EES024 Aulas09a12 SolucoesFundamentaisBarras

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EES024 - Análise Estrutural II
Aulas 09 a 12: Soluções fundamentais de barras isoladas
Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)
Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs)
2o. semestre 2017
Introdução
• No método das forças, a solução de uma estrutura hiperestática é obtida
pela superposição de soluções de estruturas estaticamente determinadas
(isostáticas).
• No método dos deslocamentos, a solução é dada pela superposição de
soluções cinematicamente determinadas.
• Essas soluções são configurações deformadas elementares da estrutura
em análise.
• Cada configuração deformada elementar é composta por configurações de-
formadas elementares de suas barras isoladas, às quais estão associadas
as chamadas soluções fundamentais para o método dos deslocamentos.
• Existem dois tipos de soluções fundamentais de barras isoladas, que re-
cebem as seguintes denominações:
* Coeficientes de rigidez locais;
* Reações de engastamento perfeito.
Introdução
• Coeficientes de rigidez locais:
Correspondem a forças e momentos que surgem nas extremidades de uma
barra para equilibra-la quando são impostos, isoladamente, deslocamentos
(translações ou rotações) unitárias nas extremidades:
• Reações de engastamento perfeito:
Correspondem a reações de apoio de uma barra isolada provocadas por
solicitações externas, i.e., são reações de apoio para uma barra com ex-
tremidades engastadas, resultantes de uma solicitação externa (e.g., car-
regamentos):
Funções de forma para configurações deformadas
elementares de barras prismáticas de pórtico plano
Barra de pórtico plano genérica:
d′i → deslocabilidade de barra no sistema local: deslocamento, na di-
reção de um dos eixos locais x ou y, ou rotação em uma extremidade da
barra isolada.
Uma configuração deformada elementar de uma barra pode ser definida pe-
los deslocamentos axiais, u(x), e transversais, v(x), que são independentes
entre si, sob a hipótese de pequenos deslocamentos.
Funções de forma para configurações deformadas
elementares de barras prismáticas de pórtico plano
Nas notas da Aula 02, foram obtidas equações diferenciais ordinárias que
relacionavam u(x) e v(x) aos carregamentos externos (Eqs. 42 e 44):
d2u(x)
dx2
= −p(x)
EA
d4v(x)
dx4
=
q(x)
EI
Assumindo ausência de carregamentos externos (p(x) = 0 e q(x) = 0), tais
equações podem ser integradas resultando nas seguintes expressões:
u(x) = b1x+ b0 (1)
v(x) = c3x
3 + c2x
2 + c1x+ c0 (2)
onde bi e ci são constantes a serem determinadas por condições de contorno.
Funções de forma para configurações deformadas
elementares de barras prismáticas de pórtico plano
Alternativamente, os polinômios das Eqs. (1) e (2) podem ser reescritos em
função das deslocabilidades:
u(x) = N1(x)d
′
1 +N4(x)d
′
4 (3)
v(x) = N2(x)d
′
2 +N3(x)d
′
3 +N5(x)d
′
5 +N6(x)d
′
6 (4)
Ni(x)→ Funções de forma
Expressões para as funções de forma podem ser obtidas fazendo-se, nas
Eqs. (1) e (2),
u(0) = d′1 u(l) = d
′
4
v(0) = d′2 v(l) = d
′
5
dv(0)
dx
= d′3
dv(l)
dx
= d′6
Funções de forma para configurações deformadas
elementares de barras prismáticas de pórtico plano
Por exemplo:
u(x) = b1x+b0 ⇒ u(0) = b0 = d′1 ⇒ u(l) = b1l+d′1 = d′4 ⇒ b1 = d
′
4 − d′1
l
⇒ u(x) =
[
d′4 − d′1
l
]
x+ d′1 =
[
1− x
l
]
︸ ︷︷ ︸
N1(x)
d′1 +
[
x
l
]
︸︷︷︸
N4(x)
d′4
N1(x) = 1− x
l
(5) N4(x) =
x
l
(6)
Deve-se notar que cada função de forma está associada a um deslocamento
axial, apresentando valor unitário na extremidade correspondente e valor nulo
na outra.
Funções de forma para configurações deformadas
elementares de barras prismáticas de pórtico plano
N2(x) = 1− 3x
2
l2
+ 2
x3
l3
(7)
N3(x) = x− 2x
2
l
+
x3
l2
(8)
N5(x) = 3
x2
l2
− 2x
3
l3
(9)
N6(x) = −x
2
l
+
x3
l2
(10)
As funções de forma que definem v(x) apresentam valor unitário para o grau
de liberdade correspondente (deslocamento ou rotação) e valor nulo nos de-
mais.
Coeficientes de rigidez locais
Como já foi dito, os coeficientes de rigidez locais são soluções fundamen-
tais correspondentes às reações de apoio que surgem na barra quando são
impostos deslocamentos (ou rotações) unitários isoladamente em uma de
suas extremidades.
Adota-se, assim, a seguinte notação:
k′ij → coeficiente de rigidez de barra no sistema local: força ou momento
que deve atuar numa extremidade da barra isolada, na direção da deslocabili-
dade d′i, para equilibra-la quando a deslocabilidade unitária d′j = 1 é imposta,
isoladamente, em uma das extremidades.
Numa situação genérica, porém, mais de uma deslocabilidade pode apre-
sentar valor não nulo, conforme ilustrado a seguir de forma conjunta com as
forças e momentos correspondentes.
Define-se, portanto,
f ′i → força generalizada de barra
no sistema local: força ou mo-
mento que atua na direção da deslo-
cabilidade d′i da barra isolada para
equilibra-la.
