Buscar

Notas de Aula Vetores

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 16 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 16 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 16 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro / PUC-Rio
Departamento de Engenharia Mecânica
ENG1705 – Dinâmica de Corpos Rígidos
(Período: 2016.2)
Notas de Aula
Capítulo 1: VETORES
Ivan Menezes
ivan@puc-rio.br
Capítulo 1
Vetores
1.1 Introdução
Algumas grandezas podem ser completamente definidas por meio de suas magnitudes (ou
intensidades), como por exemplo massa, energia cinética, temperatura, dentre outras. Ma-
tematicamente, essas grandezas são representadas por um número (denominado escalar) e
são conhecidas como grandezas escalares.
Outras, entretanto, precisam além da magnitude de uma direção e um sentido para que fi-
quem completamente definidas, tais como forças, deslocamentos, velocidades, acelerações,
dentre outras. Matematicamente, essas grandezas são representadas por meio de vetores e,
conseqüentemente, são conhecidas como grandezas vetoriais. Graficamente, os vetores são
representados por setas cujos comprimentos definem as magnitudes e as orientações das
setas definem as direções e sentidos das grandezas (vide Figura 1.1).
Figura 1.1: Representação Gráfica de Vetores.
1.2 Definição
Um vetor é uma classe de objetos matemáticos que têm a mesma direção, mesmo sentido e
mesma intensidade.
2 CAPÍTULO 1. VETORES
1.3 Notação
• Grandezas Escalares: letras minúsculas ou letras gregas. Exemplos: a, b, α ou β.
• Grandezas Vetoriais: letras minúsculas em negrito ou letras minúsculas com uma
seta na parte superior. Exemplos: a ou~b.
1.4 Posição de um Vetor
Sejam A e B dois pontos quaisquer (no <2 ou <3). Chamamos de segmento orientado
AB (representação: ~AB) ao segmento de origem A e extremidade B, no qual observamos:
uma direção (a da reta r que contém o segmento); um sentido (a orientação de A para B);
e uma intensidade, magnitude ou módulo (o tamanho ou comprimento do segmento AB),
conforme ilustrado na Figura 1.2.
Figura 1.2: Segmentos Orientados e Vetores.
Quando escrevemos a = ~AB estamos dizendo que o vetor é determinado pelo segmento
orientado ~AB de origem A e extremidade B.
Porém, de acordo com a definição apresentada na Seção 1.2, qualquer segmento de
mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido de ~AB representa também o mesmo
vetor a, ou seja, cada ponto (do <2 ou <3) pode ser considerado como origem de um seg-
mento orientado que é representante do vetor a.
De acordo com a Figura 1.2, os vetores a e b são iguais (ou equivalentes ou equipolen-
tes) pois possuem a mesma direção (pois a reta r é paralela à reta s), o mesmo sentido e a
mesma intensidade, ou seja:
• a e b são paralelos, logo, têm a mesma direção;
• a e b têm a mesma orientação, logo, têm o mesmo sentido;
• “tamanho” de a = “tamanho” de b;
Conclusão: a = b =⇒ a posição de um vetor não precisa ser especificada.
1.5. PONTOS × VETORES 3
1.5 Pontos × Vetores
Sejam P1, P2 e P3 pontos do <2 conforme ilustrado na Figura 1.3.
Figura 1.3: Pontos e Vetores no <2.
• Coordenadas dos Pontos:
P1 = (3, 2)
P2 = (5, 1)
P3 = (8, 3)
• Definição do vetor a:
É um vetor que representa o deslocamento do ponto P2 para o ponto P3, ou seja:
a = P3 − P2
a = (8, 3)− (5, 1) = (3, 2)
Assim, um vetor no espaço <2 é representado por um par ordenado a = (x, y), onde x
e y são números reais chamados de componentes do vetor a. Note que os componentes de
um vetor correspondem aos tamanhos das projeções desse vetor em cada eixo coordenado.
Observe também que é sempre possível transladar um vetor de tal maneira que a sua
origem coincida com a origem do sistema de coordenadas. Nesse caso, o vetor passa a ser
representado apenas por um ponto, o qual corresponde à nova extremidade desse vetor. No
exemplo ilustrado na Figura 1.3, o vetor b, que é equivalente ao vetor a, corresponde a um
deslocamento da origem até o ponto P1, ou seja:
b = P1 −O = (3, 2)− (0, 0) = (3, 2) = a
O vetor b é conhecido como vetor posição associado ao ponto P11.
