apostilasFIS129

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Física	
  Experimental	
  I	
  –	
  F	
  129	
  	
  Apostilas	
  de	
  Apoio	
  	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
  rev.1102.2013	
  
Índice	
  	
  	
  	
   1. Introdução	
  à	
  teoria	
  de	
  erros	
  e	
  medidas......................................................................1	
  	
  2. Tabelas	
  e	
  gráficos..................................................................................................................5	
  	
   3. Lei	
  de	
  escala..........................................................................................................................11	
  	
   4. Mínimos	
  quadrados...........................................................................................................15	
  	
   5. Propagação	
  de	
  erros.........................................................................................................18	
  	
   6. Cronômetro	
  inteligente	
  e	
  photogate..........................................................................22	
  	
   7. Medidas	
  de	
  comprimento...............................................................................................26	
  	
   8. Estrutura	
  do	
  relatório......................................................................................................29	
  
Introduc¸a˜o a` teoria de erros e medidas
Jorge Diego Marconi
Em F´ısica, a ide´ia de medida esta´ subjacente a tudo. E´ atrave´s de experieˆncias
que se pode obter valores quantitativos consistentes para certas propriedades da mate´ria,
sejam elas propriedades das chamadas part´ıculas elementares - os constituintes u´ltimos da
mate´ria, sejam elas as grandezas que nos permitem entender um pouco as gala´xias e outros
objetos estelares. No dia a dia, medimos grandezas normais, aquelas que esta˜o dentro de
nossos conceitos antropomo´rficos de descric¸a˜o da natureza. Mas a natureza na˜o e´ so´ o
que vemos ao nosso redor. Quando estudamos o microcosmo, ha´ outras propriedades da
natureza que na˜o teˆm correspondeˆncia na nossa vida do dia a dia. Quando nos afastamos
de nosso sistema planeta´rio e estudamos a nossa gala´xia ou outras estrelas, tambe´m
sa˜o encontrados estranhos mundos onde na˜o valem as grandezas com as quais estamos
acostumados. Para descrever essas novas propriedades, sa˜o atribu´ıdos nomes a elas e sa˜o
feitas medidas sistema´ticas. Tanto nesses campos avanc¸ados da f´ısica quanto em nossas
experieˆncias no laborato´rio de IF129, os resultados das medidas sa˜o sempre expressos por
nu´meros que indicam quantas vezes uma propriedade f´ısica de um certo corpo e´ maior
ou menor que um determinado padra˜o, definido de forma arbitra´ria, mas conhecido por
todos. Esse padra˜o e´ a unidade daquela propriedade f´ısica particular.
Um assunto que aparece imediatamente em f´ısica experimental e´ que qualquer medida
que fizermos sera´ sempre afetada por algum tipo de erro. Como explicaremos a seguir,
esses erros podem ser causados pela qualidade (ou falta de) dos instrumentos, pela falta
de cuidado do observador, ou podem ser erros estat´ısticos. Os principais tipos de erros
sa˜o:
Erros sistema´ticos
Erros sistema´ticos sa˜o aqueles causados por defeitos dos instrumentos, por exemplo, falta
de calibrac¸a˜o. Se um termoˆmetro marca sistematicamente 1 ◦C a mais, porque esta´ descal-
ibrado, nunca sera´ poss´ıvel eliminar esse erro, por mais cuidado que se tome. Deve-se
recalibrar o termoˆmetro. Para identificar e calcular esses erros, deve-se mudar o instru-
mento de medida. No caso de erros sistema´ticos, as medidas sera˜o afetadas em conjunto,
sempre para mais ou para menos.
Erros casuais
Erros acidentais, casuais ou aleato´rios, sa˜o aqueles causados em geral por variac¸o˜es nas
condic¸o˜es em que as medidas foram feitas: temperatura, pressa˜o, umidade e por erros
de leitura por parte do observador. Em geral, nesse tipo de erro, ha´ igual probabilidade
de que as medidas sejam afetadas para mais ou para menos; efetuando-se uma se´rie de
medidas e calculando-se a me´dia, consegue-se compensar de certa maneira o efeito desse
tipo de erro, obtendo-se uma melhor estimativa da grandeza f´ısica que se quer medir.
Assim, todas as medidas de uma propriedade f´ısica esta˜o afetadas por uma incerteza,
que vamos chamar em geral de erro, desvio ou imprecisa˜o da medida. Deste modo, os
resultados das medidas devem ser expressos de tal modo que se possa avaliar a precisa˜o
com que elas foram feitas (ou calculadas).
1
Para poder apresentar melhor alguns conceitos, vamos considerar a seguinte situac¸a˜o:
suponha que voceˆ mediu uma determinada magnitude x, por exemplo 50 vezes (ou N
vezes), sempre nas mesmas condic¸o˜es e com o mesmo instrumento. Em geral, esses 50
valores va˜o ser diferentes entre eles, similares mas diferentes. Neste caso, qual e´ o valor
que eu devo dar como resultado final e com que erro? Para isso vamos comec¸ar definindo
o valor me´dio das medic¸o˜es como,
x =
50∑
i=1
xi
50
(1)
para o caso em que N = 50.
A teoria de erros mostra que, com um conjunto finito de medidas, na˜o e´ poss´ıvel obter
o valor exato da grandeza que se esta´ medindo, e demonstra que essa me´dia, calculada
com base nos valores experimentais, e´ o melhor estimador dessa grandeza. Enta˜o, ate´
agora temos o valor que vamos dar como resultado das 50 medic¸o˜es, ou seja a me´dia, mas
ainda na˜o sabemos quantos d´ıgitos va˜o ficar nem qual e´ o erro associado. Se o leitor for
perspicaz, talvez pense, “se esses 50 valores deram esta me´dia, e essa me´dia representa
o valor mais prova´vel da minha medic¸a˜o, enta˜o o erro deveria estar, de alguma maneira,
associado a´ dispersa˜o de todos os valores ao redor da me´dia”. Vamos enta˜o definir o
desvio quadra´tico me´dio ou desvio padra˜o como:
σ =
√√√√√
∑
50
i=1
(x− xi)2
(50− 1) (2)
A teoria dos erros vai associar, a uma certa medida, na˜o o erro que se comete, mas
sim um intervalo de valores ao redor da me´dia, dentro do qual o valor verdadeiro tem
uma alta probabilidade de ser encontrado. E o nu´mero que melhor estima esse intervalo
e´ dado por:
σx = ∆xestatistico =
σ√
50
(3)
A este erro, que mede de alguma forma a dispersa˜o dos dados ao redor da me´dia, vamos
chamar de erro estat´ıstico. Agora finalmente, com o conjunto de 50 dados experimentais,
podemos determinar um resultado final e um erro associado. E´ importante mencionar
que o nu´mero 50, que aqui representa o nu´mero total de dados, pode ser obviamente
generalizado para N dados, ficando enta˜o as equac¸o˜es para o caso geral como:
x =
N∑
i=1
xi
N
(4)
σ =
√√√√√
∑
N
i=1
(x− xi)2
(N − 1) (5)
2
σx = ∆xestatistico =
σ√
N
(6)
O leitor atento, pore´m, tera´ percebido que o instrumento de medic¸a˜o tem um erro
associado, o que na˜o foi considerado ate´ agora. Na˜o levar em conta o erro do instrumento