Coeficientes de rigidez locais
A configuração deformada genérica da barra pode ser decomposta em config-
urações deformadas elementares, baseadas nas funções de forma definidas
anteriormente e no conceito dos coeficientes de rigidez:
Coeficientes de rigidez locais
Fazendo a superposição de efeitos das deformadas elementares, tem-se:
f ′1 = k
′
11d
′
1 + 0 + 0 + k
′
14d
′
4 + 0 + 0
f ′2 = 0 + k
′
22d
′
2 + k
′
23d
′
3 + 0 + k
′
25d
′
5 + k
′
26d
′
6
f ′3 = 0 + k
′
32d
′
2 + k
′
33d
′
3 + 0 + k
′
35d
′
5 + k
′
36d
′
6
f ′4 = k
′
41d
′
1 + 0 + 0 + k
′
44d
′
4 + 0 + 0
f ′5 = 0 + k
′
52d
′
2 + k
′
53d
′
3 + 0 + k
′
55d
′
5 + k
′
56d
′
6
f ′6 = 0 + k
′
62d
′
2 + k
′
63d
′
3 + 0 + k
′
65d
′
5 + k
′
66d
′
6
Em notação matricial:
f ′1
f ′2
f ′3
f ′4
f ′5
f ′6

=

k′11 0 0 k
′
14 0 0
0 k′22 k
′
23 0 k
′
25 k
′
26
0 k′32 k
′
33 0 k
′
35 k
′
36
k′41 0 0 k
′
44 0 0
0 k′52 k
′
53 0 k
′
55 k
′
56
0 k′62 k
′
63 0 k
′
65 k
′
66


d′1
d′2
d′3
d′4
d′5
d′6

⇒ {f ′} = [k′]{d′} (11)
{f ′} → vetor de forças generalizadas no sistema local da barra;
[k′]→ matriz de rigidez da barra no sistema local (simétrica: k′ij = k′ji);
{d′} → vetor de deslocabilidades no sistema local da barra.
Coeficientes de rigidez locais
A seguir, são deduzidas expressões para os coeficientes de rigidez de uma
barra, subdivididos em:
• Coeficientes de rigidez axial de barras prismáticas;
• Coeficientes de rigidez axial de barras com seção variável;
• Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas sem articulação;
• Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas com articulação na
extremidade inicial;
• Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas com articulação na
extremidade final;
• Coeficientes de rigidez à torção de barras.
Tais deduções são baseadas no Princípio dos Deslocamentos Virtuais (PDV)
ou Método do Deslocamento Unitário (MDU).
Coeficientes de rigidez locais
Coeficientes de rigidez axial de barras prismáticas
• Coeficientes de rigidez axial de barras prismáticas;
• Coeficientes de rigidez axial de barras com seção variável;
• Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas sem articulação;
• Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas com articulação
na extremidade inicial;
• Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas com articulação
na extremidade final;
• Coeficientes de rigidez à torção de barras.
Coeficientes de rigidez locais
Coeficientes de rigidez axial de barras prismáticas
Relembrando o Princípio dos Deslocamentos Virtuais, tem-se:
Wext = Uint ⇒
∑
F ·d˜ =
∫
V
(σ · �˜) dV
onde:
F, σ → Forças externas reais e tensões internas correspondentes;
d˜, �˜→ Deslocam. externos virtuais e deform. internas correspondentes.
No caso dos esforços axiais em barras:
σ = E� = E
du
dx
, �˜ =
du˜
dx
, dV = Adx
⇒
∑
F d˜ =
∫ l
0
EA
du
dx
du˜
dx
dx
No Método do Deslocamento Unitário, assume-se uma única componente de
deslocamento virtual, unitária e num único ponto, cuja força (real) associada
deseja-se determinar, i.e,
∑
F d˜→ Pδ = P · 1 = P =
∫ l
0
EA
du
dx
du˜
dx
dx
Coeficientes de rigidez locais
Coeficientes de rigidez axial de barras prismáticas
Vamos agora considerar o cálculo do coeficiente de rigidez k′14 que, como
visto, significa:
A força axial na extremidade inicial da barra para equilibra-la quando um
deslocamento axial unitário (d′4 = 1) é imposto na extremidade final.
Desta forma, como procura-se obter a força axial na extremidade inicial, o
campo de deslocamentos virtuais deve corresponder a um deslocamento ax-
ial unitário nessa extremidade, ou seja, considerando a Eq. (3):
u˜(x) = N1(x) d˜′1︸︷︷︸
=1
+N4(x) d˜′4︸︷︷︸
=0
= N1(x) = 1− x
l
Já o campo de deslocamentos reais é aquele que foi imposto:
u(x) = N1(x) d
′
1︸︷︷︸
=0
+N4(x) d
′
4︸︷︷︸
=1
= N4(x) =
x
l
Assim, considerando a barra prismática e homogênea (EA = constante),
k′14 =
∫ l
0
EA
du˜
dx
du
dx
dx =
∫ l
0
EA
dN1
dx
dN4
dx
dx = −EA
l2
∫ l
0
dx = −EA
l
Coeficientes de rigidez locais
Coeficientes de rigidez axial de barras prismáticas
Generalizando para os outros coeficientes:
k′ij = EA
∫ l
0
dNi(x)
dx
dNj(x)
dx
dx (i, j = 1 ou 4) (12)
Portanto,
k′11 = EA
∫ l
0
(
− 1
l
)(
− 1
l
)
dx =
EA
l
k′44 = EA
∫ l
0
(
1
l
)(
1
l
)
dx =
EA
l
k′41 = k
′
14 = EA
∫ l
0
(
1
l
)(
− 1
l
)
dx = −EA
l
Coeficientes de rigidez locais
Coeficientes de rigidez axial de barras com seção variável
• Coeficientes de rigidez axial de barras prismáticas;
• Coeficientes de rigidez axial de barras com seção variável;
• Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas sem articulação;
• Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas com articulação
na extremidade inicial;
• Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas com articulação
na extremidade final;
• Coeficientes de rigidez à torção de barras.
Coeficientes de rigidez locais
Coeficientes de rigidez axial de barras com seção variável
As funções de forma apresentadas anteriormente são válidas apenas para
barras prismáticas, já que as equações diferenciais que deram origem às
Eqs. (1) e (2) referem-se às barras com seção transversal constante.
Desta forma, não se pode adotar uma generalização da Eq. (12).
Entretanto, para se obter o coeficiente de rigidez axial de barras com seção
variável, pode-se utilizar a ideia de que ele é o inverso do coeficiente de flexi-
bilidade:
δ =
∫ l
0
1
EA(x)
dx, k′ =
1
δ
k′ =
[ ∫ l
0
1
EA(x)
dx
]−1
(13)
Coeficientes de rigidez locais
Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas sem articulação
• Coeficientes de rigidez axial de barras prismáticas;
• Coeficientes de rigidez axial de barras com seção variável;
• Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas sem articulação;
• Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas com articulação
na extremidade inicial;
• Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas com articulação
na extremidade final;
• Coeficientes de rigidez à torção de barras.
