Mec Analítica REVISÃO

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Prof. Nelson Luiz Reyes Marques 
Mecânica Analítica 
REVISÃO 
Dinâmica Lagrangiana 
 Vínculos 
São limitações às possíveis posições e velocidades das partículas de um 
sistema mecânico, restringindo a priori o seu movimento. 
• É importante salientar que os vínculos são limitações de ordem 
cinemática impostas ao sistema mecânico. 
• As restrições antecedem a dinâmica e precisam ser levadas em conta na 
formulação das equações de movimento do sistema. 
• Restrições de natureza dinâmica – decorrentes, portanto das equações 
de movimento – não são vínculos. 
Dinâmica Lagrangiana 
Exemplo 1: Um pêndulo duplo oscila num plano vertical fixo. As equações de 
vinculo são 
𝑥2 + 𝑦2 − 𝑙1
2 = 0, 𝑥2 − 𝑥1
2+ 𝑦2 − 𝑦1
2 − 𝑙2
2 = 0 
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑙1
2 
 
𝑥2 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑦1
2 = 𝑙2
2 
Dinâmica Lagrangiana 
Exemplo 2: Escreva as equações de transformação o pêndulo duplo 
𝑥1 = 𝑙1 s𝑖𝑛 𝜃1 
𝑦1 = 𝑙1 cos 𝜃1 
𝑥2 = 𝑙1 sin 𝜃1 + 𝑙2 sin 𝜃2 
𝑦2 = 𝑙1 cos 𝜃1 + 𝑙2 cos 𝜃2 
O sistema tem apenas 2 grau de 
liberdade com coordenadas 
generalizadas q1 = θ1 e q2 = θ2 
Dinâmica Lagrangiana 
Exemplo 3: Um cilindro rola sem deslizar ao longo de uma linha reta. Sendo x 
a posição do centro de massa do cilindro e  o ângulo de rotação do centro de 
massa, a condição de rolar sem deslizar é representada por 
𝑥 = 𝑅𝜙 → 𝑥 − 𝑅𝜙 = 0 
onde R é o raio do cilindro. 
Dinâmica Lagrangiana Dinâmica Lagrangiana 
 
A função de Lagrange ou, simplesmente, lagrangiano 𝐿 por: 𝐿 = 𝑇 − 𝑉 
onde 𝑘 = 1,… , 𝑛. 
As equações de movimento do sistema podem ser escritas na forma 
d
dt
𝜕L
𝜕q k
−
𝜕L
𝜕qk
= 0 Equações de Lagrange 
Se o sistema não for conservativo 
d
dt
𝜕L
𝜕q k
−
𝜕L
𝜕qk
= 𝑄𝑘 
Dinâmica Lagrangiana 
Exemplo 4: Considere uma partícula numa região onde existe um certo potencial 
de interação. 
A lagrangiana é dada por: 
d
dt
𝜕L
𝜕𝑥 𝑖
−
𝜕L
𝜕𝑥𝑖
= 0 
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =
1
2
𝑚𝑣2 − V 𝑟 Solução: 
Tomando as coordenadas generalizadas como coordenadas cartesianas, temos: 
→ 
𝜕L
𝜕𝑥𝑖
= −
𝜕𝑉
𝜕𝑥𝑖
 → 
d
dt
𝜕L
𝜕𝑥 𝑖
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑚𝑥 𝑖 = 𝑚𝑥 𝑖 
O que faz com que a equação de Euler-Lagrange forneça: 
d
dt
𝜕L
𝜕𝑥 𝑖
−
𝜕L
𝜕𝑥𝑖
= 0 →
d
dt
𝜕L
𝜕𝑥 𝑖
=
𝜕L
𝜕𝑥𝑖
 → 𝒎𝒙 = −
𝝏𝑽
𝝏𝒙𝒊
 