seria como dizer que medir, por exemplo, a largura de uma mesa com uma re´gua graduada
em cm a medi-la´ com outra graduada em mm na˜o faz diferenc¸a, e isso na˜o parece razoa´vel.
Assim, ainda falta um passo para obtermos o erro que vamos chamar de total, para coloca´-
lo como erro associado da me´dia. O erro total vai estar dado pela seguinte equac¸a˜o:
∆xtotal =
√
(∆xestatistico)2 + (∆xinstrumental)2 (7)
A pergunta agora vai ser: qual e´ o erro instrumental? Vamos explicar isto com ex-
emplos. Suponha que temos que medir o comprimento de uma folha de papel com uma
re´gua que tem diviso˜es ate´ mil´ımetros. Vamos supor que o canto da folha caia entre as
diviso˜es correspondentes de 233 e 234 mm. O resultado dessa medida simples pode se
escrever assim:
L = (233,5± 0,5) mm
Desta forma, voceˆ esta´ escrevendo exatamente o ma´ximo que voceˆ pode dizer da
medida com o instrumento que voceˆ tem, neste caso a re´gua com diviso˜esate´ mil´ımetros.
Isto e´, que o valor esta´ entre 233 e 234 mm. E´ poss´ıvel que as diviso˜es da re´gua estejam
ruins, e que voceˆ na˜o esteja muito seguro de que a medida esteja entre 233 e 234 mm,
mas sim que esta´ entre 232 e 234 mm. Nesse caso escrevemos:
L = (233± 1) mm
Estes dois casos representam os crite´rios geralmente aceitos para colocar o erro instru-
mental de uma medida: colocar a metade da mı´nima divisa˜o do instrumento de medida ou
colocar diretamente a mı´nima divisa˜o do instrumento, em nosso exemplo seriam 0,5 mm
ou 1 mm. Qual e´ o mais correto? Como e´ um crite´rio, na˜o e´ poss´ıvel dizer qual e´ o
mais ou o menos correto. Vai depender da medic¸a˜o, do bom senso e da experieˆncia do
experimentador. Mas estes dois crite´rios sa˜o, sem du´vida, os mais usados.
Suponha que voceˆ tenha medido uma magnitude f´ısica 100 vezes, sempre com o mesmo
instrumento e sempre com as mesmas condic¸o˜es, e vamos supor que o instrumento tenha
uma incerteza ∆instrumental. Quais sa˜o os valores da medida e o erro associado que vamos
apresentar? O valor e´ simplesmente a me´dia dada pela equac¸a˜o (4). Vamos supor que voce
mediu 100 vezes um tempo de algum fenoˆmeno f´ısico; o resultado da me´dia pode ser, por
exemplo, 1,235464 s, que e´ um nu´mero com muitos d´ıgitos. Vamos calcular agora o erro
estat´ıstico com as equac¸o˜es (5) e (6), e vamos supor que o resultado seja 0,0234556778 s,
outro nu´mero com muitos d´ıgitos. Supomos tambe´m que ∆instrumental = 0,01 s. O erro
total, usando a equac¸a˜o (7) e´ 0,025498.... s. O que voceˆ acha que deveria ser escrito como
resultado final? Com o que temos ate´ aqui seria (1,235464 ± 0,025498) s. Mas as coisas
na˜o sa˜o ta˜o simples, e vamos ao u´ltimo passo do processo. Analisemos o seguinte: o
erro esta´ informando qua˜o precisa foi a medic¸a˜o. Neste caso, o tempo foi medido ate´, no
ma´ximo, o cente´simo de segundo, indicado em nosso exemplo com o primeiro nu´mero 2
3
depois dos zeros a´ esquerda. Resulta enta˜o que o nu´mero 5 que vem depois do 2 na˜o esta´,
essencialmente, dando muita mais informac¸a˜o, pois o 2 anterior e´ um ordem de magnitude
maior. Assim, para que o resultado fique mais claro, vamos fazer o arredondamento.
Como? A ide´ia e´ que fique so´ a informac¸a˜o essencial, assim vamos chamar de primeiro
d´ıgito significativo ao primeiro d´ıgito do valor do erro que seja diferente de zero. Neste
caso seria o 2. Mas vamos dar tambe´m certa importaˆncia ao que vem depois, o segundo
d´ıgito significativo, em nosso caso o 5. Como vale 5, enta˜o o 2 vai virar 3, com o qual
o erro vai ficar como 0,03 s. O crite´rio que usamos foi o seguinte: se o segundo d´ıgito
significativo esta´ entre 0 e 4, enta˜o o primeiro fica como esta´; mas se o segundo d´ıgito esta´
entre 5 e 9, o primeiro se incrementa em uma unidade. Como no exemplo considerado,
o segundo d´ıgito e´ 5, enta˜o o 2 vira 3. Agora quase terminamos; o que falta e´ acomodar
o valor da me´dia, para que fique com o mesmo nu´mero de decimais que o erro. Como
este ficou valendo 0,03 s, que tem dois decimais, enta˜o do valor de 1,235464 s, que tem
6 decimais, deve passar a ter somente dois nu´meros decimais. Como? Usamos o crite´rio
de arredondar que usamos com o erro. O segundo decimal e´ 3, o terceiro e´ 5, enta˜o o
segundo vira 4. Assim, o resultado final da medic¸a˜o pode ser expresso como:
(1,24± 0,03) s
Os conceitos ate´ aqui servem so´ para as chamadas medic¸o˜es diretas, ou seja para
magnitudes que voceˆ mede diretamente com algum instrumento, como por exemplo um
tempo ou um comprimento. Tudo isto devera´ ficar claro ao longo dos diferentes experi-
mentos. Trataremos posteriormente o caso das chamadas medic¸o˜es indiretas, onde o valor
da magnitude procurada e´ obtido depois de algum ca´lculo. Por exemplo, se quisermos
obter o volume de um cubo, o que vamos medir em forma direta va˜o ser os lados do cubo,
e para achar o volume temos que fazer uma conta, V = L1.L2.L3. Neste caso, qual vai
ser o erro do volume? A resposta na˜o e´ complicada mas requer conhecimentos de ca´lculo,
especificamente de derivadas. Trataremos deste assunto ao longo do curso.
Refereˆncias
1 - Jose´ Henrique Vuolo, Fundamentos da Teoria de Erros, Editora Edgard Blu¨cher Ltda
(1992).
2 - Curt Egon Hennies et al, Problemas Experimentais em F´ısica, Editora da Universidade
Estadual de Campinas (1989).
Estes livros podem ser encontrados na Biblioteca da F´ısica e recomendamos
fortemente que sejam consultados.
4
Tabelas e Gráficos
J. D. Marconi/V. Rodrigues/L. E. E. de Araujo
Tabelas
Usualmente os resultados de um experimento são apresentados em tabelas ou gráficos. Quando
a escolha for uma tabela, ela deve apresentar um resumo, com o máximo de informações, de
uma série de medidas. Ela precisa apresentar:
1. O título, com uma breve descrição do que trata a tabela;
2. O cabeçalho da tabela deve apresentar o que tem em cada coluna, com a grandeza medida
(ou sua abreviação), a unidade usada e, se for necessário, a potência de 10 pela qual os
valores da coluna devem ser multiplicados;
3. Se forem usadas abreviações na tabela, elas devem ser explicadas na própria tabela ou
em algum lugar do texto;
4. Os valores das medidas deverão aparecer com os algarismos significativos adequados e
com o seu erro total;
5. No exemplo da tabela abaixo, as medidas foram realizadas para uma determinada mola.
Por isso, é interessante colocar suas características. Assim poderemos apreciar mais fa-
cilmente os dados da tabela;
6. Quando a ordem em que foram feitas as medidas for importante, ela deve ser indicada.
Tabela 1: Lei de Hooke
N m (103 g) ∆x (cm)
1 0,030 ± 0,002 0,9 ± 0,1
2 0,052 ± 0,003 1,4 ± 0,1
3 0,080 ± 0,002 2,2 ± 0,1
4 0,103 ± 0,004 2,7 ± 0,1
5 0,135 ± 0,001 3,6 ± 0,1
m = massa colocada na extremidade da mola;
∆x = variação do comprimento da mola;
N = número de ordem das medidas.
Mola presa por uma de suas extremidades