Coeficientes de rigidez locais
Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas sem articulação
Novamente, fazemos referência à relação básica do Princípio dos Desloca-
mentos Virtuais:
Wext = Uint ⇒
∑
F · d˜ =
∫
V
(σ · �˜) dV
No caso de uma barra prismática sujeita à flexão, pode-se escrever, conforme
Eqs. (25) e (26) das notas da Aula 02:
�˜ = −y dθ˜
dx
= −y d
2v˜
dx2
, σ = E� = −yE d
2v
dx2
⇒
∑
F d˜ =
∫ l
0
∫
A
[
− yE d
2v
dx2
][
− y d
2v˜
dx2
]
dAdx
=
∫ l
0
E
[ ∫
A
y2dA
]
︸ ︷︷ ︸
=I
d2v
dx2
d2v˜
dx2
dx =
∫ l
0
EI
d2v
dx2
d2v˜
dx2
dx
No Método do Deslocamento Unitário:∑
F d˜→ Pδ = P · 1 = P =
∫ l
0
EI
d2v
dx2
d2v˜
dx2
dx
Coeficientes de rigidez locais
Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas sem articulação
Com isso, consideremos o cálculo do coeficiente de rigidez k′23, ou seja:
A força transversal na extremidade inicial da barra para equilibra-la quando
uma rotação unitária (d′3 = 1) é imposta nesta mesma extremidade.
Neste caso:
v˜(x) = N2(x) d˜
′
2︸︷︷︸
=1
+N3(x) d˜
′
3︸︷︷︸
=0
+N5(x) d˜
′
5︸︷︷︸
=0
+N6(x) d˜
′
6︸︷︷︸
=0
= N2(x) = 1−3x
2
l2
+2
x3
l3
v(x) = N2(x) d
′
2︸︷︷︸
=0
+N3(x) d
′
3︸︷︷︸
=1
+N5(x) d
′
5︸︷︷︸
=0
+N6(x) d
′
6︸︷︷︸
=0
= N3(x) = x−2x
2
l
+
x3
l2
Coeficientes de rigidez locais
Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas sem articulação
Assim, considerando a barra prismática e homogênea:
d2v˜(x)
dx2
=
d2N2(x)
dx2
= − 6
l2
+
12
l3
x,
d2v(x)
dx2
=
d2N3(x)
dx2
= −4
l
+
6
l2
x
⇒ k′23 = k′32 = EI
∫ l
0
d2v
dx2
d2v˜
dx
dx
= EI
∫ l
0
[
− 6
l2
+
12
l3
x
][
− 4
l
+
6
l2
x
]
dx
= EI
[
24
l3
− 42
l4
x2 +
24
l5
x3
]l
0
=
6EI
l2
Generalizando para os demais coeficientes:
k′ij = EI
∫ l
0
d2Ni(x)
dx2
d2Nj(x)
dx2
dx (i, j = 2, 3, 5 ou 6) (14)
Coeficientes de rigidez locais
Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas sem articulação
k′22 =
12EI
l3
, k′33 =
4EI
l
, k′55 =
12EI
l3
, k′66 =
4EI
l
,
k′23 = k
′
32 =
6EI
l2
, k′25 = k
′
52 = −12EI
l3
, k′26 = k
′
62 =
6EI
l2
,
k′35 = k
′
53 = −6EI
l2
, k′36 = k
′
63 =
2EI
l
, k′56 = k
′
65 = −6EI
l2
Coeficientes de rigidez locais
Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas sem articulação
Há uma maneira alternativa de se determinar todos estes coeficientes, baseada
apenas no conhecimento dos coeficientes de rigidez à flexão associados a ro-
tações nas extremidades. Para tal, vamos admitir as configurações abaixo:
KA → coeficiente de rigidez à rotação na extremidade inicial;
tAB → coeficiente de transmissão de momento da extremidade inicial para
a final: estabelece a fração de KA que aparece na outra extremidade em
função da rotação aplicada à inicial;
KB → coeficiente de rigidez à rotação na extremidade final;
tBA → coeficiente de transmissão de momento da extremidade final para
a inicial: estabelece a fração de KB que aparece na outra extremidade em
função da rotação aplicada à final.
Coeficientes de rigidez locais
Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas sem articulação
Como todos os coeficientes de rigidez à flexão podem ser escritos em função
destes 4 parâmetros, eles são chamados de parâmetros fundamentais para
coeficientes de rigidez à flexão.
