Apostila- Método das forças_2014 - exemplos resolvidos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS 
ESCOLA DE ENGENHARIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS - DEES 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE ESTRUTURAL II 
 
MÉTODO DAS FORÇAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professores: 
Alcebíades de Vasconcellos Filho 
Fernando Amorim de Paula 
Gabriel de Oliveira Ribeiro 
 
 
 
 
Versão 2009/1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças 
 
Exemplos de Aplicação em Vigas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Vigas 
3 
EXEMPLO1: Analise a viga da figura por meio do Método das Forças considerando 
como incógnita redundante o momento fletor no apoio B. Despreze o efeito das 
deformações devidas à força cortante no cálculo dos coeficientes. 
 
Figura 1 – Viga contínua 
Figura 2 – Estrutura isostática fundamental 
 
 
Propriedades geométricas da seção 
 
 
 
 
43
3
1008333,2
12
)50,0(20,0
mII BCBC



 
IIII ABBCAB  744,2744,2
 
 
Módulo de elasticidade constante: E = constante 
 
 
Caso (0) 
Figura 3 – Caso (0) 
 
 
43
3
1071667,5
12
)70,0(20,0
mII ABAB



Método das Forças Vigas 
 
4 
Figura 4 – Diagrama de momento fletor – Caso (0) 
 
 
 
AB BC
EI
dxMM
EI
dxMM 0101
10
 
EIEIIE 








56
)25(2348
24
)5(20
)744,2(24
)8(20 33
10
 
EIEIEIEI
857,32620,67167,10449,155
1010  
 
 
 
Caso (1) 
 
 
Figura 5 – Caso (1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 – Diagrama de momento fletor – Caso (1) 
 
 
 
BCAB
EI
dxM
EI
dxM 21
2
1
11
)()(
 
EIEIIE
6385,2
3
51
)744,2(3
81
1111 





  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Vigas 
5 
Cálculo da redundante 
 
 
       00 111100  XX  
 
kNmX
EI
X
EI
88,1230
6385,2857,326
1
1 


 
 
Cálculo dos esforços nas barras 
 
kNVV
kNVV
kNVV
kNVV
AC
BDBD
BEBE
AA
02,54088,123348
2
)5(20
5
98,93088,123248
2
)5(20
5
49,95088,123
2
)8(20
8
52,64088,123
2
)8(20
8
2
2
2
2












 
 
Pontos de cortante nulo 
 
Vão AB 
 
mXX ABAB 23,302052,64 
 
 
Vão BC 
 
kNV
kNV
ME
MD
98,334822002,54
02,1422002,54

 
 
(Logo tem-se que a força cortante muda de sinal sob o ponto M) 
 
Pontos de momento máximo 
 
Vão AB 
 
kNmMM
MÁXMÁX
05,104
2
)23,3(20
52,6423,3
2



 
 
Vão BC (sob o ponto M) 
 
kNmMM
MÁXMÁX
05,68
2
)2(20
202,54
2



 
 
 
 
 
VC 
Método das Forças Vigas 
 
6 
Diagrama de esforços solicitantes 
 
Figura 7 – Diagrama de força cortante 
 
 
Figura 8 – Diagrama de momento fletor 
Método das Forças Vigas 
7 
EXEMPLO2: Analise a viga da figura através do Método das Forças considerando como 
incógnitas redundantes os momentos fletores nos apoios A e B. Despreze o efeito das 
deformações devidas à força cortante no cálculo dos coeficientes. 
 
 Dado: EI constante em todos os vãos da viga. 
 
 
Figura 9 – Viga contínua 
 
 
Figura 10 – Estrutura isostática fundamental 
 
 
Caso (0) 
 
Figura 11 – Caso (0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12 – Diagrama de momento fletor – Caso (0) 
Método das Forças Vigas 
 
8 
  
CDAB BC
EI
dxMM
EI
dxMM
EI
dxMM 010101
10
 
 
EIEI
108
24
)6(12
10
3
10 


 
 
 
 
  
CDAB BC
EI
dxMM
EI
dxMM
EI
dxMM 020202
20
 
 
EIEIEIEIEI
EIEIEIEI
166206018108
6
430
16
)4(60
424
])2()43(14[2312
24
)6(12
2020
223
20















 
 
 
Caso (1) 
 
 
Figura 13 – Caso (1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14 – Diagrama de momento fletor – Caso (1) 
 
 
   
CDAB BCCDAB BC
EI
dxMM
EI
dxMM
EI
dxMM
EI
dxM
EI
dxM
EI
dxM 212121
2112
2
1
2
1
2
1
11
)()()( 
EIEI
2
3
6
1111 

 
 
 
EIEI
1
6
6
21122112 

 
 
Método das Forças Vigas 
9 
Caso (2) 
 
Figura 15 – Caso (2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 16 –Diagrama de momento fletor – Caso (2) 
 
 
EIEIEI
EI
dxM
EI
dxM
EI
dxM
CDAB BC




  
3
10
3
42
)()()(
2222
2
2
2
2
2
2
22


 
 
 
 
Cálculo das redundantes 
 
0
1 X
 
 
 
mkNXX
EI
EI
EI
EI
EIEI
EI
D
D
Q
Q
































































53,39
24,34
224
194
17
3
166
1081
21
13/10
17
3
21
13/10
17
)(31
)(3
17
13/20
)(
1
3/101
121
0
0
0
1
2
1
22
2
1




QD
 
 
 
 
 
Método das Forças Vigas 
 
10 
Esforços nas barras 
 
kNVV
kNVV
kNVV
kNVV
kNVV
CDCD
CECE
BDBD
BEBE
AA
00,2003050,1
62,3303053,39260
2
)2(12
4
38,5003053,3926032124
88,36053,3924,34
2
)6(12
6
12,35053,3924,34
2
)6(12
6
2
2
2











 
 
Pontos de cortante nulo 
 
Vão AB 
 
mXX ABAB 93,201212,35 
 
 
 
Vão BC 
 
kNVV
kNVV
EDED
EEEE
62,336021238,50
38,2621238,50

 
 
Logo o momento máximo no vão BC será no ponto E. 
 
 
Pontos de momento máximo 
 
Vão AB 
kNmMM
MÁXMÁX
15,1724,34
2
)93,2(12
12,3593,2
2



 
 
Momento no ponto central do vão 
kNmMM MM 12,1724,34
2
)3(12
312,35
2



 
 
Vão BC 
kNmMM
MÁXMÁX
23,3753,39
2
)2(12
238,50
2



 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Vigas 
11 
Diagrama de esforços solicitantes 
 
Figura 17 – Diagrama de força cortante 
 
 
Figura 18 – Diagrama de momento fletorMétodo das Forças Vigas 
 
12 
EXEMPLO3: Resolver a viga da figura pelo Método das Forças. Considerar apenas as 
deformações por flexão. 
 
 Dado: EI constante. 
 
Figura 19 – Viga Contínua 
 
 
Figura 20 – Estrutura isostática fundamental 
 
0
0
2
1


Q
Q
D
D 
 
Caso (0) 
 
Figura 21 – Caso (0) 
 
Figura 22 – Diagrama de momento fletor – Caso (0) 
Método das Forças Vigas 
13 
Caso (1) 
 
Figura 23 – Caso (1) 
 
Figura 24 – Diagrama de momento fletor – Caso (1) 
 
 
Caso (2) 
 
 
Figura 25 – Caso (2) 
 
 
Figura 26 – Diagrama de momento fletor – Caso (2) 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Vigas 
 
14 
Cálculo dos deslocamentos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo dos coeficientes de flexibilidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fase Final 
Cálculo das redundantes 
 







333,1293
666,3461
0
EI

 
 
  






6666,1703333,53
3333,533333,211
EI

 
 
      X  0QD
 
        0
1    QDX
 
 
 
  









02678,006696,0
06696,021428,01
EI
 
 
 
 























