Provas Álgebra Linear (3º Estágio)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE NOTA: ~
~IDADE AÇADEMICA DE MATEMAT....:...IC=-:A~:...::E:.--.'E=-S=-T..:...:A:..-=-T..:...:I:..=S:..-=-T..:...:IC::..:A~__ -+------.:P=--=e=-=-r~ío:...:.d~o~:~1~1•.~1-J
Disciplina: AlGEBRA LINEAR I Data: 09106/11 I
Professor(a) : +-~T__=__u_rn_o_'___:_T___..,a~r--=--d-e-____ll
Aluno(a): Turma: .\" i
3° ESTÁGIO
1°)(1,5 pontos) Se T: 913 ~ P2(91) éatransformaçãolineardefinida por
T (a, b , c) = ( a - b )t2 + (b - c) x + c . Verifique se T é um
lsornorfismo e, se possível, determine, T-1 ( X, y, Z ) •
2°) (2,0 pontos) Seja T: 912 ~ M2(91) a transformação linear definida por
( ) (
a + b - a J 2T a, b = , e a e f3 bases canônicas de ~He M2(9t)b a ~ b
respectivamente .. a) Determine [T];. b) Se S: M2 (91) ~ 912 é tal que
(2 1 O - 1J (1 - 1Jr s ]~= ,determine a,b E 91 tal que S = (2a + b, a -3b).
\0 --1 1 1 . "-0 2
3°) (1,5 pontos) Dado o Operador linear T: 912 ~ 912 definido pela matriz
(1 i' , ."
A = Il~ J . Mostre que existe uma base fJ, de 9t 2 , constituída de, J 2 ,
"
autovetores de T . Em seguida construa uma matriz P a partir de fJ e
encontre r: tal que [T]~ = t-: AP.
4°) (1,5 pontos) Seja T: 9t 2 -j> 9t 2 a transformação linear deflnida pela matriz
r·] ( '1 2J { . } { )_T ~=I, 2 onde a= .(1,-1);(0,1) e fJ= (1,0);(2,1))'
\.' , .
a) determine T ( x, y ) b) determine [T ( 3, - 4 )] fJ
5°) (2,0 pontos) Dada T: 913 ~ 913 a transformação linear definida por
T ( x, y, .: ) = (x + 2z, - x + z, x + y -:-2z )
a) determine [ T ]
b] determine o polinômio característico e os autovaloros de T
c) determine os subespaços associados aos autovalores de T
6°) (1,5 pontos) Escreva os candidatos a polinômio minirnal de
(-1 1 O O' ,
A = l' O 1 O O ,determine o potinômio minimal da matriz A
O O 1 O
O O -1 -1 .•.
e verifique se A é diaqonalizável.
BOA SORTE.
UFCG/CCT /Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística
DISClPLlf\.JA: Álgebra Linear I
Nota:
PERíODO: 2011.1
PROFESSOR(A): Turno: MANHÃ
ALUNO(A): DATA: 09/06/2011
3Q Estágio
IMPORTANTE! Não retire o grampo da prova. Use apenas o papel da prova. Concentre-se!
1. (1,5 pontos) Seja T:}R2 -->}R2 urna transformação linear definida por T(x, y) = (x + 2y, 3x - y)
e considere as seguintes bases para R" : a = {(I, O), (O, I)} e. j3 = {(I, 2), (-1, 3)}. Ache:
a) A = [Tl~, b)B = [T]~; c)Uma matriz P e sua inversa P':' tal que B = p-l AP.
2. (1,5 pontos) Seja T : P2 (}R) ......-7}R3 uma uma transformação linear definida por
T(ax2 + bx + c) = (a + c, 2b, b - c). Mostre que T é um isomorfismo e encontre T-1(a, b,c).
. . r 1 -1 l
3. (1,5 pontos) Seja T:}R2 --> }R3 a transformação linear definida pela matriz [T]~ = 1 O I
L O 2-J
onde a = {(I, 1), (O, --I)} e ;8= {(I, 0,1), (O, 0,1), (I, -I, O)}" Ache: a) T(x, y), b)[T(7, 5)]$ .
4. (1,5 pontos) Sejam S:}R3 -->]R2 e T:]R2 -->}R3 transformações lineares definidas por
S(x,"y, z) = (2:r + y - z, x - y + z) e T(x, y) = (y, x + y, - x + y), respectivamente. Ache
[5 o TJ.(x, y). .
5. (2, O pontos) Seja T:}R3 -->}R3 o operador linear definido por
T(:r, y, z) = (:c - 2y + 3z, 4y, 2x + Y + 2z) . encontre:
a) Os autovalores de T.
/
b) Os subespaços associados aos autovalores de T.
6. (2, O pontos) Seja T : }R4 --> }R4. o operador linear definido por T(x, y, z, t) = (3x, 2y, 3z, z + 3.1) .•
a) Encontre o polmómio característico de T.
b) Escreva todos os polinômios candidatos ao polinômio minimal de T e, em seguida, verifique se T
é diagonalizávsl.
Boa Sorte! Boa Prova!
..
UFCG/CCT /Uf'idade Acadêmica de Matemática e Estatística
DISCIPLINA: A;gebra Linear I
NOTA:
PERíODO: 2011.2
PROFESSOR(A): _ Turno: MANHA[2]
ALUNO(A): DATA: 22/11/2011
3º- ESTÁGIO
\, J
V'
IMPORTANTE~ Não retire o grampo da prova. Use apenas o papel da prova. Não apague as
contas. Concentre-se!
1) (1,0 ponto)Seja T : IR4 -----+ IR3 uma transformação linear definida por
T (a, b, c, d) = (a ~ c, b+ d, c - 2d). Determine uma base para a imagem T e verifique se T é
injetora.
2) (2,0 pontos)De1ermine uma transformação linear T : R3 -> R3 se
Q = {(1'[OiO)~_~1;~,0]), (0,0, 1)}, f3 = {(1, 1, O), (O,1, 0), (0,0, -1)} e
[Tl~= O 1 1 . T é sobrejetora? Justifique.
1 O 2
3. (2,0 pontosjlvlostrc que T : IR3 -----+ P2(IR) definida por
T(a, b, c) = (b + c) x2 + (a - c) x + 2b é um isornorfismo e encontre T-1(at2 + bt + c).
4. (1,0 ponto)Seja T : M2(IR) -----+ M2(IR) tal que T(X) = XT onde X = (~ ~) _
a) Encontre A = [Tl~onde a = { (~ ~), ( ~ .~) , (~ ~), ( ~ -~) } .
b) Encontre B = [Tl~on~e f3 = { (~ ~'), (~ ~), (~ ~), ( _~ ~)}.
5) (4,0 pontosjfleja T : IR3 -----+ IR3 definido por T(x, y, z) = (x + 3y - 3z, 4y, -3x + 3y+- z).
a) Encontre ( polinômio característico e os autovalores de T.
b) Encontre os subespaços associados aos autovalores de T.
c) Justifique porque T é diagonalizável e encontre uma base f3 do R3 constituída de autovetores
de T e a matriz [Tl~.
d ) Encontre o polinômio minimal de T, efetuando os cálculos da verificação.
Boa Sorte! Boa Prova!