Mec Analítica PARTE 2

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Prof. Nelson Luiz Reyes Marques 
Mecânica Analítica 
Dinâmica Hamiltoniana 
Licenciatura em Física 
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Princípio de Hamilton 
 
O caminho real que uma partícula percorre entre dois pontos 1 e 2 
em um dado intervalo de tempo, de t1 a t2, é tal que a integral de ação 
𝑆 = 𝐿 𝑞, 𝑞 , 𝑡 𝑑𝑡
𝑡1
𝑡1
 
é estacionária, quando considerada ao longo do caminho real. 
 O movimento executado por um sistema mecânico é aquele 
que minimiza a ação. 
 Todas as leis físicas podem ser expressas num principio 
variacional. 
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Princípio de Hamilton 
 
 Um caminho de uma partícula é determinado pela 2º lei de 
Newton 𝐹 = 𝑚𝑎 . 
 O caminho é determinado pelas três equações de Lagrange, 
pelo menos em coordenadas cartesianas. 
𝜕𝐿
𝜕𝑥
=
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕𝑥 
,
 
𝜕𝐿
𝜕𝑦
=
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕𝑦 
 𝑒 
𝜕𝐿
𝜕𝑧
=
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕𝑧 
. 
 O caminho é determinado pelo princípio de Hamilton. 
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Princípio de Hamilton 
 
De todos os caminhos possíveis nos quais um sistema dinâmico 
pode se mover de um ponto a outro em um intervalo de tempo 
específico (consistente com quaisquer restrições), o caminho 
real seguido é aquele que minimiza a integral de tempo da 
diferença entre as energias cinética e potenciais. 
𝛿𝑆 = 𝛿 𝑇 − 𝑉 𝑑𝑡 = 0
𝑡2
𝑡1
 
𝛿𝑆 = 𝛿 𝐿(𝑞1, … , 𝑞𝑛, 𝑞 1, … , 𝑞 𝑛, 𝑡)𝑑𝑡 = 0
𝑡2
𝑡1
 
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 Para qualquer sistema holonômico, a segunda lei de Newton é 
equivalente a 𝑛 equações de Lagrange 
𝜕𝐿
𝜕𝑞
=
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕𝑞 
 𝑖 = 1,… , 𝑛 
e as equações de Lagrange são, por sua vez, equivalentes ao 
princípio de Hamilton. 
Se 𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖
= 0, 𝑙𝑜𝑔𝑜,
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕𝑞 
= 0 
𝜕𝐿
𝜕𝑞 𝑖
= 𝐶𝑇𝐸 Conclui-se que 
Momentos generalizados (canônicos) 
 
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Isto ocorre quando o sistema é conservativo e a energia potencial V 
depende somente das coordenadas generalizadas. 
𝜕𝐿
𝜕𝑞 𝑖
= 𝐶𝑇𝐸 → 
𝜕 𝑇 − 𝑉
𝜕𝑞 𝑖
=
𝜕𝑇
𝜕𝑞 𝑖
= 𝑚𝑞 𝑖 = 𝑝𝑖 = 𝐶𝑇𝐸 
Escrevendo em termos do lagrangeano 𝐿 = 𝑇 − 𝑉, temos 
𝑝𝑖 =
𝜕𝐿
𝜕𝑞 𝑖
 
𝑝𝑖 =
𝜕𝑇
𝜕𝑞 𝑖
 
Momentos generalizados (canônicos) 
 
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Momentos generalizados (canônicos) 
 
Resumidamente, podemos escrever que o i-ésimo momento 
generalizado 𝑝𝑖 é definido pela derivada 
𝒑𝒊 =
𝝏𝑳
𝝏𝒒 𝒊
 
Se 
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖
= 0, então dizemos que a coordenada 𝑞𝑖 é ignorável ou 
cíclica (sistema fechado) e o momento correspondente é constante. 
Se a lagrangiana de um sistema (não necessariamente fechado) é 
invariável em relação à translação em uma certa direção, então a 
quantidade de movimento linear 𝑝 do sistema naquela direção é 
constante no tempo. 
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Momentos generalizados (canônicos) 
 
Retomado a equação de Lagrange 
𝒑 𝒊 =
𝝏𝑳
𝝏𝒒𝒊
 
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕𝑞 
−
𝜕𝐿
𝜕𝑞
= 0 →
𝑑
𝑑𝑡
𝑝𝑖 −
𝜕𝐿
𝜕𝑞
= 0 → 𝑝 𝑖 −
𝜕𝐿
𝜕𝑞
= 0 
 
