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Universidade Federal do Para´ Campus Universita´rio de Tucuru´ı Faculdade de Engenharia Sanita´ria e Ambiental Apostila de CA´LCULO I Prof. Ce´sar Juan Baseada nos livros: © T.M. Apostol, Calculus, Vol. 1, 2ed., Editorial Reverte´ (1984); © J. Stewart, Ca´lculo, Vol. 1, 5ed., Pioneira Thomson Lear- ning (2006); © G.B. Thomas, Ca´lculo, Vol. 1, 11ed., Editora Pearson (2009); © L. Leithold, O Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica, Vol. 1, 3ed., Editora Harbra (1994); © N. Piskounov, Ca´lculo Diferencial e Integral, Vol. 1, 18ed., Edic¸o˜es Lopes da Silva (2000). Tucuru´ı - Para´ 2016 i Suma´rio Introduc¸a˜o 1 1 Nu´meros Reais 2 1.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Igualdade de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Subconjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Notac¸a˜o impl´ıcita de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.4 Operac¸o˜es com conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.5 Conjuntos nume´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Nu´meros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Axiomas de corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Axiomas de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Interpretac¸a˜o geome´trica dos nu´meros reais como pontos de uma reta . . . . . . . . . 8 1.2.4 Cota superior de um conjunto, elemento ma´ximo, extremo superior . . . . . . . . . . . 9 1.3 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Raiz quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Func¸o˜es 12 2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Constantes e varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Representac¸a˜o de func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4.1 Representac¸a˜o anal´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4.2 Representac¸a˜o via tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4.3 Representac¸a˜o gra´fica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.5 Func¸o˜es definidas por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.6 Principais func¸o˜es elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.6.1 Func¸a˜o constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.6.2 Func¸a˜o poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 ii 2.6.3 Func¸a˜o modular ou valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.6.4 Func¸a˜o exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.6.5 Func¸a˜o logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.6.6 Func¸a˜o trigonome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.7 Translac¸a˜o de um gra´fico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.8 Func¸o˜es compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.9 Func¸a˜o linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.9.1 Quando b = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.9.2 Quando b 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.10 Func¸a˜o quadra´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.10.1 Quando b = c = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.10.2 Quando b 6= 0 e c 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.11 Func¸a˜o par e ı´mpar: Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 Limite e Continuidade 21 3.1 Limite de uma varia´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Limite de uma func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2.1 O problema da tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2.2 O limite de uma func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2.3 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2.4 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3 Ca´lculo de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.4.1 Propriedades das Func¸o˜es Cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4 Ca´lculo Diferencial 29 4.1 Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2 A derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2.1 Taxa de variac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.3 A derivada como uma func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.4 Regras de derivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.4.1 Func¸a˜o constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.4.2 Func¸a˜o poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.5 Regras do produto e do quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.6 Derivada de func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.7 Regra da cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.7.1 Func¸a˜o exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 iii 4.7.2 Derivada de func¸a˜o logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.8 Derivadas de ordens superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.8.1 Derivada segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.8.2 Derivada terceira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.9 Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.10 Valores ma´ximos e mı´nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.10.1 Pontos cr´ıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.10.2 Teorema de Rolle e teorema do valor me´dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.10.3 Concavidade e pontos de inflexa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.10.4 O teste da derivadasegunda para extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5 Ca´lculo Integral 36 5.1 Antiderivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.2 Integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.2.1 Regras da integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.2.2 Regra da substituic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.2.3 Integrac¸a˜o por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.3 O problema da a´rea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.3.1 A´rea como limite de somas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.4 A integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.4.1 Propriedades da integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.4.2 O teorema fundamental do ca´lculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 iv Introduc¸a˜o O considera´vel avanc¸e na cieˆncia du- rante os u´ltimos se´culos procede em grande parte do desenvolvimento da Matema´tica. O Ca´lculo Diferencial e Integral, ou mais conhecido como Ca´lculo I, e´ um ramo importante da matema´tica, desenvolvido a partir da A´lgebra e da Geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variac¸a˜o de grandezas (como a inclinac¸a˜o de uma reta) e a acu- mulac¸a˜o de quantidades (como a a´rea debaixo de uma curva ou o volume de um so´lido). As ide´ias iniciais do Ca´lculo podem ser encontradas nos trabalhos dos matema´ticos gre- gos da Antiguidade, da e´poca de Arquimedes (287 - 212 A.C.) e em trabalhos do in´ıcio do se´culo de- zessete por Rene´ Descartes (1596 - 1650), Pierre de Fermat (1601 - 1665), John Wallis (1616 - 1703) e Isaac Barrow (1630 - 1677). Entretanto, a invenc¸a˜o do Ca´lculo e´ frequentemente atribu´ıda a Sir Isaac Newton (1642 - 1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) pois eles comec¸aram a efetuar a generalizac¸a˜o e a unificac¸a˜o do Ca´lculo Diferencial e o Ca´lculo In- tegral. Haviam outros matema´ticos do se´culo de- zessete e dezoito que contribu´ıram para o desen- volvimento do Ca´lculo. No entanto, na˜o foi antes do se´culo dezenove que os processo do Ca´lculo re- ceberam fundamentac¸a˜o so´lida por parte de ma- tema´ticos como Bernhard Bolzano (1781 - 1848), Augustin L. Cauchy (1789 - 1857), Karl Weiers- trass (1815 - 1897) e Richard Dedekind (1831 - 1916). Na atualidade, o Ca´lculo e´ um instrumento natural e poderoso para atacar mu´ltiples problemas que surgem na F´ısica, Astro- nomı´a, Engenharia, e em outras a´reas, inclusive em cieˆncias sociais. 1 Cap´ıtulo 1 Nu´meros Reais O bom entendimento dos nu´meros re- ais e´ primordial para a compreensa˜o do Ca´lculo. Por esta raza˜o, neste cap´ıtulo, estudaremos deta- lhadamente as propriedades dos nu´meros reais, as- sim desta maneira facilitar a compreensa˜o dos con- ceitos sobre func¸o˜es de uma varia´vel real, que sera˜o objeto de estudo do pro´ximo cap´ıtulo. Antes de comec¸ar plenamente o es- tudo de nu´meros reais, sera´ preciso fazer uma breve revisa˜o da teoria de conjuntos. 1.1 Conjuntos Em matema´tica, a palavra conjunto e´ usada para representar uma colec¸a˜o de objetos com certas caracter´ısticas em comum. Por exem- plo: uma colec¸a˜o de livros de matema´tica, uma colec¸a˜o de alunos de uma determinada turma, uma colec¸a˜o dos cinco primeiros nu´meros primos1 e etc. Os objetos que conformam a colec¸a˜o chamam-se elementos ou membros do conjunto. Por agora, trataremos apenas os conjuntos nos quais os ele- mentos sa˜o nu´meros. Usualmente os conjuntos sa˜o designa- das com letras maiu´sculas: A, B, C, ..., X, Y , Z; e os elementos com minu´sculas: a, b, c, ..., x, y, z. X Usamos a notac¸a˜o x ∈ X para indicar que “x e´ um elemento do conjunto X” ou que “x pertence a X”. X Se x na˜o pertence a X escrevemos x /∈ X Sempre que for necessa´rio, designare- mos os conjuntos escrevendo os elementos entre col- chetes, por exemplo: X o conjunto dos cinco primeiros nu´meros primos se expressa com o s´ımbolo 1Um nu´mero primo, e´ um nu´mero que tem somente dois divisores: o nu´mero 1 e ele mesmo. {2, 3, 5, 7, 11}; X e o conjunto de todos os inteiros positivos se representa com {1, 2, 3, ...