Problemas y ejercicios de Análisis Matemático

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G. N. BERMAN
Problemas y Ejercicios de
ANALISIS 
MATEMATICO
TOMO 1
Solucionarlo
por: R. Figueroa G.
Editorial AMERICA LIMA - PERU
I
G. N. BERMAN
PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE
ANÁLISIS
MATEMÁTICO
TOMO 1 (CÁLCULO DIFERENCIAL)
Solucionarlo
por: R. FIGUEROAG.
E D IC IO N ES
M . F p j | LIMA - PERU
Problemas y Ejercicios de
SEXTA EDICIÓN 
2010
E D IC IO N E S
Impreso en
3ICIC
IQ F
Jr. Loreto 1696 Breña (Lima 5) Telefax 423 8469 
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DOMICILIO: Jr. Loreto 1696 Breña
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CONTENIDO
1
FUNCIÓN
J NOCIONES ELEMENTALES SOBRE FUNCIONES______________
1.1 Funciones y formas de su expresión 1
1.2 Funciones Compuestas 16
1.3 Funciones Implícitas 20
¿ 9 . PROPIEDADES MÁS ELEMENTALES DE LAS FUNCIONES
2.1 Dominio de definición de la función 22
2.2 Características del comportamiento de las funciones:
Funciones pares. Funciones impares. Funciones periódicas 36
FUNCIONES MÁS SIMPLES_______ _________________________
3.1 Función Lineal ' 47
3.2 Función Cuadrática 54
3.3 Función Homográfica 71
4 ., FUNCIÓN INVERSA______________________________________ 78
4.1 Función Potencial 81
4.2 Funciones Exponencial e Hiperbólica 88
4.3 Funciones Logarítmicas 96
y g , FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ________________ 101
5.1 Funciones Trigonométricas Inversas 115
6 PROBLEMAS DE CÁLCULO _________________ 126
LÍMITE Y CONTINUIDAD
DEFINICIONES PRINCIPALES
1.1 Funciones de argumento entero 133
1.2 Funciones de argumento continuo 141
MAGNITUDES INFINITAS
2.1 Criterios de existencia del Límite 144
FUNCIONES CONTINUAS 155
OPERACIÓN DE HALLAR LOS LÍMITES
4.1 Funciones de argumento entero 171
4.2 Funciones de argumento continuo 177
4.3 Límites de Funciones Trigonométricas 191
4.4 Límites Exponenciales y Logarítmicas 202
4.5 Diversos Límites 210
4.6 Comparación de magnitudes Infinitesimales 218
4.7 Algunos problemas de geometría 227
4.8 Problemas de Cálculo 233
3
DERIVADA
L DERIVADA. VELOCIDAD DE VARIACIÓN 237
1.1 Algunos Problemas de Física 238
1.2 Función Derivada 242
C o n t e n i d o _____________________________________________________ Y
1.3 Interpretación geométrica de la derivada 248
DIFERENCIACIÓN DE LAS FUNCIONES____________________
2.1 Funciones Algebraicas 253
2.2 Funciones Trigonométricas 271
2.3 Funciones Trigonométricas Inversas 278
2.4 Furiciones Logarítmicas 285
2.5 Funciones Exponenciales 291
2.6 Funciones Hiperbólicas 297
2.7 Derivación Logarítmica 303
2.8 Derivadas de Funciones Diversas 307
2.9 Funciones Inversas 336
2.10 Funciones dadas en forma implícita 340
2.11 Aplicación de la Derivada 345
DIFERENCIAL__________________________________________
3.1 Errores Pequeños 373
3.2 Interpretación geométrica de la diferencial 373
3.3 Diferenciabilidad de las funciones 387
LA DERIVADA COMO VELOCIDAD DE VARIACIÓN___________ 394
4.1 Funciones dadas en forma paramétricas 399
4.2 Velocidad de la variación del radio polar 416
4.3 Velocidad de la variación de la longitud 423
4.4 Velocidad del Movimiento 427
DERIVACIÓN SUCESIVA_______________________ _______________ 430
5.1 Funciones dadas en forma explícita 431
5.2 Funciones dadas en forma implícita 445
5.3 Funciones dadas en forma paramétrica 449
5.4 Aceleración del movimiento 454
5.5 Fórmula de Leibniz 458
5.6 Diferenciales de órdenes superiores 464
VI__________________________________________________________Contenido
4
ANÁLISIS DE LAS FUNCIONES
i COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES__________________ 469
1.1 Valores máximos y mínimos de una función 469
1.2 Criterio de monotonía de las funciones 471
1.3 Determinación de los valores máximos y mínimos de
una función 472
APLICACIÓN DE LA PRIMERA DERIVADA____________________
2.1 Teorema de Rolle 480
2.2 Teorema de Lagrange 482
2.3 Teorema Cauchy 483
2.4 Comportamiento de las funciones en el intervalo 499
2.5 Valores máximo y mínimo de una función en un intervalo 514
2.6 Desigualdades 518
2.7 Problemas para hallar los valores máximos y mínimos
de las funciones 522
APLICACIÓN DE LA SEGUNDA DERIVADA___________________
3.1 Valores extremos 522
3.2 Convexidad. Concavidad. Puntos de Inflexión 556
TAREAS COMPLEMENTARIAS______________________________
4.1 La fórmula de Cauchy 575
4.2 Regla de L’Hospital 577
4.3 Variación asintótica de las funciones y asíntotas de las líneas 597
4.4 Análisis general de las funciones y de las líneas 610
FORMULA DE TAYLOR___________________________________
4.1 Fórmula de Taylor para los polinomios 681
4.2 Fórmula de Taylor
4.3 Algunas aplicaciones de la fórmula de Taylor 694
1.1 FUNCIONES Y FORMAS DE SU EXPRESIÓN
C 332& B B B Sean dados los conjuntos A={x} y 3={y}. El con­
junto formado por dos elementos {x,y}, xeA, yeB,
se llama pan de los elementos x e y.
El par de la forma {x,{x,yj}, donde xeA, yeB y {x,y}es un par da 
elementos x e y se denomina pan. o/idenado de los elementos x e y, 
que reciben, respectivamente, el nombre de primer y segundo ele­
mento del par ordenado. El par ordenado {x,{x,y}} se denota por
(x,y), de modo que:
(x,y) = {x,{x,y}}
El conjunto de todos los pares ordenados (x,y), xeA, yeB se lla­
ma p/ioducío ca/iie-ólano de los conjuntos A y B, y se denota simbó 
licamente por:
AxB = {(x,y)/xeA, yeB}
Cuando A=B, el símbolo A2 designa el producto A*A.
Dados dos conjuntos A y B, se denomina ¿unción 
de A en B, a cualquier conjunto fe AxB que aso­
cia un elemento x que pertenece a A (conjunto de partida), con
2 Cavítulo 1: Función
uno y sólo un elemento y, que pertenece al conjunto B (conjunto 
de llegada)t Esto es, un conjunto f es una función de A en B, q' 
se denota f:A-*B, si
i) fe AxB 
ii) (x,y)ef y (x,z)ef -*-.y=z
El conjunto de todos los primeros elementos de los pares ordena­
dos (x,y) de la función f se llama dominio o coa junio de defini­
ción de esta función y se denota por Df o Dom(f).
El conjunto de todos los segundos elementos de los pares ordena­
dos (x,y) de f se llama /tango, neco/inido o conjunto de. imágenes 
de esta función y se denota por: Rf o Ran(f).
En la Fig. 1.1 vemos que Dom(f)=D y Ran(f)=B. Si D=A, es decir, 
cuando Dom(f)=A, se dice que f:A-»-B es una función totalmente de­
finida o aplicación de A en B.
El conjunto de pares ordenados f={(x,y)} analizado como subcon- 
junto de AxB, se llama gnóifica de la función. El elemento xeA se 
llama argumento de la función o va/iiatLle independiente, el ele­
mento y B, vaAiable dependiente.
Si f:A*B es una función, e? decir, un conjunto de pares ordena­
dos f={(x,y)/xeA, ycB}, que satisface las condiciones de la defi 
nición 1.2, y (x.y)ef, entonces se escribe y=f(x), y se dice que 
y es imagen de.x por f, es decir, f pone en correspondencia al e 
lemento x el elemento y, o bien, el elemento y corresponde al e- 
lemento x por f.
Sección I: Nociones elementales sobre funciones 3
FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN
a) Por medio de Tablas. Una tabla es un cuadro a base de líneas
paralelas y perpendiculares donde se a- 
notan, en la parte superior, los valores del argumento, xi,x2 
x 3, ... ,\x , y en la parte inferior, se escriben los valores 
correspondientes de la función: yi,y2,y3, ... ,yn>
X Xi X2 X 3 Xn
y y i y2 ys yn
Ejemplo. Si f es una función de A en B tal que f:x+x2, confec­
cionar una tabla de valores para el conjunto de parti­
da A={-1,0,1,2,3) y hallar la función f.
Solución, Según la definición 1.2, la ley de correspondencia de
la función es y=x2. En la parte
superior de una tabla
colocamoa los elementos del conjunto de partida A, y en la parte 
inferior, los valores correspondientes del conjunto de llegada B 
Esto es:
X -1 0 1 2 3
x2‘ 1 0 1 K 9
En consecuencia: f = { (-1, 1), (0,0), (1, 1), (2,4.), (3,9)>
b) Por medio de Gráficas. Para construir la gráfica y represen­
tar una función dada se emplea un sis 
tema de ejes rectangulares, en el que el eje de abscisas se u 
tiliza para los elementos del dominio, y el eje de ordenadas, 
para los correspondientes elementos del rango.
El conjunto de puntos (x,y) del plano XOY constituye lo que 
se llama gráfica de la función dada.
c) Forma Analítica. Otra manera de expresar una función es por
medio de fórmulas o expresiones analíticas 
a base de la dependencia fundamental: y=f(x).
4 Capitulo 1: Función
Por ejemplo, si representamos por S el área del circulo y r el 
radio del mismo, por geometría elemental sabemos que:
S = irr2
en la que r es un punto cualquiera del dominio y r2 es la imagen
o punto del rango. Si designamos por f a la función S, entonces, 
simbólicamente, la regla de correspondencia que rige a la ante­
rior función es:
f :r-*-Trr2
o sea:
Imagen de r = f(r) = irr2
f(r) es lo que llamamos S, luego:
f (r) = irr2
Otros ejemplos de funciones expresadas analíticamente son:
(1) y = /x2-4 , (2) y = Cosx , (3) y = XI
El dominio de una función expresada analíticamente es el conjun­
to de los valores de x para los cuales la función y adquiere un 
valor real determinado. Así, para y~/x2-U , la función es real,
si: x2- ^ 0 x2^ 4 x^-2 ó X2-2
Esto es: Dom(f) = -2] U [2, +«°>
Dado que la función es positiva ¥xeDom(f), entonces,
Ran(f) = C°*+0Í>
Es decir, la gráfica de la función (Figura 1.2) esta integramen­
te situada sobre el eje X (y^O).
Figura 1.2
Sección 1: Nociones elementales sobre funciones 5
PROBLEMAS RESUELTOS
Q La sum 
no es
te esta función. Qué valores puede tomar el argumento?
So¿ación. En la figura se puede observar que uniendo el centro 
del polígono convexo con todos sus vértices se forman 
tantos triángulos como lados tiene 
el polígono. Dado que la suma de los 
ángulos interiores de ui^ triángulo 
es 180° y si la suma de los ángulos 
internos del polígono es S y el núme 
ro de lados es n, entonces:
S = Trn - (suma de los ángulos en 
el centro)
o sea:
S = irn - 2-n «-■*■ S = 7r(n-2)
El argumento n puede tomar todos los números de la serie natural, 
excepto n=1 y n=2.
La función y de x está dada en. la siguiente tabla:
Argumento x 0 0. 5 1 1.5 2 3
Función y -1.5 -1 0 3.2 2.6 0
Argumento x 5 6 7 8 9 10
Función y -1.8 -2.8 0 1.1 1.4 1.9 2.4
Construir su gráfica, uniendo los puntos con una línea ¿uaue.. Si 
guiendo la gráfica y determinando los valores de la función para 
x=2.5> 3.5» 4.5» 5.5, 6.5, 7.5, 8.5» 9.5» hacer la tabla mài com 
p¿e.ta.
S o (.ación. Llevando el conjunto de puntos de la tabla dada sobre 
un plano cartesiano XOY, obtenemos la siguiente apro­
ximación de-la gráfica de la función. .
de los ángulos interiores de un polígono convexo pía 
f^ción del número de sus lados. Expresar analíticamen
6 Capítulo 1: Función
Los valores^aproximados de la función, obtenidos de la gráfica, 
para los valores dados del argumento se dan en la siguiente ta­
bla:
Argumento x 2.5 3.5 U. 5 5.5 6. 5 7.5 8.5
Función y 1.3 -0.9 -2 .U -2 0.7 1.5 1.7
La función viene dada por la gráfica representada en la figu 
ra 2. Atendiéndose a la gráfica contestar a las siguientes
Figura 2
Sección 1: Nociones elementales sobre funciones 7
a) Qué valares de la variable independiente hacen que la función 
se anule?
b) Cuáles deben ser los valores de la variable independiente pa­
ra que la función sea positiva?
c) Cuáles deben ser los valores de la variable independiente pa­
ra que la función sea negativa?
So ¿uc¿6ri. a) La función se reduce a cero en aquellos puntos don 
de la gráfica intercepta al eje X, esto es, en: 
x=-2 , x=1 y x=6
b) La función es positiva en aquellos puntos para los cuales la 
gráfica está situada sobre el eje X, esto es, para: x<-2 , 
-2<x<1 y x>6.
c) La función es negativa en aquellos puntos donde su gráfica se
encuentra debajo del eje X, o sea para: 1<x<6.