que é a segunda lei de Newton para forças conservativas. 
Força 
Dinâmica Lagrangiana 
Exemplo 5: Obtenha a Lagrangiana para um projetil (livre da resistência do ar) 
em termos de suas coordenadas cartesianas (𝑥, 𝑦, 𝑧) , com 𝑧 medido 
verticalmente para cima. Determine as três equações de Lagrange. 
A energia cinética e a energia potencial: 
A lagrangiana fica: 
As equações de movimento: 
d
dt
𝜕L
𝜕𝑥 
−
𝜕L
𝜕𝑥
= 0 
d
dt
𝜕L
𝜕𝑦 
−
𝜕L
𝜕𝑦
= 0 
d
dt
𝜕L
𝜕𝑧 
−
𝜕L
𝜕𝑧
= 0 
𝟎 = 𝒎𝒙 𝟎 = 𝒎𝒚 −𝒎𝒈 = 𝒎𝒛 que corresponde a F=mg. 
𝑇 =
1
2
𝑚(𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2) 𝑉 = 𝑚𝑔𝑧 
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =
1
2
𝑚 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 −mgz 
Solução: 
Dinâmica Lagrangiana 
Exemplo 6: Obtenha a Lagrangiana para uma partícula movendo-se em uma 
dimensão ao longo do eixo x sujeita à força 𝐹 = − 𝑘𝑥 (com 𝑘 positivo). 
Determine a equação de Lagrange do movimento. 
𝐹 = −𝑘𝑥 → 𝑉 =
1
2
𝑘𝑥2 → 𝑇 =
1
2
𝑚𝑥 2 
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 → 𝐿 =
1
2
𝑚𝑥 2 −
1
2
𝑘𝑥2 
Solução: 
A energia cinética e a energia potencial: 
A lagrangiana fica: 
As equações de movimento: 
d
dt
𝜕L
𝜕𝑥 
−
𝜕L
𝜕𝑥
= 0 −𝒌𝒙 = 𝒎𝒙 
Dinâmica Lagrangiana 
Exemplo 7: Considere uma massa 𝑚 movendo-se em duas dimensões com 
energia potencial 𝑉 𝑥, 𝑦 = −
1
2
𝑘𝑟2 , onde 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2. Obtenha a 
lagrangeana, usando as coordenada 𝑥 e 𝑦, e determine as equações de 
movimento de Lagrange. 
𝑇 =
1
2
𝑚 𝑥 2 + 𝑦 2 → 𝑉 = −
1
2
𝑘 𝑥2 + 𝑦2 
Solução: 
A energia cinética e a energia potencial: 
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 → 𝐿 =
1
2
𝑚 𝑥 2 + 𝑦 2 + 
1
2
𝑘 𝑥2 + 𝑦2 A lagrangiana fica: 
As equações de movimento: 
d
dt
𝜕L
𝜕𝑥 
−
𝜕L
𝜕𝑥
= 0 
−𝒌𝒙 = 𝒎𝒙 
d
dt
𝜕L
𝜕𝑦 
−
𝜕L
𝜕𝑦
= 0 
−𝒌𝒙 = 𝒎𝒚 
Dinâmica Lagrangiana 
Exemplo 8: Considere uma massa 𝑚 movendo-se em uma rampa, sem atrito, que 
tem uma declividade 𝛼 com a horizontal. Obtenha a Lagrangiana em termos da 
coordenada 𝑥, medida horizontalmente através da rampa, e da coordenada 𝑦, 
medida para baixo da rampa. (Trate o sistema como bidimensional, mas inclua a 
energia potencial gravitacional). Determine as duas equações de Lagrange e 
justifique se elas são as mesmas que você esperava. 
𝑇 =
1
2
𝑚 𝑥 2 + 𝑦 2 → 𝑉 = 𝑚𝑔𝑦 = 𝑚𝑔𝑦 sin 𝛼 
Solução: 
A energia cinética e a energia potencial: 
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 → 𝐿 =
1
2
𝑚 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑚𝑔𝑦 sin 𝛼 A lagrangiana fica: 
As equações de movimento: 
d
dt
𝜕L
𝜕𝑥 
−
𝜕L
𝜕𝑥
= 0 → 0 = 𝒎𝒙 
d
dt
𝜕L
𝜕𝑦 
−
𝜕L
𝜕𝑦
= 0 → 𝒎𝒈sin𝜶 = 𝒎𝒚 
Dinâmica Lagrangiana 
Exemplo 9: Determine a Lagrangiana e a equação de movimento de um pêndulo 
simples em coordenadas polares de raio fixo r=a e θ é a única coordenada 
livre. 
𝑇 =
1
2
𝑚 𝑥 2 + 𝑦 2 =
1
2
𝑚𝑎2𝜃 2 
Solução: 
A energia cinética e a energia potencial: 
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 → 𝐿 =
1
2
𝑚𝑎2𝜃 2 +𝑚𝑔𝑎 cos 𝜃 
A lagrangiana fica: 
𝑥 = 𝑎 cos 𝜃 → 𝑦 = 𝑎 sin 𝜃 
𝑥 = −𝑎𝜃 sin 𝜃 → 𝑦 = 𝑎𝜃 cos 𝜃 
𝑉 = −𝑚𝑔𝑥 = −𝑚𝑔𝑎 cos 𝜃 
Dinâmica Lagrangiana 
𝐿 =
1
2
𝑚𝑎2𝜃 2 +𝑚𝑔𝑎 cos 𝜃 
A equação de movimento: 
d
dt
𝜕L
𝜕𝜃 
−
𝜕L
𝜕𝜃
= 0 
d
dt
𝑚𝑎2𝜃 + 𝑚𝑔𝑎 sin 𝜃 = 0 
𝑚𝑎2𝜃 = −𝑚𝑔𝑎 sin 𝜃 
 