}, os treˆs pontos indicam “e assim por diante”. O me´todo de citar explicitamente os elementos de um conjunto entre colchetes e´ muitas vezes chamado a notac¸a˜o em lista ou explicita. Conjunto vazio Um conjunto que na˜o possui elemen- tos e´ chamado conjunto vazio, e e´ representado pelo s´ımbolo ∅. Diagramas de Venn Frequentemente nos ajudamos de di- agramas para apresentar conjuntos. Por exemplo, podemos representar o conjunto S mediante uma regia˜o no plano, e cada um de seus elementos e´ re- presentado por um ponto no interior desta regia˜o. Esta forma de apresentac¸a˜o de conjuntos e´ cha- mada diagramas de Venn. 1.1.1 Igualdade de conjuntos Se diz que dois conjuntos A e B sa˜o iguais (ou ideˆnticos) se compreendem exatamente os mesmos elementos, em cujo caso escrevemos A = B. Se um dos conjuntos conte´m qualquer elemento que na˜o esteja no outro, dizemos que os conjuntos sa˜o diferentes e escrevemos A 6= B. Exemplo 1.1. A partir da definic¸a˜o, os dois con- juntos {2, 4, 6, 8} e {2, 8, 4, 6} sa˜o iguais, dado que ambos esta˜o conformados de quatro elementos 2, 4, 6 e 8. Assim, quando usa- mos a notac¸a˜o em lista ou explicita para expressar um conjunto, a ordem em que os elementos aparecem na˜o e´ importante. 2 1.1.4 Operac¸o˜es com conjuntos 3 1.1.2 Subconjunto Dizemos que um conjunto B e´ um subconjunto do conjunto A se todo elemento de B for tambe´m elemento de A. Nesse caso, dizemos que B esta´ contido em A, ou que A conte´m B. Essa relac¸a˜o de contineˆncia e´ representada por B ⊂ A ou A ⊃ B. X Por exemplo: {2, 4} ⊂ {1, 2, 3, 4} e´ dizer, {2, 4} e´ um subconjunto de {1, 2, 3, 4}. Propriedades dos subconjuntos Dados os conjuntos A, B e C, sa˜o va´lidas as seguintes propriedades: I (S1): A ⊂ A; I (S2): ∅ ⊂ A; I (S3): se A ⊂ B e B ⊂ A, enta˜o A = B; I (S4): se A ⊂ B e B ⊂ C, enta˜o A ⊂ C. Exemplo 1.2. Dado o conjunto {a, b, c}, podemos escrever: X {a} ⊂ {a, b, c}; X {b} ⊂ {a, b, c}; X {c} ⊂ {a, b, c}; X {a, b} ⊂ {a, b, c}; X {a, c} ⊂ {a, b, c}; X {b, c} ⊂ {a, b, c}; X {a, b, c} ⊂ {a, b, c}; X ∅ ⊂ {a, b, c}. 1.1.3 Notac¸a˜o impl´ıcita de conjun- tos A notac¸a˜o {x /x ∈ S e x satisfaz C} designa o conjunto cujos elementos sa˜o x tal que pertencem ao conjunto S e satisfazem a condic¸a˜o C. O simbolo “/” leˆ-se: tal que. X Por exemplo, o conjunto A = {x / x ∈ inteiros positivos e x < 5} esta´ conformado somente pelos inteiros po- sitivos menores que o nu´mero 5, e´ dizer na notac¸a˜o explicita A = {1, 2, 3, 4} Os conjuntos apresentados desta forma diz-se que esta˜o na notac¸a˜o impl´ıcita, e sa˜o caracterizados por uma condic¸a˜o definidora C. No exemplo anterior a condic¸a˜o definidora e´ “x < 5”. 1.1.4 Operac¸o˜es com conjuntos Unia˜o (∪) A unia˜o de A e B que se representa pelo s´ımbolo A ∪ B (leˆ-se: “A unia˜o B”), define- se como o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Exemplo 1.3. Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 4}, enta˜o A ∪B = {1, 2, 3, 4}. Intersec¸a˜o (∩) A intersec¸a˜o de A e B que se repre- senta pelo s´ımbolo A∩B (leˆ-se: “A intersec¸a˜o B”) define-se como o conjunto formado pelos elementos que pertencem, ao mesmo tempo, a A e a B. Exemplo 1.4. Sejam os conjuntos A = {3, 6, 9} e B = {2, 4, 6}, enta˜o A ∩B = {6}. Dois conjunto se chamam disjuntos se A∩B = ∅ (e´dizer que A e B na˜o teˆm elementos comuns). Propriedades da unia˜o e da intersec¸a˜o Suponha que A, B e C sejam conjun- tos quaisquer. I (P1): A ∪A = A; A ∩A = A; I (P2): A ∪∅ = A; A ∩∅ = ∅; I (P3): A ∪B = B ∪A; A ∩B = B ∩A; I (P4): (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C); (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). Exerc´ıcio 1.1. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 9}, B = {2, 4, 6, 8} e C = {1, 3, 5, 7, 10}, determine A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C, A ∩ B, A ∩ C e B ∩ C. Diferenc¸a (−) A diferenc¸a de A e B e´ representada pelo s´ımbolo A − B (leˆ-se: “A diferenc¸a B”), e define-se como o conjunto de elementos de A que na˜o pertencem a B, e´ dizer na notac¸a˜o impl´ıcita de conjuntos: A−B = {x /x ∈ A e x /∈ B} Exemplo 1.5. Sejam os conjuntos A = {2, 3, 5, 7} e B = {1, 3, 5}, enta˜o A−B = {2, 7}. 1.1.5 Conjuntos nume´ricos A noc¸a˜o de nu´mero e´ o fundamento da matema´tica, elaborada na antiguidade, ela so- freu no decurso dos se´culos um longo processo de extensa˜o e de generalizac¸a˜o. 1.1.5 Conjuntos nume´ricos 4 Nu´meros naturais O conjunto dos nu´meros naturais designa-se pelo s´ımbolo N, e seus elementos sa˜o to- dos os nu´meros inteiros na˜o negativos, e´ dizer na notac¸a˜o explicita de um conjunto N = {0, 1, 2, 3, 4, · · · } O conjunto dos nu´meros naturais na˜o- nulos (excluindo o zero) designa-se pelo s´ımbolo N∗, e´ dizer N∗ = {1, 2, 3, 4, · · · } logo podemos afirmar que N∗ e´ um subconjunto de N (N∗ ⊂ N). Na notac¸a˜o impl´ıcita o conjunto N∗ pode-se definir como N∗ = {x / x ∈ N ∧ x 6= 0} onde o s´ımbolo ∧ leˆ-se “e”, e significa que x deve satisfazer ambas condic¸o˜es simultaneamente. Nu´meros inteiros Depois dos nu´meros naturais os tra- balhos matema´ticos levou a descobrir os nu´meros inteiros, designa-se o conjunto dos nu´meros intei- ros pelo s´ımbolo Z. O conjunto Z esta´ constituido pelos nu´meros naturais e seus sime´tricos negativos, incluindo o zero, e´ dizer Z = {· · · − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · } que e´ uma extensa˜o dos nu´meros naturais. Note que o conjunto N e´ um subconjunto de Z, ademas podemos encontrar os seguintes subconjuntos para Z: Z∗ = {x /x ∈ Z ∧ x 6= 0}; Z+ = {x /x ∈ Z ∧ x > 0}; Z− = {x /x ∈ Z ∧ x < 0}; E´ poss´ıvel estabelecer a propriedade da existeˆncia de elemento oposto na adic¸a˜o para qualquer nu´mero inteiro, e´ dizer, que existe a′ ∈ Z tal que a + a′ = 0, para qualquer a ∈ Z. Por exemplo existe o nu´mero −3 que e´ o elemento inverso na adic¸a˜o do nu´mero 3, e vice-versa. Em geral os nu´meros naturais na˜o teˆm esta proprie- dade. Nu´meros racionais Nu´mero racional e´ todo nu´mero que pode ser determinado a partir de uma raza˜o ou divisa˜o entre dois nu´meros inteiros. O conjunto dos nu´meros racionais designa-se pelo s´ımbolo Q, e podemos definir como Q = {a b / a ∈ Z ∧ b ∈ Z∗ } E´ dizer, o conjunto dos nu´meros racionais e´ for- mado por todos os quocientes de nu´meros inteiros a e b, em que b e´ na˜o nulo. O uso da letra “Q” e´ derivado da palavra latina quotie˜(n)s, cujo signifi- cado e´ quantas vezes. E´ poss´ıvel estabelecer a propriedade da existeˆncia de elemento inverso na multi- plicac¸a˜o para qualquer nu´mero racional, e´ dizer, que existe a′ ∈ Q tal que a · a′ = 1, para qual- quer a ∈ Q. Por exemplo existe o nu´mero 1/3 que e´ o elemento inverso na multiplicac¸a˜o do nu´mero 3, e vice-versa. Os nu´meros inteiros na˜o teˆm esta propriedade. Nu´meros irracionais Os nu´meros irracionais sa˜o aqueles que na˜o podem ser obtidos pela divisa˜o de dois nu´meros inteiros, ou seja, na˜o sa˜o racionais2. Por exemplo, os nu´meros √ 2, √ 3, pi e “e” sa˜o nu´meros irracionais. O conjunto dos nu´meros irracionais e´ representado pelo s´ımbolo I. A incorporac¸a˜o dos nu´meros irraci- onais na aritme´tica, permite definir a existeˆncia da raiz quadrada de qualquer nu´mero na˜o ne- gativo (racional ou irracional), e´ dizer, que existe um nu´mero a′ tal que a′ · a′ = a, para qualquer nu´mero a na˜o negativo. Por exemplo existe o nu´mero √ 2 (nu´mero irracional), chamado raiz qua- drada do nu´mero 2, tal que √ 2 · √2 = 2. Existem dois tipos de nu´meros irraci- onais: B Nu´meros reais alge´bricos irracionais: sa˜o ra´ızes de polinoˆmios com coeficientes inteiros, por exemplo: √ 2 = 1, 414213562373095... √ 3 = 1, 732050807568877... B Nu´meros reais transcendentes: na˜o sa˜o ra´ızes de polinoˆmios com coeficientes inteiros, por exemplo: pi = 3, 141592653589793... e = 2, 718281828459045... onde pi e´ o nu´mero “pi” e e e´ o nu´mero de Euler. 2A primeira descoberta de um nu´mero irracional e´ ge- ralmente atribu´ıda a Hipaso de Metaponto (∼ 470 - 400 A.C.), um seguidor de Pita´goras. Pore´m, foi so´ em 1872 que o matema´tico alema˜o Richard Dedekind (1831 - 1916) fez entrar na Aritme´tica. 1.2.1 Axiomas de corpo 5 Exerc´ıcio 1.2. Utilize a notac¸a˜o explicita para re- presentar os seguintes conjuntos: (a) A = {x / x ∈ Z+ ∧ x < 10}; (b) B = {x / x ∈ N ∧ x < 7}; (c) A ∪B; (d) A ∩B; (e) A−B; (f) B −A; (f) Verifique se A ⊂ B ou B ⊂ A. Exerc´ıcio 1.3. Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7} e C = {4, 5, 6, 8}, descubra o resultado de: (a) (A− C) ∩ (B − C); (b) (A− C) ∪ (B − C). 