apostila cálculo i

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Universidade Federal do Para´
Campus Universita´rio de Tucuru´ı
Faculdade de Engenharia Sanita´ria e Ambiental
Apostila de CA´LCULO I
Prof. Ce´sar Juan
Baseada nos livros:
© T.M. Apostol, Calculus, Vol. 1, 2ed., Editorial Reverte´
(1984);
© J. Stewart, Ca´lculo, Vol. 1, 5ed., Pioneira Thomson Lear-
ning (2006);
© G.B. Thomas, Ca´lculo, Vol. 1, 11ed., Editora Pearson (2009);
© L. Leithold, O Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica, Vol. 1,
3ed., Editora Harbra (1994);
© N. Piskounov, Ca´lculo Diferencial e Integral, Vol. 1, 18ed.,
Edic¸o˜es Lopes da Silva (2000).
Tucuru´ı - Para´
2016
i
Suma´rio
Introduc¸a˜o 1
1 Nu´meros Reais 2
1.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Igualdade de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Subconjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Notac¸a˜o impl´ıcita de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.4 Operac¸o˜es com conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.5 Conjuntos nume´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Nu´meros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Axiomas de corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Axiomas de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Interpretac¸a˜o geome´trica dos nu´meros reais como pontos de uma reta . . . . . . . . . 8
1.2.4 Cota superior de um conjunto, elemento ma´ximo, extremo superior . . . . . . . . . . . 9
1.3 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Raiz quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Func¸o˜es 12
2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Constantes e varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Representac¸a˜o de func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.1 Representac¸a˜o anal´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.2 Representac¸a˜o via tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.3 Representac¸a˜o gra´fica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Func¸o˜es definidas por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6 Principais func¸o˜es elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6.1 Func¸a˜o constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6.2 Func¸a˜o poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
ii
2.6.3 Func¸a˜o modular ou valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6.4 Func¸a˜o exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6.5 Func¸a˜o logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6.6 Func¸a˜o trigonome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7 Translac¸a˜o de um gra´fico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.8 Func¸o˜es compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.9 Func¸a˜o linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.9.1 Quando b = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.9.2 Quando b 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.10 Func¸a˜o quadra´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.10.1 Quando b = c = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.10.2 Quando b 6= 0 e c 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.11 Func¸a˜o par e ı´mpar: Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Limite e Continuidade 21
3.1 Limite de uma varia´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Limite de uma func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.1 O problema da tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.2 O limite de uma func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.3 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.4 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Ca´lculo de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.1 Propriedades das Func¸o˜es Cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Ca´lculo Diferencial 29
4.1 Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 A derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.1 Taxa de variac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 A derivada como uma func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.4 Regras de derivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4.1 Func¸a˜o constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4.2 Func¸a˜o poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5 Regras do produto e do quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.6 Derivada de func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.7 Regra da cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.7.1 Func¸a˜o exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
iii
4.7.2 Derivada de func¸a˜o logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.8 Derivadas de ordens superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.8.1 Derivada segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.8.2 Derivada terceira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.9 Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.10 Valores ma´ximos e mı´nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.10.1 Pontos cr´ıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.10.2 Teorema de Rolle e teorema do valor me´dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.10.3 Concavidade e pontos de inflexa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.10.4 O teste da derivadasegunda para extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Ca´lculo Integral 36
5.1 Antiderivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2 Integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.1 Regras da integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2.2 Regra da substituic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2.3 Integrac¸a˜o por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3 O problema da a´rea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3.1 A´rea como limite de somas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.4 A integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.4.1 Propriedades da integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.4.2 O teorema fundamental do ca´lculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
iv
Introduc¸a˜o
O considera´vel avanc¸e na cieˆncia du-
rante os u´ltimos se´culos procede em grande parte
do desenvolvimento da Matema´tica. O Ca´lculo
Diferencial e Integral, ou mais conhecido como
Ca´lculo I, e´ um ramo importante da matema´tica,
desenvolvido a partir da A´lgebra e da Geometria,
que se dedica ao estudo de taxas de variac¸a˜o de
grandezas (como a inclinac¸a˜o de uma reta) e a acu-
mulac¸a˜o de quantidades (como a a´rea debaixo de
uma curva ou o volume de um so´lido).
As ide´ias iniciais do Ca´lculo podem
ser encontradas nos trabalhos dos matema´ticos gre-
gos da Antiguidade, da e´poca de Arquimedes (287
- 212 A.C.) e em trabalhos do in´ıcio do se´culo de-
zessete por Rene´ Descartes (1596 - 1650), Pierre de
Fermat (1601 - 1665), John Wallis (1616 - 1703) e
Isaac Barrow (1630 - 1677).
Entretanto, a invenc¸a˜o do Ca´lculo e´
frequentemente atribu´ıda a Sir Isaac Newton (1642
- 1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)
pois eles comec¸aram a efetuar a generalizac¸a˜o e a
unificac¸a˜o do Ca´lculo Diferencial e o Ca´lculo In-
tegral. Haviam outros matema´ticos do se´culo de-
zessete e dezoito que contribu´ıram para o desen-
volvimento do Ca´lculo. No entanto, na˜o foi antes
do se´culo dezenove que os processo do Ca´lculo re-
ceberam fundamentac¸a˜o so´lida por parte de ma-
tema´ticos como Bernhard Bolzano (1781 - 1848),
Augustin L. Cauchy (1789 - 1857), Karl Weiers-
trass (1815 - 1897) e Richard Dedekind (1831 -
1916).
Na atualidade, o Ca´lculo e´ um
instrumento natural e poderoso para atacar
mu´ltiples problemas que surgem na F´ısica, Astro-
nomı´a, Engenharia, e em outras a´reas, inclusive em
cieˆncias sociais.
1
Cap´ıtulo 1
Nu´meros Reais
O bom entendimento dos nu´meros re-
ais e´ primordial para a compreensa˜o do Ca´lculo.
Por esta raza˜o, neste cap´ıtulo, estudaremos deta-
lhadamente as propriedades dos nu´meros reais, as-
sim desta maneira facilitar a compreensa˜o dos con-
ceitos sobre func¸o˜es de uma varia´vel real, que sera˜o
objeto de estudo do pro´ximo cap´ıtulo.
Antes de comec¸ar plenamente o es-
tudo de nu´meros reais, sera´ preciso fazer uma breve
revisa˜o da teoria de conjuntos.
1.1 Conjuntos
Em matema´tica, a palavra conjunto
e´ usada para representar uma colec¸a˜o de objetos
com certas caracter´ısticas em comum. Por exem-
plo: uma colec¸a˜o de livros de matema´tica, uma
colec¸a˜o de alunos de uma determinada turma, uma
colec¸a˜o dos cinco primeiros nu´meros primos1 e etc.
Os objetos que conformam a colec¸a˜o chamam-se
elementos ou membros do conjunto. Por agora,
trataremos apenas os conjuntos nos quais os ele-
mentos sa˜o nu´meros.
Usualmente os conjuntos sa˜o designa-
das com letras maiu´sculas: A, B, C, ..., X, Y , Z;
e os elementos com minu´sculas: a, b, c, ..., x, y, z.
X Usamos a notac¸a˜o
x ∈ X
para indicar que “x e´ um elemento do conjunto
X” ou que “x pertence a X”.
X Se x na˜o pertence a X escrevemos
x /∈ X
Sempre que for necessa´rio, designare-
mos os conjuntos escrevendo os elementos entre col-
chetes, por exemplo:
X o conjunto dos cinco primeiros nu´meros
primos se expressa com o s´ımbolo
1Um nu´mero primo, e´ um nu´mero que tem somente dois
divisores: o nu´mero 1 e ele mesmo.
{2, 3, 5, 7, 11};
X e o conjunto de todos os inteiros positivos
se representa com
{1, 2, 3, ...},
os treˆs pontos indicam “e assim por diante”.
O me´todo de citar explicitamente os
elementos de um conjunto entre colchetes e´ muitas
vezes chamado a notac¸a˜o em lista ou explicita.
Conjunto vazio
Um conjunto que na˜o possui elemen-
tos e´ chamado conjunto vazio, e e´ representado pelo
s´ımbolo ∅.
Diagramas de Venn
Frequentemente nos ajudamos de di-
agramas para apresentar conjuntos. Por exemplo,
podemos representar o conjunto S mediante uma
regia˜o no plano, e cada um de seus elementos e´ re-
presentado por um ponto no interior desta regia˜o.
Esta forma de apresentac¸a˜o de conjuntos e´ cha-
mada diagramas de Venn.
1.1.1 Igualdade de conjuntos
Se diz que dois conjuntos A e B sa˜o
iguais (ou ideˆnticos) se compreendem exatamente
os mesmos elementos, em cujo caso escrevemos A =
B. Se um dos conjuntos conte´m qualquer elemento
que na˜o esteja no outro, dizemos que os conjuntos
sa˜o diferentes e escrevemos A 6= B.
Exemplo 1.1. A partir da definic¸a˜o, os dois con-
juntos
{2, 4, 6, 8} e {2, 8, 4, 6}
sa˜o iguais, dado que ambos esta˜o conformados de
quatro elementos 2, 4, 6 e 8. Assim, quando usa-
mos a notac¸a˜o em lista ou explicita para expressar
um conjunto, a ordem em que os elementos
aparecem na˜o e´ importante.
2
1.1.4 Operac¸o˜es com conjuntos 3
1.1.2 Subconjunto
Dizemos que um conjunto B e´ um
subconjunto do conjunto A se todo elemento de
B for tambe´m elemento de A. Nesse caso, dizemos
que B esta´ contido em A, ou que A conte´m B.
Essa relac¸a˜o de contineˆncia e´ representada por
B ⊂ A ou A ⊃ B.
X Por exemplo:
{2, 4} ⊂ {1, 2, 3, 4}
e´ dizer, {2, 4} e´ um subconjunto de {1, 2, 3,
4}.
Propriedades dos subconjuntos
Dados os conjuntos A, B e C, sa˜o
va´lidas as seguintes propriedades:
I (S1): A ⊂ A;
I (S2): ∅ ⊂ A;
I (S3): se A ⊂ B e B ⊂ A, enta˜o A = B;
I (S4): se A ⊂ B e B ⊂ C, enta˜o A ⊂ C.
Exemplo 1.2. Dado o conjunto {a, b, c}, podemos
escrever:
X {a} ⊂ {a, b, c}; X {b} ⊂ {a, b, c};
X {c} ⊂ {a, b, c}; X {a, b} ⊂ {a, b, c};
X {a, c} ⊂ {a, b, c}; X {b, c} ⊂ {a, b, c};
X {a, b, c} ⊂ {a, b, c}; X ∅ ⊂ {a, b, c}.
1.1.3 Notac¸a˜o impl´ıcita de conjun-
tos
A notac¸a˜o
{x /x ∈ S e x satisfaz C}
designa o conjunto cujos elementos sa˜o x tal que
pertencem ao conjunto S e satisfazem a condic¸a˜o
C. O simbolo “/” leˆ-se: tal que.
X Por exemplo, o conjunto
A = {x / x ∈ inteiros positivos e x < 5}
esta´ conformado somente pelos inteiros po-
sitivos menores que o nu´mero 5, e´ dizer na
notac¸a˜o explicita
A = {1, 2, 3, 4}
Os conjuntos apresentados desta
forma diz-se que esta˜o na notac¸a˜o impl´ıcita, e
sa˜o caracterizados por uma condic¸a˜o definidora
C. No exemplo anterior a condic¸a˜o definidora e´
“x < 5”.
1.1.4 Operac¸o˜es com conjuntos
Unia˜o (∪)
A unia˜o de A e B que se representa
pelo s´ımbolo A ∪ B (leˆ-se: “A unia˜o B”), define-
se como o conjunto formado pelos elementos que
pertencem a A ou a B.
Exemplo 1.3. Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e
B = {2, 4}, enta˜o A ∪B = {1, 2, 3, 4}.
Intersec¸a˜o (∩)
A intersec¸a˜o de A e B que se repre-
senta pelo s´ımbolo A∩B (leˆ-se: “A intersec¸a˜o B”)
define-se como o conjunto formado pelos elementos
que pertencem, ao mesmo tempo, a A e a B.
