ASL 4 Series de FOURIER Convolucao Codigos matlab Exercicios Resolvidos

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Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica 
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Prof. Fernando Nogueira de Lima 
148
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRANSITÓRIOS EM SISTEMAS LINEARES E ESTACIONÁRIOS: ANÁLISE 
NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA - SÉRIES DE FOURIER. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 “O excesso de autoconfiança pode comprometer a competência” 
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INTRODUÇÃO 
 Os conhecimentos matemáticos sobre Series de FOURIER são utilizáveis em 
diversas áreas do saber. Neste material didático serão enfocadas aplicações na área de 
telecomunicações e de qualidade da energia. Para entendimento das demonstrações 
matemáticas aqui desenvolvidas é necessário o conhecimento da ortogonalidade das 
funções seno e coseno , assim como sobre as equações de EULER. 
SERIES TRIGONOMÉTRICAS DE FOURIER 
 Aproveitando as propriedades de ortogonalidade das funções seno e coseno é 
possível representar qualquer função periódica em termos dessas funções, utilizando os 
chamados coeficientes de FOURIER, que nada mais são do que três integrais definidas em 
um período completo T. Ou seja, se uma determinada função f(t) é uma função periódica de 
período T é possível representa-la pela serie trigonométrica seguinte: 
 
0
1
( ) cos
2 n nn
af t a n t b sen n tω ω
∞
=
= + +∑ (1) 
Onde ω = 2pi /T 
 Integrando ambos os lados da equação (1) em um período, temos: 
 ( ) ( )2 2 0
2 2
1
( ) cos
2
T T
n nT T
n
af t dt a n t b sen n t dtω ω
∞
− −
=
 
= + + 
 
∑∫ ∫ (2) 
 Considerando que a integral da função seno, assim como a integral da função 
coseno , em um período, é igual a zero, então a equação (2) pode ser apresentada na forma 
que segue: 
 
2 2 0
2 2
( )
2
T T
T T
af t dt dt
− −
 
=  
 
∫ ∫ 
ou 
 
2 0
2
( )
2 2 2
T
T
a T Tf t dt
−
 
= + 
 
∫ 
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Daí, 
 
2
0 2
2 ( )T
T
a f t dt
T −
= ∫ (3) 
 Utilizando as relações de ortogonalidade podemos determinar os coeficientes 
n na e b da Série de FOURIER multiplicando ambos os lados da equação (1) por ( )cos m tω 
e integrando no intervalo
 
[ -T/2, T/2], assim: 
 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 0
2 2
1
( ) cos cos cos
2
T T
n nT T
n
af t m t dt a n t b sen n t m t dtω ω ω ω
∞
− −
=
 
= + + 
 
∑∫ ∫ (4) 
 
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 0
2
1
( ) cos
cos cos cos cos
2
T
T
T
n nT
n
f t m t dt
a
m t a n t m t b sen n t m t dt
ω
ω ω ω ω ω
−
∞
−
=
=
 
+ + 
 
∫
∑∫
 
 
( )
2
2
2
2
1
( ) cos
1
cos cos( )
2
T
T
T
n nT
n
f t m t dt
a n m t a n m t dt
ω
ω ω
−
∞
−
=
=
 
+ + − 
 
∫
∑∫
 
 
2
2
2
2
1
( ) cos
1
cos( )
2
T
T
T
nT
n
f t m t dt
a n m t dt
ω
ω
−
∞
−
=
=
 
− 
 
∫
∑∫
 (5) 
Quando n m= 
 [ ]2 2
2 2
1( )cos cos(0)
2
T T
nT T
f t n t dt a t dtω
− −
=∫ ∫ (6) 
 ( )2
2
1( )cos
2
T
nT
f t n t dt a Tω
−
=∫ (7) 
Isolando na temos: 
 
2
2
2 ( )cosTn Ta f t n t dtT ω−= ∫ (8) 
 Analogamente multiplicando a equação (1) por ( )sen m tω e integrando termo por 
termo entre os limites [ -T/2, T/2], temos: 
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 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 0
2 2
1
( ) cos
2
T T
n nT T
n
af t sen m t dt a n t b sen n t sen m t dtω ω ω ω
∞
− −
=
 
= + + 
 
∑∫ ∫ (9) 
 
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 0
2
1
( ) ( )
cos
2
T
T
T
n nT
n
f t sen m t dt
a
sen m t a n t sen m t b sen n t sen m t dt
ω
ω ω ω ω ω
−
∞
−
=
=
 
+ + 
 
∫
∑∫
 
 
( )
2
2
2
2
1
( )
1
cos cos( )
2
T
T
T
n nT
n
f t sen m t dt
b n m t b n m t dt
ω
ω ω
−
∞
−
=
=
 
− − + 
 
∫
∑∫
 
 
2
2
2
2
1
( )
1
cos( )
2
T
T
T
nT
n
f t sen m t dt
b n m t dt
ω
ω
−
∞
−
=
=
 
− 
 
∫
∑∫
 (10) 
Quando n m= , 
 [ ]2 2
2 2
1( ) cos(0)
2
T T
nT T
f t sen n t dt b t dtω
− −
∫ ∫ (11) 
 ( )2
2
1( )
2
T
nT
f t sen n t dt b Tω
−
=∫ (12) 
Isolando nb temos: 
 
2
2
2 ( )Tn Tb f t sen n t dtT ω−= ∫ (13) 
 
 Os três termos 0 , n na b e c são chamados de coeficientes de FOURIER e a equação 
(1) é denominada série trigonométrica de Fourier. 
 Quando a função ( )f t for par: ( ) ( )f t f t= − os coeficientes nb serão nulos. Por sua 
vez, quando a função ( )f t for impar: ( ) ( )f t f t= − − então os coeficientes na serão nulos. 
Nesses casos, o esforço matemático para calcular aqueles coeficientes é reduzido. 
 O coeficiente 0a pode ser determinado calculando a área ao longo do período, 
multiplicada por 2/T. 
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A forma fase-ângulo da Série Trigonométrica de FOURIER é dada por: 
( )0
0
( ) cos
2 n nn
af t c n tω δ
∞
=
= + +∑ (14) 
Onde 
( )12 2 2 1, 2,3...n n nc a b n= + = (15) 
1 1, 2,3,...nn
n
b
tg n
a
δ −  = − = 
 
 (16) 
 
SERIES EXPONENCIAIS DE FOURIER 
 Em muitas aplicações das Sériesde FOURIER é conveniente representar essas 
séries em termos de exponenciais complexos, do tipo: 
 
j te ω± 
Sendo a Série de FOURIER de uma função f(t) periódica dada por: 
 
