AULA 10- Ondas I

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Ondas I 
Física 2 aula 10 
2o semestre, 2012 
Ondas mecânicas 
Ondas são oscilações que se deslocam em 
um meio, mas que não carregam matéria. 
As ondas podem percorrer grandes distâncias, 
mas o meio tem um movimento apenas limitado. 
http://www.acs.psu.edu/drussell/demos/waves/wavemotion.html 
Ondas longitudinais e transversais 
Ondas tipo P 
Ondas tipo S 
Ondas na superfície de líquidos: 
longitudinais + transversais 
 
Parâmetros da Onda 
T
f
1

Transporte de energia 
Velocidade de propagação da onda 
vT fv  
A velocidade de propagação da onda depende apenas do meio em que a onda 
se propaga e não da amplitude, frequência ou comprimento de onda 
Forma de onda 
 “ondas contínuas” são 
infinitas em ambas direções 
v 
v 
 “pulsos” causados por um 
breve distúrbio do meio 
v 
 “trens de pulsos” são situações 
 intermediárias. 
Descrição Matemática 
Supor que temos alguma 
função y = f(x): x 
y 
f(x-a) tem a mesma forma, só que deslocada 
uma distância a à direita: 
x 
y 
x=a 0 
0 
Seja a=vt então f(x-vt) será 
descrita pela mesma forma, se 
movendo à direita com 
velocidade v. x 
y 
x=vt 0 
v 
Supor que temos alguma 
função y = f(x): x 
y 
 
  13
2
,
2


tx
txy
 
1
2
,
2 

x
txy
 
  13
2
,
2


x
txy
 
  16
2
,
2


x
txy
st 0
st 1
st 2
Pulso para a direita 
Onda harmônica 
 Considere uma onda harmônica 
em x com comprimento de onda . 
 
 
2
cosy x A x


 
  
 
Se a amplitude for máxima em 
x=0 essa onda tem a forma: 
y 
x 
 
A 
Mas, se ela está se movendo 
para a direita com velocidade 
v ela será descrita por: 
x 
y v 
   
2
, cosy x t A x vt


 
  
 
Onda harmônica... 
   
2
, cosy x t A x vt


 
  
 
Usando 
2
v
T
 

 vista anteriormente, e definindo 
2
k



Desse modo, vimos que uma simples onda 
harmônica se movendo com velocidade 
v na direção x é descrita pela equação: 
Podemos escrever a equação como:    , cosy x t A kx t 
(e como descrever uma onda se movendo na direção -x ?) 
Resumo: onda progressiva 
A formula 
descreve uma onda harmônica de 
amplitude A se movendo na 
direção +x. 
   , cosy x t A kx t 
y 
x 
 
A 
Cada ponto na onda oscila na direção y com 
movimento harmônico simples de frequência 
angular . 
2
k

 O comprimento de onda é: 
v
k

A velocidade da onda é: 
A quantidade k é chamada “número de onda”. 
Considere a onda 
   tkxAtxy  cos,
 tkxAsen
t
y
dt
dy
v
cx
y





Velocidade transversal 
 tkxA
t
v
dt
dv
a
y
cx
y
y





cos2
Aceleração transversal 
A equação de onda 
Derivando com 
relação a x    tkxAtxy  cos,
 tkxkAsen
x
y
dx
dy
ct





 tkxAk
x
y
dx
yd
ct





cos2
2
2
2
2
e 
A equação de onda 
Note que 
   tkxAtxy  cos,
A equação de onda em 1D 
 tkxA
x
y
k



 cos
1
2
2
2
 tkxA
t
y




 cos
1
2
2
2
2
2
22
2 1
t
y
vx
y





2
2
2
2
2
2
t
yk
x
y






2
2
2
1


k
v
A equação de onda 
A equação de onda em 1D foi mostrada para uma onda em 
particular 
0
1
2
2
2
2
2






x
y
t
y
v
2
2
2
1


k
v
A equação de onda 
De fato ela é válida para qualquer tipo de onda 
   vtxftxy ,
 
t
txy
v
y



,
 
2
2 ,
t
txy
a
y



vtxx '
'
'
' dx
df
v
t
x
dx
df
t
y





   vvtx
tt
x





 '
& 
onde 
Equação de onda (c. geral) 
Seja 
t
x
dx
df
dx
d
v
dx
df
t
v
t
y


















 '
'''2
2
2
2
2
2
2
'dx
fd
v
t
y



  1' 





