Matematica_Financeira_and_Engenharia_Eco

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Matemática Financeira e 
 Engenharia Econômica 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
 
Florianópolis 
2015-março. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
2 
 
 
 
 
 
 
 
A958m AVILA, Antonio Victorino. 
 Matemática financeira e engenharia econômica / Antonio 
Victorino Avila; Florianópolis. ”Programa de Educação Tutorial 
da Engenharia Civil – UFSC”, 2012. 
297p.: il. color. ; 24 cm. 
 
 
 Inclui Bibliografia. 
 
 
 1. Matemática financeira. 2. Engenharia econômica. 3. 
Juros. 4. Capital. 5. Comissionamento de ativos. 6. 
Substituição de ativos. I. Título. 
 
 CDU 624 
 
Catalogação na publicação por Graziela Bonin – CRB14/1191 
Copyright do autor 
Registro EDA nº 585.911 em 12.12.2012 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
3 
 
 
 
ÍNDICE. 
 
PRÓLOGO ....................................................................................................... 8 
1. Premissas e Conceitos. ............................................................................. 9 
1.1 – Introdução. ......................................................................................... 9 
1.2– Remuneração dos Fatores de Produção. ......................................... 9 
1.3 – Premissas. ........................................................................................ 10 
1.4 - Nomenclaturas das taxas de juros. ................................................. 13 
1.5 – Composição da Taxa Real.............................................................. 15 
1.6 – Definições ......................................................................................... 15 
1.7 – Necessidades de Alternativas. ....................................................... 16 
2. Matemática Financeira ............................................................................ 21 
2.0 - Introdução ......................................................................................... 21 
2.1 – Conceituações de Juros.................................................................. 21 
2.2 – Juros Simples .................................................................................. 22 
2.2.1 – Definição de Juros Simples. ........................................................ 22 
2.2.2 – Operações com Juros Simples. ................................................... 22 
2.2.3 - Operações de desconto. .............................................................. 23 
2.2.4 - Relações entre Descontos e Taxas ............................................. 26 
2.2.5 – Tempo Exato e Comercial ........................................................... 27 
2.2.6 – Exercícios Resolvidos. ................................................................ 27 
2.2.7 – Exercícios Propostos. .................................................................. 30 
2.3 – Juros Compostos. ........................................................................... 32 
2.3.1 - Definição. ..................................................................................... 32 
2.3.2 - Fórmulas Básicas: ........................................................................ 32 
2.3.3 – Valor Presente e Valor Futuro ..................................................... 33 
2.3.4 - Exemplos ..................................................................................... 37 
2.3.5 – Correlação Entre Taxas de Juros Compostos. ............................ 37 
2.3.6 - Cuidados a observar. ................................................................... 39 
2.3.7 - Exercício Resolvido. .................................................................... 40 
2.3.8 - Exercícios Propostos. .................................................................. 40 
2.4 - Relação entre as taxas nominal e real. ........................................... 41 
2.4.1 – Efeito da Inflação ........................................................................ 41 
2.4.2 – Relação entre taxas. ................................................................... 43 
2.4.3 – Inflação e Índices. ....................................................................... 44 
2.5 – Inflação Acumulada. ........................................................................ 46 
2.5.1 – Fórmulas Básicas. ....................................................................... 46 
2.5.2 – Atualização de valores monetários. ............................................ 47 
2.5.3 – Aplicação. .................................................................................... 49 
2.6 – Exercícios Considerando Inflação. ................................................ 51 
3. Séries de Capitais. .................................................................................. 57 
3.0 – Introdução. ...................................................................................... 57 
3.1 – Série Uniforme Postecipada. .......................................................... 57 
3.1.1 - Valor Presente ou Valor Atual da Série Postecipada. .................. 58 
3.1.2 - Valor Futuro da Série Postecipada. ............................................. 60 
3.1.3 - Exemplo. ...................................................................................... 61 
3.1.4 - Comparando Juros Simples e Compostos. .................................. 61 
3.2 – Série Infinita. .................................................................................... 63 
3.2.1 – Conceituação. ............................................................................. 63 
3.2.2 – Exercício Resolvido. .................................................................... 64 
3.3 – Série Uniforme Antecipada. ............................................................ 65 
3.3.1 – Valor Presente da Série Antecipada ........................................... 66 
3.3.2 – Valor Futuro da Série Antecipada. .............................................. 67 
3.3.3 – Aplicação. .................................................................................... 68 
3.4 – Série Diferida. ................................................................................... 70 
3.4.1 – Metodologia ................................................................................. 70 
3.4.2 - Aplicação ..................................................................................... 71 
3.5 – Exercícios Propostos. ..................................................................... 72 
4. Amortizações de Dívidas ........................................................................ 77 
4.1 – Tipos de Sistemas. .......................................................................... 77 
4.2 - Sistemas de Amortização Constante - SAC ................................... 78 
4.2.1 – A metodologia ............................................................................. 78 
4.2.2 - Exemplo ....................................................................................... 79 
4.3 - Sistemas de prestação constante ................................................... 80 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
4 
 
4.3.1 - Conceituação ............................................................................... 80 
4.3.2 – Metodologia de Calculo. .............................................................. 80 
4.3.3 - Exemplo ....................................................................................... 81 
4.4 – O sistema de amortização variável. ............................................... 81 
4.4.1 – Conceituação. .............................................................................81 
4.4.2 - Metodologia .................................................................................. 82 
4.4.3 – Comentários ................................................................................ 82 
4.4.4 - Exemplo ....................................................................................... 83 
4.5 - O sistema americano. ....................................................................... 83 
4.5.1 - Metodologia. ................................................................................. 84 
4.5.2 - Exemplo. ...................................................................................... 84 
4.6 – O sistema alemão. ........................................................................... 84 
4.6.1 – Característica .............................................................................. 84 
4.6.2 – Relação entre Amortizações. ...................................................... 85 
4.6.3 – Determinação da Prestação. ....................................................... 86 
4.6.4 – Equivalência Financeira. ............................................................. 86 
4.6.5 – Exemplo. ..................................................................................... 87 
4.7 – O sistema de amortização crescente - SACRE ............................. 88 
4.7.1 – O Sistema .................................................................................... 88 
4.7.2 – A metodologia. ............................................................................ 89 
4.7.3 – Exemplo ...................................................................................... 90 
4.7.4 - Comentários ................................................................................. 90 
4.8 – Correção do saldo devedor. ............................................................ 91 
4.8.1 – Procedimentos ............................................................................ 91 
4.8.2 – Metodologia ................................................................................. 91 
4.8.3 – Aplicação ao Sistema SAC .......................................................... 92 
4.9 – Exercícios Propostos.................................................................. 94 
5. –Engenharia Econômica. ....................................................................... 101 
5.1 – Conceituação. ................................................................................ 101 
5.2 – Análise de Viabilidade. .................................................................. 102 
5.2.1 - O Processo da Tomada de Decisão. ......................................... 102 
5.2.2 – Métodos de Decisão. ................................................................. 103 
5.3 – O Processo da Análise de Viabilidade. ...................................... 104 
5.3.1 - Orçamento de Investimentos. .................................................... 104 
5.3.2 – Projeções Operacionais. ........................................................... 105 
5.3.3 – Vida Útil ou Horizonte do Investimento...................................... 107 
5.3.4 – O Custo de Capital. .................................................................. 108 
5.3.5 – Fontes de Recursos. ................................................................. 108 
5.4 – O Fluxo de Caixa ........................................................................... 109 
5.4.1 – Conceituação ............................................................................ 109 
5.4.2 - Diagrama de Fluxo de Caixa – DFC. ........................................ 109 
5.4.3 – Calculo do Fluxo de Caixa ........................................................ 110 
5.5 – Valor Presente. ............................................................................... 112 
5.5.1 – Valor de um Ativo. ..................................................................... 112 
5.5.2 – Calculo do Valor Presente Líquido. ........................................... 112 
5.5.3 – Diagrama de Valor Presente ..................................................... 114 
5.5.4 – Exemplo de Aplicação ............................................................... 115 
5.6 – O Custo do capital. ........................................................................ 116 
5.6.1 – Conceitos. ................................................................................. 116 
5.6.2 – A Taxa de Mínima Atratividade - TMA...................................... 117 
5.7 - Fontes de Capital. ........................................................................... 122 
5.8 - Previsão de Fluxo de Caixa. ......................................................... 125 
5.8.1 – Modelo de Procedimento .......................................................... 125 
5.8.2 – Informações Gerenciais. ........................................................... 126 
5.9 – Tributos e Depreciação ................................................................. 126 
5.9.1 – Influência dos Tributos. ............................................................. 126 
5.9.2 – Influencia da Depreciação. ........................................................ 128 
5.10 – Classificação dos Investimentos. .............................................. 128 
5.10.1 – Pela Variação dos Fluxos de Caixa. ....................................... 129 
5.10.2 – Disponibilidade de Recursos para Investimentos. ................... 130 
5.11 – Exercício Resolvido. .................................................................... 130 
5.12 - Exercícios Propostos. ................................................................. 131 
6. Método do Valor Presente Líquido. ...................................................... 135 
6.1 - Objetivo do Método. ...................................................................... 135 
6.2 – Coerência de Resultados. ............................................................. 135 
6.2.1 - Projetos na mesma classe de risco ........................................... 136 
6.2.2 - A mesma taxa de desconto. ...................................................... 136 
6.2.3 - Projetos com idêntica vida útil. .................................................. 136 
6.2.4 - Distinguir projetos de longa duração .......................................... 137 
6.3 – O Método do valor presente. ........................................................ 137 
6.3.1 – Incremento de Riqueza. ............................................................ 137 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
5 
 