U La fórmula de la ley de Coulomb expresa la relación de depen 
dencia que existe entre la fuerza F- de interacción de 2 car­
gas eléctricas e¡ y e¡ por una parte, y la distancia r que 
media entre ellas, por otra:
P _ ei.e;
er2
Poniendo ei=e2=1 y e=1 formar la tabla de los valores de la 
función dada para r=1,2,3,.•.,10 y construir.su gráfica unien 
do los puntos con una línea suave.
1
SoiaciAn. Si e l=e2 = £=1i entonces: F = —pr
Determinamos los valores de la función F, en la sigui
ente tabla, para los valores dados dsl argumento r.
r 1 2 3 4- 5 6 7 8 9 10
F 1 1/4. 1/9 1/16 1/25 1/36 1/49 1/64 1/81 1/100
8 Capítulo 1: Función
0 Escribir la función que expresa la dependencia entre el ra­
dio r de un cilindro y su altura h siendo el volumen V=1. 
Calcular los valores de r. teniendo h los siguientes valores
0.5. 1, 1.5. 2. 2.5. 3. 3.5. 4. 4.5. 5. Construir la gráfica 
de la función.
Solución. Volumen del cilindro: V=Trr2h
1Dado V=1, entonces:
\/ñh
Construimos una tabla con los valores del argumento h y los co­
rrespondientes valores de la función r:
h 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
r 0. 564 0.46 0.4 0.35 0.32 0.30 0.28 0.26 0.25
r
0. 5t
Expresar el área de un trapecio isósceles de bases a y b co­
mo función del ángulo a de la base a. Construir la gráfica 
de la función para a=2 y b=1.
(1 )
b
So¿uc¿6n. Area del trapecio: S = ^(a+b)h
En la figura: x+b+x=a
de donde: x = ^(a-b)
Pero h=xTga h = (-^ j^ jTgct
Luego, en (1): S = (- - ' ^ jTgft
Para a=2 y b=1 tenemos: S = jTga
Al construir la grafica de la función debemos tener presente que
Sección 1: Nociones elementales sobre funciones 9
a 0 o o 45°
OovO 90°
S 0 0.43 0.75 1.3 OÒ
J j E x p r e s a r la dependencia entre la longitud b de un cateto de 
un triángulo rectángulo y la longitud de otro cateto, siendo 
la hipotenusa constante e igual a c=5. Construir la grafica 
de esta función.
Solución. Por el Teorema de Pitágoras: c2=a2+b2
Luego: 25=a2+b2 ** b = /25-a2
El cateto b es real •*-*■ 25-a2>0 ■*-*■ a 2<25 -5<a<5
Pero como a>0 -*■ 0<a<5
Dadas las funciones: a) f(x) = . b) g(x) =
hallar: f(0), f(1). f(2). f(-2). f(-1/2). f(/2), |f(1/2)| :
g(0), g(D, g(2). g(-2), gU)..
Existen f(-1) y g (-1 )?
Solución. a) f(0) = -2 . f ( 2 ) = | j f = 0
10 Capítulo 1: Función
f (-1/2) = "1^2. ~ 2 = -5 , f(/2 ) = -■ = 4-3/2
-1/2 + 1 /2 + 1
|±*(1/2) | = |1/2 ~ 2| = | -1 | = 1 
'1 / 2 + 1 '
b ) g ( 0 ) = = 2 , g ( 1 ) = 1 = 1 , g ( 2 ) = -1.2 T2 I = o
0+1 1+1 ¿ 2+1
g(-2) = ± £ * L = -4 . g U ) - l £ £ L .4 
-2 + 1 4.+ 1 5
No existen f(-1.) y g(-1) puesto que:
f (_D = z L = .» , g(_i)
-1 + 1 o
Q l Dada la función f(u)=u2-1, hallar f(1), f(a), f(a+1), 
f(a-1 ) y 2 f{2 a).
So ¿lición. En cada caso determinamos la imagen de u por f, esto 
es:
f ( D = ( 1 ) 2_1 = o , f ( a ) = a 2- 1 , f ( a + 1 ) = ( a + l ) 2- 1 = a 2+2a
f ( a - 1 ) = ( a - l ) 2- 1 = a 2- 2 a , f ( 2 a ) = ( 2 a ) 2- 1= 4 a 2- 1 , 2 f ( 2 a ) = 8 a 2-2
d Dadas las funciones F(x)=2x ' 2 y G(x)=2¡x ^"2, hallar F(0), 
F(2), F (3). F(-1), F(2.5)» F(-1.5) y G(0), G(2), G(-1), 
G(x), G(-1)+F(1).
Solución. F (0) = 2^ ” 2 = 2 - 2 = 7 , F(-1) = 2 ' 1 ' 2 = 2- 3 = 4
• 4 8
F (2) = 22 ' 2 = 2° = 1 , F (2.5) = 22 , 5 ' 2 = /2
F (3) = 2 3 " 2 = 2 , F (-1.5) = 2 ' 1 , 5 ' 2 = 1 / / 3 2
G (0) = 20 - 2 = j- , G(2) = 2 I 2 I ~ 2 = 2° = 1 , G (- 1) =2 i ~ 1 I " 2 = ^
Por definición de valor absoluto: Si x^O + |x|=x , x<0 + |x|=-x
Í2 X ~ 2 , si xjO 
Por tanto:
G(x) = < 0
( 2 x_ , si x< 0
G ( -1) + F (1 ) = \ + 2 1 " 2 = \ + 1 = 1
1 - 1 - 2 1 
-1 + 1
•2 = fCO
0 +
V
|]J Dada la función G(x)=xax, hallar G(0), G(1), G(-1), G(1/a), 
G(á), G(-a). i_a
Solución. G(0) = 0a° = 0 , G(1/a) = |(a1/a) = a a
G(1) = 1a1 = a , G(a) = a(a)a = aa+1
G(-1) = -1a’1 ■ =-■! , G(-a) = -a(a)~a = -a1_aa
O G(t) = t2+1, hallar G(t2) y [G(t)3 2
Solución. G(t2) = (t2)2+1 = t"+1
[jj(t)] 2 = [t2+1J 2 = t “ + 2t2 + 1
( Q F(x)=x‘*-2x2 + 5. Demostrar que F(a)=F(-a).
OcmoAisiación, En efecto, F(a) = a'*-2a2 + 5
F (- a) = (-a)"-2(-a)2+5 = a*-2a2+5 
F ( a) = F ( - a)
O G(x)=x’-5x. Demostrar que G(-x)=-G(x)
De.no¿ilación. En efecto: G(-x) = (-x)3-5(-x) = -(xs-5x)
.\ G(-x) = -G(x)
H ¡^ f(t)=2t2 + "^2 + \ + 5t. Demostrar que f(t) = f(-^ )
Hcmostración. En efecto: f(i) = 2(x)2 + — — ---+ — — + 5(4)
t t (1/t)2 1/t t
= + 2t2 + 5t + | = f(t)
f(t) = f(1/t)
( D f(x)=Senx-Cosx. Demostrar que f(1)>0.
Ormottnación. En efecto: f(1) = Sen(1)-Cos(1)
Como Sen( 1 )>Cos ( 1 ) -* Sén( 1 )-Cos ( 1 )>0
f■( 1 ) > 0
Sección 1: Nociones elementales sobre funciones___________________________________ 11
C O F(x)=logx. Demostrar que F(x)+F(x-1)=F£x(x+1)] . 
/><nio.i¿/iación. En efecto: F(x)+F(x-1) = logx + log(x-1)
12 Capítulo 1: Función
Por una de las propiedades de los logaritmos:
F(x) + F(x-1) = logx(x-l)
F(x) + F(x-1) = F[x(x-1)]
m F(x) = ax . 1) Demostrar que para cualquier valor de x es vá 
lida la siguiente relación: F(-x).F(x)-1=0
2) Demostrar que: F(x).F(y) = F(x+y).
De.mo-i¿/iación. En efecto:
1) F(-x)=a'x + F(x).F(-x) = ax .a'x = a° = 1
F(x).F(-x)-1=0
2) F(x).F(y) = ax.ay = ax+y F(x).F(y) = F(x+y)
171 Dada la gráfica de la función y=f(x) 
y los valores de a y b de la varia­
ble independiente x (Figura 3), con- 
truir f(a) y f(b) en el dibujo. Cuál 
es la interpretación geométrica de
la relación: f(b)-f(a)
b-a - Figura 3
Solución, Construimos f(a) y f(b) obte 
niendo los puntos A[a,f(a)]
y B["b,f(b)3 de la función y=f(x).
En el AACB: Tga =
En la figura vemos que: BC = f(b)-f(a)
AC = b-a
Luego: Tga = D— 3.
Por tanto, la relación es igual a la tangente del éngu
lo formado entre la secante que pasa por los puntos A y B y el
sentido positivo del eje X.
Q Mostrar queScualquier cuerda de la gráfica de la función y= 
f(x) está por encima del arco que aquella subtiende, se ve­
rifica la desigualdad: ■— ^ > f(2Ll+2_2.)
para todas las xi/x2.
Sección 1: Nociones elementales sobre funciones 13
De.nLo.ii*.ac¿6n. En efecto, sean A(xi.O) y B(x2,0) dos puntos cua­
lesquiera del eje X, tales que xi/x¡.
Sea la cuerda PQ de extremos P£xi,f(xj)l y Q[x2»f(x2)] y que es­
tá por encima del arco PMQ.
Si D es punto medio de PQ, el seg 
mentó DC es mediana del trapecio
APQB + GD 
o bien:
sñ = AP
-gjj _ f(xi) + f(x2)
Pero C es punto de AB, entonces: 
C(Sl£E*.0). luego: CM = f(-Ü^lA) 
y dado que: CD>CM, por tanto:
f ( X ! ) + f ( X 2 ) r f X l + X l }
2 2
Dada la función f (x)=x2-2x + 3, hallar todas las raíces de la 
ecuación: a) f(x) = f(0)
b) f(x ) = f(-D
So¿uc¿6n. a) f(0) = (0)2-2(0)+3 = 3
Si f(x)=f(0) -*• x2-2x+3 = 3
b) f(-1) = (-1)2 — 2(— 1)+3 = 6 
Si f(x)=f(-1) + x J-2x+3=6
+ x2-2x-3=0
-2x = 0
x=-1
x=0
x=3
x=2
f%l Dada la función f(x)=2x3-5x2-23x, hallar todas las raíces 
de la ecuación f(x)=f(-2).
Solución. f(-2)=2(-2)3-5(-2)2-23(-2)=10
Si f(x)=f(-2) - 2x3-5xz-23x = 10
+ 2x 3-5x 2-23x -10=0
Teniendo en cuenta que x=-2 es una raíz de esta ecuación, por el 
método de Ruffini podemos hallar las demás raíces, esto es:
2 -5 -23 -10
-2 -K 18 10
14 Capítulo 1: Función
* 2 x 3 - 5 x 2 - 2 3 x - 1 0 = ( x + 2 ) ( 2 x 2 - 9 x - 5 ) = (x+2 )(x-5)( 2 x + 1 )
Si 2x 3-5x2-23x-10=0 x=-2 6 x=5 ó x=-1/2
son las raíces de la ecuación: f(x)=f(-2 ).
O Dada la función f(x), hallar por lo menos una raíz de la e- 
cuación f(x)=f(a).
Solución. Si f(x)=f(a) ■*-*■ x=a
En consecuencia x=a siempre será una raíz de dicha e-
cuación.
Señalar dos raíces de la ecuación f(x)=f(2Í?) si es sabido
que la función f(x) está definida en el intervalo f-5,5}.
Hallar todas las raíces de la ecuación dada siendo f(x)=x2- 
12x+3.
Solución. Si f(x)=f(~|) -w- x = |±i
de donde: x 2-2x-8 = 0 -<-»■ x=í ó x= - 2
Por otro lado: f(|±|) = (|±i)*-12(frf)+3
Si f(x )=f(|±8 ) - x 2-12x+3 = (í±8)2-l2(|ͧ)+3
de donde obtenemos: x“-U x 3+36x2+56x-160=0
Dado que x=-2 y x=i son dos raíces de la ecuación, podemos deter 
minar las otras raíces por el método de Ruffini, esto es:
1 - U 36 56 - 1 6 0
- 2 - 2 32 - 1 3 6 160
1 -16 68 -80 0
K 4 - ¿ 8 80
1 - 1 2 20
x'*-Ux3 + 36x2 + 56x-160 = (x+2)(x-4)(x -1 2x+2 0 )
= (x+2 )(x-4 )(x-2 )(x-1 0 )
Si x 1*- 1x3+36x2 + 56x- 160 = 0 x= - 2 ó x - 2 ó x-U ó x= 1 0
F(x)=x2+6 , G(x)=5x. Hallar todas las raíces de la ecuación: 
F(x) = |G(x)|.