Inicialmente, faz-se uma comparação direta com as duas configurações defor-
madas elementares apresentadas anteriormente para rotações nas extremi-
dades:
Nota-se que, para d′3 = d′6 = 1:
k′33 = KA k
′
66 = KB k
′
63 = k
′
36 = KAtAB = KBtBA
Coeficientes de rigidez locais
Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas sem articulação
Ainda com essas duas configurações elementares, tem-se, por equilíbrio:
Primeira configuração com d′3 = 1:∑
MB = 0 ⇒ k′33︸︷︷︸
=KA
+ k′63︸︷︷︸
=KAtAB
−k′23l = 0 ∴ k′23 = k′32 = KA(1 + tAB)
l
∑
FV = 0 ⇒k′23 + k′53 = 0 ∴ k′53 = k′35 = −KA(1 + tAB)
l
Segunda configuração com d′6 = 1:∑
MB = 0 ⇒ k′66︸︷︷︸
=KB
+ k′36︸︷︷︸
=KBtBA
−k′26l = 0 ∴ k′26 = k′62 = KB(1 + tBA)
l
∑
FV = 0 ⇒ k′26 + k′56 = 0 ∴ k′56 = k′65 = −KB(1 + tBA)
l
Coeficientes de rigidez locais
Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas sem articulação
Os demais coeficientes de rigidez são também obtidos por equilíbrio, porém
agora, com referência às configurações deformadas associadas a desloca-
mentos transversais nas extremidades:
Iniciando pelo deslocamento na extremidade inicial, d′2 = 1:∑
MB = 0 ⇒ k′32+k′62−k′22l = 0 ⇒ KA(1 + tAB)
l
+
KB(1 + tBA)
l
−k′22l = 0
∴ k′22 =
KA(1 + tAB) +KB(1 + tBA)
l2∑
FV = 0 ⇒ k′22+k′52 = 0 ∴ k′52 = k′25 = −KA(1 + tAB) +KB(1 + tBA)
l2
Equilibrando as forças na segunda figura com d′5 = 1:
k′55 + k
′
25 = 0 ⇒ k′55 = KA(1 + tAB) +KB(1 + tBA)
l2
Coeficientes de rigidez locais
Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas sem articulação
Resumindo:
k′33 = KA (15) k
′
66 = KB (16)
k′63 = k
′
36 = KAtAB = KBtBA (17)
k′23 = k
′
32 =
KA(1 + tAB)
l
(18) k′26 = k
′
62 =
KB(1 + tBA)
l
(19)
k′35 = k
′
53 = −KA(1 + tAB)
l
(20) k′56 = k
′
65 = −KB(1 + tBA)
l
(21)
k′22 = k
′
55 =
KA(1 + tAB) +KB(1 + tBA)
l2
(22)
k′25 = k
′
52 = −KA(1 + tAB) +KB(1 + tBA)
l2
(23)
Coeficientes de rigidez locais
Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas sem articulação
Calculando então, através da Eq. (14):
k′33 = EI
∫ l
0
d2N3(x)
dx2
d2N3(x)
dx2
dx =
4EI
l
k′66 = EI
∫ l
0
d2N6(x)
dx2
d2N6(x)
dx2
dx =
4EI
l
k′36 = EI
∫ l
0
d2N3(x)
dx2
d2N6(x)
dx2
dx =
2EI
l
conclui-se, das Eqs. (15), (16) e (17), que
KA = KB =
4EI
l
(24) tAB = tBA =
1
2
(25)
e os demais coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas sem artic-
ulação ficam automaticamente determinados pelas Eqs. (18) a (23).
Exemplo: k′23 = k′32 =
KA(1 + tAB)
l
=
4EI
l
(1 + 1/2)
l
=
6EI
l2
Coeficientes de rigidez locais
Coef. de rig. à flexão de barras prismáticas com articulação na extremidade inicial
• Coeficientes de rigidez axial de barras prismáticas;
• Coeficientes de rigidez axial de barras com seção variável;
• Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas sem articulação;
• Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas com articulação
na extremidade inicial;
• Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas com articulação
na extremidade final;
• Coeficientes de rigidez à torção de barras.
Coeficientes de rigidez locais
Coef. de rig. à flexão de barras prismáticas com articulação na extremidade inicial
Em muitos casos, tem-se barras articuladas em suas extremidades. Assim,
sua rigidez fica alterada.
A maneira mais direta de obter os novos coeficientes de rigidez à flexão é
a utilização dos parâmetros fundamentais apresentados ao final da última
seção em conjunto com a ideia da superposição de efeitos.
Para a barra com articulação na extremidade inicial, deve-se observar que
todos os coeficientes associados à deslocabilidade d′3 (rotação nesta extrem-
idade) serão nulos, i.e.,
k′33 = k
′
23 = k
′
32 = k
′
35 = k
′
53 = k
′
36 = k
′
63 = 0
Vamos então procurar os coeficientes de rigidez associados à rotação na
outra extremidade (deslocabilidade d′6):
Coeficientes de rigidez locais
Coef. de rig. à flexão de barras prismáticas com articulação na extremidade inicial
Neste caso, adota-se a seguinte superposição:
A primeira parcela corresponde a uma rotação unitária imposta na extremi-
dade final, que gera os momentos fletores indicados na figura, conforme es-
pecificado na dedução dos parâmetros fundamentais.
Como na articulação o momento deve ser nulo, a segunda parcela deve ter
um momento fletor de igual magnitude e sentido oposto na extremidade ini-
cial, enquanto que a final deve ter rotação nula. Sendo assim, o fator de
transmissão de momento da extremidade inicial para a final define o valor do
momento nesta última.
⇒ k′66 = KB −KBtBAtAB = KB(1− tBAtAB)
Coeficientes de rigidez locais
Coef. de rig. à flexão de barras prismáticas com articulação na extremidade inicial
Agora, por equilíbrio:
∑
MB = 0 ⇒ k′66 − k′26l = 0 ⇒ KB(1− tBAtAB)− k′26l = 0
∴ k′26 = k′62 =
KB(1− tBAtAB)
l
∑
FV = 0 ⇒ k′26 + k′56 = 0 ⇒ k′56 = k′65 = −KB(1− tBAtAB)
l
Nota: lembrar que os sentidos positivos de forças e momentos são definidos
nos mesmos sentidos dos eixos locais da barra. Como no livro texto as forças
e momentos de reação das configurações elementares são desenhadas no
sentido que elas de fato atuam, isso pode gerar dúvida nesta fase prévia de
verificação do equilíbrio.
Coeficientes de rigidez locais
Coef. de rig. à flexão de barras prismáticas com articulação na extremidade inicial
Os últimos coeficientes são, então, determinados pelo equilíbrio das configu-
rações deformadas elementares associadas aos deslocamentos transversais:
Iniciando pelo deslocamento na extremidade inicial, d′2 = 1:∑
MB = 0 ⇒ k′62 − k′22l = 0 ⇒ KB(1− tBAtAB)
l
− k′22l = 0
∴ k′22 =
KB(1− tBAtAB)
l2∑
FV = 0 ⇒ k′22 + k′52 = 0 ∴ k′52 = k′25 = −KB(1− tBAtAB)
l2
Equilibrando as forças na segunda figura com d′5 = 1:
k′55 + k
′
25 = 0 ⇒ k′55 = KB(1− tBAtAB)
l2
Coeficientes de rigidez locais
Coef. de rig. à flexão de barras prismáticas com articulação na extremidade inicial
Resumindo:
k′33 = k
′
23 = k
′
32 = k
′
35 = k
′
53 = k
′
36 = k
′
63 = 0 (26)
k′66 = KB(1− tBAtAB) (27)
k′26 = k
′
62 =
KB(1− tBAtAB)
l
(28)
k′56 = k
′
65 = −KB(1− tBAtAB)
l
(29)
k′22 = k
′
55 =
KB(1− tBAtAB)
l2
(30)
k′25 = k
′
52 = −KB(1− tBAtAB)
l2
(31)
Finalmente, aplicando as Eqs. (24) e (25), i.e.,
KB = 4EI/l e tAB = tBA = 1/2,
às Eqs. (26) a (31) obtêm-se as expressões finais para coeficientes de rigidez
à flexão de uma barra prismática com articulação na extremidade inicial.
