unidade 2

Prévia do material em texto

Renato Nogueirol Lobo
Probabilidade e 
Estatística
03
Sumário
CAPÍTULO 2 – Como Elaborar Uma Análise Exploratória de Dados e Estimar os Parâmetros? .05
Introdução ....................................................................................................................05
2.1 Tipos de medidas estatísticas .....................................................................................05
2.1.1 Métodos de Engenharia para solução de Problemas ............................................05
2.1.2 Variáveis nominais ...........................................................................................07
2.1.3 Variáveis ordinais ............................................................................................07
2.1.4 Variáveis intervalores .......................................................................................07
2.1.5 Escalas de razão .............................................................................................07
2.1.6 Variáveis independentes e dependentes ..............................................................08
2.1.7 Variáveis qualitativas e quantitativas ..................................................................08
2.1.8 Variáveis discretas e contínua ...........................................................................09
2.2 Tipos de Tendências .................................................................................................09
2.2.1 Medidas de Tendência Central ..........................................................................09
2.2.2 Desvios Estatísticos ..........................................................................................16
2.3 Distribuição Amostral da Média e da Proporção ..........................................................23
2.3.1 Média da distribuição de amostragem ...............................................................23
2.4 Intervalos de Confiança para média e proporção .........................................................25
2.4.1 Precisão de uma estimativa ...............................................................................25
2.4.2 Limites de Confiança Bilateral ...........................................................................27
2.4.3 Limites de Confiança Unilateral .........................................................................27
Síntese ..........................................................................................................................28
Referências Bibliográficas ................................................................................................29
05
Capítulo 2 
Introdução
Você já parou para analisar como a quantidade de trens do metrô é determinada? Nos horários 
de pico, por exemplo, são necessários mais trens rodando, não é verdade? Saiba que, para que 
o trabalho seja eficiente e eficaz e os trens possam suprir a demanda, utilizamos alguns cálculos
estatísticos que nos dão essa garantia.
Neste capítulo, você irá conhecer a importância na determinação do tipo de variáveis para uma 
boa análise estatística, bem como distinguir as escalas nominal, ordinal, intervalor e de razão. 
Você irá conhecer também os principais cálculos da estatística utilizados em situações cotidianas. 
Vamos lá?
2.1 Tipos de medidas estatísticas
Saiba que antes de podermos conduzir uma análise estatística, precisamos conhecer e medir 
nossa variável dependente, pois a medição que será realizada irá depender do tipo de variável 
envolvida na análise. Lembre-se de que a engenharia é a ciência que resolve problemas pela 
aplicação eficiente de princípios científicos, aperfeiçoando um produto ou processojá existente 
ou criando algo novo.
Neste tópico, veremos os métodos da engenharia para resolver problemas. Acompanhe! 
2.1.1 Métodos de Engenharia para solução de Problemas
Os passos dos métodos para solução de problemas de engenharia, segundo Gosh e Sobek 
(2002), estão dispostos a seguir:
• desenvolver uma descrição clara e concisa do problema;
• identificar, pelo menos provisoriamente, os fatores importantes que afetam esse problema
ou que possam desempenhar um papel na sua solução;
• propor um modelo para o problema, usando conhecimentos científicos com uma
declaração sobre quaisquer limitações ou suposições do modelo;
• conduzir experiências apropriadas e coletar dados para teste ou validação do modelo ou
conclusões a serem feitas;
• limitar o modelo com base nos dados observados. Manipular o modelo para auxiliar no
desenvolvimento de uma solução para o problema;
Como Elaborar Uma Análise 
Exploratória de Dados e 
Estimar os Parâmetros?
06
Probabilidade e Estatística
• conduzir um experimento apropriado para confirmar que a solução proposta para o
problema é eficaz e eficiente;
• tirar conclusões ou fazer recomendações com base na solução do problema.
Os métodos de engenharia apresentam uma forte inter-relação entre o problema, os fatores que 
podem influenciar em sua solução, a experimentação para verificar a adequação do modelo e 
a solução proposta. Consequentemente, os engenheiros devem saber como planejar, de forma 
eficiente, experimentos, coleta de dados, análises e interpretação dos dados. Entenda que é 
necessárioobservar como os dadoscoletados estão relacionados com o modelo que eles propu-
seram para o problema em estudo. 
O campo da estatística trata da recolha, apresentação, análise e utilização dos dados para to-
mar decisões e resolver problemas. Portanto, é fácil perceber que o conhecimento e domínio da 
estatística é importante para qualquer engenheiro. Técnicas estatísticas podem ser uma poderosa 
ajuda no desenvolvimento de novos produtos e sistemas, melhorando os projetos existentes e a 
concepção, desenvolvimento e melhoria dos processos produtivos. 
Segundo Bohn (2000) os métodos estatísticos são usados para nos ajudar a descrever e compre-
ender variabilidade. Por variabilidade, nos referimos aos diferentes resultados obtidos através de 
observações sucessivas de um sistema ou fenômeno. Todos encontramos variabilidade em nosso 
quotidiano. O pensamento estatístico pode nos dar uma maneira útil de incorporar essa variabi-
lidade em nossos processos de tomada de decisão. 
Considere, por exemplo, o desempenho de kilometragem de gasolina de seu carro. Você sempre 
verifica exatamente o mesmo desempenho em cada tanque de combustível? Claro que não, na 
verdade, às vezes os resultados variam consideravelmente. Esta variabilidade observada depende 
de muitos fatores, como os tipos de estrada nos quais você dirigiu, as alterações na condição do 
veículo ao longo do tempo (o que pode incluir fatores tais como pneus, compressão do motor, 
ou o desgaste das válvulas), a marca da gasolina utilizada e, possivelmente, até mesmo as con-
dições meteorológicas recentemente experimentadas. 
