EES024 Aula02 CosideracoesSobreEquibrioCompatibilidade

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EES024 - Análise Estrutural II
Aula 02: Considerações sobre equilíbrio e compatibilidade e
idealização do comportamento de barras
Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)
Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs)
2o. semestre 2017
Considerações sobre equilíbrio e compatibilidade
Na análise estrutural, procura-se determinar os esforços externos (reações
de apoio) e internos de uma estrutura. Estes esforços internos, quando
escritos em forma de tensões, podem ser comparados às resistências do
materiais utilizados.
Os métodos de análise estrutural são baseados em:
• Equilíbrio;
• Compatibilidade entre deslocamentos e deformações;
• Hipóteses sobre o comportamento dos materiais que compõem a
estrutura.
Como já discutido, para a análise de estruturas isostáticas bastam as
equações de equilíbrio.
Entretanto, os métodos de análise das estruturas hiperestáticas requerem as
demais considerações, já que o número de incógnitas supera a quantidade
de equações disponíveis para o modelo matemático adotado.
Uma discussão sobre estas questões é apresentada a seguir.
Considerações sobre equilíbrio e compatibilidade
Equilíbrio
Considere a estrutura abaixo:
Como todas as barras são
articuladas, ocorrem apenas
esforços axiais. Assim,
GIE =
[
Nreacoes +Nbarras
]− [2Nnos]
=
[
6 + 3
]− [(2)(4)] = 1
∴ Estrutura hiperestática.
Do equilíbrio de forças na direção (global) X, tem-se que os esforços
internos nas barras inclinadas são iguais, conforme já indicado em suas
reações de apoio.
A outra equação de equilíbrio seria:∑
Fy = 0 ⇒ N1 + 2N2 cosθ = P (1)
Como há duas incógnitas (N1 e N2), são necessárias as demais
considerações para a obtenção dos esforços internos na estrutura.
Considerações sobre equilíbrio e compatibilidade
Condições de compatibilidade
As condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações
são condições geométricas que devem ser satisfeitas para garantir que a
estrutura, ao se deformar, permaneça contínua (sem vazios ou sobreposição
de pontos) e compatível com seus vínculos externos.
Podem, portanto, ser divididas em dois grupos:
• Condições de compatibilidade externas:
* Referente aos vínculos externos.
• Condições de compatibilidade internas:
* Garante a continuidade interna dos elementos e nas fronteiras entre
elementos.
No exemplo anterior, a compatibilidade externa é atendida, considerando-se
uma configuração deformada com deslocamentos nulos nos nós superiores.
Já a compatibilidade interna exige que as extremidades das três barras
ligadas ao nó inferior apresentem os mesmos deslocamentos.
Considerações sobre equilíbrio e compatibilidade
Condições de compatibilidade
Devido à simetria do problema só há deslocamento vertical do nó inferior
(D1) e, assumindo pequenos deslocamentos, pode-se considerar inalterado
o ângulo θ após a deformação.
d1 → alongamento da barra vertical, d2 → alongamento das barras inclinadas.
⇒ d1 = D1, d2 = D1 cosθ
∴ d2 = d1 cosθ (2)
Esta equação de compatibilidade introduz duas novas incógnitas. Daí a
necessidade das considerações quanto ao comportamento do material.
Considerações sobre equilíbrio e compatibilidade
Leis constitutivas dos materiais
O comportamento do material é caracterizado por leis constitutivas, que
correspondem às relações entre tensões e deformações.
Considerando o material homogêneo, isotrópico, linear e elástico, tem-se o
seu comportamento representado pela lei de Hooke.
No caso das barras do exemplo em análise, a tensão axial, σx, se relaciona
à deformação axial, �x, através do módulo de elasticidade do material, i.e.,
σx = E�x (3)
Desta forma, pode-se escrever:
N1
A
= E
d1
l
(barra vertical) (4)
N2
A
= E
d2 cosθ
l
(barras inclin.) (5)
Considerações sobre equilíbrio e compatibilidade
Leis constitutivas dos materiais
Observando que não há introdução de novas incógnitas, as Eqs. (1), (2), (4)
e (5), compõem um sistema de 4 equações e 4 incógnitas (N1, N2, d1 e d2).