6.3.2 - Decisão ...................................................................................... 138 
6.3.3 – Diagrama de Valor Presente Líquido ........................................ 142 
6.4 - Análise de Sensibilidade e Risco. ................................................. 145 
6.4.1 – Conceituação. ........................................................................... 145 
6.4.2 – Domínio viável de produção. ..................................................... 146 
6.5 – Aplicação. ....................................................................................... 147 
6.6 - Equalização de tempos de projetos. ............................................ 150 
6.6.1 – Reinvestimento em ativos semelhantes .................................... 150 
6.6.2 – Caso de Rigidez das Alternativas .............................................. 152 
6.6.3 – Caso de Outras Oportunidades. ................................................ 153 
6.7 – Consistência VPL e Custo de Capital........................................... 153 
6.8 – Exercícios Resolvidos. .................................................................. 154 
6.8.1 – Exercício de Fluxo de Caixa. ..................................................... 154 
6.8.2 - Caso da Jazida Mineral. ............................................................155 
6.9 – Exercícios Propostos .................................................................... 157 
7. Método da Recuperação de Capital ...................................................... 167 
7.1 - Introdução ....................................................................................... 167 
7.2 - Metodologia. .................................................................................... 167 
7.3 – Exercício. ........................................................................................ 169 
8. Método do Valor Uniforme Equivalente. .............................................. 171 
8.1 – Introdução ...................................................................................... 171 
8.2 - Decisão ............................................................................................ 172 
8.3 – Metodologia do MVUE. .................................................................. 173 
8.3.1 – Artificio para Reinvestimentos. .................................................. 173 
8.3.2 – Procedimentos .......................................................................... 174 
8.4 – Exemplos de Aplicação. ................................................................ 175 
8.4.1 - Caso .......................................................................................... 175 
8.4.2 – Manutenção em Comissionamento ........................................... 177 
8.4.3 – Análise Crítica. .......................................................................... 179 
8.4.4 – Produção de Novo Produto. ...................................................... 180 
8.5 - Exercícios Propostos. .................................................................... 183 
9. Taxa Interna de Retorno. ....................................................................... 185 
9.1 – Conceituação. ................................................................................ 185 
9.2 – Utilização da TIR. ........................................................................... 186 
9.3 - Decisão ............................................................................................ 186 
9.5 – Aplicações da TIR. ......................................................................... 187 
9.5.1 - Caso de títulos mobiliários. ........................................................ 187 
9.5.2 - Caso de financiamentos............................................................. 188 
9.5.3 – Caso de investimentos produtivos ............................................ 189 
9.6 – Calculo da TIR. ............................................................................... 191 
9.6.1 – Função Polinomial ..................................................................... 191 
9.6.2 - Processo da Bisseção................................................................ 192 
9.6.3 – Aplicação da metodologia ......................................................... 193 
9.7 - Existência de múltiplas TIR ........................................................... 195 
9.8 – Exercícios. ...................................................................................... 197 
10. Métodos Algébricos. ............................................................................ 201 
10.1 – Introdução. ................................................................................... 201 
10.2 - Caso de Prestações Constantes. ................................................ 201 
10.2.1 – O método ............................................................................... 201 
10.2.2 – Aplicação ................................................................................. 202 
10.3 - Caso de Prestações Crescentes. ................................................ 203 
10.3.1 – O Método ................................................................................ 203 
10.3.2 – Aplicação ................................................................................. 203 
10.4 – Caso de Prestações Decrescentes. ........................................... 204 
10.4.1 – O Método. ............................................................................... 204 
10.4.2 – Aplicação. ................................................................................ 205 
10.5 - Exercícios...................................................................................... 205 
11. – Comissionamento de Ativos. ........................................................... 209 
11.1 - Introdução ..................................................................................... 209 
11.2 - Metodologias. ............................................................................... 209 
11.2.1 - Decisão. ................................................................................... 209 
11.2.2 - Compra a vista ......................................................................... 210 
11.2.3 - Compra a prazo ....................................................................... 211 
11.2.4 - Aluguel com devolução do bem ............................................... 211 
11.2.5 - Aluguel sem devolução do bem ............................................... 212 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
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11.3 - Leasing-back. ................................................................................ 213 
11.4 – Exercício Resolvido. .................................................................... 213 
12 – Alienação de Ativos. .......................................................................... 219 
12.1 – Introdução. ................................................................................... 219 
12.2 - Baixa Sem Reposição................................................................... 221 
12.2.1 – Processo de decisão. .............................................................. 221 
12.2.2 – Exemplo. ................................................................................. 221 
12.3 - Baixa com Reposição. .................................................................. 222 
12.3.1 - Reforma ou Substituição por não Similar. ................................ 223 
12.3.2 - Continuidade da Produção com Equipamento Similar. ............ 224 
12.4 - Mudança de Tecnologia. .............................................................. 225 
12.5 - Ativos Com Longa Vida Útil ......................................................... 225 
12.6 – Exercícios. .................................................................................... 226 
12.6.1 - Análise de alienação de ativo .................................................. 226 
12.6.2 - Data de Alienação. ................................................................... 227 
13 – Capital de Giro. ................................................................................... 229 
13.1 – A importância do capital de giro. ............................................... 229 
13.2 – A importância da tomada de decisão. ........................................ 230 
13.3 – Nível do capital de giro. ............................................................... 231 
13.3.1 - Nível Atual. .............................................................................. 232 
13.3.2 – Capital de giro bruto. ............................................................... 232 
13.3.3 - Capital de giro líquido............................................................... 233 
13.3.4 – O capital de giro próprio. ......................................................... 233 
13.3.5 – Aplicação. ................................................................................ 234 
13.4.1 – Método das Relações Médias. ................................................ 236 
13.4.2 – Método Analítico. ..................................................................... 237 
13.4.3 – Método do fluxo de caixa. ........................................................238 
13.4.4 – Fluxo de caixa descontado ...................................................... 243 
13.4.5 – Balanço Projetado. .................................................................. 243 
13.5 – Exercícios. .................................................................................... 244 
13.5.1 – Exercício Resolvido. ................................................................ 244 
13.5.2 – Exercícios Propostos. .............................................................. 246 
14 - Custo de Capital. ................................................................................. 249 
14.1 – Conceitos. ..................................................................................... 249 
14.2 – Fontes de Capital. ........................................................................ 249 
14.3 – Definição do Custo do Capital. ................................................... 251 
14.3.2 – Custo Médio Ponderado.......................................................... 251 
14.3.3 – A Partir do Balanço. ................................................................ 252 
14.3.4 – Consistência Financeira do CMP. ........................................... 253 
14.4 - Teoria do Preço das Ações.......................................................... 254 
14.4.1 – Introdução. .............................................................................. 254 
14.4.2 - Dividendos Constantes. ........................................................... 255 
14.4.3 - Modelo De Gordon. .................................................................. 255 
14.4.4 - Modelo de Modigliani – Miller. .................................................. 256 
14.4.5 – Preço das Ações Preferenciais. .............................................. 257 
14.4.6. - Custo dos Lucros Retidos. ...................................................... 257 
14.5 - Debêntures. ................................................................................... 258 
14.6 – Exercícios. .................................................................................... 258 
14.7 - Artigo: Dividendos e Fluxo de Caixa. ....................................... 262 
Índices de Inflação ..................................................................................... 265 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS. ........................................................... 271 
ANEXOS - Casos e Trabalhos ............................................................... 272 
Anexo I - Trabalhos. ................................................................................... 273 
I.1 – Trabalho: Análise de Fluxo de Caixa. .......................................... 274 
I.2 - Trabalho: Métodos de amortização. .............................................. 277 
I.3 – Trabalho: Viabilidade de troca de lâmpadas ............................... 279 
Anexo II - Casos em Engenharia Econômica. ........................................ 282 
II.1 – Caso: Ampliação da Sede. .......................................................... 283 
II.2 – Caso: Fabrica de protendidos. ..................................................... 284 
II.3 – Caso: Implantação de Termelétrica. ............................................ 285 
II.4 – Caso: Viabilidade de construção de ponte. ................................. 286 
II.5 – Caso: Refinaria de petróleo .......................................................... 286 
II.6 – Caso: Aquisição de prensas. ........................................................ 287 
II.7 – Caso: Financiamento de residência. ........................................... 287 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
7 
 
II.8 – Caso: Venda de Apartamento. ..................................................... 288 
II.9 – Caso: Plano de Construção ......................................................... 288 
Anexo III ...................................................................................................... 290 
 
 
 
 
 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
8 
 
 
 
PRÓLOGO 
 
O objetivo desta publicação é dispor ao aluno de uma 
expressão documental coerente com o conteúdo apresentado 
em sala de aula. E, assim, permitir o acompanhamento e a 
participação nas discussões realizadas. 
 