1 Os componentes de um vetor posição coincidem com as coordenadas do ponto correspondente à extremi-
dade desse vetor.
4 Subtração ou Diferença
1.6 Operações com Vetores
1.6.1 Adição ou Soma
Sejam a = (x1, y1) e b = (x2, y2) dois vetores, conforme ilustrado na Figura 1.4.
Figura 1.4: Soma de Vetores no <2.
Matematicamente, a soma de dois vetores corresponde a um terceiro vetor c, cujos com-
ponentes são expressos por:
c = a+ b =⇒ c = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
Graficamente, a soma de vetores pode ser feita utilizando-se a regra do paralelogramo,
tal como ilustrado na Figura 1.4.
Propriedades da Soma de Vetores
• Comutatividade: a+ b = b+ a
• Associatividade: a+ (b+ c) = (a+ b) + c
• Elemento Neutro2: 0+ a = a+ 0 = a
• Elemento Oposto (ou Inverso Aditivo): ∀a ∃(−a) | a+ (−a) = 0
1.6.2 Subtração ou Diferença
Matematicamente, a subtração de dois vetores pode ser definida como a soma do primeiro
vetor com o inverso aditivo do segundo, ou seja:
a− b = a+ (−b)
2 O vetor nulo “0 = (0, 0)” é aquele que apresenta intensidade igual a zero e direção indefinida.
5
Considerando os vetores a = (x1, y1) e b = (x2, y2), definidos na Seção 1.6.1, a
subtração entre eles corresponde a um terceiro vetor c, cujos componentes são expressos
por:
c = a− b =⇒ c = (x1, y1) + (−x2,−y2) = (x1 − x2, y1 − y2)
A Figura 1.5 ilustra a operação de subtração de vetores.
Figura 1.5: Subtração de Vetores no <2.
1.6.3 Multiplicação por um Escalar
Sejam a = (x, y) um vetor não-nulo e α um escalar não-nulo. Define-se o produto α a
como sendo um vetor com a mesma direção de a, com intensidade igual a |α| vezes a
intensidade de a e com o mesmo sentido de a, se α > 0, conforme ilustrado na Figura 1.6.
Figura 1.6: Multiplicação de Vetor por Escalar.
Em função dos componentes, o vetor resultante do produto de um vetor por um escalar
é dado por:
b = α a =⇒ b = α (x, y) = (α x, α y)
6 Multiplicação (ou Produto) de Vetores
Definição
Dois vetores não nulos a e b são paralelos se e somente se existe um α real tal que a = αb.
Propriedades da Multiplicação de Vetor por Escalar
• Elemento Neutro: 1a = a
• Associatividade: α β a = (α β) a
• Distributividade (em relação aos vetores): α (a+ b) = α a+ α b
• Distributividade (em relação aos escalares): (α+ β) a = α a+ β a
• Se α a = β a e a 6= 0 =⇒ α = β
1.6.4 Multiplicação (ou Produto) de Vetores
Existem diferentes tipos de multiplicação entre vetores, os quais serão estudados na Se-
ção 1.10 deste texto.
1.7 Norma de um Vetor
• Definição:3 Norma = Intensidade = Magnitude = Módulo
• Notação: Norma de um vetor a = ||a||
Seja a um vetor do <2 com componentes ax e ay. A partir do triângulo retângulo
ABC, ilustrado na Figura 1.7, pode-se concluir que a norma do vetor a (que corresponde à
hipotenusa do triângulo) é dada por:
||a|| =
√
a2x + a2y
1.8 Vetor Unitário
São aqueles cujas normas são iguais a 1. Ou seja, a é um vetor unitário, se ||a|| = 1. A
cada vetor a está associado um vetor unitário b, a partir da seguinte expressão:
b =
1
||a||a
Observe que a expressão acima representa a multiplicação de um vetor (a) por um esca-
lar α = 1||a|| .
3A definição de norma de um vetor está associada ao conceito de distância entre dois pontos, conforme será
estudado mais adiante, na Seção 1.9.
7
Figura 1.7: Norma de um Vetor.