1.2 Nu´meros Reais Denomina-se nu´meros reais a todos os nu´meros que sejam racionais ou irracionais, e designa-se pelo s´ımbolo R, e´ dizer R = Q ∪ I A Figura 1.1 apresenta claramente os diferentes conjuntos nume´ricos, e´ importante notar que Q ∩ I = ∅. I N Z Q R Figura 1.1: A continuac¸a˜o, vamos introduzir o sis- tema de nu´meros reais, mediante um processo bas- tante avanc¸ado e formal, considerando os nu´meros reais como conceitos primitivos que satisfazem um certo nu´mero de propriedades que se consideram como axiomas3; e´ dizer, vamos supor que existem certos objetos, chamados nu´mero reais, que satis- fazem os 10 (dez) axiomas que vamos enunciar a continuac¸a˜o. Enquanto na˜o se diga o contra´rio, as letras a, b, c, ... x, y, z que aparecem nos axiomas representam quaisquer nu´meros reais. Os axiomas 3Na lo´gica tradicional, um axioma ou postulado e´ uma sentenc¸a ou proposic¸a˜o que na˜o e´ provada ou demonstrada e e´ considerada como o´bvia ou como um consenso inicial necessa´rio para a construc¸a˜o ou aceitac¸a˜o de uma teoria se agrupam em forma natural em treˆs grupos, que sa˜o, axiomas de corpo, axiomas de ordem e axioma do supremo. 1.2.1 Axiomas de corpo Junto com o conjunto dos nu´meros re- ais se supo˜e a existeˆncia de dois operac¸o˜es chama- dos adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o, tais que para cada par de nu´meros reais x e y pode-se formar: B a soma de x e y, que e´ outro nu´mero real desig- nado por x+ y; B e o produto de x vezes y designado por xy ou x · y. A soma x + y e o produto x · y esta˜o univocamente determinados por x e y. Axioma 1.1. PROPRIEDADE COMUTATIVA. A adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o sa˜o operac¸o˜es comutati- vas em R: x+ y = y + x, x · y = y · x Axioma 1.2. PROPRIEDADE ASSOCIATIVA. A adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o sa˜o operac¸o˜es associativas em R: (x+ y) + z = x+ (y+ z), (x · y) · z = x · (y · z) Axioma 1.3. PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA. A multiplicac¸a˜o e´ distributiva a respeito da adic¸a˜o: x · (y + z) = x · y + x · z Axioma 1.4. EXISTEˆNCIA DE ELEMENTOS NEUTROS. Existem dois nu´meros reais distintos, que se indicam por 0 e 1 tais que para cada nu´mero real x se tem: x+ 0 = 0 + x = x e x · 1 = 1 · x = x onde 0 e´ o elemento neutro da adic¸a˜o e 1 e´ o ele- mento neutro da multiplicac¸a˜o. Axioma 1.5. EXISTEˆNCIA DO OPOSTO. Para cada nu´mero real x existe um nu´mero real denotado por “−x” tal que: x+ (−x) = (−x) + x = 0 logo dizemos que “−x” e´ o oposto de x e vice-versa. Axioma 1.6. EXISTEˆNCIA DO INVERSO OU RECI´PROCO. Para cada nu´mero real x 6= 0 existe um nu´mero real denotado por x−1 tal que:x · x−1 = x−1 · x = 1 logo dizemos que x−1 e´ o inverso de x e vice-versa. 1.2.1 Axiomas de corpo 6 Observac¸a˜o: Os nu´meros 0 e 1 dos axiomas 1.5 e 1.6 sa˜o os mesmos que os do axioma 1.4. Exemplo 1.6. Demonstrar que: -0 = 0 (o oposto de 0 e´ ele mesmo). Demonstrac¸a˜o. Usando o Axioma 1.4 para x = −0, e´ dizer B Axioma 1.4: −0 = (−0) + 0 B Axioma 1.5: −0 = 0 Exemplo 1.7. Se x+ y = x, demonstrar que y = 0. Demonstrac¸a˜o. B Axioma 1.4: y = 0 + y B Axioma 1.5: y = [(−x) + x] + y B Axioma 1.2: y = (−x) + [x+ y] B Hipo´tese “x+ y = x”: y = (−x) + x B Axioma 1.5: y = 0 Dos axiomas anteriores pode-se dedu- zir todas as leis usuais do A´lgebra elementar. As mais importantes de elas se indicam a continuac¸a˜o como teoremas. Em todos os teoremas as letras a, b, c, d, representam qualquer nu´mero real. Teorema 1.1. LEI DE SIMPLIFICAC¸A˜O PARA A ADIC¸A˜O. Se a+ b = a+ c, enta˜o b = c Em particular isto prova que o nu´mero 0 do axioma 1.4 e´ u´nico. Demonstrac¸a˜o. B Axioma 1.4: b = 0 + b B Axioma 1.5: b = [(−a) + a] + b B Axioma 1.2: b = (−a) + [a+ b] B Hipo´tese “a+ b = a+ c”: b = (−a) + [a+ c] B Axioma 1.2: b = [(−a) + a] + c B Axioma 1.5: b = 0 + c B Axioma 1.4: b = c Note que este teorema demonstra que existe somente um nu´mero real que tem a propri- edade de 0 no axioma 1.4. De fato, se 0 e 0′ tive- ram ambos esta propriedade, enta˜o, 0 + 0′ = 0 e 0 + 0 = 0; portanto, 0 + 0′ = 0 + 0 e pela lei de simplificac¸a˜o 0 = 0′. Teorema 1.2. POSSIBILIDADE DA SUBTRAC¸A˜O. Dados a e b existe um e so- mente um x tal que a+ x = b. A este x designa-se por b − a e se denomina diferenc¸a ou resto de b e a (subtrac¸a˜o). Teorema 1.3. b− a = b+ (−a). Demonstrac¸a˜o. B Axioma 1.4: b− a = 0 + (b− a) B Axioma 1.5: b− a = [(−a) + a] + (b− a) B Axioma 1.2: b− a = (−a) + [a+ (b− a)] B Por definic¸a˜o “a+ (b− a) = b” (Teorema 1.2): b− a = (−a) + b B Axioma 1.1: b− a = b+ (−a) Teorema 1.4. −(−a) = a. Exemplo 1.8. Demonstrar que: −x = (−1) · x. Demonstrac¸a˜o. B Axioma 1.4: x+(−1) ·x = 1 ·x+(−1) ·x B Axioma 1.1: x+(−1) ·x = x · 1+x · (−1) B Axioma 1.3: x+ (−1) · x = x · [1 + (−1)] B Axioma 1.5: x+ (−1) · x = x · 0 B Teorema 1.6: x+ (−1) · x = 0 Finalmente pelo axioma 1.5 (−1) · x deve ser o oposto de x, assim −x = (−1) · x. Teorema 1.5. a · (b− c) = a · b− a · c. Teorema 1.6. 0 · a = a · 0 = 0. Exemplo 1.9. Demonstrar que: −a−b = −(a+b). Demonstrac¸a˜o. B Teorema 1.3: −a− b = −a+ (−b) B Exemplo 1.8: −a− b = (−1) · a+ (−1) · b B Axioma 1.3: −a− b = (−1) · (a+ b) B Exemplo 1.8: −a− b = −(a+ b) 1.2.2 Axiomas de ordem 7 Teorema 1.7. LEI DE SIMPLIFICAC¸A˜O PARA A MULTIPLICAC¸A˜O. Se a · b = a · c e a 6= 0, enta˜o b = c Em particular isto demonstra que o nu´mero 1 do axioma 1.4 e´ u´nico. Exerc´ıcio 1.4. Demonstrar que se a 6= 0 e b 6= 0, enta˜o (a · b)−1 = a−1 · b−1 Teorema 1.8. POSSIBILIDADE DA DIVISA˜O. Dados a e b com a 6= 0, existe um e somente um x tal que a · x = b. A este x designa-se por b/a ou ba e se denomina quociente de b e a. Teorema 1.9. Se a 6= 0, enta˜o b/a = b · a−1. Teorema 1.10. Se a 6= 0, enta˜o (a−1)−1 = a. Teorema 1.11. Se a · b = 0 enta˜o ou a = 0 ou b = 0. Exerc´ıcio 1.5. Resolver as seguintes igualdades: (a) (x− 1) · (x+ 1) = 0; (b) (x+ 2)2 − 1 = 0. Teorema 1.12. (−a) · b = −(a · b) e (−a) · (−b) = a · b. Teorema 1.13. (a/b)+(c/d) = (a ·d+ b · c)/(b ·d) se b 6= 0 e d 6= 0. Teorema 1.14. (a/b) · (c/d) = (a · c)/(b · d) se b 6= 0 e d 6= 0. Teorema 1.15. (a/b)/(c/d) = (a · d)/(b · c) se b 6= 0, c 6= 0 e d 6= 0. Exerc´ıcio 1.6. Demonstrar as igualdades: (a) 1−1 = 1; (b) −(a− b) = −a+ b; (c) (a− b) + (b− c) = a− c. Exerc´ıcio 1.7. Resolver as seguintes igualdades: (a) x3 = x; (b) x3 = x, se x 6= 0; (c) 2x2 + 16x+ 14 = 0; (d) x2 − 6x = 11; (e) ax2+bx+c = 0, com a 6= 0 e b e c coeficientes reais. Dica: nos itens (c), (d) e (e) use o me´todo de completar quadrados. 1.2.2 Axiomas de ordem Este grupo de axiomas se refere a um conceito que estabelece uma ordenac¸a˜o entre os nu´meros reais. Segundo esta ordenac¸a˜o se pode decidir se um nu´mero real e´ maior ou menor que outro. Suponhamos que existe um certo sub- conjunto R+ ⊂ R, chamado conjunto de nu´meros positivos, que satisfazem os seguintes treˆs axio- mas de ordem: Axioma 1.7. R+ e´ um subconjunto fechado de R para a adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o, e´ dizer Se x, y ∈ R+ ⇒ x+ y ∈ R+ e x · y ∈ R+ Axioma 1.8. Para todo real x 6= 0 uma e so´ uma das seguintes proposic¸o˜es e´ verdadeira x ∈ R+; ou − x ∈ R+ Definic¸a˜o 1.1. x e´ um nu´mero real positivo, se e somente se x ∈ R+. Definic¸a˜o 1.2. x e´ um nu´mero real negativo, se e somente se −x ∈ R+. Axioma 1.9. 0 /∈ R+, e´ dizer, o nu´mero 0 na˜o e´ positivo, e dado que seu oposto −0 /∈ R+ (pois −0 = 0), enta˜o 0 tambe´m na˜o e´ negativo. Os treˆs axiomas apresentados anteri- ormente nos permitira´ definir os s´ımbolos: < “menor que”; > “maior que”; ≤ “igual ou menor que”; ≥ “igual ou maior que”. Definic¸a˜o 1.3. x < y ⇔ (y − x) ∈ R+. Definic¸a˜o 1.4. y > x ⇔ x < y. Definic¸a˜o 1.5. x ≤ y significa que ou x < y ou x = y. Definic¸a˜o 1.6. y ≥ x ⇔ x ≤ y. A partir da definic¸a˜o 1.3 podemos en- contrar alguns casos particulares: X se fazermos x = 0, obtemos 0 < y ⇔ y ∈ R+ y > 0 ⇔ y ∈ R+ e´ dizer, y e´ positivo se e somente se y > 0. X se fazermos y = 0, obtemos x < 0 ⇔ −x ∈ R+ e´ dizer, x e´ negativo se e somente se x < 0. 1.2.3 Interpretac¸a˜o geome´trica dos nu´meros reais como pontos de uma reta 8 Das axiomas de ordem pode-se dedu- zir todas as regras usuais de ca´lculo com desigual- dades, as mais importantes se da˜o a continuac¸a˜o como teoremas. Teorema 1.16. PROPRIEDADE DE TRICOTO- MIA. Para quaisquer a, b ∈ R se verifica uma e somente uma das treˆs relac¸o˜es a < b, b < a, a = b. Teorema 1.17. PROPRIEDADE TRANSITIVA. Se a < b e b < c, enta˜o a < c. Teorema 1.18. Se a < b, enta˜o a+ c < b+ c. Teorema 1.19. Se a < b e c > 0, enta˜o ac < bc. Teorema 1.20. Se a 6= 0, enta˜o a2 > 0; Teorema 1.21. 1 > 0. Teorema 1.22. Se a < b e c < 0, enta˜o ac > bc. Teorema 1.23. REGRA DOS SINAIS. Se ab > 0, ⇔ a > 0 ∧ b > 0 ou a < 0 ∧ b < 0; Se ab < 0, ⇔ a > 0 ∧ b < 0 ou a < 0 ∧ b > 0. Exerc´ıcio 1.8. Resolver (a) x2 > 4; (b) (x− 2)(x+ 1) < 0. Teorema 1.24. Se a < b e c < d, enta˜o a + c < b+ d. Teorema 1.25. Se 0 < a < b, enta˜o 1a > 1 b . Exerc´ıcio 1.9. Resolva as seguintes desigualdades (a) 1 + x < 7x+ 5; (b) 4 ≤ 3x− 2 < 13. 1.2.3 Interpretac¸a˜o geome´trica dos nu´meros reais como pontos de uma reta O estudante ja´ deve estar familiari- zado com a representac¸a˜o dos nu´meros reais medi- ante os pontos de uma reta. Se na˜o for assim, a continuac¸a˜o lhe ajudaremos relembrar. 