ׵ ߣ ൌ Ͷǡ͹�ܿ݉ 
(5.2) 
 
b) A velocidade de fase no guia de ondas é dada 
por: 
 ݒ௙ ൌ ܿටͳ െ ቀ ʹܽߣ ቁଶ 
(5.3) 
 
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Utilizando os dados numéricos em (5.3), teremos: ݒ௙ ൌ ͵ ή ͳͲ଼Ͳǡ͵͹ ؆ ͺǡͳ ή ͳͲ଼�݉ ή ݏିଵ 
(5.4) 
Obs.: Para (5.1) e (5.3) veja: Física 4, Halliday e 
Resnick 4ª edição. Editora LTC, 1990, Rio de 
Janeiro. Pág. 70. 
 Questão 6
Suponha que um guia de onda de ͺǡͲ�ܿ݉ de 
largura esteja operando no modo fundamental ao 
transmitir uma radiação cujo comprimento de 
onda no vácuo é ͳͲ�ܿ݉. Determine: (a) o 
comprimento de onda de guia, (b) o comprimento 
de onda de corte, para esse guia. 
Resolução: 
a) Para o comprimento de onda no guia de ondas, 
teremos: ߣ௚ ൌ ߣටͳ െ ቀ ʹܽߣ ቁଶ 
(6.1) 
Utilizando os dados numéricos em (6.1), teremos: ߣ௚ ൌ ͳͲටͳ െ ቀͳͲͺቁଶ ؆ ͳʹǡͺ�ܿ݉ 
(6.2) 
b) Para a onda se propagar no guia de ondas, a 
velocidade de grupo dessa onda deve ser 
estritamente positiva. Então, para o comprimento 
de onda de corte, a velocidade de grupo deve ser 
nula. Logo, utilizando (5.1), teremos: 
Ͳ ൌ ܿඨͳ െ ൬ ʹܽߣ ൰ଶ � ׵ ߣ௖ ൌ ʹܽ ൌ ͳ͸�ܿ݉ 
(6.3) 
Obs.: Para (6.1) veja: Física 4, Halliday e Resnick 
4ª edição. Editora LTC, 1990, Rio de Janeiro. Págs. 
70 e 71. 
 Questão 7
 
Uma onda eletromagnética está se deslocando 
ao longo da direção dos y negativos. Numa certa 
posição e num determinado instante, o campo 
elétrico está ao longo do eixo 0z, no sentido 
positivo, e tem um módulo de ʹͲͲ�ܸ ή ݉ିଵ. Quais 
são o sentido e o módulo do campo magnético? 
Resolução: 
O diagrama da figura 7.1 mostra as referidas 
direções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7.1 
 
A relação entre o campo elétrico e o campo de 
indução magnética é dada por: 
 
 ܧ ൌ ܿܤ ׵ ܤ ൌ ʹͲͲ͵ ή ͳͲ଼ ؆ ͸ǡ͸͹ ή ͳͲି଻ܶ 
(7.1) 
 
Podemos observar do diagrama da figura 7.1 que 
o vetor vermelho que é dado pelo produto vetorial 
entre os vetores campo elétrico e campo de 
indução magnética, fornece a orientação da 
propagação da onda. Assim, o vetor campo de 
indução magnética deve necessariamente ser 
orientado, nesse instante, na direção de x 
negativo. 
 
 Questão 8
 
Considere uma onda eletromagnética plana 
progressiva. Escreva uma expressão para a 
densidade de corrente de deslocamento ݆ௗ em 
função do tempo e da posição. 
Resolução: 
 