𝑝 𝑖 =
𝜕𝐿
𝜕𝑞
 
𝒑𝒊 =
𝝏𝑳
𝝏𝒒 𝒊
 
Estas equações podem ser chamadas de equação de movimento de 
Lagrange 
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Equações de Hamilton 
 
A descrição hamiltoniana envolve a substituição das variáveis 𝑞, 𝑞 
por 𝑞, 𝑝 em todas as grandezas mecânicas, e a introdução de uma 
função 𝐻 𝑞, 𝑝, 𝑡 em lugar da lagrangiana 𝐿 𝑞, 𝑞 , 𝑡 para gerar a 
dinâmica. Tal mudança de descrição realiza-se mediante uma 
transformação de Legendre (largamente utilizadas na 
termodinâmica), que no presente contexto consiste na substituição 
das velocidades generalizadas pelos momentos canônicos como 
variáveis básicas e na introdução da função de Hamilton ou, 
simplesmente hamiltoniano 𝐻 𝑞, 𝑝, 𝑡 definida por 
𝑯 𝒒,𝒑, 𝒕 = 𝒒 𝒊𝒑𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
− 𝑳 𝒒, 𝒒 , 𝒕 
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Equações de Hamilton 
 
Se um sistema for conservativo, o hamiltoniano 𝐻 pode ser 
interpretado como a energia total (cinética e potencial) do sistema. 
𝑯 = 𝑻 + 𝑽 
Considerando que 𝐿 = 𝐿 𝑞, 𝑞 , 𝑡 , temos 
𝑑𝐿 = 
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖
𝑑𝑞𝑖
𝑖
+ 
𝜕𝐿
𝜕𝑞 𝑖
𝑑𝑞 𝑖
𝑖
+ 
𝜕𝐿
𝜕𝑡
𝑑𝑡
𝑖
 
𝑑𝐿 = 
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖
𝑑𝑞𝑖
𝑖
+ 𝑝𝑖𝑑𝑞 𝑖
𝑖
+ 
𝜕𝐿
𝜕𝑡
𝑑𝑡
𝑖
 
como 
𝑝𝑖 =
𝜕𝐿
𝜕𝑞 𝑖
 
Podemos escrever 
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Equações de Hamilton 
 
Tendo em conta que podemos escrever 𝑝𝑖𝑑𝑞 𝑖 = 𝑑 𝑝𝑖𝑞 𝑖 − 𝑞 𝑖𝑑𝑝𝑖, 
temos, 
𝑑𝐿 = 
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖
𝑑𝑞𝑖
𝑖
+ 𝑑 𝑝𝑖𝑞 𝑖 − 𝑞 𝑖𝑑𝑝𝑖
𝑖
+ 
𝜕𝐿
𝜕𝑡
𝑑𝑡
𝑖
 
𝑑 𝑝𝑖𝑞 𝑖
𝑖
− 𝐿 = 𝑞 𝑖𝑑𝑝𝑖
𝑖
− 
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖
𝑑𝑞𝑖
𝑖
−
𝜕𝐿
𝜕𝑡
𝑑𝑡 
𝑑𝐻 = 𝑞 𝑖𝑑𝑝𝑖
𝑖
− 
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖
𝑑𝑞𝑖
𝑖
−
𝜕𝐿
𝜕𝑡
𝑑𝑡 
Como 𝑝 𝑖 =
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖
 
𝑑𝐻 = 𝑞 𝑖𝑑𝑝𝑖
𝑖
− 𝑝 𝑖𝑑𝑞𝑖
𝑖
−
𝜕𝐿
𝜕𝑡
𝑑𝑡 Podemos escrever 
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Equações de Hamilton 
 
𝑑𝐻 = 𝑞 𝑖𝑑𝑝𝑖
𝑖
− 𝑝 𝑖𝑑𝑞𝑖
𝑖
−
𝜕𝐿
𝜕𝑡
𝑑𝑡 
Por outro lado, como 𝐻 = 𝐻 𝑞, 𝑝, 𝑡 , podemos escrever 
𝑑𝐻 = 
𝜕𝐻
𝜕𝑞𝑖
𝑑𝑞𝑖
𝑖
+ 
𝜕𝐻
𝜕𝑝𝑖
𝑑𝑝𝑖
𝑖
+ 
𝜕𝐻
𝜕𝑡
𝑑𝑡
𝑖
 