0
1
( ) cos
2 n nn
af t a n t b sen n tω ω
∞
=
= + +∑ (17) 
Onde ω = 2pi /T 
 E considerando que as funções seno e coseno , também podem ser apresentadas na 
forma exponencial a partir das Equações de EULER, ou seja: 
( )1cos 2 jn t jn tn t e eω ωω −= + (18) 
 ( )12 jn t jn tsen n t e ej ω ωω −= − (19) 
Então, substituindo essas equações na equação (15) temos: 
( ) ( )0
1
1 1( )
2 2 2
jn t jn t jn t jn t
n n
n
af t a e e b e ej
ω ω ω ω
∞
− −
=
= + + + −∑ (20) 
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 ( ) ( )0
1
1( )
2 2
jn t jn t
n n n n
n
af t a b j e a b j eω ω
∞
−
=
= + − + +∑ (21) 
Fazendo: 
0 0
1
2
c a= (22) 
( )1
2n n n
c a jb= − (23) 
 ( )1
2n n n
c a jb
−
= + (24) 
Então 
2 2
2 1 0 1 2( ) ... ...j t j t j t j tf t c e c e c c e c eω ω ω ω− − −− −= + + + + + + (25) 
Ou 
 0
1
( ) jn t jn tn n
n
f t c c e c eω ω
∞
−
−
=
= + +∑ (26) 
Simplificando: 
 ( ) 0 jn tn
n
f t c c e ω
∞
=−∞
= + ∑ (27) 
 Que é conhecida como forma complexa da Série de FOURIER ou Série Complexa 
de FOURIER da função f(t). 
 As integrais dos coeficientes nc são obtidas multiplicando ambos os membros da 
equação tal por jn te ω− e em seguida integrando essa equação no intervalo de um período. 
Assim: 
2
2
1 ( )T jn tn Tc f t e dtT
ω−
−
= ∫ (28) 
 
 
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EXEMPLO NUMÉRICO 1 
Considere uma função ( )f t = tal que ( ) ( )6f t f t= + definida como segue: 
( )f t = -1 para -3 < t < 0 
 ( )f t = 1 para 0 < t < 3 
 
 Fig.1 - Forma de onda quadrada 
 
Determinação dos coeficientes de FOURIER: 
 ( ) ( )0 30 3 0
1 1 0 3 3 0 0
3 3
a dt dt
−
   = − + = − + + − =   ∫ ∫ 
 O que era de esperar tendo em vista que o valor médio da função f(t) em um período 
é igual à zero. 
 
3 0 3
3 3 0
0 3
3 0
1 1( )cos( ) ( 1)cos( ) (1)cos( )
3 3
1 ( ) ( ) 0
3
na f t n t dt n t dt n t dt
sen n t sen n t
n n
ω ω ω
ω ω
ω ω
− −
−
 
= = − +
  
 
= − + =  
∫ ∫ ∫
 
Para n=1, 2, 3,... 
 Resultado previsível, na medida em que a função ( )f t é uma função impar. 
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1 
-0.8 
-0.6 
-0.4 
-0.2 
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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3 0 3
3 3 0
0 3
3 0
1 1( ) ( ) ( 1) ( ) (1) ( )
3 3
1 cos( ) cos( )
3
nb f t sen n t dt sen n t dt sen n t dt
n t n t
n n
ω ω ω
ω ω
ω ω
− −
−
 
= = − +
  
 
= −  
∫ ∫ ∫
 
 
Sabemos que cos( ) cos( ) cos(0) 1eθ θ− = = , então: 
 
 [ ]1 cos(0) cos( 3 ) cos(3 ) cos(0)
3n
b n n
n
ω ω
ω
= − − − + 
 
Neste caso 2
3T
pi pi
ω = = , logo: 
 
 ( )2 1 cosnb n
n
pi
pi
 = −  
Daí, 
1 2
4
; 0b b
pi
= = 
3 4
4
; 0
3
b b
pi
= = 
 5 6
4
; 0
5
b b
pi
= = 
 
Portanto: 
 
 ( ) ( ) ( )4 4 4( ) 3 5 ...
3 5
f t sen t sen t sen tω ω ω
pi pi pi
= + + + 
 
Ou, 
 ( ) ( ) ( )4 1 1( ) 3 5 ...
3 5
f t sen t sen t sen tω ω ω
pi
 
= + + +  
 
 
 
 
 A seguir serão apresentadas formas de ondas obtidas por meio de programas 
computacionais desenvolvidos no ambiente MATLAB. 
 
 
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-3 -2 -1 0 1 2 3
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Forma de onda
 
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Forma de onda
 
 
 n = 1 n = 3 
 
 
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Forma de onda
 
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Forma de onda
 
 
 n = 9 n = 19 
 
 
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Forma de onda
 
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Forma de onda
 
 
 n = 49 n = 99 
 
 
 
 Fig.2 - Formas de ondas para diferentes contribuições de harmônicas 
 
 
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 n = 3 
 
 
 
 n = 5 
 
 Fig.3 - Composição da Forma de onda 
 
 
 
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1.5 
-1 
-0.5 
0
0.5
1
1.5
Composição da forma de onda
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1.5 
-1 
-0.5 
0
0.5
1
1.5
Composição da forma de onda
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Construção de uma ondaquadrada: o efeito Gibbs
 
 
 n = 9 
 
 Fig.4 - Visualização do efeito GIBBS em duas dimensões 
 
 
 n = 20 
 Fig.5 - Visualização do efeito GIBBS em três dimensões 
 
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REPRESENTAÇÃO DE SINAIS PERIÓDICOS NÃO SENOIDAIS 
 
 
FORMA DE ONDA 
 
A representação dos valores instantâneos de um sinal em função do tempo é 
denominada de Forma de onda. 
 
 
TEOREMA DE FOURIER 
 
O Teorema de Fourier estabelece que todo sinal periódico não senoidal pode ser 
decomposto em uma série de ondas senoidais com freqüências múltiplas inteiras, da 
freqüência fundamental. Cada uma dessas ondas tem uma determinada amplitude, 
acrescida, em alguns casos, de uma componente contínua, ou seja, de freqüência zero. As 
ondas senoidais de freqüências múltiplas da fundamental são denominadas harmônicas. 
 
Um sinal senoidal é facilmente obtido e sua especificação se resume à freqüência, à 
amplitude e à sua fase. Portanto, a análise de sinais periódicos complexos pode ser 
transformada na análise de um conjunto de sinais senoidais distintos. 
 
 
ESPECTRO 
 
A representação de um sinal senoidal por meio de um gráfico que mostra a 
amplitude versus a freqüência é conhecida por Espectro de linha. Para um sinal periódico e 
não senoidal o Espectro de linha apresenta, num único gráfico, as diversas componentes 
senoidais em que o sinal original pode ser decomposto, em termos da freqüência e 
respectiva amplitude. 
 
 
ESPECTOGRAMA 
 
A representação da evolução dos espectros de linha do sinal em função do tempo é 
denominada Espectrograma. 
 
As figuras a seguir apresentam o Espectro de linhas e o Espectrograma de uma 
onda quadrada, definida como segue: 
 
( ) 1 0f t para tω ω pi= ≤ ≤ 
 
 
 
 
 
 
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Espectro de Linha
Va
lo
r 
da
 
Ha
rm
ôn
ic
a
 nº da Harmônica
 
 n = 9 
 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Espectro de Linha
Va
lo
r 
da
 
Ha
rm
ôn
ic
a
 nº da Harmônica
 
 n = 20 
 
 Fig. 6 - Espectros de linha de uma onda quadrada 
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 Fig.7 - Espectrograma de uma onda quadrada 
 
 Observe a componente de maior nível (fundamental) em 1000 Hz com cor 
vermelha. O harmônico 9, em 9000 Hz é bem mais fraco, de cor azul claro. Neste caso 
particular, o espectrograma não traz muita informação suplementar, em relação ao espectro, 
a não ser a confirmação de que a freqüência do sinal é constante no tempo. Entretanto, o 
espectrograma é de fundamental importância para analisar a evolução espectral de um sinal 
complexo e variável no tempo, como por exemplo, um sinal de voz ou áudio. O 
espectrograma também pode ser mostrado de forma tridimensional, como no exemplo 
abaixo, onde o espectro e desenhado normalmente e em seguida empurrado para traz com 
um pequeno deslocamento para dar lugar a um novo espectro. Ficam visíveis além do 
espectro atual, os espectros passados no tempo. 
 