No caso do material sofrer efeitos de cisalhamento, tem-se que a lei de
Hooke é dada por:
τ = Gγ (6)
onde:
G→ módulo de elasticidade transversal;
τ → tensão de cisalhamento; γ → deformação de cisalhamento.
Métodos básicos da análise estrutural
No exemplo simples abordado até aqui, a imposição das equações de
equilíbrio, compatibilidade e constitutivas, forneceram um sistema de quatro
equações e quatro incógnitas.
Para estruturas mais complexas, fica clara a necessidade da utilização de
métodos sistemáticos de cálculo.
Desta forma, vamos agora introduzir dois desses métodos:
• Método das forças (ou da flexibilidade);
• Método dos deslocamentos (ou da rigidez).
A discussão será suportada pelo mesmo exemplo estaticamente
indeterminado apresentado anteriormente.
Métodos básicos da análise estrutural
Método das forças
O método das forças tem como ideia básica determinar, dentro do conjunto
de soluções em forças que satisfazem as condições de equilíbrio, aquela que
faz com que as condições de compatibilidade também sejam satisfeitas.
Incógnitas: forças e momentos.
Sequência de aplicação das condições básicas:
* Equilíbrio;
* Leis constitutivas;
* Compatibilidade.
No exemplo em estudo:
(a) Equilíbrio:
Na Eq. (1), que contém 2 incógnitas, isola-se uma delas, por exemplo, N2:
N2 =
P −N1
2 cosθ
(7)
N1, neste caso, seria chamada de incógnita principal.
Métodos básicos da análise estrutural
Método das forças
(b) Equações constitutivas:
Utilizam-se as equações constituivas - Eqs. (4) e (5) - para escrever os
alongamentos d1 e d2 em termos da incógnita principal:
d1 =
N1l
EA
, d2 =
N2l
EA cosθ
=
l(P −N1)
2EA cos2θ
(8)
sendo que nesta última expressão, a Eq. (7) foi utilizada.
(c) Compatibilidade:
As Eqs. (8) são então substituídas na Eq. (2) para o cálculo da incógnita
principal:
d2 = d1 cosθ ⇒ l(P −N1)
2EA cos2θ
=
N1l
EA
cosθ ⇒ P −N1 = 2N1 cos3θ
∴ N1 =
P
1 + 2 cos3θ
(9)
e, da Eq. (7),
N2 =
P cos2θ
1 + 2 cos3θ
(10)
Métodos básicos da análise estrutural
Método das forças
Na prática, porém, a metodologia utilizada pelo método das forças para
analisar uma estrutura hiperestática é:
• Somar uma série de soluções básicas que satisfazem as condições de
equilíbrio mas não satisfazem as condições de compatibilidade da
estrutura original, para, na superposição reestabelecer as condições de
compatibilidade.
A estrutura utilizada para a superposição de soluções básicas é, em geral,
uma estrutura isostática auxiliar, obtida a partir da estrutura original pela
eliminação de vínculos.
As forças ou momentos associados aos vínculos liberados são as incógnitas
do problema e recebem a nomenclatura de hiperestáticos.
No exemplo que estamos abordando, há apenas uma incógnita extra, já que
GIE = 1. Portanto, deve-se eliminar apenas um vínculo.
Métodos básicos da análise estrutural
Método das forças
Eliminando, por exemplo, o vínculo da barra vertical, tem-se como
hiperestático, X1, a força de reação vertical N1:
As soluções básicas, casos (0) e (1), isolam os efeitos, respectivamente, da
carga externa e do hiperestático, X1.
Se o GIE da estrutura original fosse de ordem maior, novos casos, cada um
isolando o efeito de um hipersestático, deveriam ser adicionados.
Deve-se observar que a compatibilidade dos deslocamentos é violada com a
liberação do vínculo, porém as condições de equilíbrio são mantidas nos
casos básicos.
Métodos básicos da análise estrutural
Método das forças
A questão é: qual o valor do hiperestático, X1, para recuperar a condição de
deslocamento nulo no nó central superior?
