AD1 - Met Det II - Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
2o Semestre de 2013
Gabarito da Avaliac¸a˜o a Distaˆncia 1 - AD1
Entrega: por correio ate´ o dia 19/08,
e ate´ 24/08 entrega no po´lo.
Questa˜o 1: (1, 0pts) Considere as func¸o˜es reais f e g cujas lei de formac¸a˜o sa˜o f(x) = x−1x e
g(x) = x+ 1
a) Determine (f ◦ g)(x).
b) e, tambe´m, calcule (g ◦ f)(x).
Soluc¸a˜o: (vale 0, 5pt por item. Acertou ganha pontuac¸a˜o completa errou alguma coisa zera) Item a)
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x+ 1) = x+ 1− 1
x+ 1
=
x
x+ 1
.
Item b)
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g
(
x− 1
x
)
=
x− 1
x
+ 1 =
x− 1
x
+
x
x
=
2x− 1
x
.
Questa˜o 2: (3, 0pts) Considere a func¸a˜o Real f(x) = 3 + 5x−25x,
A) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f ;
B) Determine a imagem de f ;
C) Determine a inversa de f , explicitando o seu domı´nio;
D) Determine x tal que f(x) = 628.
Soluc¸a˜o: (Os itens A) e C) valem 1, 0pt cada. Os itens B) e D) valem 0, 5pt cada.)
A) Para facilitar veja que 5x−25x = 52x−2. Iniciamos fazendo o gra´fico de 5x (tracejado), depois de
52x−2 (pontilhado) e por fim de 3 + 52x−2 (risco).
B) Como a func¸a˜o 5t > 0 para qualquer t ∈ R segue que 3 + 52x−2 > 3. Portanto, a imagem de
y = f(x) sa˜o todos os y ∈ R tais que y > 3.
1
C) Observe as equivaleˆncias.
3 + 52x−2 = y ⇐⇒ 52x−2 = y − 3⇐⇒ 2x− 2 = log5(y − 3)⇐⇒ x =
1
2
(2 + log5(y − 3)) .
D) Basta aplicar na func¸a˜o inversa, isto e´, se y = 628 enta˜o
x =
1
2
(2 + log5(628− 3))⇐⇒ x =
1
2
(2 + log5(625))⇐⇒ x =
1
2
(2 + 4) = 3.
Questa˜o 3: (3, 0pts) Encontre o domı´nio das seguintes func¸o˜es:
1) f(x) =
√
6− x− x2
2) g(t) = t+1
t2−t−2
3) h(x) = x
2+5
x+2
Soluc¸a˜o: (1, 0pt por item).
1) Os valores x ∈ R que podemos avaliar f(x) sa˜o aqueles que 6−x−x2 ≥ 0. Observe que essa e´ uma
equac¸a˜o do 2a grau com coeficiente do termo x2 igual −1, e sabemos que isso, em termos geome´tricos,
nos da´ uma para´bola com a boca voltada para baixo. Enta˜o so´ precisamos encontrar as ra´ızes de
6− x− x2 e o domı´nio de nossa func¸a˜o sera´ os x ∈ R que esta˜o entre as duas ra´ızes. Resolvendo por
Bhaskara.
6− x− x2 = −(x− 2)(x+ 3) = 0, portanto o domı´nio de f(x) sa˜o os x ∈ R tais que − 3 ≤ x ≤ 2.
2) Para que g(t) esteja definida basta que t2 − t − 2 6= 0. Calculando, usando Bhaskara, obtemos
t2 − t− 2 = (t+ 1)(t− 2). Portanto, o domı´nio de g(t) sa˜o todos os t ∈ R tais que t 6= −1 e 2.
3) Novamente precisamos que x + 2 6= 0 ⇐⇒ x 6= −2. Enta˜o o domı´nio de h(x) sa˜o todos os x ∈ R
tais que x 6= −2.
Questa˜o 4: (3, 0pts) Calcule os seguintes limites:
I) lim
x→−3+
√
x3 − x2 − 8x+ 12√
x+ 3
II) lim
h→0
3
√
h+ 8− 2
h
III) lim
x→1
−x5 + 6x4 + 3
x2 + 3
Soluc¸a˜o: (1, 0pt por item.)
I) Observe que esse limite so´ faz sentido para x > −3. Se avaliarmos x3−x2−8x+12 em −3 obtemos
zero, assim como se avaliarmos x+3 em −3. Enta˜o precisamos estudar o polinoˆmio x3−x2− 8x+12.
Para isso precisamos encontrar as suas ra´ızes. Existe uma fo´rmula para encontrar as ra´ızes de um
polinoˆmio de grau 3, mas e´ dificil de trabalhar com ela. O mais simples mesmo e´ tentar chutar valores
para as ra´ızes. Uma dica e´ que se o polinoˆmio tiver ra´ızes inteiras elas sera˜o divisores de 12. Enta˜o
2
testando para 1 e −1 vemos que na˜o funciona. Agora ao testar em 2 vemos que ele anula o polinoˆmo.
Enta˜o dividindo o polinoˆmio x3 − x2 − 8x+ 12 por x− 2 obtemos
x3 − x2 − 8x+ 12 = (x− 2)(x2 + x− 6).
Mas ja´ vimos o polinoˆmio −6 + x+ x2 no item 1) da questa˜o 3. Enta˜o,
lim
x→−3+
√
x3 − x2 − 8x+ 12√
x+ 3
= lim
x→−3+
√
(x− 2)2(x+ 3)√
x+ 3
= lim
x→−3+
|x− 2| = 5.
II) Para calcular esse limite e´ preciso fazer multiplicar por um termo apropiado para completar um
cubo. Ale´m disso, e´ importante notar que 3
√
8 = 2.
lim
h→0
3
√
h+ 8− 2
h
= lim
h→0
3
√
h+ 8− 2
h
(
( 3
√
h+ 8)2 + 2 3
√
h+ 8 + 4
( 3
√
h+ 8)2 + 2 3
√
h+ 8 + 4
)
= lim
h→0
(
3
√
h+ 8
)3 − 23
h(( 3
√
h+ 8)2 + 2 3
√
h+ 8 + 4)
= lim
h→0
1
( 3
√
h+ 8)2 + 2 3
√
h+ 8 + 4)
=
1
12
.
II) Avaliando o polinoˆmio −x5+6x4+3 em 1 nos da´ 8 e avaliando x2+3 em 1 nos da´ 4, como tanto o
denominador como o nu´merador sa˜o func¸o˜es cont´ınuas e o denominador no ponto tem valor diferente
de zero, para calcular o limite da raza˜o basta calcular os limites do numerador e do denominador e
dividir, veja abaixo:
lim
x→1
−x5 + 6x4 + 3
x2 + 3
=
lim
x→1
−x5 + 6x4 + 3
lim
x→1
x2 + 3
=
8
4
= 2.
3