A estatística, portanto, nos dá um parâmetro para descrever essa variabilidade e para aprender 
sobre quais suas causas potenciais. Também encontramos variabilidade no tratamento dos pro-
blemas que envolvem a engenharia. 
Por exemplo, imagine que um engenheiro deve desenvolver um novo conector de nylon para ser 
utilizado em uma aplicação de motores para automóveis. O engenheiro está considerando como 
especificação do projeto a gramatura de 332 gramas, mas está um pouco incerto sobre o efeito 
dessa decisão sobre o desempenho do conector. Se a força do motor é demasiadamente baixa, 
o conector pode falhar quando for instalado no motor. Oito unidades de protótipos são produzi-
das e a potência é medida, resultando nos seguintes dados (Kgf): 12,6; 12,9; 13,4; 12,3; 13,6;
13,5; 12,6; e 13,1.
Como antecipamos, nem todos os protótipos têm a mesma força, certo? Existe variabilidade 
nas medidas da força devido à variabilidade das medidas da gramatura, a qual consideramos 
uma variável aleatória. Diferentesanálises são medidas de forma diferente. Para medir o tempo 
necessário para responder a um estímulo, é possível utilizarmos um cronômetro, porém seria 
im-possível utilizar este mesmo instrumento, por exemplo, para medir a atitude de alguém em 
uma entrevista de emprego, você não concorda? 
Mario F. Triola (2005) descreve que embora os procedimentos para medição diferenciem em 
muitos aspectos, eles podem ser classificados de acordo com algumas categorias fundamentais. 
Essas categorias são chamadas de tipos de escala, ou apenas escalas, ou variáveis e serão des-
critos a seguir. 
Laureate- International Universities
07
2.1.2 Variáveis nominais
Em uma escala nominal, nomes ou categorias serão nossas respostas. Cor favorita e opção polí-
tica, por exemplo, são exemplos de variáveis medidas em uma escala nominal. O ponto essencial 
sobre escalas nominais é que elas não implicam qualquer ordenação entre as respostas. 
Ao classificarmos as pessoas de acordo com sua cor favorita, por exemplo, não há nenhum sen-
tido em elaborar uma escala em que verde seja superior a azul, pois as respostas são meramente 
categorizadas horizontalemente, sem que haja uma hierarquia entre elas. 
2.1.3 Variáveis ordinais
Um pesquisador que deseja medir a satisfação dos consumidores com relação aos seus fornos 
de microondas pode pedir-lhes para quantificar seus sentimentos em: muito insatisfeito, pouco 
insatisfeito, pouco satisfeito ou muito satisfeito. Os itens nesta escala são ordenados, variando do 
menor resultado ao maior. Isto é o que distingue as escalas nominais das ordinais. 
Ao contrário de escalas nominais, escalas ordinais permitem comparações do grau em que dois 
indivíduos possuem a variável dependente. Nosso ordenamento torna-se significativo ao afirmar-
mos que uma pessoa está mais satisfeita do que outra com relação ao seu forno de microondas. 
Por outro lado, escalas ordinais não conseguem capturar informações importantes presentes nas 
outras escalas que examinaremos. 
Em particular, podemos citar que a diferença entre dois níveis consecutivos de uma escala or-
dinal não pode ser analisada como sendo igual à diferença entre quaisquer outros dois níveis 
consecutivos. Em nossa escala de satisfação, por exemplo, a diferença entre as respostas “muito 
insatisfeito” e “pouco insatisfeito” provavelmente não é equivalente à diferença entre “pouco 
insatisfeito” e “pouco satisfeito”. 
Nada no processo de medição nos permite determinar se as duas diferenças refletem a satisfação 
psicológica. E se o pesquisador tivesse pedido aos consumidores para indicarem seu nível de 
satisfação pela escolha de um número entre 1 e 4? Será que a diferença entre as respostas refle-
tiria necessariamente a diferença na satisfação? A resposta é não, pois a alteração do formato 
de resposta não altera o significado da escala. 
2.1.4 Variáveis intervalores
Vicente Falconi (1992) declara em seus trabalhos da área da qualidade que as Escalas interva-
lores são escalas numéricas em que os intervalos têm a mesma interpretação por toda a escala. 
Como um exemplo, considere a escala Celsus de temperatura. A diferença entre 30 graus e 
40 graus representa a mesma diferença de temperatura que há entre 80 graus e 90 graus. Isto 
ocorre porque cada intervalo de 10 graus tem o mesmo significado físico em termos da energia 
cinética das moléculas.
Escalas intervalores, entretanto, não são perfeitas. Saiba que elas não têm um verdadeiro ponto 
zero, mesmo que um dos valores escalonados tenha a função de “zero”. A escala Celsus ilustra 
bem a questão, pois 0° C não representa a ausência de temperatura ou a ausência de qualquer 
energia cinética molecular. Na realidade, a etiqueta de zero graus é aplicada à temperatura por 
razões acidentais completamente ligadas à história da medição da temperatura. 
2.1.5 Escalas de razão
A escala de razão de medidas é a escala mais informativa. Trata-se de uma escala de intervalo 
com a propriedade adicional em que a posição zero indica ausência de quantidade a ser medi-
da. Você pode pensar em uma escala de razão como sendo as três escalas anteriores (nominal, 
08
Probabilidade e Estatística
ordinal e intervalores) em uma só (Professor Amaral Gurguel, Politécnica USP, 2013). Como uma 
escala nominal, ela fornece um nome ou categoria para cada objeto, em que os números servem 
como rótulos. Como uma escala ordinal, os objetos são colocados em uma hierarquia de acordo 
com a ordenação dos números. Como uma escala de intervalo, a diferença entre dois lugares 
na escala tem o mesmo significado e, além disso, a mesma relação em dois lugares na escala 
também carrega o mesmo significado.
Já na escala Kelvin o zero é absoluto. Isso faz com que esta escala seja uma escala de razão. Se 
a temperatura é duas vezes superior à outra, por exemplo, quando medida na escala Kelvin, com 
certeza terá o dobro da energia cinética da outra temperatura.