 Fig.8 - Espectrograma na forma tridimensional 
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EXEMPLO NUMÉRICO 2 
Considere uma função ( )f t tal que ( )f t = ( )6f t + definida como segue: 
( ) Vf t t
T
= 
 
 Fig.9 - Forma de onda dente de serra 
Determinação dos coeficientes de Fourier: 
 
2 66
0 0 `0
2 20 40
6 6 36 2
t
a t dt  = =  
 
∫ 
0
40 36 0
36 2
a
 
= − 
 
 
0 20a = 
Cálculo de 
na 
( )6
0
2 20
cos
6 6n
a t n t dtω= ∫ 
Utilizando o método de integrais por partes: 
;u t du dt= =
 
( ) ( )1cos ;dv n t dt v sen n t
n
ω ω
ω
= = 
0 2 4 6 8 10 12 14 
0 
2 
4 
6 
8 
10
12
14
16
18
20
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Então 
( ) ( )40 1
36n
t
a sen n t sen n t dt
n n
ω ω
ω ω
 
= −  
∫ 
Resolvendo a integral indefinida 
( ) ( )
6
2 2
0
40 1
cos
36n
t
a sen n t n t
n n
ω ω
ω ω
 
= +  
 
( ) ( ) ( )2 2 2 240 6 1 16 cos 6 cos 036na sen n nn n nω ωω ω ω
    
= + −    
    
 
( ) ( ) ( )2 2 2 240 18 9 92 cos 2 cos 0 036na sen n nn n npi pipi pi pi
    
= + − =    
    
 
 ( )6
0
2 20
6 6n
b t sen n t d tω= ∫ 
Utilizando o método de integrais por partes: 
;u t du d t= = 
( ) ( )1; cosdv sen n t dt v n t
n
ω ω
ω
= = − 
Então 
( ) ( )40 1cos cos
36n
tb n t n t dt
n n
ω ω
ω ω
 
= − − −  
∫ 
( ) ( )
6
2 2
0
40 1
cos
36n
tb n t sen n t
n n
ω ω
ω ω
 
= − +  
 
( ) ( )2 240 18 9cos 2 2 036nb n sen nn npi pipi pi
  
= − + −  
  
 
( )20 cos 2nb n
n
pi
pi
= − 
 
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164
Portanto a função original pode ser escrita na forma que segue: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 10 20 510 2 3 4 ....
3
f t sen t sen t sen t sen tω ω ω ω
pi pi pi pi
= − − − − − 
ou 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 12 3 4 ....2010 2 3 4
sen t sen t sen t sen tf t ω ω ω ω
pi
 
+ + + − 
= −
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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165
 
 
 
 
0 1 2 3 4 5 6
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Forma de onda
 
0 1 2 3 4 5 6
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Forma de onda
 
 
 n = 2 n = 3 
 
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
15
20
25
Forma de onda
 
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
15
20
25
Forma de onda
 
 
 n = 10 n = 15 
 
 
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
15
20
25
Forma de onda
 
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
15
20
25
Forma de onda
 
 
 n = 40 n = 100 
 
 
 
 Fig.10 - Formas de ondas para diferentes contribuições de harmônicas 
 
 
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0 1 2 3 4 5 6 
-10 
-5 
0 
5 
10 
15 
20 
 
 n = 2 
 
 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 
-10 
-5 
0 
5 
10 
15 
20 
 
 n =3 
 
 Fig.11 - Formas de ondas para diferentes contribuições de harmônicas 
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
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167
 
 
0 1 2 3 4 5 6 7
0
2
4
6
8
10
12
 Espectro de Linha 
no. Harmônica
Va
lo
r 
da
 
Ha
rm
ôn
ic
a
 
 n = 7 
 
0 5 10 15
0
2
4
6
8
10
12
 Espectro de Linha 
no. Harmônica
Va
lo
r 
da
 
Ha
rm
ôn
ic
a
 
 n = 15 
 Fig. 12 - Espectro de linhas para diferentes contribuições de harmônicas 
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168
EXEMPLO LITERAL 1 
Considere uma função ( )f tω tal que ( )f tω = ( )2f tω pi+ definida como segue 
( ) 0Vf t t para tω ω ω pi
pi
= ≤ ≤ 
 
( ) 0 2f t para tω pi ω pi= ≤ ≤ 
 
 Fig.13 - Forma de onda dente de serra 
 
Determinando os Coeficientes de FOURIER 
 
0 0
2
2
V
a t d t
pi
ω ω
pi pi
= ∫ 
 
( )2 20 2 202 2
V t V
a
piω
pi
pi pi
= = 
 
0 2
V
a = 
 
0
1
cosn
V
a t n t d t
pi
ω ω ω
pi pi
= ∫ 
Utilizando o método de integrais por partes: 
;u t du d tω ω= = 
1
cos ;dv n t v sen t d t
n
ω ω ω= = 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 
0 
5 
10
15
20
25
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
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169
Assim 
2
1
n
V t
a senn t senn t d t
n n
ω
ω ω ω
pi
 
= −  
∫ 
Resolvendo a integral indefinida 
2 2 0
1
cosn
V t
a senn t n t
n n
piω
ω ω
pi
 
= +  
 
 
2 2 2
1 1
cos 0 cos0n
V
a senn n
n n n
pi
pi pi
pi
    
= + − +        
 
 
2 2 2
1 1
cosn
V
a n
n n
pi
pi
 
= − 
 
 
 
( )2 2 cos 1n Va nn pipi= − 
 
0
1
n
Vb t senn t d t
pi
ω ω ω
pi pi
= ∫ 
Utilizando o método de integrais por partes: 
;u t du d tω ω= = 
 
1
; cosdv senn t v n t
n
ω ω= = − 
Assim 
2
1
cosn
V tb con t n t d t
n n
ω
ω ω ω
pi
 
= − − −  
∫ 
Resolvendo a integral indefinida 
2 2
`0
1
n
V tb con t senn t
n n
piω
ω ω
pi
 
= − +  
 
 
2 2
1 0n
Vb con senn
n n
pi
pi pi
pi
  
= − + −    
 
 
cosn
Vb n
n
pi
pi
= − 
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170
Portanto a função original pode ser escrita na forma que segue: 
 
( ) 22 1 1 1 1cos cos3 cos5 ... 2 3 ...4 9 25 2 3
V V Vf t t t t sen t sen t sen tω ω ω ω ω ω ω
pipi
   
= − + + + + − + −   
   
 
 
EXEMPLO NUMÉRICO 3 
 
 Considere um ramo RC série (R=10Ω, C=80µF), alimentado por um sinal, com 
período de 2pi , do tipo indicado na figura 14. Calcular: a) O valor eficaz de tensão e de 
corrente; b) a potência média dissipada no circuito; c) as contribuições de dissipação de 
potência de cada harmônica; d) a tensão nos terminais do capacitor devido a cada 
harmônica; e) o THD de tensão e de corrente, do sistema, fazendo ω=500rad/s. 
 