Vamos tomar como expressão do componente 
elétrico de uma onda plana a seguinte função: 
 
x 
y 
z ܧሬԦ 
ܧሬԦ ר ܤሬԦ 
 
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ܧ ൌ ܧ௠ݏ݁݊ሺ݇ݔ െ ߱ݐሻ 
(8.1) 
A corrente de deslocamento é dada por: ݅ௗ ൌ ߳଴ ݀Ȱா݀ݐ 
(8.2) 
Logo, a densidade de corrente será: 
 ݆ௗ ൌ ߳଴ ݀�݀ݐ 
(8.3) 
Utilizando (8.1), teremos: ݆ௗ ൌ െ߱߳଴ܧ௠ܿ݋ݏሺ݇ݔ െ ߱ݐሻ 
(8.4) 
 Questão 9
Partindo das equações: డாడ௫ ൌ െ డ஻డ௧ ��‡�� డ஻డ௫ ൌ െߤ଴߳଴ డாడ௧ , 
 
mostrar que E satisfaz à “equação de onda”: డమாడ௫మ ൌ ߤ଴߳଴ డమாడ௧మ . 
B satisfaz à equação de onda? 
Resolução: 
Seja 
డாడ௫ ൌ െ డ஻డ௧ , derivando com relação à variável x, 
teremos: ߲ଶܧ߲ݔଶ ൌ െ ߲ଶܤ߲ݔ߲ݐ 
(9.1) 
Agora, utilizando 
డ஻డ௫ ൌ െߤ଴߳଴ డாడ௧ e derivando com 
relação ao tempo, teremos: ߲ଶܤ߲ݐ߲ݔ ൌ െߤ଴߳଴ ߲ଶܧ߲ݐଶ 
(9.2) 
Comparando (9.1) e (9.2),teremos: 
߲ଶܧ߲ݔଶ ൌ ߤ଴߳଴ ߲ଶܧ߲ݐଶ 
(9.3) 
 
Em que (9.3) representa a equação de onda. De 
forma similar, para o campo de indução 
magnética, teremos: 
 ߲ଶܧ߲ݐ߲ݔ ൌ െ߲ଶܤ߲ݐଶ 
(9.4) 
 
E 
 ߲ଶܤ߲ݔଶ ൌ െߤ଴߳଴ ߲ଶܧ߲ݔ߲ݐ 
(9.5) 
 
Comparando (9.4) e (9.5), teremos: 
 ߲ଶܤ߲ݔଶ ൌ ߤ଴߳଴ ߲ଶܤ߲ݐଶ 
(9.6) 
 
A equação (9.6) representa a equação de onda 
para o componente magnético. 
 
 Questão 10
 
Escreva a expressão da corrente de 
deslocamento de um feixe de onda 
eletromagnéticas, através de um retângulo de 
altura ݄ e largura ݀ݔ perpendicular ao campo 
elétrico da onda eletromagnética. 
Resolução: 
A densidade de corrente é dada por: 
 ݆ ൌ ݀݅݀ܣ 
(10.1) 
 
Em que dA é o elemento de área perpendicular à 
corrente. Assim, aproveitando (8.4), teremos: 
 ݀݅ௗ ൌ ݆ௗ݀ܣǢ ��݀ܣ ൌ ݄݀ݔ�� ݀݅ௗ ൌ െ݄߱߳଴ܧ௠ܿ݋ݏሺ݇ݔ െ ߱ݐሻ݀ݔ 
(10.2) 
 
 
 
 
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 Questão 11
A luz solar incide na alta atmosfera terrestre à 
razão de 2,0 calorias por centímetro quadrado e 
por minuto. Calcule ܧ௠ e ܤ௠ para a luz solar, 
supondo-se que ela seja uma radiação com 
campos uniformes. 
Resolução: 
Convertendo a taxa de transferência de energia 
teremos: ܵҧ ൌ ͺǡ͵͹ ή ͳͲସܬ ή ݉ିଶ ή ݏିଵ 
(11.1) 
Em que ܵҧ representa a média do módulo do vetor 
de Poynting (Intensidade), que por sua vez é dado 
por: ܵҧ ൌ ܧ௠ܤ௠ʹߤ଴ 
(11.2) 
Vamos utilizar a relação: ܧ௠ ൌ ܿܤ௠ em (11.2), 
juntamente com (11.1). Assim teremos: ͺǡ͵͹ ή ͳͲସ ൌ ܧ௠ଶ͵ ή ͳͲ଼ ή ͺߨ ή ͳͲି଻�� ׵ ܧ௠ ؆ ͺ ή ͳͲଷ�ܸ ή ݉ିଵ 
(11.3) 
Logo, para o campo de indução magnética 
teremos: ܤ௠ ൌ ܧ௠ܿ ൌ ʹǡ͹ ή ͳͲିହ�ܶ 
(11.4) 
 Questão 12
Um cabo coaxial (raio interno a, raio externo b) 
é usado como uma linha de transmissão entre 
uma bateria ࣟ e um resistor R, como mostra a 
figura 12.1. (a) Calcule ܧǡ ܤ para ܽ ൏ ݎ ൏ ܾ. (b) 
Calcular o vetor de Poynting S para ܽ ൏ ݎ ൏ ܾ. (c) 
Por meio de uma integração conveniente do vetor 
de Poynting, mostrar que a potência total, 
escoando através da seção transversal anular ܽ ൏ ݎ ൏ ܾ é ࣟଶ ܴΤ . Isso é razoável? (d) Mostrar 
que o sentido de S é sempre da bateria para o 
resistor, não importando de que forma a bateria 
esteja ligada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12.1 
 