𝑎𝜃 = −𝑔 sin 𝜃 
Dinâmica Lagrangiana 
Exemplo 10: Deduza as equações de Lagrange, para uma partícula que se 
move em um campo conservativo bidimensional, em coordenadas 
a) cartesianas 
b) Polares 
c) cilíndricas 
Dinâmica Lagrangiana 
Solução: a) 
A energia cinética e a energia potencial: 𝑇 =
1
2
𝑚(𝑥 2 + 𝑦 2) 𝑉 = 𝑉 𝑥, 𝑦 
A lagrangiana fica: 
As equações de movimento: 
d
dt
𝜕L
𝜕𝑥 
−
𝜕L
𝜕𝑥
= 0 
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =
1
2
𝑚 𝑥 2 + 𝑦 2 − V 𝑥; 𝑦 
𝜕L
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑉
𝜕𝑦
= 𝐹𝑦 → 
𝜕L
𝜕𝑦 
= −
𝜕𝑇
𝜕𝑦 
= 𝑚𝑦 → 𝐹𝑦 = 𝑚𝑦 
𝜕L
𝜕𝑥
= −
𝜕𝑉
𝜕𝑥
= 𝐹𝑥 → 
𝜕L
𝜕𝑥 
= −
𝜕𝑇
𝜕𝑥 
= 𝑚𝑥 → 𝐹𝑥 = 𝑚𝑥 
𝑭 = 𝒎𝒂 
Dinâmica Lagrangiana 
Solução: b) A energia cinética e a energia potencial: 
𝑇 =
1
2
𝑚𝑣2 =
1
2
𝑚 𝑟 2 + 𝑟2𝜙 2 𝑉 = 𝑉 𝑟, 𝜙 
A lagrangiana fica: 
A equações de movimento: 
d
dt
𝜕L
𝜕𝑟 
−
𝜕L
𝜕𝑟
= 0 
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =
1
2
𝑚 𝑟 2 + 𝑟2𝜙 2 − V 𝑟, 𝜙 
𝑣𝑟 = 𝑟 → 𝑣𝜙 = 𝑟𝜙 
d
dt
𝑚𝑟 − 𝑚𝑟𝜙 2 −
𝜕𝑉
𝜕𝑟
= 0 
𝑚𝑟 = −𝑚𝑟𝜙 2 −
𝜕𝑉
𝜕𝑟
 
𝑭𝒓 = 𝒎(𝒓 − 𝒓𝜽 
𝟐) 
Dinâmica Lagrangiana 
d
dt
𝜕L
𝜕𝜙 
−
𝜕L
𝜕𝜙
= 0 
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =
1
2
𝑚 𝑟 2 + 𝑟2𝜙 2 − V 𝑟, 𝜙 
d
dt
𝑚𝑟2𝜙 − −
𝜕𝑉
𝜕𝜙
= 0 
 
