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SEGUNDO PARCIAL DE CA´LCULO 1
2 de agosto de 2001
Nu´mero de parcial
Apellido y nombre
Firma del estudiante Ce´dula de Identidad
1. Se considera el recta´ngulo inscripto bajo la curva y = 1 − x2 (y ≥ 0), cuya base coincide
con el eje 0x y cuya altura es b con 0 < b < 1.
El valor de b tal que el a´rea del recta´ngulo anterior sea ma´xima resulta:
(i) 13
(ii) 1√
3
(iii) 1
(iv) 23
(v) 12
2. Sea f : (0,+∞) 7→ IR, f(x) = Arc tg (1/x) + Arc tg x (donde Arctg es la inversa de la
funcio´n tg que tiene como dominio (−pi/2, pi/2)). Se cumple:
(i) f(x) = Arc tg [(1 + x2)/(1− x)] si x 6= 1; f(1) = pi/2
(ii) f(x) = pi/2
(iii) f(x) = pi/4 + Arc tg [(1 + x2)/2]
(iv) f(x) = (x− 1)(x−√3)(x−√3/3)) + pi/2
(v) f(x) = pi/4
(Sugerencia: Considerar f ′(x) y recordar Arctg(1) = pi/4.)
1
3. El valor de
∫ 3
0 x
√
1 + x dx es:
(i) 62/5− 14/3.
(ii) 0.
(iii) 2/3− 1/5.
(iv) 1.
(v) 2/5− 2/3.
4. El valor en x = 0 de la primitiva de x
3+1
(x2+1)(x−1) que en x = −1 vale pi/4 + log 2 es:
(i) -1
(ii) -2
(iii) 0
(iv) 1
(v) 2
Recordar que Arctg(1) = pi/4.
5. Sea F (x) =
∫ x
0 e
−t2dt. Indicar la opcio´n correcta:
(i) F es continua, mono´tona creciente, y no negativa ∀ x ∈ IR.
(ii) F es continua, mono´tona creciente y F (x) = 0 si y so´lo si x = 0.
(iii) F es derivable ∀ x ∈ IR y F ′(x) = 2xe−x2 ∀x.
(iv) F es continua pero no derivable en x = 0.
(v) F es derivable ∀x y F ′(x) = e−x2 − 1 ∀x.
6. Se considera la siguiente afirmacio´n: ∫ 1
0
xdx =
1
2
y las siguientes demostraciones:
demostracio´n 1
Tomando la particio´n del intervalo [0, 1], P = {x0, x1, . . . , xn} con xi = in para i =
0, 1, 2, . . . , n, particio´n equiespaciada y considerando ξi = 12 para i = 1, 2, . . . , n se tiene
que:
S(P, ξP ) =
n∑
i=1
ξi(xi − xi−1) =
n∑
i=1
1
2n
=
1
2n
n =
1
2
Por lo tanto, haciendo tender la norma de la particio´n a cero se prueba la afirmacio´n.
2
demostracio´n 2
Tomando P = {x0, x1, . . . , xn} la misma particio´n de la demostracio´n 1 y considerando
ξi = 2i−12n para i = 1, 2, . . . , n se tiene que:
S(P, ξP ) =
n∑
i=1
ξi(xi − xi−1) =
n∑
i=1
(
2i− 1
2n
)
1
n
=
1
2n2
(2
n(n+ 1)
2
− n) = 1
2
Por lo tanto, haciendo tender n a infinito se prueba la afirmacio´n.
(Recordar que
∑n
i=1 i =
(n+1)n
2 .)
Indicar la opcio´n correcta:
(i) La afirmacio´n es verdadera y so´lo la demostracio´n 1 es correcta.
(ii) La afirmacio´n es verdadera y so´lo la demostracio´n 2 es correcta.
(iii) La afirmacio´n es verdadera y ambas demostraciones son correctas.
(iv) La afirmacio´n es verdadera y ninguna de las demostraciones es correcta.
(v) La afirmacio´n es falsa pues f(x) = x es una funcio´n impar y por lo tanto su integral
vale cero.
7. Sea f : IR −→ IR, tal que f(x) = x17 + x13 + x7 + x3 + 5x− 5.
Indicar la opcio´n correcta:
(i) f es invertible y (f−1)′(4) = 132
(ii) f es invertible y (f−1)′(4) = 145
(iii) f es invertible y (f−1)′(4) < 1100
(iv) f es invertible y (f−1)′(4) > 1
(v) f no es invertible
8. Dadas las series S1 =
∑∞
n=1
2n+1
n
√
(n+1)+3
√
n
y S2 =
∑∞
n=2
(−1)n+1
n2
marque la opcio´n correcta:
(i) Ambas series divergen.
(ii) S1 converge segu´n el criterio de la ra´ız y S2 diverge.
(iii) S1 diverge y S2 es absolutamente convergente.
(iv) Ambas series son absolutamente convergentes.
(v) S1 diverge y S2 es convergente pero no es absolutamente convergente.
3
9. Sea f : IR −→ IR, tal que f(x) = xex.
Indicar la opcio´n correcta:
(i) f tiene ma´ximo y mı´nimo absoluto en IR
(ii) f tiene ma´ximo absoluto en IR pero no tiene mı´nimo absoluto en IR
(iii) f tiene mı´nimo absoluto en IR pero no tiene ma´ximo absoluto en IR
(iv) f no tiene ni ma´ximo ni mı´nimo absoluto en IR
(v) Ninguna de las restantes afirmaciones es correcta.
10. La derivada de (log x)sen (x2) es:
(i) 2sen (x2)
(ii) sen (x
2)
x + cos(x
2) log x.
(iii) (sen (x2)− 1) cos(x2)
(iv) sen (x
2)
x + cos(x
2)2x log x.
(v) sen (x
2)
x + cos(x
2)2x.
4

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