Resolução: 
O circuito representado na figura 12.1 pode ser 
considerado como um capacitor ligado em 
paralelo ao resistor. A carga do capacitor na 
situação de equilíbrio vale: 
 ܳ ൌ ܥࣟ 
(12.1) 
 
Em que C é a capacitância do capacitor cilíndrico, 
que é dada por (4.4). Utilizando a lei de Gauss 
para o cilindro interno, teremos: 
 රܧሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ ʹߨ݈Ž ௕௔ ή ࣟ� ׵ ܧ ൌ ࣟݎ ή Ž ௕௔ 
(12.2) 
 
Levando em consideração que o cilindro interno 
foi carregado com carga positiva, o campo elétrico 
aponta na direção radial no sentido divergente. 
 Para o campo de indução magnética, teremos: 
 ܤ ൌ ߤ଴݅ʹߨݎ 
(12.3) 
 
Em que ݅ ൌ ࣟோ. De acordo com a regra da mão 
direita, o campo de indução magnética está 
orientado no sentido anti-horário para quem 
observa o circuito a partir da bateria. O vetor de 
Poynting é dado por: 
 
b bb
a 
ࣟ�
R 
 
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Ԧܵ ൌ ͳߤ଴ ή ܧሬԦ ר ܤሬԦ 
(12.4) 
Como o campo elétrico aponta para fora do 
cilindro interno e o campo de indução é 
perpendicular ao primeiro, o vetor de Poynting 
aponta da bateria para o resistor. Se os polos da 
bateria fossem invertidos, o campo elétrico 
apontaria para dentro do cilindro interno e o 
campo de indução magnética teria sua orientação 
invertida, no entanto, o vetor de Poynting 
manteria sua orientação. O módulo do vetor de 
Poynting será dado por: ܵ ൌ ࣟଶʹߨݎଶܴ Ž ௕௔ 
(12.5) 
Tomando o elemento de área anelar por: ݀ܣ ൌ ʹߨݎ�݀ݎ 
(12.6) 
Poderemos integrar e obter a taxa total de 
energia. Assim, teremos: ܲ ൌ න Ԧܵ ή ݀ܣԦ�� ܲ ൌ ࣟଶܴ Ž ௕௔න ݀ݎݎ௕௔ �� ׵ ܲ ൌ ࣟ ଶܴ 
(12.7) 
O resultado de (12.7) representa a taxa de 
transferência de energia da bateria para o resistor, 
que por sua vez dissipa energia na mesma taxa. 
 Questão 13
Um avião voando a uma distância de Ͷͷǡ͹�݇݉ 
de um transmissor de rádio recebe um sinal de 
potência igual a ͻǡͷ ή ͳͲିହ�ܹ ή ݉ିଶ. Calcule: (a) o 
valor eficaz do campo elétrico medido no avião. 
(b) o valor eficaz do campo magnético. (c) 
Suponha que o transmissor de rádio irradie 
isotropicamente, determinar a potência média 
total irradiada pelo transmissor. 
Resolução: 
a) A intensidade da onda é dada por (11.2). E 
utilizando a relação entre o campo elétrico e o 
campo magnético, teremos: 
 ܵҧ ൌ ܧ௠ଶʹߤ଴ܿ 
(13.1) 
 