𝒎𝒓𝟐𝝓 = −
𝝏𝑽
𝝏𝝓
 
Momento angular 
Torque 
Dinâmica Lagrangiana 
Solução: c) A energia cinética e a energia potencial: 
𝑇 =
1
2
𝑚𝑣2 =
1
2
𝑚 𝑟 2 + 𝑟2𝜃 2 + 𝑧 2 
𝑉 = 𝑉 𝑟, 𝜃, 𝑧 
A lagrangiana fica: 
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =
1
2
𝑚 𝑟 2 + 𝑟2𝜃 2 + 𝑧 2 − V 𝑟, 𝜃, 𝑧 
𝑣𝑟 = 𝑟 → 𝑣𝜙 = 𝑟𝜃 → 𝑣𝑧 = 𝑧 
Dinâmica Lagrangiana 𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =
1
2
𝑚𝑟 2 + 𝑟2𝜃 2 + 𝑧 2 − V 𝑟, 𝜃, 𝑧 
d
dt
𝜕L
𝜕𝜃 
−
𝜕L
𝜕𝜃
= 0 
d
dt
𝜕L
𝜕𝑟 
−
𝜕L
𝜕𝑟
= 0 
d
dt
𝑚𝑟 − (m𝑟𝜃 2
𝜕𝑉
𝜕𝑟
) = 0 → 𝑚 𝑟 − 𝑟𝜃 2 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑟
 
𝐹 𝑟 
d
dt
𝑚𝑟2𝜃 +
𝜕𝑉
𝜕𝜃
= 0 → 𝑚
𝑑
𝑑𝑡
𝑟2𝜃 = −
𝜕𝑉
𝜕𝜃
 
Torque 
d
dt
𝜕L
𝜕𝑧 
−
𝜕L
𝜕𝑧
= 0 
d
dt
𝑚𝑧 +
𝜕𝑉
𝜕𝑧
= 0 → 𝑚𝑧 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑟
 
𝐹 𝑧 
Dinâmica Lagrangiana Dinâmica Lagrangiana 
 
Exemplo 11: Determine a equação de Lagrange e as equações de movimento 
para um pêndulo com suporte livre (a massa M pode se mover livremente sem 
atrito no plano horizontal, enquanto o pêndulo oscila no plano vertical). 
Refazendo o desenho e tomando o 
nível de referencia na origem, temos 
Dinâmica Lagrangiana 
𝑇 =
1
2
𝑀𝑥 2 +
1
2
𝑚 𝑋 2 + 𝑌 2 𝑉𝑀 = 0 𝑒 𝑉𝑚 = −𝑚𝑔𝑌, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑉 = −𝑚𝑔𝑌 
𝑋 = 𝑥 + 𝑙 sin 𝜃 → 𝑋 = 𝑥 + 𝑙𝜃 cos 𝜃 
𝑌 = 𝑙 cos 𝜃 → 𝑌 = −𝑙𝜃 sin 𝜃 
𝑋 2 + 𝑌 2 = 𝑥 2 + 𝑙2𝜃 2 + 2𝑙𝑥 𝜃 cos 𝜃 
Podemos escrever as energias cinética e potencial 
Como 
Logo 
𝑇 = 
𝑚 +𝑀
2
𝑥 2 +
𝑚𝑙2
2
𝜃 2 +𝑚𝑙𝑥 𝜃 cos 𝜃 𝑉 = −𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃 
Podemos reescrever as energias cinética e potencial como 
A lagrangiana fica 𝑳 = 𝑻 − 𝑽 = 
𝒎 +𝑴
𝟐
𝒙 𝟐 +
𝒎𝒍𝟐
𝟐
𝜽 𝟐 +𝒎𝒍𝒙 𝜽 𝐜𝐨𝐬𝜽 +𝒎𝒈𝒍𝒄𝒐𝒔𝜽 
Dinâmica Lagrangiana 
Podemos, agora, determinar as equações de movimento 
d
dt
𝜕L
𝜕𝑥 
−
𝜕L
𝜕𝑥
= 0 
𝐿 = 
𝑚 +𝑀
2
𝑥 2 +
𝑚𝑙2
2
𝜃 2 +𝑚𝑙𝑥 𝜃 cos 𝜃 + 𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃 
d
dt
𝑚 +𝑀 𝑥 + 𝑚𝑙𝜃 cos 𝜃 − 0 = 0 
𝑚+𝑀 𝑥 + 𝑚𝑙𝜃 cos 𝜃 − 𝑚𝑙𝜃 2 sin 𝜃 = 0 