 O conteúdo abordado abrange a Matemática Financeira e 
a Engenharia Econômica. 
 
 A Engenharia Econômica corresponde ao campo do 
conhecimento que abrange métodos ou modelos que, baseados 
em fatores técnicos, financeiros e sociais, permitem o 
julgamento de conjunto de alternativas propostas para a 
aplicação ou utilização de recursos, sejam naturais, tecnológicos 
ou, financeiros, favorecendo a sua otimização. 
 
 A Engenharia Econômica inicia pelo conhecimento da 
Matemática Financeira, campo da matemática destinada à 
análise de juros, equivalência de capitais de capitais 
considerando, especialmente, sob a ótica do binômio juro versus 
tempo. 
 
 A importância desta área do conhecimento para o 
engenheiro é que, inexoravelmente, no exercício da sua 
profissão e como gestor, se deparará com decisões de inversão 
de capital em: alternativas de investimentos em ativos e 
equipamentos; aplicação de capital financeiro; manutenção, 
baixa e substituição de ativos; previsão de exigibilidades de 
caixa; etc.. 
 
 Além disso, a análise de viabilidade financeira de projetos 
é uma das atividades profissionais dos engenheiros definidas 
pela Lei 5.194 ao elencar o campo das atribuições do 
profissional. 
 
No Brasil, comumente, cinco erros são cometidos em 
processos de decisão: 
 
 Desconsiderar a perda do valor aquisitivo da moeda no 
tempo; 
 Não distinguir entre juros descontados de juros 
postecipados; 
 Utilizar a matemática dos juros simples em lugar de juros 
compostos; 
 Confundir juros nominais com juros reais; 
 Respeitar a aritmética dos juros compostos, mas, supondo 
que as taxas de juros se mantenham inalteradas no tempo. 
Erros que podem levar a decisões equivocadas sobre 
decisões de investimentos. E, incorrer em algum erro de decisão 
pode ser fatal para a rentabilidade de um projeto ou da liquidez 
da empresa. 
 
Assim sendo, o conhecimento de Engenharia Econômica 
é uma ferramenta de decisão imprescindível ao profissional ao 
efetuar decisões que considerem aplicação de capital. 
 
 Finalizando, recomenda-se ao interessado consultar a 
bibliografia apresentada, pois o conteúdo exposto não esgota o 
assunto. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
 MSc. Eng.ª de Produção 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
9 
 
 
 
1. Premissas e Conceitos. 
 
 
1.1 – Introdução. 
 
 O objetivo deste capítulo é apresentar ao interessado 
uma série de premissas, conceitos e definições que amparam o 
processo de decisão financeira e os métodos de decisão 
utilizados na Matemática Financeira e na Engenharia 
Econômica. 
 
 Matemática Financeira é definida como sendo a área da 
matemática que descreve as relações entre o binômio tempo e 
dinheiro necessárias a amparar o calculo de decisões 
financeiras. 
 
 Assim sendo, a matemática financeira estuda, 
basicamente, a formação dos juros, os montantes de capital 
gerados, o valor de prestações em séries e a amortização de 
dívidas. 
 
A Engenharia Econômica contempla um conjunto de 
conhecimentos e metodologias que, amparadas na matemática 
financeira, permite realizar o processo de tomada de decisão 
quanto à eleição ou a classificação de alternativas de 
investimentos financeiros. 
 
Esses investimentos podem ser referentes a: aplicação de 
capital em ações; renda fixa ou variável; aquisição de bens e 
equipamentos; implantação de sistemas de produção ou de 
serviços; a baixa e a substituição de equipamentos; etc.. Investimentos Produtivos
 Aplicação de Capital
 Comissionamento de Ativos
Objetivo da
Engenharia Econômica
Análise de 
Viabilidade Financeira
 Melhor Alternativa
 de Aplicação de Capital
Figura 1.1 – Objetivo da Engenharia Econômica
 
 
 
1.2– Remuneração dos Fatores de Produção. 
 
 No sistema econômico em que vivemos a, demanda por 
fatores de capital necessários à produção de bens e serviços 
são: mão de obra; capital; terra; empresas; e a capacidade 
técnica, requer remuneração. 
 
Conforme o caso, esta remuneração recebe denominação 
distinta. Assim sendo, o capital é remunerado pelos juros; a terra 
pelo aluguel; a técnica ou patentes pelos royalties; a empresa 
pelo lucro ou taxa de mínima atratividade, TMA; a mão de obra 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
10 
 
pelo salário, conforme esquema da Figura 1.2 – Remuneração 
dos Fatores de Produção. 
 
Mão de 
Obra
H
Salário
Capital
H
Juros
Terra
H
Aluguel
Empresa
H
Lucro
-TMA-
Técnica
H
Royalties
Figura 1.2 - Remuneração dos Fatores de Produção
Fatores de Capital
 
 
Os juros, tanto podem ser relacionados a um empréstimo 
tomado por pessoa física ou jurídica, como ao financiamento 
tomado na aquisição de bens ou a remuneração do capital de 
sócios. 
 
O objetivo desta obra será discutir a remuneração do 
capital, ou seja, os juros. E, o aumento de riqueza propiciado 
pela aplicação de capital em projetos de investimentos 
produtivos ou financeiros. 
 
 Para tanto, será discutido um conjunto de metodologias 
que permitam a realização de um coerente processo de decisão 
quanto à escolha de investimentos produtivos ou da aplicação 
de capital que atenda, corretamente, aos preceitos da 
Matemática Financeira e da Engenharia Econômica. 
 
 
1.3 – Premissas. 
 
 A matemática financeira e a engenharia econômica, como 
instrumentos de apoio à tomada de decisão, se apoiam nas 
seguintes premissas: 
 
1ª Premissa – MAXIMIZAÇÃO DA RIQUEZA. 
 
O objetivo de utilizar a engenharia econômica e a 
matemática financeira é amparar um processo de decisão capaz 
de eleger a alternativa de investimentos que maximize o lucro e 
a riqueza dos proprietários, sempre. 
 
2ª Premissa – MOMENTO DA DECISÃO. 
 
As decisões financeiras devem enfocar o quanto uma 
ação efetuada no presente resultará em termos de aumento de 
riqueza no futuro. 
 
 Assim, ao ser analisado um empreendimento já em curso, 
a decisão em data presente em continuá-lo, em alterar a sua 
aplicação ou objetivo, ou simplesmente descontinua-lo deverá 
basear-se em perspectivas futuras e não em resultados 
passados. 
 
Só se decide sobre ações relativas ao futuro. O passado 
já ocorreu e sobre ele nada há que decidir. Em relação ao futuro 
só temos expectativas. De modo que as decisões são sempre 
formadas sobre expectativas. 
 
A 2ª Premissa estabelece que o momento da decisão seja 
sempre a data em que a mesma foi tomada: HOJE. 
 
Como se decide sobre expectativas futuras, há que se 
considerar a variação do valor aquisitivo da moeda no tempo 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
11 
 
para que haja consistência quando se compara valores 
monetários. 
 
Isto porque, é de entendimento comum e mesmo de modo 
intuitivo que, disponível uma quantidade de moedas na data de 
hoje, em data futura a quantidade de bens a adquirir com a 
mesma quantidade de moeda é diferente daquela anterior. 
 
Somente se somam ou se subtraem
 valores monetários
 correlacionados à mesma data.
Atenção! Coerência !
 
 
Sob essa consideração, toda operação efetuada com 
valores monetários, seja de adição de valores, ou seja, as 
entradas de caixa. Ou, a diminuição de valores, a exemplo de 
custos incorridos, investimentos realizados ou impostos devidos, 
deve ser correlacionada à data da tomada de decisão. 
 
Dado o exposto, somente se somam ou se subtraem 
valores monetários financeiros quando correlacionados à mesma 
data, dada a variação do valor da morda no tempo. 
 
 
3ª Premissa - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO. 
 
Financeiramente falando, uma soma de dinheiro na data 
de HOJE, e sob determinadas condições, pode ser 
monetariamente equivalente à outra soma diferente de dinheiro 
considerando a variação do tempo. Ver Figura 1.3. 
 
Sob tal premissa, os critérios de decisão de investimentos 
devem reconhecer o valor do dinheiro no tempo e, como 
corolário dessa premissa, a perda do poder aquisitivo do 
dinheiro com o passar do tempo. 
 
tempo
1.500 ≡
R$
5 x 385,00 R$
1 2 3 4 5 
Figura 1.3 – Equivalência de Valores Monetários
 
 
Para que um ativo mantenha o seu valor aquisitivo e, 
consequentemente, não perca valor no tempo, há que ser 
aplicado com um retorno equivalente à taxa de oportunidade 
definida pela empresa ou adotada pelo investidor. 
 
Como exemplo, seja um investidor dispondo de uma 
soma de capital equivalente a R$ 200.000,00 e havendo a 
oportunidade de aplicá-la a taxa de juros i=14,50 % ao ano, ao 
final de um ano a importância inicial montará em R$ 229.000,00. 
 