4285,11
3214,12
333,1293
666,3461
02678,006696,0
06696,021428,0
EI
EIX
 
 
2
0
8
0
1L
1QL
EI
mM
D dx x  
2
0
 dx x  dx 

2
0
 
2
0
 dx 
EI
6666,346
  dx x x
8
0
10
10 dx
EI
mM
  
2
0
8
0
2L
2QL
EI
mM
D dx x  
2
0
 dx x  dx 
x  
2
0
 dx x
2
0

EI
3333,1293
  dx 
8
0
20
20 dx
EI
mM

 
4
0
8
0
11
11
EI
mm
F dx 
EI
3333,212
 dx 
  dxEI
mm
8
0
11
11
 
4
0
8
0
21
12
EI
mm
F dx 
EI
3333,53
 dx x
dx
EI
mm

8
0
21
12
 
8
0
8
0
22
22
EI
mm
F dx 
EI
6666,1702
 dx 
dx
EI
mm

8
0
22
22
Método das Forças Vigas 
15 
Cálculo das demais reações de apoio 
 
Figura 27 – Reações de apoio 
 
01010204285,113214,120  AVV
 
kNVA 1071,19
 
084285,11810
2
43
1043214,12402200 




 
 AA MM
 
kNmM A 1429,22
 
 
Diagrama de esforços solicitantes 
Figura 28 – Diagrama de força cortante 
Figura 29 – Diagrama de momento fletor 
Método das Forças Vigas 
16 
EXEMPLO4: Calcule a viga contínua abaixo usando o método das forças e em seguida 
trace os diagramas finais de força cortante e momento fletor. Despreze as deformações 
devidas à força cortante no cálculo dos coeficientes. 
Figura 30 – Viga contínua 
 
Dados: Seção transversal das barras AB, DE e EF – 20cm x 50cm. 
 Seção transversal das barras BC e CD – 20cm x 40cm. 
 
Grau de hiperestaticidade – (g): 
 
- nº de vinculos externos = 2+1+1+1+1=6 
- nº de equações de equilibrio = 3 
- g = 6-3=3 
 
Figura 31 – Estrutura isostática fundamental 
 
 
Propriedades geométricas das seções transversais 
 
Barras AB, DE e EF 
 
22 m1,01000cm 5020 A
 
 
43
4
3
m 100833,2
cm 33,208333
12
5020




I
I 
 
Barras BC e CD 
 
22 m08,0800cm 4020 A
 
 
43
4
3
m100667,1
cm 67,106666
12
4020
 




I
I 
Método das Forças Vigas 
17 
Caso (0) 
 
Figura 32 – Caso (0) 
 
 Utilizando tabelas de deslocamentos em vigas isostáticas: 
 
-
''' 101010  
 
ABAB EIEI
3333,53
24
420
'
3
10 



 
BCBC EIEI
5,22
24
320
''
3
10 



 
EEIEI BCAB
257,466915,223333,53
10 
 
 
-
''' 202020  
 
BCBC EIEI
5,22
24
320
'
3
20 



 
  
CDCDCDCDCD EIEIEIEIEI
704030
16
440
24314
424
2320
''
2
2
20 





 
EEIEI CDBC
659,86691705,22
20 
 
 
-
''' 303030  
 
  
CDCDCDCDCD EIEIEIEIEI
3333,63403333,23
16
440
24134
424
2120
'
2
2
30 





 
 
DEDEDEDEDE EIEIEIEIEI
3333,796667,1696
6
5210
56
533260
''30 





 
EEIEI DECD
540,974423333,793333,63
30 
 
 
Método das Forças Vigas 
18 
Caso (1) (X1 = 1 ; X2 = 0 ; X3 = 0) 
Figura 33 – Caso (1) 
111111 '''  
 
EEIEI BCAB
310,1577
3
31
''
3
41
' 111111 





  
EEI BC
604,468
6
31
21 



 
031 
 
 
Caso (2) (X1 = 0 ; X2 = 1 ; X3 = 0) 
 
Figura 34 – Caso (2) 
EEI BC
604,468
6
31
21 



 
222222 '''  
 
EEIEI CDBC
785,2186
3
41
''
3
31
' 222222 





  
EEICD
805,624
6
41
32 



 
 
 
 
 
 
Método das Forças Vigas 
19 
Caso (3) (X1 = 0 ; X2 = 0 ; X3 = 1) 
 
Figura 35 – Caso (3) 
031 
 
EEICD
805,624
6
41
23 



 
333333 '''  
 
EEIEI DECD
738,2049
3
51
''
3
41
' 333333 





  
 
Fase Final 
Cálculo das redundantes: 
      X  0QD
 
 











0
0
0
QD
  











540,97442
659,86691
257,46691
1
0
E
  
E
1
738,2049805,6240
805,624785,2186604,468
0604,468310,1577











 
Resolvendo-se o sistema: 
 














kNm
kNm
kNm
X
880,39
395,23
651,22
 
ESTRUTURA FINAL: 
Figura 36 – Indicação dos momentos fletores nos apoios 
 
Método das Forças Vigas 
20 
Cálculo das reações de apoio 
 
 
 
kNVV
M
BB
C
75,29''0395,23
2
320
65,22''3
0
2



 
kNVV
M
CC
B
25,30'0651,22395,23
2
320
'3
0
2




 
   
kNV
V
M
C
C
D
88,45''
0880,39395,232403220''4
0



 
 
kNV
V
M
D
D
C
12,34'
0395,23
2
220
240880,39'4
0
2





 
 
 
kNV
V
M
D
D
E
98,39''
000,20880,39360''5
0


   
kNV
V
M
E
E
D
02,30
0880,39510260205
0



 
 
Resumindo: 
kNV
kNVVV
kNVVV
kNVVV
kNV
E
DDD
CCC
BBB
A
02,30
10,74
13,76
41,75
34,34
'''
'''
'''





 
 
kNVV
M
BB
A
66,45'0651,22
2
420
'4
0
2




kNVV
M
AA
B
34,340651,22
2
420
4
0
2




Método das Forças Vigas 
21 
DIAGRAMAS FINAIS 
 
 
 
 
 
 
Figura 37 - Diagrama de força cortante 
Figura 38 - Diagrama de momento fletor 
 
Cálculo dos coeficientes do exemplo 4 usando o princípio dos trabalhos virtuais (P.T.V.): 
 
Diagrama de momento fletor nas diversas fases: 
Figura 39 - Diagramas do CASO (0) 
Figura 40 - Diagramas da CASO (1) 
 
 
 
Método das Forças Vigas 
22 
Figura 41 - Diagramas da CASO (2) 
Figura 42 - Diagramas da CASO (3) 
Cálculo dos deslocamentos: Caso (0) : 
 dxEI
MM i
i
0
0
 

4
0
10 (
1
ABEI

 )dx + 

3
0
(
1
BCEI
 ) dx 
EIEIEIEIEI BCABBCAB
257,466915,2233,53
3
315,221
3
41401
10 




 





 
 
(
1
3
0
20 
BCEI

 ) dx + 
(
1
2
0

CDEI
 ) dx+ 
 
(
1
2
0

CDEI
 ) dx + 
(
1
2
0

CDEI
 ) dx 
   





 





 





 





 

3
25,0601
6
25,021601
3
25,01101
3
315,221
20
CDCDCDBC EIEIEIEI

   CDBC
BCBC
II
EEIEI

659,866915,92
2040105,22
1
20
 
(
1
2
0
30 
CDEI

 )dx + 
(
1
2
0

CDEI
 ) dx + 
 
(
1
2
0

CDEI
 ) dx + 
(
1
2
0

DEEI
 ) dx + 
 
(
1
3
0

DEEI
 ) dx 
Método das Forças Vigas 
23 
   
 
   
EEIEIEIEI
EI
EIEIEIEI
DECDDECD
DE
DECDCDCD
540,9744233,7933,63
4,3293,46
1
402033,3
1
3
6
206426,01
6
26,021641
6
215,02601
3
25,0601
3
25,0101
30
30















 





 





 





 



 
Coeficientes de flexibilidade: 
(
1
4
0
11 
ABEI

 )
2
 dx + 
(
1
3
0

BCEI
 )
2
 dx 
   
EEEEIEI BCAB
31,157721,93710,640
3
311
3
411
22
11 






 







 
 
 
(
1
3
0
21 
BCEI

 ) dx 





 

EEI BC
60,468
6
3111
21
 
E
60,468
12 
 
 031
 
013 
 
 
(
1
3
0
22 
BCEI

 )
2
 dx + 
(
1
4
0

CDEI
 )
2
 dx 
   
EEEEIEI CDBC
81,218661,124921,937
3
411
3
311
22
22 






 







 
 
 
(
1
4
0
23 
CDEI

 ) dx 
 







 

EEICD
8,624
6
411
2
23
 
E
8,624
32 
 
(
1
4
0
33 
CDEI

 )
2
 dx + 
(
1
5
0

DEEI
 )
2
 dx 
   
EEEEIEI DECD
74,204980061,1249
3
511
3
411
22
33 






 







 
 
 
Método das Forças Vigas 
 
24 
EXEMPLO5: Calcule as reações de apoio da viga da figura utilizando o método das 
forças. Considere as deformações devidas à força cortante e ao momento fletor. A seção 
transversal usada trata-se de um perfil soldado de aço, padrão VS-800x111 , conforme 
figura. 
 