d
dt
𝜕L
𝜕𝜃 
−
𝜕L
𝜕𝜃
= 0 
d
dt
𝑚𝑙2𝜃 + 𝑚𝑙𝑥 cos 𝜃 − −𝑚𝑙𝑥 𝜃 sin 𝜃 − 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 = 0 
𝑚𝑙2𝜃 + 𝑚𝑙𝑥 cos 𝜃 − 𝑚𝑙𝑥 𝜃 sin 𝜃 + 𝑚𝑙𝑥 𝜃 sin 𝜃 + 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 = 0 
𝑚𝑙2𝜃 + 𝑚𝑙𝑥 cos 𝜃 + 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 = 0 
Dinâmica Lagrangiana 
1º) Se m = 0 𝑚+𝑀 𝑥 + 𝑚𝑙𝜃 cos 𝜃 − 𝑚𝑙𝜃 2 sin 𝜃 = 0 
0 +𝑀 𝑥 = 0 → 𝒙 = 𝟎 → 𝑀 𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑣𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑚 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒 
Como as equações de movimento são difíceis de resolver (equações não lineares – não existe um 
método geral de resolução, cada caso é um caso), vamos analisar alguns casos limites 
(particulares) afim de verificarmos se essas equações estão corretas. 
2º) Se M   𝑚+𝑀 𝑥 + 𝑚𝑙𝜃 cos 𝜃 − 𝑚𝑙𝜃 2 sin 𝜃 = 0 
 Divide-se todos os termos por M 
𝑚 +𝑀 𝑥 
𝑀
+
𝑚𝑙𝜃 cos 𝜃
𝑀
−
𝑚𝑙𝜃 2 sin 𝜃
𝑀
= 0 → 𝑥 = 0 
Substituindo 𝑥 = 0 na segunda equação de movimento 
𝑚𝑙2𝜃 + 𝑚𝑙𝑥 cos 𝜃 + 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 = 0 e dividindo por 𝑚𝑙2, obtemos 
𝜽 +
𝒈
𝒍
𝒔𝒊𝒏𝜽 = 𝟎 
que corresponde a equação do pêndulo simples com ponto de suspensão fixo. 
Dinâmica Lagrangiana 
Exemplo 12: Uma partícula de massa m move-se em um campo de força conservativo. Ache 
(a) a função lagrangiana, (b) as equações do movimento em coordenadas cilíndrica 
𝑟, 𝜃, 𝑧 . 
Solução: (a) A energia cinética total em coordenadas 
cilíndricas 
𝑇 =
1
2
𝑚 𝑟 2 + 𝑟2𝜃 2 + 𝑧 2 
 A energia potencial 𝑉 = 𝑟, 𝜃, 𝑧 . Então a função 
lagrangiana é 
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =
1
2
𝑚 𝑟 2 + 𝑟2𝜃 2 + 𝑧 2 − 𝑉 𝑟, 𝜃, 𝑧 
(b) As equações de Lagrange são 
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕𝑟 
−
𝜕𝐿
𝜕𝑟
= 0 →
𝑑
𝑑𝑡
𝑚𝑟 − 𝑚𝑟𝜃 2 −
𝜕𝑉
𝜕𝑟
= 0 → 𝑚 𝑟 − 𝑟𝜃 2 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑟
 