Solución. Si F(x) = |G(x) | -*■ x2 + 6 = | 5x |
Sección 1: Nociones elementales sobre funciones 15
*-*■ x 2 + 6 = 5x ó x 2+6 = -5*
*-* x 2-5x+6=0 ó x 2+5x +6=0 +-*• x=3 ó x= 2 ó x= - 2 ó x=-3
m f(x)=x+1 y g(x)=x-2'. Resolver la ecuación:
|f (x) + g(x) | = |f(x) | + |g(x) |
Solución., Se tiene: | (x+1) + (x-2) | = |x+l|+|x-2|
|2x - 1 | = |x+ 1 1 + |x- 2 |
Los valores críticos son: x=-1, x=1/2 y x=2 _
Entonces, los intervalos de variación de dicha ecuación son: 
x< 1 , -1íx<1 / 2 , 1/2Sx< 2 , x» 2
Si x<-1 -*• - (2x-1) = - (x+1)- (x-2) -*-*• -2x + 1 = -2x+1
Como la ecuación es válida ¥xeR -*■ Si = {xeR/x<-1}
Si -1$x<1/2 -► -(2x-1) = (x+1)-(x-2) «->- -2x+1 = -1 ♦ x=1
Pero como 1 i. Jj-1 > 1 /“v> + S* = $ ,
Si 1/2íx<2 -*■ (2x-1) = (x + 1)-(x -1) -*-*■ 2x-1 = 3 -» x=2
Dado que 2 i £l/2,2^ -*• S 3 = í
Si xj2 -*■ (2x-1) = (x +1) + (x -2) ** 2x-1 = 2x-1
La ecuación es válida -V-xeR -*• Si. = {xeR/x>2}
S = S 1US2US 3US u = SiUS* = {xeR/xí-1 ó x»2)
Hallar los valores de a y b en la expresión de la función: 
f(x)=ax2+bx+5 para los cuales sea válida la identidad: 
f(x+1)-f(x) = 8x+3
Solución, Si f(x+1)-f(x)=8x+3 + a(x+1)2+b(x+1)+5-(ax2+bx+5)=8x+3
de donde: 2ax+(a+b) = 8x+3
Identificando coeficientes se tiene: 2a=8 , a+b=3
Resolviendo el sistema obtenemos: a=¿ y b=-1
m Sea f(x)=aCos(bx+c). Cuáles deben ser los valores de las
constantes a,b y c para que se cumpla la identidad:
f(x+1)-f(x)=Senx
Solución. Si f(x+1)-f(x)=Senx ♦ aCos|b(x+1)+c|-aCos(bx+c)=Senx
-*• aCos (bx+b+c) - aCos (bx+c)=Senx 
Transformando a producto el primer miembro de esta ecuación se 
tiene:
16 Capítulo 1: Función
- 2 aS e n ( ^ ± b ^ | + b x + c ).Sen(^ + b + °-b x - c ) = Senx
♦ - 2 a S e n ( b x + c + -jj) .Sen (■£) = Senx (1)
o bien: 2 a S e n ( b x + c + | ) .Sen(|) = -Senx (2)
La igualdad (1) se verifica si: b=1 y -2aSen(|)=1
1 1Entonces: a = ---------- ------ !--- = -1,04.
2Sen(1/2) 2(0.48)
Luego, si: Sen(x+c+-^) = Senx +*■ c + - = 2kir
■'-* c = - + 2kTt , keZ
La igualdad (2) se cumple si: b=-1 y 2aSen(-1/2)=-1
^ _ 1 = 1.04
2Sen(1/2)
Si Sen(-x+c - =■ Senx + c - j = (2k+1)rr ** c = j + (2k+l)TT, keZ
*
1.2 FUNCIONES COMPUESTAS
Si f:A-+B y g:B+C, entonces la función F:A-K¡ defi 
nida para cada xeA por la igualdad F(x)=g[f(x)j 
se llama composición de las funciones f y g, o ¿unción compuesta 
y se denota por gof.
De esta forma, por la definición de cada x.eA
(gof )(x) = g [f (x ) ] (1 )
r '
J/
Kn la figura 1.3 se explica gráficamente el mecanismo de la com­
posición de dos funciones f y g, que transforman sucesivamente: 
1) La función f: el punto xeDom(A) en la imagen f(x) del conjun­
to B.
,’) La función g: el punto f(x)eDom(B) en la imagen gff(x)] del 
conjunto C.
I.n fórmula (1) es válida siempre que Ran(f) a Dom(g)^ <J>.
I.tt figura 1.3 muestra esta condición, además:
Dom(gof) = {x e D o m ( f ) A f
(x ) e D o m ( g )}
11n 1 mismo modo se tiene que:
(f og ) (x ) = fTg(x)] (2)
.ilompre que, Ran(g) A Dom(f y con dominio:
Dom(fog) = {x e D o m ( g ) a g ( x )e D o m ( f )} 
observaciones:
(1) La composición'de funciones no es conmutativa, esto es:
(fog)(x) ¿ (gof)(x)
(■’) La composición de funciones es asociativa, es decir:
. £fo (goh)"J (x) = [(fog)ohj (x)
S< ■< i ión 1: Nociones elementales sobre funciones___________________________________ 12
PROBLEMAS RESUELTOS
m y = z2, z=x+1. Expresar y como función dé x.
Solución. Sean: y=f(z) y z = g,(x)
Según la fórmula (2): y=(fog)(x)=f|g(x)|=f(z) 
+ y=(x+1)2=x2+2x+1
ID y=/z+1 , z=Tg2x. Expresar y como función de x.
Soiución, Si y=f(z) y z=g(x) + y=f [g(x)]=f(z) 
y = /Tg2x+1 = /sec2x = |Secx|
1 3 y = z2, z=Vx+1, x=a^. Expresar y como función de t.
Solución. Si y=f(z) , z = g(x) , x=h(t) + y=[fo(goh)] (t)
18 Cavítulo 1: Función
* y = [f°g(h(t))] = fl’g U 1)] = f(3/at + 1)
= ( 3/ a V l ) 2 = 3/ ( a t + 1 ) 2
y=Senx, v=logy, u=/l+v2. Expresar u cono función de x.
Solución. Sean: u=f(v), v=g(y), y=h(x) + u=(fogoh)(x)
+ u = fo[g(h(x))] = f[g(Senx)] =
= f[logSenx] = /l + (logSenx) 2
y=1+x, z=Cosy, v=/l-z2. Expresar v como función de x.
Solución. Sean: v=f(z) , z=g(y) , y=h(x)
-»■ v = (fogoh)(x) = f[g(h(x))J
-> v = f[g(1+x)] = f[Cos(1+x)J = /l-Cos2(1+x)
= /Sen2(1+x) = |Sen(1+x)|
Presentar en forma de cadenas formadas a base de las princi 
pales funciones elementales las siguientes funciones compu­
estas :
(1) y=Sen3x U) y = Sen2(2x+1)
(2) y = V(1+x)2 (5) y = 5 (3x +1)2
(3) y = log(tgx)
Solución. (1) Supongamos que: y=f(u) , u=g(x)
Si y=flg(x)] = Sen3x -*• / f(u) = u>
^g(x) = Senx
(2) Sean: y=f(u), u=g(x) y = f[g(x)] = 3/'(1+x)2
+ f (u) = 3/ü , g(x) = (1+x)2
(3) Sean: y=f(u) , u=g(x)
Si y = f[g(x)] = log(Tgx)
(4) Sean: y=f(u) , u=g(v), v=h(x)
+ Tf(u)=logu 
|g(x)=Tgx
l'y=f (u)=u2
Si y-f [g(h(x) )'J=Sen2(2x + l) -*■ i u=g(v)=Senv
I v=h(x)=2x+1
Sección 1: Nociones elementales sobre funciones 19
(5) Sean: y=f(u) , u=g(v) , v=h(x)
 ^ f y=f(u) = 5U 
Si y=f[g(h(x))]=5í3x+1) + \ u=g(v)=v2
[v=h(x)=3x+1
f(x)=x3-x, g(x) =Sen2x. Hallar: a) f [g(^/12)], b) g[f(x)],
c) g[f(2)] , d) fTgU)] . e) f[f(x)] , f) f(f[f(x)]). 
g) g f g ( x ) J .
Solución. a) f[g(ir/12)] = f[Sen(ir/6)] = f(1/2) = -g - ^
b) g[f(1)'J = g( 1-1) = g(0) = SenO = 0
c) glf(2)] = g(8-2) = g(6) = Sen12
d) ffg(x)] = f(Sen2x) = Sen32x-Sen2x = -Sen2x(1-Sen22x)
= -Sen2xCos22x
e) f[f(x)’J = f(x3-x) = (x3-x) 3-(x3-x) = x 9-3x7 + 3x5-2x3+x
f) f[f(f(1))J = f[f(1-1)3 = f[f(0)] = 0
g) g[g(x)] = g(Sen2x) = Sen2(Sen2x)
0 Demostrar que es válida la siguiente forma de construir la 
gráfica de la función compuesta y=f(g(x))=F(x), valiéndose
de las gráficas conocidas de las funciones correspondientes: 
y=f(x), y=g(x). Del punto A de la gráfica de la función g(x) (Fi 
gura 4), el cual corresponde al valor dado de la variable inde­
pendiente x, se traza una recta paralela al eje OX hasta que se 
corte en el punto B con la bisectriz de los ángulos coordenados 
primero y tercero. Del punto B se traza una recta paralela al e- 
je OY hasta que se corte con la gráfica de la función f(x) en el 
punto C. Si del punto C se traza una recta paralela al eje OX,
01 punto D de su intersección con la recta NN* será la gráfica 
de la función F(x) correspondiente al valor tomado de x.
DemoAi/iación. En efecto, siendo Aeg •» A(x,g(x)).
Estando B en la misma horizontal que el punto A, 
entonces: B(xj,g(x)). Como la ecuación de la bisectriz del pri­
mer y tercer cuadrantes es L:y=x y siendo BeL •» g(x)=x1( por tan 
to: Bfxpxj). Estando Cef én la misma línea vertical que el pun­
to B, entonces: C (x i, f (xi ).), o bien: C [x i, f (g(x)) ]
20 Capitulo 1: Función
El punto D es la intersección 
de la recta horizontal que pa 
sa por C con la recta verti­
cal NH1 que pasa por A, por 
tanto, tiene la abscisa de A 
y la ordenada de C, esto es:
D|x,f(g(x))|. En el gráfico 
vemos que D es la ordenada de 
F(x), en consecuencia:
F(x) = (fog)(x)
N
Figura U
1.3 FUNCIONES IMPLÍCITAS
Las funciones que hemos visto hasta ahora fueron las llanadas 
funcione./, e.x.p llcita-i, definidas por la ecuación conocida y=f(x),- 
en donde f(x) era una función de una sola variable. Por ejemplo:
y = f(x) = 3x 3-5x 2+3
es una función explícita.
Si en una ecuación de dos variables tal cómo:
E(x,y):x2+y2=¿ (1)
despejamos y=f(x), obtenemos:
y = /i-x2 ó y = - / 4-x2
cada una de estas ecuaciones define una función de x si se espe­
cifica que a cada.número x, que pertenece al intervalo [-2,2j, 
le corresponde el número y=/i-x2 o bien el.número y=-/¿-x2, se 
dice entonces que la ecuación (1) define una función implícita
de x.
I : Nociones elementales sobre funciones 21
PROBLEMAS RESUELTOS
m Escribir en forma explícita la función y dada en forma im­
plícita mediante la siguiente ecuación:
(1) x 2 + y2 = 1 . (5) 2*y = 5
(2) — - 2— = 1 (6) logx + log(y+1) = 4
á2 b2
(3) x 2 + y 2 = a2 (7) 2x+y(x2-2) = x2+7
U) xy = C (8) (1+x)Cosy - x2 = 0
\"¿uciin. Despejando y=f(x) en cada ecuación dada se tiene:
(1) y2 = 1-x2 +-* y = /l-x2 ó y = -/Ti
(-') y2 = ^ r(x2-a2) +-»■ y = | /x2-a2 ó y = - | /x 2-e
-x2
(3) y2 = a2-x2 -*->• y = /a2-x2 ó y = - /a2-x2
(O xy = C -*■ y - -X
(5) 2xy = 5 -*■ xylog22 = log25 +-+ y = log25
x
1 n **
(6) logx(y+1)=4- x (y +1) = 10 “ ■*->• y = —— - 1
(7) 2x+y(x2-2)=x2+7 -*■ (x+y)log22 + log2(x2-2) = log2(x2 + 7)
-*■ x+y = log2 (x2 + 7)-log2 (x2 —2) 
y = logz ) " x
X2 , X2v
(8) (1+x)Cosy-x2=0 Cosy = +-*■ y=arcCos
Mostrar que para x>0 la ecuación y+|y|-x-|x|=0 determina la
función cuya gráfica será la bisectriz del primer ángulo co
ordenado, mientras que para son las coordenadas de todos los
puntos del tercer ángulo coordenado (incluidos sus puntos fronte 
ra) las que satisfacen a la ecuación dada.
i)cino<it/iaci6n. En efecto, si x>0 s y>0 y+y-x-x=0 «-*- y=x
La gráfica es la bisectriz del primer ángulo coor
donado. Si x>0 e y<0 •* y-y-x-x=0 x=0
22 Capítulo 1: Función
La gráfica es el semieje negativo 01.
Si x$0 e y>0 ■+■ y+y-x+x=0 +-*■ y=0
La gráfica es el semieje negativo OX.
Si x^O e y<0 -*■ y-y-x+x=0 0 = 0 , que es una identidad.
La gráfica es el conjunto de todos los puntos del tercer ángulo 
coordenado.
PROPIEDADES MAS ELEMENTALES DE LAS FUNCIONES
2.1 FUNCIONES Y FORMAS DE SU EXPRESION
Anteriormente hemos visto que una función se define mediante una 
regla que permite calcular para un x dado un número y (imagen de 
x), mediante la ecuación y=f(x). Además, ya sabemos también, que 
el conjunto de todos los valores posibles de x (argumento o va­
riable independiente) para los cuales la función queda definida 
se llama dominio de definición o simplemente, .dominio de la fun­
ción.
Dado que el dominio de una función se expresa, por lo general, 
en forma de intervalos, se requiere fundamentalmente el conoci­
miento de ciertos teoremas sobre desigualdades, que a continua­
ción sé da, como referencia, algunos de estos teoremas, que son 
de suma utilidad para el cálculo del dominio de una función.
