golpe de ariete

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA
(Creada por Ley N 25265)
 
FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERIA
ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE CIVIL (HUANCAVELICA)
TEMA:
FENOMENO DEL GOLPE DE ARIETE
CURSO:
APROVECHAMIENTOS HIDROELECTRICOS
CATEDRATICO:
ING. IVAN AYALA BIZARRO
PRESENTADO POR:
JOSE ANTONIO QUINTO DE LA CRUZ
HUANCAVELICA, ENERO DEL 2014
Dedicado a mi familia
a mi madre y padre
a mis hermanos por el
apoyo que me dan siempre
I
Índice general
Lista de figuras IV
Lista de tablas VI
Introduccion VI
1. MARCO TEORICO 1
1.1. BASES TEÓRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. FENOMENO TRANSITORIO EN TUBERIAS: GOLPE DE ARIETE 1
1.1.2. DESCRIPCIÓN DEL FENÓMENO DE CIERRE INSTANTÁNEO
DE VÁLVULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2.1. EVENTOS CAUSADOS POR EL GOLPE DE ARIETE . . 5
1.1.3. CASOS EN LOS QUE SE PUEDE PRODUCIR EL FENÓMENO . . 7
1.1.4. LAS CAUSAS DEL GOLPE DE ARIETE . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.5. ALGUNAS SOLUCIONES PARA EL GOLPE DE ARIETE . . . . . 9
1.1.6. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES HIPERBOLICAS . . 11
1.1.6.1. LA ECUACION DE ONDA . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EL CÁLCULO 12
2.1. METODO DE LAS CARACTERISTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1. Ecuaciones Caracteristicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2. Condiciones de Borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2.1. Condiciones de Borde en el Reservorio . . . . . . . . . . 15
2.1.2.2. Condiciones de Borde en el Empalme . . . . . . . . . . . 16
2.1.2.3. Condiciones de Borde en La Valvula . . . . . . . . . . . . 16
2.2. THE LAX-WENDROFF ONE-STEP METHOD . . . . . . . . . . . . . . . . 17
II
 
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2.2.1. Planteo de las Ecuaciones para el Golpe De Ariete Por el Metodo
de LAX-WENDROFF ONE-STEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2. Ecuaciones Generales para las Presiones . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.3. Ecuaciones Generales para los Caudales . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.4. Ecuaciones para el Calculo del Golpe de Ariete . . . . . . . . . . . 19
2.2.4.1. Ecuaciones para los Puntos Intermedios . . . . . . . . . 19
2.2.5. Condiciones de Borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.6. Condiciones Aguas Arriba (Reservorio) . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.7. Condiciones Aguas Abajo (Valvula) . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.8. Condiciones en Empalmes de Tuberia . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3. PROGRAMACION EN MATLAB 21
3.1. METODOLOGIA SEGUIDA PARA LA PROGRAMACION METODO DE
LAS CARACTERISTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1. DIAGRAMA DE FLUJO EN TUBERIAS EN SERIE . . . . . . . . 27
3.2. DESCRIPCION DEL PROGRAMA POR EL METODO DE LAS CARAC-
TERISTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.1. VALIDACIÓN DEL SOFTWARE DISEÑADO CON EL AFT
IMPULSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3. CODIGO FUENTE PROGRAMACION MATLAB METODO DE LAS CAR-
ACTERISTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4. CODIGO FUENTE PROGRAMACION MATLAB THE LAX-WENDROFF
ONE-STEP METHOD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
José Antonio Quinto De La Cruz III
 
Índice de figuras
1.1. Cierre instantaneo de valvula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Comportamiento de la presion a un lado de la valvula: cierre instantaneo . 4
1.3. Eventos causados por el golpe de ariete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Golpe de ariete en una conducción por gravedad. . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5. Golpe de ariete en una conducción por bombeo. . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1. Notacion para la ecuacion dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Esquema de Tuberia de diferentes secciones . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. Esquema para puntos Intermedios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4. Condiciones de Borde en el Reservorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5. Condiciones de Borde en el Empalme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6. Condiciones de Borde en La Valvula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.7. grafico para las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1. Esquema para la Programacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2. Carga hidarulica en condiciones permanentes . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3. Condisiones aguas arriba (Reservorio) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4. Condisiones Intermedias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5. Condisiones en Empalmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6. Condisiones Aguas Abajo (Valvula) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.7. diagrama de flujo de tuberia en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.8. Datos de Entrada y Calculo De Algunas Contantes . . . . . . . . . . . . . 28
3.9. cuadro de resultados de las presiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.10.cuadro de resultados de los caudales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.11.cuadro de resultados de los caudales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.12.Grafico de del fenomeno del golpe de ariete . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
IV
 
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3.13.Componentes en el AFT Impulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.14.Reservorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.15.Tuberia N 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.16.Tuberia N 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.17.Empalme de tuberias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.18.Valvula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
José Antonio Quinto De La Cruz V
 
INTRODUCCION
El trabajo realizado trata de una programacion del fenomeno transitorio: por distintos
metodos para el golpe de ariete en la cual mencionamos toda la parte teorica ,
realizacion de los calculos y las ecuaciones usadas para la programacion.
La programacion de los distintos metodos se realizo en el programa MATLAB
(abreviatura de MATrix LABoratory, "laboratorio de matrices") es un software matemático
que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de programación
propio (lenguaje M).
Para la realización del programa se tuvo que analizar el fenómeno del golpe de
ariete. Se podría definir al fenómeno de Golpe de Ariete como la oscilación de presión
por encima o debajo de la normal a raíz de las rápidas fluctuaciones de la velocidad del
escurrimiento.
En realidad, el fenómeno conocido como "Golpe de Ariete.es un caso particular del
estudio de los movimientos transitorios en las conducciones a presión. La diferencia se
encuentra en que los transitorios implican variaciones de velocidad - y su correlación
con la transformación en variaciones de presión - de pequeña magnitud, mientras que
el "Golpe de Arieteïmplica las grandes variaciones, de velocidad y presión.
Se se resolvio el ejercio planteando en el libro Applied Hydraulic Transients se
modelo y convalido el trabajo con el programa AFT Impulse la cual mostro resultados
cercanos
ya que en una central hidroeléctrica en la fase de funcionamiento de ciertas
estructuras y máquinas hidráulicas es necesario el tomar en cuenta el estudio de golpe
de ariete, que originan sobrepresioneso depresiones excesivas y que pueden conducir
a averías, llegando hasta la destrucción de la de la estructura o de la máquina, por ello
es fundamental estudiar el fenómeno para luego diseñar adecuadamente las estructuras
hidráulicas.
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En el trabajo se realiza el diseño de una aplicación en MatLab para el análisis
del fenómeno de golpe de ariete que acurre en la tubería a presión en una Central
Hidroeléctrica.
José Antonio Quinto De La Cruz VII
 