Coeficientes de rigidez locais
Coef. de rig. à flexão de barras prismáticas com articulação na extremidade inicial
k′33 = 0, k
′
66 = KB(1−tBAtAB) = 4EI
l
[
1−1
4
]
=
3EI
l
, k′22 = k
′
55 =
3EI
l3
,
k′26 = k
′
62 =
3EI
l2
, k′56 = k
′
65 = −3EI
l2
, k′25 = k
′
52 = −3EI
l3
k′23 = k
′
32 = k
′
35 = k
′
53 = k
′
36 = k
′
63 = 0
Coeficientes de rigidez locais
Coef. de rig. à flexão de barras prismáticas com articulação na extremidade final
• Coeficientes de rigidez axial de barras prismáticas;
• Coeficientes de rigidez axial de barras com seção variável;
• Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas sem articulação;
• Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas com articulação
na extremidade inicial;
• Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas com articulação
na extremidade final;
• Coeficientes de rigidez à torção de barras.
Coeficientes de rigidez locais
Coef. de rig. à flexão de barras prismáticas com articulação na extremidade final
Para a barra com articulação na extremidade final, deve-se observar que to-
dos os coeficientes associados à deslocabilidade d′6 (rotação nesta extremi-
dade) serão nulos, i.e.,
k′66 = k
′
26 = k
′
62 = k
′
36 = k
′
63 = k
′
65 = k
′
56 = 0
Vamos então procurar os coeficientes de rigidez associados à rotação na
outra extremidade (deslocabilidade d′3), o que pode ser feito adotando-se a
seguinte superposição:
⇒ k′33 = KA −KAtABtBA = KA(1− tABtBA)
Coeficientes de rigidez locais
Coef. de rig. à flexão de barras prismáticas com articulação na extremidade final
Por equilíbrio:
∑
MA = 0 ⇒ k′33 + k′53l = 0 ⇒ KA(1− tABtBA)− k′53l = 0
∴ k′53= k′35 = −KA(1− tABtBA)
l
∑
FV = 0 ⇒ k′23 + k′53 = 0 ⇒ k′23 = k′32 = KA(1− tABtBA)
l
Nota: lembrar que os sentidos positivos de forças e momentos são definidos
nos mesmos sentidos dos eixos locais da barra. Como no livro texto as forças
e momentos de reação das configurações elementares são desenhadas no
sentido que elas de fato atuam, isso pode gerar dúvida nesta fase prévia de
verificação do equilíbrio.
Coeficientes de rigidez locais
Coef. de rig. à flexão de barras prismáticas com articulação na extremidade final
Os últimos coeficientes são, então, determinados pelo equilíbrio das configu-
rações deformadas elementares associadas aos deslocamentos transversais:
Iniciando pelo deslocamento na extremidade final, d′5 = 1:∑
MA = 0 ⇒ k′35 + k′55l = 0 ⇒ −KA(1− tABtBA)
l
+ k′55l = 0
∴ k′55 =
KA(1− tABtBA)
l2∑
FV = 0 ⇒ k′25 + k′55 = 0 ∴ k′25 = k′52 = −KA(1− tABtBA)
l2
Equilibrando as forças na figura figura com d′2 = 1:
k′22 + k
′
52 = 0 ⇒ k′22 = KA(1− tABtBA)
l2
Coeficientes de rigidez locais
Coef. de rig. à flexão de barras prismáticas com articulação na extremidade final
Resumindo:
k′66 = k
′
26 = k
′
62 = k
′
36 = k
′
63 = k
′
65 = k
′
56 = 0 (32)
k′33 = KA(1− tABtBA) (33)
k′23 = k
′
32 =
KA(1− tABtBA)
l
(34)
k′35 = k
′
53 = −KA(1− tABtBA)
l
(35)
k′22 = k
′
55 =
KA(1− tABtBA)
l2
(36)
k′25 = k
′
52 = −KA(1− tABtBA)
l2
(37)
Finalmente, aplicando as Eqs. (24) e (25), i.e.,
KA = 4EI/l e tAB = tBA = 1/2,
às Eqs. (32) a (37) obtêm-se as expressões finais para coeficientes de rigidez
à flexão de uma barra prismática com articulação na extremidade final.
Coeficientes de rigidez locais
Coef. de rig. à flexão de barras prismáticas com articulação na extremidade final
k′66 = 0, k
′
33 = KA(1−tABtBA) = 4EI
l
[
1−1
4
]
=
3EI
l
, k′22 = k
′
55 =
3EI
l3
,
k′23 = k
′
32 =
3EI
l2
, k′35 = k
′
53 = −3EI
l2
, k′25 = k
′
52 = −3EI
l3
k′26 = k
′
62 = k
′
36 = k
′
63 = k
′
65 = k
′
56 = 0
Coeficientes de rigidez locais
Matrizes de Rigidez para barra prismática de pórtico plano
Com o que foi visto até aqui, podem-se escrever expressões para as matrizes
de rigidez de uma barra de pórtico plano prismática (ver Eq. 11), sujeita a
diferentes condições de contorno.