Substituindo os dados numéricos, teremos: 
 ͻǡͷ ή ͳͲିହ ൌ ܧ௠ଶʹ ή Ͷߨ ή ͳͲି଻ ή ͵ ή ͳͲ଼�� ׵ ܧ௠ ൌ Ͳǡʹ͹�ܸ ή ݉ିଵ 
(13.2) 
 
Assim, para o valor eficaz, teremos: 
 ܧ௘௙ ൌ ܧ௠ξʹ ؆ Ͳǡͳͻ�ܸ ή ݉ିଵ 
(13.3) 
 
b) O valor eficaz do campo magnético será: 
 ܤ௘௙ ൌ ܧ௘௙ܿ ؆ ͸ǡ͵ ή ͳͲିଵ଴�ܶ 
(13.4) 
 
c) A potência média total será: 
 ܲ ൌ ܵҧ ή Ͷߨݎଶ ൌ ͻǡͷ ή ͳͲିହ ή Ͷߨ ή ʹǡͳ ή ͳͲଽ�� ׵ ܲ ൌ ʹǡ͸ ή ͳͲ଺�ܹ 
(13.5) 
 
 Questão 14
 
Uma onda eletromagnética plana possui 
comprimento de onda igual a ͳǡͷ�݉. A onda se 
propaga no vácuo no sentido positivo do eixo Ͳݔ. 
A amplitude do campo elétrico vale ʹͲͲ�ܸ ή ݉ିଵ. 
Determine: (a) o valor de k, (b) o valor de ߱, (c) a 
equação da onda elétrica, (d) o módulo do vetor 
de Poynting, (e) a potência recebida por uma 
superfície plana, de ʹ�݉ଶ de área, colocada 
perpendicularmente à direção de propagação da 
onda. 
Resolução: 
a) O número de onda é dado por: 
 
 
 
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7 
݇ ൌ ʹߨߣ 
(14.1) 
Assim, utilizando os dados numéricos: ݇ ൌ Ͷ͵ߨ �݉ିଵ 
(14.2) 
b) A frequência angular é dada por: ߱ ൌ ܿ ή ݇�� ׵ ߱ ൌ Ͷߨ ή ͳͲ଼�ݎܽ݀ ή ݏିଵ 
(14.3) 
c) A equação da onda elétrica: ܧ ൌ ʹͲͲݏ݁݊ ቂͶߨ ቀ͵ݔ െ ͳͲ଼ݐቁቃ 
(14.4) 
d) O módulo do vetor de Poynting: ܵ ൌ ܧ௠ଶʹߤ଴ܿ�� ׵ ܵ ؆ ͳͲ͸ǡͳ�ܹ ή ݉ିଶ 
(14.5) 
e) A potência recebida: ܲ ൌ ܵ ή ܣ�� ܲ ൌ ͳͲ͸ǡͳ ή ʹ�� ׵ ܲ ൌ ʹͳʹǡʹ�ܹ 
(14.6) 
 Questão 15
Um cilindro longo côncavo (raio R, 
comprimento l) transporta uma carga uniforme ߪ 
por unidade de área em sua superfície. Um torque 
aplicado externamente faz com que o cilindro gire 
com aceleração constante ߱ሺݐሻ ൌ ߙݐ em torno do 
eixo do cilindro. (a) Determinar B dentro do 
cilindro (trata-lo como um solenoide). (b) 
Determinar E na superfície interna do cilindro. (c) 
Determinar S na superfície interna do cilindro. (d) 
Mostrar que o fluxo de S penetrando no interior 
do volume do cilindro é igual a 
ௗௗ௧ ቀగோమ௟ଶఓబ ܤଶቁ. 
 