0 x y1 Figura 1.2: Eixo real: Nu´meros reais representados geometricamente em uma linha. Se escolhe um ponto para representar o 0 e outro a` direita do 0 para representar o 1, como se indica na Figura 1.2. Esta escolha deter- mina a escala. Se um conjunto adequado de axio- mas e´ adotado para a Geometria Euclidiana, cada nu´mero real corresponde a um e somente um ponto da reta e, reciprocamente, cada ponto da reta cor- responde a um e somente um nu´mero real4. Por esta raza˜o a reta se denomina frequentemente reta real ou eixo real, e e´ costume utilizar as palavras nu´mero real e ponto como sinoˆnimos. Por isso diz-se muitas vezes o ponto x em vez do ponto correspondente ao nu´mero real x. A relac¸a˜o de ordem entre os nu´meros reais tem uma interpretac¸a˜o geome´trica simples, por exemplo: X Se x < y, o ponto x esta´ a` esquerda do ponto y, como se veˆ na Figura 1.2. X Os nu´meros positivos esta˜o a` direita do 0 e os negativos a` esquerda do 0. X Se a < b, o nu´mero real x satisfaz as desigual- dades a < x < b, se e somente se o ponto x estiverentre os pontos a e b. Esta possibilidade de representar geo- metricamente os nu´meros reais e´ um auxiliar pode- roso, pois nos permite descobrir e compreender me- lhor certas propriedades dos nu´meros reais. Dado que um argumento geome´trico e´ mais sugestivo que a demonstrac¸a˜o puramente anal´ıtica (dependente exclusivamente dos axiomas do nu´mero real). Intervalos Um intervalo e´ um conjunto que conte´m cada nu´mero real entre dois extremos in- dicados, podendo ou na˜o conter os pro´prios extre- mos. Por exemplo: X o conjunto cujos elementos sa˜o maiores ou iguais a 0 e menores ou iguais a 1, isto e´, 0 ≤ x ≤ 1 sendo x um elemento qualquer pertencente ao conjunto em questa˜o. E´ um intervalo que conte´m os extremos 0 e 1, bem como todos os nu´meros reais entre eles. Os extremos podem ser nu´meros re- ais ou tambe´m podem ser −∞ ou +∞ (menos in- finito5 ou mais infinito). Por exemplo, o conjunto dos nu´meros reais R e´ um intervalo com extremos −∞ e +∞, e o conjunto dos nu´meros reais negati- vos e´ um intervalo com extremos −∞ e 0. Os intervalos sera˜o representados ge- ometricamente mediante segmentos de reta. Exerc´ıcio 1.10. O conjunto {1, 2, 3, 4, 5} e´ um intervalo? Represente geometricamente esse con- junto. 4O nu´mero real associado ao ponto P e´ chamado coor- denada do ponto P 5Infinito (do latim infin´ıtu, s´ımbolo: ∞) e´ um adjetivo que denota algo que na˜o tem in´ıcio nem fim, ou na˜o tem limites, ou que e´ inumera´vel 1.2.4 Cota superior de um conjunto, elemento ma´ximo, extremo superior 9 B Intervalo aberto: e´ quando o intervalo na˜o conte´m os extremos, e designa-se pela notac¸a˜o (a, b) ou ]a, b[ ou {x/a < x < b} onde a e b sa˜o os extremos. A Figura 1.3 mos- tra a representac¸a˜o geome´trica, as bolinhas va- zias indicam que os extremos esta˜o exclu´ıdos (intervalo aberto). a b Figura 1.3: Intervalo aberto ]a, b[ B Intervalo fechado: e´ quando o intervalo conte´m os extremos, e designa-se pela notac¸a˜o [a, b] ou {x/a ≤ x ≤ b} onde a e b sa˜o os extremos. A Figura 1.4 mos- tra a representac¸a˜o geome´trica, as bolinhas cheias indicam que os extremos esta˜o inclu´ıdos (intervalo fechado). a b Figura 1.4: Intervalo fechado [a, b] B Intervalo semi-aberto ou semi-fechado: e´ quando o intervalo somente conte´m um dos extremos, e designa-se pela notac¸a˜o ]a, b] ou {x/a < x ≤ b} onde a e b sa˜o os extremos, neste caso o in- tervalo na˜o conte´m o extremo esquerdo, assim dizemos que ele e´ aberto pelo lado esquerdo e fechado pelo lado direito. Tambe´m pode acon- tecer [a, b[ ou {x/a ≤ x < b} neste caso o intervalo na˜o conte´m o extremo direito, assim dizemos que ele e´ fechado pelo lado esquerdo e aberto pelo lado direito. Observac¸a˜o: quando um dos extremos de um in- tervalo e´ −∞ ou +∞, o intervalo e´ considerado aberto naquele extremo. Por exemplo, o intervalo infinito: a ≤ x < +∞ ou {x / x ≥ a} e´ fechado pelo lado esquerdo e aberto pelo lado direito, assim podemos denotar como [a,+∞[. Exemplo 1.10. Resolva a seguinte desigualdade x2 − 5x+ 6 ≤ 0. Soluc¸a˜o. Primeiro vamos fatorar o lado esquerdo da desigualdade, assim obtemos (x− 2)(x− 3) ≤ 0 usando o teorema 1.23 separamos a desigualdade anterior em duas mais simples: (i) (x− 2) ≥ 0 ∧ (x− 3) ≤ 0 (ii) (x− 2) ≤ 0 ∧ (x− 3) ≥ 0 42 310-1 Figura 1.5: Intervalo fechado [2, 3] Resolvendo a desigualdade (i) obtemos o primeiro conjunto soluc¸a˜o S1 (acompanhe a Figura 1.5) S1 = {x /x ≥ 2} ∩ {x / x ≤ 3} S1 = {x / 2 ≤ x ≤ 3} Da mesma forma a partir da desigualdade (ii) ob- temos o segundo conjunto soluc¸a˜o S2 S2 = {x /x ≤ 2} ∩ {x / x ≥ 3} S2 = ∅ Finalmente juntando os conjuntos soluc¸o˜es S1 e S2, obtemos a soluc¸a˜o total S S = S1 ∪ S2 ⇒ S = {x / 2 ≤ x ≤ 3} 1.2.4 Cota superior de um conjunto, elemento ma´ximo, extremo su- perior Os nove axiomas expostos ate agora conteˆm todas as propriedades dos nu´meros reais estudados tradicionalmente em A´lgebra elemen- tar. Ha´ outro axioma de importaˆncia fundamen- tal no Ca´lculo que tradicionalmente na˜o se estuda nos curso de A´lgebra elementar. Este axioma (ou outro equivalente) e´ necessa´rio para introduzir os nu´meros irracionais no sistema de nu´meros reais, e tambe´m atribui ao conjunto dos nu´meros reais uma propriedade de continuidade que e´ especial- mente importante no estudo do Ca´lculo. Em A´lgebra elementar aparecem nu´meros irracionais quando se trata de resolver cer- tas equac¸o˜es quadra´ticas. Por exemplo, quando se deseja obter um nu´mero real tal que x2 = 2. Os nove axiomas anteriores na˜o permitem provar a existeˆncia de um x no sistema dos nu´meros reais de 1.3 Valor absoluto 10 modo que verifique tal equac¸a˜o. Pore´m o axioma 10 prova a existeˆncia de tal nu´mero. Antes de expor o axioma 10, vamos introduzir alguma terminologia e notac¸a˜o especiais. Seja S um conjunto no vazio de nu´meros reais e suponhamos que existe um nu´mero B tal que x ≤ B para todo x de S. Enta˜o se diz que S esta´ acotado superiormente por B. O nu´mero B denomina-se uma cota superior para S. Dizemos uma cota superior devido a que todo nu´mero maior que B tambe´m e´ uma cota superior. Se uma cota supe- rior B pertence tambe´m a S, enta˜o B se chama o elemento ma´ximo de S, e se escreve B = max S se B ∈ S e x ≤ B para todo x ∈ S. Um con- junto sem cota superior se diz que e´ na˜o acotado superiormente. Os exemplos que seguem Exemplo 1.11. Seja S o conjunto de todos os nu´meros reais x tais que 0 ≤ x ≤ 1. Este conjunto esta´ acotado superiormente pelo 1. Seu elemento ma´ximo e´ o 1. Exemplo 1.12. Seja T o conjunto de todos os nu´meros reais x tais que 0 ≤ x < 1 . Este conjunto esta´ acotado superiormente pelo 1, pore´m na˜o tem elemento ma´ximo. Exemplo 1.13. Seja S o conjunto de todos os nu´meros reais positivos. E´ um conjunto na˜o aco- tado superiormente. Na˜o tem cotas superiores nem elemento ma´ximo. Definic¸a˜o 1.7. Um nu´mero B se denomina ex- tremo superior de um conjunto na˜o vazio S se B tem as duas propriedades seguintes: (a) B e´ uma cota superior de S. (b) Nenhum nu´mero menor que B e´ cota superior para S. Se S tem um elemento ma´ximo (ou simplesmente ma´ximo), enta˜o este elemento tambe´m e´ extremo superior de S. Pore´m se S na˜o possui ma´ximo, pode ter extremo superior. Nos Exemplos 1.11 e 1.12, o extremo superior e´ 1 (veja a Figura 1.6). Teorema 1.26. Dois nu´meros distintos na˜o po- dem ser extremos superiores para o mesmo con- junto. Isto quer dizer que, se existe um extremo superior para um conjunto S, ha´ somente um e pode ser dito o extremo superior. Com frequeˆncia se utiliza o termo su- premo de um conjunto em vez de extremo superior usando a abreviatura sup, e escrevendo enta˜o: B = sup S 0 1 ma´ximo de S cotas superiores de S S 0 1 T cotas superiores de T extremo superior de T Figura 1.6: (Acima) S tem ma´ximo: max S = 1. (Abaixo) T na˜o tem ma´ximo, pore´m tem extremo superior: sup T = 1. Agora podemos estabelecer o axioma 10 para o sistema de nu´meros reais. Axioma 1.10. AXIOMA DO SUPREMO. Todo conjunto na˜o vazio S de nu´meros reais acotado superiormente possui extremo superior (supremo); isto e´, existe um nu´mero real B tal que B = sup S. As definic¸o˜es de cota inferior, acotado inferiormente, extremo inferior (ou ı´nfimo), se for- mulam de forma parecida. Exerc´ıcio 1.11. Seja o subconjunto de nu´meros reais definido por A = { nn+1 / n ∈ Z+}, em que Z+ e´ o conjunto de inteiros positivos. (a) A e´ acotado superiormente? (b) A tem supremo? (c) A tem ma´ximo? 1.3 Valor absoluto Definic¸a˜o 1.8. Dado um nu´mero real “a”, o “va- lor absoluto de a”, que se denota por |a|, se define pela seguinte regra: |a| = { a, se a ≥ 0 −a, se a < 0 geometricamente |a| representa a distaˆncia do ponto “a”ate´ o ponto 0 sobre o eixo real. A continuac¸a˜o apresentamos alguns exemplos, em cada caso verifique se satisfaz a regra apresentada na definic¸a˜o anterior: |3| = 3, | − 3| = 3, |0| = 0 | √ 2− 1| = √ 2− 1, |3− pi| = pi − 3 1.3.1 Raiz quadrada 11 Exerc´ıcio 1.12. Expresse |3x− 2| usando a regra do valor absoluto. Propriedades do valor absoluto B (P1): |a| ≥ 0, para qualquer a ∈ R; B (P2): | − a| = |a|, para qualquer a ∈ R; B (P3): |a|2 = a2, para qualquer a ∈ R; B (P4): |a · b| = |a| · |b|, para quaisquer a, b ∈ R; B (P5): ∣∣a b ∣∣ = |a||b| , para quaisquer b 6= 0 e a reais; B (P6): |a| ≥ a, para qualquer a ∈ R. Igualdades com valor absoluto B (I1): |a| = 0 ⇔ a = 0; B (I2): |a| = b ⇔ a = b ∨ a = −b; B (I3): |a| = |b| ⇔ a = b ∨ a = −b. Exerc´ıcio 1.13. Resolva as seguintes igualdades com valor absoluto: (a) |2x− 5| = 3; (b) |x− 1| = |2x|; (c) |2x2 − 1| = 4; (d) |3x− 1| = x−1x . Desigualdades com valor absoluto B (D1): |a| ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b; B (D2): |a| ≥ b ⇔ a ≥ b ou a ≤ −b. Em todos os casos b > 0. Exerc´ıcio 1.14. Resolva as seguintes desigualda- des com valor absoluto: (a) |x− 5| < 2; (b) ∣∣∣x−1x+1 ∣∣∣ < 2. Teorema 1.27. DESIGUALDADE TRIANGU- LAR. Se a e b forem quaisquer nu´meros reais, enta˜o |a+ b| ≤ |a|+ |b| Demonstrac¸a˜o. Dado que a = |a| ou a = −|a|, se teˆm −|a| ≤ a ≤ |a|, da mesma foma −|b| ≤ b ≤ |b|. Somando ambas desigualdades se teˆm −(|a|+ |b|) ≤ a+ b ≤ |a|+ |b| e portanto em virtude da propriedade (D1), conclui-se que: |a+ b| ≤ |a|+ |b| que e´ o que pretendeamos demonstrar. 