Barra sem articulação:
[k′] =

EA/l 0 0 −EA/l 0 0
0 12EI/l3 6EI/l2 0 −12EI/l3 6EI/l2
0 6EI/l2 4EI/l 0 −6EI/l2 2EI/l
−EA/l 0 0 EA/l 0 0
0 −12EI/l3 −6EI/l2 0 12EI/l3 −6EI/l2
0 6EI/l2 2EI/l 0 −6EI/l2 4EI/l
 (38)
Barra com articulação na extremidade inicial:
[k′] =

EA/l 0 0 −EA/l 0 0
0 3EI/l3 0 0 −3EI/l3 3EI/l2
0 0 0 0 0 0
−EA/l 0 0 EA/l 0 0
0 −3EI/l3 0 0 3EI/l3 −3EI/l2
0 3EI/l2 0 0 −3EI/l2 −3EI/l
 (39)
Coeficientes de rigidez locais
Matrizes de Rigidez para barra prismática de pórtico plano
Barra com articulação na extremidade final:
[k′] =

EA/l 0 0 −EA/l 0 0
0 3EI/l3 3EI/l2 0 −3EI/l3 0
0 3EI/l2 3EI/l 0 −3EI/l2 0
−EA/l 0 0 EA/l 0 0
0 −3EI/l3 −3EI/l2 0 3EI/l3 0
0 0 0 0 0 0
 (40)
Barra com articulação nas duas extremidades (Treliça plana):
[k′] =

EA/l 0 0 −EA/l 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
−EA/l 0 0 EA/l 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
 (41)
Coeficientes de rigidez locais
Coeficientes de rigidez à torção
• Coeficientes de rigidez axial de barras prismáticas;
• Coeficientes de rigidez axial de barras com seção variável;
• Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas sem articulação;
• Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas com articulação
na extremidade inicial;
• Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas com articulação
na extremidade final;
• Coeficientes de rigidez à torção de barras.
Coeficientes de rigidez locais
Coeficientes de rigidez à torção
No caso de uma barra de grelha, definem-se os eixos locais e as deslocabili-
dades (com sentidos positivos) conforme a figura a seguir:
Apesar das solicitações axial e por torção possuírem naturezas diferentes, a
variação do ângulo de giro, φ, com eixo local x nesta última é linear, assim
como ocorre com u(x) no primeiro caso. Assim, as funções de forma N1(x) e
N4(x) são adequadas para representar os deslocamentos por torção, i.e.,
φ(x) = N1(x)d
′
1 +N4(x)d
′
4 =
[
1− x
l
]
d′1 +
[
x
l
]
d′4 (42)
Utilizando o MDU, pode-se então obter os coeficientes de rigidez à torção
para as barras prismáticas:
k′ij = GJt
∫ l
0
dφ˜
dx
dφ
dx
dx = GJt
∫ l
0
dNi(x)
dx
dNj(x)
dx
dx (i, j = 1 ou 4) (43)
Coeficientes de rigidez locais
Coeficientes de rigidez à torção
Portanto:
k′14 = k
′
41 = GJt
∫ l
0
dN1(x)
dx
dN4(x)
dx
dx = GJt
∫ l
0
(
− 1
l
)(
1
l
)
dx = −GJt
l
k′11 = GJt
∫ l
0
dN1(x)
dx
dN1(x)
dx
dx = GJt
∫ l
0
(
− 1
l
)(
− 1
l
)
dx =
GJt
l
k′44 = GJt
∫ l
0
dN4(x)
dx
dN4(x)
dx
dx = GJt
∫ l
0
(
1
l
)(
1
l
)
dx =
GJt
l
As outras deslocabilidades são as mesmas relativas à flexão e, portanto, os
coeficientes são os mesmos já vistos, mudando apenas os posicionamentos
na matriz de rigidez e alguns sinais em função da nova definição de cada
parâmetro d′i. Assim, num caso sem articulação:
[k′] =

GJt/l 0 0 −GJt/l 0 0
0 4EI/l −6EI/l2 0 2EI/l 6EI/l2
0 −6EI/l2 12EI/l3 0 −6EI/l2 −12EI/l3
−GJt/l 0 0 GJt/l 0 0
0 2EI/l −6EI/l2 0 4EI/l 6EI/l2
0 6EI/l2 −12EI/l3 0 6EI/l2 12EI/l3
 (44)
Coeficientes de rigidez locais
Coeficientes de rigidez à torção
Quando a barra sujeita à torção possuir seção variável, pode-se definir um
parâmetro fundamental de rigidez à torção, Kφ, conforme indicado na figura
abaixo e definido pelo inverso da flexibilidade:
Kφ =
[ ∫ l
o
1
GJt
dx
]−1
(45)
Se a seção for constante, a Eq. (45) resulta em
Kφ =
GJt
l
e os valores anteriores são recuperados.
Reações de engastamento perfeito para barra isolada
O segundo tipo de soluções fundamentais importante para aplicação ao método
dos deslocamentos são as reações de apoio de barras isoladas sujeitas aos
carregamentos externos.
Os sentidos positivos destas reações são adotados conforme um sistema
cartesiano local à barra, i.e., com o eixo x paralelo ao próprio eixo da barra:
Define-se, portanto,
fˆ ′i → reação de engastamento perfeito no sistema local: força ou mo-
mento de reação que atua na direção da deslocabilidade d′i de uma barra com
as extremidades fixas sujeita a carregamentos externos genéricos.
Reações de engastamento perfeito para barra isolada
Novamente, considerando um regime de pequenos deslocamentos, vamos
desacoplar os efeitos axiais dos transversais, subdividindo a obtenção destas
reações em:
• Reações devido aos efeitos axiais: fˆ ′1 e fˆ ′4;
• Reações devido aos efeitos transversais: fˆ ′2, fˆ ′3, fˆ ′5 e fˆ ′6;
• Reações devido às variações de temperatura.
As deduções para extremidades totalmente engastadas são baseadas no teo-
rema da reciprocidade de Betti.
No caso da introdução de rótulas nas extremidades, torna-se necessária a
utilização dos parâmetros fundamentais em conjunto com o princípio da su-
perposição de efeitos.
Reações de engastamento perfeito para barra isolada
Teorema da reciprocidade de Betti ou Teorema do trabalho recíproco
Admita um corpo sólido qualquer, sujeito a pequenos deslocamentos em
regime elástico, de forma que seja válido o princípio da superposição de
efeitos.
