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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Me´todos Determin´ısticos II Gabarito da Avaliac¸a˜o a` Distaˆncia 1 Questa˜o 1: (2,0pts) Considere as func¸o˜es f e g definidas por x2 + x − 6 e 3x − 2, respectivamente. Determine: a) As leis que definem f ◦ g e g ◦ f e o valor de (g ◦ f)(2). b) Os valores do domı´nio da func¸a˜o (f ◦ g) que teˆm imagem −6. Soluc¸a˜o: (Cada item vale 1,0pt) a) Vamos iniciar calculando g ◦ f , (g ◦ f)(x) = g(x2 + x− 6) = 3(x2 + x− 6)− 2 = 3x2 + 3x− 20. e (g ◦ f)(2) = 3× 22 + 3× 2− 20 = −2. (f ◦ g)(x) = (3x− 2)2 + (3x− 2)− 6 = 9x2 − 12x+ 4 + 3x− 8 = 9x2 − 9x− 4. b) (f ◦ g) = −6⇔ 9x2 − 9x− 4 = −6⇔ 9x2 − 9x− 2 = 0. Resolvendo a equac¸a˜o do 2o grau obtemos ∆ = 81 − 4 × 9 × 2 = 81 − 72 = 9. Da´ı as soluc¸o˜es sa˜o: x1 = 9+3 2×9 = 2 3 e x2 = 9−3 2×9 = 6 18 = 1 3 . Questa˜o 2: (1,5pts) Determine o “maior” conjunto A tal que Im(f) ⊂ D(g); em seguida, construa a composta h(x) = (g ◦ f)(x). A) g(x) = √ x− 1 e f : A→ R, f(x) = 2x+1 x−3 ; B) g(x) = √ x2 − 1 e f : A→ R, f(x) = x2 − 2. Soluc¸a˜o: (Cada um dos itens vale 1, 0pt. O ponto de cada item deve ser dado pelo seguinte crite´rio: 0, 3pt se acertar o D(g) e 0, 5pt se acertar o conjunto A e 0, 2pt se acertar h(x).) A) Precisamos determinar o D(g), mas isto significa encontrar os x ∈ R tais que fac¸a sentido calcular g(x) = √ x− 1, ou seja, x− 1 ≥ 0⇔ x ≥ 1. Logo D(g) = {x ∈ R : x ≥ 1} . Para determinar o conjunto A considere 2x+ 1 x− 3 ≥ 1⇔ 2x+ 1 x− 3 − 1 = x+ 4 x− 3 ≥ 0. Fazendo a ana´lise do sinal de x+4 x−3 obtemos 1 x+ 4 −4 −4 −4 x− 3 x+4 x−3 3 3 3 − + + − − + + − + Portanto, A = {x ∈ R : x ≤ −4 ou x > 3}. E por fim, h(x) = (g ◦ f)(x) =√f(x)− 1 = √ x+4 x−3 . B) Para determinar o domı´nio de g(x), lembre que x2 − 1 = (x− 1)(x+ 1) e´ uma para´bola com boca voltada para cima. As ra´ızes desta para´bola sa˜o x = −1 e x = 1, logo D(g) = {x ∈ R : x ≤ −1 ou x ≥ 1} . Para determinar o conjunto A precisamos determinar os x ∈ R tais que: 1a x2−2 ≤ −1⇔ x2−1 ≤ 0 ou 2a x2 − 2 ≥ 1⇔ x2 − 3 ≥ 0. Para a 1a condic¸a˜o ja´ sabemos que −1 ≤ x ≤ 1. Para a 2a condic¸a˜o, como x2−3 = (x+√3)(x−√3) e´ uma para´bola com a boca voltada para cima, segue que x ≤ −√3 ou x ≥ √3. Portanto, A = { x ∈ R : x ≤ − √ 3 ou − 1 ≤ x ≤ 1 ou x ≥ √ 3 } . E h(x) = (g ◦ f)(x) = √ (f(x))2 − 1 = √x4 − 4x2 + 3. Questa˜o 3: (2,5pts) Responda os