1.3.1 Raiz quadrada Definic¸a˜o 1.9. Dado um nu´mero real positivo “a”, a “raiz quadrada de a”, que se denota por √ a, se define como um u´nico nu´mero na˜o negativo que, quando multiplicado por si pro´prio, se iguala a “a”. Propriedades da raiz quadrada B (R1): √ a · b = √a · √b; B (R2): √ a b = √ a√ b , para qualquer real b 6= 0; B (R3): √ a2 = |a|, para qualquer a ∈ R; B (R4): √a = a 12 . Observac¸a˜o: a propriedade √ a2 = a na˜o sempre e´ verdadeira. E´ verdadeira somente quando a ≥ 0. Se a < 0, tereamos √ a2 = a < 0 (um nu´mero ne- gativo), o que contradize a definic¸a˜o da raiz qua- drada. Para evitar isto, a propriedade (R3) no´s diz que √ a2 = |a|, para qualquer nu´mero real a. Cap´ıtulo 2 Func¸o˜es Para compreender o ca´lculo diferen- cial e integral e´ preciso ter conhecimento do con- ceito de func¸a˜o, por esta raza˜o dedicaremos este cap´ıtulo ao estudo de func¸o˜es. 2.1 Introduc¸a˜o Uma das aplicac¸o˜es da integral e´ a for- mulac¸a˜o do conceito de a´rea. Mas para encontrar uma definic¸a˜o de a´rea de quaisquer tipos de obje- tos, primeiramente devemos encontrar um me´todo efetivo para descrever esses objetos. O me´todo mais simples de descrever esses objetos foi de desenhar eles, tal como fize- ram os gregos. Um melhor caminho foi sugerido por Rene´ Descartes (1596 - 1650) ao estabelecer em 1637 a base da Geometria anal´ıtica, a ideia principal da geometria de Descartes e´ representar pontos por nu´meros. O me´todo seguido para representar pontos do plano e´ o seguinte: (i) se escolhem duas retas perpendiculares (cha- madas eixos coordenados), um horizontal (chamado eixo dos x ou eixo x), e o outro ver- tical (eixo dos y ou eixo y). Seu ponto de in- tersec¸a˜o, se indica pela letra O e se denomina origem; (ii) no eixo x a` direita do O se escolhe conveni- entemente um ponto, e sua distaˆncia ao O se denomina distaˆncia unidade. As distaˆncias verticais correspondentes ao eixo y sa˜o medi- dos com a mesma distaˆncia unidade. Enta˜o, a cada ponto do plano (fre- quentemente chamado plano xy) e´ atribu´ıdo um par de nu´meros, que denominados coordenadas desse ponto. Essas coordenadas representam as distaˆncias do ponto aos eixos. Na Figura 2.1 se da˜o alguns exemplos, o ponto de coordenadas (2,3) esta´ situado duas uni- dades a` direita do eixo y e treˆs unidades acima do eixo x, o nu´mero 2 e´ a abscissa ou coordenada x do ponto, e o 3 a ordenada ou coordenada y. Dado um par tal como (a, b) representante de um ponto, o primeiro nu´mero a e´ sempre a abscissa, e a ordem e´ muito importante, por esta raza˜o esse par e´ chamado par ordenado. y x O (-3, 5) (2, 3) (-4, -4) (5, -6) (0, -2) (-4, 0) (3, 0) Figura 2.1: Observac¸a˜o: dois pares ordenados (a, b) e (c, d) representam o mesmo ponto se e somente se a = c e b = d. Uma figura geome´trica, tal como uma curva plana, e´ um conjunto de pontos que satis- fazem uma ou mais condic¸o˜es. Traduzindo essas condic¸o˜es em expresso˜es anal´ıticas que envolvem as coordenadas x e y, se obte´m uma ou mais equac¸o˜es que caracterizam a curva em questa˜o. Por exem- plo, considere que a curva e´ uma circunfereˆncia de raio r com centro no origem, como se indica na Figura 2.2. Seja P um ponto arbitra´rio de esta circunfereˆncia, e suponha que P tem coordenadas (x, y). Enta˜o, o segmento OP e´ a hipotenusa de um triaˆngulo retaˆngulo cujos catetos tem de compri- mento |x| e |y|, e portanto em virtude do teorema de Pita´goras: x2 + y2 = r2 Esta equac¸a˜o denomina-se a equac¸a˜o cartesiana 12 2.3 Func¸a˜o 13 O |y| |x| r P = (x, y) y x Figura 2.2: da circunfereˆncia, e se satisfaz pelas coordenadas de todos os pontos da circunfereˆncia e somente por elas, de maneira que esta equac¸a˜o caracteriza com- pletamente a circunfereˆncia. Durante todo o seu desenvolvimento histo´rico, o Ca´lculo e a Geometria anal´ıtica tem sido intimamente ligados, descobrimentos em um de eles levou ao progresso no outro. Por esta raza˜o, os conceitos de Geometria anal´ıtica requeridos para o estudo de Ca´lculo va˜o se expor conforme a ne- cessidade. Exerc´ıcio 2.1. Encontre a equac¸a˜o cartesiana de uma reta horizontal e uma reta vertical. 2.2 Constantes e varia´veis As quantidades que aparecem em uma questa˜o matema´tica (por exemplo em uma equac¸a˜o) sa˜o constantes quando teˆm um valor fixo e determinado, e sa˜o varia´veis quando tomam di- versos valores, a continuac¸a˜o segue um exemplo: X Se um metro de pano custa 2 reais, o custo de uma pec¸a de pano depende do nu´mero de me- tros que tenha a pec¸a. Se a pec¸a tem 5 metros, o custo da pec¸a sera´ 10 reais; se tem 8 metros, o custo sera´ 16 reais, etc. Aqui, o custo de um metro que sempre e´ o mesmo, 2 reais, e´ uma constante, e o nu´mero de metros da pec¸a e o custo da pec¸a, que tomam diversos valores, sa˜o varia´veis. A continuac¸a˜o podemos no´s fazer a seguinte pergunta, de que depende neste caso o custo de uma pec¸a? A resposta sera´, este depende do nu´mero de metros que tenha a pec¸a. Assim, o custo da pec¸a e´ a varia´vel dependente e o nu´mero de metros a varia´vel independente. 2.3 Func¸a˜o No exemplo anterior, o custo da pec¸a depende do nu´mero de metros que tenha; o custo da pec¸a e´ func¸a˜o do nu´mero de metros. Sempre que uma quantidade varia´vel depende de outra se diz que e´ func¸a˜o de esta ultima. A continuac¸a˜o consideremos mais exemplos: X A a´rea A de um quadrado de lado l depende do valor que adota a varia´vel l, a maior valor de l maior e´ o valor para A, assim podemos dizer que a a´rea A e´ func¸a˜o do lado l. Neste caso a lei matema´tica que conecta essas varia´veis e´ a equac¸a˜o A = l2. X A pressa˜o p exercida pela a´gua sobre uma bar- ragem varia com a profundidade h, a lei ma- tema´tica que conecta essas varia´veis e´ p = p0 + ρgh, onde p0 e´ a pressa˜o na superf´ıcie da a´gua, ρ e´ a massa espec´ıfica da a´gua, e g e´ a acelerac¸a˜o de queda livre. Assim dizemos que a pressa˜o p e´ func¸a˜o da profundidade h. Definic¸a˜o 2.1. Dizemos que uma varia´vel y e´ func¸a˜o de outra varia´vel x, se para cada valor da varia´vel x existe um u´nico valor da varia´vel y. E denota-se como y = f(x)(leˆ-se: y e´ func¸a˜o de x) onde x e´ denominada a varia´vel independente e y a varia´vel dependente. A letra f que apa- rece na notac¸a˜o de uma func¸a˜o indica que sera´ ne- cessa´rio aplicar certas operac¸o˜es sobre x para obter o valor correspondente de y. Observac¸a˜o: Algumas vezes uma func¸a˜o tambe´m denota-se simplesmente como y = y(x). O valor da varia´vel dependente e´ usualmente chamado de valor da func¸a˜o. Definic¸a˜o 2.2. O conjunto dos valores reais1 da varia´vel independente “x” para os quais o va- lor da func¸a˜o y = f(x) resulte sendo um nu´mero real e´ chamado domı´nio da func¸a˜o. E o conjunto dos valores reais da func¸a˜o e´ chamado imagem da func¸a˜o. Nesse caso a func¸a˜o e´ muitas vezes deno- minada como func¸a˜o de valor real ou simples- mente func¸a˜o real. Exemplo 2.1. Seja a func¸a˜o y = √ x, determine o domı´nio e a imagem da func¸a˜o. 1Valores reais indica que pertence ao conjunto dos nu´meros reais R 2.4.3 Representac¸a˜o gra´fica 14 Soluc¸a˜o: Neste caso f(x) = √ x, por definic¸a˜o o argumento da raiz quadrada deve ser na˜o negativo, isto implica que x ≥ 0, assim o domı´nio da func¸a˜o e´ o intervalo semi-aberto [0,∞[. Tambe´m por de- finic¸a˜o os valores de uma raiz quadrada sa˜o na˜o negativos, assim a imagem e´ tambe´m o intervalo semi-aberto [0,∞[. Exerc´ıcio 2.2. Encontre o domı´nio e a imagem das seguintes func¸o˜es: (a) f(x) = √ x+ 2; (b) g(x) = 23−x ; (c) h(x) = x2 + 2x; (d) f(x) = √ 1− x2. 2.4 Representac¸a˜o de func¸o˜es A continuac¸a˜o apresentaremos treˆs forma de representar uma func¸a˜o: representac¸a˜o anal´ıtica, representac¸a˜o via tabelas, representac¸a˜o gra´fica. A escolha de qual representac¸a˜o e´ mais recomenda´vel vai depender das circunstaˆncias. 2.4.1 Representac¸a˜o anal´ıtica Em primeiro lugar precisamos enten- der o que e´ uma expressa˜o anal´ıtica. Chama- remos expressa˜o anal´ıtica a` notac¸a˜o simbo´lica do conjunto de operac¸o˜es matema´ticas conhecidas (adic¸a˜o, multiplicac¸a˜o, raiz quadrada, etc.), que se devem aplicar em uma certa ordem aos nu´meros ou a letras que representam as varia´veis. Veja a con- tinuac¸a˜o alguns exemplos de expresso˜es anal´ıticas: 4×52−7; x4−2; log x− cosx 5x2 + 1 ; 2x−√5 + 3x. Se a lei matema´tica y = f(x) e´ tal que f e´ uma expressa˜o anal´ıtica, enta˜o dizemos que a func¸a˜o e´ dada anal´ıticamente. Por exemplo: y = x4 − 2; y = x+ 1 x− 1 ; y = cosx; A = piR 2. As func¸o˜es esta˜o dadas anal´ıticamente, para cada func¸a˜o corresponde uma u´nica fo´rmula2. 