Matemática financeira 02 desconto simples operação com um conjunto de títulos

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA FINANCEIRA 1 OPERAÇÕES COM CONJ. DE TÍTULOS 
 
OPERAÇÕES COM UM 
CONJUNTO DE TÍTULOS 
 
Vimos na parte anterior, como 
proceder para descontar um único título. 
Caso tenhamos um conjunto de títulos 
(chamado BORDERÔ), o seu valor atual 
comercial é a soma dos valores atuais de 
cada título. 
Vamos ver alguns exemplos para 
conhecermos e entendermos esta 
situação: 
 
Ex. 1: Uma empresa apresenta um 
borderô de duplicatas como indicado 
abaixo, para serem descontadas num 
banco a uma taca comercial de 2,5% a.m. 
Qual o valor líquido recebido pela 
empresa? 
DUPLICATA VALOR ($) 
PRAZO 
(em dias) 
A 20.000 30 
B 40.000 65 
C 80.000 82 
Resolução 
Duplicata A 
𝐷𝐴 = 20.000 ∙ 0,02 ∙ 1 = 400
𝑉𝑙 = 19.600
 
Duplicata B 
𝐷𝐵 = 40.000 ∙
0,02
30
∙ 65 = 1.733,33
𝑉𝑙 = 38.266,67
 
Duplicata C 
𝐷𝑐 = 80.000 ∙
0,02
30
∙ 82 = 4.373,33
𝑉𝑙 = 75.626,67
 
Assim, o valor líquido liberado para 
a empresa foi de: 
 
 $19.600,00 
+ $38.266,67 
 $75.626,67 
 $133.493,34 
 
O mesmo resultado poderia ser 
obtido subtraindo do total do Borderô , 
$140.000,00, a soma dos descontos, 
$6.506,66. O fluxo de caixa da operação, 
sob o ponto de vista do banco é: 
 
(#ParaCegoVer: a figura mostra o fluxo e caixa de um 
banco que adiantou $133.493,34 para receber $20.000 
no 30º dia, $40.000 no 65º dia e $80.000 no 82º dia.) 
 
 
PRAZO MÉDIO DE UM 
CONJUNTO DE TÍTULOS 
 
 Chama-se prazo médio de um 
conjunto de títulos ao prazo em que 
devemos descontar o valor total do 
conjunto de títulos, a uma certa taxa de 
desconto comercial, para obter o mesmo 
resultado que a soma dos descontos de 
cada título, à mesma taxa de desconto. 
 O prazo médio de um conjunto 
de títulos é a média ponderada dos 
prazos dos títulos, sendo os pesos dados 
pelos valores de cada título. Assim, 
considerando N1, N2, N3, ..., Np os valores 
dos títulos com prazos respectivos iguais 
a n1, n2, n3, ... np e chamando o prazo 
médio de �̅� (Lê-se: n barra) temos: 
CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
�̅� =
𝑁1𝑛1 + 𝑁2𝑛2 + 𝑁3𝑛3 + ⋯ + 𝑁𝑝𝑛𝑝
𝑁1 + 𝑁2 + 𝑁3 + ⋯ 𝑁𝑝
 
(#ParaCegoVer: n barra é igual a N1 vezes n1 mais N2 
vezes n2 mais N3 vezes n3 assim segue até Np vezes 
np, tudo isso sobre N1 mais N2 mais N3 assim segue 
até Np.) 
 
Ex. 1: Qual o prazo médio do borderô do 
exemplo da página anterior: 
Resolução: 
�̅� =
20.000 ∙ 30 + 40.000 ∙ 65 + 80.000 ∙ 82
20.000 + 40.000 + 80.000
 
⋮ 
�̅� = 69,71428 
Então o prazo médio é de 69,71 dias 
 
Obs.1: a partir deste resultado, podemos 
observar que se descontarmos o valor 
total do borderô ($140.000) à uma taxa 
mensal de 2% pelo prazo 69.71 dias, 
obteremos o mesmo resultado do 
exemplo anterior. Observe: 
𝐷 = 140.000 ∙
0,02
30
∙ 69,71 = 6.506,66 
Obs.2: A calculadora HP-12C possui 
ferramentas para calcular, de forma 
direta, a média ponderada de valores. Se 
tiver curiosidade e interesse, comece a 
procurar informações sobre isso na web. 
 
 
1) Em cada borderô a seguir obtenha o 
valor de desconto atual considerando a 
taxa de 1,8% a.m.. Determine também o 
prazo médio em cada caso. Mostre 
também, como feito no exemplo acima, 
que o valor obtido pelo prazo médio é 
igual ao valor obtido pelo desconto em 
cada período. 
a) Duplicata Valor 
Prazo até o 
vencimento 
 A $45.000 16 dias 
 B $60.000 38 dias 
 
b) Duplicata Valor 
Prazo até o 
vencimento 
 A $15.000 20 dias 
 B $27.000 32 dias 
 C $19.000 45 dias 
 
c) Duplicata Valor 
Prazo até o 
vencimento 
 A $20.000 16 dias 
 B $15.000 25 dias 
 C $40.000 35 dias 
 D $62.000 40 dias 
 
2) No borderô a seguir, cada duplicada 
será descontada à taxa de desconto 
indicada. Qual será seu valor atual? (a 
taxa de desconto indicada é mensal) 
Duplicata Valor 
Prazo até o 
vencimento 
Taxa de 
desconto 
A $40.000 20 dias 1,5% 
B $50.000 35 dias 2% 
C $25.000 50 dias 2,5% 
 
3) Com relação ao exercício anterior, com 
qual taxa constante de desconto 
deveríamos descontar o total do borderô, 
no seu prazo médio, para obtermos o 
mesmo valor líquido. 
 