O valor de R$ 229.000,00, nas condições relatadas é 
financeiramente equivalente ao valor inicialmente aplicado. 
 
Outro exemplo seja o caso do financiamento de um 
televisor, cujo preço de aquisição é de R$ 1.500,00 a ser quitado 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
12 
 
em cinco prestações iguais, mensais e consecutivas no valor de 
R$ 385,00. Ver Figura 1.2 – Equivalência de valores Monetários. 
 
Sob o conceito de equivalência financeira do valor da 
moeda no tempo, o montante das cinco prestações, a um custo 
de oportunidade de 8,94% ao período, é equivalente ao valor do 
financiamento. Ou seja: R$ 1.500,00 ≡ 5 × 385,00 R$. 
 
 
4ª Premissa – CUSTO DE OPORTUNIDADE. 
 
O custo de oportunidade corresponde à melhor 
remuneração a ser obtida por um fator de produção que seria 
obtida por ele, caso fosse aplicado em outra alternativa de 
investimento, mantida a mesma classe de risco. (Sotto Costa & 
Attie, 1984). 
 
Como corolário da definição acima, o custo de 
oportunidade corresponde à maior taxa de desconto a ser 
adotada quando se compara a rentabilidade de um dado projeto 
com a rentabilidade da melhor alternativa já disponível, 
considerando projetos situados na mesma classe de risco. 
 
A literatura existente trata o custo de oportunidade sob 
distintas denominações, tais como: taxa de rentabilidade, taxa 
de oportunidade; taxa de retorno; taxa de atratividade; taxa de 
desconto ou taxa de mínima atratividade - TMA. Como 
nomenclatura nesta obra será a adotada denominação de TMA 
para a taxa de oportunidade. 
 
Dentro dessa premissa, um investidor que dispõe da 
oportunidade de aplicar seus recursos a X%, e os vinha fazendo 
a taxa y% < X%, sua taxa de oportunidade passará a ser X%, 
pois esta será a melhor aplicação disponível para seus ativos. 
 
Qualquer aplicação efetuada a uma taxa inferior que a de 
oportunidade reduz a realização ou a perspectiva de manter 
seus ganhos num determinado patamar de lucratividade, o que 
contraria a 1ª Premissa. 
 
 
Figura 1.4 – Evolução da Taxa de Oportunidade
Tradicionalmente: 
Remuneração a k%
Oportunidade: Remuneração 
a X% sendo X% > k%
TMA E X%
 
 
Como exemplo da evolução da taxa de oportunidade, seja 
uma empresa que, tradicionalmente, remunera seus ativos à 
taxa de 15% ao ano. Esta é a sua taxa de oportunidade e ela 
não aceita em aplicar recursos á uma taxa inferior a ela. Porém, 
se conseguir remunerar a uma taxa mais elevada, tal como 18% 
ao ano, esta passará a ser a sua nova taxa de oportunidade. 
 
O conceito de considerar ou definir a remuneraçãodo 
capital a ser investido como um custo de oportunidade parte do 
entendimento de que ao ser aplicado um capital numa 
alternativa qualquer, a empresa estaria perdendo a oportunidade 
de aplicá-lo em alternativas mais rentáveis a ocorrerem no 
futuro. 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
13 
 
 
5ª Premissa – DECISÃO & RESULTADO. 
 
É importante observar a diferença entre boas decisões e 
bons resultados, pois, nem sempre, são diretamente 
proporcionais. 
 
Uma boa decisão é a melhor possível, considerando o 
conhecimento disponível sobre qualquer ação em julgamento, no 
momento de sua realização. Havendo alteração do cenário 
previsto ou ocorrendo azar, uma boa decisão pode redundar 
num mau resultado. É um fato a ser considerado. 
 
A recíproca, porém, dificilmente se mostrará verdadeira, 
ou seja, uma má decisão propiciando em bom resultado. Esta 
assertiva contraria a lei de Murphy que diz: “existindo a 
probabilidade de algum fenômeno dar errado, com certeza ele 
dará errado...“. 
 
A ocorrência de uma boa decisão esta vinculada a 
disponibilidade de dados e informações confiáveis e que as 
alternativas reflitam as condições de mercado da época em que 
foram desenvolvidas. São dados perfeitamente controláveis e 
dependentes da acuidade do decisor. Cabe ao analista, elaborar 
um processo com a melhor qualidade possível, visando à 
fidedignidade dos resultados. 
 
Recomenda-se a realização de auditorias pós - decisão 
visando analisar o processo decisório passado e aperfeiçoar a 
qualidade das decisões futuras. É um processo que educa os 
responsáveis por decisões possibilitando avaliar o desempenho 
da organização. 
 
 
1.4 - Nomenclaturas das taxas de juros. 
 
O mercado de capitais e o comércio utilizam uma 
nomenclatura variada para definir as taxas de juros praticadas, 
muitas vezes utilizando denominação diferente para a mesma 
taxa. 
 
 Visando o entendimento das nomenclaturas utilizadas, 
são apresentadas as seguintes definições: 
 
a) Taxa Básica - é a taxa que estabelece a remuneração do 
capital estabelecida por seu proprietário e medida em termos 
de moeda de poder aquisitivo constante. Moeda de poder 
aquisitivo constante é aquela cujo poder de compra se 
mantém inalterada no tempo. Logo, nesta taxa, não está 
embutido o efeito da inflação. 
 
b) Taxa Real – corresponde à taxa básica acrescida de outros 
custos, tributos e do risco vinculado ao tomador do recurso. 
 
c) Taxa Nominal – corresponde à remuneração do capital 
expressa em termos de valores de moeda corrente. Esta 
taxa engloba a taxa real e a inflação prevista. Também pode 
ser denominada de taxa efetiva. Neste caso corresponde à 
taxa empregada para a atualização e pagamento de valores 
monetários. 
 
d) Taxa Efetiva – É a que corresponde, exatamente, ao custo 
do dinheiro empregado ou tomado emprestado. Pode ser 
definida, também como aquela que incide sobre o capital 
efetivamente exposto ao risco. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
14 
 
Matematicamente, a Taxa Efetiva corresponde à razão entre 
o custo do capital tomado e o valor efetivamente recebido. E, 
deve ser entendida como a efetiva taxa de juros a ser paga pelo 
tomador do recurso. 
 
iEfetiva=
Custo do Capital
Valor Recebido
 
Ou 
 iEfetiva=
∑(Juros + Encargos)
Valor Financiado
 
 
 
e) Taxa Declarada – é aquela declarada ou registrada 
nominalmente nos contratos. Normalmente ela é a base para 
o cálculo do juro a ser pago em uma operação. 
 
A taxa declarada pode ser vista de dois modos. Como 
sendo a taxa nominal quando expressamente estabelecida em 
contrato. Ou, sendo a taxa real quando o contrato estabelecer, 
numa clausula a taxa de juros e, noutra cláusula, o índice de 
correção da inflação. 
 
f) Taxa Bruta e Taxa Líquida – são aquelas referenciadas à 
remuneração bruta ou líquida da inversão financeira. 
 
A taxa bruta expressa a taxa pactuada com a consideração 
dos encargos incidentes sobre a operação de empréstimo 
sejam eles impostos, comissões, incentivos fiscais, etc.. 
 
A taxa líquida corresponde à taxa bruta após a dedução dos 
impostos, comissões, incentivos fiscais, etc. incidentes sobre a 
operação de empréstimo. 
 
Das definições acima, pode-se deduzir que a taxa bruta em 
alguns contratos represente a taxa efetiva de juros. 
 
g) Juros Descontados - os juros são ditos descontados quanto 
pagos no ato da operação financeira que lhes deu origem. 
Considerando que os juros efetivamente pagos são 
calculados sobre o capital efetivamente recebido, a taxa 
efetiva é superior à taxa expressa ou pactuada. Neste caso 
a situação é mais favorável ao fornecedor do recurso. 
 
h) Juros Postecipados – os juros são ditos postecipados 
quando pagos na data de vencimento da operação 
financeira que lhe deu origem. Neste caso, os juros 
efetivamente pagos e pactuados são equivalentes, situação 
em que os juros são mais favoráveis ao tomador do recurso. 
 
Pelo exposto neste item, pode se constatar certo conflito de 
entendimento entre algumas das definições. 
 
 Cabe ao tomador do recurso verificar o conceito ou a 
composição das taxa a ser estipulada em cada contrato, pois 
pode haver entendimento diferente entre instituições financeiras 
distintas quanto a definições de taxas de juros expressas em 
contrato. 
 
No transcorrer deste livro e para efeitos didáticos, serão 
utilizadas como nomenclatura, apenas, a taxa nominal e a taxa 
real. Esta ultima, na maioria dos exercícios considerados neste 
livro, com a conotação de taxa básica. 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
15 
 
 
1.5 – Composição da Taxa Real. 
 
A taxa real de juros praticada no mercado financeiro não é 
uma simples taxa que expressa a remuneração desejada pelo 
capitalista. Ela resulta da composição de custos, tributos e do 
risco incidente sobre uma operação financeira. 
 