Comparando as relações, temos 
𝑞 𝑖 =
𝜕𝐻
𝜕𝑝𝑖
 𝑝 𝑖 = −
𝜕𝐻
𝜕𝑞𝑖
 
e como subproduto, 
𝜕𝐻
𝜕𝑡
= −
𝜕𝐿
𝜕𝑡
 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
As equações 
𝒒 𝒊 =
𝝏𝑯
𝝏𝒑𝒊
 𝒑 𝒊 = −
𝝏𝑯
𝝏𝒒𝒊
 
são conhecidas como equações de movimento de Hamilton ou 
equações canônicas de Hamilton e formam um conjunto de 2𝑛 
equações diferenciais de primeira ordem equivalentes ao sistema de 𝑛 
equações de segunda ordem de Lagrange. As quantidades 𝑝, 𝑞 são 
chamadas variáveis canônicas e o espaço cartesiano de 2𝑛 
dimensões cujos pontos são representados pelas 2𝑛 − 𝑢𝑝𝑙𝑎𝑠 
𝑞, 𝑝 ≡ 𝑞1, … , 𝑞𝑛, 𝑝1, … , 𝑝𝑛 é chamado de espaço de fase. 
Um ponto no espaço de fase define o estado do sistema (posições e 
velocidade das partículas) num dado instante. 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
Exemplo 1 
Considere uma conta deslizando em um fio rígido reto e sem atrito, o 
qual está sobre o eixo x, conforme a figura. A conta tem massa m e 
está sujeita a uma força conservativa, com energia potencial V(x). 
Obtenha a Lagrangiana e a equação de Lagrange para o movimento. 
Determine a Hamiltoniana e as equações de Hamilton e compare os 
doismétodos. 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
Vamos considerar a coordenada generalizada q a coordenada x. 
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =
1
2
𝑚𝑥 2 − 𝑉(𝑥) 
d
dt
𝜕L
𝜕𝑥 
−
𝜕L
𝜕𝑥
= 0 →
𝜕L
𝜕𝑥
=
d
dt
𝜕L
𝜕𝑥 
 
A equação de Lagrange correspondente é 
𝜕L
𝜕𝑥
=
d
dt
𝜕L
𝜕𝑥 
 →
d
dt
𝜕L
𝜕𝑥 
= 𝑚𝑥 𝑜𝑢 −
𝑑𝑉
𝑑𝑥
= 𝑚𝑥 
que é justamente a equação de Newton, 𝐹 = 𝑚𝑎, como esperávamos. 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
Para obter o formalismo Hamiltoniano, devemos primeiramente 
encontrar o momento generalizado. 
𝑝 =
𝜕𝐿
𝜕𝑥 
= 𝑚𝑥 
Como era esperado, esse é o momento convencional 𝑝 = 𝑚𝑣. Essa 
equação pode ser resolvida, resultando em 𝑥 =
𝑝
𝑚
, que pode ser 
substituída na Hamiltoniana, levando a 
H = 𝑝𝑥 − 𝐿 =
𝑝2
𝑚
−
𝑝2
2𝑚
− 𝑉 𝑥 =
𝑝2
2𝑚
+ 𝑉(𝑥) 
onde 
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =
1
2
𝑚𝑥 2 − 𝑉 𝑥 =
𝑝2
2𝑚
− 𝑉 𝑥 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
A expressão da hamiltoniana corresponde a energia total. 
H = 𝑝𝑥 − 𝐿 =
𝑝2
𝑚
−
𝑝2
2𝑚
− 𝑉 𝑥 =
𝑝2
2𝑚
+ 𝑉(𝑥) 
As equações de Hamilton são 
𝑥 =
𝜕𝐻
𝜕𝑝
=
𝑝
𝑚
 𝑒 𝑝 =
𝜕𝐻
𝜕𝑥
= −
𝑑𝑉
𝑑𝑥
 