2.4.2 Representac¸a˜o via tabelas Tem situac¸o˜es nas quais na˜o e´ poss´ıvel determinar a lei matema´tica que conecta as varia´veis dependente e independente de uma func¸a˜o, nessas situac¸o˜es, e´ recomenda´vel represen- tar a func¸a˜o atrave´s de tabelas. Neste processo dispo˜e-se em uma certa ordem os valores da varia´vel independente x1, 2Chama-se fo´rmula a` igualdade entre duas expresso˜es anal´ıticas. x2, ..., xn e os valores correspondentes da func¸a˜o y1, y2, ..., yn. x x1 x2 xn y y1 y2 yn Tais sa˜o, por exemplo, as tabelas das func¸o˜es trigonome´tricas, as tabelas de logar´ıtmos, etc. A representac¸a˜o das func¸o˜es via tabelas e´ muito usual no estudo experimental de certos feno´menos da natureza. Por exemplo, as va- riac¸o˜es da temperatura do ar em uma estac¸a˜o me- tereolo´gica durante um dia pode ser representado atrave´s da seguinte tabela: t [horas] 1 2 3 4 5 6 7 8 T [◦C] 0 -1 -2 -2 -0,5 1 3 3,5 Este quadro define a temperatura T em func¸a˜o do tempo t. 2.4.3 Representac¸a˜o gra´fica O me´todo mais usual de visualizar uma func¸a˜o consiste em fazer seu gra´fico. Para fazer isso, usamos a ideia principal da geometria de Descartes, representar pontos por nu´meros. Seja y = f(x) uma func¸a˜o de y e x, enta˜o o gra´fico desta func¸a˜o sera´ o conjunto de pontos sobre o plano xy, com coordenadas (x, y), em que as abscissas sa˜o os valores da varia´vel inde- pendente x, e as ordenadas sa˜o os valores da func¸a˜o (ou da varia´vel dependente y). O gra´fico de uma func¸a˜o nos oferece uma imagem proveitosa do comportamento de uma func¸a˜o. Uma vez que a ordenada de qualquer ponto sobre o gra´fico e´ o valor da func¸a˜o, enta˜o, a altura do ponto do gra´fico acima de x0 representa o valor da func¸a˜o em x0. (veja a Figura 2.3). O gra´fico de uma func¸a˜o tambe´m nos permite visualizar o domı´nio e a imagem da func¸a˜o, veja a Figura 2.4. 1 20 f (1) f (2) f (x) (x, f (x)) x y x Figura 2.3: Teste da reta vertical: na˜o toda curva sobre o plano xy representa uma, para verificar se uma curva representa uma func¸a˜o no´s fazemos o usual teste da reta vertical, que diz, que qualquer 2.5 Func¸o˜es definidas por partes 15 0 x y y = f (x) imagem domı´nio Figura 2.4: curva e´ o gra´fico de uma func¸a˜o se e somente se uma reta vertical corta a curva no ma´ximo uma vez. Exerc´ıcio 2.3. Esboce o gra´fico das seguintes func¸o˜es, e a partir do gra´fico determine o domı´nio e a imagem de cada func¸a˜o: (a) f(x) = 1− x; (b) g(x) = 4− 3x2; (c) h(x) = 23−x ; (d) y = √ 1− x2. Exerc´ıcio 2.4. O gra´fico de uma func¸a˜o f esta´ na Figura 2.5: (a) encontre os valores de f(1) e f(5); (b) encontre o domı´nio e a imagem de f? 0 1 1 y x Figura 2.5: 2.5 Func¸o˜es definidas por par- tes Uma func¸a˜o e´ definida por partes quando e´ definida mediante diferentes fo´rmulas em diferentes partes de seu domı´nio. A continuac¸a˜o um exemplo: Exemplo 2.2. Seja f a func¸a˜o definida pelas fo´rmulas f(x) = { 1− x, se x ≤ 1 x2, se x > 1 Determine f(0), f(1) e f(2) e esboce o gra´fico da func¸a˜o. Soluc¸a˜o. Lembre-se de que toda func¸a˜o e´ uma re- gra. Para essa func¸a˜o em particular a regra e´ a seguinte: Se tivermos que x ≤ 1, enta˜o o valor de f(x) sera´ 1− x. Por outro lado, se x > 1, enta˜o o valor de f(x) sera´ x2. • Uma vez que 0 ≤ 1, temos f(0) = 1− 0 = 1. • Uma vez que 1 ≤ 1, temos f(1) = 1− 1 = 0. • Uma vez que 2 > 1, temos f(2) = 22 = 4. Como fazer o gra´fico de f? Observa- mos que se x ≤ 1, enta˜o f(x) = 1−x, assim, a parte do gra´fico de f a` esquerda da reta vertical x = 1 deve coincidir com a reta y = 1− x. Se x > 1, da´ı f(x) = x2, e, dessa forma, a parte do gra´fico de f a` direita da reta x = 1 deve coincidir com o gra´fico de y = x2, que e´ uma para´bola. Tudo isso nos permite esboc¸ar o gra´fico da Figura 2.6. O ponti- nho cheio indica que o ponto (1,0) esta´ incluso no gra´fico, e pontinho vazio indica que o ponto (1,1) esta´ exclu´ıdo do gra´fico. 1 1 y x Figura 2.6: Exerc´ıcio 2.5. Esboce o gra´fico da func¸a˜o valor absoluto f(x) = |x|. 2.6.2 Func¸a˜o poteˆncia 16 Exerc´ıcio 2.6. Seja a func¸a˜o custo C(w) do envio pelo correio de uma carta com peso w, definida por partes da seguinte forma C(w) = 0, 5 se 0 < w ≤ 1 1, 0 se 1 < w ≤ 2 1, 5 se 2 < w ≤ 3 2, 0 se 3 < w ≤ 4 e chamada func¸a˜o escada, esboce o gra´fico desta func¸a˜o. 2.6 Principais func¸o˜es ele- mentares Existe uma se´rie de tipos importan- tes de func¸o˜es que frequentemente encontramos em ca´lculo. Nesta sec¸a˜o vamos identifica´-los e classi- fica´-los. 2.6.1 Func¸a˜o constante Uma func¸a˜o f e´ chamada func¸a˜o constante se f(x) = b onde b e´ um constante, assim os valores de uma func¸a˜o constante sa˜o sempre constantes. O gra´fico de uma func¸a˜o constante e´ uma reta horizontal (pa- ralela ao eixo x), o valor da constante b no´s indica a altura da reta. A Figura 2.7 apresenta o gra´fico da func¸a˜o constante y = 32 , e´ dizer para b = 3 2 . x 2 1 1 2 y 0 y = 32 Figura 2.7: Func¸a˜o constante f(x) = 32 . 2.6.2 Func¸a˜o poteˆncia Uma func¸a˜o f e´ chamada func¸a˜o poteˆncia se f(x) = xa onde a e´ uma constante. Existemva´rios casos par- ticulares importantes. (a) se a = n, onde n ∈ Z+: os gra´ficos de f(x) = xn, para n = 1, 2, 3, 4 sa˜o mostrados na Fi- gura 2.8. Essas func¸o˜es sa˜o definidas para to- dos os valores reais de x. Observe que, a` me- dida que a poteˆncia n fica maior, as curvas tendem a se achatar sobre o eixo x no inter- valo ]-1,1[ e tambe´m a subir e/ou descer mais repentinamente em |x| > 1. Todas as curvas passam pelo ponto (1,1) e pela origem. y 1-1 -1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 y yy = x2 y = x3 y = x4 x x x x yy = x Figura 2.8: Gra´ficos de f(x) = xn, n = 1, 2, 3, 4, sa˜o definidas para −∞ < x < +∞. (b) se a = −1 e a = −2: os gra´ficos das func¸o˜es f(x) = x−1 = 1/x e g(x) = x−2 = 1/x2 sa˜o mostrados na Figura 2.9. As duas func¸o˜es sa˜o definidas para todos os x 6= 0 (nunca se pode dividir por zero). O gra´fico de y = 1/x e´ a hipe´rbole xy = 1, que se aproxima dos eixos das coordenadas longe da origem. O gra´fico de y = 1/x2 tambe´m se aproxima dos eixos das coordenadas. x x yy 1 1 y = 1x y = 1x2 1 1 -1 -1 -1 -1 Imagem: y 6= 0 Domı´nio: x 6= 0 Domı´nio: x 6= 0 Imagem: y > 0 Figura 2.9: Gra´fico das func¸o˜es poteˆncia f(x) = 1/x e f(x) = 1/x2. (c) se a = 12 e a = 1 3 : as func¸o˜es f(x) = x 1/2 =√ x e g(x) = x1/3 = 3 √ x sa˜o as func¸o˜es raiz quadrada e raiz cu´bica, respectivamente. O domı´nio da func¸a˜o raiz quadrada e´ [0,∞[, mas a func¸a˜o raiz cu´bica e´ definida para todos os x reais. Seus gra´ficos sa˜o mostrados na Figura 2.10. x x yy 1 1 Domı´nio: x ≥ 0 Imagem: y ≥ 0 Imagem: −∞ < y <∞ 1 1 y = √ x Domı´nio: −∞ < x <∞ y = 3 √ x Figura 2.10: Gra´fico das func¸o˜es poteˆncia f(x) = x1/2 e f(x) = x1/3. 2.6.5 Func¸a˜o logar´ıtmica 17 2.6.3 Func¸a˜o modular ou valor abso- luto Uma func¸a˜o f e´ chamada func¸a˜o modular se f(x) = |x| o domı´nio desta func¸a˜o sa˜o todos os reais, e a ima- gem sa˜o todos os reais na˜o negativos, e´ dizer domı´nio = R, imagem = {y / y ≥ 0}. Exerc´ıcio 2.7. Esboce o gra´fico da func¸a˜o modu- lar. 2.6.4 Func¸a˜o exponencial A func¸a˜o f(x) = 2x e´ chamada func¸a˜o exponencial, pois a varia´vel x, e´ o ex- poente. Ela na˜o deve ser confundida com a func¸a˜o poteˆncia g(x) = x2, na qual a varia´vel e´ a base. Em geral, uma func¸a˜o exponencial e´ uma func¸a˜o da forma f(x) = ax onde a e´ uma constante positiva. O gra´fico de uma func¸a˜o exponencial deve cruzar o eixo y no ponto (0,1), pois a0 = 1 sempre. O domı´nio desta func¸a˜o sa˜o todos os reais, e a imagem sa˜o todos os reais positivos, e´ dizer domı´nio = R, imagem = {y / y > 0}. y = 2x m ≈ 0, 7 y x 1 0 y x 1 0 y = 3x m ≈ 1, 1 Figura 2.11: Func¸a˜o exponencial y = 2x e y = 3x. Func¸a˜o exponencial natural Dentre todas as bases poss´ıveis para uma func¸a˜o exponencial, ha´ uma que e´ mais con- veniente para os propo´sitos do ca´lculo. Na escolha de uma base a pesa muito a forma como a func¸a˜o y = ax cruza o eixo y [e´ dizer o ponto (0,1)]. A Figura 2.11 mostra as retas tangentes ao gra´fico de y = 2x e y = 3x no ponto (0,1). Se medirmos as inclinac¸o˜es das retas tangentes em (0,1), encon- traremos m ≈ 0, 7 para y = 2x e m ≈ 1, 1 para y = 3x. Quando escolhemos para a base o nu´mero de Euler e = 2, 71828..., a reta tangente de y = ex em (0,1) tem uma inclinac¸a˜o de exata- mente 1 (veja Figura 2.12). A func¸a˜o exponencial com base e e´ chamada func¸a˜o exponencial na- tural, esta e´ a mais importante func¸a˜o exponencial para a modelagem ou estudo de feno´menos natu- rais, f´ısicos e econoˆmicos. y x 1 0 m = 1 y = ex Figura 2.12: A func¸a˜o exponencial natural cruza o eixo y com uma inclinac¸a˜o igual a 1. 2.6.5 Func¸a˜o logar´ıtmica Uma func¸a˜o f e´ chamada func¸a˜o lo- gar´ıtmica se f(x) = loga x onde a e´ um nu´mero real positivo e diferente de zero, e denomina-se a base do logaritmo. O domı´nio desta func¸a˜o sa˜o todos os reais positivos, e a imagem sa˜o todos os reais, e´ dizer domı´nio = {x / x > 0}, imagem = R. Existem dois tipos usuais de func¸o˜es logar´ıtmicos X se a = 10 ⇒ y = log x, chama-se func¸a˜o loga- ritmo decimal; X se a = e⇒ y = lnx, chama-se func¸a˜o logaritmo natural ou neperiano. Exerc´ıcio 2.8. Esboce o gra´fico da func¸a˜o loga- ritmo natural. 