Resumidamente, corresponde à soma da remuneração 
básica do capital estipulada pelo capitalista acrescida de uma 
taxa suplementar denominada, no mercado financeiro, de 
spread. 
 
iR = iB + iSPREAD 
 
 A taxa do spread tem por objeto cobrir os seguintes 
custos: comissões de corretagem, iF, (também denominada flat); 
custos vinculados ao processo da intermediação financeira, iC; 
tributos sobre operações financeiras, α; e, uma taxa de 
remuneração de risco, iρ. 
 
 Dado o acima exposto, o modelo passa a ter a seguinte 
expressão, sendo cada uma das variáveis relacionadas 
expressa em percentagem: 
 
iR = iB + ( iF + iC + αIOF + iρ) 
 
 No Brasil, o tributo incidente sobre operações financeiras 
é o IOF, cujas alíquotas são definidas por lei e disponíveis do 
site da Receita Federal. 
 
 O valor da taxa de risco, iρ, é definido segundo a 
classificação do nível de risco atribuída ao tomador do recurso. 
 
Para tanto são consideradas as seguintes variáveis: o 
histórico comercial de crédito do tomador dos recursos, as 
garantias reais que oferece e da vulnerabilidade do mercado 
onde atua. 
 
 A taxa básica de juros, iB, varia de país para país sendo 
determinada periodicamente pelos respectivos bancos centrais. 
 
Como exemplos, no Brasil, ela é denominada de SELIC e 
periodicamente estabelecida pelo Banco Central. Nos Estados 
Unidos é denominada de Prime Rate e na Inglaterra de Libor. 
 
 
1.6 – Definições. 
 
 Neste item são definidos alguns conceitos a serem 
utilizados nesta obra. 
 
 Entender esses conceitos é importante para a gestão de 
qualquer empresa, pois são comuns a áreas do conhecimento 
como a contabilidade e ao controle de custos. Assim sendo, as 
Figuras 1.7 e 1.8 mostram, respectivamente, um modelo do 
ativo e do passivo do balanço patrimonial e a 1.9 o 
demonstrativo de resultadosdo exercício, DRE. 
 
a) Gastos e dispêndios correspondem à assunção de qualquer 
compromisso financeiro a ser quitado à vista ou futuramente 
e que propicie saída de dinheiro do caixa. 
 
b) Custo corresponde a todo dispêndio efetuado com a 
produção de um bem ou serviço. São classificados como 
diretos e indiretos. Os diretos são os custos realizados no 
esforço de produção de um bem ou serviço. Os indiretos são 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
16 
 
alocados ao esforço de produção, comumente, por meio de 
algum processo de rateio. 
 
Contabilmente, os custos são apropriados no DRE, o que 
permite a apuração do resultado do exercício. 
 
c) Despesa corresponde a todo dispêndio que não se identifica 
com o processo de produção de um bem ou serviço. Elas são 
relacionadas aos gastos incorridos com a estrutura comercial 
e administrativa da organização. 
 
Contabilmente, as despesas são apropriadas no DRE, ver 
Figura 5.9, visando à apuração do resultado do exercício. 
 
d) Investimento corresponde a qualquer dispêndio realizado 
com a aquisição de bens móveis, imóveis ou intangíveis que 
integram os ativos da organização, bem como os insumos 
estocados visando consumo futuro. 
 
Contabilmente, os investimentos são apropriados em contas 
do Ativo, ver Figura 1.6, visando registrar o patrimônio, bens e 
direitos, disponíveis pela organização no final de cada exercício. 
 
Assim sendo, os valores de capital de giro e estoques são 
apropriados no Ativo Circulante. 
 
Investimentos em bens móveis ou imóveis e a participação 
societária em outras empresas são apropriados no Ativo Não 
Circulante. 
 
São apropriados no Ativo Não Circulante, também, direitos 
realizáveis em longo prazo e o intangível. 
 
e) Valor Econômico – corresponde ao valor ou soma de valores 
que não consideram a perda do valor aquisitivo da moeda no 
tempo. 
 
f) Valor Financeiro – corresponde ao valor ou soma de valores 
que consideram a perda do valor aquisitivo da moeda no 
tempo. 
 
É interessante notar que no balanço são apropriados valores 
econômicos. 
 
 
1.7 – Necessidades de Alternativas. 
 
Cabe ao analista de investimentos desenvolver 
alternativas de projeto visando a aplicação de capital e verificar 
se, ou qual delas, aumenta a riqueza dos proprietários. Não 
havendo alternativa disponível, não há o que decidir. 
 
Para tanto, há desenvolver alternativas viáveis à 
implantação de qualquer empreendimento ou das possíveis 
possibilidades que se apresentam para a sua realização. 
 
Neste contexto, deverá conhecer o processo produtivo, 
os fornecedores de serviços e equipamentos, preços de 
mercado dos concorrentes, a logística, as fontes de capital e 
seus custos, a opção tributária adequada, etc.. 
 
 Dada a experiência do autor, é muito pouco provável que 
o profissional seja chamado para, simplesmente, aplicar a 
técnica apresentada neste livro a um projeto já desenvolvido. 
 
Porém, será chamado a participar de um processo de 
decisão onde terá oportunidade de desenvolver diversas 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
17 
 
alternativas de investimentos, compatibilizar dados, sair em 
busca de informações para amparar o processo estabelecido. 
 
Estará, sem dúvida alguma, envolvido num processo de 
imaginação e criatividade! 
 
 Depois de desenvolvidas o conjunto de possíveis 
alternativas, caberá ao analista de investimentos verificar não 
apenas se um projeto é viável, mas responder e subsidiar a 
tomada de decisão quanto ao modo, opção ou alternativa seja a 
mais interessante para investir e, consequentemente, propicie o 
maior incremento de riqueza ao aplicador. 
 
 
 
 
 
Além disso, considerando ser o resultado de qualquer 
projeto função do comportamento futuro da economia como um 
todo, das peculiaridades do mercado específico onde estiver 
inserido e do desempenho de quem o irá implementar e gerir 
cabe o alerta! Uma boa decisão favorece a obtenção um bom 
resultado. Porém é pouco provável que uma má decisão 
favoreça a um bom resultado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 - Ativo R$ 
1.1 - Circulante 712.823.08 
1.1.1. Caixa e Bancos 
1.1.2. Recebíveis de Clientes 
1.1.3. Aplicações Financeiras 
1.1.4. Prov. Devedores Duvidosos (-) 
1.1.5. Impostos a Compensar 
1.1.6. Estoques Produtos Acabados 
1.1.7. Estoques de Produtos em Elaboração 
1.1.8. Estoques de Matérias Primas 
1.1.9. Adiantamentos a Fornecedores 
1.1.10. Contratos de obras 
44.653.73 
121.033.96 
23.872,07 
4.430,51 
1.037,12 
220.000,00 
57.197,70 
70.934,41 
9.663,58 
160.000,00 
1.2 – Não Circulante. 1.275.176,92 
1.2.1 – Realizável em Longo Prazo 216.408,27 
 1.2.1.1 – Créditos em Coligadas 
 1.2.1.2 – Financiamentos a clientes 
 1.2.1.3 - Contratos futuros 
13.085,87 
103.322,40 
100.000,00 
1.2.2 - Investimentos 430.347,00 
 1.2.2.1 – Empresa A 
 1.2.2.2 – Empresa B 
130.347,00 
300.000,00 
1.2.3 – Imobilizado 578.282,57 
 1.2.3.1 - Imóveis 
 1.2.3.2 - Equipamentos 
 1.2.3.3 - Veículos 
 (-) Depreciações 
370.000,00 
100.282,57 
129.600,00 
21.600,00 
1.2.4 - Intangível 50.139,08 
 1.2.4.1 - Softwares 
 1.2.4.2 - Patentes 
20.139,08 
30.000,00 
1.3 - Total do Ativo. 1.988.000,00 
Figura 1.7 – Modelo de Balanço Patrimonial – Contas do Ativo. 
 
Qual o modo 
mais interessante para investir? 
 