A primeira dessas é, do ponto de vista Newtoniano, justamente a 
definição tradicional do momento e, quando substituímos essa definição 
na segunda equação, ela nos leva, outra vez, a 𝑚𝑥 = −
𝑑𝑉
𝑑𝑥
 . 
Como tinha de ser para ocaso, Newton, Lagrange e Hamilton 
conduzem à mesma equação familiar. Neste exemplo simples, nem 
Lagrange nem Hamilton tem qualquer vantagem sobre Newton. 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
Exemplo 2 
Considere a máquina de Atwood da figura. 
Pelos dados da figura, temos 
𝑇 =
1
2
𝑚1𝑥 
2 +
1
2
𝑚2𝑥 
2 
𝑉 = −𝑚1𝑔𝑥 −𝑚2𝑔 𝑙 − 𝑥 
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 
𝑉 = −𝑚1𝑔𝑥 +𝑚2𝑔𝑥 
Desprezando o termo constante, temos 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 
𝐿 =
1
2
𝑚1 +𝑚2 𝑥 
2 + 𝑚1 −𝑚2 𝑔𝑥 
𝐻 = 𝑞 𝑖𝑝𝑖 − 𝐿 = 𝑝𝑥 − 𝐿 
A expressão do hamiltoniano é dada por 
𝐻 = 𝑝𝑥 − 𝐿 = 𝑝𝑥 −
1
2
𝑚1 +𝑚2 𝑥 
2 + 𝑚1 −𝑚2 𝑔𝑥 
O hamiltoniano deve ser escrito apenas em termos de coordenadas 
e momentos, eliminando as velocidades. 
𝑝 =
𝜕𝐿
𝜕𝑥 
= (𝑚1 +𝑚2)𝑥 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
Substituindo a equação 
𝐻 = 𝑝𝑥 −
1
2
𝑚1 +𝑚2 𝑥 
2 + 𝑚1 −𝑚2 𝑔𝑥 
𝑝 =
𝜕𝐿
𝜕𝑥 
= (𝑚1 +𝑚2)𝑥 
no hamiltoniano 
obtemos 
𝐻 =
𝑝2
2 𝑚1 +𝑚2 2
+ 𝑚1 −𝑚2 𝑔𝑥 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
Calculando as equações de Hamilton 
𝐻 =
𝑝2
2 𝑚1 +𝑚2 2
+ 𝑚1 −𝑚2 𝑔𝑥 
𝑞 𝑖 =
𝜕𝐻
𝜕𝑝𝑖
→ 𝑥 =
𝜕𝐻
𝜕𝑝
=
𝑝
𝑚1 +𝑚2
 
𝑝 𝑖 = −
𝜕𝐻
𝜕𝑞𝑖
 → 𝑝 = −
𝜕𝐻
𝜕𝑥
= 𝑚1 −𝑚2 𝑔 
Combinando as duas expressões, obtemos a expressão para a 
aceleração com que as massas se deslocam 
𝑥 =
𝑚1 −𝑚2
𝑚1 +𝑚2
𝑔 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
Exemplo 3 
Utilizando o método hamiltoniano para encontrar as equações de 
movimento de uma partícula de massa m restringido para mover na 
superfície de um cilindro definido por 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2. A partícula está 
sujeita à força direcionada diretamente à origem e é proporcional à 
distância da partícula da origem: 𝐹 = −𝑘𝑟 . 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
O potencial correspondente a força 𝐹 = −𝑘𝑟 é 
𝑉 =
1
2
𝑘𝑟2 =
1
2
𝑘 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 =
1
2
𝑘 𝑅2 + 𝑧2 
O quadrado da velocidade em coordenadas cilíndricas é 
𝑣2 = 𝑅 2 + 𝑅2𝜃 2 + 𝑧 2 
Neste caso, R é uma constante, então a energia cinética é 
𝑇 =
1
2
𝑚 𝑅2𝜃 2 + 𝑧 2 
Podemos escrever, agora, a lagrangiana, como 
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =
1
2
𝑚 𝑅2𝜃 2 + 𝑧 2 −
1
2
𝑘 𝑅2 + 𝑧2 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
As coordenadas generalizadas são 𝜃 e 𝑧, e as quantidades de 
movimento generalizadas são 
Neste caso a hamiltoniana é somente a energia total e como  não 
ocorre explicitamente, temos 
𝐻 𝑧, 𝑝𝜃 , 𝑝𝑧 = 𝑇 + 𝑉 =
𝑝𝜃
2
2𝑚𝑅2
+
𝑝𝑧
2
2𝑚
+
1
2
𝑘𝑧2 
𝑝𝜃 =
𝜕𝐿
𝜕𝜃 
= 𝑚𝑅2𝜃 𝑒 𝑝𝑧 =
𝜕𝐿
𝜕𝑧 
= 𝑚𝑧 
onde o termo constante 
1
2
𝑘𝑅2 foi suprimido. 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
As equações de movimento são encontradas pelas equações 
canônicas 
𝑝 𝜃 = −
𝜕𝐻
𝜕𝜃
= 0 
𝑝 𝑧 = −
𝜕𝐻
𝜕𝑧
= −𝑘𝑧 
𝜃 =
𝜕𝐻
𝜕𝑝𝜃
=
𝑝𝜃
𝑚𝑅2
 