1.8.1 Versores
Os vetores unitários são chamados de versores e são representados da seguinte forma:
aˆ =
a
||a||
Os versores são comumente utilizados na representação dos eixos coordenados. No
<2, por exemplo, os eixos X e Y são representados pelos versores iˆ e jˆ, respectivamente,
conforme ilustrado na Figura 1.8.
Figura 1.8: Versores no <2.
Utilizando os conceitos de soma de vetores e de multiplicação de um vetor por um
escalar, o vetor a = (ax, ay), apresentado na Figura 1.8, pode ser escrito como:
a = ax + ay
Ou ainda: ax = axiˆ e ay = ay jˆ
Finalmente:a = axiˆ+ ay jˆ
A Figura 1.9 ilustra um sistema de coordenadas no <3 e a representação dos eixos coor-
denados X , Y e Z pelos versores iˆ, jˆ e kˆ, respectivamente.
8 Produto Escalar (ou Produto Interno)
Figura 1.9: Versores no <3.
1.9 Distância entre Pontos
A distância d entre dois pontos P1 e P2 pode ser definida como a norma do vetor desloca-
mento de um ponto a outro (nesse caso, o sentido do vetor torna-se irrelevante), conforme
ilustrado na Figura 1.10.
Figura 1.10: Distância entre Pontos.
1.10 Produto de Vetores
1.10.1 Produto Escalar (ou Produto Interno)
É o produto entre dois vetores cujo resultado é um escalar, ou seja:
a · b = c =
{ ||a|| ||b|| cosθ se a e b 6= 0
0 se a = 0 ou b = 0
A interpretação geométrica do produto interno entre dois vetores está apresentada na Fi-
gura 1.11. O ângulo “θ”, considerado na expressão acima, corresponde ao ângulo interno
(ou seja, aquele que satisfaz o seguinte critério: 0 ≤ θ ≤ pi).
9
Figura 1.11: Produto Interno entre dois Vetores.
De acordo com a Figura 1.11, o produto interno entre dois vetores a e b é igual ao produto
da norma do vetor a pela norma da projeção do vetor b sobre o vetor a, ou vice-versa.
Ortogonalidade entre Vetores
Dois vetores a e b, não nulos, são ortogonais (a ⊥ b) se e somente se: a · b = 0. Nesse
caso, cosθ = 0 e, portanto, θ = pi2 .
Norma de um Vetor em Função do Produto Interno
Uma maneira alternativa de se calcular a norma de um vetor é dada pela seguinte expressão:
a · a = ||a|| ||a|| cos(0)
ou seja:
||a|| = √a · a
Produto Escalar em Função das Componentes dos Vetores
Sejam dois vetores a e b conforme ilustrado na Figura 1.12.
Utilizando-se a expressão do produto escalar:
a · b = ||a|| ||b|| cosθ
Mas, de acordo com a Figura 1.12, θ = α− β, logo:
a · b = ||a|| ||b|| cos(α− β)
Ou ainda:
a · b = ||a|| ||b|| (cosαcosβ + senαsenβ)
10 Produto Vetorial (ou Produto Externo)
Figura 1.12: Produto Escalar em Função das Componentes.
Rearranjando-se os termos acima, obtém-se:
a · b = ||a|| cosα ||b|| cosβ + ||a|| senα ||b|| senβ
Finalmente:
a · b = xa xb + ya yb
Propriedades do Produto Escalar
• Comutatividade: a · b = b · a
• Associatividade: a · (b + c) = a · b + a · c
• (αa) · b = a · (αb) = α (a · b)
• a · a = ||a||2
• |a · b| ≤ ||a|| ||b||
• ||α a|| = |α| ||a||
1.10.2 Produto Vetorial (ou Produto Externo)
É o produto entre dois vetores cujo resultado é um vetor, ou seja:
a× b = c
A norma do vetor c é dada por:
||c|| =
{ ||a|| ||b|| |senθ| , se a 6= 0 e b 6= 0 e θ 6= 0 e θ 6= pi
0 , se a = 0 ou b = 0 ou θ = 0 ou θ = pi
11
Interpretação Geométrica
Figura 1.13: Produto Externo entre dois Vetores (regra da mão direita).
Note que, de acordo com a Figura 1.13, a norma do produto externo entre dois vetores é
numericamente igual ao dobro da área do triângulo formado por esses vetores, ou seja:
||a× b|| = ||a|| ||b|| |senθ| = ||a|| h = 2 A
onde A é a área do triângulo cuja altura é igual a h.