Uma boa decisão favorece a obtenção de um 
bom resultado. Porém é pouco provável que uma 
má decisão favoreça a obtenção de um bom 
resultado. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
18 
 
 
 
 
 
 
2 - Passivo R$ 
2.1 - Circulante 294.039,54 
2.1. 1. Bancos 
2.1. 2. Fornecedores 
2.1. 3. Obrigações Fiscais a Recolher 
2.1. 4. Encargos Sociais 
2.1. 5. Encargos Trabalhistas 
2.1. 6. Outras Obrigações 
2.1. 7. Provisões 
61.325,00 
165.895,52 
10.181,46 
11.283,18 
10.500,00 
30.070,75 
4.783,63 
2.2 – Exigível de Longo Prazo. 184.602,63 
2.2.1. Financiamentos a Pagar 
2.2.2. Débitos em Coligadas 
2.2.3. Contratos p/ Entrega Futura 
71.104,34 
13.469,61 
100.028,68 
2.3 – Patrimônio Líquido. 1.509.358,23 
2.3.1. Capital Social 
2.3.2. Reservas de Capital 
2.3.3. Reservas de Lucro 
1.156.110.00 
95.545,85 
62.408,78 
2.3.4. Lucros Acumulados no exercício 195.293,60 
2.4 - Total do Passivo. 1.988.000,00 
Figura 1.8 – Modelo de Balanço Patrimonial – Contas do Passivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- DRE - R$ 
3.1 Receita Operacional Bruta + 956.712,25 
3.2 Deduções à Receita (Tributos + Descontos) 
3.2.1 - Tributos 
3.2.2 - Descontos 
(-) 147.764,69 
140.376,26 
7.388,43 
3.3 Receita Operacional Líquida = 808.947,56 
3.4 Custo de Produtos Vendidos (-) 470.370,65 
 3.4.1 – Produto A 
3.4.2 - Produto B 
3.4.3 – Serviços Técnicos 
92.630,65 
178.230,00 
199.510,00 
3.5 Lucro Operacional Bruto = 338.576,91 
3.6 Despesas Operacionais. (-) 40.267,59 
 3.6.1 - Despesas com Vendas 
 3.6.2 – Desp. Gerais e Administrativas. 
1.237,04 
39.030,55 
3.7 Lucro Operacional Líquido - EBITDA1 298.309,32 
3.8 
3.9 
3.10 
Depreciação 
Amortizações 
Resultado Financeiro 
 3.10.1 – Juros Recebidos (+) 
 3.10.2 – Juros Pagos (-) 
(-) 5.500,00 
(-) 4.166,51 
(-) 2.728,54 
4.194,35 
6.422,89 
3.11 Lucro Operacional = 254.531,74 
3.12 Resultado Não Operacional 
 3.12.1 - Receitas Não Operacional 
 3.12.2 - Despesas Não Operacionais 
+ 5.004,01 
7.004,01 
(-) 2.000,00 
3.13 Lucro Antes do Imposto de Renda - LAIR = 259.535,75 
3.14 Provisão p/ o Imposto de Renda – 
15%+10%(-) 40.883,93 
3.15 Contribuição Social s/ o Lucro Líquido – 9% (-) 23.358,22 
3.16 Lucro Líquido do Exercício = 195.293,60 
Figura 1.9 – Modelo de Demonstrativo de Resultados do Exercício. 
 
 
(1) EBITDA = Earnings before interest, tax, depreciation, and amortization. 
Esta é a expressão utilizada em língua inglesa para o lucro operacional líquido. Ou 
seja, o lucro antes da incidência de juros, taxas, depreciação e amortização. 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
19 
 
 
 
 
 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
20 
 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
21 
 
 
2. Matemática Financeira 
 
 
2.0 - Introdução 
 
Por definição, a Matemática Financeira corresponde à 
área da matemática que descreve as relações entre o binômio 
tempo e dinheiro. 
 
Neste capítulo serão discutidas essas relações o que 
permite realizar operações de equivalência de capitais visando 
amparar decisões de ordem financeira. 
 
 
 
2.1 – Conceituações de Juros 
 
Juro, também denominado de interesse, é definido como a 
remuneração efetuada tanto a um dinheiro tomado emprestado 
como ao capital empregado em atividade produtiva ou aplicação 
financeira. 
 
Ao ser pactuada uma operação financeira, alguns 
parâmetros devem ser estabelecidos: 
 
E A taxa de juros referente ao período da operação; 
E O prazo de carência; 
E O período de capitalização ou contabilização dos juros; 
E O índice de correção monetária do saldo devedor; 
E O sistema de remuneração do capital. 
 
A remuneração de um capital pode ser efetuada sob dois 
sistemas que diferem conforme a incidência dos juros sobre o 
capital: o dos juros simples e o dos juros compostos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É importante ressaltar que a taxa de juros efetivamente paga 
é aquela que incide sobre o capital efetivamente recebido ou 
disponível para o próprio manuseio. 
 
Em operações financeiras é comum serem cobradas do 
tomador: taxas de abertura de crédito; juros pagos 
antecipadamente ao haver uma operação de desconte de título 
de crédito; o pagamento de uma entrada no caso de 
financiamento de bens de consumo. 
 
 Em todos esses casos, sob quaisquer dos dois sistemas de 
juros acima mencionados, o princípio a ser estabelecido é que a 
remuneração do capital tomado emprestado, isto é, os juros, 
sejam sempre calculados sobre a importância efetivamente 
recebida. 
 
Observando esse princípio, é possível verificar quando a 
taxa de juros pactuada e a efetivamente praticada são idênticas 
ou distintas. 
 
 
Juros Compostos 
Juros Simples 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
22 
 
 
2.2 – Juros Simples 
 
2.2.1 – Definição de Juros Simples. 
 
Por definição, no sistema de remuneração de capital sob 
a matemática de juros simples somente o principal rende juros 
durante todo o tempo em que foi pactuado o financiamento. 
Esquematicamente representado na Figura 2.1. 
 
S=P+J
P
R$
1 2 3 n-1 n
Períodos
Figura 2.1 – Diagrama tempo - dinheiro
 
 
Partindo da definição de juros simples, o montante de 
juros a ser pago na data de quitação da operação financeira é 
igual ao produto do principal tomado, pela taxa de juros 
pactuada e pelo número de períodos contratados. 
 
 Considerando que os juros gerados após um único 
período de aplicação de um capital equivalem à taxa de juros 
pactuada multiplicada pelo capital. Matematicamente: J = P  i. 
 
 No caso do capital ser aplicado por “n” períodos, o 
montante dos juros a serem pagos é diretamente proporcional a 
esse numero de períodos. Então: 
 
J = P i n 
 
2.2.2 – Operações com Juros Simples. 
 
2.2.2.1 – Montante dos Juros Pagos. 
 
 Definindo como: P, o principal tomado ou o capital 
inicialmente aplicado; i (%), a taxa de juros expressa em 
porcentagem; n, o número de períodos básicos correspondentes 
ao tempo total da aplicação; e, S, o Montante final de aplicação, 
representando a soma (P+J), em que J é o montante dos juros a 
serem pagos. 
 
 O montante “S” a ser restituído ao aplicador no final do 
período pactuado é constituído pela soma dos juros rendidos no 
período, acrescidos do capital aplicado. Matematicamente: 
 
Sn = P + J  Sn = P + P i n  Sn = P ( 1 + i × n ) 
 
Demonstrando: 
 
S1 = P + P× i = P (1+ i) 
S2 = P + P× i + P × i = P (1+ i × 2) 
S3 = P + P× i + P × i + P × i = P (1+ i × 3) 
………………………………………………………… 
Sn = P + P ×i + P × i + P × i +····+ P × i = P (1+ i × n) 
 
 Generalizando para n períodos, obtém-se a expressão 
canônica do montante de um capital P corrigido a juros simples 
durante n períodos: 
 
Sn = P (1 + in) 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
23 
 
 
 
2.2.2.2 – Equivalência entre Taxas de Juros. 
 
 Um dos questionamentos decorrentes da utilização de 
juros é definir a proporcionalidade entre a taxa de juros 
correspondente a um período maior e àquela correspondente a 
frações inteiras desse mesmo período. 
 
 No caso dos juros simples, ocorre relação direta entre 
essas duas taxas de juros. 
 
 Assim, adotando como nT um dado período e nf uma 
fração deste período. E, respectivamente, iT e if , as taxas de 
juros conexas aos períodos considerados, a proporcionalidade 
entre estas duas taxas é expressa por: 
 
nT
nf
=
iT
if
 
 
 Como exemplo seja uma operação de empréstimo cuja 
taxa mensal de juros foi pactuada em 1,5% a.m. A taxa anual de 
juros, iT, é dada por: 
 
nT
nf
=
iT
if
 ∴
 12
1
=
iT
1,5 
 ∴ iT = 18 % a. a. 
 
Atenção quanto à utilização do modelo acima. Ele 
somente poderá ser utilizado quando adotada a matemática dos 
juros simples. É conceitualmente errado utilizar este modelo 
quando se opera sob a égide dos juros compostos. 
 
2.2.3 - Operações de desconto. 
 
2.2.3.1 – Tipos de desconto. 
 
 Uma operação financeira corriqueira no mercado é a 
denominada de desconto ou deságio efetuada em transações 
com títulos de crédito. 
 
Os descontos ocorrem quando títulos são negociados em 
data anterior à do efetivo vencimento e correspondem aos juros 
pagos pelo serviço havido entre a data do desconto e a do 
efetivo pagamento. Matematicamente, sendo F o valor de face 
de um titulo e o do desconto D, o valor a ser recebido, P, é dado 
por: 
 
P = F - Desconto 
 
Essas operações de desconto servem como fonte de 
financiamento de curto prazo e são lastreadas em cheques “pré-
datados” descontados por empresas de factoring; duplicatas e 
letras de câmbio negociadas antes da data do efetivo 
pagamento; e empréstimos ou vendas garantidos por notas 
promissórias. 
 
O valor de face corresponde ao montante expresso no 
anverso do título, a ser quitado pelo emissor ou o avalista na 
data aprazada e também expressa no título. 
 