 
 
 
 
 
 Fig.14 - Forma de onda Trem de pulsos 
 
 
Decompondo a função de excitação em séries de FOURIER, tem-se: 
 
[ ]00 2 200200 02a d tpi ω pipi pi−= = +∫ 
 
0 200a = 
 
0na = 
 
0200
nb senn t d tpi ω ωpi −
= ∫ 
 
-4 -2 0 2 4 6 8 10 
0 
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
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171
( )0200 200cos cos0 cosnb n t n
n npi
ω pi
pi pi−
 = − = − − −  
 
( )200 1 cosnb n
n
pi
pi
= − − 
 
1 2
400
; 0b b
pi
= − = 
 
3 4
400
; 0
3
b b
pi
= − = 
 
Portanto 
 
( ) 400 1 1100 3 5 ...
3 5i
V t sen t sen t sen tω ω ω ω
pi
 
= − + + +  
 
Ou 
 
( ) 100 127, 4 500 42, 46 1500 25, 47 2500 ...iV t sen t sen t sen tω = − − − − 
 
 
a) Cálculo dos valores eficazes 
 
Para a tensão: 
 
x
1
2
2 2 2 2
0 1 2 3ma max max
1 1 1
...
2 2 2ef
V V V V V = + + + +  
 
 
( ) ( ) ( )
1
22 2 22 1 1 1100 127,32 42,44 25,47
2 2 2ef
V  = + + +  
 
 
139,03efV volts= 
 
Para a corrente 
 
500ω = 
 
1
1 10 25 26,92 /_ 68,2Z R j j
Cω
= − = − = − ° 
 
( )1max1
1
4,73 500 68,2
V
I sen t
Z
= = + ° 
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172
1500ω = 
 
3
1 10 8,33 13,02 /_ 39,80Z R j j
Cω
= − = − = − ° 
 
( )3max3
3
3, 26 1500 39,80
V
I sen t
Z
= = + ° 
2500ω = 
 
5
1 10 5 11,18 /_ 26,56Z R j j
Cω
= − = − = − ° 
 
( )5max5
5
2, 28 2500 26,56
V
I sen t
Z
= = + ° 
Daí, 
 
( ) ( ) ( ) ( )10 4,73 500 68, 2 3, 26 1500 39,80 2,28 2500 26,56i t sen t sen t sen tω = − + ° − + ° − + °
 
Daí, 
1
2
2 2 2 2
0 1 2 3
max max max
1 1 1
...
2 2 2ef
I I I I I = + + + +  
 
 
 
( ) ( ) ( )
1
22 2 22 1 1 110 4,73 3, 26 2, 28
2 2 2ef
I  = + + +  
 
 
 
10,91efI A= 
 
b) cálculo da potência média do circuito. 
 
2 210.(10,91)efP RI= = 
 
1190,99P watts= 
 
c) contribuições de dissipação de potência do valor médio e de cada harmônica 
 
0 0 0 1000P V I watts= = 
 
1 1 1 1
max max
1
cos 118,82
2
P V I wattsθ= = 
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2 2 2 2
max max
1
cos 53,17
2
P V I wattsθ= = 
 
3 3 3 3
max max
1
cos 25,97
2
P V I wattsθ= = 
 
0 1 2 3 1190,96TP P P P P watts= + + + = 
 
d) Tensão nos terminais do capacitor 
 
 A função de transferência, no domínio da freqüência, tendo a tensão nos terminais 
do capacitor como saída é dada por: 
 
( )
( )
0
1
1i
V j j C
V j
Rj C
ω ω
ω
ω
 
 
 
=
 
+ 
 
 
 
 
( )
( )
0
1
1i
V j j C
V j j RC
j C
ω ω
ω ω
ω
 
 
 
=
 +
 
 
 
Assim, 
 
( )
( )
0 1 1
1i
V j
V j R j C
R
ω
ω
ω
=
 
+ 
 
 
 
Para o valor médio 
 
( )0 100V dc = 
 
Para 500ω = 
 
( )
( ) ( )
0 0,1 0,928 /_ 21,8
0,1 0,04i
V j
V j j
ω
ω
= = − °
+
 
 
( ) ( )0 0,928 /_ 21,8 .127,39V jω = − ° 
 
( )0 118, 2 /_ 21,8V jω = − ° 
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( )0 118, 2 (500 21,8 )v t sen t= − ° 
 
Para 1500ω = 
 
( )
( ) ( )
0 0,1 0,156 /_ 50,19
0,1 0,12i
V j
V j j
ω
ω
= = − °
+
 
 
( ) ( )0 3º 0,156 /_ 50,19 .42,46V H = − ° 
 
( )0 3º 6,63/_ 50,19V H = − ° 
 
( )0 6,63 (500 50,19 )v t sen t= − ° 
 
Para 2500ω = 
 
( )
( ) ( )
0 0,1 0,223/_ 63,43
0,1 0,2i
V j
V j j
ω
ω
= = °
+
 
 
( ) ( )0 5º 0,223/_ 63,43 .25,47V H = − ° 
 
( )0 5º 5,69 /_ 63,43V H = − ° 
 
( )0 5,69 (500 63, 43 )v t sen t= − ° 
 
Portanto 
 
( )0 100 118,2 (500 21,8 ) 6,63 (1500 50,19 ) 5,69 (2500 63,43 ) ...V t sen t sen t sen tω = − − ° − − ° − − ° + 
 
 
e) cálculo dos THD (Distorção Harmônica Total) 
 
Para a Tensão 
 
( ) 100 127,4 500 42,46 1500 25,47 2500 ...iV t sen t sen t sen tω = − − − − 
 
1
2 22
2 2
21 1
m n
efdc
V
n
ef ef
VV
THD
V V
=
 
 = +
 
 
∑ 
 
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
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175
1
2 2 2 2
2 2 2
100 30,02 18,01
90,08 90,08 90,08V
THD
 
= + + 
 
 
 
1,176VTHD = 
 
 
Ou a partir do valor eficaz de tensão, como segue: 
 
 
1
2 2
1
1efV
ef
V
THD
V
  
 = −     
 
1
2 2139,03 1 1,176
90,08V
THD
  
= − =  
   
 
 
Para a corrente 
 
( ) ( ) ( ) ( )10 4,73 500 68, 2 3, 26 1500 39,8 2, 28 2500 26,56I t sen t sen t sen tω = − + ° − + ° − + °
 
1
2 22
2 2
21 1
m n
efdc
I
n
ef ef
II
THD
I I
=
 
 = +
 
 
∑ 
 
1
2 2 2 2
2 2 2
10 2,3 1,6
8,96 0,47 0,23I
THD
 
= + + 
 
 
 
3,11ITHD = 
 
Ou a partir do valor eficaz da corrente, como segue: 
 
 
1
2 2
1
1efI
ef
I
THD
I
  
 = −     
 
 
1
2 210,91 1 3,11
3,34I
THD
  
= − =  
   
 
 