𝑧 =
𝜕𝐻
𝜕𝑝𝑧
=
𝑝𝑧
𝑚
 
𝐻 𝑧, 𝑝𝜃, 𝑝𝑧 =
𝑝𝜃
2
2𝑚𝑅2
+
𝑝𝑧
2
2𝑚
+
1
2
𝑘𝑧2 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
Observe que as equações de movimento generalizadas e as equações 
de movimento obtidas pelas equações canônicas levam aos mesmos 
resultados 
𝑝𝜃 =
𝜕𝐿
𝜕𝜃 
= 𝑚𝑅2𝜃 𝑒 𝜃 =
𝜕𝐻
𝜕𝑝𝜃
=
𝑝𝜃
𝑚𝑅2
 
𝑝𝑧 =
𝜕𝐿
𝜕𝑧 
= 𝑚𝑧 𝑒 𝑧 =
𝜕𝐻
𝜕𝑝𝑧
=
𝑝𝑧
𝑚
 
𝑝𝜃 = 𝑚𝑅
2𝜃 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Resulta que 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
Exemplo 4 
Utilize o método de Hamilton para encontrar as equações do 
movimento para um pêndulo esférico de massa m e comprimento b. 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
As coordenadas generalizadas são 𝜃 e 𝜙. A energia cinética é 
𝑇 =
1
2
𝑚𝑏2𝜃 2 +
1
2
𝑚𝑏2𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝜙 2 
A única força que age no pêndulo (além do ponto do suporte) é a 
gravidade, e definimos o potencial zero como estando no ponto de 
conexão do pêndulo. 
𝑉 = −𝑚𝑔𝑏 cos 𝜃 
As quantidades de movimento generalizadas são, então 
𝑝𝜃 =
𝜕𝐿
𝜕𝜃 
= 𝑚𝑏2𝜃 𝑒 𝑝𝜙 =
𝜕𝐿
𝜕𝜙 
= 𝑚𝑏2𝑠𝑒𝑛2𝜃𝜙 
Podemos escrever, agora, a lagrangiana, como 
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 → 𝐿 =
1
2
𝑚𝑏2𝜃 2 +
1
2
𝑚𝑏2𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝜙 2 +𝑚𝑔𝑏 cos 𝜃 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
Podemos determinar a hamiltoniana pela equação 𝐻 𝑞, 𝑝, 𝑡 =
 𝑞 𝑖𝑝𝑖
𝑛
𝑖=1 − 𝐿 𝑞, 𝑞 , 𝑡 ou por 𝐻 = 𝑇 + 𝑉 
𝐻 = 𝑇 + 𝑉 =
1
2
𝑚𝑏2
𝑝𝜃
2
𝑚𝑏2 2
+
1
2
𝑚𝑏2𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑝𝜙2
𝑚𝑏2𝑠𝑒𝑛2 2
−𝑚𝑔𝑏 cos 𝜃 
𝐻 =
𝑝𝜃
2
2𝑚𝑏2
+
𝑝𝜙
2
2𝑚𝑏2𝑠𝑒𝑛2𝜃
−𝑚𝑔𝑏 cos 𝜃 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
𝐻 =
𝑝𝜃
2
2𝑚𝑏2
+
𝑝𝜙
2
2𝑚𝑏2𝑠𝑒𝑛2𝜃
−𝑚𝑔𝑏 cos 𝜃 
As equações de movimento são 
𝑝 𝜃 = −
𝜕𝐻
𝜕𝜃
=
𝑝𝜙
2 cos 𝜃
𝑚𝑏2𝑠𝑒𝑛3𝜃
−𝑚𝑔𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
 