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Analizar y crear un software para el calculo de Golpe de Ariete por distintos
metodos
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Comprender mejor el fenómeno de Golpe de Ariete.
Describir las características y propiedades del Golpe de Ariete.
Describir nuevos métodos para el cálculo del golpe de ariete
Presentar y describir el software elaborado para insertar los datos correctamente.
VIII
Capitulo 1 — MARCO TEORICO
1.1 BASES TEÓRICAS
1.1.1 FENOMENO TRANSITORIO EN TUBERIAS: GOLPE DE ARIETE
El golpe de ariete o “waterhammer” puede definirse como el fenómeno hidráulico
ocasionado por rápidas fluctuaciones en el flujo debido a la interrupción o inicio súbitos
del flujo en una tubería, produciendo una variación de presión por encima o debajo de
la presión de operación y cambios bruscos en la velocidad del flujo.
El golpe de ariete es el resultado de una transformación repentina de energía cinética
a energía de presión.
También puede identificarse a este fenómeno como un proceso oscilatorio caracter-
izado por ondas de presión de gran magnitud al momento de interrumpir o iniciar el flujo
dentro de una tubería, las cuales decrecen en el tiempo hasta que la tubería en la que
se generó el golpe logra absorber la energía del impacto y se estabiliza la presión en el
conducto. Es un fenómeno transitorio.
En realidad, el fenómeno conocido como "Golpe de Ariete.es un caso particular del
estudio de los movimientos transitorios en las conducciones a presión. La diferencia
se encuentra en que los transitorios implican variaciones de velocidad y su correlación
con la transformación en variaciones de presión de pequeña magnitud, mientras que el
"Golpe de Arieteïmplica las grandes variaciones, de velocidad y presión.
1.1.2 DESCRIPCIÓN DEL FENÓMENO DE CIERRE INSTANTÁNEO
DE VÁLVULA
Para entender mejor este fenómeno se profundizará a continuación en los eventos
que se dan lugar aguas arriba suponiendo que una válvula se cierra instantáneamente,
1
 
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fenómeno que, a pesar de ser físicamente imposible, sirve como un ejemplo didáctico
para introducir al estudio de ejemplos reales. Por conveniencia se inicia con una
tubería horizontal con flujo permanente (Fig. 1.1), considerando la fricción. La siguiente
simbología se aplica a este gráfico.
L.A.M. = Línea de altura motriz.
V = Velocidad del fluido.
a = Velocidad de la onda de presión.
hL = Pérdidas de altura por fricción.
Ec = Energía cinéticas del fluido.
P = Energía de presión del fluido en el punto B.
P0 = Energía total del fluido despreciando las pérdidas por fricción.
Pg = Presión de golpe de ariete.
Y = Peso específico del fluido.
REF = Referencia.
L = Longitud de la tubería.
Considérese que la válvula B se cierra instantáneamente, la lámina de líquido que
se encuentra aguas arriba junto a la válvula será comprimida por la columna de líquido
que le sigue. Debido a que el fluido lleva inicialmente una cantidad de energía cinética,
esta, al disminuir la velocidad, se transforma en energía de presión. El líquido en la
tubería no es un cuerpo rígido perfecto, por esto sufre cambios gracias a su coeficiente
de elasticidad y a la presión recién adquirida lámina a lámina, las láminas que se van
juntando son representadas por la columna BC. Las paredes de la tubería que rodean el
fluido son sometidas a este pulso de presión producido por la cesación del flujo, razón
por la cual se dilatan. El flujo se detiene en la columna BC, la cesación de movimiento
y el aumento consecuente de presión se propagan en la tubería como una onda de
José Antonio Quinto De La Cruz 2
 
 
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Figura 1.1: Cierre instantaneo de valvula
velocidad a que se mueve aguas arriba de la válvula, esta velocidad de propagación es
una propiedad dependiente de las características del fluido y de la tubería. Mientras la
columna BC entra en reposo, el fluido de la columna AC sigue moviéndose con su estado
inicial. La onda de sobrepresión recorre toda la tubería hasta llegar a la entrada A, en
ese momento toda la columna de agua en la tubería se encuentra en reposo, pero con
un exceso de presión. La línea de altura motriz (L.A.M.) normal, con flujo permanente,
está representada por la línea DD’. A medida que la onda de sobrepresión viaja en
sentido contrario al flujo, se puede ir trazando una L.A.M. transiente que viaja también
con velocidad a. La diferencia existente entre las dos líneas es la sobrepresión que es
llamada Pg, por lo tanto tendrán una diferencia de altura de Pg/Y, siendo Pg la presión
causada por el golpe de ariete (presión de golpe de ariete) y Y el peso específico.
En el reservorio la presión hidrostática en A se mantiene constante. Por efectos de
esta, cuando la onda de presión llega a A, en t=L/a, salta inmediatamente a cero. Sin
embargo ahora toda la columna L está ahora bajo los efectos de la sobrepresión, y las
paredes de la tubería se encuentran dilatadas, razón por la cual el líquido comienza
a evacuar hacia el reservorio. Este movimiento crea una onda de presión de alivio
que viaja en esta ocasión en la dirección AB. Una vez que alcanza la válvula, en
t=2L/a, todo el fluido se encuentra bajo la presión estática indicada por la línea DE,
José Antonio Quinto De La Cruz 3
 
 
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sin embargo, el fluido tiene una inercia que impide que se detenga en este punto,
por esta razón el fluido sigue moviéndose hacia el reservorio y se crea una onda de
presión negativa que esta vez produce una contracción en la tubería. Cuando esta
propagación llega al reservorio, en t=3L/a, las paredes de la tubería se encuentran
con una contracción a lo largo de toda su longitud. La onda de alivio se refleja en
otra onda que nuevamente vuelve a la tubería a su posición original, con la presión
estática correspondiente al fluido en reposo. Cuando esta última onda llega a la válvula,
en t=4L/a, se reproduce todo el fenómeno explicado hasta ahora. De esta forma el
fenómeno se traduce en la creación y reproducción de ondas de presión que viajan
de ida y vuelta en la tubería y que alternan entre valores altos y bajos, con todo el
ciclo repitiéndose cada 4L/a segundos. La sucesión de eventos del golpe de ariete en la
tubería pueden apreciarse mejor. Considérese ahora la Figura 1.2, el instante en el que
la válvula se cierra instantáneamente, la presión en la tubería sufre un aumento que,
para objetivos didácticos, se considera instantáneo. Este salto tiene un valor de Pg /Y.
Figura 1.2: Comportamiento de la presion a un lado de la valvula: cierre instantaneo
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1.1.2.1 EVENTOS CAUSADOS POR EL GOLPE DE ARIETE
1. Flujo permanente, antes del movimiento de válvula, t=0.
2. La válvula se cierra instantáneamente, produciendo una onda que se propaga con
velocidad a hacia el reservorio, las paredesde la tubería se ensanchan.
3. La onda ha llegado al reservorio, todo el fluido se encuentra el reposo, toda la
tubería está dilatada, t=L/a.
4. Se crea una onda de alivio que viaja hacia la válvula, existe un flujo hacia el
reservorio, las paredes de la tubería vuelven a su estado original.
5. La onda llega a la válvula, el fluido se encuentra en reposo con la presión estática
y las paredes de la tubería se encuentran en su estado original, t=2L/a.
6. Se ha reflejado la onda, creando una onda de presión negativa que se propaga
hacia el reservorio, contrayendo las paredes de la tubería.
7. La onda de presión negativa ha llegado al reservorio, el fluido se halla en reposo,
toda la tubería se encuentra con las paredes contraídas, t=3L/a.
8. Se produce una onda de presión positiva que viaja nuevamente hacia la válvula,
existe flujo hacia la válvula, las paredes de la tubería vuelven a su estado original.
9. La onda llega a la válvula, las paredes de la tubería se encuentran en su estado
original. El ciclo se repite nuevamente, t=4L/a.
En el instante en que la válvula se cierra se produce una presión instantánea que
se ha propuesto como Pg/Y, sin embargo la máxima presión en la válvula no llega sino
hasta que todo el tiempo Tr ha transcurrido. Esto se debe a que inicialmente existía una
pérdida por rozamiento en la altura de presión, la cual disminuye la presión instantánea
de golpe de ariete, sin embargo, a medida que la onda viaja aguas arriba, el fluido
entra en reposo y las pérdidas por rozamiento se van sumando a la presión instantánea,
hasta que todo el fluido se encuentra en reposo, esto es, en el tiempo Tr. Este aumento
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Figura 1.3: Eventos causados por el golpe de ariete.
es descrito por la diferencia de alturas en la línea Lo mismo sucede para el momento
en que la onda de presión negativa alcanza la válvula, solo que con valores inversos.
Para este caso el pequeño aumento está representado por la línea. El amortiguamiento
y la fricción en la tubería poco a poco hacen decrecer a las ondas hasta que se llegue
al estado final de equilibrio, al estado de reposo total del fluido. Esta introducción ha
servido para comprender el fenómeno del golpe de ariete y como varía la presión en la
tubería, que es el principal objeto de esta investigación. El fenómeno en estudio tiene ya
su historia, se han desarrollado algunos modelos que describen este evento, unos con
más o menos cercanía a la realidad. Uno de los primeros análisis que se realizó fue el
de la columna rígida de agua, que es de la cual se va a ocupar el proyecto ahora.
José Antonio Quinto De La Cruz 6
 