Neste caso, a quantia a ser paga ao portador (P), isto é, 
àquele que está negociando o título, deverá ser inferior ao valor 
nominal ou valor de face. Isto porque, na data de vencimento do 
título, este deverá ser quitado pelo valor de face, conforme 
mostrado no desenho da Figura 2.2. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
24 
 
P
F
Valor a ser
 recebido
Data da Operação de 
Desconto
Data do Vencimento
 do Título
1 2 3 4 n 
Desconto
Figura 2.2 - Operações de Desconto
 
O comprador do título, então, o adquire por um valor 
inferior àquele discriminado na face do documento, de forma a 
remunerá-lo durante o período compreendido da data de sua 
negociação até a data do vencimento. 
 
Interessa então, àquele que vende o título, saber qual o 
montante do desconto, ou deságio,a ser efetuado sobre o valor 
de face e qual o montante do capital que ira receber pela venda 
do título. 
 
Dois são os procedimentos realizados pelo mercado para 
calcular o valor do deságio e denominados de: i) Desconto 
Racional ou por Dentro; ii) e Desconto Bancário, Comercial ou 
por Fora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste item será adotada a seguinte nomenclatura: 
 
 F = Valor de Face, importância escrita na face do título e a 
ser honrada pelo emitente na data do respectivo 
vencimento; 
 P = Importância a ser paga ao vendedor do título, quando 
negociado antes da data do vencimento; 
 i = taxa de juros praticados ou pactuados; 
 n = número de períodos que antecedem a data de 
vencimento; 
 DR = valor do desconto racional. 
 Dc = valor do desconto comercial. 
 
 Como será visto no item 2.3.3, o valor de face, F, pode 
ser considerado como sendo o valor futuro do título, quando este 
é negociado antes da data do vencimento ou na data de sua 
emissão. 
 
Isto porque, um título só terá o valor expresso em sua 
face, e força legal para cobrança, quando na data de seu 
vencimento, isto é, em um momento futuro determinado por esta 
data. 
E Desconto Bancário ou Por Fora. 
E Desconto Racional ou Por Dentro. 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
25 
 
 
 
 
I - Desconto Racional ou por Dentro. 
 
O desconto racional considera o valor da moeda no tempo 
e é calculado segundo a racionalidade dos juros simples. A taxa 
de juros pactuada pode ser a taxa real ou a taxa nominal em 
havendo a previsão de inflação. 
 
 Assim, o valor nominal do título na data do efetivo 
pagamento expresso na face do mesmo é financeiramente 
equivalente ao valor do mesmo na data em que foi negociado. 
 
Os procedimentos utilizados no desconto racional são 
idênticos àqueles utilizados na matemática dos juros simples. 
 
Porém, deve ser registrado que algumas empresas vêm 
combinando procedimentos estabelecidos pela matemática dos 
juros compostos com os de juros simples. 
 
No caso de ocorrer essa superposição de procedimentos, 
ou seja, quando os juros são referidos a um período maior, a 
taxa básica de juros, efetivamente utilizada em períodos 
menores, é calculada segundo a matemática dos juros 
compostos. 
 
 Obtida a taxa básica, os procedimentos seguem àqueles 
estabelecidos para os juros simples, segundo o expresso a 
seguir. 
 
Definindo o desconto racional, este corresponde ao 
montante dos juros expresso em valor monetário, descontado do 
valor de face de um título dada a negociação do mesmo 
anteriormente à data de vencimento. 
 
 Matematicamente, o desconto racional é definido por: 
 
Dr = F – P 
 
 Da matemática dos juros simples pode-se correlacionar o 
valor de face, F, ao valor a ser recebido, P, considerando ser o 
primeiro o montante disponível no final do período de aplicação 
e o segundo o principal aplicado. Logo: 
 
F= P ∙ (1+iR∙n) ∴ P = 
F
(1+iR∙n)
 
 
 Substituindo “P” na equação acima, obtém-se o montante 
do desconto racional. 
 
DR=F-
F
( 1+iR∙n)
 ∴ DR= 
F∙iR∙n
1+iR∙n
 
 
 
II - Desconto Bancário, Comercial ou Por Fora. 
 
A priori, é importante ressaltar que o desconto “por fora” é 
baseado numa convenção mais simples, não se caracterizando 
por uma cobrança equivalente de juros. Mas, como a simples 
aplicação direta de uma taxa de desconto. Por convenção: 
 
DC = F ∙ iC ∙ n 
 
Neste caso, o valor a ser recebido, P, é calculado 
diminuindo do valor de face o valor do desconto. Logo: 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
26 
 
 
P = F − DC 
 
 Ao se igualar as duas expressões acima, obtém-se o valor 
a ser recebido, P: 
 
P = F − F ∙ iC ∙ n 
 
P = F ∙ (1 − iC ∙ n) 
 
 
 2.2.4 - Relações entre Descontos e Taxas 
 
2.2.4.1 - Relações entre Descontos. 
 
Neste item é analisada a correlação existente entre o 
montante do desconto por dentro e o montante do desconto por 
fora, considerando que as taxas pactuadas nos dois casos 
sejam idênticas, isto é ir = iC. 
 
 Sendo iguais as taxas nominais pactuadas, a taxa real 
praticada no processo de desconto por dentro, ou racional, é 
inferior àquela praticada no desconto por fora, ou bancário. 
 
Tal assertiva pode ser demonstrada igualando as 
expressões dos descontos: 
 
 DR=F-
F
( 1+n∙i)
 
 
E, sendo por convenção, DC = F i n, ao se substituir o 
valor de F na expressão acima se obtém a relação entre os dois 
descontos: 
 
DR =
DC
(1 + n ∙ i)
 
 
 
 
2.2.4.2 - Taxas Equivalentes. 
 
 Um dos questionamentos efetuados no mercado 
financeiro é quanto à correlação entre as taxas praticadas no 
desconto comercial e no racional. 
 
Por definição, diz-se que duas taxas de desconto são 
equivalentes entre si quando, dado um mesmo valor de face, 
depois de realizado o desconto, resultar num mesmo valor a ser 
recebido, P, considerando terem sido praticados sistemas de 
desconto distintos. 
 
P
F = Face
tempo
Figura 2.3 - Equivalência entre Descontos.
Data da Negociação Data do Vencimento
DC≡DR
 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
27 
 
 A equivalência entre estas taxas é demonstrada ao se 
igualar os dois valores dos descontos depois de realizadas as 
respectivas operações. 
 
a) Considerando o desconto racional tem-se: 
 
P = F – DR  P = F  (1 + iR ∙ n) 
 
b) Considerando o desconto comercial tem-se: 
 
P = F − D𝐶 ∴ P = F(1 − iC ∙ n) 
 
 Como o valor a ser recebido, P, por definição é igual para 
ambos os casos, podem ser igualadas as expressões acima. 
 
F
(1 + iR ∙ n)
= F ( 1 − iC ∙ n) ∴ ( 1 − iC ∙ n) ∙ (1 + iR ∙ n) = 1 
 
(1 + 𝑖𝑅 ∙ 𝑛) =
1
 ( 1 − 𝑖𝐶 ∙ 𝑛)
 
 
 
2.2.5 – Tempo Exato e Comercial 
 
 Dada uma mesma taxa de juros e um mesmo principal, o 
rendimento ou montante dos juros apurado em tempo comercial 
será ligeiramente superior àquele apurado em tempo real ou 
exato. 
 
 Essa variação é devido à diferença do número de dias 
estabelecida para cada tipo de exercício. Assim, o ano 
comercial, segundo convenção aceita pelo comercio, estabelece 
que o mesmo tenha 360 dias. O tempo exato segue o ano 
calendário com 365 dias. 
 
 Deste modo, o rendimento i devido a uma aplicação P, 
durante um intervalo de tempo t tem-se, respectivamente, para o 
tempo comercial e o tempo exato: 
 
360
i
tPIComercial 
 e 
365
i
tPIExato 
 
 
 Efetuando a relação entre as duas expressões, fica 
demonstrado que a proporcionalidade existente entre o 
rendimento havido durante ano comercial e rendimento havido 
durante ano exato, é função direta do número de dias em que os 
mesmos foram definidos. Então: 
 
0139,1
360
365
I
I
Exato
Comercial

  IComercial = 1,0139 IExato 
 
 
2.2.6 – Exercícios Resolvidos. 
 
Em estudos financeiros recomenda-se:
1º. Desenhar SEMPRE o diagrama dos fluxos de caixa;
2º. Escrever as formulas disponíveis;
3º. Visualizar a solução dos problemas, compatibilizando as 
fórmulas com os fluxos de caixa!
 
Atendendo à recomendação, este procedimento facilita a 
adequada solução dos problemas de engenharia econômica! 
Atenção!
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
28 
 
 
 
2.2.6.1 - Você aplicou a importância de R$ 11.200,00 na 
aquisição de um título, pactuado a juros simples a taxa de 2,2% 
a.m. pelo prazo de 14 meses. Transcorridos oito meses desta 
operação, resolveu vender o título. Qual o montante a ser 
recebido se na data da venda a taxa de juros praticada pelo 
mercado for de 2,9% a.m.? 
 