na vertical e sujeita à esforços por massas
colocadas na outra extremidade.
Características da mola:
massa = (27 ± 1) g
diâmetro = (16 ± 1) mm
diâmetro do fio= (1,0 ± 0,1) mm
número de espiras = 100
Gráficos
Quando a escolha for um gráfico, ele precisa apresentar:
1. O título, com uma breve descrição do que trata o gráfico;
2. Uma legenda para cada eixo indicando que valores estão sendo ali colocados, qual a sua
unidade e se for necessário, a potência de 10 pela qual os valores da escala devem ser
multiplicados;
3. Uma escala para cada eixo:
5
(a) usando valores com intervalos regulares entre si;
(b) com valores fáceis de serem lidos, como múltiplos inteiros por exemplo;
(c) os dois eixos não precisam ter a mesma origem e nem tão pouco a mesma escala
numérica;
4. Evite “ligar os pontos”. Somente deverá ser usada uma curva entre os pontos quando for
útil apresentar um guia para os olhos ou quando um modelo for comparado ou ajustado
aos pontos experimentais. Em ambos os casos, o procedimento, modelo ou utilidade da
curva deve ser mostrada no texto e a curva claramente identificada.
5. Se forem usadas abreviações no gráfico, elas devem ser explicadas na própria gráfico ou
em algum lugar do texto;
6. Os valores dos pontos nunca devem ser colocados no gráfico. Para isto exitem as tabelas.
Salvo quando for um ponto especial e que mereça destaque. Neste caso, evite carregar de
informações o gráfico, somente indicando o ponto e deixando as explicações para o texto.
7. Os pontos das medidas deverão aparecer com suas respectivas barras de erro. A posição
central do ponto é a média da medida (x, y). A barra de erro da abscissa começa em
x−∆xtotal e vai até x+∆xtotal. O mesmo para a ordenada. Na figura a seguir temos um
exemplo de como fazer uma barra de erro.
(a) (b)
Figura 1: (a) Procedimento para fazer a barra de erro de uma medida. As linhas tracejadas
só foram feitas para ilustrar como o tamanho da barrade erro é definido. (b) Exemplo de um
gráfico simples.
Histogramas
Foi Gauss quem desenvolveu a teoria matemática dos erros. Essa teoria se baseia nos cálculos de
probabilidade e tem por finalidade conhecer melhor o grau de precisão de uma série particular
de medidas.
Nunca se consegue reproduzir uma medida exatamente. Intuitivamente, podemos perceber
que, realizando-se uma série muito grande de medidas, elas deverão se distribuir simetricamente
6
Figura 2: Distribuição gaussiana.
em torno de um certo valor, que por razões óbvias é chamado de valor médio. Se fosse possível
fazer infinitas medições, a distribuição das medidas teria uma forma bem definida, a chamada
distribuição gaussiana, mostrada na Figura 2.
Mas, como nunca é possível fazer infinitas medições, vamos apresentar uma maneira útil de
apresentar os resultados em forma gráfica, o chamado histograma. Para isso vamos considerar
um experimento no qual foram medidos 100 valores medidos de um certo tempo. Entre todos
os valores vamos identificar o menor e o maior, e os chamamos de A e B. Todos os demais
valores vão estar dentro do intervalo de tempos determinado por estes dois valores. Vamos
separar este intervalo em 7, 8, 9, ou até 10 intervalos iguais, cada um de largura ∆. Então, o
primeiro intervalo vai estar entre A e A+∆, o segundo intervalo entre A+∆ e A+2∆, e assim
até chegar a B.
Agora vamos contar quantas das 100 medições estão dentro do primeiro intervalo, quantas
no segundo, e assim por diante. A este número de vezes chamamos de frequência (pode-se usar
como alternativa a frequência normalizada, que é a frequência de cada intervalo dividido pelo
número total de valores medidos). Representando graficamente a frequência (ou a frequência
normalizada) no eixo Y e os intervalos no eixo X, vamos obter o histograma tal como mostra
a Figura 3.
Vemos imediatamente que:
i. os intervalos correspondentes a pequenos desvios em relação ao valor médio são mais
populados,
ii. a figura é simétrica em relação ao valor médio da série de medidas. No caso limite
quando ∆ → 0 e o número de medições tende a infinito, vamos obter uma curva contínua, a
distribuição gaussiana. Essa curva é característica de uma vastíssima gama de medidas físicas.
Mas como determinar a largura ∆ dos intervalos mais apropriada para se confeccionar o
histograma? A melhor largura para os intervalos depende muito da distribuição dos valores e
geralmente faz-se necessário testar vários valores até se encontrar o mais apropriado. Em geral,
um bom ponto de partida para se estimar ∆ é:
∆ =
xmax − xmin√
N
, (1)
onde xmax,min é o valor máximo (mínimo) da distribuição e N é a quantidade de medições feitas.
A partir do histograma podemos estimar o valor médio e o desvio padrão da distribuição.
Em um histograma, a média é o ponto, no eixo das abscissas, que passa pelo centro de gravidade
da figura. Em uma curva simétrica do tipo gaussiana, o valor médio corresponde ao ponto mais
alto da curva - Figura 4. O desvio padrão coincide com metade da largura do histograma a
7
Figura 3: Exemplo de histograma, onde no eixo Y colocamos a frequência normalizada
aproximadamente 60% da altura máxima.
Gráficos logarítmicos
Em ciência é comum existirem medidas com variações muito grandes. Dizemos então que os
dados variam em várias ordens de grandeza. Se ao tentarmos marcar esses os valores em um
gráfico linear, perceberemos que muitos dos dados ficarão “acumulados” em uma região do
gráfico, dificultando muito a leitura dos dados, pois os pontos ficam “embaralhados”.
Uma das formas para resolver o problema de apresentação gráfica de resultados com grandes
variações é aplicar o logaritmo aos valores que estão sendo utilizados. O logarítmo reduz os
valores a serem colocados no gráfico à mesma ordem de grandeza. A função logarítmica foi
desenvolvida para facilitar alguns cálculos que eram muito difíceis, antes do surgimento das
calculadoras e computadores. Por exemplo, a medida de pH é −Log10(CH+), ou seja, as medidas
de pH variam várias ordens de grandeza na concentração de H+.
Se a grandeza medida obedece a uma lei de escala do tipo:
f(z) = kzn, (2)
então, aplicando logaritmo base 10 na equação acima, temos
Log10f = Log10k + nLog10z. (3)
Redefinimos assim a Equação (1) na forma de uma equação linear de uma reta!! Medindo o
coeficiente angular da reta passamos a ter o valor do expoente n.
O papel log-log é desenhado de forma a simplificar a necessidade de realizar os cálculos
necessários para obtenção dos logaritmos, pois ele já está em escala logarítmica - Figura 5.
8
n
u
m
e
ro
d
e
o
c
o
rr
e
n
c
ia
s
tempo(s)1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
2
4
6
8
10
12 alturadovalormedio
60%daaltura
dovalormedio
x
valormedio
desviopadrao
Figura 4: Determinando o valor médio e o desvio padrão a partir do histograma.
9
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
2
10
3
10
4
10
5
10
1
Figura 5: Exemplo de papel gráfico em escala logarítmica
10
	