Tj: Si a>0 y x2<a *-*■ -/a < x < /a
T2: Si a^O y x2>a <->- x<-/a ó x>/a
T 3: (x-a) (x-b)<0 -*-+ (x<a a x>b) v (x>a a x<b)
Ti,: (x-a)(x-b)>0 (x>a a x>b) v (x<aAx<b)
T 5 : 4 0 ■*-*■ (xía a x>b) v (x>a a x<b)
T«: ^ ® (x$a A x< b) v (x>a a x>b)
T 7: Si una inecuación polinómica se descompone en factores linea 
les, que no se repiten, de la forma:
(x-a) (x-b) (x-c) (x-d) S- 0 (1)
ó (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) < 0 (2)
¡i'in /, lo c iones elementales sobre funciones 23
lua valores críticos, que resultan de igualar a cero cada 
factor, se ubican en una escala numérica como
sigue:
I,uego, se le asigna al intervalo <d,+<»> el signo positivo. 
■Seguidamente se anotan, alternativamente, los signos (-) y 
(+) sobre los intervalos contiguos a la izquierda de <d,+°°>. 
K1 conjunto solución de (1) será la unión de los intervalos 
positivos, y de (2). la unión de los intervalos negativos.
i u: | x | i a - a x í a
T i o: |x|^a x£-a 6 x^a
J 2 5 S E E B S Í IGUALDAD DE FUNCIONES
Dos funciones f y g se dice que son iguales, es­
to es, f=g, si se verifica que:
i) Dom(f) = Dom(g)
ii) f (x ) = g(x) , ¥xeDom(f)=Dom(g)
'Ejemplo. Determinar si son iguales las funciones: 
f (x) = /x+T + /x-2 y g(x) = /x 2-x -2
Solución. Debemos hallar los dominios de f y g para determinar 
si f=g.
f es real -*-► x+I^O a x-250 -*• Dom(f) =.{xeR/x?- 1 a x *2}
= {x eR/x?2} = [2,+<»)
■ es real «-*■ x2-x-2í0 -*■ Dom(g) = {xeR/(x+1) (x-2)s0}
= {xeR/x$-1 ó xS-2) (Ti,)
= - "0 U [2,
Como Dom(f) ^Dom(g) -*• f f g
E j ^ S S E B S I ÁLGEBRA DE LAS FUNCIONES
Si f y g son dos funciones reales y tienen domi­
nios Dom(f) y Dom(g), entonces f+g, f-g, f.g y f/g son funciones 
definidas por las siguientes reglas de' correspondencia:
24 Capítulo 1: Función
i) f+g = { (x,y)/y=f (x)+g(x), xeDom(f )ftDom(g)}
ii) f-g = í (x,y)/y=f (x)-g(x), xeDom(f)ODom(g)}
iii) f.g = {(x,y)/y=f (x).g(x), xeDom(f)flDom(g)}
iv) f/g = {(x,y)/y = lÁZl , xeDom(f)ODorn(g), g(x)/0} 
g(x)
Ejemplo. Dadas las funciones f={ (1,2), (2, 3). (3, 5). (4-, 8)} y
g={(0,5),(1,6),(2,-1),(3.0)}. Hallar: f+g, f.g y f/g
Solución. Dom(f)={1,2,3,A) y Dom(g)={0,1,2,3)
Entonces: Dom(f) a Dom(g) = {1,2,3}
Luego, según la definición 1.5 se tiene:
f+g = {(1,2+6),(2,3-1),(3,5-0)} = {(1,8),(2,2),(3,5)}
f.g = {(1,2*6),(2,3X-1),(3.5X0)} = {(1,12),(2,-3),(3,0)}
f/g = { (1,2:6), (2,3:-1), (3, 5:0)} = {(1,1/3), (2,-3-)}.
Observe que 3¿Dom(f/g) porque g(3)=0.
PROBLEMAS RESUELTOS
Formar la tabla de lo.s valores de la función de argumento 
-i
entero y = -j-p , para 1<x$6
Solución. Recordando que: n! = 1.2.3...n , la tabla de los valo 
res de la función dada para x=1,2,..,6, es:
x 1 2 • 3 4 - 5 6
y 1 1 / 2 1/6 1/24 1/120 1/720
O El valor de la función de argumento entero u=f(n) es igual 
a la cantidad de números primos no mayores que n. Formar la 
tabla de los valores de u para 1«n<20.
Solución, Si n=1 + u=f(.1)=0 (No existe número primo < 1)
n=2 u=f(2) = 1 (Hay un número primo < 2)
n = 3 u=f(3)=2 (Hay. dos números primos < 3)
n=4 -> u=f(A)=2 (Los números primos son 1 y 3)
i don 2: Propiedades más elementales de las funciones 25
Aunll/,ando la cantidad de números primos para los demás valores 
i- 11 obtenemos la siguiente tabla:
11 1 2 3 i 5 .6 7 8 9 10 11 12 13
u 0 1 2 2 3 3 í K k A 5 5 6
n U 1 16 17 18 19 20
u 6 6 6 7 7 8 8
C 3 El valor de la función de argumento entero u=f(n) es igual 
al número de divisores enteros del argumento distintos de 1 
y de la misma n. Formar la tabla de los valores de u para 
1ín<20.
\<’fución. Para n=1,2 y 3 + u=0 (No existe divisores de 1,2 y 3)
n = 4 ■* u=1 (2 es divisor de 4-)
n=6 -*• u=2. (2 y 3 son divisores de 6)
Analizando los valores de la función para los demás valores de n,
"htenemos la siguiente tabla:
n 1 2 3 i 5 6 7 8 9 10 11 12 13
u 0 0 0 1 0 2 0 ; 3 2 0 í 0
n U 15 16 17 18 19 2 0
u 2 2 3 0 i 0 A
C D La figura 5 presenta una barra formada por tres segmentos 
cuyas longitudes son iguales a 1:2:1 unidad de longitud, y 
l peso es igual a 2,3,1 unidades de peso, respectivamente.
r’l peso del segmento AM cuya longitud es igual a x, es función
, , t 
de x. Para que valores de x esta definida esta función? Presen­
tar su forma analítica y construir su gráfica.
1 M ■“ — 1— 1 — 1
M M m ....” ■
'— »— ----------
1M W /M
--- V-------Y—
2g 3g lg
Figura 5
26 Capítulo 1: Función
So¿ución. Si f(x) es el peso del segmento AM, se tiene: 
2x , para 0<xí1
2 + -^(x-1), para 1<x<3
x+2 , para 3<x^4
Por tanto, la función viene deter­
minada cuando 0-$x$4.
o Una torre tiene la siguiente forma: Un cono circular trunca 
do cuyos radios de base son 2R (inferior) y R (superior) y 
cuya altura es R, sostiene un cilindro de radio R y de altura 2R. 
Esta última sostiene, a su vez, una semiesfera de radio R. Expre 
sar el área S de la sección transversal de la torre como función 
de la distancia x que media entre la sección y la base inferior 
del cono. Construir la gráfica de la función S=f(x).
So ¿ución. En el intervalo OíxsR, 
sea DF=r el radio de la 
sección transversal (círculo)
RAABC=ADEC ABDE
BC
CF r-R
. R 
R-x
de donde: r=2R-x
S (x) =7r (2R-x) 2, para Oíx$R
En el intervalo R$x$3R, el área de 
la sección transversal es constan­
te, esto es:
S(x )=ttR 2, para R$x^3R
En el intervalo 3R^x^4R« sea MK el 
radio de la sección transversal.
En el AOMN: MÑ2=0Ñ2-0M2
Vi/ ' E
T
R
2R
= R2-(x-3R):
.. S (x) =tt (6Rx-x2-8R2), para 3R$xg4R
Fuera del intervalo [0,4-R] la' 
función S=f(x) no está deter­
minada.
2 = 6Rx-x
S *
B
-8R:
2R
tiR'\
2R 3R 4R
Si ’cción 2: Propiedades más elementales de las funciones 21
O Una esfera de radio R lleva inscrito un cilindro. Hallar la 
dependencia funcional entre el volumen V del cilindro y su 
altura x. Indicar el dominio de definición de esta función.
Vo¿ución, Volumen del cilindro: V=Tir2x (1)
donde r es el-radio de 
dicho cilindro.
En el AADC: (2R)2 =(2r)2+x2
y 2
de donde: r2= R2 - -j
.".ustituyendo en (1) obtenemos:
V(x) = irx(R2- j ) , 0<x<2R
m Una esfera de radio R lleva inscrito un cono recto. Hallar 
la dependencia funcional entre el área de la superficie la-
i'iral S del cono y su generatriz x. Indicar el dominio de definí
i'lón de esta función.
So¿ación. Sea r=CD el radio del cono
S (x) = irrx (1)
Kn el ABDE: BE2 = BC2 + EC2
► (2R) 2=x2+ÉC2 <-*- EC = / tR2-x2
ABPT~APn? . BC - lE ^ . J L _ 2 RADCE-ACDE DC - Ec r EC
x (EC ) x/¿R2-x 2
r 2R 2R
2
I.uogo, en (1): S(x) = -^^-/¿R2-x2
Kntonces, S es real ■*-* 4R2-x2>0 ** x2<4-R2
.’. Dom(S) = {x eR/x>0 a -2R<x<2R}
= {xeR/0<x<2R} = <0,2R>
tn los ejercicios 47 y ^8 hallar los dominios de definición
de las funciones que se indican.
y = 1 -logx
S o ¿ación. La función y es real *-*■ x>0
.'. Dom(y) = {xeR/x>0} = ^0,+«=^
y = lo g ( x + 3 )
28 Capitulo 1: Función
Solución. La función y es real -*-*• x+3>0
Dom(y) = (xeR/x>-3) = <-3,+°°>
y = / 5-2x
Solución. La función y es real ■*-*■ 5-2x50 ■*•+ 2x^5 
Dom(y) = {xeR/x$5/2} = <-” ,5/23
y = /-px , (p>0)
Solución. Si p>0, la función y es real +-*■ -x$0 
Dom(y) = {xeR/xíO} = <-<*>,0]
1
x2-1 
Solución. y , la función y no está definida
(x+1)(x-1) 
para x=-1 , x=1. Don (y) =R-{ - 1,1}
x2 + 1
Solución. Dado que x2+1>0, V x e R Dom(y)=R 
1
Solución. y = --- --- , la función y no está definida para
- x(x-1)
x=0 y x=1. Dom(y) = R-{0,1}
2x
x2-3x+2 
Solución. y - 2x , la función no está definida pa
(x-1)(x-2) 
ra x=1 y x=2. í)om(y) = R-{1,2}
y = 1 - / 1 - X 2
Solución. . La función es real «->- 1-x2^0 ■*->■ x2<?1 
Dora (y) = {xeR/-1^x^1} = [-1,1]
1y =
/x2-4x
Solución. La función es real x2-¿x>0 x(x-4)>0
Si < rión 2: Propiedades más elementales de las funciones 29
x<0 ó x>4 (T<t)
Dora (y) = {xeR/x<0 ó x>4) = <-<», 0>U<4,+°°>
y = / x 2-4 x+ 3
Solución. La función es real -*-*• x 2-4x+ 3^0 
«-+ ( x - 1) (x -3 ) 50 *-*■ x$1 ó x^3
Dom(y) = <-<*>; i"] U [ 3 ,+»>
0\)
y =
/x2-3x+2
(Tj
Solución. La función es real x 2-3x+2>0
«-*■ (x-1)(x-2)>0 -•-+• x<1 ó x>2 
Dom(y) = <-o», 1>U<2, +°°>
y = arcSen(^)
So lución. Sabemos que: -1^Seny$1 -1 < ^ ^ 1
-*•-4 4- x 4 4
Dom(y) = 1-4,4] 
y = arcSen(x-2)
So lución. La función es real -1$x-2<:1 ■*-*■ 1.sxs3
Dom(y) = [l,3j
y = arcCos(1-2x)
Solución. La función es real +-*■ -1¿1-2xi1 -«-*• -2$-2x^0
*-*■ 0$x$1
Dora (y) = [0,1] 
y = arcCos("~^X )
Solución. 3y ++ -1 4 - ~^x ■$ 1 ■*-*■ -4í 1-2x<4
+-*■ -5í-2xi3 ++ -3$ 2x^5
.*. Dora (y) = [-3/2, 5/2]
y = arcSen/2x
Solución. La función es real ++ 0 ^ /2x < 1 -*-»• 0¿:2xí1 
Dom(y) = [0,3/2j
y = /í- Ix I
30 Capitulo 1: Función
Solución. La función es real +-* 1-|x|£0
(T.)
