EES024 Aula03 MetodoDasForcas

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EES024 - Análise Estrutural II
Aula 03: Método das forças
Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)
Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs)
2o. semestre 2017
Metodologia de análise
Vamos admitir o seguinte pórtico plano:
Todas as barras com:
A = 5 x 10−3 m2
I = 5 x 10−4 m4
E = 2 x 108 kN/m2
GIE = 5− 3 = 2
Portanto, existem duas incógnitas
excedentes em relação às equações
de equilíbrio disponíveis.
Metodologia de análise
Deve-se, portanto, definir uma estrutura isostática auxiliar, denominada
Sistema Principal (SP), a partir da eliminação de 2 vínculos, por exemplo:
Como já discutido, o SP, por ser isostático, pode ser analisado levando-se
em conta apenas as equações de equilíbrio.
Entretanto, fica claro que a aplicação dos esforços externos ao Sistema
Principal provocaria deslocamentos e rotações "proibidos" na estrutura
original, ou seja, suas condições de compatibilidade seriam violadas.
Metodologia de análise
A ideia então é encontrar forças e momentos fletores, Xi, denominados
hiperestáticos que, ao serem aplicados ao SP, restaurem, na superposição
(soma) dos efeitos, as condições de compatibilidade originais.
Metodologia de análise
O efeito de cada hiperestático é, no entanto, avaliado individualmente,
considerando a atuação de cargas unitárias:
Metodologia de análise
Caso (0): efeito das cargas externas
Caso (0): quais são os deslocamentos e rotações, associados aos vínculos
eliminados, provocados pelas cargas externas?
δi0 → termos de carga: deslocamento ou rotação provocado pelas cargas
externas na direção do hiperestático Xi
Os termos de carga podem ser determinados pelo método da carga unitária,
resultando em:
δ10 = −13, 64 x 10−3 δ20 = 115, 2 x 10−3 m
O sinal negativo para δ10 indica sentido oposto ao adotado para X1, como
indicado na segunda figura.
Metodologia de análise
Casos (j): efeito do hiperestático Xj
δij → coeficientes de flexibilidade: deslocamento ou rotação na direção do
hiperestático Xi, provocado por Xj = 1.
δij também podem ser determinados pelo método da carga unitária.
Caso (1): quais são os deslocamentos e rotações, associados aos vínculos
eliminados, provocados por X1 unitário?
δ11 = +0, 1152 x 10−3 (kN ·m)−1 δ21 = −0, 6997 x 10−3 m/(kN ·m)
O sinal negativo para δ21 indica sentido oposto ao adotado para X2, como
indicado na segunda figura.
Metodologia de análise
Casos (j): efeito do hiperestático Xj
Caso (2): quais são os deslocamentos e rotações, associados aos vínculos
eliminados, provocados por X2 unitário?
δ12 = −0, 6997 x 10−3 (kN)−1 δ22 = +6, 1180 x 10−3 m/kN
O sinal negativo para δ12 indica sentido oposto ao adotado para X1, como
indicado na segunda figura.
Convém ressaltar que os coeficientes de flexibilidade têm unidades de
deslocamento (e.g., m) ou rotação (rad⇒ adimensional) por unidade do
hiperestático que os provocam (e.g., kN ou kN·m).
Metodologia de análise
Restabelecimento das condições de compatibilidade
Para anular a rotação no nó inferior esquerdo (nó A):
δ10 + δ11X1 + δ12X2 = 0
Para anular o deslocamento horizontal no nó inferior direito (nó B):
δ20 + δ21X1 + δ22X2 = 0
Reescrevendo este sistema algébrico em notação matricial:{
δ10
δ20
}
+
[
δ11 δ12
δ21 δ22
]
︸ ︷︷ ︸
Matriz de flexibilidade
{
X1
X2
}
=
{
0
0
}
⇒ {δ0}+
[
δ
]{X} = {0}
Substituindo os valores e resolvendo:+0, 1152 x 10−3 (kN ·m)−1 −0, 6997 x 10−3 (kN)−1
−0, 6997 x 10−3 (kN)−1 +6, 1180 x 10−3 m/kN

X1
X2
 =

+13, 64 x 10−3
−115, 2 x 10−3 m

∴ X1 = +13, 39 kN ·m, X2 = −17, 29 kN
Metodologia de análise
Restabelecimento das condições de compatibilidade
Como foi obtido um valor positivo para X1, a direção convencionada para
este hiperestático no início da análise corresponde à direção da reação de
apoio no vínculo eliminado.
Para X2, ocorreu o inverso, ou seja, a direção da reação de apoio é oposta à
convencionada para X2.
Metodologia de análise
Esforços internos
Para completar a análise, falta obter os esforços internos nos elementos
estruturais e, eventualmente, a configuração deformada.
Isto pode ser feito de duas maneiras:
• Calcula-se a estrutura isostática (o SP) com o carregamento externo
atuando simultaneamente com os hiperestáticos - com os seus valores
finais - como se estes fossem parte do carregamento;
• Faz-se a superposição dos diagramas de esforços solicitantes (e dos
deslocamentos) obtidos nos casos básicos.
Na prática, há uma preferência por esta segunda opção, visto que o método
da carga unitária, utilizado na obtenção dos termos de carga e dos
coeficientes de flexibilidade, já exige o traçado dos referidos diagramas.
Por exemplo, para o pórtico analisado, os diagramas de momentos fletores
seriam dados por:
M =M0 +X1M1 +X2M2
sendo:
Mk → momento fletor obtido no caso (k), com k = 0,1,2.
Metodologia de análise
Generalização
O número de casos básicos que devem ser resolvidos, além do caso (0), é
igual ao grau de indeterminação estática da estrutura (g).
Além disso, as condições de apoio não precisam ser nulas, podendo haver
deslocamentos e rotações prescritos.
Assim, de forma genérica, a equação de flexibilidade seria:

δ10
...
δg0
+
δ11 · · · δ1g... . . . ...
δg1 · · · δgg


X1
...
Xg
 =

δp1
...
δpg
 ⇒ {δ0}+ [δ]{X} = {δp}
Resolvendo:[
δ
]{X} = {δp} − {δ0} ⇒ {X} = [δ]−1({δp} − {δ0})
A matiz de flexibilidade,
[
δ
]
, tem dimensões (g x g) e é simétrica: δij = δji
Deve-se observar ainda, que os coeficientes da matriz de flexibilidade não
dependem da carga externa. Portanto, para analisar a mesma estrutura sob
outras configurações de carregamentos, basta recalcular os termos de carga.
Metodologia de análise
Generalização
Após o cálculo do vetor de hiperestáticos, {X}, os esforços internos podem
ser obtidos por:
N = N0 +
g∑
k=1
NkXk, Q = Q0 +
g∑
k=1
QkXk, M =M0 +
g∑
k=1
MkXk
onde:
N0 → diagrama de esforços axiais para o caso (0);
Q0 → diagrama de esforços cortantes para o caso (0);
M0 → diagrama de momentos fletores para o caso (0);
Nk → diagrama de esforços axiais para o caso (k);
Qk → diagrama de esforços cortantes para o caso (k);
Mk → diagrama de momentos fletores para o caso (k).
No caso das grelhas, não há esforço axial, mas seriam incluídos diagramas
de torção.
Cálculo dos termos de carga e dos coef. de flexib.
Adotando o método da carga unitária, os termos de carga dos pórticos
planos são determinados por:
δi0 =
∫
estrut
NiN0
EA
dx+
∫
estrut
MiM0
EI
dx+
∫
estrut
χ
QiQ0
GA
dx
onde: χ→ fator de forma que determina a área efetiva de cisalhamento.
Em treliças, como há somente esforços normais e constantes ao longo das
barras, a integral é reescrita em termos de um somatório:
δi0 =
∫
estrut
NiN0
EA
dx =
no. barras∑
k=0
[
NiN0
EA
lk
]
onde: lk → comprimento da barra k.
Para grelhas, não há o termo da energia de deformação axial, mas há o
termo da energia de deformação por torção. Assim:
δi0 =
∫
estrut
MiM0
EI
dx+
∫
estrut
χ
QiQ0
GA
dx+
∫
estrut
TiT0
GJt
dx
Cálculo dos termos de carga e dos coef. de flexib.
Os coeficientes de flexibilidade também são obtidos pelo método da carga
unitária. Logo, o processo pode ser resumido por:
• Pórticos planos:
δij =
∫
estrut
NiNj
EA
dx+
∫
estrut
MiMj
EI
dx+
∫
estrut
χ
QiQj
GA
dx
• Treliças:
δij =
∫
estrut
NiNj
EA
dx =
no. barras∑
k=0
[
NiNj
EA
lk
]
• Grelhas:
δij =
∫
estrut
MiMj
EI
dx+
∫
estrut
χ
QiQj
GA
dx+
∫
estrut
TiTj
GJt
dx
Nota: Nas barras esbeltas (comprimento muito maior do que as dimensões da seção
transversal), o efeito da forçacortante possui uma contribuição bem inferior aos
demais esforços nos deslocamentos. Desta forma, tais termos eram frequentemente
desprezados nas análises mais antigas, quando os recursos computacionais não eram
tão acessíveis. Hoje em dia, porém, tal aproximação não se justifica, principalmente
na análise de grandes estruturas onde estes pequenos efeitos, quando somados,
podem conduzir a configurações deformadas instáveis.
Leitura recomendada
• Livro Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos, Luiz Fernando
Martha, 2a. ed., Elsevier Editora Ltda., Rio de Janeiro, 2017:
Capítulo 8 (seções 8.1 a 8.3)
Para revisão do método da carga unitária:
Capítulo 7 (seções 7.1 a 7.3)
	Metodologia de análise
	Caso (0): efeito das cargas externas
	Casos (j): efeito do hiperestático Xj
	Restabelecimento das condições de compatibilidade
	Esforços internos
	Generalização
	Determinação dos termos de carga e coeficientes de flexibilidade
	Leitura recomendada