Outro exemplo de uma escala de razão é a quantidade de dinheiro que você tem no seu bolso. 
O dinheiro é medido numa escala de razão porque, além de ter as propriedades de uma escala 
de intervalo, ele tem um verdadeiro ponto zero. Se se você tiver “dinheiro zero”, isso signifca a 
ausência de dinheiro, certo? Portanto, se o dinheiro tem um verdadeiro ponto zero, faz sentido di-
zer que alguém com 50 centavos tem duas vezes mais dinheiro do que alguém com 25 centavos. 
Mas por que estamos tão interessados no tipo de escala que mede a variável dependente? A 
verdadeira questão é a relação entre o nível da variável de medição e as estatísticas que podem 
ser significativamente computadas através desta variável. 
2.1.6 Variáveis independentes e dependentes
As variáveis são propriedades ou características de algum evento, objeto ou pessoa que pode 
assumir diferentes valores ou quantidades em oposição a constantes, tais como π, que não 
variam. Ao realizar uma pesquisa, os pesquisadores muitas vezes manipulam as variáveis. Por 
exemplo, alguém pode querer comparar a eficácia de quatro tipos de medicamentos. Neste caso, 
a variável será o tipo medicamento. Quando uma variável é manipulada , ela será chamada de 
“variável independente”. 
A experiência serve para determinar o efeito da variável. Neste exemplo, a cura é uma variável 
dependente. Em geral, a variável independente é manipulada pelo experimentador e seus efeitos 
sobre a variável dependente são medidos.
Imagine o seguinte exemplo: um fabricante de automóveis quer saber o quão brilhantes devem 
ser as luzes de freio, a fim de minimizar o tempo necessário para o condutor perceber que o ve-
ículo a sua frente parou. Qual é a variável independente aqui? Brilho das luzes de freio. E qual 
a variável dependente? O momento de acionar o freio. 
Se um experimento compara um tratamento experimental com um tratamento de controle, a va-
riável independente (o tipo de tratamento) tem dois níveis: experimental e controle. Se em uma 
experiência foram comparados cinco tipos de dietas, então a variável independente (o tipo de 
dieta) teria cinco níveis. Em geral, entenda que o número de níveis de uma variável independente 
é o número de condições experimentais.
2.1.7 Variáveis qualitativas e quantitativas
As variáveis qualitativas são aquelas que expressam um atributode qualidade ou tipo, como a cor 
do cabelo, cor dos olhos, filme favorito e assim por diante. Os valores de uma variável qualitativa 
não implicam em uma ordenação numérica. Se os valores das variáveis diferem qualitativamen-
te, nenhuma ordenação está implícita. As variáveis qualitativas são muitas vezes referidas como 
variáveis categóricas. 
As variáveis quantitativas, por sua vez, são medidas em termos de números. Alguns exemplos de 
variáveis quantitativas são a altura, peso e tamanho do calçado. No estudo sobre o efeito da 
09
dieta discutido anteriormente, a variável independente foi tipode suplemento: nenhum, uva e 
outras frutas. O tipo de suplemento é uma variável qualitativa. Em contraste, a variável “teste de 
memória” é quantitativa, pois mede oo desempenho da memória. 
2.1.8 Variáveis discretas e contínua
Variáveis como o número de crianças em uma casa são chamadas de variáveis discretas, pois 
valores possíveis são pontos discretos na escala. Por exemplo, uma casa pode ter 3 crianças ou 
6 crianças, mas não 4.53 crianças. Outras variáveis, tais como tempo para responder a uma 
pergunta, são variáveis contínuas, pois não composta de valores discretos. Isto significa dizer 
que o tempo de resposta pode ser tanto de 4 segundos quando de 4,64 segundos. 
2.2 Tipos de Tendências
Um dos conceitos mais importantes na análise técnica é tendência. O significado em engenharia 
de produção não é assim tão diferente da definição geral do termo: a tendência nada mais é do 
que a direção geral em que um produto ou um processo está indo.
2.2.1 Medidas de Tendência Central
De acordo com Trilola (2005) as medidas de tendência central são maneiras diferentes de deter-
minar ou indicar que o valor da informação é um valor central. Elas subdividem-se em: 
• Média aritmética - é o valor médio da distribuição.
• Mediana - é a pontuação da escala que separa a metade superior da distribuição da
metade inferior, isto é, divide a série de dados em duas partes iguais.
• Moda - é o valor mais repetido numa distribuição.
As medidas de posição são técnicas que dividem um conjunto de dados em grupos iguais. Saiba 
que para determinar a medida da posição, os dados devem ser classificados do menor para o 
maior. As diferentes medidas de posição são:
10 Laureate- International Universities
Probabilidade e Estatística
• Quartis: divide o conjunto de dados em quatro partes iguais.
• Decis: divide o conjunto de dados em dez partes iguais.
• Percentis: divide o conjunto de dados em cem partes iguais.
As medidas de dispersão representam o quão distantes os valores de distribuição estão do centro. 
As medidas de dispersão são:
• alcance - representa o intervalo da diferença entre os dados mais altos e mais baixos de
uma distribuição estatística;
• desvio médio - é a média aritmética dos valores absolutos dos desvios em relação à
média;
• variância - é a média aritmética dos desvios quadrados da média;
• desvio padrão - é a raiz quadrada da variância.
Médias
A média aritmética é o valor obtido pela adição de todos os dados e divisão do resultado pelo 
número total de dados. O símbolo de média aritmética é:
O peso de seis pessoas pode ser expresso pelos seguintes valores: 84, 91, 72, 68, 87 e 78 qui-
los. A média aritmética funciona para dados agrupados quando as informações estão em uma 
tabela de frequências. A expressão da média é:
Calculando o exemplo acima temos: X = (84 + 91 + 72 + 68 + 87 + 78)/6 = 80.