Dom(y) = f-1,l]
y = 1
/|x|-x
Solución. La función es real *-*■ |x|-x>0 
Si x>0 ■* x-x>0
+ 0 > 0 No tiene sentido
Si x<0 •> * -x-x>0 ■*-*■ -2x>0 ++ x<0
Dom(y) = <-°»,0>
1_______y =
/x- |x|
Solución. La función es real +-► x-|x|>0
*-*■ |x|<x x<x A x>-x
-*-*• <t> a x>0 = <t>
Dom(y)=<í> , la función no tiene sentido.
l°g(
5x-x
Solución. La función es real -«-*■ log( 0
Luego: -^=f- >, 1
Sabemos que si logN^O + N^1
-*-► x2-5x+4-Í.O
+-*• (x-1)(x-4)$0 1$x$4
Dom(y) = [1 ,K\
(T,)
y = logSenx
Solución. La función es real +-*■ Senx>0
Senx es positivo en el primer y se^umJo cuadran, 
tes, entonces: 0 < x < ir , o bien:
2k7! < x < (2k+1)u , keZ 
Dcm(y) = <2k , (2k+1)ir>, keZ
y = arcCos(2TSenx)
Solución. La función es real -t-r- - ,-------- 2+Senx
Las desigualdades se cumplen para Senx^O
+ O^ x^ ir. Dom(y) =_ f2kir, (2k + 1 )ir7 , keZ
Vi vi ¡on 2: Propiedades más elementales de las funciones 31
47.24
48.1
48.2
48.3
48.4
y = logx2
Solución. Como la base de todo logaritmo es positivo, di 
ferente de 1, se sigue que:
Dom(y) = <0,+°°>-{1}
y = 1-- ^ + /x+2* log(1-x)
Solución. Sean f(x) = ]_og(l-x) ^ s M = l/x+2
Si y = f(x)+g(x) -*• Dom(y) = Dom(f) A Dom(g')
La función f es real «-*■ 1-x>0 y x^O -«-*■ x<1 y x^O
Dom(f) = <-=>, 1> - {0}
La función g es real *-*■ x+2>0 ■«-*■ x$-2 -*• Dóm(g) = £-2,+«>
Por tanto: Dom(y) = (<-®>, 1 >-{0} ) 0 [-2,+«>>
- 2 . 0 1 
Dom(y) = r-2,0>U<0,1>
y = /3-x + arcSen ( )
Solución. Sean: f-(x) = /3-x y g(x) = a r c S e n ( )
La función f es real -«-*• 3-x^0 +-*■ xg3 
Entonces: Dom(f) = <-“ ,3]
La función g es real ++ -1 í 3~gX -S 1 +-*• -5S3-2x<5
*-* -1 4: x U
Entonces: Dom(g) = E-1»4]
Dom(y) = <-°>, 3.]n [-1, 4-] = L-1.3]
y = arcSen(^2) - log(¿-x)
Solución. Sean: f(x) = arcSen(-^j^) y g(x) = log(A-x)
La función f es real -<-*■-1 ^ ^ 1
■*-* 1 x< x í 5 -* Dom(f) = f l . 5j
La función g es real •*-+ 4-x>0 +-*■ x<4 -*■ í)om(g) = <-<*>, 4> 
Dom(y) = f l , 5]n<-“>, A > = D , 4>
y = /x + ” log(2x-3Í
32 Capítulo 1: Función
Solución. La función y es real -*-* (x$0) A (x/2) a (2x-3>0)
+-*■ (xíO) a (x/2) * (x>3/2) 
Dora (y) = <3/2,2>U<2,+°»
y = /x^T + 2/1-x + /x2+1
Solución. La función y es real ■<-»■ (x-1^0)n (1-x^0)fl (xeR)
(x»1) a (x«1) a (xeR)
.’. Dom(y) = {1}
E E I 1 y = -2- + log(x3-x)
4 -x 2
Solución, La función es real +-*• (í-xz¿0) A- (x3-x>0)
<-»■ (x¿±2) a (x)(x-1)(x+1)>0 
Los valores críticos de la segunda inecuación son: 
x=0 , x=-1 y x=1. Haciendo uso del Teorema 7 se tiene:
•+ 00
.'. Dom(y) = < -1, 0>U < 1, 2>U < 2, +<»>
y = logSen(x-3) + /i 6-x2
Sb Ilición. La función es real +-*■ (SenX-3)>0) H (16-x2 JO) 
*-*■ (0<x-3<tt ó -2tt<x-3<-tt) n (x2-í16)
(3<x <tt + 3 ó 3-2it< x <3-tt) ^ (-4<x¿4)
{3<x<rr + 3)n (-4<x<4.) U (3-2tt<x<3 -tt) 0
Dom(y) = <3-277, 3-tt>U<3i 43
y = /Senx + /l6-x2
Solución. La función es real ■*-+ (Senx:*0) (16-x2^0)
*-* (0<xin ó -2tt^ x<-tt) a (x2^ 16)
■*-* (0gX¿7T ó -2tt$x^ -tt) a (-4<x^4)
-<-»• (0$x<TT n-4<X$4) u (-2tt<x -^7t (1 -4í x<4)
Dom(y) = [-4,-ttJ u [0,7tJ
1
/Senx
+ Senx
Sí ■( c i ó / i 2: Propiedades más elementales de las funciones 33
So Ilición. La función y es real -«-*■ Senx>0
«-*■ 0 <X<7T
Dom(y) = <2kn, (2k+1)ir> , keZ
y =.log(--------- ) - >yx+5
x 2-10x+2¿
Solución, La función está definida x-5 > 0
x-5
x 2- IOx+24-
> 0
(x-4)(x-6)
Ubicando los números críticos x=4, x=5 y x=6 en una esca­
la real, por el teorema 7 se tiene:
► + 00
* - m - ñ/ í +j
Solución, Sean f(x) = y g(x) = ■A ;1'"*
i /1+xx+2
La función f es real x-2x+2 i- 0
+-*■ x<-2 ó xj.2 (Ts)
-*■ Dom(f) = <-00,-2>U £2 , +oo>
La función g es real +-+ (1-x^.O) a (1+x>0)
(x^1) a (x>-1) + Dom(g) = <-1,ll
Dom(y) = Dom(f)'(1 Dom(g) = (*>
Dado que Dom(y) = $, la función y no está definida en par 
te alguna.
y = /x-3x+2 +
/3+2x-x2
Solución, La función es real +->• (x2-3x+2 5 p) A (3+2x-x2>0) 
+■+ (x-1)(x-2)$0 a (x-3)(x+1)<0 
ir* (x$1 ó x^2) A (- 1<x<3) " (T„ y T s)
.*. Dom(y) = <-1, 1]U[2,3>
34 Capítulo 1: Función
y = (x2+x+1 ) ' 3 / 2
S o ¿uctón. El discrimínate de la expresión x 2+x+1 es:
A = (1)2-4(1)(1) = -3<0 -► x2+x+1>0, VxeR
.'. Dom(y) = R
y = log(/x- 4 + / 6-x)
Solución. La función es real ■*-+• /x-~A + /6-x > 0
-<-*■ x-4 ^0 a 6-x^0 •*-*■ 4íx^ 6
Dom(y) = [4,6] 
y = log[l-log(x2-5x+l6)j
Solución. La función es real 1-log(x2-5x+16)>0
*-* log(x2-5x+l6)< 1 
Si Iog(x2-5x+l6)<log10 -*-*■ x2-5x+16 < 10
-<-* (x-2 )(x-2 ) < 0
2<x<3 (Ts)
Dom(y) = <2, 3>
© Son idénticas las funciones:
(1) f (x) = — y g(x) = -j- (3) f (x) = x y g(x) = /x2
x2 x
(2 ) f (x ) = y g(x) = x (4 ) f (x) =logx2 y g(.x)=2 1 ogx
Solución. (1) f(x ) = ^ , x¿0 , g(x) = j , x^O
Luego, f y g son idénticas.
(2 ) f(x) = •— = x , x^O , g(x)=x
f y g son idénticas en cualquier intervalo que no contenga 
al punto x=0 .
(3) g(x) = /x2 = |x J
Si x£0 -*• |x|=x , entonces: g(x) = f(x) = x
x< 0 < |x|=-x -*• g(x )=-x
Por tanto, f y g son idénticas en el intervalo [p,+°°>
(4) f(x)=logx = 2 1 ogx
Luego, f y g son idénticas en el intervalo <0,+»>.
V, i ción 2: Propiedades más elementales de las funciones 35
Pensar-un ejemplo de la función dada en forma analítica.
(1 ) definida sólo en el intervalo -2<x^ 2
(2 ) definida sólo en el intervalo -2 <x< 2 y no definida para 
x=0 .
(3 ) definida para todos los valores reales de x, a excep­
ción de x=2 , x=3 , x=4.
Solución. (1) Por ejemplo f(x) = /¿-x2
En efecto, 3f -<-*• 4-x2^0 ■*-*■ x24í
*-*■ -24x42
(2) Por ejemplo: f(x) = 7 + --“--
x /Z^x7
En efecto, 3f •<-*• x¡¿0 a ¿-x2>0 +-*■ x¿0 A -2<x<2
(3) Por ejemplo, f(x) = ^ 5 +
En efecto, la función f es real *->■ xcR-{2,3,4)
6 ) Hallar los dominios de definición de las ramas unívocas de
la función y=f(x) dada mediante la ecuación:
(1 ) y 2-1+log2 (x-D =0 • , (2 ) y 1,-2xy2+x2-x=0
Polución. (1 ) y 2=1-log2 (x-1 ) = log22 - log2 (x-1 )
+ y = ± ^ /log2 (-J7 y) + 3 f ■<->■ log2 ("y) £ 0
~ * 1 o
'*-*■ 1 < x -g 3 (T5)
Dom(f) = <1,3]
y2 = x ± S x 2- (xz-x) = x ± /x . y = ± / x ± /x 
La función f es real -«-*■ (x + /x >, 0) u (x - /x 5. 0)
Para las primeras dos ramas:
x + /x ^ 0 +-*■ xíO Dom(f) = £0,+“>>
Para las otras dos ramas:
- x - /x £ 0 -*-*■ x >y /x
«-+■ (xÿb A x2>x)
<-*• (x£0 A x(x-1)^0)
*-*■ (xÿO a x£1 )
Dom(f) = £l,+®>
36 Capitulo 1: Función
2.2 CARACTERÍSTICAS DEL COMPORTAMIENTO DE FUNCIONES
5 2 2 2 S 2 S B B I FUNCIONES PARES
Una función f se dice que es una {.unción pan. si 
se verifica lo siguiente:
i) xeDom(f) -*■ -xeDom(f)
ii) f (x) = f(-x)
Observación. La gráfica de una función par es simétrica respec­
to del eje I, pues la regla de correspondencia no 
se altera al sustituir x por -x.
Por ejemplo, las funciones cuyas ecuaciones son de la forma y=xn 
para n par, son funciones pares y sus gráficas son parábolas si­
métricas respecto del eje Y.
En particular, si n=2 y xeQ-2,23, 
entonces, f(x)=x2 es una función par.
En efecto, según la definición 1.6:
i) xe[-2,2^] ■*-*■ -2íx<2
++ 2>x>-2 +-*■ -2£-x¿2 
Luego, xe[-2, 2j -*■ -xe £-2,
ii) f(-x)=(-x)2=x2=f(x) + f(x)=f(-x)
ÉiflflffMIftÉ FUNCIONES IMPARES
Una función f se dice que es una /unción irnpan. 
si se verifica lo siguiente:
i) xeDom(f) + -xeDom(f).
ii) f (x) = -f(-x)
Observación. La gráfica de una función
impar es simétrica res- 
pacto del origen de coordenadas, pues.la regla de 
correspondencia no se altera al sustituir simultáneamente x por 
-x e y por -y.
Por ejemplo., la función f(x)=xn, para n impar, es una función im 
par. En particular, si n = 3 y xef-1,1] f(x)=x3 , xe[-1,l].
,V< •< cián 2: Propiedades más elementales de las funciones 37
Kn efecto, según la definición 1.7: 
l) xe[-1, 1] -w -1 x ^ 1
1 -x >, -1 
+-*■ -1 -í -x 1
+-*• -xe [-1,1.]
If) f (-x) = (-x)3=-x3=-f(x)
+-»- f(x) = -f(-x)
FUNCIONES PERIÓDICAS
Un función f se dice que es /unción pe.n.iódica si 
nxiste un número T^O tal que:
i) Si xeDom(f) + (x+T)eDom(f)
ii) f(x+T) = f(x) , ¥-xeDom(f)
Observación. La gráfica de una función periódica es tal que su 
forma, en el primer intervalo de longitud T, se re 
pite- periódicamente a la derecha y a la izquierda de este inter­
valo. Por ejemplo, f(x)=Senx es una función periódica de período 
T = 2tt, ya que, como se sabe: Sen(x+2ir) = Senx , ¥xeR.
PROBLEMAS RESUELTOS
___ 2 .
|.tl f(x) = ---- , indicar el dominio de definición de la función
1+x2
f(x) y mostrar que dicha función es no negativa.
Solución. Como 1+x2>0 , -¥xeR, la función f es real en R, esto es 
Dom(f) = <-“ ,+«>>.
Si x<0 •> x2>0, y si x>0 + x2>0.
Además, f(-x) ■ = — — = — — = f(x)
1 + (- x ) 2 1+x2
Luego: f(x) es una función par y f(x)^0 , •V-xeR 
f es una función no negativa
38 Capítulo 1: Función
Hallar los intervalos de signos constantes y las raíces de 
la función:
(1) y=3x-6 (3) y=2x_2
(2) y=x2-5x+6 (4) y=x3-3x2+2x (5) y=|x|
Solución.. (1) Si y>0 -*• 3x-6>0 *-*■ x>2 (La función es positiva)
y<0 -*• 3x-6<0 -*-»■ x<2 (La función es negativa)
y=0 -*• 3x-6=0 ■«-*- x-2 (Dna raíz de la fución)
(2) Si y>0 ■* x2-5x+6>0 (x-2)(x-3)>0
x<2 ó x>3 (La función es positiva)
Si y<0 •> x 2-5x +6<0 ■*->■ (x-2)(x-3)<0
2<x<3 (La función es negativa)
Si y=0 x 2-5x +6=0 x=2 ó x=3 (Dos ceros de la función)
\ „
(3) Si y>0 -*• 2X_ >0. Como la desigualdad es válida -VxeR, la
función es siempre positiva y no tiene ceros.