Dados: 
 
E=2,1x10
4
 kN/cm
2
 (aço) 
G=8x10
3
 kN/cm
2
 (aço) 
 
Figura 43 - Viga 
 
 
 
4
2
2
155074
29,2
62
142
625,778,0
142
cmI
A
A
f
cmA
cmA
ALMA
S
ALMA




 
 
g = 3-2=1 
 
Estrutura isostática fundamental: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 44 - Estrutura isostática fundamental 
 
Caso (0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 45 - Caso (0) 
 
  cm7265,174536,02729,17
1421082
100045,029,2
155074101,28
100045,0
3
2
4
4
10 





















 
 
Método das Forças Vigas 
25 
Caso (1) 
 
 
 
 
 
 
Figura 46 - Caso (1) 
 
10437,0100158,210236,0
142108
100029,2
155074101,23
1000 3
34
3
11 














  
 
Equação de compatibilidade: 
01 QD
 
 
0111101  XDQ 
 
kNX 84,169
10437,0
7265,17
11
10
1  
 (Reação vertical no apoio B) 
 
Cálculo das reações de apoio finais: (usando o método da superposição de efeitos) 
kNXVVV AAA 16,28084,16914501
10 
 (para cima) 
kNmXMMM AAA 60,55184,1691022501
10 
 (sentido anti-horário) 
Caso fossem desprezadas as deformações devidas à força cortante: 
cm
EI
qL
2729,17
8
4
10 
 
1024,0
3
3
11 
EI
L
 
KNX 75,1681 
 
Demais reações de apoio : 
kNmM
kNV
A
A
5,562
25,281

 
Erros cometidos devido à não consideração das deformações devidas à força cortante: 
- Erro% X1 : 
%64,0100
84,169
84,16975,168


 
- Erro % VA : 
%38,0100
16,280
16,28025,281


 
Método das Forças Vigas 
 
26 
- Erro % Ma : 
%98,1100
60,551
60,55150,562


 
- Observação : O cálculo de δ10 e de δ11 se baseou no resultado obtido no exemplo a seguir, 
onde foi calculada a flecha na extremidade livre da viga em balanço, pelo M.C.U., 
considerando as deformações devidas ao momento fletor e à força cortante. 
Método das Forças Vigas 
27 
EXEMPLO6: Calcule a flecha na extremidade livre da viga em balanço submetida ao 
carregamento indicado, usando o método da carga unitária. Considere as deformações 
devidas ao momento fletor e à força cortante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 47 – Viga em balanço 
Dados: 
 
E, G - material elástico linear isotrópico 
A,I - constantes geométricas da seção 
fs - fator de forma para cisalhamentoCaso (0) 
 
Estrutura dada submetida ao carregamento real 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 48 – Caso (0) 
 
 
 
 
 
 
 (Momento fletor) 
 
 
 
 (Força cortante) 
 
 
 
 
 
Figura 49 – Diagramas de força cortante e momento fletor – Caso (0) 
 
 
 
Método das Forças Vigas 
 
28 
Para efeito de integração o diagrama ML pode ser decomposto como : 
Figura 50 – Decomposição do diagrama de momento fletor 
 
Caso (U) 
 
Carrega-se a estrutura dada com uma carga unitária correspondente ao deslocamento que se 
pretende determinar. No caso, carga unitária vertical aplicada em B. 
 
 
 
Figura 51 – Caso (U) 
 
 
 (Força cortante) 
 
 
 
 (Momento fletor) 
 
 
 
 
Figura 52 – Diagramas de força cortante e momento fletor – Caso (U) 
 
Aplicando-se a equação do M.C.U. 
 
     























 LPqLP
GA
f
LL
qL
LL
qL
PL
EI
S
B
2
1
83
1
)(
23
11 22 













GA
L
f
EI
L
q
GA
L
f
EI
L
P SSB
283
243 
 
Observar na resposta acima a influência da carga P, 1ª parcela, na qual está explícita a 
influência das deformações de flexão (
EI
PL
3
3 ) e a influência das deformações devidas à força 
cortante (
GA
L
fP S 
). 
De forma análoga, na 2ª parcela (influência de q) tem-se 
EI
L
q
8
 (influência das deformações 
de flexão) e 
GA
L
qfS
2
2

 (influência da força cortante). 




 dx
GA
vV
fdx
EI
MM uL
S
u
B
01
Método das Forças Vigas 
29 
EXEMPLO7: Calcule a flecha no meio do vão da viga abaixo, considerando a 
contribuição da flexão e do cisalhamento. 
 
 
 
Dados: 
 
23
24
/108
/101,2
cmkNG
cmkNE


 
 
 Figura 53 – Viga bi-apoioada 
 
Propriedades geométricas da seção: 
 
 
 
2
2
2
4
142
62
80
155074
cmAAA
cmA
cmA
cmI
ALMMESA
ALMA
MESA




 
Fator de forma para cisalhamento: 
 
29,2
62
142

ALMA
S
A
A
f
 
 
 
Caso (0) 
 
Figura 54 = Caso (0) 
Caso (U) 
 
Figura 55 = Caso (U) 
 
Método das Forças Vigas 
 
30 
  dxGA
vV
fdx
EI
mM
S
 O deslocamento é composto de duas parcelas, uma devida 
 à flexão e outra devida ao cisalhamento. 
 
 M c 
(infl.do momento) (infl. da força cortante) 
 
 
 Utilizando a tabela de integrais de produto, tem-se: 
- contribuição do momento fletor ( M ) 
 
 
EI
M 1
 

5
0
 . 

10
5
 
 
Substituindo os valores: 
 
mM 018,0
 
 
- contribuição da força cortante ( C ) 
 
GA
fSC 
 

5
0
 ( . 

10
5
 
 
Substituindo os valores: 
 
mC 001134,0
 
 
A flecha será então: 
 
mCM 01913,0001134,0018,0 
 
 
A influência da força cortante no deslocamento total é, então: 
C
C



0593,0
corresponde a 5,93% do deslocamento total. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças 
 
Exemplos de Aplicação em Treliças 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Treliças 
 
32 
EXEMPLO1: Determinar os esforços nas barras da treliça da figura abaixo utilizando o 
método das forças. 
 
Dados: 
 EA=constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Treliça 
 
 
Grau de hiperestaticidade: 
 
    142632  nvmg
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 - Estrutura isostática fundamental 
 
 
  80
60
,cos
,sen


BDNX 1
Método das Forças Treliças 
 
33 
Equação de compatibilidade (deslocamento axial relativo na seção transversal da 
barra BD) : 
01 QD
 
 
Caso (0) 
 
 
 
 
   
   




050
050coscos


senNsenN
NN
CDAD
CDAD
 





33,83
50,62
CDAD
CDAD
NN
NN 
9272831452 ,N,N ADAD 
 
42105062 ,NN,N CDADCD 
 
 
 
Caso (1) 
 
X1 = 1 ( NBD = 1 ) 
 
 
    CDADCDAD NNsenNsenNV  00
 
    010  cosNcosNH CDAD
 
  6250625012 ,N,NcosN CDADAD 
 
 
 
Cálculo dos coeficientes 
 
 
Barra 
iL
 
 
i
N0
 
 
i1
n
 
 
i
LnN  10
 
  
i
2
1 Ln 
 
AD 2,5 72,92 -0,625 -113,94 0,97656 
CD 2,5 -10,42 -0,625 16,28 0,97656 
BD 2,0 0 1 0 2,0 
  -97,66 3,953120 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Treliças 
 
34 
EAEA
LnN
ii
66,973
1
10
10






 



 
 
 
EAEA
Ln
i
i
953120,33
1
2
1
11 






 



 
 
Cálculo da redundante 
 
EA
66,97
10


 
EA
953120,3
11 
 
0111101  XDQ 
 
 
70,24
953120,3
)66,97(0
11
101
1 



 
QD
X
 
 
 