Propriedades do Produto Vetorial
• a× b = − b× a
• Associatividade: a× (b + c) = a× b + a× c
• α (a× b) = (αa)× b = a× (αb)
• Se a e b são não nulos e a× b = 0, então a e b são paralelos.
Produto Vetorial em Função das Componentes dos Vetores
Sejam a = (xa, ya, za) e b = (xb, yb, zb) dois vetores do <3. Conforme ilustrado na
Figura 1.13, o vetor c, resultado do produto vetorial entre eles, pode ser expresso como:
c =
∣∣∣∣∣∣
i j k
xa ya za
xb yb zb
∣∣∣∣∣∣
onde, o lado direito da expressão acima representa o determinante da matriz 3 × 3 cujas
linhas são formadas pelos versores dos eixos coordenados (i, j e k) e pelos componentes
do primeiro (a) e do segundo (b) vetores, respectivamente.
12 Produto Vetorial (ou Produto Externo)
O resultado do produto vetorial, em função dos componentes dos vetores a e b, é obtido
calculando-se o determinante acima, ou seja:
c = (yazb − ybza) i + (zaxb − zbxa) j + (xayb − xbya)k
ou ainda:
c = (yazb − ybza, zaxb − zbxa, xayb − xbya)
1.11 Ângulo entre Vetores
Dados dois vetores a e b, o ângulo θ entre eles pode ser calculado das seguintes maneiras:
(a) Produto Escalar
a · b = ||a|| ||b|| cosθ
Logo: cosθ =
a · b
||a|| ||b||
Finalmente: θ = arc cos
(
a · b
||a|| ||b||
)
(b) Produto Vetorial
||a× b|| = ||a|| ||b|| senθ
Logo: senθ =
||a× b||
||a|| ||b||
Finalmente: θ = arc sen
( ||a× b||
||a|| ||b||
)
1.12. RETAS E PLANOS 13
1.12 Retas e Planos
O objetivo deste tópico é apresentar as equações que descrevem as retas e os planos utili-
zando os conceitos de vetores, estudados anteriormente.
1.12.1 Equação da Reta no <3
Problema: Encontrar a equação da reta “r” que passa pelo ponto P0(x0, y0, z0) e é paralela
ao vetor v = (a, b, c), conforme ilustrado na Figura 1.14.
Figura 1.14: Determinação da Equação da Reta no <3.
O ponto P (x, y, z), ilustrado na Figura 1.14 pertencerá à reta r se, e somente se, os vetores
do tipo ~P0P forem paralelos ao vetor v, ou seja:
~P0P = t v
Ou seja: (x− x0, y − y0, z − z0) = t (a, b, c)
Ou ainda:

x− x0 = t a
y − y0 = t b
z − z0 = t c
Equações Simétricas da Reta:
x− x0
a
=
y − y0
b
=
z − z0
c
14 Equação do Plano
1.12.2 Equação do Plano
Problema: Encontrar a equação do plano que passa pelo ponto P0(x0, y0, z0) e tem vetor
normal n = (a, b, c), conforme ilustrado na Figura 1.15.
Figura 1.15: Determinação da Equação Plano.
O ponto P (x, y, z), ilustrado na Figura 1.15 pertencerá ao plano se, e somente se, os vetores
do tipo ~P0P e n forem ortogonais, ou seja:
~P0P · n = 0
Ou seja: (x− x0, y − y0, z − z0) · (a, b, c) = 0
Ou ainda: a (x− x0) + b (y − y0) + c (z − z0) = 0
Fazendo-se: d = −ax0 − by0 − cz0
Obtém-se finalmente a equação do plano: ax+ by + cz + d = 0
	Vetores
	Introdução
	Definição
	Notação
	Posição de um Vetor
	Pontos Vetores
	Operações com Vetores
	Adição ou Soma
	Subtração ou Diferença
	Multiplicação por um Escalar
	Multiplicação (ou Produto) de Vetores
	Norma de um Vetor
	Vetor Unitário
	Versores
	Distância entre Pontos
	Produto de Vetores
	Produto Escalar (ou Produto Interno)
	Produto Vetorial (ou Produto Externo)
	Ângulo entre Vetores
	Retas e Planos
	Equação da Reta no 3
	Equação do Plano

Outros materiais