𝑝 𝜙 = −
𝜕𝐻
𝜕𝜙
= 0 
𝜃 =
𝜕𝐻
𝜕𝑝𝜃
=
𝑝𝜃
𝑚𝑏2
 𝜙
 =
𝜕𝐻
𝜕𝑝𝜙
=
𝑝𝜙
𝑚𝑏2𝑠𝑒𝑛2𝜃
 
Porque 𝜙 é cíclico, a quantidade de movimento 𝑝𝜙 sobre o eixo 
de simetria é constante. 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
Exemplo 5 – Reconsiderando o Exemplo 13 da parte 1. 
Uma conta desliza ao longo de uma haste retilínea lisa que gira com 
velocidade angular constante num plano horizontal. Descreva seu 
movimento pelo formalismo de Lagrange, obtenha a hamiltoniana e 
estude a sua conservação, assim como a da energia. 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
Seja 𝑥𝑦 o plano horizontal que contém a haste e usemos as 
coordenadas polares para localizar a massa 𝑚. As varáveis 𝑟, 𝜃 não 
podem ser tomadas como coordenadas generalizadas porque 𝜃 é 
forçada a obedecer à restrição 𝜃 − 𝜔𝑡 = 0 , que é um vínculo 
holônomo da forma 𝑓 𝑞1, … , 𝑞𝑛, 𝑡 = 0, onde 𝜔 é a velocidade 
angular da haste, suposta conhecida. O sistema possui somente um 
grau de liberdade (movimento radial) e podemos escolher 𝑞1 = 𝑟 
como coordenada generalizada. A energia cinética pode ser escrita na 
forma 
𝑇 =
𝑚
2
𝑟 2 + 𝑟2𝜃 2 =
𝑚
2
𝑟 2 +𝜔2𝑟2 
Onde usamos 𝜃 = 𝜔. 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
Adotando o nível zero do potencial gravitacional no plano do 
movimento, a lagrangiana do sistema se reduz à energia cinética: 
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =
𝑚
2
𝑟 2 +𝜔2𝑟2 
Dispondo da lagrangiana expressa exclusivamente em função de 
𝑟 𝑒 𝑟 , a equação de movimento do sistema é imediatamente obtida: 
d
dt
𝜕L
𝜕𝑟 
−
𝜕L
𝜕𝑟
= 0 → 
𝑑
𝑑𝑡
𝑚𝑟 − 𝑚𝜔2𝑟 = 0 → 𝑟 = 𝜔2𝑟 
Conclui-se que a conta tende a se afastar do eixo de rotação em 
consequência da “força centrifuga”, que é o resultado bem conhecido. 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
Como a lagrangiana do sistema é 𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =
𝑚
2
𝑟 2 + 𝜔2𝑟2 
que coincide com a energia cinética da conta. Neste caso, 𝑝𝑟 = 𝑚𝑟 e 
𝐻 = 𝑇 + 𝑉 → 𝐻 = 𝑇 = 
𝑝𝑟
2
2𝑚
−
𝑚𝜔2
2
𝑟2 
que não é a energia total (puramente cinética) da conta. Entretanto, 𝐻 
é constante de movimento porque 
𝜕𝐻
𝜕𝑡
= 0. Por outro lado a energia 
total 
𝐸 = 𝑇 =
𝑝𝑟
2
2𝑚
+
𝑚𝜔2
2
𝑟2 
não se conserva porque a força de vínculo realiza trabalho por ocasião 
do deslocamento real da partícula. 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
𝐻 = 𝑇 + 𝑉 → 𝐻 = 𝑇 = 
𝑝𝑟
2
2𝑚
−
𝑚𝜔2
2
𝑟2 
H é a “energia total” do sistema de referência girante. 
 Também pode acontecer casos em que a H coincide com a 
energia total mas não se conserva devido a uma 
dependência temporal explicita (Goldstein 1980) 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
Exemplo 6 
Construa a lagrangiana e as equações de Hamilton para o oscilador 
harmônico unidimensional, com massa m e constante da força k. 
A energia cinética é 𝑇 =
1
2
𝑚𝑥 2 e a energia potencial é 𝑉 =
1
2
𝑘𝑥2 =
1
2
𝑚𝜔2𝑥2 se introduzimos a frequência natural 𝜔 =
𝑘
𝑚
. 
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =
1
2
𝑚𝑥 2 −
1
2
𝑘𝑥2 
𝐿 =
1
2
𝑚𝑥 2 −
1
2
𝑚𝜔2𝑥2 
ou 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
e a Hamiltoniana (escrita como função de x e p) é 
𝐻 = 𝑇 + 𝑉 =
𝑝2
2𝑚
+𝑚𝜔2𝑥2 
Logo, as equações de Hamilton são 
𝑥 =
𝜕𝐻
𝜕𝑝
=
𝑝
𝑚
 𝑒 𝑝 = −
𝜕𝐻
𝜕𝑥
= −𝑚𝜔2𝑥 
𝑇 =
1
2
𝑚𝑥 2 =
𝑝2
2𝑚
 