δ10 → termo de carga: deslocamento vertical no ponto do vínculo eliminado
no caso (0);
δ11 → coeficiente de flexibilidade: deslocamento vertical no ponto do vínculo
eliminadoprovocado por um valor unitário do hiperestático aplicado
isoladamente.
⇒ δ10 + δ11X1 = 0 (11)
Métodos básicos da análise estrutural
Método das forças
Assumindo deslocamento vertical positivo no sentido de X1 (para cima) e
fazendo uma análise de equilíbrio, seguida pela aplicação das leis
constituivas (os dois primeiros passos formais do método das forças),
obtêm-se, para os casos básicos:
δ10 = − Pl
2EA cos3θ
, δ11 =
l
EA
+
l
2EA cos3θ
(12)
Substituindo estes resultados na Eq. (11):[
l
EA
+
l
2EA cos3θ
]
X1 =
Pl
2EA cos3θ
⇒ X1 = P
1 + 2 cos3θ
que corresponde ao resultado da Eq. (9).
Métodos básicos da análise estrutural
Método dos deslocamentos
O método dos deslocamentos tem como ideia básica determinar, dentro
do conjunto de soluções em deslocamentos que satisfazem as condições de
compatibilidade, aquela que faz com que as condições de equilíbrio também
sejam satisfeitas.
Incógnitas: deslocamentos e rotações.
Sequência de aplicação das condições básicas:
* Compatibilidade;
* Leis constitutivas;
* Equilíbrio.
No exemplo em estudo:
(a) Compatibilidade:
Tomando como incógnita principal o deslocamento vertical do nó inferior, D1,
que corresponde ao alongamento da barra vertical, d1, a Eq. (2) já está
escrita na forma adequada, i.e.,
d2 = d1 cosθ
Métodos básicos da análise estrutural
Método dos deslocamentos
(b) Equações constitutivas:
Utilizam-se as equações constituivas - Eqs. (4) e (5) - para escrever os
esforços N1 e N2 em termos da incógnita principal:
N1 =
EA
l
d1, N2 =
EA
l
d2 cosθ =
EA
l
d1 cos
2θ (13)
(c) Equilíbrio:
As Eqs. (13) são então substituídas na Eq. (1) para o cálculo da incógnita
principal:
N1 + 2N2 cosθ = P ⇒ EA
l
d1 + 2
EA
l
d1 cos
3θ = P
∴ d1 =
[
l
EA
][
P
1 + 2 cos3θ
]
(14)
e, da Eq. (2),
d2 =
[
l
EA
][
P cosθ
1 + 2 cos3θ
]
(15)
A substituição das Eqs. (14) e (15) nas Eqs. (4) e (5) conduz aos resultados
esperados para N1 e N2.
Métodos básicos da análise estrutural
Método dos deslocamentos
Na prática, porém, a metodologia utilizada pelo método dos deslocamentos
para analisar uma estrutura hiperestática é:
• Somar uma série de soluções básicas que satisfazem as condições de
compatibilidade mas não satisfazem as condições de equilíbrio da
estrutura original, para, na superposição reestabelecer as condições de
equilíbrio.
A estrutura utilizada para a superposição de soluções básicas é, em geral,
uma estrutura auxiliar cinematicamente determinada (com configuração
deformada conhecida), obtida a partir da estrutura original pela adição de
vínculos.
Os deslocamentos ou rotações associados aos vínculos restringidos,
denominados deslocabilidades, são as incógnitas do problema.
No exemplo que estamos abordando, há apenas uma incógnita extra, já que
GIE = 1, e podemos escolher D1 como deslocabilidade, adicionando uma
restrição ao deslocamento vertical do nó inferior.
Métodos básicos da análise estrutural
Método dos deslocamentos
As soluções básicas, casos (0) e (1), isolam os efeitos, respectivamente, da
carga externa e da deslocabilidade, D1.
Deve-se observar que o equilíbrio da estrutura original é violado já que surge
uma reação espúria no vínculo adicionado. Por outro lado, as estruturas
hipergeométricas (ou geometricamente determinadas) dos casos básicos
satisfazem todas as suas equações de compatibilidade.
Métodos básicos da análise estrutural
Método das forças
A questão é: qual o valor da deslocabilidade, D1 para recompor o equilíbrio
da estrutura original?