Exemplo 1.4. Sejam os conjuntos A = {3, 6, 9} e
B = {2, 4, 6}, enta˜o A ∩B = {6}.
Dois conjunto se chamam disjuntos
se A∩B = ∅ (e´dizer que A e B na˜o teˆm elementos
comuns).
Propriedades da unia˜o e da intersec¸a˜o
Suponha que A, B e C sejam conjun-
tos quaisquer.
I (P1): A ∪A = A; A ∩A = A;
I (P2): A ∪∅ = A; A ∩∅ = ∅;
I (P3): A ∪B = B ∪A; A ∩B = B ∩A;
I (P4):
(A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C);
(A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
Exerc´ıcio 1.1. Dados os conjuntos A =
{1, 2, 3, 4, 9}, B = {2, 4, 6, 8} e C = {1, 3, 5, 7, 10},
determine A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C, A ∩ B, A ∩ C e
B ∩ C.
Diferenc¸a (−)
A diferenc¸a de A e B e´ representada
pelo s´ımbolo A − B (leˆ-se: “A diferenc¸a B”), e
define-se como o conjunto de elementos de A que
na˜o pertencem a B, e´ dizer na notac¸a˜o impl´ıcita de
conjuntos:
A−B = {x /x ∈ A e x /∈ B}
Exemplo 1.5. Sejam os conjuntos A = {2, 3, 5, 7}
e B = {1, 3, 5}, enta˜o A−B = {2, 7}.
1.1.5 Conjuntos nume´ricos
A noc¸a˜o de nu´mero e´ o fundamento
da matema´tica, elaborada na antiguidade, ela so-
freu no decurso dos se´culos um longo processo de
extensa˜o e de generalizac¸a˜o.
1.1.5 Conjuntos nume´ricos 4
Nu´meros naturais
O conjunto dos nu´meros naturais
designa-se pelo s´ımbolo N, e seus elementos sa˜o to-
dos os nu´meros inteiros na˜o negativos, e´ dizer na
notac¸a˜o explicita de um conjunto
N = {0, 1, 2, 3, 4, · · · }
O conjunto dos nu´meros naturais na˜o-
nulos (excluindo o zero) designa-se pelo s´ımbolo
N∗, e´ dizer
N∗ = {1, 2, 3, 4, · · · }
logo podemos afirmar que N∗ e´ um subconjunto de
N (N∗ ⊂ N). Na notac¸a˜o impl´ıcita o conjunto N∗
pode-se definir como
N∗ = {x / x ∈ N ∧ x 6= 0}
onde o s´ımbolo ∧ leˆ-se “e”, e significa que x deve
satisfazer ambas condic¸o˜es simultaneamente.
Nu´meros inteiros
Depois dos nu´meros naturais os tra-
balhos matema´ticos levou a descobrir os nu´meros
inteiros, designa-se o conjunto dos nu´meros intei-
ros pelo s´ımbolo Z. O conjunto Z esta´ constituido
pelos nu´meros naturais e seus sime´tricos negativos,
incluindo o zero, e´ dizer
Z = {· · · − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · }
que e´ uma extensa˜o dos nu´meros naturais. Note
que o conjunto N e´ um subconjunto de Z, ademas
podemos encontrar os seguintes subconjuntos para
Z:
Z∗ = {x /x ∈ Z ∧ x 6= 0};
Z+ = {x /x ∈ Z ∧ x > 0};
Z− = {x /x ∈ Z ∧ x < 0};
E´ poss´ıvel estabelecer a propriedade
da existeˆncia de elemento oposto na adic¸a˜o
para qualquer nu´mero inteiro, e´ dizer, que existe
a′ ∈ Z tal que a + a′ = 0, para qualquer a ∈ Z.
Por exemplo existe o nu´mero −3 que e´ o elemento
inverso na adic¸a˜o do nu´mero 3, e vice-versa. Em
geral os nu´meros naturais na˜o teˆm esta proprie-
dade.
Nu´meros racionais
Nu´mero racional e´ todo nu´mero que
pode ser determinado a partir de uma raza˜o ou
divisa˜o entre dois nu´meros inteiros. O conjunto
dos nu´meros racionais designa-se pelo s´ımbolo Q, e
podemos definir como
Q =
{a
b
/ a ∈ Z ∧ b ∈ Z∗
}
E´ dizer, o conjunto dos nu´meros racionais e´ for-
mado por todos os quocientes de nu´meros inteiros
a e b, em que b e´ na˜o nulo. O uso da letra “Q” e´
derivado da palavra latina quotie˜(n)s, cujo signifi-
cado e´ quantas vezes.
E´ poss´ıvel estabelecer a propriedade
da existeˆncia de elemento inverso na multi-
plicac¸a˜o para qualquer nu´mero racional, e´ dizer,
que existe a′ ∈ Q tal que a · a′ = 1, para qual-
quer a ∈ Q. Por exemplo existe o nu´mero 1/3 que
e´ o elemento inverso na multiplicac¸a˜o do nu´mero
3, e vice-versa. Os nu´meros inteiros na˜o teˆm esta
propriedade.
Nu´meros irracionais
Os nu´meros irracionais sa˜o aqueles
que na˜o podem ser obtidos pela divisa˜o de dois
nu´meros inteiros, ou seja, na˜o sa˜o racionais2. Por
exemplo, os nu´meros
√
2,
√
3, pi e “e” sa˜o nu´meros
irracionais. O conjunto dos nu´meros irracionais e´
representado pelo s´ımbolo I.
A incorporac¸a˜o dos nu´meros irraci-
onais na aritme´tica, permite definir a existeˆncia
da raiz quadrada de qualquer nu´mero na˜o ne-
gativo (racional ou irracional), e´ dizer, que existe
um nu´mero a′ tal que a′ · a′ = a, para qualquer
nu´mero a na˜o negativo. Por exemplo existe o
nu´mero
√
2 (nu´mero irracional), chamado raiz qua-
drada do nu´mero 2, tal que
√
2 · √2 = 2.
Existem dois tipos de nu´meros irraci-
onais:
B Nu´meros reais alge´bricos irracionais: sa˜o
ra´ızes de polinoˆmios com coeficientes inteiros,
por exemplo:
√
2 = 1, 414213562373095...
√
3 = 1, 732050807568877...
B Nu´meros reais transcendentes: na˜o sa˜o
ra´ızes de polinoˆmios com coeficientes inteiros,
por exemplo:
pi = 3, 141592653589793...
e = 2, 718281828459045...
onde pi e´ o nu´mero “pi” e e e´ o nu´mero de
Euler.
2A primeira descoberta de um nu´mero irracional e´ ge-
ralmente atribu´ıda a Hipaso de Metaponto (∼ 470 - 400
A.C.), um seguidor de Pita´goras. Pore´m, foi so´ em 1872 que
o matema´tico alema˜o Richard Dedekind (1831 - 1916) fez
entrar na Aritme´tica.
1.2.1 Axiomas de corpo 5
Exerc´ıcio 1.2. Utilize a notac¸a˜o explicita para re-
presentar os seguintes conjuntos:
(a) A = {x / x ∈ Z+ ∧ x < 10};
(b) B = {x / x ∈ N ∧ x < 7};
(c) A ∪B; (d) A ∩B;
(e) A−B; (f) B −A;
(f) Verifique se A ⊂ B ou B ⊂ A.
Exerc´ıcio 1.3. Dados os conjuntos A =
{0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7} e C =
{4, 5, 6, 8}, descubra o resultado de:
(a) (A− C) ∩ (B − C);
(b) (A− C) ∪ (B − C).
1.2 Nu´meros Reais
Denomina-se nu´meros reais a todos
os nu´meros que sejam racionais ou irracionais, e
designa-se pelo s´ımbolo R, e´ dizer
R = Q ∪ I
A Figura 1.1 apresenta claramente os
diferentes conjuntos nume´ricos, e´ importante notar
que Q ∩ I = ∅.
I N
Z
Q
R
Figura 1.1:
A continuac¸a˜o, vamos introduzir o sis-
tema de nu´meros reais, mediante um processo bas-
tante avanc¸ado e formal, considerando os nu´meros
reais como conceitos primitivos que satisfazem um
certo nu´mero de propriedades que se consideram
como axiomas3; e´ dizer, vamos supor que existem
certos objetos, chamados nu´mero reais, que satis-
fazem os 10 (dez) axiomas que vamos enunciar a
continuac¸a˜o.
Enquanto na˜o se diga o contra´rio, as
letras a, b, c, ... x, y, z que aparecem nos axiomas
representam quaisquer nu´meros reais. Os axiomas
3Na lo´gica tradicional, um axioma ou postulado e´ uma
sentenc¸a ou proposic¸a˜o que na˜o e´ provada ou demonstrada
e e´ considerada como o´bvia ou como um consenso inicial
necessa´rio para a construc¸a˜o ou aceitac¸a˜o de uma teoria
se agrupam em forma natural em treˆs grupos, que
sa˜o, axiomas de corpo, axiomas de ordem e
axioma do supremo.
1.2.1 Axiomas de corpo
Junto com o conjunto dos nu´meros re-
ais se supo˜e a existeˆncia de dois operac¸o˜es chama-
dos adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o, tais que para cada
par de nu´meros reais x e y pode-se formar:
B a soma de x e y, que e´ outro nu´mero real desig-
nado por x+ y;
B e o produto de x vezes y designado por xy ou
x · y.
A soma x + y e o produto x · y esta˜o
univocamente determinados por x e y.
Axioma 1.1. PROPRIEDADE COMUTATIVA.
A adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o sa˜o operac¸o˜es comutati-
vas em R:
x+ y = y + x, x · y = y · x
Axioma 1.2. PROPRIEDADE ASSOCIATIVA.
A adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o sa˜o operac¸o˜es associativas
em R:
(x+ y) + z = x+ (y+ z), (x · y) · z = x · (y · z)
Axioma 1.3. PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA.
A multiplicac¸a˜o e´ distributiva a respeito da adic¸a˜o:
x · (y + z) = x · y + x · z
Axioma 1.4. EXISTEˆNCIA DE ELEMENTOS
NEUTROS. Existem dois nu´meros reais distintos,
que se indicam por 0 e 1 tais que para cada nu´mero
real x se tem:
x+ 0 = 0 + x = x e x · 1 = 1 · x = x
onde 0 e´ o elemento neutro da adic¸a˜o e 1 e´ o ele-
mento neutro da multiplicac¸a˜o.
Axioma 1.5. EXISTEˆNCIA DO OPOSTO. Para
cada nu´mero real x existe um nu´mero real denotado
por “−x” tal que:
x+ (−x) = (−x) + x = 0
logo dizemos que “−x” e´ o oposto de x e vice-versa.
Axioma 1.6. EXISTEˆNCIA DO INVERSO OU
RECI´PROCO. Para cada nu´mero real x 6= 0 existe
um nu´mero real denotado por x−1 tal que:x · x−1 = x−1 · x = 1
logo dizemos que x−1 e´ o inverso de x e vice-versa.
1.2.1 Axiomas de corpo 6
Observac¸a˜o: Os nu´meros 0 e 1 dos axiomas 1.5
e 1.6 sa˜o os mesmos que os do axioma 1.4.
Exemplo 1.6. Demonstrar que: -0 = 0 (o oposto
de 0 e´ ele mesmo).
Demonstrac¸a˜o. Usando o Axioma 1.4 para x = −0,
e´ dizer
B Axioma 1.4: −0 = (−0) + 0
B Axioma 1.5: −0 = 0
Exemplo 1.7. Se x+ y = x, demonstrar que y =
0.
Demonstrac¸a˜o.
B Axioma 1.4: y = 0 + y
B Axioma 1.5: y = [(−x) + x] + y
B Axioma 1.2: y = (−x) + [x+ y]
B Hipo´tese “x+ y = x”: y = (−x) + x
B Axioma 1.5: y = 0
Dos axiomas anteriores pode-se dedu-
zir todas as leis usuais do A´lgebra elementar. As
mais importantes de elas se indicam a continuac¸a˜o
como teoremas. Em todos os teoremas as letras a,
b, c, d, representam qualquer nu´mero real.
Teorema 1.1. LEI DE SIMPLIFICAC¸A˜O PARA
A ADIC¸A˜O.
