Prova 3 2013

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Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP
Faculdade de Cieˆncias Aplicadas
Disciplina: LE106 - Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear Per´ıodo: 1o semestre de 2013
Professora: Bianca Morelli R. Calsavara Turma A Data: 28/06/2013
Aluno(a): RA:
ATENC¸A˜O
Respostas sem justificativa sera˜o desconsideradas
Resoluc¸o˜es por me´todos diferentes dos solicitados sera˜o desconsiderados
Na˜o desgrampeie as folhas de respostas da prova.
Todas as folhas entregues, devem ser devolvidas.
Terceira Prova
Questa˜o 1. (2,0 pontos) A matriz A dada abaixo e´ diagonaliza´vel? Em caso afirmativo, encontre
as matrizes D diagonal e P invert´ıvel tais que A = PDP−1.
A =
[
2 −1
1 4
]
Questa˜o 2. (3,0 pontos) Considere a transformac¸a˜o T : R3 → R3 dada por
T (x, y, z) = (2y − 3x− z, z + 5x, 2x + 2y).
(a) Verifique que T e´ uma transformac¸a˜o linear.
(b) Encontre o nu´cleo e a imagem de T e uma base para cada um destes subespac¸os.
(c) Encontre a matriz de T em relac¸a˜o a base canoˆnica.
(d) T e´ invert´ıvel? Em caso afirmativo, encontre sua inversa.
Questa˜o 3. (2,5 pontos) Considere a equac¸a˜o quadra´tica, 2x2+12x−3y+21 = 0 Identique a coˆnica.
Encontre seus focos, ve´rtices, reta diretriz e ass´ıntotas (quando existir) no sistema cartesiano canoˆnico.
Utilize os dados encontrados para esboc¸ar o gra´fico da coˆnica no sistema cartesiano canoˆnico.
Questa˜o 4. (2,5 pontos) Considere a equac¸a˜o quadra´tica 7x2+6xy−y2+x−3y = 84/5 Use rotac¸a˜o
para escrever a equac¸a˜o da coˆnica na forma canoˆnica e identique qual e´ coˆnica. Identifique a matriz
de rotac¸a˜o e encontre seus parameˆtros, isto e´ a terna (a, b, c) se for elipse ou hipe´rbole ou p se for uma
para´bola.
BOA PROVA!!!!
Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP
Faculdade de Cieˆncias Aplicadas
Disciplina: LE106 - Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear Per´ıodo: 1o semestre de 2013
Professora: Bianca Morelli R. Calsavara Turma A Data: 28/06/2013
Aluno(a): RA:
ATENC¸A˜O
Respostas sem justificativa sera˜o desconsideradas
Resoluc¸o˜es por me´todos diferentes dos solicitados sera˜o desconsiderados
Na˜o desgrampeie as folhas de respostas da prova.
Todas as folhas entregues, devem ser devolvidas.
Terceira Prova
Questa˜o 1. (2,5 pontos) Considere a equac¸a˜o quadra´tica 4x2 + 4xy + y2 −√5x +√5y) = 0. Use
rotac¸a˜o para escrever a equac¸a˜o da coˆnica na forma canoˆnica e identique qual e´ coˆnica. Identifique a
matriz de rotac¸a˜o e encontre seus parameˆtros, isto e´ a terna (a, b, c) se for elipse ou hipe´rbole ou p se
for uma para´bola.
Questa˜o 2. (3,0 pontos) Considere a transformac¸a˜o T : R3 → R3 dada por
T (x, y, z) = (2x− y + z, y − z, x + y).
(a) Verifique que T e´ uma transformac¸a˜o linear.
(b) Encontre o nu´cleo e a imagem de T e uma base para cada um destes subespac¸os.
(c) Encontre a matriz de T em relac¸a˜o a base canoˆnica.
(d) T e´ invert´ıvel? Em caso afirmativo, encontre sua inversa.
Questa˜o 3. (2,5 pontos) Considere a equac¸a˜o quadra´tica, x2−9y2−8x−18y+ 31 = 0. Identique a
coˆnica. Encontre seus focos, ve´rtices, reta diretriz e ass´ıntotas (quando existir) no sistema cartesiano
canoˆnico. Utilize os dados encontrados para esboc¸ar o gra´fico da coˆnica no sistema cartesiano canoˆnico.
Questa˜o 4. (2,0 pontos) A matriz A dada abaixo e´ diagonaliza´vel? Em caso afirmativo, encontre
as matrizes D diagonal e P invert´ıvel tais que A = PDP−1.
A =
[
1 −1
1 3
]
BOA PROVA!!!!