Exercícios Distribuição Contínua Estatística

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4A LISTA DE EXERCÍCIOS
ESTATÍSTICA BÁSICA (FÍSICA MÉDICA)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1. Suponha que estamos atirando dardos em um alvo circular de raio de 10cm e seja X a distância do ponto 
atingido pelo dardo ao centro do alvo. A função densidade de probabilidade de X é
.
 valoresdemais nos0
,100se,
)( 
 ≤≤
=
xkx
xf
(a) Qual a probabilidade de acertar a mosca, se ela é um círculo de 1cm de raio?
(b) Mostre que a probabilidade de acertar qualquer círculo concêntrico é proporcional à sua área.
Resposta: (a) k /2
2. A demanda diária de arroz em um supermercado, em centenas de quilos, é uma variável aleatória X com 
função densidade de probabilidade dada por:
.
.3ou0se 0
31 se 1)3/(
,10 se 3/)2(
)(



><
≤≤+−
<≤
=
xx
xx
xx
xf
(a) Qual a probabilidade, em um dia escolhido ao acaso, de se vender mais do que 150 Kg ?
(b) Em 30 dias, quando o gerente do supermercado espera vender?
(c) Calcule )(XVar .
Respostas: (a) 0,375; (b) 4000 Kg; (c) 7/18
3. Suponha que X tenha distribuição exponencial com parâmetro β . Prove que:
)(
)(
)( tXP
xXP
xtXP
>=
>
+>
para todo 0, ≥xt . Esta propriedade nos diz que a distribuição exponencial não tem memória. Por exemplo, se 
X é a vida de um componente, a propriedade diz que, se o componente durou até o instante x, a probabilidade 
de ele não falhar após o intervalo t+x é a mesma de após o instante t. Neste sentido, X “esquece” de sua idade e 
a eventual falha do componente não resulta de uma deterioração gradual e sim de alguma falha repentina.
4. No estudo de impressões digitais, uma característica quantitativa importante é a contagem total de cissuras 
nos 10 dedos de um indivíduo. Suponha que as contagens totais de cissuras nos indivíduos de uma certa 
população seguem aproximadamente uma distribuição normal com uma média de 140 e um desvio padrão 
de 50. Encontre a probabilidade de que um indivíduo desta população, escolhido ao acaso, apresente uma 
contagem de cissuras:
a) De 200 ou mais;
b) Menor do que 100;
c) Entre 100 e 200.
d) Em uma população de 10.000 pessoas, quantas você esperaria ter uma contagem cissuras igual ou 
maior do que 200?
Respostas: (a) 0,1151; (b) 0,2119; (c) 0,6730; (d) 1151.
5. Os QIs de indivíduos internados em uma escola estatal para pessoas mentalmente retardadas seguem uma 
distribuição aproximadamente normal com uma média de 60 e um desvio padrão de 10.
a) Encontre a proporção de indivíduos com QIs maiores do que 75.
b) Qual é a probabilidade de que um indivíduo escolhido ao acaso terá um QI entre 55 e 75?
c) Encontre ( )7050 ≤≤ XP .
Respostas: (a) 0,0668; (b) 0,6247; (c) 0,6826.
6. Dada a variável aleatória X normalmente distribuída, encontre o valor numérico de k tal que 
( ) =+≤≤− σµσµ kXkP 0,754.
Resposta: k=1,16
7. Dada a variável aleatória X normalmente distribuída com µ =25 e ( )10≤XP =0,0778, encontre σ .
Resposta: 6,10≈σ
8. Seja Y uma variável aleatória com distribuição binomial de parâmetros n=10 e p=0,4. Determinar a 
aproximação normal para:
(a) )83( << YP
(b) )7( ≥YP
(c) )5( <YP
Respostas: (a) 0,6136; (b) 0,0537; (c) 0,6255.
9. Uma moeda honesta foi lançada 60 vezes. Se X denota o número de caras, qual a probabilidade 
de que 4020 ≤≤ X ? Sugestão: utilize a aproximação normal.
Resposta: ≈ 0,9932 
10. De um lote de produtos manufaturados, extraímos 100 ítens ao acaso; se 10% dos ítens do lote são 
defeituosos, calcular a probabilidade de 12 ítens serem defeituosos. Sugestão: utilize a aproximação 
normal.
Resposta: ≈ 0,1052
11. Uma empresa produz televisores e garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar 
algum defeito grave no prazo de 6 meses. Ela produz televisores do tipo A comum e do tipo B de luxo, 
com lucros respectivos de 1000 unidades monetárias (u.m.) e 2000 u.m. caso não haja restituição e com 
prejuízos de, respectivamente, 3000 u.m. e 8000 u.m., se houver restituição. Suponha que o tempo para a 
ocorrência de algum defeito grave seja, em ambos os casos, uma variável aleatória com distribuição 
normal, respectivamente, com médias 9 meses e 12 meses e variâncias 4 (meses)2 e 9 (meses)2 . Se tivesse 
que planejar uma estratégia de marketing para a empresa, você incentivaria as vendas dos aparelhos do 
tipo A ou do tipo B?
Resposta : Lucro esperado (tipo A) = 735,96 ;
Lucro esperado (tipo B) = 1772,50.
12. A função densidade de probabilidade de X é f x =e−x , x0 . Seja Z uma variável aleatória definida 
como Z= X−/ , em que =E X  e =Var  X  . Determine o valor esperado de Z e a 
variância de Z.
Resposta : E(Z)=0, Var(Z)=1.
13. Uma variável aleatória t tem distribuição exponencial, com função densidade de probabilidade dada por 
f t=1/ e−t / , para t > 0. Obtenha a função de distribuição acumulada F(x). Mostre que E(t)=β e 
Var(t)= β2. 
Resposta F(x)=1-e-x/β, para x>0 ; F(x)=0, para x<0.
14. Uma variável aleatória X segue distribuição de probabilidade Gama com função densidade de 
probabilidade dada por
f x = 1
  
x−1 e−x /  x0 ,
f x =0 x0.
A função Gama, denotada por  , é definida como =∫0
∞
x−1 e−x dx 0 . 
(a) Mostre que, se α for inteiro positivo, 1= e =−1! .
(b) Calcule 1 e 1/2 .
(c) Prove que, para uma variável aleatória X com distribuição Gama, a média é E(X)=αβ e a variância é 
Var(X)= αβ2 .
Resposta : (b) 1=1 , 1 /2= .
15. Um teorema afirma que se X é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade 
f(x), então a variável aleatória Y=X2 terá função densidade de probabilidade g(y) dada por
g  y = 1
2 y
[ f   y f − y ]
Suponha que a velocidade v de um objeto tenha distribuição N(0,1). Seja k=mv2/2 a energia 
cinética do objeto. 
(a) Aplicando-se o teorema, mostre que v2 tem distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade.
(b) Obtenha a função densidade de probabilidade da energia cinética k.
(c ) Obtenha a probabilidade de que a energia cinética seja menor ou igual a 5 unidades, supondo 
m=6,09 unidades. Utilize a tabela da distribuição qui-quadrado.
Respostas : (b) h k =
2
m2
 2k
m

−1/2
e−k /m  k0. (c ) 0,80.