Se a+ b = a+ c, enta˜o b = c
Em particular isto prova que o nu´mero 0 do axioma
1.4 e´ u´nico.
Demonstrac¸a˜o.
B Axioma 1.4: b = 0 + b
B Axioma 1.5: b = [(−a) + a] + b
B Axioma 1.2: b = (−a) + [a+ b]
B Hipo´tese “a+ b = a+ c”:
b = (−a) + [a+ c]
B Axioma 1.2: b = [(−a) + a] + c
B Axioma 1.5: b = 0 + c
B Axioma 1.4: b = c
Note que este teorema demonstra que
existe somente um nu´mero real que tem a propri-
edade de 0 no axioma 1.4. De fato, se 0 e 0′ tive-
ram ambos esta propriedade, enta˜o, 0 + 0′ = 0 e
0 + 0 = 0; portanto, 0 + 0′ = 0 + 0 e pela lei de
simplificac¸a˜o 0 = 0′.
Teorema 1.2. POSSIBILIDADE DA
SUBTRAC¸A˜O. Dados a e b existe um e so-
mente um x tal que a+ x = b. A este x designa-se
por b − a e se denomina diferenc¸a ou resto de b e
a (subtrac¸a˜o).
Teorema 1.3. b− a = b+ (−a).
Demonstrac¸a˜o.
B Axioma 1.4: b− a = 0 + (b− a)
B Axioma 1.5: b− a = [(−a) + a] + (b− a)
B Axioma 1.2: b− a = (−a) + [a+ (b− a)]
B Por definic¸a˜o “a+ (b− a) = b” (Teorema 1.2):
b− a = (−a) + b
B Axioma 1.1: b− a = b+ (−a)
Teorema 1.4. −(−a) = a.
Exemplo 1.8. Demonstrar que: −x = (−1) · x.
Demonstrac¸a˜o.
B Axioma 1.4: x+(−1) ·x = 1 ·x+(−1) ·x
B Axioma 1.1: x+(−1) ·x = x · 1+x · (−1)
B Axioma 1.3: x+ (−1) · x = x · [1 + (−1)]
B Axioma 1.5: x+ (−1) · x = x · 0
B Teorema 1.6: x+ (−1) · x = 0
Finalmente pelo axioma 1.5 (−1) · x deve ser o
oposto de x, assim −x = (−1) · x.
Teorema 1.5. a · (b− c) = a · b− a · c.
Teorema 1.6. 0 · a = a · 0 = 0.
Exemplo 1.9. Demonstrar que: −a−b = −(a+b).
Demonstrac¸a˜o.
B Teorema 1.3: −a− b = −a+ (−b)
B Exemplo 1.8: −a− b = (−1) · a+ (−1) · b
B Axioma 1.3: −a− b = (−1) · (a+ b)
B Exemplo 1.8: −a− b = −(a+ b)
1.2.2 Axiomas de ordem 7
Teorema 1.7. LEI DE SIMPLIFICAC¸A˜O PARA
A MULTIPLICAC¸A˜O.
Se a · b = a · c e a 6= 0, enta˜o b = c
Em particular isto demonstra que o nu´mero 1 do
axioma 1.4 e´ u´nico.
Exerc´ıcio 1.4. Demonstrar que se a 6= 0 e b 6= 0,
enta˜o
(a · b)−1 = a−1 · b−1
Teorema 1.8. POSSIBILIDADE DA DIVISA˜O.
Dados a e b com a 6= 0, existe um e somente um x
tal que a · x = b. A este x designa-se por b/a ou ba
e se denomina quociente de b e a.
Teorema 1.9. Se a 6= 0, enta˜o b/a = b · a−1.
Teorema 1.10. Se a 6= 0, enta˜o (a−1)−1 = a.
Teorema 1.11. Se a · b = 0 enta˜o ou a = 0 ou
b = 0.
Exerc´ıcio 1.5. Resolver as seguintes igualdades:
(a) (x− 1) · (x+ 1) = 0;
(b) (x+ 2)2 − 1 = 0.
Teorema 1.12. (−a) · b = −(a · b) e (−a) · (−b) =
a · b.
Teorema 1.13. (a/b)+(c/d) = (a ·d+ b · c)/(b ·d)
se b 6= 0 e d 6= 0.
Teorema 1.14. (a/b) · (c/d) = (a · c)/(b · d) se
b 6= 0 e d 6= 0.
Teorema 1.15. (a/b)/(c/d) = (a · d)/(b · c) se b 6=
0, c 6= 0 e d 6= 0.
Exerc´ıcio 1.6. Demonstrar as igualdades:
(a) 1−1 = 1;
(b) −(a− b) = −a+ b;
(c) (a− b) + (b− c) = a− c.
Exerc´ıcio 1.7. Resolver as seguintes igualdades:
(a) x3 = x;
(b) x3 = x, se x 6= 0;
(c) 2x2 + 16x+ 14 = 0;
(d) x2 − 6x = 11;
(e) ax2+bx+c = 0, com a 6= 0 e b e c coeficientes
reais.
Dica: nos itens (c), (d) e (e) use o me´todo de
completar quadrados.
1.2.2 Axiomas de ordem
Este grupo de axiomas se refere a um
conceito que estabelece uma ordenac¸a˜o entre os
nu´meros reais. Segundo esta ordenac¸a˜o se pode
decidir se um nu´mero real e´ maior ou menor que
outro.
Suponhamos que existe um certo sub-
conjunto R+ ⊂ R, chamado conjunto de nu´meros
positivos, que satisfazem os seguintes treˆs axio-
mas de ordem:
Axioma 1.7. R+ e´ um subconjunto fechado de R
para a adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o, e´ dizer
Se x, y ∈ R+ ⇒ x+ y ∈ R+ e x · y ∈ R+
Axioma 1.8. Para todo real x 6= 0 uma e so´ uma
das seguintes proposic¸o˜es e´ verdadeira
x ∈ R+; ou − x ∈ R+
Definic¸a˜o 1.1. x e´ um nu´mero real positivo, se e
somente se x ∈ R+.
Definic¸a˜o 1.2. x e´ um nu´mero real negativo, se e
somente se −x ∈ R+.
Axioma 1.9. 0 /∈ R+, e´ dizer, o nu´mero 0 na˜o
e´ positivo, e dado que seu oposto −0 /∈ R+ (pois
−0 = 0), enta˜o 0 tambe´m na˜o e´ negativo.
Os treˆs axiomas apresentados anteri-
ormente nos permitira´ definir os s´ımbolos:
< “menor que”;
> “maior que”;
≤ “igual ou menor que”;
≥ “igual ou maior que”.
Definic¸a˜o 1.3. x < y ⇔ (y − x) ∈ R+.
Definic¸a˜o 1.4. y > x ⇔ x < y.
Definic¸a˜o 1.5. x ≤ y significa que ou x < y ou
x = y.
Definic¸a˜o 1.6. y ≥ x ⇔ x ≤ y.
A partir da definic¸a˜o 1.3 podemos en-
contrar alguns casos particulares:
X se fazermos x = 0, obtemos
0 < y ⇔ y ∈ R+
y > 0 ⇔ y ∈ R+
e´ dizer, y e´ positivo se e somente se y > 0.
X se fazermos y = 0, obtemos
x < 0 ⇔ −x ∈ R+
e´ dizer, x e´ negativo se e somente se x < 0.
1.2.3 Interpretac¸a˜o geome´trica dos nu´meros reais como pontos de uma reta 8
Das axiomas de ordem pode-se dedu-
zir todas as regras usuais de ca´lculo com desigual-
dades, as mais importantes se da˜o a continuac¸a˜o
como teoremas.
Teorema 1.16. PROPRIEDADE DE TRICOTO-
MIA. Para quaisquer a, b ∈ R se verifica uma e
somente uma das treˆs relac¸o˜es a < b, b < a, a = b.
Teorema 1.17. PROPRIEDADE TRANSITIVA.
Se a < b e b < c, enta˜o a < c.
Teorema 1.18. Se a < b, enta˜o a+ c < b+ c.
Teorema 1.19. Se a < b e c > 0, enta˜o ac < bc.
Teorema 1.20. Se a 6= 0, enta˜o a2 > 0;
Teorema 1.21. 1 > 0.
Teorema 1.22. Se a < b e c < 0, enta˜o ac > bc.
Teorema 1.23. REGRA DOS SINAIS.
Se ab > 0, ⇔ a > 0 ∧ b > 0 ou a < 0 ∧ b < 0;
Se ab < 0, ⇔ a > 0 ∧ b < 0 ou a < 0 ∧ b > 0.
Exerc´ıcio 1.8. Resolver
(a) x2 > 4;
(b) (x− 2)(x+ 1) < 0.
Teorema 1.24. Se a < b e c < d, enta˜o a + c <
b+ d.
Teorema 1.25. Se 0 < a < b, enta˜o 1a >
1
b .
Exerc´ıcio 1.9. Resolva as seguintes desigualdades
(a) 1 + x < 7x+ 5;
(b) 4 ≤ 3x− 2 < 13.
1.2.3 Interpretac¸a˜o geome´trica dos
nu´meros reais como pontos de
uma reta
O estudante ja´ deve estar familiari-
zado com a representac¸a˜o dos nu´meros reais medi-
ante os pontos de uma reta. Se na˜o for assim, a
continuac¸a˜o lhe ajudaremos relembrar.
0 x y1
Figura 1.2: Eixo real: Nu´meros reais representados
geometricamente em uma linha.
Se escolhe um ponto para representar
o 0 e outro a` direita do 0 para representar o 1,
como se indica na Figura 1.2. Esta escolha deter-
mina a escala. Se um conjunto adequado de axio-
mas e´ adotado para a Geometria Euclidiana, cada
nu´mero real corresponde a um e somente um ponto
da reta e, reciprocamente, cada ponto da reta cor-
responde a um e somente um nu´mero real4. Por
esta raza˜o a reta se denomina frequentemente reta
real ou eixo real, e e´ costume utilizar as palavras
nu´mero real e ponto como sinoˆnimos. Por isso
diz-se muitas vezes o ponto x em vez do ponto
correspondente ao nu´mero real x.
A relac¸a˜o de ordem entre os nu´meros
reais tem uma interpretac¸a˜o geome´trica simples,
por exemplo:
X Se x < y, o ponto x esta´ a` esquerda do ponto y,
como se veˆ na Figura 1.2.
X Os nu´meros positivos esta˜o a` direita do 0 e os
negativos a` esquerda do 0.
X Se a < b, o nu´mero real x satisfaz as desigual-
dades a < x < b, se e somente se o ponto x
estiverentre os pontos a e b.
Esta possibilidade de representar geo-
metricamente os nu´meros reais e´ um auxiliar pode-
roso, pois nos permite descobrir e compreender me-
lhor certas propriedades dos nu´meros reais. Dado
que um argumento geome´trico e´ mais sugestivo que
a demonstrac¸a˜o puramente anal´ıtica (dependente
exclusivamente dos axiomas do nu´mero real).
Intervalos
Um intervalo e´ um conjunto que
conte´m cada nu´mero real entre dois extremos in-
dicados, podendo ou na˜o conter os pro´prios extre-
mos. Por exemplo:
X o conjunto cujos elementos sa˜o maiores ou iguais
a 0 e menores ou iguais a 1, isto e´,
0 ≤ x ≤ 1
sendo x um elemento qualquer pertencente ao
conjunto em questa˜o. E´ um intervalo que
conte´m os extremos 0 e 1, bem como todos
os nu´meros reais entre eles.
Os extremos podem ser nu´meros re-
ais ou tambe´m podem ser −∞ ou +∞ (menos in-
finito5 ou mais infinito). Por exemplo, o conjunto
dos nu´meros reais R e´ um intervalo com extremos
−∞ e +∞, e o conjunto dos nu´meros reais negati-
vos e´ um intervalo com extremos −∞ e 0.
Os intervalos sera˜o representados ge-
ometricamente mediante segmentos de reta.
Exerc´ıcio 1.10. O conjunto {1, 2, 3, 4, 5} e´ um
intervalo? Represente geometricamente esse con-
junto.