O momento generalizado é 𝑝 =
𝜕𝑇
𝜕𝑥 
= 𝑚𝑥 , podemos escrever a 
energia cinética como 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
Exemplo 7 
Para o pêndulo de comprimento L que se move no plano vertical, 
vinculado a uma mola de constante elástica k, que se move somente no 
plano vertical, obtenha as equações de Hamilton para o movimento do 
sistema. 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
Para esse problema, vamos escolher as coordenadas generalizadas (y, 
), pois  descreve o movimento da massa em relação ao ponto de 
apoio e y descreve a variação desse ponto de apoio, em relação ao 
teto, por exemplo, que vamos tomar como ponto de referencia. Com 
isso, podemos escrever a energia cinética e a energia potencial como: 
𝑇 =
𝑚
2
𝑦 2 + 𝐿2𝜃 2 𝑉 =
𝑘
2
𝑦 − 𝑦0
2 −𝑚𝑔 𝑦 + 𝐿 cos 𝜃 
Assim, a Lagrangeana fica 
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =
𝑚
2
𝑦 2 + 𝐿2𝜃 2 −
𝑘
2
𝑦 − 𝑦0
2 +𝑚𝑔 𝑦 + 𝐿 cos 𝜃 
𝑝𝜃 =
𝜕𝐿
𝜕𝜃 
= 𝑚𝐿2𝜃 𝑒 𝑝𝑦 =
𝜕𝐿
𝜕𝑦 
= 𝑚𝑦 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
Assim, a Hamiltoniana fica 
H= 𝑇 + 𝑉 =
𝑚
2
𝑦 2 + 𝐿2𝜃 2 +
𝑘
2
𝑦 − 𝑦0
2 −𝑚𝑔 𝑦 + 𝐿 cos 𝜃 
𝐻 =
𝑝𝜃
2
2𝑚𝐿2
+
𝑝𝑦
2
2𝑚
+
𝑘
2
𝑦 − 𝑦0
2 −𝑚𝑔 𝑦 + 𝐿 cos 𝜃 
Logo, as equações de Hamilton são 
𝜃 =
𝜕𝐻
𝜕𝑝𝜃
=
𝑝𝜃
𝑚𝐿2
 𝑒 𝑝 𝜃 = −
𝜕𝐻
𝜕𝜃
= −𝑚𝑔𝐿 sin 𝜃 
𝑦 =
𝜕𝐻
𝜕𝑝𝑦
=
𝑝𝑦
𝑚
 𝑒 𝑝 𝑦 = −
𝜕𝐻
𝜕𝑦
= −𝑘 𝑦 − 𝑦0 +𝑚𝑔 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
Outra Solução: já conhecemos a Lagrangiana 
𝐿 =
𝑚
2
𝑦 2 + 𝐿2𝜃 2 −
𝑘
2
𝑦 − 𝑦0
2 +𝑚𝑔 𝑦 + 𝐿 cos 𝜃 
𝑝𝜃 =
𝜕𝐿
𝜕𝜃 
= 𝑚𝐿2𝜃 → 𝜃 =
𝑝𝜃
𝑚𝐿2
 
𝑝𝑦 =
𝜕𝐿
𝜕𝑦 
= 𝑚𝑦 → 𝑦 =
𝑝𝑦
𝑚
 
𝐻 𝑞, 𝑝, 𝑡 = 𝑞 𝑖𝑝𝑖
𝑛
𝑖=1
− 𝐿 𝑞, 𝑞 , 𝑡 
𝐻 =
𝑝𝜃
𝑚𝐿2
𝑝𝜃 +
𝑝𝑦
𝑚
𝑝𝑦 −
𝑚
2
𝑦 2 + 𝐿2𝜃 2 −
𝑘
2
𝑦 − 𝑦0
2 +𝑚𝑔 𝑦 + 𝐿 cos 𝜃 
𝐻 =
𝑝𝜃
2
2𝑚𝐿2
+
𝑝𝑦
2
2𝑚
+
𝑘
2
𝑦 − 𝑦0
2 −𝑚𝑔 𝑦 + 𝐿 cos 𝜃 
A hamiltoniano definida por 
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Equações de movimento de Hamilton 
 
