P2/Gabarito - MECANICA DOS FLUIDOS - ADRIANE PETRY & GUILHERME FRAGA - UFRGS 2017/2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
ESCOLA DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECAˆNICA
Professores Adriane Petry e Guilherme Fraga
Prova 2 – ENG03352 Mecaˆnica dos Fluidos
Nome: Matr´ıcula:
ORIENTAC¸O˜ES:
• A avaliac¸a˜o e´ individual e sem consulta.
• A interpretac¸a˜o faz parte da avaliac¸a˜o.
• Fac¸a toda a prova EM CANETA. Caso queira apagar algo, risque-o e a
passagem sera´ desconsiderada na correc¸a˜o.
• Seja claro no desenvolvimento das questo˜es, pois ele sera´ avaliado.
• A durac¸a˜o da prova e´ de 100 minutos.
Questa˜o 1 (1 ponto) Dado um campo de velocidade
−→
V =
−→
V (x, y, z, t), de-
duza a expressa˜o da acelerac¸a˜o de uma part´ıcula fluida, −→aP . Na expressa˜o obtida,
identifique a acelerac¸a˜o local e a acelerac¸a˜o convectiva.
Questa˜o 2 (1 ponto) Os nu´meros adimensionais dados a seguir podem ser
definidos como uma raza˜o entre forc¸as atuantes sobre um escoamento. Enta˜o,
para cada nu´mero adimensional, diga qual e´ essa raza˜o e cite uma situac¸a˜o em
que o nu´mero tenha importaˆncia para a ana´lise.
a) Nu´mero de Reynolds, Re = ρV L/µ.
b) Nu´mero de Froude, Fr = V/
√
gL.
c) Nu´mero de Euler, Eu = ∆P/(1
2
ρV 2).
d) Nu´mero de Mach, M = V/c.
Questa˜o 3 (3 pontos) Um fluido escoa em regime permanente entre duas pla-
cas planas paralelas estaciona´rias, conforme mostrado na Figura 1. A separac¸a˜o
entre as placas e´ de 80 mm e as placas teˆm uma inclinac¸a˜o de 25° com a horizontal.
O escoamento acontece contra o efeito da gravidade devido a` diferenc¸a de pressa˜o
entre a base e o topo das placas: na base (in´ıcio do escoamento), a pressa˜o ma-
nome´trica e´ igual a 5,4 kPa e, no topo (sa´ıda do escoamento), a pressa˜o e´ igual a`
pressa˜o atmosfe´rica. Ao longo do comprimento da placa, de 1,3 m, pode-se assumir
que o gradiente de pressa˜o e´ constante e que o escoamento e´ plenamente desen-
volvido. Sabendo o fluido tem massa espec´ıfica igual a 1000 kg/m3 e viscosidade
dinaˆmica igual a 1× 10−3 Pa s, pede-se:
a) As equac¸o˜es de Navier-Stokes simplificadas para o problema e suas condic¸o˜es
de contorno. Destaque claramente as hipo´teses utilizadas e seu impacto sobre
o equacionamento.
1
b) O perfil de velocidades na placa.
c) A velocidade ma´xima do escoamento.
d) A tensa˜o de cisalhamento na placa inferior (magnitude e sentido).
80 mm
1,3 m
25°
−→g = 9,81 m/s2
−→
V
p1 = 5,4 kPa (man)
p2 = patm
x y
Figura 1: Figura para a questa˜o 3.
Questa˜o 4 (2,5 pontos) Considere o tanque de a´gua pressurizado mostrado na
Figura 2. O tanque e´ suficientemente grande para ser considerado um reservato´rio
infinito, e a pressa˜o (manome´trica) na superf´ıcie livre da a´gua e´ mantida constante
em 100 kPa. No fundo do tanque, 5 m abaixo da superf´ıcie livre, e´ instalada uma
tubulac¸a˜o, de 50 mm de diaˆmetro, que descarrega para a atmosfera. Em uma
posic¸a˜o intermedia´ria da tubulac¸a˜o, e´ instalado um tubo pitot, conforme tambe´m
mostrado na figura. Assuma que o escoamento e´ permanente e sem atrito e que o
diaˆmetro da tubulac¸a˜o e´ muito menor que a distaˆncia desta ate´ a superf´ıcie livre
da a´gua. Determine a vaza˜o volume´trica atrave´s da tubulac¸a˜o e a deflexa˜o h do
l´ıquido (mercu´rio) no tubo pitot. Considere a massa espec´ıfica da a´gua como igual
a 1000 kg/m3, a densidade relativa do mercu´rio como igual a 13,6 e a acelerac¸a˜o
da gravidade como igual a 9,81 m/s2.
Questa˜o 5 (2,5 pontos) Um modelo em escala 1/10 de uma asa de avia˜o deve
ser testada em um tu´nel de a´gua, com o objetivo de determinar a forc¸a total
atuando sobre um proto´tipo, que deve voar em ar a uma velocidade me´dia de
9 m/s. Espera-se que a forc¸a seja dependente da massa espec´ıfica ρ e da viscosidade
dinaˆmica µ do fluido, da velocidade de corrente livre V∞ do escoamento, e da a´rea
planificada AP da asa. Sabendo que a raza˜o entre as massas espec´ıficas da a´gua e
do ar e´ igual a 800 e que a raza˜o entre as viscosidades dinaˆmicas desses fluidos e´
igual a 50, pede-se:
a) Obtenha os grupos adimensionais que regem o problema.
b) Qual a velocidade necessa´ria no tu´nel de a´gua para haver semelhanc¸a dinaˆmica
entre o modelo e o proto´tipo?
c) Qual a raza˜o entre a forc¸a total medida sobre o modelo e a forc¸a esperada
sobre o proto´tipo?
2
A´gua
5 m
h
V
patm50 mm
Mercu´rio
100 kPa (man)
Figura 2: Figura para a questa˜o 4.
FORMULA´RIO
• Tensa˜o de cisalhamento:
τyx = µ
du
dy
• Equac¸a˜o de Continuidade:
∂ρ
∂t
+
∂
∂x
(ρu) +
∂
∂y
(ρv) +
∂
∂z
(ρw) = 0
• Equac¸o˜es de Navier-Stokes:
ρ
(
∂u
∂t
+ u
∂u
∂x
+ v
∂u
∂y
+ w
∂u
∂z
)
= ρgx − ∂P
∂x
− µ
(
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
+
∂2u
∂z2
)
ρ
(
∂v
∂t
+ u
∂v
∂x
+ v
∂v
∂y
+ w
∂v
∂z
)
= ρgy − ∂P
∂y
− µ
(
∂2v
∂x2
+
∂2v
∂y2
+
∂2v
∂z2
)
ρ
(
∂w
∂t
+ u
∂w
∂x
+ v
∂w
∂y
+ w
∂w
∂z
)
= ρgz − ∂P
∂z
− µ
(
∂2w
∂x2
+
∂2w
∂y2
+
∂2w
∂z2
)
3