4O nu´mero real associado ao ponto P e´ chamado coor-
denada do ponto P
5Infinito (do latim infin´ıtu, s´ımbolo: ∞) e´ um adjetivo
que denota algo que na˜o tem in´ıcio nem fim, ou na˜o tem
limites, ou que e´ inumera´vel
1.2.4 Cota superior de um conjunto, elemento ma´ximo, extremo superior 9
B Intervalo aberto: e´ quando o intervalo na˜o
conte´m os extremos, e designa-se pela
notac¸a˜o
(a, b) ou ]a, b[ ou {x/a < x < b}
onde a e b sa˜o os extremos. A Figura 1.3 mos-
tra a representac¸a˜o geome´trica, as bolinhas va-
zias indicam que os extremos esta˜o exclu´ıdos
(intervalo aberto).
a b
Figura 1.3: Intervalo aberto ]a, b[
B Intervalo fechado: e´ quando o intervalo
conte´m os extremos, e designa-se pela
notac¸a˜o
[a, b] ou {x/a ≤ x ≤ b}
onde a e b sa˜o os extremos. A Figura 1.4 mos-
tra a representac¸a˜o geome´trica, as bolinhas
cheias indicam que os extremos esta˜o inclu´ıdos
(intervalo fechado).
a b
Figura 1.4: Intervalo fechado [a, b]
B Intervalo semi-aberto ou semi-fechado: e´
quando o intervalo somente conte´m um dos
extremos, e designa-se pela notac¸a˜o
]a, b] ou {x/a < x ≤ b}
onde a e b sa˜o os extremos, neste caso o in-
tervalo na˜o conte´m o extremo esquerdo, assim
dizemos que ele e´ aberto pelo lado esquerdo e
fechado pelo lado direito. Tambe´m pode acon-
tecer
[a, b[ ou {x/a ≤ x < b}
neste caso o intervalo na˜o conte´m o extremo
direito, assim dizemos que ele e´ fechado pelo
lado esquerdo e aberto pelo lado direito.
Observac¸a˜o: quando um dos extremos de um in-
tervalo e´ −∞ ou +∞, o intervalo e´ considerado
aberto naquele extremo. Por exemplo, o intervalo
infinito:
a ≤ x < +∞ ou {x / x ≥ a}
e´ fechado pelo lado esquerdo e aberto pelo lado
direito, assim podemos denotar como [a,+∞[.
Exemplo 1.10. Resolva a seguinte desigualdade
x2 − 5x+ 6 ≤ 0.
Soluc¸a˜o. Primeiro vamos fatorar o lado esquerdo
da desigualdade, assim obtemos
(x− 2)(x− 3) ≤ 0
usando o teorema 1.23 separamos a desigualdade
anterior em duas mais simples:
(i) (x− 2) ≥ 0 ∧ (x− 3) ≤ 0
(ii) (x− 2) ≤ 0 ∧ (x− 3) ≥ 0
42 310-1
Figura 1.5: Intervalo fechado [2, 3]
Resolvendo a desigualdade (i) obtemos o primeiro
conjunto soluc¸a˜o S1 (acompanhe a Figura 1.5)
S1 = {x /x ≥ 2} ∩ {x / x ≤ 3}
S1 = {x / 2 ≤ x ≤ 3}
Da mesma forma a partir da desigualdade (ii) ob-
temos o segundo conjunto soluc¸a˜o S2
S2 = {x /x ≤ 2} ∩ {x / x ≥ 3}
S2 = ∅
Finalmente juntando os conjuntos soluc¸o˜es S1 e S2,
obtemos a soluc¸a˜o total S
S = S1 ∪ S2 ⇒ S = {x / 2 ≤ x ≤ 3}
1.2.4 Cota superior de um conjunto,
elemento ma´ximo, extremo su-
perior
Os nove axiomas expostos ate agora
conteˆm todas as propriedades dos nu´meros reais
estudados tradicionalmente em A´lgebra elemen-
tar. Ha´ outro axioma de importaˆncia fundamen-
tal no Ca´lculo que tradicionalmente na˜o se estuda
nos curso de A´lgebra elementar. Este axioma (ou
outro equivalente) e´ necessa´rio para introduzir os
nu´meros irracionais no sistema de nu´meros reais,
e tambe´m atribui ao conjunto dos nu´meros reais
uma propriedade de continuidade que e´ especial-
mente importante no estudo do Ca´lculo.
Em A´lgebra elementar aparecem
nu´meros irracionais quando se trata de resolver cer-
tas equac¸o˜es quadra´ticas. Por exemplo, quando
se deseja obter um nu´mero real tal que x2 = 2.
Os nove axiomas anteriores na˜o permitem provar a
existeˆncia de um x no sistema dos nu´meros reais de
1.3 Valor absoluto 10
modo que verifique tal equac¸a˜o. Pore´m o axioma
10 prova a existeˆncia de tal nu´mero.
Antes de expor o axioma 10, vamos
introduzir alguma terminologia e notac¸a˜o especiais.
Seja S um conjunto no vazio de nu´meros reais e
suponhamos que existe um nu´mero B tal que
x ≤ B
para todo x de S. Enta˜o se diz que S esta´ acotado
superiormente por B. O nu´mero B denomina-se
uma cota superior para S. Dizemos uma cota
superior devido a que todo nu´mero maior que B
tambe´m e´ uma cota superior. Se uma cota supe-
rior B pertence tambe´m a S, enta˜o B se chama o
elemento ma´ximo de S, e se escreve
B = max S
se B ∈ S e x ≤ B para todo x ∈ S. Um con-
junto sem cota superior se diz que e´ na˜o acotado
superiormente. Os exemplos que seguem
Exemplo 1.11. Seja S o conjunto de todos os
nu´meros reais x tais que 0 ≤ x ≤ 1. Este conjunto
esta´ acotado superiormente pelo 1. Seu elemento
ma´ximo e´ o 1.
Exemplo 1.12. Seja T o conjunto de todos os
nu´meros reais x tais que 0 ≤ x < 1 . Este conjunto
esta´ acotado superiormente pelo 1, pore´m na˜o tem
elemento ma´ximo.
Exemplo 1.13. Seja S o conjunto de todos os
nu´meros reais positivos. E´ um conjunto na˜o aco-
tado superiormente. Na˜o tem cotas superiores nem
elemento ma´ximo.
Definic¸a˜o 1.7. Um nu´mero B se denomina ex-
tremo superior de um conjunto na˜o vazio S se B
tem as duas propriedades seguintes:
(a) B e´ uma cota superior de S.
(b) Nenhum nu´mero menor que B e´ cota superior
para S.
Se S tem um elemento ma´ximo
(ou simplesmente ma´ximo), enta˜o este elemento
tambe´m e´ extremo superior de S. Pore´m se S na˜o
possui ma´ximo, pode ter extremo superior. Nos
Exemplos 1.11 e 1.12, o extremo superior e´ 1 (veja
a Figura 1.6).
Teorema 1.26. Dois nu´meros distintos na˜o po-
dem ser extremos superiores para o mesmo con-
junto. Isto quer dizer que, se existe um extremo
superior para um conjunto S, ha´ somente um e
pode ser dito o extremo superior.
Com frequeˆncia se utiliza o termo su-
premo de um conjunto em vez de extremo superior
usando a abreviatura sup, e escrevendo enta˜o:
B = sup S
0 1
ma´ximo de S
cotas superiores de S
S
0 1
T
cotas superiores de T
extremo superior de T
Figura 1.6: (Acima) S tem ma´ximo: max S = 1.
(Abaixo) T na˜o tem ma´ximo, pore´m tem extremo
superior: sup T = 1.
Agora podemos estabelecer o axioma
10 para o sistema de nu´meros reais.
Axioma 1.10. AXIOMA DO SUPREMO. Todo
conjunto na˜o vazio S de nu´meros reais acotado
superiormente possui extremo superior (supremo);
isto e´, existe um nu´mero real B tal que B = sup
S.
As definic¸o˜es de cota inferior, acotado
inferiormente, extremo inferior (ou ı´nfimo), se for-
mulam de forma parecida.
Exerc´ıcio 1.11. Seja o subconjunto de nu´meros
reais definido por A = { nn+1 / n ∈ Z+}, em que Z+
e´ o conjunto de inteiros positivos.
(a) A e´ acotado superiormente?
(b) A tem supremo?
(c) A tem ma´ximo?
1.3 Valor absoluto
Definic¸a˜o 1.8. Dado um nu´mero real “a”, o “va-
lor absoluto de a”, que se denota por |a|, se define
pela seguinte regra:
|a| =
{
a, se a ≥ 0
−a, se a < 0
geometricamente |a| representa a distaˆncia do
ponto “a”ate´ o ponto 0 sobre o eixo real.
A continuac¸a˜o apresentamos alguns
exemplos, em cada caso verifique se satisfaz a regra
apresentada na definic¸a˜o anterior:
|3| = 3, | − 3| = 3, |0| = 0
|
√
2− 1| =
√
2− 1, |3− pi| = pi − 3
1.3.1 Raiz quadrada 11
Exerc´ıcio 1.12. Expresse |3x− 2| usando a regra
do valor absoluto.
Propriedades do valor absoluto
B (P1): |a| ≥ 0, para qualquer a ∈ R;
B (P2): | − a| = |a|, para qualquer a ∈ R;
B (P3): |a|2 = a2, para qualquer a ∈ R;
B (P4): |a · b| = |a| · |b|, para quaisquer a, b ∈ R;
B (P5):
∣∣a
b
∣∣ = |a||b| , para quaisquer b 6= 0 e a reais;
B (P6): |a| ≥ a, para qualquer a ∈ R.
Igualdades com valor absoluto
B (I1): |a| = 0 ⇔ a = 0;
B (I2): |a| = b ⇔ a = b ∨ a = −b;
B (I3): |a| = |b| ⇔ a = b ∨ a = −b.
Exerc´ıcio 1.13. Resolva as seguintes igualdades
com valor absoluto:
(a) |2x− 5| = 3;
(b) |x− 1| = |2x|;
(c) |2x2 − 1| = 4;
(d) |3x− 1| = x−1x .
Desigualdades com valor absoluto
B (D1): |a| ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b;
B (D2): |a| ≥ b ⇔ a ≥ b ou a ≤ −b.
Em todos os casos b > 0.
Exerc´ıcio 1.14. Resolva as seguintes desigualda-
des com valor absoluto:
(a) |x− 5| < 2;
(b)
∣∣∣x−1x+1 ∣∣∣ < 2.
Teorema 1.27. DESIGUALDADE TRIANGU-
LAR. Se a e b forem quaisquer nu´meros reais,
enta˜o
|a+ b| ≤ |a|+ |b|
Demonstrac¸a˜o. Dado que a = |a| ou a = −|a|, se
teˆm −|a| ≤ a ≤ |a|, da mesma foma −|b| ≤ b ≤ |b|.
Somando ambas desigualdades se teˆm
−(|a|+ |b|) ≤ a+ b ≤ |a|+ |b|
e portanto em virtude da propriedade (D1),
conclui-se que:
|a+ b| ≤ |a|+ |b|
que e´ o que pretendeamos demonstrar.
1.3.1 Raiz quadrada
Definic¸a˜o 1.9. Dado um nu´mero real positivo
“a”, a “raiz quadrada de a”, que se denota por
√
a,
se define como um u´nico nu´mero na˜o negativo
que, quando multiplicado por si pro´prio, se iguala
a “a”.
Propriedades da raiz quadrada
B (R1):
√
a · b = √a · √b;
B (R2):
√
a
b =
√
a√
b
, para qualquer real b 6= 0;
B (R3):
√
a2 = |a|, para qualquer a ∈ R;
B (R4): √a = a 12 .
Observac¸a˜o: a propriedade
√
a2 = a na˜o sempre
e´ verdadeira. E´ verdadeira somente quando a ≥ 0.
Se a < 0, tereamos
√
a2 = a < 0 (um nu´mero ne-
gativo), o que contradize a definic¸a˜o da raiz qua-
drada. Para evitar isto, a propriedade (R3) no´s
diz que
√
a2 = |a|, para qualquer nu´mero real a.
Cap´ıtulo 2
Func¸o˜es
Para compreender o ca´lculo diferen-
cial e integral e´ preciso ter conhecimento do con-
ceito de func¸a˜o, por esta raza˜o dedicaremos este
cap´ıtulo ao estudo de func¸o˜es.