 
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1.1.3 CASOS EN LOS QUE SE PUEDE PRODUCIR EL FENÓMENO
Además del caso ejemplificado anteriormente, existen diversas maniobras donde se
induce el fenómeno:
Cierre y Apertura de Válvulas.
Arranque de Bombas.
Detención de Bombas.
Funcionamiento inestable de bombas.
Llenado inicial de tuberías.
Sistemas de Protección contra Incendios.
En general, el fenómeno aparecerá cuando, por cualquier causa, en una tubería se
produzcan variaciones de velocidad y, por consiguiente, en la presión. Como puede
observarse del listado anterior todos estos fenómenos se producen en maniobras
necesarias para el adecuado manejo y operación del recurso, por lo que debemos tener
presente que su frecuencia es importante y no un fenómeno eventual.
En un sistema con conducción por gravedad el golpe de ariete es debido a abrir o
cerrar una válvula (véase figura 1.4) y cuando la conducción es por bombeo se debe al
arranque o parada de una bomba (véase figura 1.5).
1.1.4 LAS CAUSAS DEL GOLPE DE ARIETE
Las causas son muy variadas sin embargo existen cuatro eventos comunes que
típicamente inducen grandes cambios de presión:
1. El arranque de la bomba puede inducir un colapso rápido del espacio vacío que
existe aguas abajo de la bomba.
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Figura 1.4: Golpe de ariete en una conducción por gravedad.
Figura 1.5: Golpe de ariete en una conducción por bombeo.
2. Un fallo de potencia en la bomba puede crear un cambio rápido en la energía
de suministro del flujo, lo que causa un aumento de la presión en el lado de
succión y una disminución de presión en el lado de la descarga. La disminución
es usualmente el mayor problema. La presión en el lado de descarga de la bomba
alcanza la presión de vapor, resultando en la separación de la columna de vapor.
3. La abertura y cierre de la válvula es fundamental para una operación segura de
la tubería. Al cerrarse una válvula, la parte final aguas debajo de una tubería crea
una onda de presión que se mueve hacia el tanque de almacenamiento. El cerrar
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una válvula en menos tiempo del que toma las oscilaciones de presión en viajar
hasta el final de la tubería y en regresar se llama “cierre repentino de la válvula”. El
cierre repentino de la válvula cambiará rápidamente la velocidad y puede resultar
en una oscilación de presión. La oscilación de presión resultante de una abertura
repentina de la válvula usualmente no es tan excesiva.
4. Las operaciones inapropiadas o la incorporación de dispositivos de protección de
las oscilaciones de presión pueden hacer más daño que beneficio. Un ejemplo
es el exceder el tamaño de la válvula de alivio por sobre-presión o la selección
inapropiada de la válvula liberadora de aire/vacío. Otro ejemplo es el tratar de
incorporar algunos medios de prevención del golpe de ariete cuando este no es
un problema.
1.1.5 ALGUNAS SOLUCIONES PARA EL GOLPE DE ARIETE
1. Válvulas
El golpe de ariete usualmente daña a las bombas centrífugas cuando la energía
eléctrica falla. En esta situación, la mejor forma de prevención es tener válvulas
controladas automáticamente, las cuáles cierran lentamente. (Estas válvulas
hacen el trabajo sin electricidad o baterías. La dirección del flujo los controla). Al
cerrarse la válvula lentamente se puede moderar el aumento en la presión cuando
las ondas de sobre-presión del agua de abajo resultando del cierre de la válvula
regresan del tanque de almacenamiento.
El aire arrastrado o los cambios de temperatura del agua pueden ser controlados
por la válvula de descarga de la presión, los cuales están fijados para abrir con
presión excesiva en la línea y luego se cierran cuando la presión cae. Las válvulas
de descarga son comúnmente usadas en estaciones de bombeo para controlar
la oleada de presión y proteger la estación de bombeo. Estas válvulas pueden
ser un método efectivo de control transitorio. Sin embargo, deben ser propiamente
clasificadas y seleccionadas para realizar la tarea para la que están previstas sin
producir efectos secundarios.
Si la presión pudiera bajar en los puntos elevados, una válvula liberadora de
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aire y de vacío debe ser usada. Todos los descensos donde las presiones
pudieran bajar mucho deben ser protegidas con válvulas liberadoras están
apropiadamente clasificadas y dimensionadas, pueden ser el medio menos
costoso para proteger el sistema de tuberías. Una válvula liberadora de aire deberá
ser lo suficientemente larga para admitir suficientes cantidades deaire durante
las oscilaciones de presión aguas abajo y para que la presión en las tuberías
no baje mucho. Sin embargo, no deberá ser tan larga que contenga un gran
volumen de aire innecesario, porque este aire tendrá que ser ventilado lentamente,
incrementando el tiempo muerto del sistema. El tamaño de la válvula de descarga
de aire es, como se ha mencionado, crítico.
2. Bomba
Los problemas de operación en el arranque de la bomba pueden usualmente
ser evitados incrementando el flujo en la tubería lentamente hasta colapsar o
desalojar los espacios de aire suavemente. Incluso, un simple medio para reducir
las oscilaciones hidráulicas de presión es el mantener bajas velocidades en la
tubería. Esto no solo resultará en oscilaciones bajas de presión, sino también
resultará en bajos niveles de caballos de fuerza durante la operación, y así,
conseguir una máxima economía de operación.
3. Tanque de Oscilación
En tuberías muy largas, las oscilaciones pueden ser liberadas con un tanque de
agua directamente conectado a la tubería llamado “tanque de oscilación”. Cuando
la oscilación es encontrada, el tanque actuará para liberar la presión, y poder
almacenar el líquido excesivo, dando al flujo un almacenamiento alternativo mejor
que el proporcionado por la expansión de la pared de la tubería y compresión
del fluido. Los tanques de oscilación pueden servir para ambos, fluctuaciones
positivas y negativas. Estos tanques de oscilación también pueden ser diseñados
para proporcionar flujo al sistema durante una oscilación agua abajo, de esta
manera previene o minimiza la separación de la columna de vapor. Sin embargo,
los tanques de oscilación pueden ser un dispositivo de control costoso.
4. Cámara de Aire
José Antonio Quinto De La Cruz 10
 