Esforços axiais finais 
 
    110 XnNN iii 
 
 
  kNNAD 48,5770,24625,092,72 
 
  kNNCD 86,2570,24625,042,10 
 
kNQNBD 70,241 
 
 
 
Método das Forças Treliças 
 
35 
EXEMPLO2: Calcular a treliça da figura abaixo utilizando o método das forças. 
 
Dados: 
 EA=constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Treliça 
 
Grau de hiperestaticidade 
 
    242462  nvmg
 
 
Incógnitas Redundantes: 
 
o X1 reação horizontal em B 
o X2 força normal na barra 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 - Estrutura isostática fundamental 
 
Método das Forças Treliças 
36 
Equações de compatibilidade: 
0
0
2
1


Q
Q
D
D 
 
Caso (0), Caso (1) e Caso (2) 
 
 
 
Caso (0) Caso (1) 
 
Caso (2) 
 
Figura 5 – Caso (0), Caso (1) e Caso (2) 
 
Quadro resumo dos esforços nas diversas fases 
 
Barra 
 iEA
 
iL
 
 
i
N0
 
 
i1
n
 
 
i2
n
 
1 EA 3 0 0 
2
2
 
2 EA 3 5 0 
2
2
 
3 EA 3 -10 0 
2
2
 
Método das ForçasTreliças 
 
37 
4 EA 3 5 -1 
2
2
 
5 EA 
23
 
25
 
2
 1 
6 EA 
23
 0 0 1 
 
Cálculo dos coeficientes das matrizes e vetores 
 
Barra 
 
i
LnN  10
 
 
i
LnN  20
 
  
i
2
1 Ln 
 
 
i21
Lnn 
 
  
i
2
2 Ln 
 
1 0 0 0 0 1,5 
2 0 
2
15
 0 0 1,5 
3 0 
2
30
 0 0 1,5 
4 -15 
2
15
 3 
2
3
 1,5 
5 
230
 -30 
26
 6 
23
 
6 0 0 0 0 
23
 
 -57,4264 -30 11,4853 8,1213 14,4853 
 
 
EAEA
LnN
ii
4264,576
1
10
10






 



 
EAEA
LnN
ii
0,306
1
20
20






 



 
 
EAEA
Ln
i
i
4853,116
1
2
1
11 






 



 
EAEA
Lnn
F
ii
1213,86
1
21
1221 




 
 


 
 
EAEA
Ln
i
i
4853,146
1
2
2
22 






 



 
 
Notar que nos somatórios acima o índice i varia de 1 a 6, onde 6 é o número de barras da 
treliça. 
Método das Forças Treliças 
38 
Cálculo das redundantes 
 
 









30
4264,571
0
EA

 
 
  






4853,141213,8
1213,84853,111
EA

 
 
        00  XDQ 
 
 
 
X1 = 5,858 kN 
X2 = -1,213 kN 
 
 
Forças normais finais 
 
 
      22110 XnXnNN iiii 
 (Superposição de efeitos) 
 
 
N1 = 0,858 (barra CD) 
N2 = 5,858 (barra AB) 
N3 = - 9,142 (barra AC) 
N4 = 0 (barra BD) 
N5 = 0 (barra BC) 
N6 = - 1,213 (barra AD) 
 
 
 
Método das Forças Treliças 
 
39 
EXEMPLO3: Considerando a treliça da figura e a relação de áreas das suas barras, 
determinar o valor da área mínima necessária para as barras tracionadas, sendo a 
tensão admissível do aço igual a 160 Mpa. Utilizar o método da flexibilidade. 
 
(Obs.: não é necessário analisar as barras comprimidas, que dependem do índice de esbeltez). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 - Treliça 
 
Dados: 
 
E = 205 GPa 
A1 = A2 = A3 = 3A 
A4 = A5 = A6 = A 
A7 = A8 = A9 = A10 = 2A 
 
 
 
Estrutura isostática fundamental 
 
 
g = ( b + v ) – 2 n = (10 + 4) – 12 = 2 
 
 
Figura 7 – Estrutura isostática fundamental 
 
 
Equações de compatibilidade : 
0
0
2
1


Q
Q
D
D 
 
 
 
X1
X2
X2
Método das Forças Treliças 
 
40 
Caso (0): 
 
 
Figura 8 – Caso (0) 
 
 87,36
0,2
5,1
tan 
 






8,0cos
6,0sen

 
 57,26
0,3
5,1
tan 
 






894,0cos
447,0sen

 
 
 
 
kNVVM CCA 75,3805,11047200 
 
kNVVV AA 75,1802075,380 
 
kNHHH AA 100100 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 – Forças normais nas barras – Caso (0) 
 
Nó A: 
kNNNV AEAE 25,31075,186,0.0 
 
kNNNH ABAB 150108,025,310 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Treliças 
 
41 
Nó B: 
00  EBNV
 
kNNNNH BCBCAB 1500 
 
 
Nó E: 
06,0.6,0.0  CEEBAE NNNV
 
 
kNNN CECE 25,3106,0.06,025,31 
 
08,0.8,0.0  CEEFAE NNNH
 
 
  kNNN EFEF 5008,025,318,025,31 
 
 
Nó F: 
0894,0.100  FDEF NNH
 
 
kNNN FDFD 74,440894,01050 . 
 
0447,0.0  FDFC NNV
 
 
kNNN FCFC 200447,07,44 
 
 
Nó C: 
08,0.0  CDBCCE NNNH
 
 
kNNN CDCD 400158,025,31 
 
075,386,00 .  FCCE NNV
 
 
kNNN FCFC 20075,386,025,31 
 
 
Nó D: 
0447,0.200  FDNV kNNFD 74,44
 
0894,0.0  FDCD NNH kNNCD 40
 
 
 
Caso (1): (X1 = 1 ; X2 = 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10 – Caso (1) 
 
0'0'.40  cCA VVM
 
0'0  AVV
 
1'0  AHH
 
Método das Forças Treliças 
 
42 
 
 
Figura 11 – Forças normais nas barras – Caso (1) 
 
Nó A: 
00  AENV
 
10  ABNH
 
 
Nó B: 
00  EBNV
 
10  BCNH
 
 
Nó E: 
06,0.6,0.0  CEEBAE NNNV
 
0 CEN
 
08,0.8,0.0  CEEFAE NNNH 0 EFN
 
 
Nó F: 
0894,0.0  FDEF NNH 0 FDN
 
0447,0.0  FDFC NNV 0 FCN
 
 
Nó C: 
018,0.0  CDBCCE NNNH 0 CDN
 
06,00 .  FCCE NNV 0 FCN
 
 
Nó D: 
0447,0.0  FDNV 0 FDN
 
0894,0.0  FDCD NNH 0 CDN
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Treliças 
 
43 
Caso (2): (X1 = 0 ; X2 = 1) 
 
 
 
Figura 12 – Caso (2) 
 
0"0  cA VM
 
0"0  AVV
 
0"0  AHH
 
 
 
Figura 13 – Forças normais nas barras – Caso (2) 
 
Nó A: 
0;0  ABAE NN
 
 
Nó D: 
0;0  DFCD NN
 
 
Nó B: 
8,0;6,0  BCEB NN
 
 
Nó C: 
6,0;1  FCCE NN
 
 
Nó E: 
8,0;1  EFCE NN
 
 
Nó F: 
6,0;0  FCFD NN
 
 
Método das Forças Treliças 
 
44 
Barra 
 iA
 
iL
 
 
i
N0
 
 
i1
n
 
 
i2
n
 
1 3A 2,0 -15 1 0 
2 3A 2,0 -15 1 -0,8 
3 3A 3,0 -40 0 0 
4 A 2,5 31,25 0 0 
5 A 2,0 50 0 -0,8 
6 A 3,35 44,74 0 0 
7 2A 1,5 0 0 -0,6 
8 2A 1,5 -20 0 -0,6 
9 2A 2,5 -31,25 0 1 
10 2A 2,5 0 0 1 
 
 
 