Dinâmica Lagrangiana 
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕𝜃 
−
𝜕𝐿
𝜕𝜃
= 0 →
𝑑
𝑑𝑡
𝑚𝑟2𝜃 +
𝜕𝑉
𝜕𝜃
= 0 → 𝑚
𝑑
𝑑𝑡
𝑟2𝜃 = −
𝜕𝑉
𝜕𝜃
 
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕𝑧 
−
𝜕𝐿
𝜕𝑧
= 0 →
𝑑
𝑑𝑡
𝑚𝑧 +
𝜕𝑉
𝜕𝑧
= 0 → 𝑚𝑧 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑧
 
(b) As equações de Lagrange são 
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕𝑟 
−
𝜕𝐿
𝜕𝑟
= 0 →
𝑑
𝑑𝑡
𝑚𝑟 − 𝑚𝑟𝜃 2 −
𝜕𝑉
𝜕𝑟
= 0 → 𝑚 𝑟 − 𝑟𝜃 2 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑟
 
Dinâmica Lagrangiana 
Exemplo 13: Considere um pêndulo plano formado por uma haste inextensível de 
comprimento 𝑙 e massa desprezível tendo na sua extremidade uma partícula 
pontual de massa 𝑚. Escreva as equações de movimento da partícula em 
coordenadas polares 𝑟 e 𝜃. 
Solução: 
; 
A lagrangiana fica: 
𝑇 =
1
2
𝑚𝑟 2 +
1
2
𝑚𝑟2𝜃 2 
𝑉 = 𝑚𝑔𝑧 = 𝑚𝑔𝑟 1 − cos 𝜃 
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 → 𝐿 =
1
2
𝑚𝑟 2 +
1
2
𝑚𝑟2𝜃 2 −𝑚𝑔𝑟 1 − cos 𝜃 
Dinâmica Lagrangiana 
; 
As equações de movimento são: : 
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 → 𝐿 =
1
2
𝑚𝑟 2 +
1
2
𝑚𝑟2𝜃 2 −𝑚𝑔𝑟 1 − cos 𝜃 
; 
d
dt
𝜕L
𝜕𝑟 
−
𝜕L
𝜕𝑟
= 0 
d
dt
𝑚𝑟 − [𝑚𝑟𝜃 2 −𝑚𝑔 1 − cos 𝜃 ] = 0 
𝑚𝑟 = 𝑚𝑟𝜃 2 −𝑚𝑔 1 − cos 𝜃 
𝒓 = 𝒓𝜽 𝟐 − 𝒈 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝜽 
Dinâmica Lagrangiana 
; 
As equações de movimento são: 
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 → 𝐿 =
1
2
𝑚𝑟 2 +
1
2
𝑚𝑟2𝜃 2 −𝑚𝑔𝑟 1 − cos 𝜃 
; 
d
dt
𝜕L
𝜕𝜃 
−
𝜕L
𝜕𝜃
= 0 → 
d
dt
𝑚𝑟2𝜃 − 𝑚𝑔𝑟 sin 𝜃 = 0 
𝑚𝑟2𝜃 + 2𝑚𝑟𝑟 𝜃 = 𝑚𝑔𝑟 sin 𝜃 
𝒍𝜽 = 𝒎𝒈 sin𝜽 → 𝜽 =
𝒈
𝒍
sin𝜽 
Como, 𝑟 = 𝑙 e 𝑟 = 0 : 
temos: 
Dinâmica Lagrangiana 
Exemplo 14: 
Dinâmica Lagrangiana 
Dinâmica Lagrangiana 
Dinâmica Lagrangiana 
Dinâmica Lagrangiana 
Dinâmica Lagrangiana 
Momentos generalizados (canônicos) 
 
𝒑 𝒊 =
𝝏𝑳
𝝏𝒒𝒊
 𝒑𝒊 =
𝝏𝑳
𝝏𝒒 𝒊
 
Estas equações podem ser chamadas de equação de movimento de Lagrange 
Equações de Hamilton 
 
Se um sistema for conservativo, o hamiltoniano 𝐻 pode ser interpretado como 
a energia total (cinética e potencial) do sistema. 𝑯 = 𝑻 + 𝑽 
𝑯 𝒒, 𝒑, 𝒕 = 𝒒 𝒊𝒑𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
− 𝑳 𝒒, 𝒒 , 𝒕 O hamiltoniano 𝐻 𝑞, 𝑝, 𝑡 definida por: 
Equações de movimento de Hamilton 
 
𝒒 𝒊 =
𝝏𝑯
𝝏𝒑𝒊
 𝒑 𝒊 = −
𝝏𝑯
𝝏𝒒𝒊
 
Dinâmica Hamiltoniana 
Exemplo 15: A lagrangiana de um oscilador harmônico é dada por 
𝐿 =
𝑚𝑥 2
2
−
𝑘𝑥2
2
 
a) o momento conjugado 
, determine: 
𝑝𝑥 = 𝑚𝑥 → 𝑥 =
𝑝𝑥
𝑚
 
b) A hamiltoniana 
𝐻 = 𝑥 𝑝𝑟 − 𝐿 =
𝑝𝑥
2
𝑚
−
𝑚
2
𝑝𝑥
𝑚
2
+
𝑘𝑥2
2
 
Dinâmica Hamiltoniana 
Exemplo 16: A partícula livre em coordenadas esféricas. O vetor velocidade é 
dado por 𝒓 = 𝒓 𝒓 + 𝒓𝜽 𝜽 + 𝒓𝝓 sin 𝜽𝝓 , determine: 
a) a lagrangiana 
𝐿 = 𝑇 + 𝑉 = 𝑇 =
1
2
𝑚𝑣2 =
1
2
𝑚 𝑟 2 + 𝑟2𝜃 2 + 𝑟2𝜙 2𝑠𝑖𝑛2𝜃 
b) Os momentos conjugados 
 