 
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Las cámaras de aire son instaladas en áreas donde se puede encontrar el golpe
de ariete frecuentemente, y típicamente pueden ser vistos detrás de accesorios
de los lavabos y la tina de baño. De forma fina como botellas volteadas al revés
y con un pequeño orificio conectado a la tubería, están llenos de aire. El aire se
comprime para absorber el choque, protegiendo a los accesorios y a la tubería.
1.1.6 ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES HIPERBOLICAS
1.1.6.1 LA ECUACION DE ONDA
Considerar la unidimensional ecuación de onda para el variable dependiente
genérico f(x,t)
ftt = c
2fxx (1.1)
Donde c es la velocidad propagación onda. Como muestra es equivalente a la
siguiente conjunto de dos uniones de ecuaciones de convección de primer orden:
ft + cgx = 0 (1.2)
gt + cfx = 0 (1.3)
El análisis de dos variables independientes, que es la caso considerado aquí (Es
decir, físico espacio x y tiempo t), para el análisis del golpe de ariete se realizara con
estas dos ecuaciones.
José Antonio Quinto De La Cruz 11
 
Capitulo 2 — MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EL CÁLCU-
LO
2.1 METODO DE LAS CARACTERISTICAS
La resolución y simulación numérica del golpe de ariete, es abordada mediante el
método de las características Este método, considera un flujo no estacionario teniendo
en cuenta la compresibilidad del fluido. El mismo consiste en la resolución mediante un
esquema de diferencias finitas, en el que se discretizan cada uno de los tramos de la red,
y se avanza en cada paso temporal, calculando los valores de velocidad y presión para
cada nodo. Se aplican dos ecuaciones básicas de la mecánica a un elemento de fluido
en una tubería para obtener las ecuaciones diferenciales del flujo transitorio: la ecuación
de conservación de momento lineal y la ecuación de conservación de la masa.
Figura 2.1: Notacion para la ecuacion dinamica
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2.1.1 Ecuaciones Caracteristicas
Ecuación de Conservación de Momento Lineal
1 =
∂Q
∂t
+
g.A.∂H
∂x
+
f
2.D.A
.Q|Q| = 0 (2.1)
Ecuación de Conservación de la Masa.
2 =
a2∂Q
∂x
+
gA∂H
∂t
= 0 (2.2)
La constante a en la ecuación 2.2 , es la velocidad de la onda de presion y depende
de la compresibilidad del fluido,la rigidez de la cañería y las propiedades mecánicas del
material.La misma puede calcularse como.
a2 =
K/ρ
1 + K.D
E.e
(2.3)
Las dos ecuaciones diferenciales en derivadas parciales 2.1 y 2.2 poseen ambas
dos variables desconocidas Q y H ,las cuales se combinan mediante un parametro λ
transformándolas en dos ecuaciones características mediante la aplicación del Método
de las Características (MOC).
Donde considerando la combinación lineal obtenemos :
L = L1 + λ ∗ L2 (2.4)
La ecuación de onda característica queda expresada como
L = (
∂Q
∂t
+ λa2
∂Q
∂x
) + λgA(
∂H
∂t
+
1
λ
∂H
∂x
) +
fQ | Q |
2DA
= 0 (2.5)
Típicamente, la ecuación característica, puede ser expresada en un esquema de
diferencias finitas como la fig. (2.2)
(QP −QA) + g.A
a
∗ (HP −HA) + f ∗ 4t
2 ∗D ∗ A ∗QA∗ | QA |= 0 (2.6)
José Antonio Quinto De La Cruz 13
 
 
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Figura 2.2: Esquema de Tuberia de diferentes secciones
Figura 2.3: Esquema para puntos Intermedios
(QP −QB) + g.A
a
∗ (HP −HB) + f ∗ 4t
2 ∗D ∗ A ∗QB∗ | QB |= 0 (2.7)
La ecuación puede ser expresada de la siguiente forma :
QP = CP − Ca ∗HP (2.8)
QP = Cn + Ca ∗HP (2.9)
Donde
José Antonio Quinto De La Cruz 14
 
 
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CP = QA +
g ∗ A
a
∗HA − f ∗ 4t
2 ∗D ∗ A ∗QA∗ | QA | (2.10)
Cn = QB − g ∗ A
a
∗HB − f ∗ 4t
2 ∗D ∗ A ∗QB∗ | QB | (2.11)
donde Ca toma el valor de:
Ca =
g ∗ A
a
(2.12)
Estas expresiones dan la solución de altura piezométrica (m) y caudal (m3/s) en el
nodo i al tiempo t, si los valores de altura piezométrica y caudal en los puntos i − 1 e
i+1 en un tiempo previo t−∆t son conocidos. De este modo los valoresHi yQi,pueden
ser obtenidos mediante las siguientes expresiones
QP =
1
2
∗ (Cp + Cn) (2.13)
HP =
Cp + Cn
Ca
(2.14)
2.1.2 Condiciones de Borde
2.1.2.1 Condiciones de Borde en el Reservorio
Cn = QB − g ∗ A
a
∗HB − f ∗ 4t
2 ∗D ∗ A ∗QB∗ | QB | (2.15)
HPi,1 = Hres (2.16)
QPi,1 = Cni + Cai ∗HPi,1 (2.17)
José Antonio Quinto De La Cruz 15
 
 
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Figura 2.4: Condiciones de Borde en el Reservorio
2.1.2.2 Condiciones de Borde en el Empalme
CPi = QA +
g ∗ A
a
∗HA − f ∗ 4t
2 ∗D ∗ A ∗QA∗ | QA | (2.18)
Cni+1 = QB −
g ∗ A
a
∗HB − f ∗ 4t
2 ∗D ∗ A ∗QB∗ | QB | (2.19)
HPi,n+1 =
CPi − Cni+1
Cai + Cai+1
(2.20)
QPi,n+1 = CPi − Cai ∗HPi,n+1 (2.21)
2.1.2.3 Condiciones de Borde en La Valvula
CP = QA +
g ∗ A
a
∗HA − f ∗ 4t
2 ∗D ∗ A ∗QA∗ | QA | (2.22)
Cv =
(Qo ∗ τ)2
Hs ∗ Cai+1
(2.23)
QPi,n+1 =
1
2
∗ (−Cv +
√
Cv2 + CPi ∗ Cv) (2.24)
José Antonio Quinto De La Cruz 16
 
 
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Figura 2.5: Condiciones de Borde en el Empalme
HPi,n+1 =
CP −QPi,n+1
Cai+1
(2.25)
Figura 2.6: Condiciones de Borde en La Valvula
2.2 THE LAX-WENDROFF ONE-STEP METHOD
El método One Step con Lax y Wendroff es muy popular 0(∆t2)+(∆x2) es un método
para la solución de ecuaciones diferenciales parciales Hiperbólicas. Para resolver
ecuaciones diferenciales parciales de primer orden correspondiente a la ecuación lineal
de onda ft + cgx = 0 y gt + cfx = 0, las funciones a ser determinadas son f(x, t)
José Antonio Quinto De La Cruz 17
 
 
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y g(x, t) . Expandiendo f(x, t) en la serie de Taylor se tiene las ecuaciones C+ y C−
corespondiente a las ecuaciones de Presiones y Caudales hallados mas adelante:
2.2.1 Planteo de las Ecuaciones para el Golpe De Ariete Por el
Metodo de LAX-WENDROFF ONE-STEP
Partiendo de las ecuaciones de momentum ec.(2.1) y continuidad ec.(2.2) y llevando
a la forma de las ec.(1.2) y ec.(1.3) tenemos:
Figura 2.7: grafico para las ecuaciones
2.2.2 Ecuaciones Generales para las Presiones
C+ :
Hn+1i −Hni
∆t
+
a2
g ∗ A ∗ (
Qni −Qni−1
∆x
) = 0 (2.26)
C− :
Hn+1i −Hni
∆t
+
a2
g ∗ A ∗ (
Qni −Qni−1
∆x
) = 0 (2.27)
Despejando las ecuaciones en funcion de la Presion
C+ : Hn+1i = H
n
i −
a2 ∗∆t
g ∗ A ∗∆x ∗ (Q
n
i −Qni−1) (2.28)
y
C− : Hn+1i = H
n
i −
a2 ∗∆t
g ∗ A ∗∆x ∗ (Q
n
i+1 −Qni ) (2.29)
José Antonio Quinto De La Cruz 18
 