4) Mostre que, se um borderô tem 
duplicatas todas de mesmo valor, o prazo 
médio é igual à média aritmética dos 
prazos das duplicatas deste borderô. 
 
5) Um borderô composto por duas 
duplicatas foi descontado num banco. 
Uma das duplicatas apresentava valor de 
face $25.000 e tinha 18 dias até o 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 3 OPERAÇÕES COM CONJ. DE TÍTULOS 
 
vencimento e outra de $32.000 com 
prazo de vencimento em 38. Sobre a 
primeira duplicata, foi aplicada uma taxa 
de desconto de 3%a.m. e a segunda, a 
taxa foi de 4% a.m.. 
a) Qual o valor líquido resgatado? 
b) Qual o prazo médio do borderô? 
c) com qual taxa constante deveríamos 
descontar o valor total do borderô, no seu 
prazo médio, para obtermos o mesmo 
valor líquido do item a? 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
COMPLEMENTARES 
1) Calcular o valor líquido de um conjunto 
de duplicatas descontadas a 2,4% ao 
mês, conforme o borderô a seguir: 
Duplicata Valor 
Prazo até o 
vencimento 
A $6.000 15 dias 
B $3.500 25 dias 
C $2.500 45 dias 
 
 
 
2) Um título com valor nominal de $7.420 
foi resgatado 2 meses antes do seu 
vencimento, sendo-lhe por isso 
concedido um desconto racional simples 
à taxa de 20% a.m. Neste caso, de 
quanto foi o valor pago pelo título? 
 
 
 
3) Uma pessoa pretende saldar uma 
dívida cujo o valor nominal é de $2.040, 4 
meses antes de seu vencimento. Qual o 
valor que deverá pagar pelo título, se a 
taxa racional simples usada no mercado 
é de 5% ao mês? 
 
 
 
4) João deve a um banco $190.000 de 
um título, que vencem daqui a 30 dias. 
Por não dispor de numerário suficiente, 
propõe a prorrogação da dívida por mais 
90 dias. Admitindo-se a data focal atual 
(zero) e que o banco adote a taxa de 
desconto comercial simples de 72% ao 
ano, o valor do novo título será de: 
R.: VL = R$ 235.600,00 
 
 
 
5) Em uma operação de resgate de um 
título, a vencer em 4 meses, a taxa anual 
empregada dever ser de 18% ao ano. Se 
o desconto comercial simples é de 
$180,00, qual o valor nominal do título? 
 
 
 
6) O DCS (desconto comercial simples) 
de um título 4 meses antes do seu 
vencimento é de $800. Considerando 
uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor 
nominal. 
 
 
 
7) Você possui uma duplicata cujo o valor 
de face é de $150. Essa duplicata foi 
descontada 3 meses antes do 
vencimento, obtendo um desconto de 
$9,50. Qual à taxa de desconto? 
 
 
 
8) Determinar quantos dias faltam para o 
vencimento de uma duplicata, no valor de 
$9800, que sofreu um desconto de 
$448,50, à taxa de 18% ao ano. 
 
 
 
9) Qual o valor do desconto comercial 
simples de um título de $3.000, com 
vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% 
ao mês ? 
CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
10) Qual a taxa mensal simples de 
desconto utilizada numa operação a 120 
dias cujo valor nominal é de $1000 e cujo 
valor líquido é de $880? 
 
 
 
11) Uma duplicata de $32.000, com 90 
dias a decorrer até o vencimento, foi 
descontada por um banco à taxa de 2,7% 
a. m.. Calcular o valor líquido entregue ou 
creditado ao cliente. 
 
 
 
12) Achar o valor líquido do borderô de 
cobrança abaixo, á taxa de desconto 
bancário é de2% ao mês. 
 
 
Duplicata Valor 
Prazo até o 
vencimento 
A $800 13 dias 
B $1.350 29 dias 
C $2.430 53 dias 
 
 
 
13) Um título com valor nominal de 
$110.000 foi resgatado 2 meses antes do 
seu vencimento, sendo-lhe por isso 
concedido um desconto racional simples 
à taxa de 60% a.a.. Neste caso, de 
quanto foi o valor pago pelo título? 
 
 
 
14) Um título com valor nominal de 
$3.836 foi resgatado 4 meses antes doseu vencimento, tendo sido concedido 
um desconto à taxa de 10% ao mês. De 
quanto foi o valor pago pelo título? 
 
15) Crie uma questão envolvendo um 
único título e um prazo maior que 15 dias 
cuja resposta seja $50.000. (Não é 
necessário apresentar a resolução desta 
questão) 
 
 
16) Copie e resolva a questão inventada 
por outro colega para o item 15 desta 
lista.