β10 → termo de carga: força (reação) vertical no apoio fictício do caso (0);
K11 → coeficiente de rigidez: força vertical no apoio fictício necessária para
impor uma configuração deformada tal que a deslocabilidade D1 assuma um
valor unitário.
Assim, para anular a reação espúria na superposição:
β10 +K11D1 = 0 (16)
Métodos básicos da análise estrutural
Método dos deslocamentos
Assumindo força vertical positiva no sentido de D1 (para baixo) obtêm-se:
β10 = −P, K11 = EA
l
+
2EA cos3θ
l
(17)
Substituindo estes resultados na Eq. (16):[
EA
l
+
2EA cos3θ
l
]
D1 = P ⇒ D1 =
[
l
EA
][
P
1 + 2 cos3θ
]
que corresponde ao resultado da Eq. (14).
Princípio da superposição de efeitos
Como pôde ser visto, os métodos básicos para análise de estruturas
hiperestáticas fazem uso do princípio da superposição de efeitos.
Este princípio estabelece que a superposição (soma) dos campos de
deslocamentos provocados por vários sistemas de forças atuando
isoladamente é igual ao campo de deslocamentos provocado pelos mesmos
sistemas de forças atuando simultaneamente.
Princípio da superposição de efeitos
O princípio da superposição de efeitos, entretanto, é aplicável somente
quando:
• Os materiais apresentam comportamento elástico e linear, i.e., obedecem
à lei de Hooke;
• A estrutura é calculada em regime de pequenos deslocamentos.
Pode-se considerar o regime de pequenos deslocamentos quando as
equações de equilíbrio escritas na geometria não deformada da estrutura
fornecem resultados praticamente iguais aos obtidos pelas mesmas
equações de equilíbrio escritas na geometria deformada.
Na prática, adota-se tal suposição quando os deslocamentos têm valores
bem inferiores aos tamanhos típicos dos elementos estruturais, o que não é
raro nas estruturas convencionais da engenharia civil.
Uma análise estrutural que considera pequenos deslocamentos é
denominada análise de primeira ordem.
Uma análise que leva em conta os deslocamentos da estrutura e, portanto,
formula as condições de equilíbrio na configuração deformada é denominada
análise de segunda ordem.
Análise de segunda ordem
Para ilustrar uma análise de segunda ordem, vamos abordar o seguinte
sistema isostático, composto por duas barras articuladas:
Considerando que os deslocamentos não sejam pequenos, as barras
formam um ângulo θ com a vertical na configuração indeformada e um
ângulo α, na configuração deformada. O equilíbrio deve, então, ser
verificado nesta última situação, i.e.,
P = 2N cosα = 2N
[
l +D√
(l tgθ)2 + (l +D)2
]
(18)
Análise de segunda ordem
Sendo d o alongamento das barras,
pode-se escrever:
d =
√
(l tgθ)2 + (l +D)2 − (l/ cosθ)
Assumindo, agora, um material com
comportamento elástico linear:
N =
EA
(l/ cosθ)
d =
EA
(l/ cosθ)
[√
(l tgθ)2 + (l +D)2 − (l/ cosθ)] (19)
Substituindo a Eq. (19) na (18):
P = 2
EA
(l/ cosθ)
[√
(l tgθ)2 + (l +D)2 − (l/ cosθ)][ l +D√
(l tgθ)2 + (l +D)2
]
⇒ P = 2EA(l +D)
[
cosθ
l
− 1√
(l tgθ)2 + (l +D)2
]
(20)
Análise de segunda ordem
No caso de pequenos deslocamentos: α = θ e d = D cosθ.
Plinear =
2EA cos3θ
l
D (21)
Resposta estrutural para θ = 60o:
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2
0
0.3
0.6
0.9
1.2
1.5
D/l
P
/
E
A
Efeitos de 2a. ordem
Pequenos deslocamentos
Nota-se uma resposta não linear mesmo para material linear elástico (não
linearidade geométrica).