  11	
  
Lei de Escala 
 
Luís Eduardo E. de Araujo 
 
O trabalho experimental em ciência freqüentemente envolve o estudo da relação entre 
duas variáveis. Um exemplo seria como a distância s percorrida por uma esfera em 
queda livre varia com o tempo t de queda. Em um experimento deste tipo, a variável 
dependente (distância) é medida para vários valores da variável independente (tempo). 
Os dados de tal experimento podem ser registrados no formato de uma tabela: 
 
Tabela 1 – Distância percorrida durante a queda livre em função do tempo. 
 
Tempo (s) Distância (m) 
0,89 4 
1,26 8 
1,55 12 
1,79 16 
2,00 20 
2,19 24 
2,37 28 
2,53 32 
 
Entretanto, números em uma tabela como a acima não transmitem facilmente a relação 
entre as variáveis. Para facilitar a visualização dessa relação, lançamos os dados da 
tabela em um gráfico. Vemos na Figura 1 que a relação entre distância e tempo não é 
linear. 
 
 
Figura 1 – Distância percorrida por uma esfera em queda livre 
em função do tempo de queda em um gráfico de escala linear. 
 
Quando uma das grandezas medidas (s) depende da outra (t) elevada a certa potência 
(n), dizemos que s segue uma lei de escala (ou lei de potência): 
 ! = !!!. (1) 
 
É muito difícil olhar para uma curva como a da Figura 1 e dizer com confiança se a 
dependência é quadrática, cúbica, etc. Entretanto, uma simples transformação de 
	
  12	
  
variáveis pode converter a relação entre as grandezas para uma dependência linear. 
Tirando o logaritmo da Equação (1) nos dois lados, obtemos: 
 log ! = log ! + !  log  (!). (2) 
 
Podemos identificar a Equação (2) com a equação de uma reta: y = A + B x se fizermos 
y = log(s) e x = log(t). O coeficiente angular 
 ! = !!!!!!!!!! = !"# !! !!"#  (!!)!"# !! !!"#  (!!) (3) 
 
fornece o expoente n da lei de escala: n = B. O coeficiente linear A dá a constante de 
proporcionalidade k da lei de escala: log(k) = A, ou k = 10A. O coeficiente linear 
corresponde ao valor de y quando x = 0. 
 
Tirando o logaritmo dos dados da Tabela 1 encontramos: 
 
Tabela 2 – Logaritmo da distância percorrida s durante a 
queda livre em função do logaritmo do tempo t. 
 
Tempo (s) Distância (m) 
-0,05 0,60 
0,10 0,90 
0,19 1,08 
0,25 1,20 
0,30 1,30 
0,34 1,38 
0,37 1,45 
0,40 1,51 
 
Se fizermos um gráfico de log(s) em função de log(t) em um papel milimetrado (de 
escala linear) com os dados da Tabela 2, obteremos a reta mostrada na Figura 2. O 
coeficiente angular B é calculado a partir de dois pontos quaisquer da reta que melhor se 
ajusta aos pontos experimentais; por exemplo, os pontos (0,10;0,90) e (0,40;1,51) 
indicados pelas setas azuis. Substituindo esses valores na Equação (3): 
 ! = !,!"!!,!"!,!"!!,!" ∴ ! = 2,0. (4) 
 
Para encontrarmos o coeficiente linear A, no gráfico, procuramospelo valor de log(s) 
para log(t) = 0; nesse caso, ! = 0,70 ∴ ! = 10!,!" = 5,0  m/s2. 
 
 
	
  13	
  
 
 
Figura 2 – Logaritmo da distância s percorrida por uma esfera em queda livre em 
função do logaritmo do tempo de queda t em um gráfico de escala linear. Distância 
é medida em metros e tempo em segundos. As linhas tracejadas indicam como 
encontrar o coeficiente linear da reta. 
 
Alternativamente, podemos trabalhar com um papel em escala logarítmica. Nesse caso, 
não é necessário tirar o logaritmo dos valores da Tabela 1. O próprio papel se encarrega 
de fazer isso. A Figura 3 mostra um gráfico log-log dos dados da Tabela 1. Aqui, o 
coeficiente angular pode ser calculado a partir da Equação (3), novamente escolhendo-
se dois pontos da reta (e não necessariamente dois pontos da tabela); ou com uma régua 
medindo-se os catetos do triângulo retângulo. 
 
Da Figura 3, ! = !,!  cm!,!  cm ∴ ! = 2,0. (5) 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Distância s percorrida por uma esfera em queda livre em 
função do tempo de queda t em gráfico de escala logarítmica. As 
linhas tracejadas indicam como encontrar o coeficiente linear da reta. 
 