(4) Si y>0 x 3-3x2 + 2x>0 *-*■ x(x-1) (x-2)>0
Ubicando los valores críticos x=0, x=1 y x=2 en una escala
real y haciendo uso del teorema 7 se tiene:
~ 00 — . i" ..... o— ^ — — ► + oo
Luego, la función es positiva x e <0, 1>U<2,+°°> 
la función es negativa +-*- xe<-°°, 0>U< 1, 2> 
y los ceros de la función son: x=0 , x=1 y x=2
(5) Si y>0 |x¡>0 x>0 ó x<0 . La función es siempre positiva
Si y=0 * x=0 , es una raíz de la función.
0 Qué funciones de las que se dan a continuación son pares,
impares y qué funciones no son pares ni impares?
y = x ‘*-2x2
Solución. Si .f(x)=x,,-2x2 +f(-x) = (-x) l*-2(-x)2
=xl,-2x2 = f(x)
.*. La función es par.
K U R y = x - x 2
mu Propiedades más elementales de las funciones 39
94,3
54 4
84.5
54.6
54.7
54.8
54.9
54.10
Solución. F (x) = x-x2 -*■ F(-x) = -x-(-x)2
= -x-x2 i F(x)
La función no es par ni impar.
y = Cosx
Solución. f(x) = Cosx ■* f(-x) = Cos(-x) = Cosx
.V Da función es par
y = 2X
Solución. Si f(x)=2X f(-x) = 2'X = — j; t f(x)
2X
La función no es par ni impar, 
x 3 , x 5
y = x - v + í2
3 5 3 5
S o lución. Si f(x) == x - r^- + ^ -*• f(-x) = -x + jr- -
+ f ( - X) = - ( x - ^ + f | ) = - f (X)
.*. La función es impar.
y = Senx
Solución. Si f(x)=Senx f(-x)=Sen(-x) = -Senx = -f(x) .
.'. La función es impar.
y = Senx-Cosx
Solución. Si f(x)=Senx-Cosx ■* f (-x)=Sen(-x)-Cos(-x)
=-Senx-Cosx f(x)
.‘. La función no es par ni impar.
y = 1-x2
Solución. Si f(x) = 1-x2 -*■ f(-x)=1-(-x)2=1-x2=f(x)
.*. La función es par.
y = Tgx
Solución. Si f(x) = Tgx + f(-x) = Tg(-x) = -Tgx = -f(x)
La función es impar.'
y = 2_xZ 2 2
So lución. Si f(x)=2~x ■* f (-x) = 2 x = f(x) .'. Es par
40 Capitulo 1: Función
1 ! x . -X\
y = 2 ' a +a >
Solución. Si f(x) = Tj(ax+a x) f(-x) = Tj(a’x+ax )
f(x) = f(-x) La función es par.
1 /y = j ( t
So ¿uc¿6n, Si f(x) = f(-x) = ^(a‘x-ax )
1, x -X\ 
- = - ^(a -a )
f(x) =-f(-x) La función es impar
y =
Solución. Si f(x) - f(-x) =
La función no eB par ni impar.
■ 1
Solución. Si f(x) =■ f(-x) = H-a*
1-ax
+ f(-x) =
La función es impar.
= -f(x)
X(Q. - 1 \y = x(— — ) 
a +1
Solución. Si f(x) = x ( ) + f(-x) = -x(—— :— )
> f(-x) = -xí^S-) =
1 + a
La función es par.
!) = f(x)
y = 2A"A
Solución. Si f(x) = 2x‘x2 +• 'f('-x) = 2'x’("x^2= 2'x'x2
.'. f(x) t f(-x) . La función no es par ni inpar
,, i,m 2: Propiedades más elementales de las funciones 41
Unción. Si f(x) = log(|j-X ) ♦ f(-x) = log(^S') = - l o g ( ^ )
f(x) = -f(-x) . La función es impar.
O Presentar cada una de las siguientes funciones como suma de 
una función par y otra impar.
(1) y = x 2+3x+2 , (2) y = 1-x3-x*-2x5
(3) y '= Sen2x + Gos-| - Tgx
• fuc¿6n. (1) Si f(x)=x2+2 f(-x) = (-x)2 + 2=x2+2 , f es par
g (x )= 3x -*• g(-x) = -3x = -g(x) , g es impar
y = f(x) + g(x) = (x2+2) + (3x)
(.') Sea f(x) = 1-x‘* ■* f (-x) = 1- (-x) =1-xl*=f(x) , f es par
g(x)=-x’-2x5 -> g(-x)=-(-x)3-2(-x)5 =x3+2x5=-(-x3-2x5)
•> g(-x) = -g(x) , g es impar.
y = f(x) + g(x) = (1-x1*) + (-x3-2x5)
( l) Sea f(x)=Sen2x+Tgx ■* f(-x)=Sen(-2x)+Tg(-x) = -(Sen2x+Tgx)
f(-x) = -f(x) , f es impar
g(x) = Cosí| 4 g(-x) = Cos(- &) = Costj = g(x ) , g es par
y = f(x) + g(x) = (Sen2x + Tgx) + ( C o s t j )
0 Demostrar que f(x)+f(-x) es una función par y que f(x)-f(-x) 
es una función impar.
/).-moAÍ/iaciin. Dada una función f(x) podemos expresarla de la si 
guiente manera:
f(x) = -|[f(x) + f(-x)] + ^jf(x) - f(-x)] (1)
i llamamos: <J>(x) = •^[f(x) + f (-x)J y \1j(x ) = ^[f (x)-f (-x)]
1 u tará probar que: <J>(x ) es par y ij)(x) es impar.
Kn ofecto: <t>(-x) = -^ff(-x) + f(x)] = ~[S(x) +f(-x)] = <¡>(x)
.*. (J)(x) es una función par 
U< (-x) = |[f(-x) - f (x)]= - -|[f (x) - f (-x) J = -Ui(x.)
.'. i|j(x ) es una función impar
42 Capítulo 1: Función
En (1) -tenemos: f(x) = .<J)(x) + ijt(x)
lo cual demuestra que una función se puede expresar como la suma 
de una función par y otra función impar.
m Presentar las siguientes funciones como suma de una función 
par y otra impar.
(1) y = ax (2) y = (1+x) 10
Solución. Haciendo uso del artificio del ejercicio 56 tenemos:
t 1 , x , -x% , 1 t X -X\
(1) y = 2 + a > + 2 a^ " a '
(2) y = ( H x ) 10 + (1-x)10 + (1+x)10 - (1-x)10
2 2
m Demostrar que el producto de dos funciones pares es una fun
ción par, el de dos impares es una función par y el de una
par y otra impar es una función impar.
De.mo¿í/iación. En efecto, sea la función: .f(x) = tf>(x) .\p(x)
Entonces: f(-x) = <!>(-x) .\p(-x) (1)
i) Si <!>(x) y iíj(x ) .son funciones pares, entonces:
<t>(x) = <t>(-x) y vJj (x) = <|>(-x)
Luego, en (1): f(-x) = $ (x) .il> (x) = f(x) f(x) es par
ii) Si <t>(x) y ^(x) son funciones impares, entonces:
<t(-x) = -<t> (x) y i|>(-x) = -\p (x)
En (1): f(-x) = [-<t> (x)~J . f-'Hx)] = <t> (x). (x) = f^x)
.’. f(x) es par
iii) Si <f>(x) es par -* 4>(-x) = <t>(x)
vl)(x) es impar -*• (— x ) = -<1j(x )
De modo que, en (1): f(-x) = <í> (x). C-i|) (x)] = — (x) .\|j(x )
Entonces: f(-x) = -f(x) f(x) es impar.
Qué funciones de las que se dan a continuación son periódi­
cas?
(1) y = Sen2x (4) y = Sen(1/x) (7) y = j^ xU
(2) y = Senx2 (5) y = 1+Tgx (8) y = x- f[xj
(3) y = xCosx (6) y = 5
ion Propiedades más elementales de las funciones 43
fu, i ón. Según la definición 1.8 tenemos:
(1) Sea f (x ) = Sen2x f(x+T) = Sen2(x+T)
= (SenxCosT+SenTCosx)2 
: i í’(x) = f(x+T) •* Sen2x = (SenxCosT + SenTCosx)2 
I.a igualdad se cumple fe' • CosT=1 y SenT = 0
T = 2tr y T = 2tt 
Como el período es igual en ambos casos, la función es perío 
dlca.
> Nea f(x) = Senx2 + f(x+T) = Sen-(x+T)2
:U T(x) = f(x+T) -*• Senx = Sen(x+T)2
l.u igualdad se cumple si T = 0, pero, según la definición 1.8 
T ¿ 0, luego la función no es periódica.
i) Sea f(x) = xCosx -*• f(x+T) = (x+T)Cos (x+T‘)
Si f(x) = f(x+T) -*• xCosx = (x+T) (CosxCosT - SenxSenT)
La igualdad se cumple si: T=0 , CosT=0 , SenT=0
«--*• T=0 , T=n/2 , T=27r
En consecuencia, la función no es periódica.
/,) Sea f(x)=Sen(1/x) -*■ f(x+T) = Sen(^j)
Si f(x) = f(x+T) - Sen(~) = S e n ( ~ )
La igualdad se cumple para T=0, por tanto, la función no es 
periódica.
'.) Sea f(x) = 1+Tgx -*• f(x+T) = 1+Tg(x+T) = 1 + Tgx * TgT
1 - TgxTgT
Si f(x) = f(x+T) -*■ TgT = 0 ++ T=tt
Por tanto, la función es periódica.
(<) Sea f(x) = 5 -> f(x+T) = 5
Siendo f(x)=f(x+T), la función es periódica.
7) Sea f(x) = jTxJ * f(x+T) = Qx+Tj = £xj + T
Siendo f(x) f f(x+T), la función no es periódica.
H) Sea f(x) = x-fxj + f(x+T) = (x+T)-|x+T]J = x+T-([[xj + T)
= x - HxJ
Siendo f(x)=f(x+T), la función es periódica.
44 Capítulo 1: Función
o Construir .la- gráfica de una función periódica -tal que su pe 
ríodo sea T=1 y que en su intervalo semiabierto [0,1> sea 
dada mediante la fórmula:
(1) y=x (2) y=x2
Solución, Dado que T=1, construiremos periódicamente las gráfi­
cas de (1) y (2) a la izquierda y a la derecha del in 
tervalo [O,1>.
< „ n (2):
z / y r / : 7 7 J 7 .
- 2 - 1 0 1 2 x -2 -1 0 1 2
6 ) Indicar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los 
intervalos en que la función dada es constante.
(1) y = Ix| (2) y = |x| - x
Solución. Según la definición de valor absoluto tenemos:
(1) Si xjO -> |x|=x , y si x<0 -*• |x'|=->
Entonces: y = f(x) 4 x , si x^O 
-x , si x<0
X
>
y.
\ k
0
Por tanto, en el intervalo <-<»,0> la función f es decrecien­
te y en el intervalo <0,+°°> es creciente.
(2) Si x>0 -s- y=x-x=0
x<0 y=-x-x=-2x
0 , si x^ -0
y •
0
-foo>
Entonces: y = g(x) =
^-2x, si x<0 
Por tanto, la función g es decreciente 
en el intervalo <-«>,0> y constante en ¡JD,+<»>
Indicar los valores máximo y mínimo de las funciones:
(1) y=Sen2x . (3) y=1-Senx
. (2) y=Cosx2 ^ y=2xZ
Solución. (1) Sabemos que -1<Senx<1 -*■ 0s;Sen2x$1
Luego, el valor máximo de la función es 1, y el
Si . mu Propiedades más elementales de las funciones 45
vnlor mínimo es cero, 
i hndo que -1<Cosx<_1 -*• -1$Cosx2-Sl
Luego., el valor máximo de la función es 1 y el valor mínimo 
• 8 - 1 .
i 0 y-1 = -Senx ■*-*• 1-y = Senx
Como: -1 ^ Senx .g 1 -*■ -1 -S 1-y -í 1
+ -2 x< -y ^ 0 0 v< y ^ 2
Por tanto, el valor máximo de la función es 2 y el valor mí­
nimo es cero.
, x2
i !, ) La función exponencial y=2 es positiva ¥xeR, o sea; no tie
ne un valor máximo. Para x=0 -> y=2° = 1, es el valor mínimo.
o Mediante la adición de gráficas construir la gráfica de la 
función y=f(x)+g(x):
(1) Para las gráficas presentadas en la figura 6
(2) Para las gráficas presentadas en la figura 7.
•fución. Según la definición 1.5, 
sabemos que si: '
l'(x)+g(x) -► Dom (y ) =Dom(f) A Dom(g) 
i. índonos en esta definición, por 
i i i xeDom(f /\ g) se traza una línea 
M-ticál en donde de f+g en x se ob
• ■ne sumando los valores de f y g
• x (Ver figura). Uniendo todas
i ordenadas de f+g, con una línea
46 Capítulo 1: Función
punteada, obtendremos la gráfica de la función y-f(x)+g(x).