S = P (1 + i n) 
S = 11.200,00 (1 + 0,022× 14) 
S = R$ 14.649,60 
 
DC = S × i × n 
DC = 14.649,60 × 0,029 × (14-8) 
DC = R$ 2.549,03 
 
VR = S – DC 
VR = 14.649,60 – R$ 2.549,03 
VR = R$12.100,57 
 
 
2.2.6.2 - Um veículo está sendo ofertado em duas condições: a 
vista por R$ 23.200,00. Ou, a prazo, sendo 15% de entrada e o 
saldo dividido em quatro parcelas mensais, consecutivas, 
corrigidas por juros simples à taxa de 42% a.a. 
 
 Nesta condição deseja-se saber: O valor de cada 
prestação; e o montante a ser desembolsado. 
 
 Entrada = R$ 3.480,00 
 Financiamento de cada parcela: R = R$ 4.930,00 
 Taxa mensal de juros: i=42÷12= 3,5% a.m. 
 
1º - Calculo do valor da 1ª prestação: 
VF1 =R1 + (R1 × i × n) 
VF1 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 × 0,035 × 1) 
VF1 = R$ 4.930,00 + (R$ 172,55)  VF1 = R$ 
 
2º - Calculo do valor da 2ª prestação: 
VF2 = R2 + (R2 × i × n) 
VF2 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 × 0,035 × 2) 
VF2 = R$ 4.930,00 + (R$ 345,10)  VF2 = R$ 
 
3º - Calculo do valor da 3ª prestação: 
VF3 = R3 + (R3 × i × n) 
VF3 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 × 0,035 × 3) 
VF3 = R$ 4.930,00 + (R$ 517,65)  VF3 = R$ 
 
4º - Calculo do valor o da 4ª prestação: 
VF4 = R4 + (R4 × i × n) 
VF4 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 × 0,035 × 4) 
VF4 = R$ 4.930,00 + (R$ 690,20)  VF4=R$ 
 
5º - Calculo do valor do montante: 
VFM = VF1 +VF2 +VF3 +VF4  VFM = R$ 
 
 
2.2.6.4 - Uma duplicata cujo valor de face, VF, monta a R$ 
8.500,00 foi emitida há cinco meses passados e tem data de 
vencimento estipulada para daqui a sete meses. Caso seja 
descontada nesta data e se a taxa de desconto comercial for de 
26,4% a.a. solicita-se determinar: 
 
 O desconto comercial, DC. 
 O valor a ser recebido, VR. 
 Por quanto a duplicata foi negociada, se na data desta 
operação o juro comercial vigente era de 33,6% a.a. 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
29 
 
 A taxa efetiva de juros no período referente à operação do 
desconto. 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Data
 da 
Ope
raçã
o
VF = 8.500 R$
VR = ?
 
 
1º item - Desconto Comercial. 
DC = VF × i × n 
DC = 8.500,00 × ( 0,264 ÷ 12 ) × 7 
DC = R$ 1.309,00 
 
2º item – Valor Recebido. 
 
VR = VF – DC 
VR = 8.500,00 – 1.309,00 
VR = R$ 7.191,00 
 
3º item - Preço de compra = PC. 
 
VF = PC (1 + i × n) 
8.500,00 = PC (1 + 0,336 × 1) 
PC = R$ 6.362,27 
 
4º item – Taxa real ou efetiva. 
 
 Adotando a matemática dos juros simples e 
considerando que os juros são calculados sobre o valor 
efetivamente recebido: 
 
VF = VR (1 + i × n) 
8.500,00 = 7.191,00 (1 + i × 7) 
1,182 = 1 + 7i 
0,182 = 7i 
i = 0,026 → i = 2,6% a.m e/ou 31,2% a.a. 
 
 
2.2.6.5 - Qual será o valor a ser recebido em operação de 
desconto de uma duplicata cujo valor de face monta a R$ 
1.500.000,00, vencível em 90 dias, pactuada a taxa de 3,5% ao 
mês? Considerar o desconto racional e o comercial. 
 
a) Desconto Racional: 
 
P = 
F
(1 + in)
=
1.500.000,00
1 + 0,035 × 3
=
1.500.000,00
1,1050
= 1.357.466,06 R$ 
 
b) Desconto Comercial: 
 
DC= F∙i∙n = 1.500.000,00 ×0,035 ×3 = 157.500,00 R$ 
 
P= F- DC = 1.500.000,00-157.500,00 =1.342.500,00 R$ 
 
c) Comparando os Descontos Realizados: 
 
 Desconto Comercial = 157.500,00 
 Desconto Racional = 142.533,94 
 Economia = 14.966,06 R$ 
 
Comparando os dois procedimentos verifica-se que o 
desconto racional é mais econômico para o interessado. 
 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
30 
 
2.2.7 – Exercícios Propostos. 
 
2.2.7.1 - A importância de R$ 29.345,00 foi recebida após a 
operação de desconto de uma nota promissória, vincenda em 
120 dias. 
 
 Tendo sido pactuada um taxa de desconto de 42% ao 
ano, solicitam-se, para os dois tipos de desconto, as seguintes 
informações: o valor de face do título; e o montante do desconto. 
(R: R$ 34.122,09/ R$ 33.453,30). 
 
 
2.2.7.2 - Calcular, adotando a matemática dos juros simples, o 
montante a ser recebido após 4 meses quando um empréstimo 
de D$1.000,00 é tomado a 15% ao mês. (R: 1600,00 R$). 
 
 
2.2.7.3 - Um comerciante obtém um empréstimo de um milhão a 
juros de 33% ao ano, pactuado a juros simples. Quanto pagará 
na ocasião do resgate se quitar o mesmo em cinco ou em 
dezessete meses? (1.126.923/1.431.538 103 R$). 
 
2.2.7.4 - Qual o capital que a juros simples de 14,5% ao ano 
gerará em sete meses um montante de trezentos mil reais? (R: 
276.603,92 R$) 
 
2.2.7.5 - Um Banco pratica operações de desconto de títulos 
cambiais à taxa de 4,5% ao mês. Solicitam-se as seguintes 
informações visando comparar o resultado do desconto racional 
com o bancário: 
 
 O deságio relativo à operação de desconto de uma 
duplicata cujo valor de face é de R$ 12.500,00, vincenda 
em 90 dias; (R: 1486,78/1687,50 R$). 
 O montante a ser recebido pelo interessado na operação 
de desconto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2.7.6 - A que taxa de remuneração um capital aplicado a juros 
simples triplicará no prazo de três anos? (R: 66,67% a.a.). 
 
2.2.7.7 - Uma empresa descontou uma duplicata, no Banco da 
Esquina, à taxa de 84% ao ano. O desconto praticado foi o 
comercial, que montou a R$ 10.164,00. Se a operação fosse de 
desconto racional, o valor do desconto seria reduzido em R$ 
1.764,00. Qual é o valor de face da duplicata descontada? (R: 
48.400,00 R$). 
 
Nota promissória 
Nº 07/09* R$ 12.500,00 
 Vencimento: 25 de abril de 2.012. 
Ao(s) vinte e cinco dias do mês de abril de dois mil e doze, 
PAGAREI por esta única via de nota promissória a 
Franz von Souza und Silva, CPF nº 111.222.333-44, ou a sua 
ordem, a importância supra de doze mil e quinhentos reais, 
em moeda corrente do País. 
Pagarei em: Florianópolis-SC. 
Emitente: Jose João Jacob .................................. 
CPF nº. 555.666.777-88. assinatura 
Rua Elfo dos Santos nº. 100. 
Florianópolis – SC. 
 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
31 
 
2.2.7.8 - Você deve a um banco a importância de R$ 1.900,00, a 
vencer em 30 dias, garantida por uma nota promissória. Como 
sabe que não poderá quitar a importância na data aprazada, 
propõe que o pagará no prazo de 90 dias após o vencimento 
previsto. Admitindo que a taxa de desconto comercial praticada 
seja de 72% ao ano, qual será o valor de um novo título a ser 
assinado? (R$ 2.317,00). 
 
2.2.7.9 - O Bank of Squire pratica o desconto por fora à taxa de 
3,00% ao mês. Ao aceitar um título cujo valor de face é de R$ 
41.000,00, com prazo de vencimento estabelecido para seis 
meses, quanto o banco pagará pelo título? Qual será a taxa total 
de juros correspondente, sabendo que o banco ainda cobra uma 
taxa de abertura de crédito de 1,0% sobre o valor do título? (R: 
23,46% ao semestre). 
 
2.2.7.10 - A financeira WACS pratica o desconto racional à taxa 
de 4,35% ao mês. Ao efetuar o desconto de uma duplicata cujo 
valor de face monta a R$ 32 mil vincenda em noventa dias, 
cobra uma taxa de administração no valor de R$ 155,00, ao 
efetuar a operação. Informe qual será a taxa de juros mensal, 
efetiva, incidente sobre esta operação. (R: 4,56% a.m.) 
 
2.2.7.11 - Determinar o valor de um título a ser resgatado no 
prazo de 120 dias antes de seu vencimento, pactuado a uma 
taxa de 12,0% ao ano. Sabe-se que a diferença entre o valor do 
desconto comercial e o desconto racional é de R$ 76.923,08. (R: 
R$ 50 milhões). 
 
2.2.7.12 - O Bank of Squire desconta, antecipadamente e por 
fora, os juros na operação de um “papagaio”. Sendo uma 
operação de desconto lastreada numa nota promissória cujo