itens abaixo: i) Determine o domı´nio de f(x) = logx x 2 − 3x+ 2. ii) Encontre o valor exato da expressa˜o log5 10 + log5 20− 3 log5 2. iii) Encontre os valores de x que satisfazem a equac¸a˜o ln(x) + ln(x− 1) = 1 iv) Encontre o domı´nio e a imagem de g(x) = ln(4− x2) Soluc¸a˜o: (Os itens ii) e iv) valem 0,5pt cada e o itens i) vale 0,7pt e o iii) valem 0,8) i) Precisamos determinar os valores de x ∈ R que a func¸a˜o tenha sentido. Enta˜o precisamos que x > 0 e x 6= 1, ale´m disso, x2 − 3x + 2 > 0, mas como x2 − 3x + 2 = (x − 2)(x − 1), obtive esta expressa˜o calculando as ra´ızes da equac¸a˜o x2 − 3x + 2 = 0. Como x2 − 3x + 2 e´ uma equac¸a˜o do 2o grau com coeficiente acompanhando x2 positivo, temos que a contic¸a˜o x2 − 3x+ 2 > 0 e´ equivalente a x < 1 ou x > 2. Juntando tudo temos que os valores de x ∈ R sa˜o 0 < x < 1 e x > 2. ii) log5 10 + log5 20− 3 log5 2 = log5 2× 5 + log5 22 × 5− 3 log5 2 = log5 5 + log5 2 + log5 5 + 2 log5 2− 3 log5 2 = 2 iii) ln(x) + ln(x− 1) = 1⇔ ln(x(x− 1)) = ln e⇔ x2 − x− e = 0 Resolvendo a equac¸a˜o do 2o grau temos ∆ = 1 + 4e > 0 e as soluc¸o˜es sa˜o x1 = 1+ √ 1+4e 2 e x2 = 1+ √ 1+4e 2 < 0, como os valores de x precisam ser positivos o u´nico valor aceita´vel e´ x1. iv) E´ poss´ıvel calcular g(x) desde que 4−x2 > 0, mas 4−x2 = (2+x)(2−x), portanto os valores que fazem sentido sa˜o |x| < 2, ja´ a imagem sa˜o todos os valores de y tai que y < ln(4). Questa˜o 4: (2,0pts) Calcule os seguintes limites: 2 I) lim x→−2 x3 + 2x2 − 1 5− 3x II) lim h→0 (3 + h)2 − 9 h Soluc¸a˜o: (Cada limite vale 1,0pt) I) Observe que 5− 3x e´ cont´ınua e diferente de zero quando x = −2, ale´m de que, por ser tambe´m um polinoˆmio, x3 + 2x2 − 1 e´ cont´ınuo, portanto, o quociente e´ cont´ınuo e para calcular este limite basta avaliar a func¸a˜o no ponto, da´ı lim x→−2 x3 + 2x2 − 1 5− 3x = (−2)3 + 2(−2)2 − 1 5− 3× (−2) = −1 11 . II) lim h→0 (3 + h)2 − 9 h = lim h→0 9 + 6h+ h2 − 9 h = lim h→0 h(6 + h) h = lim h→0 6 + h = 6. Questa˜o 5: (2,0pts) Fac¸a o esboc¸o do gra´fico de a) g(x) = −1 se x ≤ −1 3x+ 2 se |x| < 1 7− 2x se x ≥ 1 b) f(x) = |x|+ x Soluc¸a˜o: (Cada item vale 1,0pt) a) Veja que o gra´fico de g(x) e´ constituido de treˆs partes, onde cada parte e´ uma equac¸a˜o de reta. 3 b) Observe que para x < 0 a func¸a˜o f(x) = |x|+ x = −x+ x = 0 e para x ≥ 0 f(x) = x+ x = 2x. 4
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