 
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Conhecendo as taxas de distorção total da corrente e da tensão é possível então 
determinar os valores eficazes verdadeiros para a tensão e para a corrente, respectivamente, 
como segue: 
 
2
1 1 10,91ef I
ef
I I THD A= + = 
 
2
1 1 139,03ef V
ef
V V THD volts= + = 
 
 
EXEMPLO NUMÉRICO 4 
Considere uma função ( )f tω tal que ( )f tω = ( )2f tω pi+ definida como segue: 
( )
2
Vf t tω ω
pi
= 
 
 Fig. 15 - Forma de onda dente de serra 
 
Determinação dos coeficientes de Fourier: 
 ( )2 220 2 00
2 20 10
2 2 2
a t d t t
pi pi
ω ω ω
pi pi pi
 = =
 ∫ 
( )20 25 4 0a pipi= − 
0 20a = 
0 2 4 6 8 10 12 14 
0 
2 
4 
6 
8 
10
12
14
16
18
20
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Cálculo de 
na 
( )2
0
2 20
cos
2 2n
a t n t d t
pi
ω ω ω
pi pi
= ∫ 
Utilizando o método de integrais por partes: 
 
;u t du d tω ω= =
 
( ) ( )1cos ;dv n t d t v sen n t
n
ω ω ω= = 
Tem-se 
( ) ( )210 1n ta sen n t sen n t d tn n
ω
ω ω ω
pi
 
= −  
∫ 
Resolvendo a integral indefinida 
( ) ( )
2
2 2
0
10 1
cosn
t
a sen n t n t
n n
pi
ω
ω ω
pi
 
= +  
 
( ) ( ) ( )2 2 210 2 1 12 cos 2 cos 0na sen n nn n n
pi
pi pi
pi
    
= + −    
    
 
0na = 
 ( )2
0
2 20
2 2n
b t sen n t d t
pi
ω ω ω
pi pi
= ∫ 
Utilizando o método de integrais por partes: 
 ;u t du d tω ω= = 
( ) ( )1; cosdv sen n t d t v n t
n
ω ω ω= = − 
Tem-se 
( ) ( )210 1cos cosn tb n t n t d tn n
ω
ω ω ω
pi
 
= − − −  
∫ 
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( ) ( )
2
2 2
0
10 1
cosn
tb n t sen n t
n n
pi
ω
ω ω
pi
 
=− +  
 
( ) ( )2 210 2 1cos 2 2 0nb n sen nn n
pi
pi pi
pi
  
= − + −  
  
 
( )20 cos 2nb n
n
pi
pi
= − 
Portanto a função original pode ser escrita na forma que segue: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 10 20 510 2 3 4 ....
3
f t sen t sen t sen t sen tω ω ω ω ω
pi pi pi pi
= − − − − − 
ou 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 12 3 4 ....2010 2 3 4
sen t sen t sen t sen tf t ω ω ω ωω
pi
 
+ + + + 
= −
 
 
 
Outra opção para resolver essa questão é utilizar a fórmula exponencial de Fourier, 
como segue: 
0
0 102
aC = = 
2
0
1 20
2 2
jn t
n
C t e d t
pi ωω ω
pi pi
−
 
=  
 
∫ 
ou 
( )
2
2 0
20
2
jn t
nC t e d t
pi ωω ω
pi
−
= ∫ 
 
Fazendo, 
u t du d tω ω= = 
jn t
jn t edv e v jn
ω
ω
−
−
= =
−
 
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Então, 
( )2
20
2
jn t
jn t
n
t eC e d tjn jn
ω
ωω ω
pi
−
−
 
= − 
− − 
∫ 
( ) ( )2 2
20
2
jn t
jn t
n
t eC ejn jn
ω
ωω
pi
−
−
 
= − 
−
−  
 
( ) ( ) ( )
2
2 2 0
20 1
2
jn t
n
eC jn t
jn
ω pi
ω
pi
− 
= − − 
−  
 
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 0
cos20 1
2
n
n t jsen n t
C jn t
jn
piω ω
ω
pi
 
−
= − − 
−  
 
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )2 2 2
cos 2 220 12 1
2
n
n jsen n
C jn
jn jn
pi pi
pi
pi
 
−
= − − + 
− −  
 
( )
( )
( ) ( )2 2 2
2 120 1
2
n
jn
C
jn jn
pi
pi
 
− −
= + 
− −  
 
( )
( )
( )2 2
2 1 120
2
n
jn
C
jn
pi
pi
 
− − +
=  
−  
 
daí 
10
n
C j
npi
= 
 
Portanto 
2 25 10 10 5( ) ... 10 ..j t j t j t j tf t j e j e j e j eω ω ω ωω
pi pi pi pi
− −
       
= − − + + + +       
       
 
 
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180
A partir da forma exponencial é possível determinar a respectiva forma 
trigonométrica, como segue: 
0 02a C= 
10 10
n n na C C j j
n npi pi−
= + = +
−
 
0na = 
( ) 10 10n n nb j C C j j j
n npi pi−
 
= − = − 
− 
 
20
nb
npi
= − 
Assim 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 12 3 4 ....2010 2 3 4
sen t sen t sen t sen tf t ω ω ω ωω
pi
 
+ + + + 
= −
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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181
EXEMPLO NUMÉRICO 5 
Considere uma função ( )f tω tal que ( )f tω = ( )2f tω pi+ definida como segue: 
( ) 30 30 0f t t para tω ω pi ω
pi
= + − ≤ ≤ 
( ) 30 30 0f t t para tω ω ω pi
pi
= − + ≤ ≤ 
 
 
 Fig.16 - Forma de onda Triangular 
 
Determinação dos Coeficientes de Fourier 
0
0 0
2
2
K K
a t K d t t K d t
pi
pi
ω ω ω ω
pi pi pi−
    
= + + − +    
    
∫ ∫ 
2 20
0 02 2
K t t
a t t
pi
pi
ω ω
ω ω
pi pi pi−
    
= + + − +    
     
 
2 2
0 0 2 2
K
a
pi pi
pi pi
pi pi pi
 
= − + − + 
 
 
0 2 2
K
a
pi pi
pi pi
pi
 
= − + − +  
 
0a K= 
-4 -2 0 2 4 6 8 10 
0 
5 
10
15
20
25
30
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182
0
0
2
cos cos
2n
K K
a t K n t d t t K n t d t
pi
pi
ω ω ω ω ω ω
pi pi pi−
    
= + + − +    
    
∫ ∫ 
0 02
cos cos
2n
K
a t n t d t K n t d t
pi pi
ω ω ω ω ω
pi pi− −
  
= + + 
 
∫ ∫ 
 
0 0
cos cos
K
t n t d t K n t d t
pi pi
ω ω ω ω ω
pi
 
− +  
  
∫ ∫ 
fazendo 
;u t du d tω ω= = 
1
cos ;dv n t v sen n t
n
ω ω= = 
Tem-se 
0
2
1
cosn
K t K
a sen n t sen n t d t n t d t
n n pi
ω
ω ω ω ω ω
pipi −
 