𝑝𝑟 = 𝑚𝑟 
𝑝𝜃 = 𝑚𝑟
2𝜃 
𝑝𝜙 = 𝑚𝑟
2𝑠𝑖𝑛2𝜃𝜙 
 →
𝑟 =
𝑝𝑟
𝑚
 
𝜃 =
𝑝𝜃
𝑚𝑟2
 
𝜙 =
𝑝𝜙
𝑚𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃
 
Dinâmica Hamiltoniana 
c) a hamiltoniana 
𝐻 𝑞, 𝑝, 𝑡 = 𝑞 𝑖𝑝𝑖
𝑛
𝑖=1
− 𝐿 𝑞, 𝑞 , 𝑡 
𝐻 = 𝑟 𝑝𝑟 + 𝜃 𝑝𝜃 + 𝜙 𝑝𝜙 − 𝐿 
𝐻 =
𝑝𝑟
2
𝑚
+
𝑝𝜃
2
𝑚𝑟2
+
𝑝𝜙
2
𝑚𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃
−
𝑚
2
𝑝𝑟
𝑚
2
−
𝑚𝑟2
2
𝑝𝜃
𝑚𝑟2
2
−
𝑚𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃
2
𝑝𝜙
𝑚𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃
2
 
𝑯 =
𝟏
𝟐𝒎
𝒑𝒓
𝟐 +
𝒑𝜽
𝟐
𝒓𝟐
+
𝒑𝝓
𝟐
𝒓𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽
 
Dinâmica Hamiltoniana 
Exemplo 17: Maquina de Atwood 
Pelos dados da figura, temos 
𝑇 =
1
2
𝑚1𝑥 
2 +
1
2
𝑚2𝑥 
2 𝑉 = −𝑚1𝑔𝑥 −𝑚2𝑔 𝑙 − 𝑥 
𝑉 = −𝑚1𝑔𝑥 −𝑚2𝑔𝑥 
Desprezando o termo constante, temos 
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 𝐿 =
1
2
𝑚1 +𝑚2 𝑥 
2 + 𝑚1 −𝑚2 𝑔𝑥 
𝐻 = 𝑞 𝑖𝑝𝑖 − 𝐿 = 𝑝𝑥 − 𝐿 
A expressão do hamiltoniano é dada por 
𝐻 = 𝑝𝑥 − 𝐿 = 𝑝𝑥 −
1
2
𝑚1 +𝑚2 𝑥 
2 + 𝑚1 −𝑚2 𝑔𝑥 
A expressão do lagrangiano fica 
Dinâmica Hamiltoniana 
𝐻 = 𝑝𝑥 − 𝐿 = 𝑝𝑥 −1
2
𝑚1 +𝑚2 𝑥 
2 + 𝑚1 −𝑚2 𝑔𝑥 
O hamiltoniano deve ser escrito apenas em termos de coordenadas e momentos, 
eliminando as velocidades. 
𝑝 =
𝜕𝐿
𝜕𝑥 
= (𝑚1 +𝑚2)𝑥 
Substituindo a equação 
𝐻 = 𝑝𝑥 −
1
2
𝑚1 +𝑚2 𝑥 
2 + 𝑚1 −𝑚2 𝑔𝑥 
𝑝 =
𝜕𝐿
𝜕𝑥 
= (𝑚1 +𝑚2)𝑥 
no hamiltoniano 
obtemos 𝐻 =
𝑝2
2 𝑚1 +𝑚2 2
+ 𝑚1 −𝑚2 𝑔𝑥 
Dinâmica Hamiltoniana 
Calculando as equações de Hamilton 
𝐻 =
𝑝2
2 𝑚1 +𝑚2 2
+ 𝑚1 −𝑚2 𝑔𝑥 
𝑞 𝑖 =
𝜕𝐻
𝜕𝑝𝑖
→ 𝑥 =
𝜕𝐻
𝜕𝑝
=
𝑝
𝑚1 +𝑚2
 
𝑝 𝑖 = −
𝜕𝐻
𝜕𝑞𝑖
 → 𝑝 = −
𝜕𝐻
𝜕𝑥
= 𝑚1 −𝑚2 𝑔 
Combinando as duas expressões, obtemos a expressão para a aceleração 
com que as massas se deslocam 
𝑥 =
𝑚1 −𝑚2
𝑚1 +𝑚2
𝑔 
Dinâmica Hamiltoniana 
Exemplo18: 
Dinâmica Hamiltoniana 
Dinâmica Hamiltoniana 
Dinâmica Hamiltoniana 
Dinâmica Hamiltoniana