 
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2.2.3 Ecuaciones Generales para los Caudales
C+ :
Qn+1i −Qni
∆t
+ g ∗ A(H
n
i −Hni−1
∆x
) +R ∗Qni−1∗ | Qni−1 |= 0 (2.30)
C− :
Qn+1i −Qni
∆t
+ g ∗ A(H
n
i+1 −Hni
∆x
) +R ∗Qni+1∗ | Qni+1 |= 0 (2.31)
Despejando las ecuaciones en funcion del Caudal
C+ : Qn+1i = Q
n
i −
g ∗ A ∗∆t
∆t
∗ (Hni −Hni−1)−R ∗Qni−1∗ | Qni−1 | ∗∆t (2.32)
C− : Qn+1i = Q
n
i −
g ∗ A ∗∆t
∆t
∗ (Hni+1 −Hni )−R ∗Qni+1∗ | Qni+1 | ∗∆t (2.33)
donde
R =
f
2 ∗D ∗ A (2.34)
2.2.4 Ecuaciones para el Calculo del Golpe de Ariete
2.2.4.1 Ecuaciones para los Puntos Intermedios
Hn+1i = H
n
i −
a2 ∗∆t
2 ∗ g ∗ A ∗∆x ∗ (Q
n
i+1 −Qni−1) (2.35)
Qn+1i = Q
n
i −
g ∗ A ∗∆t
2 ∗∆x ∗ (H
n
i+1 −Hni−1)−
R
2
∗ (Qi+1∗ | Qi+1 | +Qi−1∗ | Qi−1 |) ∗∆t
(2.36)
2.2.5 Condiciones de Borde
2.2.6 Condiciones Aguas Arriba (Reservorio)
Hn+1i = Hres (2.37)
Qn+1i = Q
n
i −
g ∗ A ∗∆t
∆x
∗ (Hni+1 −Hni )−R ∗Qni+1∗ | Qni+1 | ∗∆t (2.38)
José Antonio Quinto De La Cruz 19
 
 
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2.2.7 Condiciones Aguas Abajo (Valvula)
Qo = (CdAv)o ∗
√
2 ∗ g ∗Ho (2.39)
Qn+1i = (CdAv) ∗
√
2 ∗ g ∗Hn+1i (2.40)
Qn+1i =
Qo ∗ τ√
Ho
∗
√
Hni −
a2 ∗∆t
g ∗ A ∗∆x ∗ (Q
n
i −Qni−1) (2.41)
Hn+1i = H
n
i −
a2 ∗∆t
g ∗ A ∗∆x ∗ (Q
n
i −Qni−1) (2.42)
2.2.8 Condiciones en Empalmes de Tuberia
Hn+1i = H
n
i −
a21 ∗∆t
g ∗ A1 ∗∆x1 ∗ (Q
n
i −Qni−1)−
a22 ∗∆t
g ∗ A2 ∗∆x2 ∗ (Q
n
i+1 −Qni ) (2.43)
Qn+1i = Q
n
i −
g ∗ A1 ∗∆t
2 ∗∆t1 ∗ (H
n
1 −Hni−1)−
R ∗Qni−1∗ | Qni−1 | ∗∆t
2
(2.44)
−g ∗ A2 ∗∆t
2 ∗∆x2 ∗ (H
n
i+1 −Hni )−
R ∗Qni+1∗ | Qni+1 | ∗∆t
2
(2.45)
José Antonio Quinto De La Cruz 20
 
Capitulo 3 — PROGRAMACION EN MATLAB
3.1 METODOLOGIA SEGUIDA PARA LA PROGRAMA-
CION METODO DE LAS CARACTERISTICAS
La programación se realizara en el lenguaje de Matlab, para el cual se tiene el
sistema a analizar.
La programación será para i tuberías y n secciones
Figura 3.1: Esquema para la Programacion
1. Declaramos las variables
Hr= (m) altura de carga del reservorio
Qo=(m3/seg) caudal de salida
Tc= (seg) tiempo de cierre de la valvula
Tmax= (seg) tiempo de analisis del fenomeno
21
 
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L=(m) Es la longitud de la tuberia i
D=(m) Es el diametro de la tuberia i
a=(m/seg) Es la celeridad en la tuberia i
f= Factor de friccion de Darcy.
nt= Es el numero de tramos de la tuberia
Tseg=Es el tiempo de trancurso
Tao = Es el tao determinado para un tiempo
A= (m2) Es el area de la seccion de la tuberia
2. Ingreso de Datos Generales
Hr= 67.70 m
Qo= 1.00 m3/s
Tc= 6 seg
Tmax= 10 seg
3. Ingreso de datos Especificos de cada Tuberia
En esta parte del programa se ingresaran los valores de las variables de la tubería
en matrices
4. Ingreso de los valores Tao de la valvula
En esta seccion se ingresaran el tau versus tiem, del cierre o apertura de la valvula.
tiem = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)
tau = (1, 0,9, 0,7, 0,5, 0,3, 0,1, 0)
5. Calculo de Algunas Cosntantes.
En esta parte se calculan las contantesde un grupo de datos, para mayor
simplificación de formulas en la programacion.
6. Calculo de Presiones en Estado Permanente
Se calcularan las cargas hidráulicas en estado permanente del sistema. se sabe
que la perdida de carga es:
José Antonio Quinto De La Cruz 22
 
 
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Hf =
f ∗ dL ∗ i ∗Qo2
2 ∗ g ∗D ∗ A
Y agrupando tenemos
Ki =
f ∗Q2
2 ∗ g ∗D ∗ A
Entonces se tiene
Hf = Ki ∗ dL ∗ i
Con esta ecuacion se calculara la perdida de carga en los nudos para la cantidad
de tramos seleccionadas.
Figura 3.2: Carga hidarulica en condiciones permanentes
CALCULO DE PRESIONES Y CAUDALES EN ESTADO TRANSITORIO
7. Aguas Arriba (Reservorio)
Primero se calculara la ecuacion caracteristica negativa
C−i = Q
j
i;n+1 − Ca ∗Hji;n+1 −R ∗ dt ∗Qi;n+1∗ | Qi;n+1 |
luego se calcula.
Hj+1i;n = Hr
luego se calcula finalmente
Qj+1i;n = C
−
n + Ca ∗Hpj+1i;n
8. Calculo de Puntos Intermedios
Primero se calculara la ecuacion caracteristica positivas y negativa del sistema.
José Antonio Quinto De La Cruz 23
 
 
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Figura 3.3: Condisiones aguas arriba (Reservorio)
Figura 3.4: Condisiones Intermedias
CP+i = Q
j
i;n + Ca ∗Hji;n −R ∗ dt ∗Qi;n∗ | Qi;n |
Cn−i = Q
j
i;n+2 − Ca ∗Hji;n+2 −R ∗ dt ∗Qi;n+2∗ | Qi;n+2 |
Luego se calcula.
Qj+1i;n+1 =
1
2
∗ (CP+i + Cn−i )
Luego se calcula finalmente
José Antonio Quinto De La Cruz 24
 