2.1 Introduc¸a˜o
Uma das aplicac¸o˜es da integral e´ a for-
mulac¸a˜o do conceito de a´rea. Mas para encontrar
uma definic¸a˜o de a´rea de quaisquer tipos de obje-
tos, primeiramente devemos encontrar um me´todo
efetivo para descrever esses objetos.
O me´todo mais simples de descrever
esses objetos foi de desenhar eles, tal como fize-
ram os gregos. Um melhor caminho foi sugerido
por Rene´ Descartes (1596 - 1650) ao estabelecer
em 1637 a base da Geometria anal´ıtica, a ideia
principal da geometria de Descartes e´ representar
pontos por nu´meros.
O me´todo seguido para representar
pontos do plano e´ o seguinte:
(i) se escolhem duas retas perpendiculares (cha-
madas eixos coordenados), um horizontal
(chamado eixo dos x ou eixo x), e o outro ver-
tical (eixo dos y ou eixo y). Seu ponto de in-
tersec¸a˜o, se indica pela letra O e se denomina
origem;
(ii) no eixo x a` direita do O se escolhe conveni-
entemente um ponto, e sua distaˆncia ao O se
denomina distaˆncia unidade. As distaˆncias
verticais correspondentes ao eixo y sa˜o medi-
dos com a mesma distaˆncia unidade.
Enta˜o, a cada ponto do plano (fre-
quentemente chamado plano xy) e´ atribu´ıdo um
par de nu´meros, que denominados coordenadas
desse ponto. Essas coordenadas representam as
distaˆncias do ponto aos eixos.
Na Figura 2.1 se da˜o alguns exemplos,
o ponto de coordenadas (2,3) esta´ situado duas uni-
dades a` direita do eixo y e treˆs unidades acima do
eixo x, o nu´mero 2 e´ a abscissa ou coordenada
x do ponto, e o 3 a ordenada ou coordenada y.
Dado um par tal como (a, b) representante de um
ponto, o primeiro nu´mero a e´ sempre a abscissa, e
a ordem e´ muito importante, por esta raza˜o esse
par e´ chamado par ordenado.
y
x
O
(-3, 5)
(2, 3)
(-4, -4)
(5, -6)
(0, -2)
(-4, 0) (3, 0)
Figura 2.1:
Observac¸a˜o: dois pares ordenados (a, b) e (c, d)
representam o mesmo ponto se e somente se a = c
e b = d.
Uma figura geome´trica, tal como uma
curva plana, e´ um conjunto de pontos que satis-
fazem uma ou mais condic¸o˜es. Traduzindo essas
condic¸o˜es em expresso˜es anal´ıticas que envolvem as
coordenadas x e y, se obte´m uma ou mais equac¸o˜es
que caracterizam a curva em questa˜o. Por exem-
plo, considere que a curva e´ uma circunfereˆncia de
raio r com centro no origem, como se indica na
Figura 2.2.
Seja P um ponto arbitra´rio de esta
circunfereˆncia, e suponha que P tem coordenadas
(x, y). Enta˜o, o segmento OP e´ a hipotenusa de um
triaˆngulo retaˆngulo cujos catetos tem de compri-
mento |x| e |y|, e portanto em virtude do teorema
de Pita´goras:
x2 + y2 = r2
Esta equac¸a˜o denomina-se a equac¸a˜o cartesiana
12
2.3 Func¸a˜o 13
O
|y|
|x|
r
P = (x, y)
y
x
Figura 2.2:
da circunfereˆncia, e se satisfaz pelas coordenadas
de todos os pontos da circunfereˆncia e somente por
elas, de maneira que esta equac¸a˜o caracteriza com-
pletamente a circunfereˆncia.
Durante todo o seu desenvolvimento
histo´rico, o Ca´lculo e a Geometria anal´ıtica tem
sido intimamente ligados, descobrimentos em um
de eles levou ao progresso no outro. Por esta raza˜o,
os conceitos de Geometria anal´ıtica requeridos para
o estudo de Ca´lculo va˜o se expor conforme a ne-
cessidade.
Exerc´ıcio 2.1. Encontre a equac¸a˜o cartesiana de
uma reta horizontal e uma reta vertical.
2.2 Constantes e varia´veis
As quantidades que aparecem em
uma questa˜o matema´tica (por exemplo em uma
equac¸a˜o) sa˜o constantes quando teˆm um valor fixo
e determinado, e sa˜o varia´veis quando tomam di-
versos valores, a continuac¸a˜o segue um exemplo:
X Se um metro de pano custa 2 reais, o custo de
uma pec¸a de pano depende do nu´mero de me-
tros que tenha a pec¸a. Se a pec¸a tem 5 metros,
o custo da pec¸a sera´ 10 reais; se tem 8 metros,
o custo sera´ 16 reais, etc. Aqui, o custo de
um metro que sempre e´ o mesmo, 2 reais, e´
uma constante, e o nu´mero de metros da pec¸a
e o custo da pec¸a, que tomam diversos valores,
sa˜o varia´veis.
A continuac¸a˜o podemos no´s fazer a
seguinte pergunta, de que depende neste caso o
custo de uma pec¸a? A resposta sera´, este depende
do nu´mero de metros que tenha a pec¸a. Assim, o
custo da pec¸a e´ a varia´vel dependente e o nu´mero
de metros a varia´vel independente.
2.3 Func¸a˜o
No exemplo anterior, o custo da pec¸a
depende do nu´mero de metros que tenha; o custo
da pec¸a e´ func¸a˜o do nu´mero de metros.
Sempre que uma quantidade varia´vel
depende de outra se diz que e´ func¸a˜o de esta ultima.
A continuac¸a˜o consideremos mais exemplos:
X A a´rea A de um quadrado de lado l depende do
valor que adota a varia´vel l, a maior valor de
l maior e´ o valor para A, assim podemos dizer
que a a´rea A e´ func¸a˜o do lado l. Neste caso
a lei matema´tica que conecta essas varia´veis e´
a equac¸a˜o A = l2.
X A pressa˜o p exercida pela a´gua sobre uma bar-
ragem varia com a profundidade h, a lei ma-
tema´tica que conecta essas varia´veis e´ p =
p0 + ρgh, onde p0 e´ a pressa˜o na superf´ıcie
da a´gua, ρ e´ a massa espec´ıfica da a´gua, e g
e´ a acelerac¸a˜o de queda livre. Assim dizemos
que a pressa˜o p e´ func¸a˜o da profundidade h.
Definic¸a˜o 2.1. Dizemos que uma varia´vel y e´
func¸a˜o de outra varia´vel x, se para cada valor da
varia´vel x existe um u´nico valor da varia´vel y. E
denota-se como
y = f(x)(leˆ-se: y e´ func¸a˜o de x)
onde x e´ denominada a varia´vel independente
e y a varia´vel dependente. A letra f que apa-
rece na notac¸a˜o de uma func¸a˜o indica que sera´ ne-
cessa´rio aplicar certas operac¸o˜es sobre x para obter
o valor correspondente de y.
Observac¸a˜o: Algumas vezes uma func¸a˜o tambe´m
denota-se simplesmente como y = y(x). O valor
da varia´vel dependente e´ usualmente chamado de
valor da func¸a˜o.
Definic¸a˜o 2.2. O conjunto dos valores reais1
da varia´vel independente “x” para os quais o va-
lor da func¸a˜o y = f(x) resulte sendo um nu´mero
real e´ chamado domı´nio da func¸a˜o. E o conjunto
dos valores reais da func¸a˜o e´ chamado imagem da
func¸a˜o. Nesse caso a func¸a˜o e´ muitas vezes deno-
minada como func¸a˜o de valor real ou simples-
mente func¸a˜o real.
Exemplo 2.1. Seja a func¸a˜o y =
√
x, determine
o domı´nio e a imagem da func¸a˜o.
1Valores reais indica que pertence ao conjunto dos
nu´meros reais R
2.4.3 Representac¸a˜o gra´fica 14
Soluc¸a˜o: Neste caso f(x) =
√
x, por definic¸a˜o o
argumento da raiz quadrada deve ser na˜o negativo,
isto implica que x ≥ 0, assim o domı´nio da func¸a˜o
e´ o intervalo semi-aberto [0,∞[. Tambe´m por de-
finic¸a˜o os valores de uma raiz quadrada sa˜o na˜o
negativos, assim a imagem e´ tambe´m o intervalo
semi-aberto [0,∞[.
Exerc´ıcio 2.2. Encontre o domı´nio e a imagem
das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) =
√
x+ 2;
(b) g(x) = 23−x ;
(c) h(x) = x2 + 2x;
(d) f(x) =
√
1− x2.
2.4 Representac¸a˜o de func¸o˜es
A continuac¸a˜o apresentaremos treˆs
forma de representar uma func¸a˜o: representac¸a˜o
anal´ıtica, representac¸a˜o via tabelas, representac¸a˜o
gra´fica. A escolha de qual representac¸a˜o e´ mais
recomenda´vel vai depender das circunstaˆncias.
2.4.1 Representac¸a˜o anal´ıtica
Em primeiro lugar precisamos enten-
der o que e´ uma expressa˜o anal´ıtica. Chama-
remos expressa˜o anal´ıtica a` notac¸a˜o simbo´lica
do conjunto de operac¸o˜es matema´ticas conhecidas
(adic¸a˜o, multiplicac¸a˜o, raiz quadrada, etc.), que se
devem aplicar em uma certa ordem aos nu´meros ou
a letras que representam as varia´veis. Veja a con-
tinuac¸a˜o alguns exemplos de expresso˜es anal´ıticas:
4×52−7; x4−2; log x− cosx
5x2 + 1
; 2x−√5 + 3x.
Se a lei matema´tica y = f(x) e´ tal que
f e´ uma expressa˜o anal´ıtica, enta˜o dizemos que a
func¸a˜o e´ dada anal´ıticamente. Por exemplo:
y = x4 − 2; y = x+ 1
x− 1 ; y = cosx; A = piR
2.
As func¸o˜es esta˜o dadas anal´ıticamente, para cada
func¸a˜o corresponde uma u´nica fo´rmula2.
2.4.2 Representac¸a˜o via tabelas
Tem situac¸o˜es nas quais na˜o e´ poss´ıvel
determinar a lei matema´tica que conecta as
varia´veis dependente e independente de uma
func¸a˜o, nessas situac¸o˜es, e´ recomenda´vel represen-
tar a func¸a˜o atrave´s de tabelas.
Neste processo dispo˜e-se em uma
certa ordem os valores da varia´vel independente x1,
2Chama-se fo´rmula a` igualdade entre duas expresso˜es
anal´ıticas.
x2, ..., xn e os valores correspondentes da func¸a˜o
y1, y2, ..., yn.
x x1 x2 xn
y y1 y2 yn
Tais sa˜o, por exemplo, as tabelas das
func¸o˜es trigonome´tricas, as tabelas de logar´ıtmos,
etc. A representac¸a˜o das func¸o˜es via tabelas
e´ muito usual no estudo experimental de certos
feno´menos da natureza. Por exemplo, as va-
riac¸o˜es da temperatura do ar em uma estac¸a˜o me-
tereolo´gica durante um dia pode ser representado
atrave´s da seguinte tabela:
t [horas] 1 2 3 4 5 6 7 8
T [◦C] 0 -1 -2 -2 -0,5 1 3 3,5
Este quadro define a temperatura T
em func¸a˜o do tempo t.
2.4.3 Representac¸a˜o gra´fica
O me´todo mais usual de visualizar
uma func¸a˜o consiste em fazer seu gra´fico. Para
fazer isso, usamos a ideia principal da geometria
de Descartes, representar pontos por nu´meros.
Seja y = f(x) uma func¸a˜o de y e x,
enta˜o o gra´fico desta func¸a˜o sera´ o conjunto de
pontos sobre o plano xy, com coordenadas (x, y),
em que as abscissas sa˜o os valores da varia´vel inde-
pendente x, e as ordenadas sa˜o os valores da func¸a˜o
(ou da varia´vel dependente y).
O gra´fico de uma func¸a˜o nos oferece
uma imagem proveitosa do comportamento de uma
func¸a˜o. Uma vez que a ordenada de qualquer ponto
sobre o gra´fico e´ o valor da func¸a˜o, enta˜o, a altura
do ponto do gra´fico acima de x0 representa o valor
da func¸a˜o em x0. (veja a Figura 2.3). O gra´fico
de uma func¸a˜o tambe´m nos permite visualizar o
domı´nio e a imagem da func¸a˜o, veja a Figura 2.4.