Os resultados dos testes de 42 estudantes estão apresentados na tabela a seguir.
xi fi xi	·	fi
[10,	20) 15 1 15
[20,	30) 25 8 200
[30,40) 35 10 350
[40,	50) 45 9 405
[50,	60 55 8 440
[60,70) 65 4 260
[70,	80) 75 2 150
42 1 820
Tabela 1 – Resultados de testes de presença em um curso.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
11
Propriedades	da	média	aritmética
• A soma dos desvios de todos os valores de uma distribuição da sua média aritmética é
zero.
• A soma dos quadrados dos desvios dos valores da variável com respeito a qualquer
número é minimizada quando o número corresponde à média aritmética.
• Se todos os valores da variável são adicionados pelo mesmo número, a média aritmética
é aumentada por esse número.
• Se todos os valores da variável são multiplicados pelo mesmo número, a média aritmética
é multiplicada pelo número.
Observações	sobre	a	média	aritmética
• A média só pode ser encontrada em variáveis quantitativas.
• O valor médio é independente da largura das classes.
• A média é muito sensível a valores extremos. A média da tabela 1 é igual a 74, que é
uma medida representativa da centralização da distribuição.
• A média não pode ser calculada se houver uma classe com largura indeterminada.
xi fi
[60,	63) 61.5 5
[63,	66) 64.5 18
[66,	69) 67.5 42
[69,	72) 70.5 27
[72,	∞	) 8
100
Tabela 2 – Tabela de valores da quantidade de peças produzidas em um torno CNC por hora
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Neste caso, não é possível encontrar a média, porque a última classe não pode ser calculada.
Mediana
A mediana só pode ser encontrada para as variáveis quantitativas. O cálculo da mediana ocorre 
da seguinte forma: 
• Ordena-se os dados do menor ao maior.
• Se a série tem um número ímpar de medidas, a mediana é exatamente o meio da
pontuação.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 Me = 5
12 Laureate- International Universities
Probabilidade e Estatística
• Se a série tem um número par de dezenas, a mediana é então a média entre as duas
pontuações centrais.
7, 8, 9, 10, 11, 12 Me = 9,5
• No cálculo da mediana para dados agrupados, encontramos a mediana na classe em que
a frequência acumulada atinge metade da soma das frequências absolutas. Ou seja, a
mediana está dentro da classe e é independente de suas larguras.
Moda
É possível encontrar a moda para variáveis categóricas e quantitativas. Encontre, por exemplo, 
a moda da seguinte distribuição:
2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo = 4
Se um grupo tiver dois ou mais pontos com a mesma frequência, a distribuição é bimodal ou 
multimodal, isto é, ele tem vários modos.
1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 Mo = 1, 5, 9
Quando as pontuações de um grupo têm a mesma frequência, não há nenhuma moda. Por 
exemplo: 
2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9
Para o cálculo da moda de dados agrupados, siga as seguintes orientações:
» Todas as classes têm a mesma largura.
Em que:
• Li é o limite inferior da classe modal.
• fi é a frequência absoluta da classe modal.
• fi – 1 é a frequência absoluta imediatamente abaixo da classe modal.
• fi- + 1 é a frequência absoluta imediatamente após a classe modal.
• ai é a largura da classe que contém a classe modal.
» As classes têm larguras diferentes.
Em primeiro lugar, encontre as amplitudes. 
A classe modal é aquela com a maior amplitude.
13
Quartis
Os quartis são os três valores da variável que dividem um conjunto de quatro partes iguais aos 
dados solicitados. Esses três valores determinam os percentuais de 25%, 50% e 75% dos dados, 
após a ordenação do menor para o maiore o segundo valor coincide com a mediana.
Cálculo do Quartis para Dados Agrupados:
Em que:
• Li é o limite inferior da classe quartil.
• N é a soma da frequência absoluta.
• Fi – 1 é a frequência absoluta imediatamente abaixo da classe quartil.
• ai é a largura da classe que contém a classe quartil.
Os quartis são independentes das larguras das classes.
Exemplo: calcular os quartis da distribuição para a tabela seguinte.
fi Fi
[50,	60) 8 8
[60,	70) 10 18
[70,	80) 16 34
[80,	90) 14 48
[90,	100) 10 58
[100,	110) 5 63
[110,	120) 2 65
65
Tabela 3 – Tabela de distribuição de frequência.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
14 Laureate- International Universities
Probabilidade e Estatística
Calculando o primeiro quartil
Calculando o segundo quartil
Cálculo do terceiro quartil
Decis
Os decis são os nove valores da variável que dividem um conjunto em dez partes iguais os dados 
solicitados, após serem ordenados do menor para o maior. Os nove valores determinam os per-
centuais de 10%, 20% ... 90% dos dados e o quinto valor coincide com a mediana.
Cálculo do Decis para dados agrupados
Em que:
• Li é o limite inferior da classe decil.
• N é a soma da frequência absoluta.
• Fi – 1 é a frequência absoluta imediatamente abaixo da classe decil.
• ai é alargura da classe que contém a classe decil.
Os decis são independentes das larguras das classes.
Exemplo: calcular os decis da distribuição para a tabela seguinte:
15
fi Fi
[50,	60) 8 8
[60,	70) 10 18
[70,	80) 16 34
[80,	90) 14 48
[90,	100) 10 58
[100,	110) 5 63
[110,	120) 2 65
65
Tabela 4 – Tabela de frequências.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015. 
Cálculo do primeiro decil
Cálculo do egundo decil
Cálculo do terceiro decil
D3 = 70 + • 10 = 70.94• 10 = 70.9416
19.5 - 18
Para o cálculo dos outros quadris, devemos proceder da mesma forma.