Considere então, dois sistemas distintos de forças generalizadas (forças ou
momentos), Pi e Qi, atuando neste corpo de forma separada:
onde:
δPi, δQi → deslocamentos no sistema 1 (onde atuam Pi) nas direções de Pi e Qi;
δ′Pi, δ
′
Qi→ deslocamentos no sistema 2 (onde atuam Qi) nas direções de Pi e Qi;
Reações de engastamento perfeito para barra isolada
Teorema da reciprocidade de Betti ou Teorema do trabalho recíproco
Se ambos os sistemas de forças forem aplicados simultaneamente, a energia
interna acumulada será igual ao trabalho realizado por todas as forças, i.e.,
U =
1
2
P1(δP1 + δ
′
P1) + · · ·+ 1
2
Pm(δPm + δ
′
Pm)
+
1
2
Q1(δQ1 + δ
′
Q1) + · · ·+ 1
2
Qn(δQn + δ
′
Qn)
(46)
Reações de engastamento perfeito para barra isolada
Teorema da reciprocidade de Betti ou Teorema do trabalho recíproco
Por outro lado, se o sistema de cargas Pi for aplicado inicialmente e, numa
segunda etapa, mantendo-se estas primeiras cargas fixas, for aplicado o sis-
tema Qi, as seguintes parcelas de energia seriam acumuladas:
Etapa 1:
U˜1 =
1
2
P1δP1 + · · ·+ 1
2
PmδPm (47)
Etapa 2:
U˜2 =
1
2
Q1δ
′
Q1 + · · ·+ 1
2
Qnδ
′
Qn (48) U˜3 = P1δ′P1 + · · ·+ Pmδ′Pm (49)
Reações de engastamento perfeito para barra isolada
Teorema da reciprocidade de Betti ou Teorema do trabalho recíproco
Como nos dois casos a energia interna acumulada deve ser a mesma, a
Eq. (46) deve ser igual à soma das Eqs. (47) a (49), i.e.,
U = U˜1 + U˜2 + U˜3 ⇒
m∑
i=1
Piδ
′
Pi =
n∑
j=1
QjδQj (50)
"O trabalho realizado pelas forças generalizadas do sistema 1 com os corre-
spondentes deslocamentos generalizados do sistema 2 é iagual ao trabalho
realizado pelas forças generalizadas do sistema 2 com os correspondentes
deslocamentos generalizados do sistema 1."
Reações de engastamento perfeito para barra isolada
Teorema da reciprocidade de Betti ou Teorema do trabalho recíproco
Para exemplificar a utilização do teorema de Betti na obtenção das reações de
apoio de uma barra bi-engastada, considera-se a figura abaixo, onde procura-
se determinar a reação vertical na extremidade inicial (fˆ ′2) da barra sujeita ao
carregamento distribuído q(x):
Sistema I: Forças externas q(x) e reações fˆ ′i ; deslocamentos vI(x).
Sistema II: Forças externas VA e reações VB , MA e MB ; deslocamentos
vII(x) (proporcionais à função de forma N2, já que somente a translação em
A foi liberada).
⇒ (∆A)(fˆ ′2) +
∫ l
0
vII(x)︸ ︷︷ ︸
=N2(x)∆A
q(x) dx = 0, ∴ fˆ ′2 = −
∫ l
0
N2(x)q(x) dx
Reações de engastamento perfeito para barra isolada
Teorema da reciprocidade de Betti ou Teorema do trabalho recíproco
Analogamente, para se determinar fˆ ′3, faz-se:
(θA)(fˆ
′
3) +
∫ l
0
vII(x)︸ ︷︷ ︸
=N3(x)θA
q(x) dx = (0)(MA) + (0)(VA) + (0)(VB) + (0)(MB)︸ ︷︷ ︸
=0
∴ fˆ ′3 = −
∫ l
0
N3(x)q(x) dx
Reações de engastamento perfeito para barra isolada
Reações devido aos efeitos axiais
Considera-se aqui, apenas barras solicitadas axialmente por cargas distribuí-
das, p(x), ou concentradas, Pj (nos pontos x = xj).
Aplicando o teorema do trabalho recíproco, pode-se escrever a seguinte ex-
pressão genérica para as reações de apoio axiais:
fˆ ′i = −
∫ l
0
Ni(x)p(x) dx−
∑
j
Ni(xj)Pj (i = 1 ou 4) (51)
A seguir, são apresentados alguns exemplos.
Reações de engastamento perfeito para barra isolada
Reações devido aos efeitos axiais
Exemplo 1: carga concentrada.
Lembrando:
N1(x) = 1− x
l
N4(x) =
x
l
fˆ ′1 = −
∫ l
0
N1(x) p(x)︸︷︷︸
=0
dx−
∑
j
N1(xj)Pj = −N1(a)P = −
[
1− a
l
]
P = −Pb
l
fˆ ′4 = −N4(a)P = −
[
a
l
]
P = −Pa
l
Assim:
Reações de engastamento perfeito para barra isolada
Reações devido aos efeitos axiais
Exemplo 2: carga trapezoidal.
Da figura, conclui-se que:
p(x) = pA +
(
pB − pA
l
)
x
Assim:
fˆ ′1 = −
∫ l
0
N1(x)p(x) dx = −
∫ l
0
[
1−x
l
][
pA+
(
pB − pA
l
)
x
]
dx = −
[
pAl
3
+
pBl
6
]
fˆ ′4 = −
∫ l
0
N4(x)p(x) dx = −
∫ l
0
[
x
l
][
pA+
(
pB − pA
l
)
x
]
dx = −
[
pAl
6
+
pBl
3
]
Reações de engastamento perfeito para barra isolada
Reações devido aos efeitos transversais
Agora, vamos analisar as barras sujeitas a forças transversais distribuídas,
q(x), ou concentradas (em pontos x = xj), Pj , além de momentos fletores
concentrados (em pontos x = xk), Mk.
Do teorema do trabalho recíproco:
fˆ ′i = −
∫ l
0
Ni(x)q(x) dx−
∑
j
Ni(xj)Pj −
∑
k
dNk(xk)
dx
Mk
(i = 2, 3, 5 ou 6)
(52)
Reações de engastamento perfeito para barra isolada
Reações devido aos efeitos transversais
No caso de extremidades rotuladas, o teorema de Betti não é suficiente para
determinar as reações, já que a rotação deixa de ser nula.
Em tais situações, podem ser utilizados os parâmetros fundamentais já discu-
tidos anteriormente, juntamente com a aplicação do princípio da superposição
de efeitos, conforme ilustrado nas figuras seguintes.