1 20
f (1)
f (2)
f (x)
(x, f (x))
x
y
x
Figura 2.3:
Teste da reta vertical: na˜o toda curva sobre
o plano xy representa uma, para verificar se uma
curva representa uma func¸a˜o no´s fazemos o usual
teste da reta vertical, que diz, que qualquer
2.5 Func¸o˜es definidas por partes 15
0 x
y
y = f (x)
imagem
domı´nio
Figura 2.4:
curva e´ o gra´fico de uma func¸a˜o se e somente se
uma reta vertical corta a curva no ma´ximo uma
vez.
Exerc´ıcio 2.3. Esboce o gra´fico das seguintes
func¸o˜es, e a partir do gra´fico determine o domı´nio
e a imagem de cada func¸a˜o:
(a) f(x) = 1− x;
(b) g(x) = 4− 3x2;
(c) h(x) = 23−x ;
(d) y =
√
1− x2.
Exerc´ıcio 2.4. O gra´fico de uma func¸a˜o f esta´ na
Figura 2.5:
(a) encontre os valores de f(1) e f(5);
(b) encontre o domı´nio e a imagem de f?
0 1
1
y
x
Figura 2.5:
2.5 Func¸o˜es definidas por par-
tes
Uma func¸a˜o e´ definida por partes
quando e´ definida mediante diferentes fo´rmulas em
diferentes partes de seu domı´nio. A continuac¸a˜o
um exemplo:
Exemplo 2.2. Seja f a func¸a˜o definida pelas
fo´rmulas
f(x) =
{
1− x, se x ≤ 1
x2, se x > 1
Determine f(0), f(1) e f(2) e esboce o gra´fico da
func¸a˜o.
Soluc¸a˜o. Lembre-se de que toda func¸a˜o e´ uma re-
gra. Para essa func¸a˜o em particular a regra e´ a
seguinte: Se tivermos que x ≤ 1, enta˜o o valor de
f(x) sera´ 1− x. Por outro lado, se x > 1, enta˜o o
valor de f(x) sera´ x2.
• Uma vez que 0 ≤ 1, temos f(0) = 1− 0 = 1.
• Uma vez que 1 ≤ 1, temos f(1) = 1− 1 = 0.
• Uma vez que 2 > 1, temos f(2) = 22 = 4.
Como fazer o gra´fico de f? Observa-
mos que se x ≤ 1, enta˜o f(x) = 1−x, assim, a parte
do gra´fico de f a` esquerda da reta vertical x = 1
deve coincidir com a reta y = 1− x. Se x > 1, da´ı
f(x) = x2, e, dessa forma, a parte do gra´fico de f
a` direita da reta x = 1 deve coincidir com o gra´fico
de y = x2, que e´ uma para´bola. Tudo isso nos
permite esboc¸ar o gra´fico da Figura 2.6. O ponti-
nho cheio indica que o ponto (1,0) esta´ incluso no
gra´fico, e pontinho vazio indica que o ponto (1,1)
esta´ exclu´ıdo do gra´fico.
1
1
y
x
Figura 2.6:
Exerc´ıcio 2.5. Esboce o gra´fico da func¸a˜o valor
absoluto f(x) = |x|.
2.6.2 Func¸a˜o poteˆncia 16
Exerc´ıcio 2.6. Seja a func¸a˜o custo C(w) do envio
pelo correio de uma carta com peso w, definida por
partes da seguinte forma
C(w) =

0, 5 se 0 < w ≤ 1
1, 0 se 1 < w ≤ 2
1, 5 se 2 < w ≤ 3
2, 0 se 3 < w ≤ 4
e chamada func¸a˜o escada, esboce o gra´fico desta
func¸a˜o.
2.6 Principais func¸o˜es ele-
mentares
Existe uma se´rie de tipos importan-
tes de func¸o˜es que frequentemente encontramos em
ca´lculo. Nesta sec¸a˜o vamos identifica´-los e classi-
fica´-los.
2.6.1 Func¸a˜o constante
Uma func¸a˜o f e´ chamada func¸a˜o
constante se
f(x) = b
onde b e´ um constante, assim os valores de uma
func¸a˜o constante sa˜o sempre constantes. O gra´fico
de uma func¸a˜o constante e´ uma reta horizontal (pa-
ralela ao eixo x), o valor da constante b no´s indica
a altura da reta. A Figura 2.7 apresenta o gra´fico
da func¸a˜o constante y = 32 , e´ dizer para b =
3
2 .
x
2
1
1 2
y
0
y = 32
Figura 2.7: Func¸a˜o constante f(x) = 32 .
2.6.2 Func¸a˜o poteˆncia
Uma func¸a˜o f e´ chamada func¸a˜o
poteˆncia se
f(x) = xa
onde a e´ uma constante. Existemva´rios casos par-
ticulares importantes.
(a) se a = n, onde n ∈ Z+: os gra´ficos de f(x) =
xn, para n = 1, 2, 3, 4 sa˜o mostrados na Fi-
gura 2.8. Essas func¸o˜es sa˜o definidas para to-
dos os valores reais de x. Observe que, a` me-
dida que a poteˆncia n fica maior, as curvas
tendem a se achatar sobre o eixo x no inter-
valo ]-1,1[ e tambe´m a subir e/ou descer mais
repentinamente em |x| > 1. Todas as curvas
passam pelo ponto (1,1) e pela origem.
y
1-1
-1
1
1 1 1
1 1 1
-1
-1 -1
-1
-1
-1
y yy = x2 y = x3 y = x4
x x x x
yy = x
Figura 2.8: Gra´ficos de f(x) = xn, n = 1, 2, 3, 4,
sa˜o definidas para −∞ < x < +∞.
(b) se a = −1 e a = −2: os gra´ficos das func¸o˜es
f(x) = x−1 = 1/x e g(x) = x−2 = 1/x2 sa˜o
mostrados na Figura 2.9. As duas func¸o˜es sa˜o
definidas para todos os x 6= 0 (nunca se pode
dividir por zero). O gra´fico de y = 1/x e´ a
hipe´rbole xy = 1, que se aproxima dos eixos
das coordenadas longe da origem. O gra´fico de
y = 1/x2 tambe´m se aproxima dos eixos das
coordenadas.
x x
yy
1
1
y = 1x
y = 1x2
1
1
-1
-1
-1
-1
Imagem: y 6= 0
Domı´nio: x 6= 0 Domı´nio: x 6= 0
Imagem: y > 0
Figura 2.9: Gra´fico das func¸o˜es poteˆncia f(x) =
1/x e f(x) = 1/x2.
(c) se a = 12 e a =
1
3 : as func¸o˜es f(x) = x
1/2 =√
x e g(x) = x1/3 = 3
√
x sa˜o as func¸o˜es raiz
quadrada e raiz cu´bica, respectivamente. O
domı´nio da func¸a˜o raiz quadrada e´ [0,∞[, mas
a func¸a˜o raiz cu´bica e´ definida para todos os x
reais. Seus gra´ficos sa˜o mostrados na Figura
2.10.
x x
yy
1 1
Domı´nio: x ≥ 0
Imagem: y ≥ 0 Imagem: −∞ < y <∞
1 1
y =
√
x
Domı´nio: −∞ < x <∞
y = 3
√
x
Figura 2.10: Gra´fico das func¸o˜es poteˆncia f(x) =
x1/2 e f(x) = x1/3.
2.6.5 Func¸a˜o logar´ıtmica 17
2.6.3 Func¸a˜o modular ou valor abso-
luto
Uma func¸a˜o f e´ chamada func¸a˜o
modular se
f(x) = |x|
o domı´nio desta func¸a˜o sa˜o todos os reais, e a ima-
gem sa˜o todos os reais na˜o negativos, e´ dizer
domı´nio = R, imagem = {y / y ≥ 0}.
Exerc´ıcio 2.7. Esboce o gra´fico da func¸a˜o modu-
lar.
2.6.4 Func¸a˜o exponencial
A func¸a˜o f(x) = 2x e´ chamada
func¸a˜o exponencial, pois a varia´vel x, e´ o ex-
poente. Ela na˜o deve ser confundida com a func¸a˜o
poteˆncia g(x) = x2, na qual a varia´vel e´ a base. Em
geral, uma func¸a˜o exponencial e´ uma func¸a˜o da
forma
f(x) = ax
onde a e´ uma constante positiva. O gra´fico de uma
func¸a˜o exponencial deve cruzar o eixo y no ponto
(0,1), pois a0 = 1 sempre. O domı´nio desta func¸a˜o
sa˜o todos os reais, e a imagem sa˜o todos os reais
positivos, e´ dizer
domı´nio = R, imagem = {y / y > 0}.
y = 2x
m ≈ 0, 7
y
x
1
0
y
x
1
0
y = 3x
m ≈ 1, 1
Figura 2.11: Func¸a˜o exponencial y = 2x e y = 3x.
Func¸a˜o exponencial natural
Dentre todas as bases poss´ıveis para
uma func¸a˜o exponencial, ha´ uma que e´ mais con-
veniente para os propo´sitos do ca´lculo. Na escolha
de uma base a pesa muito a forma como a func¸a˜o
y = ax cruza o eixo y [e´ dizer o ponto (0,1)]. A
Figura 2.11 mostra as retas tangentes ao gra´fico
de y = 2x e y = 3x no ponto (0,1). Se medirmos
as inclinac¸o˜es das retas tangentes em (0,1), encon-
traremos m ≈ 0, 7 para y = 2x e m ≈ 1, 1 para
y = 3x.
Quando escolhemos para a base o
nu´mero de Euler e = 2, 71828..., a reta tangente
de y = ex em (0,1) tem uma inclinac¸a˜o de exata-
mente 1 (veja Figura 2.12). A func¸a˜o exponencial
com base e e´ chamada func¸a˜o exponencial na-
tural, esta e´ a mais importante func¸a˜o exponencial
para a modelagem ou estudo de feno´menos natu-
rais, f´ısicos e econoˆmicos.
y
x
1
0
m = 1
y = ex
Figura 2.12: A func¸a˜o exponencial natural cruza o
eixo y com uma inclinac¸a˜o igual a 1.
2.6.5 Func¸a˜o logar´ıtmica
Uma func¸a˜o f e´ chamada func¸a˜o lo-
gar´ıtmica se
f(x) = loga x
onde a e´ um nu´mero real positivo e diferente
de zero, e denomina-se a base do logaritmo. O
domı´nio desta func¸a˜o sa˜o todos os reais positivos,
e a imagem sa˜o todos os reais, e´ dizer
domı´nio = {x / x > 0}, imagem = R.
Existem dois tipos usuais de func¸o˜es
logar´ıtmicos
X se a = 10 ⇒ y = log x, chama-se func¸a˜o loga-
ritmo decimal;
X se a = e⇒ y = lnx, chama-se func¸a˜o logaritmo
natural ou neperiano.
Exerc´ıcio 2.8. Esboce o gra´fico da func¸a˜o loga-
ritmo natural.
2.8 Func¸o˜es compostas 18
2.6.6 Func¸a˜o trigonome´trica
Sa˜o aquelas func¸o˜es nas quais a lei
matema´tica que conecta a varia´vel dependente e
a varia´vel independente sa˜o dadas em termos de
razo˜es trigonome´tricas, por exemplo, seno, cosseno
e etc. Em todos os casos deve-se consideramos
que a varia´vel independente e´ dada em radianos
(nu´mero real) e na˜o em graus.
I Func¸a˜o seno: uma func¸a˜o f denomina-se
func¸a˜o seno se
f(x) = senx
o domı´nio desta func¸a˜o sa˜o todos os reais, e a
imagem e´ o intervalo fechado [−1, 1], e´ dizer
domı´nio = R, imagem = {y /−1 ≤ y ≤ 1}.
I Func¸a˜o cosseno: uma func¸a˜o f denomina-se
func¸a˜o cosseno se
f(x) = cosx
o domı´nio desta func¸a˜o sa˜o todos os reais, e a
imagem e´ o intervalo fechado [−1, 1], e´ dizer
domı´nio = R, imagem = {y /−1 ≤ y ≤ 1}.