= − + + 
 
∫ ∫ 
2 0
1
cos
K t K
sen n t sen n t d t K n t d t
n n
piω
ω ω ω ω ω
pipi
 
− − + 
 
∫ ∫ 
( )0 02 21 cosn K t Ka sen n t n t sen n tn nn pi pi
ω
ω ω ω
pipi − −
 
= + + 
 
 
( )2 2 0 0
1
cos
K t K
sen n t n t sen n t
n nn
pi piω
ω ω ω
pipi
 
− + + 
 
 
( ) ( ){ }2 2 1 cos cos 1n Ka n nn pi pipi    = − − − −    
Sendo 
( ) ( )cos cosn npi pi= − 
então 
( ) ( ){ }2 2 1 cos 1 cosn Ka n nn pi pipi    = − + −    
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183
ou 
( )2 22 1 cosn Ka nn pipi= − 
Sendo a função ( )f tω par então 
0nb = 
Portanto 
( ) 2120 1 130 cos cos 3 cos 5 ...9 25f t t t tω ω ω ωpi
 
= + + + +  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ninguém é insubstituível. Só os arrogantes pensam assim e estão equivocados. 
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184
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRANSITÓRIOS EM SISTEMAS LINEARES E ESTACIONÁRIOS: CONVOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aquele que convive apenas com pessoas medíocres, 
Mais cedo ou mais tarde será um deles, 
 Ou será confundido com eles 
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185
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
A convolução encontra ampla aplicação nas diversas áreas da Engenharia Elétrica. 
Entre outras aplicações, pode ser utilizada para determinar a resposta estado zero deum 
determinado sistema, a qual é obtida fazendo-se a convolução entre o sinal de excitação 
e a resposta ao impulso desse sistema. Também se apresenta como poderosa ferramenta 
para encontrar a transformada inversa de LAPLACE de funções complexas. Além disso, 
por meio do Teorema da Convolução é amplamente utilizada em processamento digital 
de imagens. 
 
 
 
CONVOLUÇÃO DE FUNÇÕES 
 
Sejam ( )f f t= e ( )g g t= funções integráveis e cujo produto também seja uma 
função integrável, então a convolução ou produto de convolução é definida como 
segue: 
 
( ) ( )
0
*
tf g f g t dτ τ τ= −∫ 
 
onde o operador denota a operação de convolução . 
 
 
 
PROPRIEDADES 
 
Para a convolução de funções são válidas as propriedades que seguem: 
 
 
1. Comutativa: * *f g g f= 
 
2. Associativa: *( * ) ( * ) *f g h f g h= 
 
3. Distributiva: *( ) ( * ) ( * )f g h f g f h+ = + 
 
4. Nulidade: *0 0f = 
 
5. Identidade: * ( )f t fδ = onde ( )tδ é a função delta de Dirac. 
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186
CONVOLUÇÃO ENTRE DOIS PULSOS RETANGULARES 
 
 
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
Função Pulso retangular 
 
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
Função Pulso retangular 
 
 Fig. 1 – Pulso retangular 
 
Ao deslocarmos a função ( )W τ para a esquerda, gerando a função ( )W t τ− , tanto 
uma quanto a outra extremidade dessa função deve ser deslocada de +t, tornando-se 
( )1 t− + e ( )1 t+ , respectivamente. Assim, a convolução começará a ser diferente de zero 
no instante em que ( )1 1t+ = − ou seja, 2t = − . Pelo mesmo raciocínio, a convolução será 
máxima quando ( )1 1t+ = ou seja, 0t = e tornando-se zero a partir do instante em que 
( )1 1t− + = , ou 2t = . 
 
( ) ( ) ( )
2 0
11
* 4 4 4 1 41 1
4 4 4
4 8
t
ttV t W t d t
t
t
τ τ τ
− ≤ ≤
++
− = = = + +∫
−
−
= + +
= +
 
( ) ( ) ( )
0 2
11
* 4 4 4 4 11 1
4 4 4
4 8
t
V t W t d tt t
t
t
τ τ τ
≤ ≤
− = = = − − +∫
− +
− +
= + −
= − +
 
 
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
convolução 
 
 Fig. 2 – Convolução de dois pulsos retangulares 
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187
TEOREMA DA CONVOLUÇÃO 
 
A transformada de Laplace do um produto de duas funções não é igual ao produto 
das transformadas de Laplace das duas funções. No entanto, existe uma operação entre 
funções que, quando transformadas, dá o produto das transformadas das duas funções. Essa 
operação entre funções é designada convolução , e se apresenta como uma importante 
ferramenta no cálculo de transformadas inversas. 
 
O produto da convolução entre duas funções ( )f t e ( )g t define-se da seguinte forma: 
 
( ) ( )
0
*
tf g f g t dτ τ τ= −∫ 
 
Definição do Teorema da convolução : A transformada de Laplace do produto da 
convolução entre duas funções f e g , é igual ao produto das transformadas de Laplace 
das duas funções. 
 
Demonstração: A partir das definições da transformada de Laplace e do produto de 
convolução , obtemos: 
{ } ( ) ( )
0 0
*
t
stL f g f g t e d dtτ τ τ∞ −= −∫ ∫ 
 
O integral em τ pode ser estendido até o infinito, se multiplicarmos por uma função degrau 
unitário que anule a parte desde t até infinito. 
 
{ } ( ) ( ) ( )
0 0
*
stL f g f g t u t e d dtτ τ τ τ∞ ∞ −= − −∫ ∫ 
 
Trocando a ordem dos dois integrais, obtemos: 
 
{ } ( ) ( ) ( )
0 0
*
stL f g f g t u t e dt dτ τ τ τ∞ ∞ − = − −
  ∫ ∫ 
Sendo 
( ) ( ) ( ) ( ){ }
0
stg t u t e dt L g t u tτ τ τ τ
∞
− 
− − = − −
  ∫ 
 
Pela propriedade do deslocamento em t 
 
( ) ( ){ } ( ) sL g t u t G S e ττ τ −− − = 
 
Assim, obtemos a igualdade que segue: 
 
{ } ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
*
s sL f g f G S e d G S f e dτ ττ τ τ τ∞ ∞− − = = ∫ ∫ 
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188
Que é igual ao produto das transformadas de Laplace das duas funções, como pretendíamos 
demonstrar: 
 
{ } ( ) ( )*L f g F S G S= 
 
Esse teorema também se aplica no caminho inverso: a transformada inversa de 
Laplace de um produto de funções é igual ao produto de convolução entre as transformadas 
inversas das duas funções. O Teorema da convolução é útil no cálculo de transformadas 
inversas de funções complicadas que possam ser escritas como produto entre funções 
simples. O produto de convolução entre funções verifica as propriedades: comutativa, 
associativa e distributiva em relação à soma de funções. 
 
Como em geral a operação de convolução é mais complexa de calcular do que a 
transformada de Laplace , usa-se este teorema para calcular a convolução calculando-se a 
transformada das funções, sua multiplicação, e a transformada inversa. Essa técnica é 
bastante utilizada no processamento de imagem utilizando a transformada de Fourier em 
vez da transformada de Laplace . 
 