Percentis
Os percentis são os 99 valores da variável que dividem um conjunto em 100 partes iguais os 
dados solicitados, após a ordenação do menor para o maior. Os percentis ou os noventa e nove 
valores determinam os percentuais de 1%, 2% e ... 99% dos dados, sendo o quinquagésimo 
valor coincidente com a mediana.
Cálculo do percentis para dados agrupados
16
Probabilidade e Estatística
Em que:
• Li é o limite inferior da classe percentil.
• N é a soma da frequência absoluta.
• Fi – 1 é a frequência absoluta imediatamente abaixo do percentil classe.
• ai é a largura da classe que contém o percentil classe.
Os percentis são independentes das larguras das classes.
Exemplo: calcular os percentis da distribuição para a tabela seguinte:
fi Fi
[50,	60) 8 8
[60,	70) 10 18
[70,	80) 16 34
[80,	90) 14 48
[90,	100) 10 58
[100,	110) 5 63
[110,	120) 2 65
65
Tabela 5 – Tabela de frequências.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Percentil 35
Percentil 60
2.2.2 Desvios Estatísticos
Desvio	Absoluto
O desvio absoluto é a diferença absoluta entre cada valor da variável estatística e a média
aritmética.
Di = | x - x |
Laureate- International Universities
17
Desvio	Médio
O desvio médio é a média aritmética dos desvios absolutos. O desvio médio é representado pela 
equação:
Exemplo: calcular o desvio médio da seguinte distribuição: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18.
• Desvio	médio	para	dados	agrupados: se os dados são agrupados em uma tabela de
frequências, a expressão do desvio médio é:
Exemplo: calcular o desvio médio da seguinte distribuição.
xi fi xi	·	fi |x	-	x| |x	-	x|	·	fi
[10,	15) 12.5 3 37.5 9.286 27.858
[15,	20) 17.5 5 87.5 4.286 21.43
[20,	25) 22.5 7 157.5 0.714 4.998
[25,	30) 27.5 4 110 5.714 22.856
[30,	35) 32.5 2 65 10.714 21.428
21 457.5 98.57
Tabela 6 – Distribuição de frequências.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
18 Laureate- International Universities
Probabilidade e Estatística
Variância
A variância é a média aritmética dos desvios quadrados a partir da média de uma distribuição 
estatística. A variância é calculada por:
Em que:
• N pode representar os graus de liberdade estatística, onde N = n-1.
Você sabe o que é Distribuição Amostral? A Distribuição	 Amostral retrata o 
comportamento de uma estatística (média, proporção, entre outras), caso 
retirássemos todas as possíveis amostras de tamanho “n” de uma população.
VOCÊ SABIA?
Entenda que o princípio dos graus de liberdade é constantemente utilizado na estatística.
Considerando um conjunto de “n” observações (dados) e fixando uma média para este grupo, 
existe a liberdade de escolher os valores numéricos de n-1 observações, o valor da última 
observação estará fixado para atender ao requisito de ser a soma dos desvios da média igual a 
zero. No caso especifico do cálculo da variância, diz-se que os “n” graus de liberdade, 
originalmente disponíveis no conjunto, sofreram a redução de uma unidade porque a média 
dos dados do grupo já foi calculada e aplicada na determinação da variância.
Variância	para	dados	agrupados
Para simplificar o cálculo da variância, utilizar as seguintes expressões que são equivalentes às 
fórmulas acima:
Exemplos: calcula-se a variação da distribuição seguinte: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
σ 2 = = 15
8
(9 - 9)2 + (3 - 9)2 + (8 - 9)2 + (8 - 9)2 + (9 - 9)2 + (8 - 9)2 + (9 - 9)2 + (18 - 9)2
Calcular a variação da distribuição do quadro seguinte.
19
xi fi xi	·	fi xi
2	·	fi
[10,	20) 15 1 15 225
[20,	30) 25 8 200 5,000
[30,40) 35 10 350 12,250
[40,	50) 45 9 405 18,225
[50,	60 55 8 440 24,200
[60,70) 65 4 260 16,900
[70,	80) 75 2 150 11,250
42 1,820 88,050
Tabela 7 – Distribuiçãode frequência.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Propriedades	da	variância
• A variância é sempre positiva, exceto nos casos em que os valores são iguais, quando
então ela é igual a zero.
• Se todos os valores da variável são adicionados pelo mesmo número, a variância não
muda.
• Se todos os valores da variável são multiplicados pelo mesmo número, a variância é
multiplicada pelo quadrado desse número.
• Se houver várias distribuições com a mesma média e suas variâncias são conhecidas, o
desvio total pode ser calculado.
Se todas as amostras têm o mesmo tamanho:
Se as amostras têm tamanhos diferentes:
Observações	sobre	a	variância
• A variância, como a média, é um índice sensível a valores extremos.
• Nos casos em que o meio não pode ser encontrado, não será possível encontrar a
variância.
• A variação não é expressa nas mesmas unidades que os dados uma vez que os desvios
são quadrado.
20 Laureate- International Universities
Probabilidade e Estatística
Desvio	Padrão
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, e encontra-se indicado por σ.
Desvio	padrão	para	dados	agrupados
Para simplificar o cálculo, use as seguintes expressões, as quais são equivalentes às fórmulas 
apresentadas anteriormente:
Exemplos: calcular o desvio padrão da distribuição seguinte: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18.
Calcular o desvio-padrão da distribuição para o quadro seguinte:
xi fi xi	·	fi xi
2	·	fi
[10,	20) 15 1 15 225
[20,	30) 25 8 200 5,000
[30,40) 35 10 350 12,250
[40,	50) 45 9 405 18,225
[50,	60) 55 8 440 24,200
[60,70) 65 4 260 16,900
[70,	80) 75 2 150 11,250
42 1,820 88,050
Tabela 8 – Distribuição de frequências.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
21
Propriedades	do	desvio	padrão
• O desvio padrão é sempre positivo, exceto nos casos em que os valores são iguais,
quando ele então é igual a zero.