Análise de segunda ordem
Avaliando a derivada da Eq. (20) em relação à D num ponto próximo à
origem, i.e., D ≈ 0:
∂P
∂D
∣∣∣∣
D≈0
=
2EA cos3θ
l
que corresponde à inclinação do caso linear (Eq. 21), como sugere a figura.
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2
0
0.3
0.6
0.9
1.2
1.5
D/l
P
/
E
A
Efeitos de 2a. ordem
Pequenos deslocamentos
Isto significa que a resposta linear é
uma aproximação da resposta não
linear para pqnos. deslocamentos.
Nas análises de estruturas onde os
efeitos de segunda ordem são
relevantes, como em estruturas
reticuladas de aço, as normas
técnicas permitem uma análise
linear, com a introdução de fatores
de correção.
Estruturas hiperestáticas x isostáticas
• Porque utilizar estruturas hiperestáticas?
* Melhor distribuição de esforços na estrutura em relação às isostáticas,
e.g.,
Na configuração hiperestática, apesar das colunas ficarem carregadas
à flexão, o momento fletor máximo na viga é inferior ao caso isostático.
Estruturas hiperestáticas x isostáticas
* O projetista pode aumentar ou reduzir esforços em determinadas regiões
da estrutura através da variação dos parâmetros de rigidez dos diferentes
elementos:
Estruturas hiperestáticas x isostáticas
* As estruturas hiperestáticas oferecem uma segurança adicional caso uma
parte da estrutura ou uma restrição sejam comprometidas por um motivo
qualquer:
Na treliça, se houver flambagem da diagonal comprimida, a estrutura
permanece estável.
Na viga, se houver plastificação na extremidade engastada, ela se
comportaria como uma rótula (viga biapoiada).
* Contrapontos: estruturas hiperestáticas recebem esforços devido aos
recalques de apoio e são menos adaptáveis aos erros de fabricação na
ocasião da montagem.
Estruturas hiperestáticas x isostáticas
Idealização do comportamento de barras
Considerando um regime elástico e linear com pequenos deslocamentos,
faz-se agora uma revisão das teorias elementares sobre o comportamento
de estruturas em barra, onde são definidas as seguintes componentes de
deslocamentos:
u(x)→ deslocamento axial;
v(x)→ deslocamento transversal;
θ(x)→ rotação da seção transversal;
φ(x)→ rotação em torno do eixo (para grelhas).
Idealização do comportamento de barras
Cinemática e Lei de Hooke
• Deformação axial:
�ax(x) =
du(x)
dx
(22) σax(x) = E�
a
x(x) = E
du(x)
dx
(23)
• Flexão:
θ(x) =
dv(x)
dx
(24)
�fx(x, y) = −y dθ(x)
dx
= −y d
2v(x)
dx2
(25)
σfx(x, y) = E�
f
x(x, y) = −yE dθ(x)
dx
= −yE d
2v(x)
dx2
(26)
Idealização do comportamento de barras
Cinemática e Lei de Hooke
• Distorção por efeito cortante:
O efeito cortante provoca um empenamento não uniforme da seção
transversal que pode ser considerado de forma aproximada por uma
distorção média:
γc(x) =
dh(x)
dx
(27) τmy (x) = Gγ
c(x) = G
dh(x)
dx
(28)
τmy → tensão de cisalhamento média na seção transversal.
Nas teorias de barras esbeltas, as deformações por cisalhamento são
frequentemente desprezadas.
Idealização do comportamento de barras
Cinemática e Lei de Hooke
• Torção:
Barras axissimétricas: (γt)(dx) = (r)(dφ)
⇒ γt(x) = r dφ(x)
dx
(29)
τ t(x) = Gγt(x) = Gr
dφ(x)
dx
(30)
Nas seções não circulares, ocorre empenamento da seção transversal
quando solicitada à torção. Estes efeitos localizados também são tratados
de forma aproximada, como será destacado adiante.
Idealização do comportamento de barras
Esforços internos
Nas barras, as equações de equilíbrio são usualmente escritas em termos
dos esforços internos, obtidos da integração das componentes de tensão
nas seções transversais.