Note que func¸o˜es seno e cosseno sa˜o
func¸o˜es acotadas, e´ dizer, suas imagens (em am-
bos os casos [−1, 1]) sa˜o conjuntos acotados infe-
riormente e superiormente. A func¸a˜o seno e´ uma
func¸a˜o ı´mpar, e a func¸a˜o cosseno e´ uma func¸a˜o par.
2.7 Translac¸a˜o de um gra´fico
Para transladar o gra´fico de uma
func¸a˜o y = f(x) para cima, adicione uma cons-
tante positiva no lado direito da fo´rmula y = f(x).
E para transladar para baixo, adicione uma cons-
tante negativa no lado direito da fo´rmula y = f(x).
Para transladar o gra´fico de y = f(x)
para a esquerda, adicione uma constante positiva a
x. E para transladar para a direita, adicione uma
constante negativa a x.
Translac¸a˜o vertical:
y = f(x) + k
Se k > 0, translada o gra´fico de f(x) k unida-
des para cima. Se k < 0, translada o gra´fico
de f(x) “|k|” unidades para baixo.
Translac¸a˜o horizontal:
y = f(x+ h)
Se h > 0, translada o gra´fico de f(x) h unida-
des para a esquerda. Se h < 0, translada o
gra´fico de f(x) “|h|” unidades para a direita.
Exerc´ıcio 2.9. Comec¸ando com o gra´fico de y =
ex, encontre as equac¸o˜es dos gra´ficos que resultam
de:
(a) deslocar 2 unidades para baixo;
(b) deslocar 2 unidades para a direita.
2.8 Func¸o˜es compostas
Definic¸a˜o 2.3. Se f e g sa˜o duas func¸o˜es, a
func¸a˜o composta f ◦ g (“ f composta com g”)
e´ definida por
(f ◦ g)(x) = f(g(x))
O domı´nio de f ◦ g consiste nos valores de x do
domı´nio de g para os quais g(x) fica no domı´nio
de f .
A definic¸a˜o diz que f ◦ g pode ser for-
mada quando a imagem de g fica no domı´nio de
f . Para determinar (f ◦ g)(x), primeiro devemos
determinar g(x) e, depois, f(g(x)). A Figura 2.13
mostra a composic¸a˜o como um diagrama de setas.
f ◦ g
g(x)
f (g(x))
x
g f
Figura 2.13: Diagrama de setas para f ◦ g.
Exemplo 2.3. A func¸a˜o y =
√
1− x2 pode ser
pensada calculando-se, primeiro, 1 − x2 e, depois,
tomando a raiz quadrada do resultado. A func¸a˜o y
e´ a composta da func¸a˜o g(x) = 1−x2 com a func¸a˜o
f(x) =
√
x. Note que 1−x2 na˜o pode ser negativa,
assim o domı´nio da func¸a˜o composta fica [−1, 1].
Exerc´ıcio 2.10. Se f(x) =
√
x e g(x) = x + 1,
determine:
(a) (f ◦ g)(x);
(b) (g ◦ f)(x);
(c) (f ◦ f)(x);
(d) (g ◦ g)(x).
2.9.2 Quando b 6= 0 19
2.9 Func¸a˜o linear
Uma func¸a˜o f e´ denominada func¸a˜o
linear se
f(x) = mx+ b e m 6= 0
onde m e b sa˜o constante. A continuac¸a˜o algumas
caracteristicas do gra´fico de uma func¸a˜o linear:
X o gra´fico de uma func¸a˜o linear e´ sempre uma
reta na˜o vertical e na˜o horizontal, onde m
representa a inclinac¸a˜o da reta, e e´ usualmentedenominada coeficiente angular3.
X o gra´fico de uma func¸a˜o linear sempre intercepta
o eixo y no ponto (0, b).
2.9.1 Quando b = 0
f(x) = mx
Func¸a˜o identidade
Uma func¸a˜o linear e´ func¸a˜o identi-
dade quando m = 1 e b = 0, assim a func¸a˜o fica
f(x) = x ou y = x
seu gra´fico e´ uma reta que forma um aˆngulo de 45◦
com o eixo x (veja a Figura 2.14 para m = 1).
A Figura 2.14 mostra uma familia de
retas que representam gra´ficos de uma func¸a˜o li-
near, onde m adota diferentes valores e b e´ nulo,
todas as retas passam pela origem (0,0) dado que
b e´ nulo.
1
y
x
m = −3 m = 2
m = 1
m = 12
1
m = −1
y = −x
y = x
y = 12x
y = 2x
y = −3x
Figura 2.14: Familia de retas y = mx para dife-
rentes valores de m, todas as retas passam pela
origem.
I Se m > 0:
I Se m < 0:
3Pode-se mostrar que a constante m e´ igual numerica-
mente com a tangente do aˆngulo que forma a reta com o
eixo x
2.9.2 Quando b 6= 0
f(x) = mx+ b
Exerc´ıcio 2.11. Encontre uma fo´rmula para a
func¸a˜o f cujo gra´fico esta´ na Figura 2.15.
y
x1
1
0
Figura 2.15:
2.10 Func¸a˜o quadra´tica
Uma func¸a˜o f denomina-se func¸a˜o
quadra´tica se
f(x) = ax2 + bx+ c e a 6= 0
onde a, b e c sa˜o constante.
2.10.1 Quando b = c = 0
f(x) = ax2
I Se a > 0:
I Se a < 0:
2.10.2 Quando b 6= 0 e c 6= 0
f(x) = ax2 + bx+ c
2.11 Func¸a˜o par e ı´mpar: Si-
metria
Definic¸a˜o 2.4. Uma func¸a˜o y = f(x) e´ uma
• func¸a˜o par de x se f(−x) = f(x)
• func¸a˜o ı´mpar de x se f(−x) = −f(x)
para qualquer x dentro do domı´nio da func¸a˜o.
Os nomes par e ı´mpar veˆm das
poteˆncias de x.
2.11 Func¸a˜o par e ı´mpar: Simetria 20
• Se y e´ uma poteˆncia par de x, como em y = x2
ou y = x4, enta˜o e´ uma func¸a˜o par de x [pois
(−x)2 = x2 e (−x)4 = x4].
• Se y e´ uma poteˆncia ı´mpar de x, como em
y = x ou y = x3, enta˜o e´ uma func¸a˜o ı´mpar
de x [pois (−x)1 = −x e (−x)3 = −x3].
O gra´fico de uma func¸a˜o par e´
sime´trico em relac¸a˜o ao eixo y. Uma vez que
f(−x) = f(x), um ponto (x, y) estara´ no gra´fico
se e somente se o ponto (−x, y) estiver no gra´fico
(veja a Figura 2.16). Uma reflexa˜o ao longo do eixo
y na˜o altera o gra´fico.
x
yy
y = x2
x
(x, y)
(x, y)
(−x, y)
y = x3
(−x,−y)
Figura 2.16: Esquerda: O gra´fico de y = x2
(func¸a˜o par) e´ sime´trico em relac¸a˜o ao eixo y.
Direita: O gra´fico de y = x3 (func¸a˜o ı´mpar) e´
sime´trico em relac¸a˜o a` origem.
O gra´fico de uma func¸a˜o ı´mpar e´
sime´trico em relac¸a˜o a` origem. Uma vez que
f(−x) = −f(x), um ponto (x, y) estara´ no gra´fico
se e somente se o ponto (−x,−y) estiver no gra´fico
(veja a Figura 2.16). Uma rotac¸a˜o de 180◦ em
relac¸a˜o a` origem na˜o altera o gra´fico. Observe que
as definic¸o˜es implicam que x e −x estejam ambos
no domı´nio de f .
Exerc´ıcio 2.12. Diga se as seguintes func¸o˜es sa˜o
par, ı´mpar ou nenhuma delas:
(a) f(x) = x2 + 1;
(b) f(x) = 1x2−1 ;
(c) g(x) = xx2−1 ;
(d) g(t) = 1t−1 .
Cap´ıtulo 3
Limite e Continuidade
Antes de apresentar plenamente o
conceito de limite, primeiro vamos definir o con-
ceito de vizinhanc¸a de nu´meros reais.
Definic¸a˜o 3.1. Chama-se vizinhanc¸a de um
ponto x0, a todo intervalo aberto ]a, b[ que conte-
nha o ponto x0, e´ dizer, e´ um intervalo ]a, b[ para
o qual sa˜o verificadas as desigualdades
a < x0 < b
Muitas vezes escolhe-se uma vizinhanc¸a de modo
que o ponto x0 se encontre no meio da vizinhanc¸a,
e nesse caso, o ponto x0 denomina-se centro da
vizinhanc¸a e b−a2 e´ o raio da vizinhanc¸a.
Na Figura 3.1 mostra-se uma vizi-
nhanc¸a de centro x0 e raio �, assim, qualquer
nu´mero real que pertence ao intervalo ]x0−�, x0+�[
e´ membro da vizinhanc¸a.
x0 + �
x
0
� �
x0x0 − �
Figura 3.1: Vizinhanc¸a de centro x0.
3.1 Limite de uma varia´vel
Definic¸a˜o 3.2. O nu´mero constante “a” chama-
se o limite da varia´vel x, se para todo nu´mero
arbitrariamente pequeno � > 0, pode-se indicar um
valor da varia´vel x tal que todos os valores conse-
quentes desta varia´vel verifiquem a desigualdade
|x− a| < �
Se o nu´mero “a” e´ o limite da varia´vel x, diz-se
que x tende para o valor a e escreve-se:
x→ a ou limx = a
Em outras palavras, o nu´mero cons-
tante a e´ o limite da varia´vel x, se para toda vi-
zinhanc¸a de centro a e de raio �, por mais pe-
quena que seja seu raio, pode-se encontrar um valor
de x tal que todos seus valores consequentes per-
tenc¸am a esta vizinhanc¸a. Por exemplo, a Figura
3.2 mostra os valores de x em sequeˆncia: x1; x2;
x3; ...; xn−1; xn; xn+1; ..., todos os valores de x
que seguem a xn−1 (indicado por uma seta verti-
cal) pertenc¸em a` vizinhanc¸a de centro a e raio �
(|x− a| < �), assim dizemos que a constante a e´ o
limite da varia´vel x.
2�
��
xn xn+1
|xn − a|
ax1
x
0
x3 x2xn−1
Figura 3.2: Limite de uma grandeza varia´vel
Exemplo 3.1. A varia´vel x toma sucessivamente
os valores x1 = 1+ 1; x2 = 1+
1
2 ; x3 = 1+
1
3 ; · · · ;
xn = 1 +
1
n ; · · · . Mostre que limx = 1 ou x→ 1.
Soluc¸a˜o: Vamos construir a seguinte tabela com os
valores da varia´vel x
n x
1 x1 = 2
2 x2 = 1, 5
3 x3 = 1, 333...
4 x4 = 1, 25
...
...
10 x10 = 1, 1
...
...
20 x20 = 1, 05
...
...
100 x100 = 1, 01
...
...
Dado que o valor de � pode ser esco-
lhido arbitrariamente, enta˜o no´s escolhemos � =
0, 5, agora devemos encontrar o valor de x tal que
seus valores consequentes pertenc¸am a` vizinhanc¸a
|x − 1| < � = 0, 5. A partir da tabela anterior,
21
3.2.1 O problema da tangente 22
notamos que os valores que seguem a x2 = 1, 5
pertenc¸em a` vizinhanc¸a, por exemplo, para x3 ob-
temos
|x3 − 1| = |1, 333...− 1| = 0, 333.. < � = 0, 5
assim podemos mostrar tambe´m em sequeˆncia para
x4, x5, · · · .
A continuac¸a˜o mostraremos que a
varia´vel x tende para o valor 1 independentemente
do valor escolhido para �. E´ poss´ıvel encontrar
|xn − 1| = |(1 + 1
n
)− 1| = 1
n
logo a partir da definic¸a˜o de limite
|xn − 1| < � ⇒ 1
n
< �
1
�
< n ⇒ n > 1
�
isto significa que para valores maiores que 1/� de
n verificam a desigualdade |xn− 1| < �, assim per-
mitindo que x se aproxime a 1.