• Se todos os valores da variável são adicionados pelo mesmo número, o desvio-padrão
não se altera.
• Se todos os valores da variável são multiplicados pelo mesmo número, o desvio padrão é
multiplicado pelo quadrado desse número.
• Se houver várias distribuições com a mesma média e seus desvios padrões são conhecidos,
o desvio padrão total pode ser calculado.
Se todas as amostras têm o mesmo tamanho:
Se as amostras têm tamanhos diferentes:
Observações	sobre	o	Desvio	Padrão
• O desvio-padrão, como a média e a variância, é um índice muito sensível a valores
extremos.
• Nos casos em que a média não pode ser encontrado, não é possível encontrar o desvio
padrão.
• Quanto menor for o desvio padrão, maior será a concentração de dados em torno da
média.
22
Probabilidade e Estatística
A variabilidade é uma lei da natureza segundo a qual dois elementos nunca são exatamente 
iguais. Isto ocorre porque os processos são influenciados por variações que afetam o resultado 
do produto, portanto, nunca duas peças ou dois produtos serão exatamente iguais. As dimen-
sões das peças apresentam variações dentro de certos intervalos. Conjuntos como motores de 
automóveis, por exemplo, apresentam pequenas variações de performance. As diferenças entre 
os produtos podem ser enormes ou quase imperceptíveis, mas tenha certeza de que sempre estão 
presentes. Segundo Adriano Leal Bruni (2012) as causas de variação podem ser de dois tipos: 
• Causas	 comuns: fazem parte da natureza do processo e seguem padrões normais de
comportamento. São causas de variação inerentes ao processo. As causas comuns referem-
se a muitas fontes pequenasde variação dentro de um processo que se encontra sob
controle estatístico (processo estável). São causas aleatórias que agem de forma constante.
A eliminação das causas comuns é impossível para um dado processo, por isso elas são
consideradas como parte natural do processo de fabricação. Entretanto, é possível, ainda
que onerosa, a redução do efeito das causas comuns. A redução das causas comuns
de variação, normalmente, exige a substituição do processo existente por um processo
diferente, sendo necessário investimento de capital. Exemplos de causas comuns:
» vibração normal de uma máquina em boas condições;
» variação normal das características da matéria prima;
» folgas normais entre os componentes da máquina;
» pequenas variações de temperatura e umidade;
» pequenas flutuações na energia elétrica;
» desgaste normal da ferramenta de corte.
• Causas	especiais	ou	atribuíveis: referem-se a quaisquer fatores de variação que não
podem ser explicados adequadamente através de uma distribuição simples de resultados,
o que ocorreria se o processo estivesse sob controle estatístico. Essas causas são, de certa
forma, imprevisíveis. Quando detectadas, devem ser eliminadas rapidamente, para que
não prejudiquem o desempenho do processo. Exemplos de causas especiais:
» quebra da ferramenta de corte;
» falha de um rolamento da máquina;
» material fora de especificação;
» operador inexperiente;
» queda da energia elétrica.
As causas especiais (causas não aleatórias) referem-se a fatores que causam grandes variações. 
Geralmente são fatores acidentais.
A variabilidade é a oscilação da média ou ponto ideal do processo e representa um aspecto fun-
damental para o controle da qualidade. Está relacionada principalmente a não uniformidade das 
matérias-primas, da habilidade e diferenças pessoais dos colaboradores, dos equipamentos, e mui-
tas vezes, das condições contextuais inerentes ao processo. A determinação dos limites em valores 
aceitáveis em um processo é primordial para seu controle. A variabilidade do processo está relacio-
nada a dois tipos de causas: as comuns e as especiais. A diminuição da variabilidade no processo é 
uma tarefa que precisa da contribuição de todos os envolvidos. Os gerentes talvez sejam os únicos 
23
que possam atuar nas oportunidades de melhoria, mas para isso, precisam de dados e uma equipe 
capacitada, comprometida e com consciência da importância da melhoria do processo.
VOCÊ QUER VER?
A identificação e a delimitação das maiores aglomerações de população no país têm 
sido objeto de estudo do IBGE desde a década de 1960, quando o fenômeno da 
urbanização se intensificou, tornando-se cada vez mais complexo. Saiba tudo sobre 
Arranjos Populacionais, vendo o vídeo do IBGE, disponível em: <https://www.youtube.
com/watch?v=G5YsSBc98Po>.
2.3 Distribuição Amostral da 
Média e da Proporção
A distribuição amostral é um tipo de distribuição que envolve a distribuição de probabilidade 
de as amostras estatísticas baseadas em amostras selecionadas aleatoriamente. Distribuições de 
amostragem são importantes quando se analisa um grupo de dados selecionados que deve ser 
calculado utilizando várias estatísticas, como média, moda, mediana e variação padrão sendo 
esta distribuição útil para testar uma hipótese.
2.3.1 Média da distribuição de amostragem
Segundo Murray Spiegel (1984) a média da distribuição de amostragem é a média da população 
da qual os valores foram analisados. Portanto, se uma população tem uma média μ, a média 
da distribuição de amostragem da média é também μ. O símbolo μM é utilizado para se referir à 
média da distribuição de amostragem da média já calculada. Portanto, a fórmula para a média 
da distribuição de amostragem da média pode ser escrita como: 
μM = μ
A variação da distribuição amostral da média é calculada da seguinte forma:
A variação da distribuição de amostragem da média, portanto, é a variância da população
dividida por N, pelo tamanho da amostra ou pelo número de valores utilizados para calcular 
uma média. Assim, quanto maior for o tamanho da amostra, menor a variação da 
distribuição de amostragem da média. 