Exemplo: Calcule a transformada inversa da função 
 
( ) ( )2 2
aF S
S S a
=
+
 
 
Podemos escrever a função F como produto entre duas funções, 
 
( ) 1G S
S
= 
E 
( ) ( )2 2
aH S
S a
=
+
 
 
As transformadas inversas de G e H são respectivamente, 
 
( ) 1g t = 
 
( ) ( )h t sen at= 
 
E a transformada inversa de F é igual ao produto de convolução entre g e h , ou seja: 
 
( ) ( ) ( ) [ ]
0
11* 1 cos
tf t sen at sen at d at
a
τ= = = −∫ 
 
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189
Utilizando decomposição em frações parciais 
( ) 2 22 2
a A B CS
S SS S a ω
+
= +
++
 
 
( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2
a AS Aa BS CS
S S a S S a
+ + +
=
+ +
 
 
( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2
A C S BS Aaa
S S a S S a
+ + +
=
+ +
 
Daí, 
 
( ) 2 0A C S+ =
 
 
0A C+ =
 
 
A C= −
 
 
0BS =
 
 
0B =
 
 
2Aa a= 
 
1A
a
= 
 e 
 
1C
a
 
= − 
 
 
 
Substituindo A, B e C na equação inicial, tem-se: 
 
( ) ( )2 2 2 2
1a S
aSS S a a S a
= −
+ +
 
ou 
( ) 2 22 2
1 1a S
a S S aS S a
 
= − ++  
 
 
Retornando ao domínio do tempo 
 
( ) [ ]1 1 cosf t at
a
= − 
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190
TEOREMA DA CONVOLUÇÃO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA 
A transformada de Fourier de duas funções convoluídas no domínio do espaço é 
igual ao produto das transformadas das duas funções no domínio de Fourier: 
 
( ) ( ) ( ) ( ), * , , . ,f x y h x y F Hx y x yω ω ω ω  ℑ = 
 
Este teorema é de grande importância no processamento de imagens. 
 
 
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
 
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
 
 
 
 
 
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
 
 ( )h xℑ    ↕ ( )f xℑ    
 
 
 
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
0
10
20
30
40
50
60
70
 
xω 
 
 ( )F xω 
 
-15 -10 -5 0 5 10 15
-2
0
2
4
6
8
10
 
xω 
-15 -10 -5 0 5 10 15
-2
0
2
4
6
8
10
xω 
 Fig. 3 - Teorema da Convolução: ( ) ( ) ( ) ( )[ * ] .x xf x h x F Hω ωℑ = 
 Convolução 
 ↓ 
 
 
( )h x 
 
A 
( )f x 
 
A 
 
 
 
( ) ( )*h x f x 
 
2
2 0A x 
 
( ) ( ).H Fx xω ω 
 
( )202Ax 
 
( )H xω 
 
2 0Ax 
 
( )F xω 
 
2 0Ax 
 
 ↑ 
Multiplicação 
 2 0x−
 2 0x
 x 
 
0x
pi−
 
0x
pi
 
 
0x
pi
 
0x
pi
 
 
0x−
 
0x
 x 
0x−
 
0x
 x 
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TRANSFORMADA DE FOURIER: FUNÇÃO PULSO RETANGULAR. 
 
 
( ) ( )/ 2
2
T j t
T
F t f t e dtωω −
−
= ∫ 
 
 
0
0
x j t
x
A e dtω−
−
= ∫ 
 
 ( )
0
0
1 xj t
x
A
e
T j
ω
ω
−
−
 =  
−
 
 
 ( )
0 0j x j xA e ej
ω ω
ω
− = − 
−
 
 
 ( )
0 0j x j xA e ej
ω ω
ω
− = − + 
−
 
 
 
0 0j x j xe eA j
ω ω
ω
− 
−
=  
 
 
 
 
( )0 00
0
2
2
j x j x
x e e
A j x
ω ω
ω
− 
−
 =
 
 
 
 
 
Utilizando as equações de EULER 
 
 
( ) ( )0 0
2
j x j x
e e
sen t j
ω ω
ω
−
−
= 
 
Portanto 
 
 
( ) ( )( )
0
0
0
2
sen x
F t Ax
x
ω
ω
ω
= 
 
 
 
 
 
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TRANSFORMADA DE FOURIER: FUNÇÃO PULSO UNITÁRIO 
 
 
( )/ 2
2
1 T j t
n T
C f t e dt
T
ω−
−
= ∫ 
 
 
/ 2
2
1 j tA e dt
T
ω∆ −
−∆
= ∫ 
 
 ( )
2
2
1 1 1 j te
T j
ω
ω
∆
−
−∆
 =  ∆ −
 
 
 ( )
2 21 1 j je e
T j
ω ω
ω
∆ ∆
− 
= −
  ∆ −
 
 
 
 ( )
2 21 1 j je e
T j
ω ω
ω
∆ ∆
− 
= − +
  ∆ −
 
 
 
 
( )2 221
2
j j
e e
T j
ω ω
ω
∆ ∆
− 
−
 
=  ∆
 
 
 
 
 
( )2 21
2
2
j j
e e
T j
ω ω
ω
∆ ∆
− 
− 
=  ∆
 
 
 
 
( )
( )
1 2
2
n
sen
C
T
ω
ω
∆
=
∆
 
 
ou 
( )
( )
1
n
sen x
C
T x
= 
 
 
 
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Para um caso particular no qual o período é igual à unidade, a forma de onda 
correspondente será: 
 
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
gráfico de f(x)=sin(x)/x
x
y
 
 
 Fig. 4 – Transformada de Fourier do pulso unitário 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ninguém muda da noite para o dia. 
As verdadeiras mudanças demandam tempo. 
 
 
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 CODIGOS NO AMBIENTE MATLAB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os caminhos do saber são incontáveis. Percorrê-los é sempre gratificante. 
 
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Prof. Fernando Nogueira de Lima 
195
------------------------------------------------------------- 
Programa P-1.1 
------------------------------------------------------------- 
 
clear all 
per=input(' Entre com o período: '); 
n=input(' Entre com o numero de harmonicos: '); 
x=-per/2:0.01:per/2; 
f=-1*(x< 0 & x>-per/2)+1*(x>=0 & x<per/2); 
plot(x,f,'r'),grid,pause 
z=abs(fft(f))/(50*per); 
stem(0:2*n-1,z(1:2*n)),grid; 
title('Espectro de Linha') 
ylabel('Valor da Harmônica') 
xlabel(' nº da Harmônica') 
 
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
 
 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Espectro de Linha
Va
lo
r 
da
 
Ha
rm
ôn
ic
a
 nº da Harmônica
 
 
------------------------------------------------------------- 
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Prof. Fernando Nogueira de Lima 
196
Programa P-1.2 
------------------------------------------------------------- 
clear all 
clear all 
n=input(' entre com n: '); 
per=input(' entre com o período: '); 
w=2*pi/per; 
T=per/2; 
x=-T:0.01:T; 
f=-1*(x<0 & x>-T)+1*(x>0 & x<T); 
kx=fix((n+1)/2); 
s=zeros(size(x)); 
y = zeros(kx,max(size(w*x))); 
for k=1:2:n; 
 s=s+(4/(k*pi))*sin(k*w*x); 
 y((k+1)/2,:)=s; 
end 
plot(x,s,'r',x,f,'b'),grid; 
title('Forma de onda'),pause 
plot(x,y(1:1:kx,:),x,f,'b'),grid, title('Construção de uma onda quadrada: 
o efeito de Gibbs'), pause 
x=0:0.01:T; 
s=zeros(size(w*x)); 
y = zeros(kx,max(size(w*x))); 
for k=1:2:n; 
 s=s+(4/(k*pi))*sin(k*w*x); 
 y((k+1)/2,:)=s; 
end 
z = (abs(fft([y(kx,:),-y(kx,:)]))); 
stem(0:2*kx-1,z(1:2*kx)/(50*per)),grid; 
title('Espectro de Linha') 
ylabel('Valor da Harmônica') 
xlabel(' nº da Harmônica') 
 