2.8 Func¸o˜es compostas 18 2.6.6 Func¸a˜o trigonome´trica Sa˜o aquelas func¸o˜es nas quais a lei matema´tica que conecta a varia´vel dependente e a varia´vel independente sa˜o dadas em termos de razo˜es trigonome´tricas, por exemplo, seno, cosseno e etc. Em todos os casos deve-se consideramos que a varia´vel independente e´ dada em radianos (nu´mero real) e na˜o em graus. I Func¸a˜o seno: uma func¸a˜o f denomina-se func¸a˜o seno se f(x) = senx o domı´nio desta func¸a˜o sa˜o todos os reais, e a imagem e´ o intervalo fechado [−1, 1], e´ dizer domı´nio = R, imagem = {y /−1 ≤ y ≤ 1}. I Func¸a˜o cosseno: uma func¸a˜o f denomina-se func¸a˜o cosseno se f(x) = cosx o domı´nio desta func¸a˜o sa˜o todos os reais, e a imagem e´ o intervalo fechado [−1, 1], e´ dizer domı´nio = R, imagem = {y /−1 ≤ y ≤ 1}. Note que func¸o˜es seno e cosseno sa˜o func¸o˜es acotadas, e´ dizer, suas imagens (em am- bos os casos [−1, 1]) sa˜o conjuntos acotados infe- riormente e superiormente. A func¸a˜o seno e´ uma func¸a˜o ı´mpar, e a func¸a˜o cosseno e´ uma func¸a˜o par. 2.7 Translac¸a˜o de um gra´fico Para transladar o gra´fico de uma func¸a˜o y = f(x) para cima, adicione uma cons- tante positiva no lado direito da fo´rmula y = f(x). E para transladar para baixo, adicione uma cons- tante negativa no lado direito da fo´rmula y = f(x). Para transladar o gra´fico de y = f(x) para a esquerda, adicione uma constante positiva a x. E para transladar para a direita, adicione uma constante negativa a x. Translac¸a˜o vertical: y = f(x) + k Se k > 0, translada o gra´fico de f(x) k unida- des para cima. Se k < 0, translada o gra´fico de f(x) “|k|” unidades para baixo. Translac¸a˜o horizontal: y = f(x+ h) Se h > 0, translada o gra´fico de f(x) h unida- des para a esquerda. Se h < 0, translada o gra´fico de f(x) “|h|” unidades para a direita. Exerc´ıcio 2.9. Comec¸ando com o gra´fico de y = ex, encontre as equac¸o˜es dos gra´ficos que resultam de: (a) deslocar 2 unidades para baixo; (b) deslocar 2 unidades para a direita. 2.8 Func¸o˜es compostas Definic¸a˜o 2.3. Se f e g sa˜o duas func¸o˜es, a func¸a˜o composta f ◦ g (“ f composta com g”) e´ definida por (f ◦ g)(x) = f(g(x)) O domı´nio de f ◦ g consiste nos valores de x do domı´nio de g para os quais g(x) fica no domı´nio de f . A definic¸a˜o diz que f ◦ g pode ser for- mada quando a imagem de g fica no domı´nio de f . Para determinar (f ◦ g)(x), primeiro devemos determinar g(x) e, depois, f(g(x)). A Figura 2.13 mostra a composic¸a˜o como um diagrama de setas. f ◦ g g(x) f (g(x)) x g f Figura 2.13: Diagrama de setas para f ◦ g. Exemplo 2.3. A func¸a˜o y = √ 1− x2 pode ser pensada calculando-se, primeiro, 1 − x2 e, depois, tomando a raiz quadrada do resultado. A func¸a˜o y e´ a composta da func¸a˜o g(x) = 1−x2 com a func¸a˜o f(x) = √ x. Note que 1−x2 na˜o pode ser negativa, assim o domı´nio da func¸a˜o composta fica [−1, 1]. Exerc´ıcio 2.10. Se f(x) = √ x e g(x) = x + 1, determine: (a) (f ◦ g)(x); (b) (g ◦ f)(x); (c) (f ◦ f)(x); (d) (g ◦ g)(x). 2.9.2 Quando b 6= 0 19 2.9 Func¸a˜o linear Uma func¸a˜o f e´ denominada func¸a˜o linear se f(x) = mx+ b e m 6= 0 onde m e b sa˜o constante. A continuac¸a˜o algumas caracteristicas do gra´fico de uma func¸a˜o linear: X o gra´fico de uma func¸a˜o linear e´ sempre uma reta na˜o vertical e na˜o horizontal, onde m representa a inclinac¸a˜o da reta, e e´ usualmentedenominada coeficiente angular3. X o gra´fico de uma func¸a˜o linear sempre intercepta o eixo y no ponto (0, b). 2.9.1 Quando b = 0 f(x) = mx Func¸a˜o identidade Uma func¸a˜o linear e´ func¸a˜o identi- dade quando m = 1 e b = 0, assim a func¸a˜o fica f(x) = x ou y = x seu gra´fico e´ uma reta que forma um aˆngulo de 45◦ com o eixo x (veja a Figura 2.14 para m = 1). A Figura 2.14 mostra uma familia de retas que representam gra´ficos de uma func¸a˜o li- near, onde m adota diferentes valores e b e´ nulo, todas as retas passam pela origem (0,0) dado que b e´ nulo. 1 y x m = −3 m = 2 m = 1 m = 12 1 m = −1 y = −x y = x y = 12x y = 2x y = −3x Figura 2.14: Familia de retas y = mx para dife- rentes valores de m, todas as retas passam pela origem. I Se m > 0: I Se m < 0: 3Pode-se mostrar que a constante m e´ igual numerica- mente com a tangente do aˆngulo que forma a reta com o eixo x 2.9.2 Quando b 6= 0 f(x) = mx+ b Exerc´ıcio 2.11. Encontre uma fo´rmula para a func¸a˜o f cujo gra´fico esta´ na Figura 2.15. y x1 1 0 Figura 2.15: 2.10 Func¸a˜o quadra´tica Uma func¸a˜o f denomina-se func¸a˜o quadra´tica se f(x) = ax2 + bx+ c e a 6= 0 onde a, b e c sa˜o constante. 2.10.1 Quando b = c = 0 f(x) = ax2 I Se a > 0: I Se a < 0: 2.10.2 Quando b 6= 0 e c 6= 0 f(x) = ax2 + bx+ c 2.11 Func¸a˜o par e ı´mpar: Si- metria Definic¸a˜o 2.4. Uma func¸a˜o y = f(x) e´ uma • func¸a˜o par de x se f(−x) = f(x) • func¸a˜o ı´mpar de x se f(−x) = −f(x) para qualquer x dentro do domı´nio da func¸a˜o. Os nomes par e ı´mpar veˆm das poteˆncias de x. 2.11 Func¸a˜o par e ı´mpar: Simetria 20 • Se y e´ uma poteˆncia par de x, como em y = x2 ou y = x4, enta˜o e´ uma func¸a˜o par de x [pois (−x)2 = x2 e (−x)4 = x4]. • Se y e´ uma poteˆncia ı´mpar de x, como em y = x ou y = x3, enta˜o e´ uma func¸a˜o ı´mpar de x [pois (−x)1 = −x e (−x)3 = −x3]. O gra´fico de uma func¸a˜o par e´ sime´trico em relac¸a˜o ao eixo y. Uma vez que f(−x) = f(x), um ponto (x, y) estara´ no gra´fico se e somente se o ponto (−x, y) estiver no gra´fico (veja a Figura 2.16). Uma reflexa˜o ao longo do eixo y na˜o altera o gra´fico. x yy y = x2 x (x, y) (x, y) (−x, y) y = x3 (−x,−y) Figura 2.16: Esquerda: O gra´fico de y = x2 (func¸a˜o par) e´ sime´trico em relac¸a˜o ao eixo y. Direita: O gra´fico de y = x3 (func¸a˜o ı´mpar) e´ sime´trico em relac¸a˜o a` origem. O gra´fico de uma func¸a˜o ı´mpar e´ sime´trico em relac¸a˜o a` origem. Uma vez que f(−x) = −f(x), um ponto (x, y) estara´ no gra´fico se e somente se o ponto (−x,−y) estiver no gra´fico (veja a Figura 2.16). Uma rotac¸a˜o de 180◦ em relac¸a˜o a` origem na˜o altera o gra´fico. Observe que as definic¸o˜es implicam que x e −x estejam ambos no domı´nio de f . Exerc´ıcio 2.12. Diga se as seguintes func¸o˜es sa˜o par, ı´mpar ou nenhuma delas: (a) f(x) = x2 + 1; (b) f(x) = 1x2−1 ; (c) g(x) = xx2−1 ; (d) g(t) = 1t−1 . Cap´ıtulo 3 Limite e Continuidade Antes de apresentar plenamente o conceito de limite, primeiro vamos definir o con- ceito de vizinhanc¸a de nu´meros reais. Definic¸a˜o 3.1. Chama-se vizinhanc¸a de um ponto x0, a todo intervalo aberto ]a, b[ que conte- nha o ponto x0, e´ dizer, e´ um intervalo ]a, b[ para o qual sa˜o verificadas as desigualdades a < x0 < b Muitas vezes escolhe-se uma vizinhanc¸a de modo que o ponto x0 se encontre no meio da vizinhanc¸a, e nesse caso, o ponto x0 denomina-se centro da vizinhanc¸a e b−a2 e´ o raio da vizinhanc¸a. Na Figura 3.1 mostra-se uma vizi- nhanc¸a de centro x0 e raio �, assim, qualquer nu´mero real que pertence ao intervalo ]x0−�, x0+�[ e´ membro da vizinhanc¸a. x0 + � x 0 � � x0x0 − � Figura 3.1: Vizinhanc¸a de centro x0. 3.1 Limite de uma varia´vel Definic¸a˜o 3.2. O nu´mero constante “a” chama- se o limite da varia´vel x, se para todo nu´mero arbitrariamente pequeno � > 0, pode-se indicar um valor da varia´vel x tal que todos os valores conse- quentes desta varia´vel verifiquem a desigualdade |x− a| < � Se o nu´mero “a” e´ o limite da varia´vel x, diz-se que x tende para o valor a e escreve-se: x→ a ou limx = a Em outras palavras, o nu´mero cons- tante a e´ o limite da varia´vel x, se para toda vi- zinhanc¸a de centro a e de raio �, por mais pe- quena que seja seu raio, pode-se encontrar um valor de x tal que todos seus valores consequentes per- tenc¸am a esta vizinhanc¸a. Por exemplo, a Figura 3.2 mostra os valores de x em sequeˆncia: x1; x2; x3; ...; xn−1; xn; xn+1; ..., todos os valores de x que seguem a xn−1 (indicado por uma seta verti- cal) pertenc¸em a` vizinhanc¸a de centro a e raio � (|x− a| < �), assim dizemos que a constante a e´ o limite da varia´vel x. 2� �� xn xn+1 |xn − a| ax1 x 0 x3 x2xn−1 Figura 3.2: Limite de uma grandeza varia´vel Exemplo 3.1. A varia´vel x toma sucessivamente os valores x1 = 1+ 1; x2 = 1+ 1 2 ; x3 = 1+ 1 3 ; · · · ; xn = 1 + 1 n ; · · · . Mostre que limx = 1 ou x→ 1. Soluc¸a˜o: Vamos construir a seguinte tabela com os valores da varia´vel x n x 1 x1 = 2 2 x2 = 1, 5 3 x3 = 1, 333... 4 x4 = 1, 25 ... ... 10 x10 = 1, 1 ... ... 20 x20 = 1, 05 ... ... 100 x100 = 1, 01 ... ... Dado que o valor de � pode ser esco- lhido arbitrariamente, enta˜o no´s escolhemos � = 0, 5, agora devemos encontrar o valor de x tal que seus valores consequentes pertenc¸am a` vizinhanc¸a |x − 1| < � = 0, 5. A partir da tabela anterior, 21 3.2.1 O problema da tangente 22 notamos que os valores que seguem a x2 = 1, 5 pertenc¸em a` vizinhanc¸a, por exemplo, para x3 ob- temos |x3 − 1| = |1, 333...