O erro padrão da média é o desvio padrão da distribuição de amostragem da média. Por
conseguinte, trata-se da raiz quadrada da variância da distribuição da média de amostragem e 
pode ser escrita como:
24
Probabilidade e Estatística
O teorema do limite central afirma que: dada uma população com média finita μ e uma
variância σ2 finito não-zero, a distribuição amostral da média se aproxima de uma distribuição 
normal com uma média de μ e uma variância de σ2 / N sendo N, o tamanho da amostra. 
Saiba que, Independente da forma da população original, a distribuição de amostragem de 
média aproxima-se de uma distribuição normal à medida que N aumenta.
A Figura 1 mostra os resultados da simulação para N = 2 e N = 10. A população-mãe era 
uniforme. Você pode ver que a distribuição de N = 2 está longe de uma distribuição normal. No 
entanto, ele mostra que as pontuações são mais densas no meio do que nas caudas. Para N = 
10, a distribuição é bastante próxima de uma distribuição normal. Note que os meios das duas 
distribuições são os mesmos, mas que a propagação da distribuição para N = 10 é menor.
Média
Figura 1 – Uma simulação de distribuição de amostragem. A população pai é uniforme. A linha mais puntiforme 
é a representação para N=2, ao passo que a linha mais central representa a distribuição normal quando N=10.
A distribuição amostral de p é a distribuição de probabilidade de todos os valores possíveis da 
proporção da amostra. Imagine que em uma fábrica temos o produto A e o produto B, 0,60 
dos resultados positivos são do produto A. Se em uma amostra aleatória de 10 peças onde os
resultados são positivos foram analisadas, é improvável que exatamente 60% delas (6) são a 
peça A, pois a proporção da amostra da peça A poderia facilmente ser um pouco menor do que 
0,60 ou um pouco maior do que 0,60. Você obteria a distribuição amostral de p se testasse 
repetidamente 10 peças e determinasse a proporção (p) que favorece a peça A. 
A distribuição amostral de p é um caso especial da distribuição amostral da média. Na Tabela 
1, você pode observar uma amostra aleatória hipotética de 10 peças. A peça A corresponde ao 
valor 1 e a peça B corresponde a 0. Note que sete peças são A assim a proporção da amostra 
(p) é p = 7/10 = 0,70.
Como você pode ver, p é a média dos 10 escores de preferência.
Nº	da	Peça Peça	
1 1
2 0
3 1
25
Nº	da	Peça Peça	
4 1
5 1
6 0
7 1
8 0
9 1
10 1
Tabela 9 – Amostra de peças.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
CASO
A empresa Dias & Diaz Prado está investindo em novos programas para melhorar a qualidade 
de assistência médica empresarial sem, no entanto, compreender as implicações sobre a
quantidade e o tipo de cuidado que seus funcionários receberão. Este programa contraditório 
de ações refletirá na incapacidade dos empregadores em avaliar com precisão como a 
saúde de seus funcionários irá afetar os lucros, pois a escolha poderá impactar em um 
aumento do custo do plano ou em uma quantidade maior de faltas de seus colaboradores. 
A empresa queria determinar os custos dos cuidados de saúde de seus funcionários. Uma
amostra de 50 funcionários foi entrevistada e suas despesas médicas no ano anterior foram 
determinadas. Depois de pesquisa feita, a empresa descobriu que a maior despesa médica na 
amostra foi erroneamente registrada como 10 vezes a quantidade real. 
2.4 Intervalos de Confiança 
para média e proporção
Neste tópico estudaremos o intervalo de confiança. Você já ouviu falar no conceito? Trata-se de 
uma forma de transmitir nossa incerteza sobre um parâmetro. Não é o suficiente para fornecer 
um palpite para o parâmetro. Nós também temos que dizer alguma coisa sobre quão longe como 
um estimadoré provável que seja o valor do parâmetro de verdade.
2.4.1 Precisão de uma estimativa
Um dos conceitos que pode parecer confuso para um engenheiro novato é a precisão de uma 
estimativa, pois trata-se da probabilidade de uma probabilidade. Saiba que este é um conceito 
importante no campo da engenharia, pois conduz à utilização de intervalos de confiança. No 
entanto, o uso de intervalos de confiança está se tornando cada vez mais comum à medida que 
as organizações incluem limites de confiança em seus requisitos. 
Imagine que você é um engenheiro civil e precisa comprar pedras de mármore. Há milhões de 
pedras de mármore preto e branco perfeitamente misturadas em uma grande piscina. Seu
trabalho é estimar a porcentagem de mármores negros. A única maneira de ter certeza absoluta 
sobre a percentagem exata de mármores na piscina seria contar cada mármore e calcular sua 
percentagem.
26
Probabilidade e Estatística
No entanto, isso levaria tempo demais. Você precisa chegar a uma forma de estimar o 
percentual de mármores negros na piscina sem contá-los um a um. 
A fim de fazer isso, vamos retirar uma amostra relativamente pequena de mármores da piscina e, 
em seguida, contar quantos mármores negros encontramos na amostra. Você contou a amostra e 
constatou a presença de quatro placas pretas. Com base nisso, a sua estimativa seria que 40% do 
mármore é negro.Se você colocar os dez mármores de volta na piscina e repetir esse exemplo no-
vamente, você pode ter seis pedras pretas, o que mudará sua estimativa para 60% mármore negro.
Qual dos dois é correto? Ambas as estimativas estão corretas. Se você repetir esta experiência 
descobrirá que esta estimativa é geralmente entre X1% e X2% e poderá atribuir uma 
percentagem sobre o número de vezes que a sua estimativa situa-se entre estes limites. 
Por exemplo, você observa que 90% do tempo esta estimativa está entre X1% e X2%. Se, agora, 
repetir a experiência e escolher 1.000 blocos de mármore, poderá obter resultados para o núme-
ro de placas pretas, tais como: 545, 570, 530, para cada ensaio. A gama de nossas estimativas, 
neste caso, será muito mais estreita do que antes. Por exemplo, observa-se que 90% do tempo, 
o número de placas pretas será agora de Y1% a Y2%%, onde X1% <% Y1 e X2%> Y2%, dando-
-nos assim um estreito intervalo de estimativa. O mesmo princípio é válido para os intervalos de
confiança; quanto maior o tamanho da amostra, mais estreito serão os intervalos de confiança.