 
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Hj+1i;n+1 =
(CP+i +Q
j+1
i;n+1)
Cai
9. Calculo de Puntos de Empalmes en las tuberias
Figura 3.5: Condisiones en Empalmes
Primero se calculara la ecuacion caracteristica positivas de la tuberia i y negativa
de la tuberia i+ 1
CP+i = Q
j
i;n+2 + Cai ∗Hji;n+2 −Ri ∗ dt ∗Qi;n+2∗ | Qi;n+2 |
Cn−i+1 = Q
j
i+1;n − Cai+1 ∗Hji+1;n −Ri+1 ∗ dt ∗Qi+1;n∗ | Qi+1;n |
luego se calcula.
Hj+1i;n+2 =
(CP+i −Cn−i+1)
(Cai+Cai+1)
luego se calcula finalmente
Qj+1i;n+2 = CP
+
i − Cai ∗Hj+1i;n+2
El cual se debe cumplir
Qj+1i;n+2 = Q
j+1
i+1;n
10. Aguas Abajo (Valvula)
Primero se calculara la ecuacion caracteristica positiva de la ultima tuberia
CP+i+1 = Q
j
i+i;n+1 + Cai+1 ∗Hji+1;n+1 −Ri+1 ∗ dt ∗Qi+1;n+1∗ | Qi+1;n+1 |
José Antonio Quinto De La Cruz 25
 
 
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Figura 3.6: Condisiones Aguas Abajo (Valvula)
Hallar el τ para cada tiempo (dt) de analisis por Lagrange
Hallado el τ se procede a reemplzar en la siguiente formula, para determinar el
coeficiente de la valvula Cv
Cv = (Qo∗τ)
2
Hr∗Cai+1
Despues se determina el caudal de salida en el dt
Qj+1i+1;n+2 =
1
2
∗ (−Cv +
√
Cv2 + CPi+1 ∗ Cv)
luego se calcula finalmente
Hj+1i+1;n+2 =
Cpi+1−Qj+1i+1;n+2
Cai+1
Este proceso se realizara asta que cumpla la condicion de que Tac = Tmax en el
proceso se realiza el enmallado.
José Antonio Quinto De La Cruz 26
 
 
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3.1.1 DIAGRAMA DE FLUJO EN TUBERIAS EN SERIE
Figura 3.7: diagrama de flujo de tuberia en serie
José Antonio Quinto De La Cruz 27
 
 
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3.2 DESCRIPCIONDEL PROGRAMA POR EL METODO
DE LAS CARACTERISTICAS
1. Vemos los datos de entrada y el calculo de algunas constantes fig(3.8).
2. vemos el cuandro de resultados de las presiones a cada 0.25s de analisis fig(3.9).
3. vemos el cuandro de resultados de los caudales a cada 0.25s de analisis fig(3.10).
4. Vemos el cuandro de resultados de las presiones y los caudales maximos
encontados fig(3.11).
Figura 3.8: Datos de Entrada y Calculo De Algunas Contantes
3.2.1 VALIDACIÓN DEL SOFTWARE DISEÑADO CON EL AFT
IMPULSE
1. Realizar el esquema del sistema fig(3.13.
2. Ingreso de datos del Reservorio fig(3.14).
3. Ingreso de dimensiones de la tuberia 1 fig(3.15).
4. Ingreso de dimensiones de la tuberia 2 fig(3.16).
José Antonio Quinto De La Cruz 28
 
 
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Figura 3.9: cuadro de resultados de las presiones
Figura 3.10: cuadro de resultados de los caudales
José Antonio Quinto De La Cruz 29
 
 
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Figura 3.11: cuadro de resultados de los caudales
Figura 3.12: Grafico de del fenomeno del golpe de ariete
5. Condiciones del empalme fig(3.17)
6. Ingreso de datos de la valvula fig(3.18).
José Antonio Quinto De La Cruz 30
 
 
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Figura 3.13: Componentes en el AFT Impulse
Figura 3.14: Reservorio
José Antonio Quinto De La Cruz 31
 
 
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Figura 3.15: Tuberia N 1
Figura 3.16: Tuberia N 2
José Antonio Quinto De La Cruz 32
 
 
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Figura 3.17: Empalme de tuberias
Figura 3.18: Valvula
José Antonio Quinto De La Cruz 33
 
CONCLUSION
El trabajo realizado sintetiza las principales teorías que rigen el fenómeno del golpe
de ariete, orientándose a la aplicación y notación del fenómeno en los reservorios por la
aplicación del cierre o apertura de las válvulas, y convirtiéndose en una valiosa fuente
de información.
Al correr el programa realizado con la información y datos obtenidos en clase y
algunas bibliografías, el programa realizado fue los resultados son prácticamente iguales
con los obtenidos en el ejercicio de aplicativo de chaudry.
Comparando datos:
1. Presion Maxima programa MatLab Hmax = 165.9801m
2. Presion Maxima libro Chaudry Hmax = 165.65m
3. Presion Minima programa MatLab Hmin = 8.3957m
4. Presion MInima libro Chaudry Hmin = 5.42m
34
Bibliografía
[1] Victor Streeter, Fluid Transients. 1978.
[2] M. Hanif Chaudhry, Ph.D. Applied Hydraulic Transients. USA. 1979
[3] Pavel Novak, Vincent Guinot, Alan Jeffrey, Dominic E. Reeve, Hydraulic
MOdelling - an Introduction. USA and Canada. 2010.
[4] Joe D. Hoffman, Numerical Methods for Engineers and Scientists. New
York. 1992.
[5] Water Hammer, KSB Know how Volume 1.
[6] Comision Nacional del Agua Fenomenos Transitorios En Lineas De
ConduccionMéxico, D.F. 2007
[7] Eduardo Adan Castillo Orozco Validación de un modelo CFD para
análisis de golpe de ariete en conductos cerrados. Ecuador. 2012
[8] Walter Mora F.,Alexánder Borbón A., Edicion de textos cientificos LaTex.
Costa Rica. 2013.
[9] Sixto Romero, Francisco J. Moreno, Isabel M. Rodriguez, Introduccion a
las Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP’s). España. 2001.
[10] Juan Bahamonte Noriega, Diseño de un Software para el del Golpe de
Ariete en Tuberias de Presion de Centrals Hidroelectricas . Sangolquí.
2005.
[11] Freire Morales Edwin Geovanny Elaboracion e Implementacion de un
Software para el Diseño de Centrales Hidroelectricas Hasta 10MW .
Riobamba-Ecuador. 2010.
[12] Ing. Luis E. Perez Ferras, Ing. Adolfo guietelman Estudio de Transitorios:
Golpe de Ariete . 2005.
35
 
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[13] Javier García de Jalón, José Ignacio Rodríguez, Jesús Vidal, Aprenda
MatLab Como si estuviera en primero . Madric. 2005.
José Antonio Quinto De La Cruz 36
 
ANEXO
3.3 CODIGO FUENTE PROGRAMACION MATLAB
METODO DE LAS CARACTERISTICAS
%--------------------------------------------------------------------------
clear all
clc
fprintf(’\n PROGRAMA DE INGENIERIA CIVIL HUANCAVELICA \n ’)
fprintf(’\n UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA \n ’)
fprintf(’\n APROVECHAMIENTOS HIDROELECTRICOS \n ’)
fprintf(’\n FENOMENO DE GOLPE DE ARIETE PARA VARIAS TUBERIA \n ’)
fprintf(’\n METODO DE LAS CARACTERISTICAS \n ’)
%fprintf(’\n ELABORADO POR: Jose Antonio Quinto De La Cruz \n \n’)
%-------------------------------------------------------------------------
%%---INSERTE DATOS DE LA TUBERIA
%---inserte en este orden [L D a f n]
%--- L=longitud en m
%--- D=diametro en m
%--- a=celeridad en m/s
%--- f=coef. friccion
%--- n=numero de tramos
fprintf(’\n==============================================================’)
fprintf(’\n1.DATOS DE LA TUBERIA \n’)
fprintf(’\n L(m) D(m) a(m/s) f n Tramos \n’)
DATO =[550 0.75 1100 0.010 2
450 0.60 900 0.012 2];
disp(DATO)
%%---INSERTE DATOS DE TAO
tiem=[0 1 2 3 4 5 6];
tau=[1 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 0];
nt=size(DATO);
nt=nt(1); %nt=número de tuberías
37
 