Barra 
i
A
LnN





  10
 
i
A
LnN





  20
 
 
i
A
Ln





 
2
1
 
i
A
Lnn





  21
 
 
i
A
Ln





 
2
2
 
1 
A
10
 0 
A
6667,0
 
0 0 
2 
A
10
 
A
8
 
A
6667,0
 
A
5333,0
 
A
4267,0
 
3 0 0 0 0 0 
4 0 0 0 0 0 
5 0 
A
80
 0 0 
A
28,1
 
6 0 0 0 0 0 
7 0 0 0 0 
A
27,0
 
8 0 
A
9
 0 0 
A
27,0
 
9 0 
A
0625,39
 
0 0 
A
25,1
 
10 0 0 0 0 
A
25,1
 

A
20
 
A
0625,102
 
A
3333,1
 
A
5333,0
 
A
7467,4
 
 δ10 δ20 δ11 δ12 δ22 
 
 
Método das Forças Treliças 
 
45 
Equação de compatibilidade 
 
 
        00  XDQ 
 
 
    X 0
= 
 
QD
 
 
 




























2
1
7467,45333,0
5333,03333,11
0625,102
201
0
0
X
X
EAEA
 
 
 
 
X1 = 24,711 kN 
X2 = 24,278 kN 
 
 
 
Esforços nas barras da estrutura hiperestática 
 
N = N0 + n1.X1 + n2.X2 
 
 
N1 = -15+1 . 24,711 = 9,711 kN 
N2 = -15+1 . 24,711 – 0,8 . 24,278 = -9,711 kN 
N3 = -40,0 kN 
N4 = 31,25 kNN5 = 50 – 0,8 . 24,278 = 30,577 kN 
N6 = 44,74 kN 
N7 = -0,6 . 24,278 = -14,567 kN 
N8 = -20 – 0,6 . 24,278 = -34,567 kN 
N9 = -31,25 + 1 . 24,278 = -6,972 kN 
N10 = 24,278 kN 
 
 
Área mínima 
 
2/16160 cmkNMPaadm 
 
kNF 74,44max 
 
 
2
minmin
max
min 796,2
16
74,44
cmAA
F
A
A
F
adm
  
 
Método das Forças Treliças 
 
46 
 
EXEMPLO4: Calcule as forças normais da treliça da figura utilizando o Método da 
Flexibilidade (Método das Forças). 
 
Dados: 
 E = 2,1x104 kN/cm2 
 Área da seção transversal das barras: 
 A1 = A2 = A3 = A8 = A15 = A16 = A17 = 3,0 cm
2
 
 A4 = A7 = 10,0 cm
2
 
 A5 = A6 = A11 = A12 = 5,0 cm
2
 
 A9 = A10 = A13 = A14 = 20,0 cm
2
 
 
Figura 14 - Treliça 
 
 
 
 
Método das Forças Treliças 
 
47 
 
Estrutura Isostática Fundamental 
 
- Grau de hiperestaticidade: 
 
 
 
- Incógnitas Redundantes: 
 
 força normal na barra 5 
 força normal na barra 11 
aa
 
 
Figura 15 – Estrutura Isostática Fundamental 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Treliças 
 
48 
 
Caso (0) 
 
aa
 
Figura 16 – Caso (0) 
 
Reações de Apoio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nó I: 
 
 
 
 
Nó G: 
 
Método das Forças Treliças 
 
49 
 
 
 
Nó H: 
 
 
 
 
Nó D: 
 
 
 
 
Nó C: 
 
 
 
 
Nó F: 
 
 
 
 
Nó E: 
 
 
 
Nó B: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Treliças 
 
50 
 
Caso (1) 
aa
 
Figura 17 – Caso (1) 
 
Reações de Apoio: 
 
 
Nó I: 
 
 
Nó D: 
 
 
Nó C: 
 
 
Nó A: 
 
 
Método das Forças Treliças 
 
51 
 
Nó B: 
 
 
Nó F: 
 
 
 
Nó G: 
 
 
 
Nó H: 
 
 
Caso (2) 
aa
 
Figura 18 – Caso (2) 
Método das Forças Treliças 
 
52 
 
Reações de Apoio: 
 
 
Nó I: 
 
 
Nó D: 
 
 
Nó A: 
 
 
Nó G: 
 
 
Nó H: 
 
 
Nó C: 
 
 
 
Nó E: 
 
 
 
Nó F: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Treliças 
 
53 
 
Quadro Resumo dos Esforços Axiais: 
 
Barra 
1 3 1,118 11,180 0 0 
2 3 1,118 -11,180 0 0 
3 3 1 -5 -0,316 0 
4 10 3 10 -0,949 0 
5 5 3,162 0 1 0 
6 5 3,162 79,057 1 0 
7 10 3 -85 -0,949 0 
8 3 1 -0,556 -0,316 -0,316 
9 20 3,162 77,300 0 0 
10 20 3 11,667 0 -0,949 
11 5 3,162 0 0 1 
12 5 3,162 -12,298 0 1 
13 20 3 0 0 -0,949 
14 20 3,162 -77,300 0 0 
15 3 1 20,556 0 0 
16 3 1 24,444 0 -0,316 
17 3 1 24,444 0 0 
 
 
 
Cálculo dos Coeficientes das Matrizes e Vetores: 
 
Barra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 0 0 0 0 0 
2 0 0 0 0 0 
3 0,52705 0 0,03333 0 0 
4 -2,84605 0 0,27 0 0 
5 0 0 0,63246 0 0 
6 50 0 0,63246 0 0 
7 24,19142 0 0,27 0 0 
8 0,05856 0,05856 0,03333 0,03333 0,03333 
9 0 0 0 0 0 
10 0 -1,66020 0 0 0,135 
11 0 0 0 0 0,63246 
12 0 -7,77778 0 0 0,63246 
13 0 0 0 0 0,135 
14 0 0 0 0 0 
15 0 0 0 0 0 
16 0 -2,57667 0 0 0,03333 
17 0 0 0 0 0 
 71,93098 -11,95608 1,87158 0,03333 1,60158 
 
 
 
Método das Forças Treliças 
 
54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução do Sistema de Equações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esforços Axiais Finais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças 
 
Exemplos de Aplicação em Pórticos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Pórticos 
 
56 
 
Análise de Pórticos Planos 
 
 
Deformações possíveis de ocorrer nos pórticos são devidas a: 
 
 
 Momento Fletor 
 Força Normal 
 Força Cortante 
 
 
   dxGA
Vv
fdx
EA
Nn
dx
EI
Mm
x1 s
 
 
 
Deformação preponderante: 
 
 
 Devida a momento fletor 
 
 
Cálculo dos coeficientes: 
 
 
- Considerar sempre o efeito das deformações devidas ao momento fletor 
 
   dxfdxdx s GA
Vv
EA
Nn
EI
Mm iii
i0
 
 
   dxfdxdx s GA
vv
EA
nn
EI
mm jijiji
ij
 
57 
 
EXEMPLO1: Analisar o pórtico dado considerando as deformações por flexão e as 
deformações axiais. 
 
Dados: 
- EI = constante. 
- EA= constante. 
- Seção Transversal: 20x50 cm2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Pórtico plano 
 
Grau de hiperestaticidade: 3 
 
C
B
A B
 
 
Figura 2 - Estrutura isostática fundamental 
 
Caso (0) 
 
 
 
 
Figura3 – Caso (0) 
A B 
 
C 
A
B
C
B
Método das Forças Pórticos 
58 
 
Diagramas 
 
Força normal: nula nas duas barras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (V0) (M0) 
 
Figura 4 – Diagramas de força cortante e momento fletor – Caso (0) 
 
Caso (1) 
 
Figura 5 – Caso (1) 
 
Diagramas 
 
 
 
 
 
 
 (N1) (V1) (M1) 
 
Figura 6 – Diagramas de força normal, força cortante e momento fletor – Caso (1) 
 
 A 
 
B A 
 
B 
 C 
C 
 
B 
 
B 
 
A 
 
A 
 
A 
 
 B 
 B 
 C 
 
 B 
 
 B 
 C 
 
B 
 
C 
59 
 
Caso (2) 
 
Figura 7 – Caso (2) 
 
Diagramas 
 
 
 
 
 
(N2) (V2) (M2) 
 
Figura 8 – Diagramas de força normal, força cortante e momento fletor – Caso (2) 
 
 
Caso (3) 
 
Figura 9 – Caso (3) 
 
A 
 
B 
 
B 
 
A 
 
C 
 
A 
 
 B 
 
B 
 
 B 
 
 C 
 
 C 
 
B 
Método das Forças Pórticos 
60 
 
Diagramas 
Força normal: nula nas duas barras. 
Força cortante: nula nas duas barras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10 – Diagrama de momento fletor – Caso (3) 
 