Conociendo la gráfica de la función y=f(x) construir la grá 
fica de la función:
(1) y=|f(x)| (2) y = -¿Ilf(x) |+f(x)'J
(3 ) y = 4[|f(x)|-f(x)]
Soíución, Supongamos que la gráfica 
dada de y=f(x) sea la fi­
gura adjunta. Según la definición de 
valor absoluto tenemos:
'f(x) , si f(x)50
(1) y = |f(x)| ■
€ -f(x), si f(x)<0
Como y>0, la gráfica de y- f(x) 
se encuentra integramente en el se- 
miplano superior y se obtiene a par­
tir.de la gráfica de y=f(x) reflejan 
do hacia el plano superior todos los 
puntos que se encuentran en el semi- 
plano infetior, permaneciendo idéntica la parte de y=f(x), que o 
riginalmente se encontraba en el semiplano superior.
f(x) , si f(x)JO 
t0 , si f(x)<0
(2) y = ^rif(x)|+f(x)J 
La gráfica
A
de y = -2 £ | f* (x) |+f (x)]
se encuentra integramente sobre el 
semiplano superior y es idéntica a 
la gráfica de y=f(x), excepto en a 
quellos intervalos en que la gráfi 
ca de ésta se encuentra en el semi 
plano inferior. En dichos intervalos la gráfica de y= 4£|f(x)| + 
f(x)]
(3) y = -gLIfU) l-f(x)]_ =■/ 0
l_-f(x), si f(x)<0 
La gráfica de y = [| f (x) | -f (x)J
se halla sobre el eje X en aquellos
es constante y permaneciendo sobre el eje X.
si f(x)sO y i,
♦ x
• ■ i . m u 3: Funciones más simples 47
i ■mil. os de la gráfica de y=f(x) en el semiplano superior, refle- 
i nulo sobre este semiplano todos los puntos de la gráfica de y= 
i(') situados en el semiplano inferior.
FUNCIONES MÁS SIMPLES
t 1 FUNCION LINEAL
La función lineal f:R->-R está definida por la re­
gla de correspondencia:
f (x) = mx + b
l ' I" m y b son constantes y m^O.
!« r ni rica de esta función es una línea recta L cuyo coeficiente
éh(|'il'ir o pendiente es m=Tga. y cuya intersección con el eje X es'
( I' ¡ i;ura 1. 4)
||| i "i i i.cular, si m=1 y b=0, la función definida por la regla de 
KPP' ".ipondencia:
f (x ) = x
fH ; i llamada ¿unción idéntica, denotada por I:R->-R y cuya gráfi-
fl *• i mía línea recta que pasa por el origen de coordenadas (Fi-
■ r * 1 . 5 ) .
Bu»1 I dominio de la función identidad está restringida --a un 
Ult piulo A R, entonces se denota:
IA (x) = x , -VxcA
I »• . Ii/O, la función definida por la regla de corresponden-
K § l
f(x) = b , -V-xeDomCf)
I I i ni /ida lunción constante., cuya gráfica es una línea hori- 
|hi>' ■ " una distancia b del eje X.
48 Capitulo 1: Función
PROBLEMAS RESUELTOS
Sean la intensidad de corriente 1=0.8A y la tensión E=2.4V. 
Aplicando la ley de Ohm, expresar analíticamente la depen­
dencia entre la intensidad de corriente y la tensión. Construir 
la gráfica de la función hallada.
Solución, Según la ley de Ohm, el cociente entre la tensión o 
fuerza electromotriz y la intensidad de corriente es 
una constante llamada resistencia. Esto es:
de donde:
p - 4 A _ o
0. 8V ^
I = £1 3
>*E
Un vaso de forma cualesquiera contiene un líquido. A la pro 
fundidad h=25.3cm la presión del líquido es p=18.4 gf/cm2.
a) Formar la función que expresa la dependencia entre la presión 
y la profundidad.
b) Determinar la presión a la profundidad de h=14.5 cu.
c) A qué profundidad la presión resultará igual a 26.5 gf/cm2.
Solución. a) Como la presión es directamente proporsional a la 
profundidad formamos la siguiente regla de tres:
p - h \ * p = - ^ H h = 0.727h
>18.4--- *- 25. 3 J 25,3
b) Para h=U.5 cm + p = 0.727(U.5) = 10.54 gf/cm2
c) Para p=26.5 gf/cm2 -*■ 26.5=0.727h + h=36.¿ cm
/
m Determinar la función lineal y=ax+b, valiéndose de los si­
guientes datos:
1) X F M y 3) x y
0 4 2 4.3 2.5 7.2
3 6 -1.6 0 3.2 6.8
i 6 n. ) Para x = 0 , y=4 -*■ 4 = a(0)+b -»■ b=4
x=3 , y=6 6 = a (3)+b 1=2/3
. ion Funciones más simples 49
.\ y = |x + 4
I ■) l'ara x=2 e y=4.3 -*• 4.3 = 2a+b (1)
x=-1.6 e y=0 0 = -1.6a+b (2)
¡tosolviendo (1 ) y (2) obtenemos: a=1.194 > fc=1.910
.‘. y = 1. 194x + 1.910
i «/ Para x=2.5 e y=7.2 + 7.2 = 2.5a+b (1)
x = 3.2 e y=6.8 6.8 = 3.2a+b (2)
íicsolviendo (1) y (2) obtenemos: a=-0,571 , b=8.63 
y = -0.51x + 8.63
j j | Un cuerpo efectúa movimiento rectilíneo bajo la acción de
la fuerza F. Partiendo de la ley de Hewton escribir la fun- 
I -”;i que exprese la dependencia entre la fuerza y la aceleración 
m 1 se sabe que cuando el cuerpo se mueve experimentando una a- 
1 "i-ación de 12 m/seg2, en su trayecto S = 15 cm se realiza un tra 
I• n j.> igual a W=32 'julios.
\t‘fución. Según la ley de Newton:
F = mu (1)
El trabajo W es igual al producto del desplazamiento 
|.nr La fuerza a lo largo del desplazamiento, esto es:
32 _ 8Vi = FxS = mtoS
■ l'O, en (1) : F =
12x15 45
I Cierta cantidad de gas ocupó el volumen de 107 cm3 a la tem 
peratura de 20°C, para uña temperatura igual a 40°C el volu 
"'ii llegó a ser igual a 114 cm3.
ii) Aplicando la ley de Gay-Lussac formar la función que exprese
I a dependencia entre el volumen V y la temperatura t.
I') Cuál sería el volumen a 0°C?
¡unión, a) Según la ley de Gay-Lussac, el volumen de una masa 
de gas a’ presión constante, es directamente propor- 
i nal a su temperatura, o sea: |r = constante
ndo el volumen una función lineal de la temperatura se tiene:
V = a+bT (1)
i a V = 107 y T = 20 107 = a-+20b (2)
V=11 4 y T=40 11,4 = a+ 40b (3)
50 Capítulo 1: Función
Resolviendo el sistema (2) y (3) obtenemos: a=100 y b=0.35 
Luego,’en (1): V = 100+0.35T
b) Para T=0, entonces: V=10Ó cm3
CD Al comenzar un punto su movimiento uniforme a lo largo de u 
na recta, al cabo de 12 seg. alcanza un punto que dista + 
32.7 cm de un cierto punto de dicha recta, mientras que al cabo 
de 20seg la distancia llegó a ser igual a +¿3.4cm. Expresar la 
distancia S como función del tiempo t.
Soiución. Siendo el movimiento uniforme, el espacio recorrido 
por el punto es una función lineal del tiempo, esto 
es: S = a+bt (1)
Luego, para t = 12 y S = 32.7 ■* 32.7 = a+12b (2)
t=20 y S=43.¿ + O . A = a+40b (3)
Resolviendo el sistema (2) y (3) obtenemos: a=l6 . 6 y b=1.34
Por tanto, en (1): S = 16.6+1.34-t
CD En' un circuito la tensión va disminuyendo uniformemente (de 
' acuerdo con la ley lineal). Al comienzo del experimento la 
tensión era igual a 12V y al final del mismo experimento, que du 
ró 8seg, la tensión descendió hasta 6 .4.V. Expresar la tensión V 
como una función del tiempo t y construir la gráfica de esta fun_
So ¿ación. Sea: V = a+bt (1)
Si t=0 y V=12 + 12=a+b(0) 
t= 8 y V=6 . K ■* 6 . 4=12+8b 
Resolviendo el sistema obtenemos: 
a= 1 2 y b=-0 .7 
Luego, en (1): V = 12-0.7t
CD Hallar el incremento de la función lineal y=2x-7 al pasar 
la variable independiente x del valor Xj= 3 al de x2=6 .
Soiución., Si Ax es el incremento del argumento -*• ix=x2-x1 = 3 
y si Ay es el inermento de la función, entonces: 
y+Ay = 2(x+Ax)-7 Ay = 2x+2Ax-7-> (2x-7) Ay = 2Ax
.’. Ay= 6
1 /■'unciones más simples 51
O »•> lar el incremento de la función lineal y=-3x+1 correspon
11 ''lite al incremento de la variable independiente Ax=2.
Un. Si y=-3x+1 -*■ y+Ay = -3(x+Ax) + 1
■+• (- 3x+ 1) +Ay = -3x-3Ax+1
((" i rulo: Ay = -3Ax = - 6
O u función y=2.5x+4 tuvo el incremento Ay=10. Hallar, el in­
cremento del argumento.
\>fnrión. Si y=2.5x + 4 + y+Ay = 2.5(x+Ax)+¿
-*• (2. 5x+4) +10 = 2. 5x+2. 5Ax+4
il" >l>,nde obtenemos: Ax = 4
CD Dados la función — ---- y el valor inicial de la varia-
a -b
ble independiente x t=a-b, hallar el valor finito x 2 de la
variable independiente x para el cual el argumento Ay = — !—
a- b
fución. Si y - - —"a -> y + Ay = x+Ax-a
a -b a -b
x-a + 1
a-'-b2
x-a , X 2-Xi
a-b a -b2 a2-b2
-> 1 =
a+b a+b
donde: x 2=2 a
La función g(x) viene dada así: g(x)= | + 2 para -»<x<2, 
g(x)=5-x para 2$x<+<». Hallar analíticamente y gráficamente, 
las raíces de la ecuación g(x)=2x-4.,
W fución. Para x<2,'.si g(x) = § + 2
■+■ 2x-4 = ^ + 2 x=4- i <-co,2>
Pura XJ2, si g(x) = 5-x 2x-U=5-x 3.
!<■ donde; x= 3 e[2 ,+»> 
i'"f tant,o, x=3 es la raíz buscada. -
52 Capitulo I . Función
m Construir la gráfica de la función:
(1) y = |x+1 |+|x-1 |
(2 ) y = |x+1 |- |x- 1 |
(3) y = I x - 3 I- 2 lx+1 | +2 | x | - x +1
Se ¿ución. Los números críticos de la función (1) son: x=-1, 
y los intervalos de definición 'del dominio son: 
X<-1 , -1<X<1 , X>1 
Luego, según la definición de valor absoluto tenemos:
Si x<-1 + ’ y=-(x+1)-(x-1 = -2x
-1$x<1 + y = +(x+T)-(x-1 ) = 2 
x^1 •> y = +(x+1 )+(x-1 ) = 2x
x- 1
y =
si x< - 1 
si -1$x<1 
si xi-1
\ '■ //
1
-1 0 1
(2 ) y = Ix + 1 | - | x-1 ]
Como en el caso anterior, los intervalos de definición del 
dominio de la función son:
x<-1 , - 1Sx<1 x5.í
Si x<-1
x5‘1 y = + (x + 1 )-(x -1 ) =
, si x<-1 
, si -1íx<1 
, si xi 1
y i 
2
t
? / .
/ 3 1
________/
función son: x= - 1 , x=0 y x=3
(3) y = | x - 3 1- 2 J x + 1 | +21x| -x+1
Los números críticos de 1? 
y los intervalos de definición del dominio son: 
x<-1 , -1$x<0 , 0gx<3 , x>3 
Si x<-1 •+■ y . = -(x-3)+2(x+1)-2x-x+1 = -2x+6 
-1.<x< 0 + y = - (x-3 )-2 (x+ 1 ) -2x-x+ 1 - -6x+2 
0^x< 3 * y = -(x-3 )-2 (x+1 )+2x-x+ 1 = -2x+2 
x>3 + y = (x-3)-2>(x+1 ) + 2x-x+1 = -A
Luego, la regla de correspondencia de la función es:
i.’/ir* litas simples 53
i • t> , x< - 1
11 , - 1$x<0 
it.’ , 0^x< 3 
■/. . xÿ3
ii) P*r. qué valores de x es válida la desigualdad:
I f ( X ) + g ( X ) J < | f ( X ) | + | g (X) I
i f (x)=x-3 y g(x)=4-x _
|< /...Se tiene: | (x-3) + (A-x) I < |x-3|+U-x| (Pero |-a|=|a|)
-► 1 < |x-3|+|x-4l
i< 3 -* 1 < - (x-3)- (x-4-) ++ 1<-2x+7 ++ x<3 (1 )
Mi 1 < (x-3)-(x-4) ■<"*■ 1 < 1 No es válida
/ jK * 1 < (x-3) + (x-i) 1<2x-7 •*-*■ x>4 (2)
r t.'into, de (1) y (2): S = {xeR/x<3 ó x>4)
f D Para qué valores de x es válida la desigualdad:
|f(x) - g (x )| > |f(x)| - |g(x)|
si f(x)=x y g(x)=x- 2
'itinción. Sustituyendo la imagen de cada función se tiene:
I x- (x-2 ) | > | x| — | x—2 | -*--*• |x | - | x — 2 | < 2
M x<0 -*■ -x + (x-2 ) < 2 «-+ -2 < 2
La desigualdad es válida ¥xeR-{0} ■+ Sj = {xeR/x<0}
i (Kx<2 x+(x-2)<2 ■*-*■ x<2 -*• S2 '= {xeR/0<x<2}
x^2 ■* x-(x-2)<2 *-*■ 2 < 2 No es válida la desigualdad
r<>r- lo tanto: S = Si U Sz = {x;eR/x<2}
C D La función f:(x) está definida así: en cada uno de los inter 
valos n<x<n+1 , donde n es un número entero positivo, f(x) 
varía linealmente, siendo .f(n)=-1, f(n+1/2)=0, Construir la
54
Capítulo 1: Función
gráfica de esta función.