Vamos agora ver como esse fenômeno se relaciona com confiabilidade? Em geral, saiba que a 
tarefa do engenheiro é determinar a probabilidade de falha, ou a confiabilidade da população 
das unidades em estudo. No entanto, ele nunca vai saber o valor exato da confiabilidade da po-
pulação se não for capaz de obter e analisar os dados de falha para cada unidade na população.
Sabemos que analisar cada unidade não é uma situação real, a tarefa é a de estimar a confiabi-
lidade com base numa amostra, bem como a estimativa do número de placas pretas na piscina. 
Se executarmos dez testes de confiabilidade diferentes para nossas unidades e analisar os re-
sultados, vamos obter parâmetros ligeiramente diferentes para a distribuição cada vez e, assim, 
resultados de confiabilidade ligeiramente diferentes. 
No entanto, através do emprego de limites de confiança, obtemos um intervalo dentro do qual estes 
valores de confiabilidade são suscetíveis de ocorrer numa determinada porcentagem do tempo. 
Isso nos ajuda a avaliar a utilidade dos dados e a precisão das estimativas resultantes. Além disso, 
é sempre útil lembrar que cada parâmetro é uma estimativa do parâmetro real, desconhecido para 
nós. Esta gama de valores plausíveis é chamada de confiança ligado ou intervalo de confiança. 
27
2.4.2 Limites de Confiança Bilateral
Quando usamos limites ou intervalos de confiança, estamos olhando para um intervalo fechado 
no qual é possível que determinada porcentagem da população esteja. Ou seja, determinar os 
valores ou limites, entre as quais uma determinada percentagem da população se encontra. Por 
exemplo, quando se lida com 90% de limites de confiança de duas faces de (X, Y), queremos 
dizer que 90% da população se encontra entre X e Y com 5% menor que X e 5% maior do que Y.
2.4.3 Limites de Confiança Unilateral
Limites de confiança unilaterais são, essencialmente, uma versão dos limites de dois lados. Um 
limite unilateral define o ponto em que certa percentagem da população é maior ou menor do 
que o valor definido. Isto significa que existem dois tipos de limites de um lado: o superior e o 
inferior. Um superior unilateral de um lado define um valor ao qual certa porcentagem da popu-
lação é inferior. Por outro lado, um limite inferior unilateral define um valor ao qual determinada 
porcentagem da população é superior. Por exemplo, se X é 95% superior unilateral isto indica 
que 95% da população é menor que X. Por outro lado, se X é 95% inferior unilateral, então 95% 
da população é maior do que X.
28 Laureate- International Universities
Síntese
Concluímos este capítulo da disciplina Probabilidade	e	Estatística. Agora que você já conhece 
a importância da estatística, bem como de seus métodos e conceitos, você poderá solucionar 
alguns casos práticos ligados a esta área de conhecimento.
Neste capítulo, você teve a oportunidade de: 
•	 conhecer os tipos de medidas estatísticas.
•	 aprender o que seja medidas de síntese, medidas de tendência central, medidas de 
dispersão e medidas de posição relativa.
•	 identificar as distribuições amostrais da média e da proporção
•	 compreender o que seja intervalos de confiança para média e proporção
Síntese
29
Referências
ANDRADE, D. F.; OGLIARI, P. J. Estatística	para	as	 ciências	agrárias	 e	biológicas	 com	
noções	de	experimentação. Ed. da UFSC, Florianópolis, 2007.
BOHN, R. Stop	fighting	fires. Boston: Harvard Business Review, 2000. v.78, p.82-92.
BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística	Básica. 4ª ed. São Paulo: Saraiva, 1987.
BRUNI, A. L. Estatística	Aplicada	à	Gestão. São Paulo: Editora Atlas, 2012.
CAMPOS, V. F. TQC Controle	de	qualidade	Total. Belo Horizonte: Fundação Christiano Ot-
toni, 1992.
FRANCISCHINI, PAULO G.; GURGEL, FLORIANO AMARAL. Administração	de	Materiais	e	do	
Patrimônio. São Paulo: Pioneira, 2013.
GHOSH, M.; SOBEK, D. Effective	 metaroutines	 for	 organizational	 problem	 solving.	
Mechanical	 and	 Industrial	 Engineerinr	 Department,	 Bozeman, 2002. Disponível em: 
<http://www.coe.montana.edu/ie/faculty/sobek/IOC_Grant/papers.htm>. Acesso em 18 dez. 
2015.
HOEL, P. G. Estatística	Elementar. São Paulo: Atlas, 1981.
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística	Aplicada. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2004.
MAGALHÃES, M. N.; LIMA, A. C. P. Noções	de	Probabilidade	e	Estatística. 6ª ed. São Pau-
lo: Edusp, 2005.
MEYER, P. L. 1984. Probabilidade	-	Aplicações	à	Estatística. 2ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 
1984. 
MINAYO, M. C. S.; SANCHES, O. Quantitative	and	Qualitative	Methods:	Opposition	or	
Complementarity? Cad. Saúde Pública, Rio de Janeiro, 9 (3): 239-262, jul/sep, 1993.
MORETTIN, L. G. Estatística	Básica. 6ª ed. São Paulo: Makron Books, 1994. 
PAGANO, M.; GAUVREAU, K. Princípios	de	Bioestatística. 2ª ed. São Paulo: Pioneira Thom-
son Learning, 2004.
SPIEGEL, M. R. Estatística. São Paulo: McGraw-Hill, 1984. 
TRIOLA, M. F. Introdução	à	Estatística. 7ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999.
Bibliográficas