holomorfas

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Universidade Federal da Bahia
Departamento de Matema´tica
Prof. Vin´ıcius Mello
Aluno:
Func¸o˜es Holomorfas
1. Encontre as partes real e imagina´ria das se-
guintes func¸o˜es. Verifique se elas satisfazem as
equac¸o˜es de Cauchy-Riemann.
(a) w = z2 + i
(b) w =
√
z + 1
(c) w = 2z2 − 3z + 5
(d) w =
z − 1
z + 1
(e) w = zn (use coord. polares)
2. Encontre a imagem pela func¸a˜o f(z) =
1
z
das
seguintes curvas:
(a) x = C (reta vertical)
(b) y = C (reta horizontal)
(c) |z| = R (c´ırculo com centro na origem)
(d) arg z = a (semireta pela origem)
(e) |z − 1| = 1
3. Encontre a imagem dos c´ırculos |z| = R pela
func¸a˜o
f(z) = z +
1
z
.
4. Uma func¸a˜o u(x, y) e´ dita harmoˆnica se
∂xxu+ ∂yyu = 0.(Eq. de Laplace)
Mostre que as partes real e imagina´ria de uma
func¸a˜o holomorfa sa˜o harmoˆnicas.
5. Quais das seguintes func¸o˜es podem ser a parte
real ou imagina´ria de uma func¸a˜o holomorfa?
(a) u(x, y) = x2 − xy + y2
(b) u(x, y) = x3 − x2 + y3
(c) u(x, y) = x2 + y2 − 5x
(d) u(x, y) =
x2 − y2
x2 + y2
2
6. Mostre que se duas func¸o˜es f(z) e g(z) satisfa-
zem as equac¸o˜es de Cauchy-Riemann, sua soma
e produto tambe´m satisfazem.
7. As func¸o˜es racionais da forma
f(z) =
az + b
cz + d
com ad − bc 6= 0 sa˜o denominadas func¸o˜es de
Mo¨bius. Mostre que a composic¸a˜o de duas
func¸o˜es de Mo¨bius e´ tambe´m uma func¸a˜o de
Mo¨bius.
Respostas dos Exerc´ıcios
1. (a) u = x2 − y2,v = 1 + 2xy
(b) u2 + v2 = x+ 1, 2uv = y
(c) u = 2x2 − 2y2 − 3x+ 5, v = 4xy − 3y
(d) u =
x2 − y2 − 1
(x+ 1)2 + y2
, v =
2xy
(x+ 1)2 + y2
(e) u = rn cosnθ, v = rn sennθ
2. (a) C´ırculo u2 + v2 − u
C
, para C 6= 0 e eixo
u = 0 para C = 0.
(b) C´ırculo u2 + v2 − v
C
, para C 6= 0 e eixo
v = 0 para C = 0.
(c) C´ırculo |w| = 1
R
(d) Semireta argw = a
(e) Reta u =
1
2
3. A func¸a˜o mapeia o c´ırculo |z| = R na elipse
u2(
R+ 1R
)2 + v2(
R− 1R
)2 = 1,
se R 6= 1, e no segmento v = 0,−2 ≤ u ≤ 2,
caso contra´rio.
4. Sugesta˜o: derive as equac¸o˜es de Cauchy-
Riemann com relac¸a˜o a x e a y.
5. (a) Na˜o pode.
(b) Na˜o pode.
(c) Na˜o pode.
(d) Pode.