4,4 cm 
2,2 cm 
	
  14	
  
 
Já a constante de proporcionalidade k é encontrada no gráfico log-log pelo valor 
numérico de s para t = 1 (pois log 1 = 0), mas com a unidade apropriada. Da Figura 3, 
para t = 1,0, temos s = 5,0; logo, k = 5,0 m/s2. 
 
Quando já conhecemos o expoente n da lei de escala, a transformação de variáveis que 
lineariza a equação (1) é mais simples. Nesse caso, fazemos y = s e x = tn, de modo que 
a constante k será agora o coeficiente angular da reta ! = !". Ainda em relação ao 
experimento de queda livre, para n = 2, se fizermos y = s e x = t2, então um gráfico 
linear de y vs. x deverá mostrar os pontos experimentais dispostos ao longo de uma reta, 
como mostrado na Figura 4. O coeficiente angular da reta é: 
 ! = !!!!!!!!!! = !"!!!,!"!!,!" = 5,1  m/!!. 
 
 
Resumindo, para encontrar graficamente o expoente n da lei de escala ! = !!! há duas 
maneiras: 
 
1. calcular o coeficiente angular da reta de log(s) vs. log(t) em um gráfico linear ou 
2. calcular o coeficiente angular da reta de s vs. t em um gráfico log-log. 
 
Para encontrar graficamente a constante de proporcionalidade k há três maneiras: 
 
1. calcular o coeficiente linear da reta de log(s) vs. log(t) em um gráfico linear 
determinando o valor de log(s) para log(t) = 0, ou 
2. determinar na reta em um gráfico log-log de s vs. t o valor de s para t = 1, ou 
3. calcular o coeficiente angular da reta de s vs. tn em um gráfico linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4 – Distância s percorrida por uma esfera em queda livre 
em função do quadrado do tempo de queda t. 
 
 
Mı´nimos Quadrados
Jorge Diego Marconi e Varlei Rodrigues
Vamos supor que temos um conjunto de N dados (xi, yi), onde cada valor yi tem um erro
associado que chamamos de σi, ou seja (yi ± σi) (os σi na˜o teˆm que ser iguais entre si).
Vamos supor que os dados representam certo fenoˆmeno f´ısico que segue uma lei descrita
por uma func¸a˜o f .
Usando a descric¸a˜o gaussiana de erros, a probabilidade Pi de ocorrer a medida (xi, yi, σi)
e´ dada por:
Pi =
C
σi
exp
[
−1
2
(
(yi − yi)
σi
)2]
(1)
onde yi e´ o valor me´dio de yi e C e´ uma constante de normalizac¸a˜o. Portanto, a proba-
bilidade P de ocorrer o conjunto das N medidas sera´:
P = P1 P2 ... PN
=
C
σ1
exp
[
−1
2
(
(y1 − y1)
σ1
)2]
...
C
σN
exp
[
−1
2
(
(yN − yN)
σN
)2]
=
CN
σ1 σ2 ... σN
exp
[
−1
2
N∑
i=1
(
(yi − yi)
σi
)2]
(2)
Como yi seria o valor que se aproxima do valor ”verdadeiro” de yi e supondo um modelo
f´ısico para nossas medidas que segue uma lei descrita por uma func¸a˜o f , podemos escrever
que:
yi = f(xi, a1, a2, ..., an) (3)
onde a1, a2, ... an sa˜o os paraˆmetros do modelo. Definindo:
χ2 =
n∑
i=1
(
(yi − f(xi, a1, a2, ..., an))
σi
)2
(4)
podemos reescrever a equac¸a˜o (2) como:
P =
Cn∏
n
i=1
σi
exp
[
−1
2
χ2
]
(5)
Neste caso, para que a func¸a˜o f seja a mais adequada para nossas medidas, ou seja, para
que P seja ma´ximo, χ2 deve ser mı´nimo.
15
O me´todo dos mı´nimos quadrados consiste em ajustar os paraˆmetros a1, a2, ... an de tal
forma que χ2 seja mı´nimo, ou seja, procuramos resolver o sistema abaixo:
∂χ2
∂a1
= 0
∂χ2
∂a2
= 0 ...
∂χ2
∂an
= 0 (6)
Ajuste de uma func¸a˜o linear: Regressa˜o Linear
Supondo um conjunto de dados e que a func¸a˜o que descreve o nosso sistema seja linear.
f(xi) = axi + b (7)
A sua representac¸a˜o gra´fica t´ıpica seria:
Figura 1: Gra´fico obtido com dados experimentais no caso particular em que o ajuste e´
linear.
Definindo wi = 1/σ
2
i
, podemos escrever χ2 como:
χ2 =
n∑
i=1
wi(yi − axi − b)2 (8)
Aplicando o me´todo dos mı´nimos quadrados para obter os paraˆmetros a e b:
∂χ2
∂a
= 2
n∑
i=1
wi(yi − axi − b)(−xi) = 0 (9)
∂χ2
∂b
= 2
n∑
i=1
wi(yi − axi − b)(−1) = 0 (10)
16
Obtemos enta˜o um sistema de duas equac¸o˜es e duas inco´gnitas. Para simplificar a escrita
vamos omitir os ı´ndices nas somato´rias.
(
∑
wx2 ) a + (
∑
wx ) b = (
∑
wyx ) (11)
(
∑
wx ) a + (
∑
w ) b = (
∑
wy ) (12)
Resolvendo o sistema, os valores de a e b sa˜o:
a =
(
∑
w ) (
∑
wyx ) − ( ∑wy ) ( ∑wx )
∆
(13)
b =
(
∑
wy ) (
∑
wx2 ) − ( ∑wyx ) ( ∑wx )
∆
(14)
E os erros associados:
σ2
a
=
(
∑
w )
∆
σ2
b
=
(
∑
wx2 )
∆
(15)
onde
∆ = (
∑
w ) (
∑
wx2 ) − (
∑
wx )2 (16)
As equac¸o˜es (13), (14), (15) e (16) sa˜o gerais e valem para o caso onde cada σi seja
diferente dos outros. No caso de termos σi = constante = σ (ou seja o mesmo valor
para todo i) as expresso˜es de a, b, σ2
a
e σ2
b
podem ser simplificadas:
a =
N (
∑
yx ) − ( ∑ x ) ( ∑ y )
∆
(17)
b =
(
∑
y ) (
∑
x2 ) − ( ∑ yx ) ( ∑ x )
∆
(18)
σ2
a
=
N
∆
σ2 σ2
b
=
(
∑
x2 )
∆
σ2 (19)
∆ = N (
∑
x2 ) − (
∑
x )2 (20)
Estas equac¸o˜es sa˜o exatas e em princ´ıpio sa˜o as que usam os programas comerciais. Pore´m,
sempre e´ recomenda´vel verificar que as equac¸o˜es sejam as dadas nesta apostila, especial-
mente quando temos um conjunto de dados onde os erros sa˜o diferentes em cada ponto.
Refereˆncia Bibliogra´fica: Jose´ Henrique Vuolo, Fundamentos da Teoria de Erros (Edi-
tora Edgard Blu¨cher Ltda, Sa˜o Paulo, 1992).
17
Propagac¸a˜o de Erros
Varlei Rodrigues
Vamos supor que em um experimento no´s tenhamos medido os paraˆmetros x, y, ..., z n vezes.
x1, y1, ..., z1
x2, y2, ..., z2
...
...
xn, yn, ..., zn


