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SEGUNDO PARCIAL DE CA´LCULO 1 2 de agosto de 2001 Nu´mero de parcial Apellido y nombre Firma del estudiante Ce´dula de Identidad 1. Se considera el recta´ngulo inscripto bajo la curva y = 1 − x2 (y ≥ 0), cuya base coincide con el eje 0x y cuya altura es b con 0 < b < 1. El valor de b tal que el a´rea del recta´ngulo anterior sea ma´xima resulta: (i) 13 (ii) 1√ 3 (iii) 1 (iv) 23 (v) 12 2. Sea f : (0,+∞) 7→ IR, f(x) = Arc tg (1/x) + Arc tg x (donde Arctg es la inversa de la funcio´n tg que tiene como dominio (−pi/2, pi/2)). Se cumple: (i) f(x) = Arc tg [(1 + x2)/(1− x)] si x 6= 1; f(1) = pi/2 (ii) f(x) = pi/2 (iii) f(x) = pi/4 + Arc tg [(1 + x2)/2] (iv) f(x) = (x− 1)(x−√3)(x−√3/3)) + pi/2 (v) f(x) = pi/4 (Sugerencia: Considerar f ′(x) y recordar Arctg(1) = pi/4.) 1 3. El valor de ∫ 3 0 x √ 1 + x dx es: (i) 62/5− 14/3. (ii) 0. (iii) 2/3− 1/5. (iv) 1. (v) 2/5− 2/3. 4. El valor en x = 0 de la primitiva de x 3+1 (x2+1)(x−1) que en x = −1 vale pi/4 + log 2 es: (i) -1 (ii) -2 (iii) 0 (iv) 1 (v) 2 Recordar que Arctg(1) = pi/4. 5. Sea F (x) = ∫ x 0 e −t2dt. Indicar la opcio´n correcta: (i) F es continua, mono´tona creciente, y no negativa ∀ x ∈ IR. (ii) F es continua, mono´tona creciente y F (x) = 0 si y so´lo si x = 0. (iii) F es derivable ∀ x ∈ IR y F ′(x) = 2xe−x2 ∀x. (iv) F es continua pero no derivable en x = 0. (v) F es derivable ∀x y F ′(x) = e−x2 − 1 ∀x. 6. Se considera la siguiente afirmacio´n: ∫ 1 0 xdx = 1 2 y las siguientes demostraciones: demostracio´n 1 Tomando la particio´n del intervalo [0, 1], P = {x0, x1, . . . , xn} con xi = in para i = 0, 1, 2, . . . , n, particio´n equiespaciada y considerando ξi = 12 para i = 1, 2, . . . , n se tiene que: S(P, ξP ) = n∑ i=1 ξi(xi − xi−1) = n∑ i=1 1 2n = 1 2n n = 1 2 Por lo tanto, haciendo tender la norma de la particio´n a cero se prueba la afirmacio´n. 2 demostracio´n 2 Tomando P = {x0, x1, . . . , xn} la misma particio´n de la demostracio´n 1 y considerando ξi = 2i−12n para i = 1, 2, . . . , n se tiene que: S(P, ξP ) = n∑ i=1 ξi(xi − xi−1) = n∑ i=1 ( 2i− 1 2n ) 1 n = 1 2n2 (2 n(n+ 1) 2 − n) = 1 2 Por lo tanto, haciendo tender n a infinito se prueba la afirmacio´n. (Recordar que ∑n i=1 i = (n+1)n 2 .) Indicar la opcio´n correcta: (i) La afirmacio´n es verdadera y so´lo la demostracio´n 1 es correcta. (ii) La afirmacio´n es verdadera y so´lo la demostracio´n 2 es correcta. (iii) La afirmacio´n es verdadera y ambas demostraciones son correctas. (iv) La afirmacio´n es verdadera y ninguna de las demostraciones es correcta. (v) La afirmacio´n es falsa pues f(x) = x es una funcio´n impar y por lo tanto su integral vale cero. 7. Sea f : IR −→ IR, tal que f(x) = x17 + x13 + x7 + x3 + 5x− 5. Indicar la opcio´n correcta: (i) f es invertible y (f−1)′(4) = 132 (ii) f es invertible y (f−1)′(4) = 145 (iii) f es invertible y (f−1)′(4) < 1100 (iv) f es invertible y (f−1)′(4) > 1 (v) f no es invertible 8. Dadas las series S1 = ∑∞ n=1 2n+1 n √ (n+1)+3 √ n y S2 = ∑∞ n=2 (−1)n+1 n2 marque la opcio´n correcta: (i) Ambas series divergen. (ii) S1 converge segu´n el criterio de la ra´ız y S2 diverge. (iii) S1 diverge y S2 es absolutamente convergente. (iv) Ambas series son absolutamente convergentes. (v) S1 diverge y S2 es convergente pero no es absolutamente convergente. 3 9. Sea f : IR −→ IR, tal que f(x) = xex. Indicar la opcio´n correcta: (i) f tiene ma´ximo y mı´nimo absoluto en IR (ii) f tiene ma´ximo absoluto en IR pero no tiene mı´nimo absoluto en IR (iii) f tiene mı´nimo absoluto en IR pero no tiene ma´ximo absoluto en IR (iv) f no tiene ni ma´ximo ni mı´nimo absoluto en IR (v) Ninguna de las restantes afirmaciones es correcta. 10. La derivada de (log x)sen (x2) es: (i) 2sen (x2) (ii) sen (x 2) x + cos(x 2) log x. (iii) (sen (x2)− 1) cos(x2) (iv) sen (x 2) x + cos(x 2)2x log x. (v) sen (x 2) x + cos(x 2)2x. 4
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