X O limite de uma constante e´ igual a ela mesma,
e´ dizer
lim c = c
X Uma varia´vel deve ter um u´nico limite.
Definic¸a˜o 3.3. Uma varia´vel “x” tende para o
infinito (+∞ ou -∞), se para qualquer nu´mero
M > 0 pode-se indicar um valor de x tal que to-
dos seus valores consequentes verifiquem a desi-
gualdade |x| > M .
Se a varia´vel x tende para o infinito
(+∞ ou -∞), diz-se que e´ uma varia´vel infinita-
mente grande e escreve-se x→∞.
I Uma varia´vel x tende para mais infinito
(x → +∞) se para qualquer M > 0, pode-se
indicar um valor de x tal que todos seus va-
lores consequentes verifiquem a desigualdade
x > M . Por exemplo, se o valores da varia´vel
x toma os valores x1 = 1; x2 = 2; · · · ; xn = n;
· · · , enta˜o x→ +∞.
I Uma varia´vel x tende para menos infinito
(x → −∞) se para qualquer M > 0, pode-
se indicar um valor de x, tal que todos seus
valores seguintes verifiquem a desigualdade
x < −M . Assim, por exemplo, se o valores da
varia´vel x toma os valores x1 = −1; x2 = −2;
· · · ; xn = −n; · · · , enta˜o x→ −∞.
3.2 Limite de uma func¸a˜o
O limite de uma func¸a˜o surge por
exemplo, quando tentamos encontrar a tangente a
uma curva ou quando tentamos encontrar a veloci-
dade de um objeto. A continuac¸a˜o vamos discutir
o assunto da tangente a uma curva.
3.2.1 O problema da tangente
A palavra tangente vem do latim
tangens, que significa “tocando”. Assim, uma
tangente a uma curva e´ uma reta que toca a curva,
e tem a mesma inclinac¸a˜o que a curva no ponto de
contato.
Para um c´ırculo a tangente e´ uma reta
que intercepta o c´ırculo uma u´nica vez, conforme a
Figura 3.3(a).Para outras curvas mais complica-
das essa definic¸a˜o e´ inadequada. A Figura 3.3(b)
mostra duas retas, l e t, passando por um ponto P
da curva. A reta l intercepta a curva somente uma
vez, mas certamente na˜o aparenta ser uma reta
tangente, pore´m a reta t, por outro lado, aparenta
ser uma tangente, mas intercepta a curva duas ve-
zes, em P e C.
(a) (b)
t
l
t
P
C
Figura 3.3:
No seguinte exemplo vamos tentar de-
terminar a reta tangente t a` para´bola y = x2 em
um dado ponto da para´bola.
Exemplo 3.2. Encontre uma equac¸a˜o da reta tan-
gente a` para´bola y = x2 no ponto P (1, 1).
Soluc¸a˜o: Se soubermos como encontrar a in-
clinac¸a˜o m da reta tangente t, ser´ıamos capazes
de achar a equac¸a˜o desta reta, dado que o ponto
P tambe´m pertence a esta reta, e com isso a reta
ficaria bem determinada.
A dificuldade esta´ em termos somente
um ponto P sobre t, e para calcular a inclinac¸a˜o
sa˜o necessa´rios dois pontos. Pore´m, podemos en-
contrar um valor aproximado de m escolhendo um
ponto pro´ximo Q(x, x2) sobre a para´bola (veja a
Figura 3.4) e calculando a inclinac¸a˜o mPQ da reta
secante PQ.
Note que x 6= 1 dado que Q 6= P ,
enta˜o a inclinac¸a˜o da reta secante PQ e´
mPQ =
x2 − 1
x− 1
Por exemplo, se x = 1, 5 enta˜o Q(1, 5; 2, 25), assim
3.2.2 O limite de uma func¸a˜o 23
y = x2
y
0 x
Q(x, x2)
P (1, 1)
t
Figura 3.4:
obtemos
mPQ =
2, 25− 1
1, 5− 1 =
1, 25
0, 5
= 2, 5
com certeza este resultado deve ser diferente da in-
clinac¸a˜o da reta tangente, mas ja´ e´ um valor apro-
ximado, e os resultados devem melhorar se Q ficar
cada vez mais pro´ximo de P . Nas seguintes tabelas
mostramos os valores de mPQ para va´rios valores
de x, cada vez mais pro´ximos de 1, e´ dizer, para Q
cada vez mais pro´ximo de P .
x mPQ
2 3
1,5 2,5
1,1 2,1
1,01 2,01
1,001 2,001
x mPQ
0 1
0,5 1,5
0,9 1,9
0,99 1,99
0,999 1,999
Das tabelas, notamos que quanto
mais pro´ximo Q estiver de P , x estara´ mais
pro´ximo de 1, e fica evidente que mPQ estara´ mais
pro´ximo de 2. Isso sugere que a inclinac¸a˜o da
reta tangente t deva ser m = 2. Assim, dizemos
que a inclinac¸a˜o da reta tangente e´ o limite das
inclinac¸o˜es das retas secantes, e expressamos isso
simbolicamente escrevendo que
lim
Q→P
mPQ = m e lim
x→1
x2 − 1
x− 1 = 2
A equac¸a˜o de qualquer reta pode-se
escrever como y = mx + b, onde m e´ a inclinac¸a˜o
da reta e b e´ a ordenada do ponto na qual a reta
intercepta o eixo y. Em nosso casso, a reta tangente
t a` para´bola no ponto (1,1) tem inclinac¸a˜o m = 2,
assim, sua equac¸a˜o fica
y = 2x+ b
como o ponto (1,1) pertence tambe´m a reta tan-
gente t, enta˜o, este ponto deve resolver a equac¸a˜o
da reta t, assim substituindo, obtemos
1 = 2 · 1 + b ⇒ b = −1
Finalmente
y = 2x− 1
e´ a equac¸a˜o da reta tangente a` para´bola no ponto
(1,1).
Exerc´ıcio 3.1. [O Problema da Velocidade]
Suponha que uma bola e´ solta a partir de uma al-
tura de 20 m do solo. Encontre a velocidade da bola
apo´s 2 segundos. A lei de Galileu para a queda livre
de um objeto e´ s(t) = 4, 9t2, onde s(t) e´ a distaˆncia
percorrida em metros apo´s t segundos.
3.2.2 O limite de uma func¸a˜o
Na sec¸a˜o anterior explicamos como
surgem os limites, por exemplo, quando queremos
encontrar as retas tangentes a uma curva. Agora
vamos voltar nossa atenc¸a˜o para os limites em ge-
ral.
Vamos investigar o comportamento
da func¸a˜o f definida por f(x) = x2 − x + 2 para
valores de x pro´ximos de 2. A tabela a seguir for-
nece os valores de f(x) para valores de x pro´ximos
de 2, mas na˜o iguais a 2.
x f(x) x f(x)
1,0 2,000000 3,0 8,000000
1,5 2,750000 2,5 5,750000
1,8 3,440000 2,2 4,640000
1,9 3,710000 2,1 4,310000
1,99 3,970100 2,01 4,030100
1,999 3,997001 2,001 4,003001
Da tabela e do gra´fico de f mostrado
na Figura 3.5 vemos que quando x estiver pro´ximo
de 2 (de qualquer lado de 2), f(x) estara´ pro´ximo
de 4. De fato, e´ evidente que podemos tornar os
valores de f(x) ta˜o pro´ximos de 4 quanto quiser-
mos tornando x suficientemente pro´ximo de 2. Ex-
pressamos isso dizendo que “o limite da func¸a˜o
f(x) = x2 − x + 2 quando x tende a 2 e´ igual a
4”. A notac¸a˜o para isso e´
lim
x→2
(x2 − x+ 2) = 4
Definic¸a˜o 3.4. Escrevemos
lim
x→a f(x) = L
3.2.3 Limites infinitos 24
0
4
2
y
x
Quando x tende a 2
y = x2 − x + 2
tende a
4
f (x)
Figura 3.5:
e dizemos: o limite de f(x), quando “x” tende a
“a”, e´ igual a L, se pudermos tornar os valores de
f(x) arbitrariamente pro´ximos de L (ta˜o pro´ximos
de L quanto quisermos), tornando os valores de
“x” suficientemente pro´ximo de “a” (por ambos os
lados de “a”) mas na˜o igual a “a”.
y
x0 a
L
y
x0 a
L
y
x0 a
L
Figura 3.6: lim
x→a f(x) = L nos treˆs casos
Preste atenc¸a˜o na frase “mas x 6= a”
na definic¸a˜o de limite. Isso significa que ao pro-
curar o limite de f(x) quando x tende a a nunca
consideramos x = a. Na realidade, f(x) na˜o pre-
cisa sequer estar definida quando x = a. A u´nica
coisa que importa quando definimos limite e´ como
f esta´ definida nos pontos vizinhos de a.
A Figura 3.6 mostra os gra´ficos de treˆs
func¸o˜es. Note que, na parte superior, a func¸a˜o
na˜o esta´ definida em x = a e, na figura do meio
f(a) 6= L. Mas em cada caso, na˜o importando o
que acontece em a, lim
x→a f(x) = L.
Exerc´ıcio 3.2. Usando tabelas encontre o valor
dos seguintes limites:
(a) lim
x→1
x− 1
x2 − 1 ;
(b) lim
x→0
senx
x
.
3.2.3 Limites infinitos
Vamos estudar o caso de limites infi-
nitos mediante um exemplo.
Exemplo 3.3. Encontre se existir o lim
x→0
1
x2
.
Soluc¸a˜o: A medida que x se aproxima de 0, x2
tambe´m se aproxima de 0, logo 1/x2 fica cada vez
mais grande (limite infinito). Isto pode-se ver mais
claramente considerando a seguinte tabela:
x 1/x2
±1 1
±0, 5 4
±0, 2 25
±0, 1 100
±0, 05 400
±0, 01 10000
±0, 001 1000000
de onde notamos que os valores da func¸a˜o f(x) =
1
x2 na˜o tendem a nenhum nu´mero, e usamos a
notac¸a˜o
lim
x→0
1
x2
= +∞
Isso na˜o significa que +∞ seja um nu´mero, tam-
pouco significa que o limite exista, e´ simplesmente
uma maneira de expressar que a func¸a˜o 1/x2 cresce
ilimitadamente (func¸a˜o na˜o e´ acotada superior-
mente) e que a func¸a˜o na˜o tem limite.
Exerc´ıcio 3.3. Usando tabelas mostre que os se-
guintes limites sa˜o infinitos:
(a) lim
x→3
2
x− 3 ; (b) limx→0
1
x
.
3.2.4 Limites laterais
Para entender o conceito de limite la-
teral com mais facilidade, primeiro vamos definir
uma func¸a˜o especial chamada func¸a˜o de Heavi-
side, definida como
H(t) =
{
1 se t ≥ 0
0 se t < 0
3.3 Ca´lculo de limites 25
Essa func¸a˜o pode ser usada por exemplo para des-
crever uma corrente ele´trica que e´ ligada no tempo
t = 0, seu gra´fico se apresenta na Figura 3.7.
0
1
H
t
Figura 3.7: A func¸a˜o de Heaviside
Quando t tende a 0 pela esquerda (t <
0), H(t) tende a 0, pore´m quando t tende a 0 pela
direita (t > 0), H(t) tende a 1. Indicamos essa
situac¸a˜o simbolicamente escrevendo
lim
t→0−
H(t) = 0 e lim
t→0+
H(t) = 1
O s´ımbolo “t → 0−” indica que estamos con-
siderando somente valores de t menores que 0.
Da mesma forma, “t → 0+” indica que estamos
considerando somente valores de t maiores que 0.
Na˜o ha´ um nu´mero u´nico para o qual H(t) tende
quando t tende a 0, portanto, lim
t→0
H(t) na˜o existe,
dado que o limite deve ser u´nico.
Definic¸a˜o 3.5. Se o limite pela esquerda e o limite
pela direita (limites laterais) sa˜o ambos iguais a L,
enta˜o existe limite e seu valor e´ L, e´ dizer, simbo-
licamente: se
lim
x→a−
f(x) = lim
x→a+
f(x) = L
enta˜o
lim
x→a f(x) = L
3.3 Ca´lculo de limites
Na sec¸a˜o anterior empregamos
gra´ficos e tabelas para fazer uma conjetura sobre