Soiuciin. Si n=0 -> 0$x< 1 + f(0 ) = - 1 y f (1/2 ) = 0
n=1 -»■ 1íx< 2 ♦ f(1 )=-1 y f (3 /2 ) = 0
n=2 -y 2íx<3 + f(2 )=-1 y f(5/2)=0
n=3 -> 3$x<¿ -*• I
I 1 __
__
__
_
i
y f(7 / 2 )=0
3.2 FUNCIÓN CUADRÁTICA
J|gj]J¡2ECnj¿P Una función cuadrática está definida por 1 a re 
gla de correspondencia:
f(x) = ax2+bx+c (D
donde a, b y c son constantes y a^O.
La gráfica de la función cuadrática es una parábola, la cual se 
abre hacia arriba si a> 0 y hacia abajo si a<0 .
Figura 1.6 figura 1.7
Si escribimos la ecuación (1) de la forma:
y = ax2+bx+c
I / 'unciones más simples 55
* i ■ ■. |. Iutamos el cuadrado en x, se tiene:
7 = + + 71^ + °
i',, i :: la ecuación de una parábola de la forma
y-k = a(x-h) 2 ( 2 )
»■i , ' vórtice es: V(h,k) = V (-
.... rvaciones:
( i) i a>0 (Figura 1.6), la parábola tiene su punto mínimo que 
na el vértice V(h,k), es decir, k es el valor mínimo de la 
['unción (1). Además, la función f decrece para xe<-°°,h> y 
crece para xe<h,+”>.
( ') Si a<0 (Figura 1.7), la parábola tiene tiene un punto máximo 
en V(h,k), es decir, k es el valor máximo de la función (1). 
Además, la función es creciente en xe<-®,h> y decreciente en 
xe<h,+°°>.
( l) Si f(x)=0, la función (1) tiene raíces reales siempre que- el 
discriminante A=b2-4ac£0.
a) Cuando A>0, la función f tiene dos raíces reales distin­
tas: xi^X2 (Figuras 1.6 y 1.7).
, o
b) Cuando A = 0, la función f tiene una raíz doble: x]=x2=h
El vértice de las parábolas en las Figuras 1.6 y 1.7 es- 
tan sobre el eje X.
I/,) Si f(x)¡¿0, la función no tiene raíces reales y ocurre cuando 
A = b2-<5-ac<0 (la gráfica de la función f no intercepta al eje- 
X).
PROBLEMAS RESUELTOS
C D Construir la gráfica e indicar los intervalos de crecimien­
to y decrecimiento de la función:
(1) y = -jx2 (2 ) y=x2- 1 (3) y= |x2-1 | U)
y=1-x2
56 Capítulo 1: Función
(8) y=2x2+3
(9) y=2x2-6x+¿
(1 0 ) y=-3x2+6x- 1
(11) y=|-3x2+6x-1|
(1 2 ) y=-x|x|
y = 4 x 2
(5) y=x2-x+¿
(6) y=x-x2
(7) y=|x-x2 |
Solución. (1) n ~ 2
Como a=1/2 (a>0), la 
gráfica de la función tiene la 
forma que la figura 1.6, pero 
con vértice en el origen.
La función crece para xe<0,'+«» 
y decrece para xe<-“ ,Q>
(2) y=x2 -1 +-*- y+1 = (x-0) 2
de donde: h=0 y k = -1 ■* V(0,-1)
Siendo a=1>0, la pará’oola se abre 
hacia arriba.
La función decrece para xe<-“,0> 
y crece para xe<0,+“>.
(3 ) y= ¡x 2-1 |
Por definición de valor absoluto sabemos que si 
x 2£1 -*■ y ~x 2 -1
x 2<1 -*■ y = - (x2-1)
fx2-1 , si x^-1 ó x51
y = <
|^ -x2 + 1, si - 1 <x< 1
La gráfica de y=x2-1 *->■ y + 1 = (x-0)2 
es una parábola con vértice en 
V(0,-1), pero como yjO, ¥-xeR, la 
porción de parábola comprendida en 
-1<x<-1 (línea punteada) se refleja 
sobre el semiplano superior coinci 
diendo con la gráfica de y=-x2+1.
La función decrece-para xe<-*>,-1>U<0,1> y crece para 
x e <- 1, 0>U< 1, +°°>.
(4) y=1- y-1=-(x-0 ) 2
Luego, h=0 y k=1 V(0,1)
Como a=-1<0, la parábola se abre 
hacia abajo.
■ mu l Funciones más simples 57
(9)
( 1 0 )
( 1 1 )
Completando el cuadrado para x
y. 1/4. = - (x-1 / 2 ) 2 ^ y (^,|)
::iendo a=-1<0 , la parábola se 
ibre hacia abajo.
I.a función crece para xe<-“ ,1/2 > 
y 'decrece para xe<1/2 ,+°°>.
» x
y^|x-x*|
Por definición de valor absoluto:
Si x-x2ÿ0 
x-x2<0
y=x-x 
y=x2-x 
si 0<x<1
• i " ’.. y = i
I x2-x, si xíO 6 x£1 
La gráfica de la función es simi­
lar a la del ejercicio (3 ).
La función crece para xe<0, 1/2>U< 1,+“>>, 
y decrece para xe<-“ ,0>U<1/2 ,1>
y=2x 2-6x+4
Completando el cuadrado para x se 
tiene: y+1 / 2 = 2 (x-3/2 ) 2
de donde: V(3/2,-1/2)
Siendo a=2>0, la parábola se abre 
hacia arriba. La función decrece 
para xe<-”,3/2> y crece para 
xe<3/2,+">.
y=-3x2+6x-1
Completando el cuadrado para x 
obtenemos: y-2 = -3(x-1) 2 -*■ V(1,2)
Siendo a=-3<0, la parábola se ex 
tiende hacia abajo.
La función crece para xe<-",1> y 
decrece para xe<1 , +<»>..
y=|-3x 2+6x-1 |
Dado que la función es positiva VxeR, se tiene:
58 Capitulo 1: Función
Si y>0 y=-3x2+6x-1 ó y=3x2-6x+1
«-*• y-2 =-3 (x-1 ) 2 ó y+2 =3 (x-1 ) 2 
De donde, los vértices de cada parábo 
ia son: Vj(1,2) y V 2 (1,-2)
Trazamos la gráfica de la función de 
la misma forma que en los ejercicios
(3) y (7).
Si y=0 •+• 3x 2-6x +1=0 -*-*• x =
La función crece para x e < ,1>U<
y decrece para xe<-°°,-~ j^>ü<1 ,
(1 2 ) y=-x|x|
Si x?0 , |x|=x + y=-x(x)=-x2
x< 0 , |x|=-x -*■ y=-x(-x)=x2
' 2 si x>0r-x . si
y H 2 .L X z, SI x<0
La función es decreciente VxeR.
m Escribir en forma analítica la función unívoca definida en 
el intervalo <-«,6]], si se sabe que su gráfica consta de 
los puntos del eje OX cuyas abscisas son menores que -3. de los 
puntos de la parábola que es simétrica respecto al eje 0 1 y que
pasa por los puntos A(-3,0), B(0,5)> y de los puntos del segmen­
to CD cuyos extremos son C(3«0) y D(6,2).
Solución, Se sabe que los puntos sobre el eje OX tienen ordena­
da cero, entonces: y=0 , para X£<-°°,-3>.
Una parábola simétrica respecto al eje 0Y tiene su vértice en di
. cho eje, y su ecuación es de la forma: y=axa+c
Si A(-3.0)ef + 0=a(-3)2+c ■*-*■ 9a+c=0 •+• 9a=-c
B(0,5)ef + 5=a(0) 2 + c -«-*■ c=5 a=-5/9
y =--|x2 + 5 , si xe[-3,3]
El segmento CD, es representado por la función: y=ax+b
Si C(3,0)ef + 0 = 3a+b (1 )
D (6 ,2 )ef + 2 = 6a+b (2 )
'/i I / 'unciones más simples 59
i v W m d o el sistema' (1 ) y (2 ) obtenemos: a=2 /3-y b= - 2 
y = -|x - 2 , x e < 3 ,6j 
'■nito, la forma analítica de la función es:
0 '
9
i y
! i Llar el valor máximo de la función:
(1 ) y = -2x 2+x- 1 (3 ) y= 5-x 2
(• ) y=-x2-3x+2 (A) y=-2x2+ax-a (5) y=a2x-b2x 2
i" Un. Transformando cada ’¿na de las ecuaciones dadas a la 
forma: y-k ^aíx-h ) 2 , se tiene:
-2x 2+x -1 + y = .-2(x2 - ix + ^ ) - 1 + -1
~ y + 1 = _2(x - I ) * ♦ V( i -1)
! nogo, el valor máximo de la función es: y=-7/8 , para x=1/'¿
y - i| = _(x + 1)2 + V(-|,1I)y = -x -3x+2 -i
v.'ilor máximo de la función: y=17tí, , para x=-3 / 2
5-x2 y -5 = - (x-0)4¡ ■ + V(0,5)
V.'ilor máximo de la función: y^S-y para x=0
v - -2x2+ax-S2 «-*■ y + |a2 = -2£>. - |)2- + V( - |a2)
v.-iLor máximo de la función: y = - -j-a2 , para x=a/4
y --b2x 2 + a2x -«-*■ y - —? = -b2 (x - — 2— )
ib2 2 b2 
valor máximo de la función: y=a"/4b2 , para. x=a2/2 b2
Hallar el valor mínimo de la función:
(1 ) y=x*Ux - 2 (3 ) y=i-3x+6x 2
(.’) y=2x2- 1 . 5x + 0 . 6 (4.) y=a2x2 + a2 (5 ) y= (ax + b) (ax-2 b)
60 Capitulo I: Función
Sotucióa. Procediendo en forma similar al ejercicio anterior 
se tiene:
(1 ) y=x2+¿x-2 y+6 = (x+2)2 + V(-2,-6)
Valor mínimo de la función: y=-6 , para x=-2
(2) y = 2x2 - |x + | y - T| l = 2(x- |)2 * V (8* 16^)
Valor mínimo de la función: y - ^ , para x=3/8
(3) y = 6x 2-3x +1 +-*• y- g = 6(x--j)2 -*• ^¿»s)
Valor mínimo de la función: y=5/8 , para x=1/4
(A) y = a2x 2+a2 y-a2 = a2(x-0)2 V(0,a2)
Valor mínimo de la función: y=a2 , para x=0
(5) y = a2x2-abx-2b2 ** y + jb2 = a2(x-j|)2 + v (2Í»*fb2)
Valor mínimo de la función: y = - -|t>2 , para x=b/2a
m Presentar el número a como una suma de dos sumandos tales .
que su producto sea el mayor posible.
Solución., Sea x uno de los sumandos y a-x, el otro sumando.
Entonces: y=x(a-x) es el producto de ambos sumandos. 
2
Luego: y = -x2 + ax y - -£ = -(x--^)2
Vemos que el valor máximo de la función es y=a2/4, para x=a/2
Por tanto, la suma buscada es: a = ^
Presentar el número a como suma de dos números tales que 1
suma de sus cuadrados sea la menor posible.
Solución. Sean los sumandos: x y a-x -*• S = x2+(a-x)2
* S = 2x2-2ax+a2 -*-*■ S - ^ = 2(x~jj)2
Luego, el valor máximo de la función és S=a2/2 , para x=a/2
m Se debe levantar una valla de madera al lado de un muro de 
piedra para cercar un terreno rectangular. La longitud to-
iK tunes más simples 61
• luí valla es igual a 8m. Cuál debe ser la longitud de 
■ pared paralela al muro para que la valla abarque la 
ni posible.
Sea x la longitud de la pared paralela al muro. 
Longitud de la valla: x+2y=8
y = ¿(8-x)
i ¡ terreno : S xy = §(8-x)
1. + 4-x S-8 = ■ 12„ . ^ -----
• 1/2 (a<0), el valor máximo de la función es S=8, pare
111 ■ i es la longitud pedida.
O L. :;uma de los lados de un ángulo dado de un triángulo es
i i'ual a lOOm. Cuánto deben medir los lados para que el área
• l>■ 1 triángulo sea la mayor posible?
> ión. Sea a el ángulo dado del AABC.
Si AB=x + AC=100-x
* (AABC) = S = ■g(AC) (BH)
* 4(100-x)(xSena) = -^Sena(100x-x2)
- ^Sena(x2-100x+2500) + 1250Sena A;
donde : S-1250Sena = - |sence(x-50)2
■ ino a<0, el valor máximo de la función es S = 1250Sena, para x=50
■ i- tanta, los lados deben medir 50m cada uno.
m Cuál de los cilindros cuyo perímetro dado de la sección a- 
xial es igual a p=100cm tiene la mayor área lateral?
■rfución. Sean x e y las dimensiones de la sección axial del ci 
lindro. x
i p = 100 2x+2y=100 +■+ y=50-x (1)
.'rea lateral del cilindro: S = 27rrb 
l'nro: x=2r y h=y + S = irxy = 7rx(50-x)
► S = -7r ( x 2- 50x + ó 2 5 ) + 6 2 5 tt 
• -i- S - 6 2 5 it = -n ( x - 2 5 ) 2
62 Capítulo 1: Función
Luego, la mayor área lateral es S=625 cm2, para x=25cm 
En (1): y=50-25=25cm
Por tanto, el cilindro buscado es aquel cuya sección axial es un 
cuadrado.
Cuál de los conos cuyo perímetro de la sección axial es i- 
gual a p, tiene la mayor área lateral?
Soiución. Sean x e y, las dimensiones de la sección axial del 
cono. Entonces: p=2x+y -*-*■ y=p-2x 
Area lateral del cono: S=2Trrg
S = irxy = irx(p-2x.) = -u(2x2-px)
+-»- s - íp = -2tt(x