Articulação na extremidade inicial:
Reações de engastamento perfeito para barra isolada
Reações devido aos efeitos transversais
Articulação na extremidade final:
Nestes dois casos, a parcela inicial da superposição contém reações de en-
gastamento perfeito obtidas pela Eq. (52).
Desta forma, conhecido MA no primeiro caso ou MB no segundo, procura-se
uma segunda parcela que anule o momento na extremidade articulada.
Finalmente, lembrando que tAB = tBA = 1/2, a superposição fornece os
valores requeridos de fˆ ′i (ver equações nas figuras).
Reações de engastamento perfeito para barra isolada
Reações devido aos efeitos transversais
Exemplo 1: carregamento uniformemente distribuído.
fˆ ′2 = −
∫ l
0
(−q)N2(x) dx = q
∫ l
0
[
1− 3x
2
l2
+ 2
x3
l3
]
dx = q
[
x− x
3
l2
+
x4
2l3
]l
0
=
ql
2
fˆ ′3 = −
∫ l
0
(−q)N3(x) dx = q
∫ l
0
[
1− 2x
2
l
+
x3
l2
]
dx = q
[
x2
2
− 2x
3
3l
+
x4
4l2
]l
0
=
ql2
12
fˆ ′5 = −
∫ l
0
(−q)N5(x) dx = q
∫ l
0
[
3
x2
l2
− 2x
3
l3
]
dx = q
[
x3
l2
− x
4
2l3
]l
0
=
ql
2
fˆ ′6 = −
∫ l
0
(−q)N6(x) dx = q
∫ l
0
[
− x
2
l
+
x3
l2
]
dx = q
[
− x
3
3l
+
x4
4l2
]l
0
= −ql
2
12
Reações de engastamento perfeito para barra isolada
Reações devido aos efeitos transversais
Inserindo uma rótula na extremidade inicial:
Dos últimos resultados: MA =
ql2
12
, VA =
ql
2
, MB = −ql
2
12
, VB =
ql
2
Assim:
fˆ ′2 = VA −MA (1 + tAB)
l
=
ql
2
− ql
12
(
3
2
)
=
3ql
8
fˆ ′5 = VB +MA
(1 + tAB)
l
=
ql
2
+
ql
12
(
3
2
)
=
5ql
8
fˆ ′6 = MB −MAtAB = −ql
2
12
− ql
2
12
(
1
2
)
= −ql
2
8
, fˆ ′3 = 0
Reações de engastamento perfeito para barra isolada
Reações devido aos efeitos transversais
Com a rótula na extremidade final:
fˆ ′2 = VA −MB (1 + tBA)
l
=
ql
2
+
ql
12
(
3
2
)
=
5ql
8
fˆ ′5 = VB +MB
(1 + tBA)
l
=
ql
2
− ql
12
(
3
2
)
=
3ql
8
fˆ ′3 = MA −MBtBA = ql
2
12
+
ql2
12
(
1
2
)
=
ql2
8
, fˆ ′6 = 0
Reações de engastamento perfeito para barra isolada
Reações devido aos efeitos transversais
Resumindo:
Reações de engastamento perfeito para barra isolada
Reações devido aos efeitos transversais
Exemplo 2: força concentrada no centro da barra.
fˆ ′2 = −(−P )N2(x = l/2) = P
[
1− 3
l2
(
l
2
)2
+
2
l3
(
l
2
)3]
=
P
2
fˆ ′3 = −(−P )N3(x = l/2) = P
[
l
2
− 2
l
(
l
2
)2
+
1
l2
(
l
2
)3]
=
Pl
8
fˆ ′5 = −(−P )N5(x = l/2) = P
[
3
l2
(
l
2
)2
− 2
l3
(
l
2
)3]
=
P
2
fˆ ′6 = −(−P )N6(x = l/2) = P
[
− 1
l
(
l
2
)2
+
1
l2
(
l
2
)3]
= −Pl
8
Reações de engastamentoperfeito para barra isolada
Reações devido aos efeitos transversais
Inserindo uma rótula na extremidade inicial:
Dos últimos resultados: MA =
Pl
8
, VA =
P
2
, MB = −Pl
8
, VB =
P
2
Assim:
fˆ ′2 = VA −MA (1 + tAB)
l
=
P
2
− P
8
(
3
2
)
=
5P
16
fˆ ′5 = VB +MA
(1 + tAB)
l
=
P
2
+
3P
16
=
11P
16
fˆ ′6 = MB −MAtAB = −Pl
8
− Pl
16
= −3Pl
16
, fˆ ′3 = 0
Reações de engastamento perfeito para barra isolada
Reações devido aos efeitos transversais
Com a rótula na extremidade final:
fˆ ′2 = VA −MB (1 + tBA)
l
=
Pl
8
+
P
8
(
3
2
)
=
11P
16
fˆ ′5 = VB +MB
(1 + tBA)
l
=
P
2
− P
8
(
3
2
)
=
5P
16
fˆ ′3 = MA −MBtBA = Pl
8
+
Pl
8
(
1
2
)
=
3Pl
16
, fˆ ′6 = 0
Notar que nestes problemas com simetria de carga, basta rebater a figura
para obter as respostas com rótula no início e no final.
Reações de engastamento perfeito para barra isolada
Reações devido aos efeitos transversais
Resumindo:
Reações de engastamento perfeito para barra isolada
Reações devido aos efeitos transversais
Outros exemplos:
Leitura recomendada
• Livro Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos, Luiz Fernando
Martha, 2a. ed., Elsevier Editora Ltda., Rio de Janeiro, 2017:
Capítulo 9
	Introdução
	Funções de forma para configurações deformadas elementares de barras prismáticas de pórtico plano
	Coeficientes de rigidez locais
	Coeficientes de rigidez axial de barras prismáticas
	Coeficientes de rigidez axial de barras com seção variável
	Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas sem articulação
	Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas com articulação na extremidade inicial
	Coeficientes de rigidez à flexão de barras prismáticas com articulação na extremidade final
	Matrizes de Rigidez para barra prismática de pórtico plano
	Coeficientes de rigidez à torção de barras
	Reações de engastamento perfeito
	Teorema do trabalho recíproco
	Reações devido aos efeitos axiais
	Reações devido aos efeitos transversais
	Leitura recomendada