Resolução: 
a) Considere a figura 15.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 15.1 
 
A densidade superficial de carga é dada por: 
 ߪ ൌ ݍʹߨܴ݈ 
(15.1) 
 
De (15.1) podemos encontrar a densidade linear 
de carga, que será: 
 ߣ ൌ ݈ݍ ൌ ʹߨܴߪ 
(15.2) 
 
Vamos utilizar a lei de Ampère para o percurso 
retangular de comprimento h. Para o observador, 
no sentido horário: 
 රܤሬԦ ή ݀Ԧ݈ ൌ ߤ଴݅ 
(15.3) 
 
Em que ݅ é a intensidade de corrente encerrada 
dentro do retângulo. Por razões de simetrias, só a 
parte interna ao cilindro contribui na integração. 
Logo, podemos escrever: 
 ܤ݄ ൌ ߤ଴ ή ݀ݍԢ݀ݐ 
(15.4) 
 
Em que 
ௗ௤ௗ௧ representa a taxa de transporte de 
carga através do plano do retângulo. Utilizando a 
densidade de carga dada em (15.2), teremos: 
 ݍᇱ ൌ ݄ ή ʹߨܴ ή ߪ 
(15.5) 
݈�
݄ 
ߪ 
ሬ߱ሬԦሺݐሻ ܴ 
a 
 
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8 
Em que: ݏ ൌ ʹߨܴ 
(15.6) 
Em (15.6) temos o espaço percorrido pelas cargas. 
No movimento circular, temos: ݀ݏ݀ݐ ൌ ܴ߱ 
(15.7) 
Logo, tomando a taxa de variação da carga no 
retângulo, teremos: ݀ݍԢ݀ݐ ൌ ݄ߪܴ߱ 
(15.8) 
Utilizando (15.8) em (15.4), teremos: ܤ ൌ ߤ଴ߪܴ߱ 
(15.9) 
No entanto, ߱ ൌ ߙݐ, logo: ܤ ൌ ߤ଴ߪܴߙݐ 
(15.10) 
b) Pelalei de Faraday podemos determinar o 
campo elétrico na superfície do cilindro. Seja o 
caminho de integração o próprio comprimento da 
base do cilindro. Assim, teremos: රܧሬԦ ή ݀Ԧ݈ ൌ െ݀Ȱ஻݀ݐ �� ܧ ή ʹߨܴ ൌ ߨܴଶ ݀݀ܤݐ 
(15.11) 
Utilizando (15.10) em (15.11), teremos: ܧ ൌ ߤ଴ߪʹ ή ܴଶߙ 
(15.12) 
Para a integração adotamos um observador na 
extremidade a do cilindro e efetuou-se a 
integração no sentido anti-horário (veja figura 
15.2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 15.2 
 
c) Observando a figura 15.2, podemos concluir 
que o vetor de Poynting aponta para o centro do 
cilindro. Como os campos elétricos e de indução 
magnética são perpendiculares entre si, teremos 
para o módulo do vetor de Poynting: 
 ܵ ൌ ܧ ή ܤߤ଴ 
(15.13) 
 
Utilizando (15.10) e (15.12) em (15.13), teremos: 
 ܵ ൌ ߤ଴ʹ ή ߪଶܴଷߙଶݐ 
(15.14) 
 
d) O fluxo do vetor de Poynting é dado por: 
 Ȱௌ ൌ න Ԧܵ ή ݀ܣԦ 
(15.15) 
 
Em que A é a área lateral do cilindro, por onde 
entra o referido vetor. Logo, o fluxo será dado por: 
 Ȱௌ ൌ ߤ଴ʹ ή ߪଶܴଷߙଶݐ ή ʹߨܴ݈ 
(15.16) 
 
Rearranjando os fatores de (15.16), temos: 
 Ȱௌ ൌ ݈ʹ ή ʹߨܴଶߪܴߙ ή ܤ 
(15.17) 
 
Em que ܤ é dado por (15.10). Agora, tomando a 
derivada de ܤଶ, teremos: 
 