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%%---INSERTE DATOS GENERALES
Hr=67.7; % altura del reservorio en m
Qo=1; % caudal en m3/s
Tc=6; % tiempo de cierre en s
tmax=10; % tiempo maximo de analisis en s
g=9.806; % tiempo maximo de analisis en s
%%---CALCULO DE ALGUNAS COSTANTES (CTEs)
fprintf(’\n==============================================================’)
fprintf(’\n2.CALCULO DE ALGUNAS CONSTANTES \n ’)
fprintf(’\n A Ca R dt dL \n\n’)
tn=0; %total de tramos del sistema
for i=1:nt
CTEs(i,1)=pi*DATO(i,2)^2*0.25 ; % calculo de las areas A
CTEs(i,2)=g*CTEs(i,1)/DATO(i,3) ; % calculo de Ca
CTEs(i,3)=DATO(i,4)/(2*DATO(i,2)*CTEs(i,1)); % calculo de las R
CTEs(i,4)=DATO(i,1)/(DATO(i,3)*DATO(i,5)); % calculo de variacion dt
tn=tn+DATO(i,5) ;
CTEs(i,5)=DATO(i,1)/DATO(i,5); % calculo de la dL
end
disp(CTEs)
Ka=(DATO(1,4)*Qo^2)/(2*g*DATO(1,2)*CTEs(1,1)^2);
dL =CTEs(1,5); %variación de longitud tubeiria
Tb=DATO(1,5); %número de tramos de tubería
Ht=Hr;
un=1;
l=0;
for i=1:tn+1
Q(i)=Qo;
H(i)=Ht-Ka*dL*(l);
if (i==(Tb+1)& i~=(tn+1));
un=un+1;
k=(DATO(un,4)*Qo^2)/(2*g*DATO(un,2)*CTEs(un,1)^2);
Ht=H(i);
dL=CTEs(un,5);
Tb=Tb+DATO(un,5);
l=0;
end
l=l+1;
José Antonio Quinto De La Cruz 38
 
 
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end
%%---Calculo de los Valores Intermedios
ct=0; %contador de tiempo
un=1; %número de union
Tb=DATO(un,5); %número de tramos de tubería
Tac=0; %tiempo acumulado
%tn = total de tramos del sistema
dt=min(CTEs(1,4)); %variación de tiempo
while (Tac<tmax)
ct=ct+1;
Tac=ct*dt;
for i=1:tn-1;
if(i~=Tb)
CP=Q(ct,i)+CTEs(un,2)*H(ct,i)-...
CTEs(un,3)*dt*Q(ct,i)*abs(Q(ct,i));
CN=Q(ct,i+2)-CTEs(un,2)*H(ct,i+2)-...
CTEs(un,3)*dt*Q(ct,i+2)*abs(Q(ct,i+2));
Q(ct+1,i+1)=0.5*(CP+CN);
H(ct+1,i+1)=(CP-Q(ct+1,i+1))/CTEs(un,2);
%%---Calculo de los Empalmes
else
CP=Q(ct,i)+CTEs(un,2)*H(ct,i)-...
CTEs(un,3)*dt*Q(ct,i)*abs(Q(ct,i));
CN=Q(ct,i+2)-CTEs(un+1,2)*H(ct,i+2)-...
CTEs(un+1,3)*dt*Q(ct,i+2)*abs(Q(ct,i+2));
H(ct+1,i+1)=(CP-CN)/(CTEs(un,2)+CTEs(un+1,2));
%Q(ct+1,i+1)=CN+varg(un+1,2)*H(ct+1,i+1);
Q(ct+1,i+1)=CP-CTEs(un,2)*H(ct+1,i+1);
un=un+1;Tb=Tb+DATO(un,5);
end
end
%%---Condiciones de Borde
%condiciones aguas arriba en el reservorio
H(ct+1,1)=Hr;
CN=Q(ct,2)-CTEs(1,2)*H(ct,2)-CTEs(1,3)*dt*Q(ct,2)*abs(Q(ct,2));
Q(ct+1,1)=CN+CTEs(1,2)*H(ct,1);
%condicion aguas abajo en la valvula
if (Tac<Tc);
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ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE CIVIL (HUANCAVELICA)
 
Tao=interp1(tiem,tau,Tac,’spline’);
else Tao=0;
end
CP=Q(ct,tn+1)+CTEs(nt,2)*H(ct,tn)-CTEs(nt,3)...
*dt*Q(ct,tn+1)*abs(Q(ct,tn+1));
Cv=(Tao*Qo)^2/(CTEs(nt,2)*H(1,tn+1));
Q(ct+1,tn+1)=0.5*(-Cv+(Cv^2+4*CP*Cv)^0.5);
H(ct+1,tn+1)=(CP-Q(ct+1,tn+1))/CTEs(nt,2);
end
%%---MOSTRAMOS LOS RESULTADOS
fprintf(’\n CUADRO DE RESULTADOS \n ’)
fprintf(’\n==============================================================’)
fprintf(’\n CUADRO DE PRESIONES EN CADA TRAMO \n ’)
fprintf(’\nTRAMO:’)
fprintf(’\nRESERVORIO VALVULA’)
fprintf(’\n 1 2 3 4 ................tn+1 ’)
H
fprintf(’\n==============================================================’)
fprintf(’\n CUADRO DE VARIACION DE CAUDALES \n ’)
fprintf(’\nTRAMO:’)
fprintf(’\nRESERVORIO VALVULA’)
fprintf(’\n 1 2 3 4 ................tn+1’)
Q
fprintf(’\n==============================================================’)
fprintf(’\n CUADRO DE PRESIONES MAXIMAS \n ’)
fprintf(’\nTRAMO:’)
fprintf(’\nRESERVORIO VALVULA’)
fprintf(’\n 1 2 3 4 ................tn+1’)
Hmax = max(H)
fprintf(’\n==============================================================’)
fprintf(’\n CUADRO DE PRESIONES MINIMAS \n ’)
fprintf(’\nTRAMO:’)
fprintf(’\nRESERVORIO VALVULA’)
fprintf(’\n 1 2 3 4 ................tn+1’)
José Antonio Quinto De La Cruz 40
 
 
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Hmin = min(H)
%%
%%====================GRAFICA DE LAS VARIACIONES===========================
for j=0:ct
x(j+1)=dt*j;
end
y=H(:,tn+1);
plot(x,y,’+ - b’)
title(’GRAFICA TIEMPO & PRESION’)
xlabel(’TIEMPO en (s)’)
ylabel(’ H (PRESION) en (m)’)
grid on
3.4 CODIGO FUENTE PROGRAMACION MATLAB
THE LAX-WENDROFF ONE-STEP METHOD
%--------------------------------------------------------------------------
clear all
clc
fprintf(’\n PROGRAMA DE INGENIERIA CIVIL HUANCAVELICA \n ’)
fprintf(’\n UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA \n ’)
fprintf(’\n APROVECHAMIENTOS HIDROELECTRICOS \n ’)
fprintf(’\n FENOMENO DE GOLPE DE ARIETE PARA VARIAS TUBERIA \n ’)
fprintf(’\n METODO DE LAS CARACTERISTICAS \n ’)
%fprintf(’\n ELABORADO POR: Jose Antonio Quinto De La Cruz \n \n \n ’)
%-------------------------------------------------------------------------
%%---INSERTE DATOS DE LA TUBERIA
%---inserte en este orden [L D a f n]
%--- L=longitud en m
%--- D=diametro en m
%--- a=celeridad en m/s
%--- f=coef. friccion
%--- n=numero de tramos
fprintf(’\n==============================================================’)
fprintf(’\n1.DATOS DE LA TUBERIA \n’)
fprintf(’\n L(m) D(m) a(m/s) f n Tramos \n’)
DATO =[550 0.75 1100 0.010 2
450 0.60 900 0.012 2];
disp(DATO)
%%---INSERTE DATOS DE TAO
José Antonio Quinto De La Cruz 41
 