Logo, as equações de Hamilton são 
𝜃 =
𝜕𝐻
𝜕𝑝𝜃
=
𝑝𝜃
𝑚𝐿2
 𝑒 𝑝 𝜃 = −
𝜕𝐻
𝜕𝜃
= −𝑚𝑔𝐿 sin 𝜃 
𝑦 =
𝜕𝐻
𝜕𝑝𝑦
=
𝑝𝑦
𝑚
 𝑒 𝑝 𝑦 = −
𝜕𝐻
𝜕𝑦
= −𝑘 𝑦 − 𝑦0 +𝑚𝑔 
𝐻 =
𝑝𝜃
2
2𝑚𝐿2
+
𝑝𝑦
2
2𝑚
+
𝑘
2
𝑦 − 𝑦0
2 −𝑚𝑔 𝑦 + 𝐿 cos 𝜃 
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Partícula Carregada num Campo Eletromagnético 
 Exemplo 8: 
Determinar hamiltoniana de uma partícula carregada em um campo 
eletromagnético externo. 
Como visto anteriormente, a lagrangeana da partícula é 
𝐿 = 𝑇 − 𝑈 =
𝑚𝑣2
2
− 𝑒𝜙 +
𝑒
𝑐
𝑣 ∙ 𝐴 
e o momento canônico é dado por 
𝑝𝑖 =
𝜕𝐿
𝜕𝑥 𝑖
= 𝑚𝑥 𝑖 +
𝑒
𝑐
𝐴𝑖 𝑟 , 𝑡 , 𝑖 = 1, 2,3 
𝑝 = 𝑚𝑣 −
𝑒
𝑐
𝐴 
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Partícula Carregada num Campo Eletromagnético 
 
logo, a correspondente hamiltoniana é 
𝐻 = 𝑝 ∙ 𝑣 − 𝐿 = 𝑝 +
𝑒
𝑐
𝐴 ∙ 𝑣 −
1
2
𝑚𝑣 2 + 𝑒𝜙 −
𝑒
𝑐
𝐴 ∙ 𝑣 = 
=
1
2
𝑚𝑣 2 + 𝑒𝜙 =
1
2
𝑚𝑣 2 + 𝑒𝜙 
𝐻 =
1
2𝑚
𝑝 +
𝑒
𝑐
𝐴 + 𝑒𝜙 
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Partícula Livre Relativística 
 Exemplo 9: 
Determinar hamiltoniana de uma partícula livre relativística. 
Como visto anteriormente, a lagrangeana da partícula é 
𝐿 = 𝛼𝑐 1 −
𝑣2
𝑐2
= −𝑚𝑐2 1 −
𝑣2
𝑐2
 
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𝑝𝑖 =
𝜕𝐿
𝜕𝑥 𝑖
= −𝑚𝑐2
𝜕
𝑥 1
1 −
 𝑥 𝑗
2
𝑗
𝑐2
1
2
= 
= −𝑚𝑐2
1
2
1 −
 𝑥 𝑗
2
𝑗
𝑐2
−
1
2 −2𝑥 𝑖
𝑐2
∴ 
 
∴ 𝑝𝑖 =
𝑚𝑥 𝑖
1 −
𝑣2
𝑐2
 → 𝑝 =
𝑚
1 −
𝑣2
𝑐2
𝑣 
𝑖 = 1, 2, 3 
Partícula Livre Relativística 
 
e o momento canônico é dado por 
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 Logo, a energia desta partícula é identificada com a sua hamiltoniana 
(note que a lagrangiana desta partícula não depende explicitamente 
do tempo e, então, a sua hamiltoniana é uma constante de 
movimento). Temos: 
𝐻 = 𝑝 ∙ 𝑣 − 𝐿 =
𝑚𝑣2
1 −
𝑣2
𝑐2
+𝑚𝑐2 1 −
𝑣2
𝑐2
 ∴ 
𝐻 =
𝑚𝑐2
1 −
𝑣2
𝑐2
 ∴ 
Partícula Livre Relativística