۪ ۪۪ ۪۪ ܤሬԦ ۪۪۪࣓۪ሬሬሬԦ 
ܧሬԦ 
ࡿሬሬԦ 
 
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9 
݀ሺܤଶሻ݀ݐ ൌ ʹܤ ή ߤ଴ߪܴߙ 
(15.18) 
Utilizando (15.18) em (15.17), teremos: Ȱௌ ൌ ߨܴଶ݈ʹߤ଴ ή ݀ሺܤଶሻ݀ݐ �� ׵ Ȱௌ ൌ ݀݀ݐ ቆߨܴଶ݈ʹߤ଴ ή ܤଶቇ 
(15.19) 
 Questão 16
A figura 16.1 mostra um capacitor de placas 
paralelas, no processo de carga. (a) Mostre que o 
vetor de Poynting S é, em cada ponto, dirigido 
radialmente para dentro do volume cilíndrico 
representado na figura. (b) mostre que o fluxo de 
energia por unidade de tempo, que penetra nesse 
volume cilíndrico (calculado por integração do 
vetor de Poynting sobre a superfície lateral do 
cilindro) é igual à taxa de variação da energia 
eletrostática armazenada no capacitor, isto é, ׬ Ԧܵ ή ݀ܣԦ ൌ െܣ݀ ௗௗ௧ ቀఢబாమଶ ቁ, 
em que Ad é o volume do capacitor e 
ఢబாమଶ é a 
densidade de energia armazenada, constante 
dentro desse volume. Essa análise mostra que, do 
ponto de vista do vetor de Poynting, a energia 
armazenada em um capacitor não é trazida pelos 
fios de ligação e sim através do espaço adjacente a 
esses condutores e às placas do capacitor. 
 
Figura 16.1 
Resolução: 
a) A corrente de deslocamento promovida pelo 
campo elétrico fornece o campo de indução 
magnética. Para um observador que observa o 
capacitor de cima, orientará o campo de indução 
no sentido horário, como mostra a figura 16.2. 
 
Figura 16.2 
 
Sendo assim, o vetor de Poynting, que é dado pelo 
produto vetorial dos campos, de acordo com a 
regra da mão direita, estará orientado para dentro 
do volume do capacitor. 
 
b) Previamente vamos determinar o módulo do 
vetor indução magnética, utilizando a lei de 
Ampère: 
 රܤሬԦ ή ݀Ԧ݈ ൌ ߤ଴߳଴ ݀Ȱா݀ݐ 
(16.1) 
 
Em que 
ௗ஍ಶௗ௧ ൌ ܣ ή ௗாௗ௧ e A é a área das placas do 
capacitor. Assim, teremos para (16.1): 
 ܤ ൌ ߤ଴߳଴ʹߨܴ ή ܣ ή ݀݀ܧݐ 
(16.2) 
 
Em que R é o raio das placas do capacitor. Agora, 
utilizando a relação (15.13), teremos: 
 ܵ ൌ ͳߤ଴ ή ߤ଴߳଴ܣʹߨܴ ή ܧ ή ݀݀ܧݐ �� 
 
 
 
d 
A 
ܧሬԦ 
i 
i 
Ԧܵ 
۪ ۪ ۪ 
۪ ۪ࡱሬሬԦ 
ࡱሬሬԦ ࡱሬሬԦ ۪ࡱሬሬԦ ࡮ሬሬԦ 
࡮ሬሬԦ ࡮ሬሬԦ 
࡮ሬሬԦ 
ࡱሬሬԦ ר࡮ሬሬԦ 
ࡱሬሬԦ ר ࡮ሬሬԦ 
ࡱሬሬԦ ר ࡮ሬሬԦ 
ࡱሬሬԦ ר ࡮ሬሬԦ 
 