 
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tiem=[0 1 2 3 4 5 6];
tau=[1 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 0];
nt=size(DATO);
nt=nt(1); %nt=número de tuberías
nt=size(DATO);
nt=nt(1); %número de tuberías
%%---INSERTE DATOS GENERALES
Hr=67.7; % altura del reservorio en m
Qo=1; % caudal en m3/s
Tc=6; % tiempo de cierre en s
tmx=10; % tiempo maximo de analisis en s
g=9.806; % tiempo maximo de analisis en s
fprintf(’\n=============================================================’)
fprintf(’\n2.CALCULO DE ALGUNAS CONSTANTES \n ’)
fprintf(’\n A Ca R dt dL \n\n’)
tn=0; %total de tramos del sistema
for i=1:nt
CTEs(i,1)=pi*DATO(i,2)^2*0.25 ; % calculo de las areas A
CTEs(i,2)=g*CTEs(i,1)/DATO(i,3) ; % calculo de Ca
CTEs(i,3)=DATO(i,4)/(2*DATO(i,2)*CTEs(i,1)); % calculo de las R
CTEs(i,4)=DATO(i,1)/(DATO(i,3)*DATO(i,5)); % calculo de la variacion dt
tn=tn+DATO(i,5) ; % condicion de acumulacion
CTEs(i,5)=DATO(i,1)/DATO(i,5); % calculo de la posicicion
end
disp(CTEs)
k=(DATO(1,4)*Qo^2)/(2*g*DATO(1,2)*CTEs(1,1)^2);
dL =CTEs(1,5);%variación de longitud tubeiria i
Tb=DATO(1,5);%número de tramos te tubería
Ht=Hr;
un=1;
l=0;
for i=1:tn+1
Q(i)=Qo;
H(i)=Ht-k*dL *(l);
if (i==(Tb+1)& i~=(tn+1));
un=un+1;
k=(DATO(un,4)*Qo^2)/(2*g*DATO(un,2)*CTEs(un,1)^2);
Ht=H(i);
dL =CTEs(un,5);
Tb=Tb+DATO(un,5);
l=0;
José Antonio Quinto De La Cruz 42
 
 
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end
l=l+1;
end
%%%%%%%%%condiciones para puntos intermedios
ct=0; %contador de iteraciones
un=1; %número de union label
Tb=DATO(un,5); %número de tuberia
Tac=0; %tiempo acumulado
%tn = total de tramos del sistema
dt=min(CTEs(1,4)); %variación de tiempo
while (Tac<tmx)
ct=ct+1;
Tac=ct*dt;
for i=1:tn-1;
if(i~=Tb)
H(ct+1,i+1)=H(ct,i+1)-0.5*DATO(un,3)^2*dt/(g*CTEs(un,1)*CTEs(un,5))*...
(Q(ct,i+2)-Q(ct,i));
Q(ct+1,i+1)=Q(ct,i+1)-0.5*g*CTEs(un,1)*dt/CTEs(un,5)*...
(H(ct,i+2)-H(ct,i))-0.5*CTEs(un,3)*...
(Q(ct,i+2)*abs(Q(ct,i+2))+Q(ct,i)*abs(Q(ct,i)))*dt;
%condiciòn de las uniones
else
H(ct+1,i+1)=H(ct,i+1)-DATO(un,3)^2*dt/(g*CTEs(un,1)*CTEs(un,5))*...
(Q(ct,i+1)-Q(ct,i))...
-DATO(un+1,3)^2*dt/(g*CTEs(un+1,1)*CTEs(un+1,5))*...
(Q(ct,i+2)-Q(ct,i+1));
Q(ct+1,i+1)=Q(ct,i+1)-0.5*g*CTEs(un,1)*dt/(CTEs(un,5))*...
(H(ct,i+1)-H(ct,i))-0.5*CTEs(un,3)*...
(Q(ct,i)*abs(Q(ct,i)))*dt-...
0.5*g*CTEs(un+1,1)*dt/(CTEs(un+1,5))*...
(H(ct,i+2)-H(ct,i+1))-0.5*CTEs(un+1,3)*...
(Q(ct,i+2)*abs(Q(ct,i+2)))*dt;
un=un+1;
Tb=Tb+DATO(un,5);
end
end
%condiciones de borde
%condiciones en el reservorio
H(ct+1,1)=Hr;
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ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE CIVIL (HUANCAVELICA)
 
Q(ct+1,1)=Q(ct,2)-g*CTEs(1,1)*dt/(CTEs(1,5))*...
(H(ct,2)-H(ct,1))-CTEs(1,3)*...
(Q(ct,2)*abs(Q(ct,1)))*dt;
if (Tac<Tc);
Tao=interp1(tiem,tau,Tac,’spline’);
else Tao=0;
end
%fprintf(’tiempo %4.2f tao %4.3f \n’,Tac,Tao)
H(ct+1,tn+1)=H(ct,tn+1)-DATO(nt,3)^2*dt/(g*CTEs(nt,1)*CTEs(nt,5))*...
(Q(ct,tn+1)-Q(ct,tn));
Q(ct+1,tn+1)=(Qo*Tao/(H(1,tn+1))^.5)*(H(ct,tn+1)-DATO(nt,3)^2*dt/...
(g*CTEs(nt,1)*CTEs(nt,5))*...
(Q(ct,tn+1)-Q(ct,tn)))^.5;
end
%%---MOSTRAMOS LOS RESULTADOS
fprintf(’\n CUADRO DE RESULTADOS \n ’)
fprintf(’\n==============================================================’)
fprintf(’\n CUADRO DE PRESIONES EN CADA TRAMO \n ’)
fprintf(’\nTRAMO:’)
fprintf(’\nRESERVORIO VALVULA’)
fprintf(’\n 1 2 3 4 ...............tn+1 ’)
H
fprintf(’\n==============================================================’)
fprintf(’\n CUADRO DE VARIACION DE CAUDALES \n ’)
fprintf(’\nTRAMO:’)
fprintf(’\nRESERVORIO VALVULA’)
fprintf(’\n 1 2 3 4 ................tn+1’)
Q
fprintf(’\n==============================================================’)
fprintf(’\n CUADRO DE PRESIONES MAXIMAS \n ’)
fprintf(’\nTRAMO:’)
fprintf(’\nRESERVORIO VALVULA’)
fprintf(’\n 1 2 3 4 ................tn+1’)
Hmax = max(H)
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fprintf(’\n==============================================================’)
fprintf(’\n CUADRO DE PRESIONES MINIMAS \n ’)
fprintf(’\nTRAMO:’)
fprintf(’\nRESERVORIO VALVULA’)
fprintf(’\n 1 2 3 4 ................tn+1’)
Hmin = min(H)
%%
%%====================GRAFICA DELAS VARIACIONES===========================
for j=0:ct
x(j+1)=dt*j;
end
y=H(:,tn+1);
plot(x,y,’+ - b’)
title(’GRAFICA TIEMPO & PRESION’)
xlabel(’TIEMPO en (s)’)
ylabel(’ H (PRESION) en (m)’)
grid on
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