Propriedades geométricas 
 
43
3
100833,2
12
5,02,0
mI 


 
IA
I
A
4848 
 
21,05,02,0 mA 
 
 
Cálculo de δ0 
 
 
 
BC
i
AB
i
BC
i
AB
i
i dx
EA
nN
dx
EA
nN
dx
EI
mM
dx
EI
mM 0000
0
 
 
000010 
 
 
  
EIEI
5000
00055102240
6
11
20







 
 
 
EIEI
600
00051240
2
11
30








 
 
 
Cálculo dos coeficientes de δ 
 
 
BC
ji
AB
ji
BC
ji
AB
ji
ij dx
EA
nn
dx
EA
nn
dx
EI
mm
dx
EI
mm
 
  
EIEIEIEAEIEAEI 24
517
48
10
3
6410
3
64
0
1011444
3
1
011 



 
00001221  
 
A B B 
C 
61 
 
 
EIEI
8
00
441
2
1
01331 

 
 
   
EIEIEIEAEIEAEI 12
4001
48
4
3
10004
3
1000411
00
101010
3
1
22 



 
EIEI
50
000
10110
2
1
2332 

 
 
EIEIEI
14
00
4111011
33 




 
 
 
Fase Final 
 
 
 













14508
504167,3330
805417,21
EI
1  












600
5000
0
1
0
EI

 
 
      XDQ   0
 
 













4291,42
3590,21
7571,15
X
 
 
 Caso fosse omitido o efeito das deformações axiais: 
 
 













14508
503333,3330
803333,21
EI
1  












600
5000
0
1
0
EI

 
 
 
 
 













8571,42
4286,21
0714,16
X
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Pórticos 
62 
 
Esforços finais (considerando as deformações axiais) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11 – Esforços finais 
Por equilíbrio: 
 
kN76,15HA 
 
kN64,2636,2148VA 
 
kNmM A 84,6843,421036,21548 
 
 
kN76,15HC 
 
kN36,21VC 
 
kNmMC 60,20476,1543,42 
 
 
Diagramas de esforços solicitantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12 – Diagramas de força normal, força cortante e momento fletor 
 
 
 A 
 
 
 B 
 
 
 B 
 
 C 
 
 
A 
 
 B 
 
 C 
 
 B 
 A 
 
 C 
 
 C 
(N) 
(V) 
(M) 
Método das Forças Pórticos 
63 
 
EXEMPLO2: Calcular as reações de apoio do pórtico da figura utilizando o método da 
flexibilidade, incluindo as deformações devidas ao momento fletor, à força normal e à 
cortante. Traçar os diagramas finais de esforços solicitantes. 
 
 
Figura 13 – Pórtico plano 
 
Dados: 
E = 205 GPa 
20,0
 
 
g = 3 + 2 - 3  g = 2 
 
A
B C D
X2
X1
 
Figura 14 – Estrutura isostática fundamental 
 
 
Propriedades geométricas 
 
Área = 15 . 1,25 + 15 . 1,25 + 1,0 . 27,5 = 65 cm
2
. 
I = 

33
12
5,27
.14
12
30
.15
 9486,98 cm
4
. EA = 1.332.500 kN 
EI = 19.448,3 kNm
2
 
 
Método das Forças Pórticos 
64 
Caso (0) 
 
 
Figura 15 – Caso (0) 
 
447,0cos894,0sen2
2
4
tan   
00  ALHH
 
kNVVM CLCLA 75,10302.502
2
5,5
.5,5.20.60 






 
kNVVV ALAL 25,560505,5.2075,1030 
 
 
 
 
 
Figura 16 – Decomposição dos esforços – Caso (0) 
 
 
0AV
0AH
0CV
Método das Forças Pórticos 
65 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 17 – Diagramas da Caso (0) 
 
Barra BC: 
 
kNmMmX
X
X
XM
mXXXV
48,1133125,0
40
2
2025,65,112
3125,02025,602025,6
2



 
 
Caso (1) (X1 = 1 ; X2 = 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 18 – Caso (1) 
 
(V0) 
 
(N0) 
 
(M0) 
 
Método das Forças Pórticos 
66 
6
1
'0'.610  CCA VVM
 
6
1
'0  AVV
 
0'0  AHH
 
 
Figura 19 – Decomposição dos esforços – Caso (1) 
 
Diagramas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 20 – Diagramas da Caso (1) 
 
 
 
(M1) 
 
(N1) 
 (V1) 
 
Método das Forças Pórticos 
67 
 
Caso (2) (X1 = 0 ; X2 = 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 21 – Fase 2 
 
kNVVM CCA 667,0"0".64.10 
 
kNVV A 667,0"0 
 
kNHH A 1"0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 22 – Decomposição dos esforços – Fase 2 
 
Diagramas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 23 – Diagramas da fase 2(M2) 
 
(N2) 
 (V2) 
 
Método das Forças Pórticos 
68 
Cálculo dos deslocamentos 
 
    
      472,41491,0312,50
1332500
1
4667,040
3
1
45,225,1122667,0
6
1
472,4667,0215,112
6
1
31,19448
1
10








 
 
radx 210
52
10 1065,11052,21065,1
   
 
    
    472,4043,1312,50
1332500
1
45,225,1122667,2
6
1
4667,240
3
1
472,4667,25,112
3
1
31,19448
1
20








 
mx 220
42
20 1086,41076,11088,4
   
 
 
Cálculo dos coeficientes de flexibilidade 
 
  
  472,41491,0
1332500
1
4667,0
3
1
472,4667,011667,0667,0667,0112
6
1
31,19448
1
2
2
11








 
4
11 1092,1
 x
 
 
  4472,4043,1
1332500
1
4667,2
3
1
472,4667,2
3
1
31,19448
1 222
22 





 
3
22 1004,1
 x
 
        
      
4
1221
1221
1061,3
472,4043,11491,0
1332500
1
4667,2667,0
3
1
472,4667,021667,2
6
1
31,19448
1











 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Pórticos 
69 
 
Equação de compatibilidade 
 
DQ = δ0 + δX = 0 
 
 




























2
1
34
44
2
2
.
1004,11061,3
1061,31092,1
1086,4
1065,1
0
0
X
X
xx
xx
x
x
 
 
 
X1 = 5,545 kN m 
X2 = -48,656 kN m 
 
 
Estrutura Hiperestática 
 
 
VA = VAL + VA’.X1 + VA”.X2 
VA = 56,25 - 0,1667 . 5,545 + (- 0,6667) . (- 48,656)) 
VA = 87,76 kN 
 
VC = VCL + VC’.X1 + VC”.X2 
VC = 103,75 + 0,1667 . 5,545 + 0,6667 . (- 48,656) 
VC = 72,24 kN 
 
HA = HAL + HA’.X1 + HA”.X2 
HA = -1 - (-48,656) 
HA = 48,656 kN 
 
Estrutura Final 
 
 
Figura 24 – Reações de apoio 
 
 
48,656kN 
72,24kN 
48,656kN 
87,76kN 
 5,545kNm 
Método das Forças Pórticos 
70 
Diagramas Finais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 25 – Diagramas de força normal, força cortante e momento fletor 
 
48,656kN 
 100,21kN 
37,76kN 
42,24kN 
1,89m 
4,27kN 
 13,55kNm 
 13,55kNm 
 22,11kNm 
 5,545kNm 
 M 
 
 V 
 
 N 
Método das Forças Pórticos 
71 
 

EXEMPLO3: Calcular o pórtico da figura abaixo pelo método das forças considerando: 
(1) As deformações devidas ao momento fletor, força cortante e força normal. 
(2) Apenas as deformações devidas ao momento fletor e à força normal. 
(3) Apenas as deformações devidas ao momento fletor. 
 
Adotar como incógnitas redundantes o momento no apoio A (X1) e o momento fletor na 
extremidade B da barra AB (X2) . 
 