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׵ ܵ ൌ ߳଴ܣʹߨܴ ή ܧ ή ݀݀ܧݐ 
(16.3) 
Para o fluxo do vetor de Poynting, temos a relação 
(15.15). Logo: න Ԧܵ ή ݀ܣԦ௟ ൌ െ ߳଴ܣʹߨܴ ή ܧ ή ݀݀ܧݐ ή ʹߨܴ ή ݀�� ׵ න Ԧܵ ή ݀ܣԦ௟ ൌ െ߳଴ܣ݀ ή ܧ ή ݀݀ܧݐ 
(16.4) 
A integração em (16.4) foi efetuada na área lateral 
do capacitor. Agora, tomando a derivada de ܧଶ, 
teremos: ݀ሺܧଶሻ݀ݐ ൌ ʹܧ ή ݀݀ܧݐ 
(16.5) 
Utilizando (16.5) em (16.4), teremos: න Ԧܵ ή ݀ܣԦ௟ ൌ െܣ݀߳଴ʹ ή ݀ሺܧଶሻ݀ݐ �� ׵ න Ԧܵ ή ݀ܣԦ௟ ൌ െܣ݀ ݀݀ݐ ቆ߳଴ܧଶʹ ቇ 
(16.6) 
 Questão 17
Ondas eletromagnéticas são produzidas por 
cargas aceleradas. A taxa de emissão de energia de 
uma partícula com carga q e aceleração a é dada 
por: ௗԪௗ௧ ൌ ௤మ௔మ଺గఢబ௖య, 
onde c é a velocidade da luz. (A) Verifique se essa 
equação está dimensionalmente correta. (B) 
Sabendo que um próton se desloca em um 
acelerador de partícula com energia cinética de ͸ǡͲ�ܯܸ݁, percorrendo uma órbita circular de raio 
igual a Ͳǡ͹ͷͲ�݉, qual é a fração de sua energia que 
ele irradia por segundo? (C) Considere agora um 
elétron se deslocando nessa órbita com o mesmo 
raio e com a mesma velocidade. Qual é a fração de 
sua energia que ele irradia por segundo? 
Resolução: 
a) Análise dimensional: 
 ݀Ԫ݀ݐ ൌ ሾܳሿଶሾܮሿଶሾܶሿିସሾܳሿଶሾܯሿିଵሾܮሿିଵሾܮሿିଶሾܶሿଶሾܮሿଷሾܶሿିଷ� ݀Ԫ݀ݐ ൌ ሾܯሿሾܮሿଶሾܶሿିଷ 
(17.1) 
 
Em (17.1) temos a dimensão de potência, ou seja, 
dimensionalmente a relação está correta. 
 
b) A energia cinética do próton é dada por: 
 ܭ ൌ ݉ݒଶʹ 
(17.2) 
 
A aceleração centrípeta, por sua vez pode ser dada 
por: 
 ܽ௖௣ ൌ ݒ ଶܴ ൌ ʹܴ݉ܭ 
(17.3) 
 
A massa do próton vale, aproximadamente, ͳǡ͸͹ ή ͳͲିଶ଻�݇݃. A energia cinética no SI vale ͻǡ͸ ή ͳͲିଵଷ�ܬ. Utilizando os dados em (17.3), 
teremos: 
 ܽ௖௣ ൌ ͳǡͷ͵ ή ͳͲଵହ�݉ ή ݏିଶ 
(17.4) 
 
Utilizando os dados numéricos na relação do 
enunciado, teremos: 
 ݀Ԫ݀ݐ ൌ ሺͳǡ͸ ή ͳͲିଵଽሻଶሺͳǡͷ͵ ή ͳͲଵହሻଶ͸ߨ ή ͺǡͺͷ ή ͳͲିଵଶሺ͵ ή ͳͲ଼ሻଷ � ݀Ԫ݀ݐ ؆ ͳǡ͵ ή ͳͲିଶଷ�ܹ 
(17.5) 
 
Comparando com a sua energia cinética: 
 ݀Ԫ ݀ݐൗܭ ൌ ͳǡͶ ή ͳͲିଵଵݏିଵ 
(17.6) 
 
c) Para o elétron, de forma similar, teremos: 
 
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ܽ௖௣ ൌ ͳǡͷ͵ ή ͳͲଵହ�݉ ή ݏିଶ 
(17.7) 
Pois como o elétron tem a mesma velocidade do 
próton, possui a mesma aceleração centrípeta. 
Logo, a taxa de emissão também será a mesma, ou 
seja: ݀Ԫ݀ݐ ؆ ͳǡ͵ ή ͳͲିଶଷ�ܹ 
(17.8) 
No entanto, a energia cinética do elétron será um 
tanto menor, pois, sua massa é menor do que a do 
próton (cerca de 1833 vezes menor). Então, a 
energia cinética do elétron deve ser também cerca 
de 1833 vezes menor do que a energia do próton, 
ou seja: ܭ௘ ൌ ͷǡʹ ή ͳͲିଵ଺�ܬ 
(17.9) 
Comparando com a energia cinética: ݀Ԫ ݀ݐൗܭ௘ ൌ ʹǡͷ ή ͳͲି଼�ݏିଵ 
(17.10)