vtx
xx
x
2
2
2
2
'dx
fd
x
y



como 
0
1
2
2
2
2
2






x
y
t
y
v
Equação de onda em 1D 
Ondas em uma corda 
 O que determina a velocidade de 
uma onda ? 
 Consideremos um pulso viajando em 
uma corda: 
v 
 Como podemos fazer 
o pulso ir mais 
rápido? 
Ondas em cordas... 
 A tensão na corda é F 
 A massa por unidade de comprimento é m (kg/m) – 
densidade linear de massa 
 A forma da corda no máximo do pulso é 
circular, e tem raio R 
R m 
F 
Hipóteses: 
Ondas em cordas... 
v 
x 
y 
 Considere um referencial movendo-se junto com o pulso 
 Aplique F = ma à pequena porção da corda no “topo” do pulso. 
Ondas em cordas... 
q q 
F F 
x 
y 
 A força resultante FR é a soma da tensão F em 
cada pedaço final do segmento de corda. 
 A força resultante é então no sentido -y. 
FTOT = 2F q 
(como q é pequeno, sen q ~ q) 
Ondas em cordas... 
2q 
m = R 2q m 
R 
x 
y 
 A massa m do segmento é seu comprimento 
 (R x 2q) vezes a densidade linear de massa m. 
q q 
Ondas em cordas... 
R 
v 
x 
y 
 A aceleração a do segmento é v 2/ R (centrípeta!) 
no sentido -y. 
a 
Ondas em cordas... 
 Assim, para FR = ma temos: 
2
2 2 
v
F R
R
q qm 
2F vm 
F
v
m
 
FR m a 
v 
Tensão F 
Massa por unidade 
de comprimento m 
Ondas em cordas... 
 Portanto temos: 
F
v
m

 Aumentando a tensão, aumenta-se a velocidade. 
 Aumentando o peso da corda, diminui-se a velocidade. 
 Estes fatos dependem apenas da natureza do meio, e não 
da amplitude, freqüência, etc da onda. 
v 
tensão F 
Densidade linear 
de massa m 
Pausa para experimento virtual 
m
T
v 
http://phet.colorado.edu/en/simulation/wave-on-a-string 
fv 
Expressões para interpretar o experimento virtual 
Observe a corda com as pontas fixa e solta, tema para a próxima aula 
Velocidades de ondas longitudinais 
 A velocidade de 
ondas longitudinais 
tem uma forma 
similar ao caso de 
uma onda transversal 
 
fator elastico
fator de inercia
v 
ou
E B
v v
 
 
E é o módulo elástico do material; ρ é a 
densidade; B é o módulo de 
compressão volumétrico 
Ondas em 
sólidos 
Ondas em 
gases ou 
líquidos 
p
B
V V

 

F 
vy 
x
y
FF
y



q A força 
A potência 
 
t
y
FvFtxP yy


,  
t
y
x
y
FtxP




,
A potência média é ... 
Potência e intensidade 
Potência e intensidade 
 
t
y
x
y
FtxP




,
   tkxAtxy  cos,
 tkxAsen
t
y  


 tkxkAsen
x
y 


   tkxsenAFktxP   22,
2F vm 
v
k


22
2
1
AvP m
Potência média 
22
2
1
AvP m
A potência média é 
A intensidade da onda 
Area
P
I 
Ondas esféricas tem sua intensidade caindo com 1/r2!! Onde r 
é a distância da fonte. 
24 r
P
Area
P
I


Potência e intensidade 
San Pablo (Espanha)Terremotos são instrutivos 
Ondas P (primárias, longitudinais) 
Ondas S (secundárias, transversais) 
Ondas sísmicas 
http://eqseis.geosc.psu.edu/~cammon/HTML/Classes/IntroQuakes/Notes/waves_and_interior.html 
A separação entre P (que chega antes) e S aumenta com a distância do 
epicentro e a estação sismológica. 
http://www.oregonshakes.com/Seismographs/WebcorderBasics.html 
Ondas S não se propagam na 
parte líquida. (POR QUE?)Isto 
causa regiões de sombra que 
permitem inferir o tamanho de 
cada região formando as 
camadas da terra. 
 
Lembram da aula sobre 
gravimetria?? 
A terra tem um núcleo líquido 
entre os raios 1.2x103 km e 
3.5x103 km. 
Estrutura da terra 
Mais ondas sísmicas: 
como elas aparecem e se manifestam de fato 
As ondas P e S propagam-se pelo corpo da Terra. 
As ondas superficiais são chmadas de Love e Rayleigh