Dados: 
- Seção transversal retangular constante: b=20cm; h=40cm 
- Módulo de elasticidade: E=3,0x107 kN/m2 
- Coeficiente de Poisson:  = 0,2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 26 – Pórtico plano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 27 – Estrutura isostática fundamental (E.I.F) 
 
 
Método das Forças Pórticos 
72 
Propriedades Geométricas do Pórtico e da Seção Transversal 
 
43
3
100667,1
12
)40,0(20,0
mI 


 
208,040,020,0 mA 
 
75
I
A
 sendo E=constante  EA = 75EI 
 
310,11
5
1
tan 





 Arc
 
196116,0)(
98058,0)(




Sen
Cos
 
Seção retangular  fs = 1,2 
  4,2
E
12
E
G 


 
  EI25,31I75
4,2
E
GA 






 
Comprimento da Barra BC = 
m
Cos
lBC 099,5
5


 
Caso (0) 
 
 
 
Figura 28 – Caso (0) 
 
Reações de Apoio: 
 
  0030)( AAABB HHM
 
 
  00 CCA HHHH
 
 
  kNVVM AAC 40,860362450
 
 
  kNVVV CC 60,57024640,860
 
Método das Forças Pórticos 
73 
 
Diagramas do Caso (0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 29 – Diagrama de força normal, força cortante e momento fletor – Caso (0) 
 
Caso (1) (X1=1; X2=0) 
 
Figura 30 – Caso (1) 
 
Reações de Apoio: 
 
3
1
0310)( AA
AB
B HHM
 
 
3
1
0 CCA HHHH
 
A 
 
 A 
A 
 
 B B 
 
 B 
 
C 
 
C 
C 
D 
D 
D 
N0 
V0 
M0 
Método das Forças Pórticos 
74 
 
15
1
04
3
1
150 AAC VVM
 
 
15
1
0 CCA VVVV
 
 
Diagramas do Caso (1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 31 – Diagramas de força normal, força cortante e momento fletor – Caso (1) 
 
Caso (2) (X1=0; X2=1) 
 
 
Figura 32 – Caso (2) 
 
 A 
 
 
 A 
 A 
 B 
B 
 B 
 C C 
 C 
 D D 
 D 
N1 V1 
M1 
Método das Forças Pórticos 
75 
 
Reações de Apoio: 
 
3
1
0130)( AA
AB
B HHM
 
 
3
1
0 CCA HHHH
 
 






15
4
0114
3
1
50 AAC VVM
 
 
15
4
0 CCA VVVV
 
 
 
Diagramas do Caso (2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 33 – Diagramas de força normal, força cortante e momento fletor – Caso (2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N2 
V2 
M2 
 A 
 B 
 C 
 D 
 A 
 B 
 C 
 D 
 A 
 B 
 C 
 D 
Método das Forças Pórticos 
76 
Fase Final 
 
(1) Considerando as deformações devidas ao momento fletor, força cortante e força normal. 
 
 Cálculo do Vetor δ0: 
 
'''
10
''
10
'
10
101010
10    dxGA
vV
fdx
EA
nN
dx
EI
mM
S
 
'''
20
''
20
'
20
202020
20    dxGA
vV
fdx
EA
nN
dx
EI
mM
S
 
 
 
Influência do Momento Fletor: 
 
0'10 
 
 
EIEI
079,107
099,510,75
3
1
099,51)12(
3
1
0
1'
20 





 
 
 
 Influência da Força Normal: 
 
   
EAEA
095,18
099,524,1230,1134,0
2
1
3
15
1
40,86
1''
10 










 
 
 
  
EAEA
028,70
099,530,1124,12379,0
2
1
3
15
4
40,86
1''
20













 
 
 Influência da Força Cortante: 
 
0'''10
 
 
  
GAGA
820,2
099,548,5618,611961,0
2
11
2,1'''20







 
 
Portanto: 
 
EIEIEA
241,0
75
095,18
0
095,18
010 
 
 
EIEIEIEIGAEAEI
055,106
25,31
820,2
75
028,70079,107820,2028,70079,107
20  
 
 
 
 
 
Método das Forças Pórticos 
77 
 
Cálculo da Matriz δ: 
 
      '''
11
''
11
'
11
2
1
2
1
2
1
11    dxGA
v
fdx
EA
n
dx
EI
m
S
 
 
'''
21
''
21
'
21
212121
1221    dxGA
vv
fdx
EA
nn
dx
EI
mm
S
 
 
      '''
22
''
22
'
22
2
2
2
2
2
2
22    dxGA
v
fdx
EA
n
dx
EI
m
S
 
 
 
- Influência do Momento Fletor: 
 
 
EIEI
1
30,1
3
11 2'
11 






 
 
EIEI 2
1
311
6
11'
21 






 
 
   
EIEI
6997,2
099,50,1
3
1
30,1
3
11 22'
22 






 
 
 
 Influência da Força Normal: 
 
 
EAEA
6028,0
099,5340,03
15
11 2
2
''
11 













 
 
EAEA
7104,0
099,5379,0340,03
15
4
15
11''
21







 
 
 
EAEA
9458,0
099,5379,03
15
41 2
2
''
22 















 
 
 
 Influência da Força Cortante: 
 
GAGA
40,0
3
3
12,1
2
'''
11 













 

 
 
GAGA
40,0
3
3
1
3
12,1'''
21


















 

 
 
Método das Forças Pórticos 
78 
 
GAGA
6353,0
099,51961,03
3
12,1 2
2
'''
22 















 
 
Somando as três contribuições: 
 
EIEIEIEIGAEAEI
02084,1
25,31
40,0
75
6028,0140,06028,01
11 
 
 
EIEIEIEIGAEAEI
47773,0
25,31
40,0
75
7104,0
2
140,07104,0
2
1
21  
 
EIEIEIEIGAEAEI
73264,2
25,31
6353,0
75
9458,06997,26353,09458,06997,2
22  
 
 
 Solução do Sistema de Equações (Cálculo das Redundantes): 
 
 
      XDQ   0
 
 
 







055,106
241,01
0
EI

 
  






73264,247773,0
47773,002084,11
EI

 
 
 








224,42
523,19
X
kN.m 
 
 
 
(2) Considerando apenas as deformações devidas ao momento fletor e à força normal. 
 
 
 Solução do Sistema de Equações: 
 
 
      XDQ   0
 
 
 







145,106
241,01
0
EI

 
  






71231,249053,0
49053,000804,11
EI

 
 
 








862,42
611,20
X
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Pórticos 
79 
 
(3) Considerando apenas as deformações devidas ao momento fletor. 
 
 
 Solução do Sistema de Equações: 
 
 
      XDQ   0
 
 
 







079,107
01
0
EI

 
  






6997,25,0
5,011
EI

 
 
 








711,43
856,21
X
 
 
 
 
Comparação dos Resultados 
 
 
Resumo dos Resultados 
 Flexão + Axial 
+ Cisalhamento 
Flexão + Axial Flexão 
X1 19,523 20,611 21,856 kNm 
X2 -42,224 -42,862 -43,711 kNm 
 
 
 Erros considerando apenas deformações devidas à flexão: 
 
%95,11100
523,19
523,19856,21
%1 

X
 
 
%66,3100
224,42
224,42711,43
%2 


X
 
 
 
 Erros considerando deformações devidas à flexão e à força axial: 
 
%57,5100
523,19
523,19611,20
%1 

X
 
 
%51,1100
224,42
224,42862,42
%2 


X
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças 
 
Exemplos de Aplicação em Grelhas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Grelhas 
81 
EXEMPLO1: Calcule os esforços na grelha abaixo usando o Método das Forças. 
Despreze as deformações devidas à força cortante. 
 
 
 
 
Figura 1 – Grelha 
 
 
 
Estrutura Isostática Fundamental 
 
X1
X1
X3
X3
X1 = momento fletor em C.
X2 = momento torçor em C.
X3 = cortante em C.{
 
Figura 2 – Estrutura Isostática Fundamental 
 
 
Caso (0) 
10
10
30
30
A B
DE
 
Figura 3 – Caso (0) 
Método das Forças Grelhas 
 
82 
Casos (1), (2) e (3) 
 
1
31
11
1
Caso (1)
X1 = 1
 
 
12
Caso (2)
X2 = 1
32
 
 
 
13
1
Caso (3)
X3 = 1
33
1
 
 
 
Figura 4 – Casos (1), (2) e (3) 
 
 
 
 
 
Método das Forças Grelhas 
83 
Momentos Fletores 
 
 
Momentos de Torção 
Caso (1) Caso (2) Caso (3)Caso (0)
t1 t2 t3T0
B C
A B
C D C D
E D E D E D
t = 0
t = 0
T = 0
T= 0
3
1
1
B C
T = 0
B C
t = 0
B
C
t = 0
A B
90
A B
3
A B
1
C D
t = 0
C D
t = 0
E D
1
Caso (1) Caso (2) Caso (3)Caso (0)
m1 m2 m3M0
B C
B C
B C B C B C
A B A B A B A B
C D C D C D C D
E D E D E D E D
m = 0
m = 0
m = 0
m = 0
M = 0
M = 0
1
1
1
1
3
3
3
3
180
90
22,5
+
Método das Forças Grelhas 
 
84 
Cálculo dos Deslocamentos 
 
 
dx
GJ
tT
dx
EI
mM
 
1010
10
..
 