• Esforço axial e momento fletor:
N(x) =
∫
A
σax(x)dydz +
∫
A
σfx(x, y)dydz︸ ︷︷ ︸
=0
= Aσax(x) = EA
du(x)
dx
(31)
M(x) =
∫
A
yσax(x)dydz︸ ︷︷ ︸
=0
+
∫
A
[−y][σfx(x, y)]dydz
= E
d2v(x)
dx
∫
A
y2dydz = EIz
d2v(x)
dx
(32)
Idealização do comportamento de barras
Esforços internos
Comparando as Eqs. (26) e (32), pode-se escrever:
σfx(x, y) = −M(x)y
Iz
Assim, a tensão normal num determinado ponto da seção transversal pode
ser obtida a partir do conhecimento de M(x) e N(x), i.e.,
σx(x, y) = σ
a
x(x) + σ
f
x(x, y) =
N(x)
A
− M(x)y
Iz
(33)
Idealização do comportamento de barras
Esforços internos
• Força cortante:
O correto seria:
Q(x) =
∫
A
τ cy (x, y)dydz
No entanto, levando em conta a aproximação da distorção por efeito
cortante, destacada nas Eqs. (27) e (28), a força cortante, Q(x), fica
aproximada pelo produto entre a tensão de cisalhamento média e a área
efetiva de cisalhamento, i.e.,
Q(x) = τmy (x)
[
A
χ
]
= G
A
χ
dh(x)
dx
(34)
χ→ fator de forma que depende da geometria da seção transversal.
Seções retangulares: χ ≈ 1, 2 Seções circulares: χ ≈ 10/9
Idealização do comportamento de barras
Esforços internos
• Torque:
Seções circulares (maciças ou tubulares):
T (x) =
∫
A
[τ t(x)][r]dydz = G
dφ(x)
dx
∫
A
r2dA︸ ︷︷ ︸
=Jp
= GJp
dφ(x)
dx
(35)
Jp → momento polar de inércia para seções com simetria radial.
Nas seções sem simetria radial, faz-se uma aproximação que resulta
numa propriedade da seção transversal equivalente ao momento polar de
inércia, denominada momento de inércia à torção, Jt. Assim,
T (x) = GJt
dφ(x)
dx
(36)
Idealização do comportamento de barras
Equações de equilíbrio
∑
Fx = 0 ⇒ (N + dN)−N + p(x)dx = 0 ∴ dN(x)
dx
= −p(x) (37)
∑
Fy = 0 ⇒ Q− (Q+ dQ) + q(x)dx = 0 ∴ dQ(x)
dx
= q(x) (38)
∑
Mz,o = 0 ⇒ (M + dM)−M − (Q+ dQ︸︷︷︸
≈0
)dx+ [q(x)][dx]
[
dx
2
]
︸ ︷︷ ︸
≈0
= 0
∴ dM(x)
dx
= Q(x) (39)
Combinando as Eqs. (38) e (39):
d2M(x)
dx2
= q(x) (40)
Idealização do comportamento de barras
Equações diferenciais da configuração deformada
• Deslocamento axial:
Substituindo a Eq. (31) na (37):
d
dx
[
EA(x)
du(x)
dx
]
= −p(x) (41)
Para barras com seção constante:
d2u(x)
dx2
= −p(x)
EA
(42)
• Deslocamento transversal:
Substituindo a Eq. (32) na (40):
d2
dx2
[
EIz(x)
d2v(x)
dx2
]
= q(x) (43)
Para barras com seção constante:
d4v(x)
dx4
=
q(x)
EIz
(44)
Leitura recomendada
• Livro Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos, Luiz Fernando
Martha, 2a. ed., Elsevier Editora Ltda., Rio de Janeiro, 2017:
Capítulo 4
Capítulo 5 (seções 5.1 a 5.7)
	Considerações sobre equilíbrio e compatibilidade
	Equilíbrio
	Condições de compatibilidade
	Leis constitutivas dos materiais
	Métodos básicos da análise estrutural
	Método das forças
	Método dos deslocamentos
	Princípio da superposição de efeitos
	Análise de segunda ordem
	Estruturas hiperestáticas x isostáticas
	Idealização do comportamento de barras
	Cinemática e Lei de Hooke
	Esforços internos
	Equações de equilíbrio
	Equações diferenciais da configuração deformada
	Leitura recomendada