medidas
Devido aos erros experimentais, instrumentais e estat´ısticos, na˜o e´ poss´ıvel saber qual o valor
”verdadeiro” destes paraˆmetros. Mas sabemos que os valores me´dios x, y, ..., z sa˜o aqueles
que melhor se aproximam desses, dentro de uma faixa de confianc¸a σx, σy, ..., σz :
x =
1
n
n∑
i=1
xi σ
2
x =
1
n
n∑
i=1
(xi − x)2
y =
1
n
n∑
i=1
yi σ
2
y =
1
n
n∑
i=1
(yi − y)2 (1)
...
...
z =
1
n
n∑
i=1
zi σ
2
y =
1
n
n∑
i=1
(yi − y)2
Mas como achar o valor que se aproxima do ”verdadeiro” e a sua faixa de confiabilidade quando
a propriedade no qual estamos interessados na˜o puder ser medido diretamente, mas sim atrave´s
de um modelo matema´tico? Por exemplo, se quizermos achar uma velocidade baseados em
medidas de distaˆncia e tempo.
Vamos supor que queremos achar w em func¸a˜o de x, y, ..., z:
w = w(x, y, ..., z) (2)
Uma opc¸a˜o seria calcular todos os wi para todos os conjuntos xi, yi, ..., zi de medidas e em
seguida a me´dia w e σ2w
w1 = w(x1, y1, ..., z1)
w2 = w(x2, y2, ..., z2)...
...
wn = w(xn, yn, ..., zn)


medidas
w =
1
n
n∑
i=1
wi σ
2
w =
1
n
n∑
i=1
(wi − w)2 (3)
Como devemos calcular todos os valores de wi, esta operac¸a˜o passa a ser bastante trabalhosa,
principalmente para um grande nu´mero de medidas. Uma pergunta que podemos fazer e´ se
podemos obter w diretamennte da me´dia dos paraˆmetros medidos no experimento:
18
w = w(x, y, ..., z)? (4)
Para responder a esta pergunta, vamos expandir o valor de wi em se´ries de poteˆncias dos desvios
em torno dos valores me´dios de x, y, ..., z:
wi = w(x, y, ..., z) +
+
(
∂w
∂x
)
(xi − x) +
(
∂w
∂y
)
(yi − y) + ...+
(
∂w
∂z
)
(zi − z) + (5)
+
1
2
(
∂2w
∂x2
)
(xi − x)2 +
1
2
(
∂2w
∂y2
)
(yi − y)2 + ... +
1
2
(
∂2w
∂z2
)
(zi − z)2 +
+ ...
Se a func¸a˜o w varia lentamente, no´s podemos considerar que os termos de segunda ordem e
superiores sa˜o despres´ıveis, ou seja:
1
2
(
∂2w
∂x2
)
(xi − x)2 ∼ 0 (6)
Calculando a me´dia e w usando os valores de wi obtidos na expansa˜o (5) teremos:
w =
1
n
n∑
i=1
wi
=
1
n
[
n∑
i=1
w(x, y, ..., z)+ (7)
+
n∑
i=1
(
∂w
∂x
)
(xi − x) +
n∑
i=1
(
∂w
∂y
)
(yi − y) + ...+
n∑
i=1
(
∂w
∂z
)
(zi − z)
]
Rearranjando os termos da equac¸a˜o (7):
w =
1
n
[
n∑
i=1
w(x, y, ..., z)+ (8)
+
(
∂w
∂x
) n∑
i=1
(xi − x) +
(
∂w
∂y
) n∑
i=1
(yi − y) + ... +
(
∂w
∂z
) n∑
i=1
(zi − z)
]
Nesta expressa˜o os termos a` direita da igualdade sa˜o nulos, com excec¸a˜o do primeiro, pois:
1
n
n∑
i=1
(xi − x) =
1
n
n∑
i=1
xi −
1
n
n∑
i=1
x = x− 1
n
nx = 0 (9)
Desta forma, em primeira aproximac¸a˜o, w pode ser obtido usando os valores me´dios de x, y, ..., z:
w = w(x, y, ..., z) (10)
19
Agora, vamos usar o mesmo racioc´ınio para calcular o desvio padra˜o de w:
σ2w =
1
n
n∑
i=1
(wi − w)2 (11)
Usando wi obtido em (5) ate´ primeira ordem teremos:
(wi − w)2 = [w(x, y, ..., z)+ (12)
+
(
∂w
∂x
)
(xi − x) +
(
∂w
∂y
)
(yi − y) + ... +
(
∂w
∂z
)
(zi − z) +
− w]2 =
=
(
∂w
∂x
)2
(xi − x)2 +
(
∂w
∂y
)2
(yi − y)2 + ... +
+ 2
(
∂w
∂x
)(
∂w
∂y
)
(xi − x)(yi − y) + 2
(
∂w
∂x
)(
∂w
∂z
)
(xi − x)(zi − z) +
+ ...
Entretanto,
2
(
∂w
∂x
)(
∂w
∂y
) n∑
i=1
(xi − x)(yi − y) = 0 (13)
Por isso, podemos ignorar os termos cruzados na expressa˜o (12) e escrever σ2w como:
σ2w =
1
n


(
∂w
∂x
)2 n∑
i=1
(xi − x)2
︸ ︷︷ ︸
nσ2
x
+
(
∂w
∂y
)2 n∑
i=1
(yi − y)2
︸ ︷︷ ︸
nσ2
y
+...