 
         0,3.0,19010,3.0,15,22
3
2
0,3.0,190
2
11
10 







GJEI
 
 
EIEIGJEI
4059027090
10 
 
 
EI
495
10 
 
 
dx
GJ
tT
dx
EI
mM
 
2020
20
..
 
 
   00,3.0,1180.
2
11
20 







EI

 
 
EI
270
20 
 
 
dx
GJ
tT
dx
EI
mM
 
3030
30
..
 
         
   0,3.0,3901
0,30,3180.
3
1
0,3.0,35,22.
3
1
0,3.900,3.
3
11
30








GJ
EI

 
 
EIEIGJEI
12155,7428105,742
30 
 
 
EI
5,1957
30 
 
 
 
Cálculo dos coeficientes de Flexibilidade 
 
dx
GJ
t
dx
EI
m
 
2
1
2
1
11
 
 
                 0,30,10,30,110,30,10,30,11 222211 
GJEI
 
 
Método das Forças Grelhas 
85 
EIEIGJEI
9666
11 
 
EI
15
11 
 
 
dx
GJ
tt
dx
EI
mm
 
2121
1221
..
 
0001221
 
 
dx
GJ
tt
dx
EI
mm
 
1313
1331
..
 
 
            0,3.0,30,10,3.0,30,110,3.0,30,1
2
1
0,3.0,30,1
2
11
1331 







GJEI
 
0
00
1331 
GJEI

 
 
dx
GJ
t
dx
EI
m
 
2
2
2
2
22
 
 
                 0,30,10,30,110,30,10,30,11 222222 
GJEI
 
 
EIEIGJEI
9666
22 
 
 
 
EI
15
22 
 
 
dx
GJ
tt
dx
EI
mm
 
3232
3223
..
 
 
GJEI
09
3223  
 
EI
9
2332  
 
 
dx
GJ
t
dx
EI
m
 
2
3
2
3
33
 
 
               
        0,30,30,30,31
0,30,3
3
1
0,30,3
3
1
0,30,3
3
1
0,30,3
3
11
22
2222
33








GJ
EI

 
 
EIEIGJEI
81365436
33 
 
EI
117
33 
 
 
 
 
 
Método das Forças Grelhas 
 
86 
Fase Final 
 
 









 

5,1957
270
495
1
0
EI

  











11790
9150
0015
1
EI
 
 
 
Condições de Compatibilidade:  











0
0
0
QD
 
 
Resolvendo o sistema de equações: 
 
DQ = δ0 + δ.X = 0 
 
δ0 + δ.X = DQ 
 
Obtém –se: 
 
X1 = 33,0 kN.m 
X2 = -8,35 kN.m 
X3 = -16,09 kN.m 
 
Método das Forças Grelhas 
 
87 
EXEMPLO2: Calcular as reações de apoio da grelha da figura abaixo através do 
método das forças. 
 
Dados: E = constante. 
 G = E / 1,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 – Grelha vista superior (Planta) 
 
Propriedades Geométricas das Seções 
3bhJ  
 







4
4
12
121,0
3
1
h
b
h
b
 
- Barras AB e CD: 
140833,0
12
1
121,0
3
1






 hb
 
43 140833,0140833,0 hJbhJ ABAB 
 
1212
43 hhb
I AB 


 
ABAB
AB
AB IJ
h
h
I
J
69,169,1
12
140833,0
4
4 
 
 
- Barra BC: 
 
 
22888,0
30,012
15,0
1
30,0
15,0
21,0
3
1
4
4









 
  43 10317412,215,030,022888,0 BCJ
 
Método das Forças Grelhas 
 
88 
ABBC
AB
BC IJ
I
J
 34332,034332,0
 
 
212
30,015,0
3
AB
BC
I
I 


 
 
Estrutura Isostática Fundamental 
 
Devido à simetria do problema, tem-se que a força cortante e o momento torçor são nulos na 
seção de simetria. Apenas o momento fletor é diferente de zero nesta seção. Portanto, 
lançando mão desta característica, a estrutura isostática fundamental pode ser tomada como a 
apresentada na figura abaixo. 
 
 
 
Figura 6 – Estrutura isostática fundamental – E.I.F. 
 
Caso (0) 
 
Figura 7 – Caso (0) 
Método das Forças Grelhas 
 
89 
Por equilíbrio tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8 – Equilíbrio das barras e nós 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 - Decomposição dos momentos na barra AB 
 
Diagramas 
Força cortante Momento torçor Momento fletor 
 
 
 
Método das Forças Grelhas 
 
90 
Caso (1) 
 
 
Figura 10 – Caso (1) 
 
 
 
 
 
Figura 11 - Equilíbrio e Decomposição dos Momentos na Barra AB 
 
Diagramas 
Força cortante Momento torçor Momento fletor 
 
 
 
Método das Forças Grelhas 
 
91 
Cálculo dos Deslocamentos 
 
  dxGJ
tT
dx
EI
mM 1010
10
 
     
 58,0640
1
39001
3
11
548044806,0
2
11
10














AB
BEAB
GJ
EIEI

 
ABABABABABBEAB EIEIEIEIGJEIEI
189,51211
69,1
25605,19002744025609007440
10 




 
 
Cálculo dos coeficientes de flexibilidade 
 
       58,0131156,01 22211 
ABBEAB GJEIEI

 
ABABABABABBEAB EIEIEIEIGJEIEI
640,10
69,1
2,35,1328,12,338,1
11 




 
 
Fase Final 
ABEI
189,51211
10 
 
ABEI
640,10
11 
 
111101 XDQ  
 
 
 
kNm
EI
EI
X
AB
AB 973,0811
189,51211
640,10
1 






 
 
Cálculo das reações de apoio 
XMMM AYQAYAY  0
 
   973.081113200 AYM
 
mkNM AY  0,1182
 
XMMM AXQAXAX  0
 
   973.081103200 AXM
 
mkNM AY  2003
 
XVVV AQAA  0
 
   973.08110800 AV
 
kNVA 800
 
Por simetria: 
mkNM
mkNM
kNV
DY
DX
D



0,1182
2003
800
 
Método das Forças Grelhas 
 
92 
EXEMPLO3: Calcular a grelha abaixo considerando o carregamento indicado, sendo a 
altura das barras h = 0,60 m. Considerar como incógnitas redundantes os momentos 
reativos no apoio C. 
 
 
Figura 12 – Grelha 
 
 
Estrutura Isostática Fundamental 
 
 
 
Figura 13 – Estrutura Isostática Fundamental 
 
 
Caso (0) 
 
 
Figura 14 – Caso (0) 
5,1
GJ
EI
2323 g
Método das Forças Grelhas 
 
93 
0,2
8
44
3 

RLA
 
6,903626)48()62(10 11  RLRL AA
 
4,1226,9)6248(2 RLA
 
 
Diagramas do Caso (0) 
 
Barra AB: 
- Momento torçor: nulo. 
- Momento fletor: 
 
Barra DC: 
- Momento torçor: nulo. 
- Momento fletor: 
 
Figura 15 – Diagramas de momentos fletor e torçor – Caso (0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças Grelhas 
 
94 
Caso (1) 
)0;1( 21  XX
 
 
Figura 16 – Caso (1) 
Diagramas do Caso (1) 
 
Barra AB: 
- Momento torçor: nulo. 
- Momento fletor: 
 
Barra CD: 
- Momento fletor: nulo. 
- Momento torçor: 
 
 
Figura 17 – Diagramas de momentos fletor e torçor – Caso (1) 
 
 
 
 
 
Método das Forças Grelhas 
 
95 
Caso (2) 
)1;0( 21  XX
 
 
Figura 18 – Caso (2) 
 
 
Diagramas da Fase 2 
 
Barra AB: 
- Momento torçor: nulo. 
- Momento fletor: 
 
Barra DC: 
- Momento torçor: nulo. 
- Momento fletor: 
 
 
Figura 19 – Diagramas de momentos fletor e torçor – Caso (2) 
 
 
 
 
Método das Forças