− 1| = 0, 333.. < � = 0, 5 assim podemos mostrar tambe´m em sequeˆncia para x4, x5, · · · . A continuac¸a˜o mostraremos que a varia´vel x tende para o valor 1 independentemente do valor escolhido para �. E´ poss´ıvel encontrar |xn − 1| = |(1 + 1 n )− 1| = 1 n logo a partir da definic¸a˜o de limite |xn − 1| < � ⇒ 1 n < � 1 � < n ⇒ n > 1 � isto significa que para valores maiores que 1/� de n verificam a desigualdade |xn− 1| < �, assim per- mitindo que x se aproxime a 1. X O limite de uma constante e´ igual a ela mesma, e´ dizer lim c = c X Uma varia´vel deve ter um u´nico limite. Definic¸a˜o 3.3. Uma varia´vel “x” tende para o infinito (+∞ ou -∞), se para qualquer nu´mero M > 0 pode-se indicar um valor de x tal que to- dos seus valores consequentes verifiquem a desi- gualdade |x| > M . Se a varia´vel x tende para o infinito (+∞ ou -∞), diz-se que e´ uma varia´vel infinita- mente grande e escreve-se x→∞. I Uma varia´vel x tende para mais infinito (x → +∞) se para qualquer M > 0, pode-se indicar um valor de x tal que todos seus va- lores consequentes verifiquem a desigualdade x > M . Por exemplo, se o valores da varia´vel x toma os valores x1 = 1; x2 = 2; · · · ; xn = n; · · · , enta˜o x→ +∞. I Uma varia´vel x tende para menos infinito (x → −∞) se para qualquer M > 0, pode- se indicar um valor de x, tal que todos seus valores seguintes verifiquem a desigualdade x < −M . Assim, por exemplo, se o valores da varia´vel x toma os valores x1 = −1; x2 = −2; · · · ; xn = −n; · · · , enta˜o x→ −∞. 3.2 Limite de uma func¸a˜o O limite de uma func¸a˜o surge por exemplo, quando tentamos encontrar a tangente a uma curva ou quando tentamos encontrar a veloci- dade de um objeto. A continuac¸a˜o vamos discutir o assunto da tangente a uma curva. 3.2.1 O problema da tangente A palavra tangente vem do latim tangens, que significa “tocando”. Assim, uma tangente a uma curva e´ uma reta que toca a curva, e tem a mesma inclinac¸a˜o que a curva no ponto de contato. Para um c´ırculo a tangente e´ uma reta que intercepta o c´ırculo uma u´nica vez, conforme a Figura 3.3(a).Para outras curvas mais complica- das essa definic¸a˜o e´ inadequada. A Figura 3.3(b) mostra duas retas, l e t, passando por um ponto P da curva. A reta l intercepta a curva somente uma vez, mas certamente na˜o aparenta ser uma reta tangente, pore´m a reta t, por outro lado, aparenta ser uma tangente, mas intercepta a curva duas ve- zes, em P e C. (a) (b) t l t P C Figura 3.3: No seguinte exemplo vamos tentar de- terminar a reta tangente t a` para´bola y = x2 em um dado ponto da para´bola. Exemplo 3.2. Encontre uma equac¸a˜o da reta tan- gente a` para´bola y = x2 no ponto P (1, 1). Soluc¸a˜o: Se soubermos como encontrar a in- clinac¸a˜o m da reta tangente t, ser´ıamos capazes de achar a equac¸a˜o desta reta, dado que o ponto P tambe´m pertence a esta reta, e com isso a reta ficaria bem determinada. A dificuldade esta´ em termos somente um ponto P sobre t, e para calcular a inclinac¸a˜o sa˜o necessa´rios dois pontos. Pore´m, podemos en- contrar um valor aproximado de m escolhendo um ponto pro´ximo Q(x, x2) sobre a para´bola (veja a Figura 3.4) e calculando a inclinac¸a˜o mPQ da reta secante PQ. Note que x 6= 1 dado que Q 6= P , enta˜o a inclinac¸a˜o da reta secante PQ e´ mPQ = x2 − 1 x− 1 Por exemplo, se x = 1, 5 enta˜o Q(1, 5; 2, 25), assim 3.2.2 O limite de uma func¸a˜o 23 y = x2 y 0 x Q(x, x2) P (1, 1) t Figura 3.4: obtemos mPQ = 2, 25− 1 1, 5− 1 = 1, 25 0, 5 = 2, 5 com certeza este resultado deve ser diferente da in- clinac¸a˜o da reta tangente, mas ja´ e´ um valor apro- ximado, e os resultados devem melhorar se Q ficar cada vez mais pro´ximo de P . Nas seguintes tabelas mostramos os valores de mPQ para va´rios valores de x, cada vez mais pro´ximos de 1, e´ dizer, para Q cada vez mais pro´ximo de P . x mPQ 2 3 1,5 2,5 1,1 2,1 1,01 2,01 1,001 2,001 x mPQ 0 1 0,5 1,5 0,9 1,9 0,99 1,99 0,999 1,999 Das tabelas, notamos que quanto mais pro´ximo Q estiver de P , x estara´ mais pro´ximo de 1, e fica evidente que mPQ estara´ mais pro´ximo de 2. Isso sugere que a inclinac¸a˜o da reta tangente t deva ser m = 2. Assim, dizemos que a inclinac¸a˜o da reta tangente e´ o limite das inclinac¸o˜es das retas secantes, e expressamos isso simbolicamente escrevendo que lim Q→P mPQ = m e lim x→1 x2 − 1 x− 1 = 2 A equac¸a˜o de qualquer reta pode-se escrever como y = mx + b, onde m e´ a inclinac¸a˜o da reta e b e´ a ordenada do ponto na qual a reta intercepta o eixo y. Em nosso casso, a reta tangente t a` para´bola no ponto (1,1) tem inclinac¸a˜o m = 2, assim, sua equac¸a˜o fica y = 2x+ b como o ponto (1,1) pertence tambe´m a reta tan- gente t, enta˜o, este ponto deve resolver a equac¸a˜o da reta t, assim substituindo, obtemos 1 = 2 · 1 + b ⇒ b = −1 Finalmente y = 2x− 1 e´ a equac¸a˜o da reta tangente a` para´bola no ponto (1,1). Exerc´ıcio 3.1. [O Problema da Velocidade] Suponha que uma bola e´ solta a partir de uma al- tura de 20 m do solo. Encontre a velocidade da bola apo´s 2 segundos. A lei de Galileu para a queda livre de um objeto e´ s(t) = 4, 9t2, onde s(t) e´ a distaˆncia percorrida em metros apo´s t segundos. 3.2.2 O limite de uma func¸a˜o Na sec¸a˜o anterior explicamos como surgem os limites, por exemplo, quando queremos encontrar as retas tangentes a uma curva. Agora vamos voltar nossa atenc¸a˜o para os limites em ge- ral. Vamos investigar o comportamento da func¸a˜o f definida por f(x) = x2 − x + 2 para valores de x pro´ximos de 2. A tabela a seguir for- nece os valores de f(x) para valores de x pro´ximos de 2, mas na˜o iguais a 2. x f(x) x f(x) 1,0 2,000000 3,0 8,000000 1,5 2,750000 2,5 5,750000 1,8 3,440000 2,2 4,640000 1,9 3,710000 2,1 4,310000 1,99 3,970100 2,01 4,030100 1,999 3,997001 2,001 4,003001 Da tabela e do gra´fico de f mostrado na Figura 3.5 vemos que quando x estiver pro´ximo de 2 (de qualquer lado de 2), f(x) estara´ pro´ximo de 4. De fato, e´ evidente que podemos tornar os valores de f(x) ta˜o pro´ximos de 4 quanto quiser- mos tornando x suficientemente pro´ximo de 2. Ex- pressamos isso dizendo que “o limite da func¸a˜o f(x) = x2 − x + 2 quando x tende a 2 e´ igual a 4”. A notac¸a˜o para isso e´ lim x→2 (x2 − x+ 2) = 4 Definic¸a˜o 3.4. Escrevemos lim x→a f(x) = L 3.2.3 Limites infinitos 24 0 4 2 y x Quando x tende a 2 y = x2 − x + 2 tende a 4 f (x) Figura 3.5: e dizemos: o limite de f(x), quando “x” tende a “a”, e´ igual a L, se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente pro´ximos de L (ta˜o pro´ximos de L quanto quisermos), tornando os valores de “x” suficientemente pro´ximo de “a” (por ambos os lados de “a”) mas na˜o igual a “a”. y x0 a L y x0 a L y x0 a L Figura 3.6: lim x→a f(x) = L nos treˆs casos Preste atenc¸a˜o na frase “mas x 6= a” na definic¸a˜o de limite. Isso significa que ao pro- curar o limite de f(x) quando x tende a a nunca consideramos x = a. Na realidade, f(x) na˜o pre- cisa sequer estar definida quando x = a. A u´nica coisa que importa quando definimos limite e´ como f esta´ definida nos pontos vizinhos de a. A Figura 3.6 mostra os gra´ficos de treˆs func¸o˜es. Note que, na parte superior, a func¸a˜o na˜o esta´ definida em x = a e, na figura do meio f(a) 6= L. Mas em cada caso, na˜o importando o que acontece em a, lim x→a f(x) = L. Exerc´ıcio 3.2. Usando tabelas encontre o valor dos seguintes limites: (a) lim x→1 x− 1 x2 − 1 ; (b) lim x→0 senx x . 3.2.3 Limites infinitos Vamos estudar o caso de limites infi- nitos mediante um exemplo. Exemplo 3.3. Encontre se existir o lim x→0 1 x2 . Soluc¸a˜o: A medida que x se aproxima de 0, x2 tambe´m se aproxima de 0, logo 1/x2 fica cada vez mais grande (limite infinito). Isto pode-se ver mais claramente considerando a seguinte tabela: x 1/x2 ±1 1 ±0, 5 4 ±0, 2 25 ±0, 1 100 ±0, 05 400 ±0, 01 10000 ±0, 001 1000000 de onde notamos que os valores da func¸a˜o f(x) = 1 x2 na˜o tendem a nenhum nu´mero, e usamos a notac¸a˜o lim x→0 1 x2 = +∞ Isso na˜o significa que +∞ seja um nu´mero, tam- pouco significa que o limite exista, e´ simplesmente uma maneira de expressar que a func¸a˜o 1/x2 cresce ilimitadamente (func¸a˜o na˜o e´ acotada superior- mente) e que a func¸a˜o na˜o tem limite. Exerc´ıcio 3.3. Usando tabelas mostre que os se- guintes limites sa˜o infinitos: (a) lim x→3 2 x− 3 ; (b) limx→0 1 x . 3.2.4 Limites laterais Para entender o conceito de limite la- teral com mais facilidade, primeiro vamos definir uma func¸a˜o especial chamada func¸a˜o de Heavi- side, definida como H(t) = { 1 se t ≥ 0 0 se t < 0 3.3 Ca´lculo de limites 25 Essa func¸a˜o pode ser usada por exemplo para des- crever uma corrente ele´trica que e´ ligada no tempo t = 0, seu gra´fico se apresenta na Figura 3.7. 0 1 H t Figura 3.7: A func¸a˜o de Heaviside Quando t tende a 0 pela esquerda (t < 0), H(t) tende a 0, pore´m quando t tende a 0 pela direita (t > 0), H(t) tende a 1. Indicamos essa situac¸a˜o simbolicamente escrevendo lim t→0− H(t) = 0 e lim t→0+ H(t) = 1 O s´ımbolo “t → 0−” indica que estamos con- siderando somente valores de t menores que 0. Da mesma forma, “t → 0+” indica que estamos considerando somente valores de t maiores que 0. Na˜o ha´ um nu´mero u´nico para o qual H(t) tende quando t tende a 0, portanto, lim t→0 H(t) na˜o existe, dado que o limite deve ser u´nico. Definic¸a˜o 3.5. Se o limite pela esquerda e o limite pela direita (limites laterais) sa˜o ambos iguais a L, enta˜o existe limite e seu valor e´ L, e´ dizer, simbo- licamente: se lim x→a− f(x) = lim x→a+ f(x) = L enta˜o lim x→a f(x) = L 3.3 Ca´lculo de limites Na sec¸a˜o anterior empregamos gra´ficos e tabelas para fazer uma conjetura sobre
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