(14)
Desta forma, podemos calcular σ2w a partir das derivadas primeiras da func¸a˜o w e dos σ
2 de
cada valor medido:
σ2w =
(
∂w
∂x
)2
σ2x +
(
∂w
∂y
)2
σ2y + ...+
(
∂w
∂z
)2
σ2z (15)
Refereˆncia Bibliogra´fica: Jose´ Henrique Vuolo, Fundamentos da Teoria de Erros (Editora
Edgard Blu¨cher Ltda, Sa˜o Paulo, 1992).
20
Exemplo:Incerteza no volume de um cilindro:
V = piLR2 R σ2R
L σ2L
}
me´dias das medidas
Usando a expressa˜o (15) para encontrar σ2V :
σ2V =
(
∂V
∂R
)2
σ2R +
(
∂V
∂L
)2
σ2L
σ2V =
(
2pi L R
)2
σ2R +
(
pi R
2
)2
σ2L (16)
Podemos ainda dividir os dois lados da igualdade por V 2:
(σV
V
)2
=
(
2pi L R
pi L R2
)2
σ2R +
(
pi R2
pi L R2
)2
σ2L (17)
(σV
V
)2
=
(
2σR
R
)2
+
(σL
L
)2
(18)
21
APOSTILA PARA USO DO CRONOˆMETRO DO
INSTITUTO DE FI´SICA “GLEB WATAGHIN”
Varlei Rodrigues
O cronoˆmetro e´ um sistema eletroˆnico, baseado em um microcontrolador, desenvol-
vido para ser controlado usando sensores o´pticos. Para seu funcionamento precisamos de
uma fonte de alimentac¸a˜o externa de 9 V e um ou dois sensores fotoele´tricos chamados
photogates, figura 1(a).
Os photogates possuem um emissor e um receptor de luz tal como mostra a figura 1(b).
Quando um objeto bloqueia o caminho entre o emissor e o receptor, o sinal monitorado
pelo cronoˆmetro muda de estado, iniciando ou parando a medida de tempo.
(a) (b)
Figura 1: (a) Cronoˆmetro do IFGW, fonte de alimentac¸a˜o externa de 9 V e 2 photogates.
(b) Detalhe do feixe de luz entre emissor e receptor no photogate.
Para ligar o cronoˆmetro, conecte primeiro a fonte externa de 9 V no conector que
aparece na figura 2(a) e depois na rede ele´trica. Em seguida ligue o bota˜o liga-desliga
que esta´ no lado esquerdo do cronoˆmetro, ao lado do conector de alimentac¸a˜o. Aparecera´
a mensagem ”IFGW/UNICAMP” e a pergunta MODE? no monitor (figura 2(b)).
Caso esta mensagem na˜o aparec¸a em 1 s (quatro piscados do cursor do monitor), aperte
o bota˜o que fica do lado direito do cronoˆmetro para reinicializa´-lo.
O cronoˆmetro possui atualmente cinco modos de operac¸a˜o, selecionados no bota˜o
esquerdo denominado MODE, ver figura 2(b). Os modos sa˜o Two Gates, One Gate,
Pendulum, Time Range e Gates Test.
Modo Two Gates: neste modo sa˜o necessa´rios dois photogates conectados nas entradas
A e B do cronoˆmetro. O cronoˆmetro vai medir simplesmente o tempo entre o instante
22
(a) (b)
Figura 2: (a) Lado esquerdo do cronoˆmetro. (b) Mensagem do monitor quando o
cronoˆmetro e´ ligado.
quando o photogate A e´ bloqueado e o momento no qual o photogate B e´ bloqueado. Assim,
para obter uma medic¸a˜o correta e´ muito importante observar a ordem dos photogates : o
primeiro photogate deve ir na entrada A e o segundo na entrada B.
Modo One gate: neste modo de funcionamento e´ medido o tempo no qual o photogate
A fica obstru´ıdo.
Para os modos Two Gates, One Gate, o procedimento de medida e´ o seguinte:
1. selecione o modo desejado;
2. pressione o bota˜o central, denominado START (figura 2(b));
3. aparecera´ a mensagem Ready! no monitor, indicando que o cronoˆmetro esta´
pronto para executar a medida (figura 3(a));
4. apo´s feita a medida, o monitor mostrara´ o tempo medido no modo escolhido,
em segundos (figura 3(b));
5. o tempo na˜o sera´ apagado ate´ que um bota˜o seja pressionado;
6. para realizar uma nova medida aperte novamente o bota˜o START. Recomece
no passo 3 deste roteiro.
Modo Pendulum: neste modo de funcionamento sa˜o medidos 20 tempos nos quais
o photogate A fica obstru´ıdo duas vezes consecutivas. Com este procedimento podemos
medir o per´ıodo de um peˆndulo por exemplo.
23
(a) (b)
Figura 3: (a) Mensagem indicando que o croˆmetro esta´ pronto para medir. (b) Tempo
medido em segundos no modo Two Gates.
1. selecione o modo Pendulum;
2. pressione o bota˜o START;
3. aparecera´ a mensagem Ready! no monitor, indicando que o cronoˆmetro esta´
pronto para executar a medida;
4. a primeira obstruc¸a˜o inicia a medida;
5. cada duas obstruc¸o˜es do photogate A significa um per´ıodo completo, sendo o
tempo decorrido armazenado e um novo ciclo inicializado. Sera˜o armazenados
20 per´ıodos;
6. apo´s feitas as 20 medidas, o monitor mostrara´ o tempo medido para o primeiro
ciclo;
7. para ver o tempo dos outros per´ıodos pressione o bota˜o direito denominado
MEASUREMENT (figura 4);
8. para realizar uma nova medida aperte novamente o bota˜o START. Recomece
no passo 3 deste roteiro.
Modo Time Range: este modo permite selecionarmos a faixa de valores de medida
de tempo. Quando o cronoˆmetro e´ ligado, a faixa de tempo de cada medida e´ de
0.0000 s - 6.5536 s. O instrumento tambe´m permite trabalharmos na faixa de valores
entre 0.000 s - 65.536 s. Para selecionarmos a faixa desejada, selecionamos o modo Time
Range e em seguida precionamos o bota˜o START.
Modo Gates Test: este modo so´ deve ser utilizado para testar o funcionamento correto
dos photogates. Selecionandoo modo Gates Test e conectando o photogate em alguma
das duas entradas (A ou B), o monitor vai mostrar uma barra horizontal ( - ) caso o
mesmo esteja sem obstruc¸a˜o e uma linha vertical quando estiver bloqueado ( / ). Se
24
Figura 4: Tempo medido em segundos no modo Pendulum para o ciclo 6.
existe alguma du´vida a respeito do correto funcionamento de algum dos photogates, esta
e´ a maneira mais simples e direta de testa´-lo.
Figura 5: Imagem do cronoˆmetro no modo de teste. Neste exemplo o photogate A (1)
esta´ bloqueado e o photogate B (2) na˜o esta´ bloqueado.
25
 26 
Medidas de Comprimento 
 
Carlos Henrique Brito Cruz/Hugo Luis Fragnito 
 
 O instrumento de medida mais simples que usamos em um laboratório é a 
régua, no entanto, com ela podemos demonstrar aspectos importantes em medidas 
feitas com outros instrumentos. Uma boa régua milimetrada permite que façamos 
medidas com precisão de 0,05 cm, o que nos fornece uma regra geral para 
equipamentos científicos: A precisão de um equipamento 
pode ser tomada como a metade da menor escala. 
Obviamente, a aplicação desta regra exigirá que você use o 
bom senso, pois existem vários casos em que ela não é 
válida. Por exemplo, uma régua barata de plástico cuja 
marcação dos milímetros nem sempre é bem feita, pode ter 
uma precisão muito pior, que você poderá avaliar 
comparando com uma régua de boa qualidade. 
 Ao fazer uma medida com uma régua milimetrada, 
você deverá anotar os centímetros e milímetros 
correspondentes, assim como os décimos de milímetro, que 
você irá estimar visualmente, como na Figura 1, que pode 
corresponder a uma leitura de (1,32 ± 0,05) cm. Observe a notação ± 0,05, que 
significa que a precisão da régua fez com que possa haver um erro de 0,05 cm para 
mais ou para menos no valor medido. 
 Na realidade, a questão dos erros experimentais depende em grande parte do 
bom senso, que você deverá desenvolver durante os cursos de Física Experimental. 
Por exemplo, se você tiver que medir a posição de uma mancha de forma pouco 
definida e com cerca de 2 cm de diâmetro, não tem sentido afirmar que a sua medida 
tem uma precisão de 0,05 cm, mesmo que a sua régua atinja esta precisão. Talvez um 
valor de 0,2 cm para o erro experimental diga mais a respeito da precisão com que 
você pode determinar a posição do centro da mancha. 
 
Figura 1: Leitura da régua 
 
Figura 2: Paralaxe. 
 
 27 
 A paralaxe é um fenômeno importante ao fazermos a leitura de qualquer 
escala, em particular uma régua. Ele está representado na Figura 2, na qual vemos 
um ponteiro (de um velocímetro de automóvel, por exemplo) cujo valor deve ser lido 
na escala. Conforme o observador move sua cabeça para a esquerda ou para a 
direita, mede um valor respectivamente maior ou menor que o valor correto, que deve 
ser lido com o observador posicionado perpendicularmente à escala. Portanto, sempre 
que você tiver que fazer a leitura de uma escala ou 
régua, posicione-se o mais perpendicularmente 
possível à esta. Procure também posicionar a régua 
o mais próximo possível do objeto a ser medido para 
minimizar o erro devido à paralaxe. 
 Outro cuidado que você deve tomar é evitar 
usar as extremidades da régua para medidas, pois é 
comum que elas estejam danificadas devido ao uso, 
ou ao próprio processo de fabricação. O melhor é 
que você posicione as extremidades do objeto como 
mostrado na Figura 3, e subtraia os valores obtidos. 
 Quando é necessário mais precisão, podemos usar um paquímetro, como o 
mostrado na 
Figura 4. Para 
medirmos 
diâmetros 
externos, 
colocamos a peça 
entre as esperas 
(a), no caso de 
medidas internas 
usamos as 
esperas (b), e 
para medir a 
profundidade de 
um orifício usamos a haste (c). O cursor é uma 
peça que move as três partes ao mesmo tempo, 
e deve ser deslizado até que se acomode ao 
corpo que está sendo medido. Em geral ele 
possui um trava como a marcada pela letra (d), 
que deve ser pressionada para que o cursor 
possa ser deslocado. Às vezes ela é substituída 
por um parafuso que deve ser apertado ou 
afrouxado. 
 Para fazer a leitura do comprimento, 
usamos uma escala chamada vernier, que vemos em detalhe na Figura 5. Pela 
posição do zero vemos qual será aproximadamente o valor da medida, na figura, 1,2 
cm mais alguns centésimos de centímetro que iremos descobrir quanto valem 
verificando quais dos riscos do vernier coincide com um dos riscos da escala. Vemos 
que este é o caso do sétimo risco, portanto a leitura é (1,27±0,01) cm. A precisão do 
paquímetro é a mesma com que ele permite determinar o comprimento. Alguns 
paquímetros possuem 20 traços no vernier, usando um deles a medida acima seria 
talvez (1,275±0,005) cm. 
 
 Figura 3: Medida com a régua. 
 
 Figura 4: Paquímetro. 
 
 Figura 5: Leitura do Vernier 
 28 
 Caso o paquímetro também não seja adequado pode-se usar um micrômetro, 
como o mostrado na Figura 6, que possui precisão de 0,001 cm. Para operá-lo 
colocamos o objeto a ser 
medido entre as esperas 
(a) e rodamos o tambor 
(b) até que seja 
alcançado o diâmetro do 
corpo. Para que não 
ocorra que a cada 
medida seja aplicada 
uma força diferente, o 
que ocasionaria um erro 
devido à elasticidade do 
corpo, devemos usar a 
catraca (c) para encostar 
as esperas no objeto. Na Figura 7 vemos na escala linear de um micrômetro uma 
medida que é maior que 4,5 mm, pois foi ultrapassada a marca central entre o 4 e o 5. 
Olhando a escala de centésimos de mm, vemos que ela marca 32, número que deve 
ser somado à medida da escala linear, resultando em (4,82 ± 0,01) mm. 
Tanto no caso do paquímetro como do micrômetro, a calibração pode ser 
verificada levando-se as esperas às posições correspondentes a um corpo de 
dimensões nulas e lendo-se o valor medido. Caso este valor seja diferente de zero o 
equipamento está descalibrado, mas pode ser 
utilizado, desde que este valor seja subtraído de 
cada medida feita. 
 
 
Figura 6: Micrômetro. 
 
Figura 7: Leitura do micrômetro 
Prof. R. Urbano 
Estrutura do Relatório 
 
1. Título 
Nome do Experimento. 
2. Nome Completo e RA dos integrantes do Grupo 
 
3. Resumo 
O resumo deve dar ao leitor uma idéia geral do que foi realizado no 
experimento. Deve conter uma breve descrição do problema estudado, a 
motivacão, o método empregado, o resultados mais importantes (citar os 
valores se for o caso) e as principais conclusões do trabalho. (6 a 8 linhas) 
 
4. Metodologia Experimental, Resultados e Análises 
Inicialmente, deve-se apresentar todos os materiais e instrumentos 
utilizados além de uma descrição dos métodos empregados, sempre que 
possível apresentando um esquema da montagem experimental. 
Na sequência, deve-se apresentar os resultados experimentais descrevendo 
detalhadamente como foram obtidos. Deve-se apresentá-los em forma de 
Tabelas e Gráficos. Deve-se também explicitar claramente todas as etapas 
seguidas durante os cálculos (valores médios, desvio padrão, erros totais, 
propagação de erros, etc.) e descrever a análise dos dados, dando um 
destaque especial para o resultado final. 
 
5. Discussão e Conclusão 
Nesta seção, deve-se comentar a qualidade e confiabilidade dos resultados 
obtidos, justificando eventuais discrepâncias observadas ao longo do 
experimento. 
Cabe também apontar sugestões para se obter um conjunto de dados com 
melhor qualidade ou ainda um método experimental mais apropriado. 
Por fim, descreva as principais conclusões decorrentes diretamente do 
experimento e, se possível, relacione-as com as de outros trabalhos 
verificando se todos os objetivos do experimento proposto inicialmente 
foram alcançados.