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Forma de onda
 
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Prof. Fernando Nogueira de Lima 
197
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Construção de uma onda quadrada: o efeito de Gibbs
 
 
 
 
 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Espectro de Linha
Va
lo
r 
da
 
Ha
rm
ôn
ic
a
 nº da Harmônica
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
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198
------------------------------------------------------------- 
Programa P-1.3 
------------------------------------------------------------- 
 
clear all 
n=input(' entre com n: '); 
per=input(' entre com o período: '); 
w=2*pi/per; 
x=-per/2:0.01:per/2; 
f=-1*(x<0 & x>-per/2)+1*(x>0 & x<per/2); 
%f=-1*(x<0)+1*(x>0); 
s=zeros(size(x)); 
k=1; 
s1=2*((1-(-1)^k)/k)*sin(k*w*x)/pi; 
k=3; 
s2=2*((1-(-1)^k)/k)*sin(k*w*x)/pi; 
k=5; 
s3=2*((1-(-1)^k)/k)*sin(k*w*x)/pi; 
for k=1:n; 
 s=s+((1-(-1)^k)/k)*sin(k*w*x); 
end 
s=(2/pi)*s; 
plot(x,s1,'g',x,s2,'b',x,s3,'m',x,s,'k',x,f,'r'), grid; 
title('Composição da forma de onda') 
 
 
 
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Composição da forma de onda
 
 
 
 
 
 
 
 
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Prof. Fernando Nogueira de Lima 
199
------------------------------------------------------------ 
Programa P-1.4 
------------------------------------------------------------- 
clear all 
per=input(' Entre como o periodo: '); 
nh=input(' Entre como o nº de harmonicos: '); 
w=2*pi/per; 
t = 0:.02:per/2; 
f=-1*(t<0)+1*(t>0); 
y = zeros(nh,max(size(w*t))); 
x = zeros(size(t)); 
for k=1:2:2*nh-1 
 x=x+(4/(pi*k))*sin(k*w*t); 
 y((k+1)/2,:) = x; 
end 
plot(t,y(1:1:nh,:)'), title('A construção de uma onda quadrada: o efeito 
de Gibbs'), grid, pause 
plot(t,x,'r',t,f,'b'), title('Forma de onda resultante'), grid, pause 
mesh(1:2:2*nh-1,t,y') 
view(60,35), grid 
xlabel('no. harmônica') 
ylabel('tempo') 
axis ij, grid, pause 
z = (abs(fft([y(nh,:),-y(nh,:)]))); 
stem(0:2*nh-1,z(1:2*nh)/(25*per)), grid 
title('Espectro de Linha') 
ylabel('Valor da Harmônica') 
xlabel(' nº da Harmônica') 
 
 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
A construção de uma onda quadrada: o efeito de Gibbs
 
 
 
Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Prof. Fernando Nogueira de Lima 
200
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Forma de onda resultante
 
 
 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Espectro de Linha
Va
lo
r 
da
 
Ha
rm
ôn
ic
a
 nº da Harmônica
 
 
 
Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Prof. Fernando Nogueira de Lima 
201
------------------------------------------------------------- 
Programa P-1.5 
------------------------------------------------------------- 
 
clear all 
% 
% Este programa traça as curvas de circuitos submetidos a chaveamentos 
% 
delta=13/10000; 
t=0; 
per=input(' Entre com o período: '); 
for i=1:10001 
 if t<=per 
 f(i)=(20/per)*t; 
 else 
 if t<=2*per 
 f(i)=(20/per)*t-20; 
 else 
 f(i)=0; 
 end 
 
 end 
 
 i; 
 x(i)=t; 
 t=t+delta; 
end 
 
plot(x,f,'b'),grid; 
 
 
0 2 4 6 8 10 12 14
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Prof. Fernando Nogueira de Lima 
202
------------------------------------------------------------- 
Programa P-1.6 
------------------------------------------------------------- 
clear all 
per=input(' entre com o período: '); 
n=input(' entre com n: '); 
w=2*pi/per; 
x=-0:0.01:per; 
f=(20/(per))*x; 
s=zeros(size(x)); 
y = zeros(n,max(size(x))); 
s=10; 
for k=1:n; 
 s=s+(-20)*sin(k*w*x)/(k*pi); 
 y(k,:)=s ; 
end 
plot(x,s,'r',x,f,'b'),grid; 
title('Forma de onda') 
pause 
plot(x,y(1:1:n,:),x,f,'b'),grid, title('Construção de uma onda 
triangular'),pause 
z=abs(fft(f))/(50*per); 
z(1)=z(1)/2;% ?? para dar certo o valor dc ?? 
stem(0:n,z(1:n+1)),grid; 
title('Espectro de Linha') 
ylabel('Valor da Harmônica') 
xlabel(' nº da Harmônica') 
 
 
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
15
20
25
Forma de onda
 
 
 
Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Prof. Fernando Nogueira de Lima 
203
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
15
20
25
Construção de uma onda triangular
 
 
 
 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
2
4
6
8
10
12
Espectro de Linha
Va
lo
r 
da
 
Ha
rm
ôn
ic
a
 nº da Harmônica
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Prof. Fernando Nogueira de Lima 
204
------------------------------------------------------------- 
Programa P-1.7 
------------------------------------------------------------- 
 
clear all 
per=input(' Entre como o periodo: '); 
n=3; 
w=2*pi/per; 
x=0:0.01:per; 
f=(20/per)*x; 
s=zeros(size(x)); 
for k=1:n; 
 s=s+(-1)*sin(k*w*x)/k; 
end 
s=10+(20/pi)*s; 
s0=10*(x>=0); 
s1=-(20/pi)*sin(w*x); 
s2=-(20/(2*pi))*sin(2*w*x); 
s3=-(20/(3*pi))*sin(3*w*x); 
plot(x,s0,'m',x,s1,'b',x,s2,'y',x,s3,'g',x,s,'k',x,f,'r'),grid 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 7
-10
-5
0
5
10
15
20
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Prof. Fernando Nogueira de Lima 
205
------------------------------------------------------------- 
Programa P-1.8 
------------------------------------------------------------- 
clear all 
% 
% Este programa traça as curvas de circuitos submetidos a chaveamentos 
% 
delta=19/10000; 
t=0; 
per=input(' Entre com o período: '); 
for i=1:10001 
 if t<=per 
 f(i)=(20/per)*t; 
 else 
 if t<=2*per 
 f(i)=0; 
 else 
 if t<3*per 
 f(i)=(20/per)*t-40; 
 else 
 f(i)=0; 
 end 
 
 
 end 
 
 end 
 i; 
 x(i)=t; 
 t=t+delta; 
end 
 
plot(x,f,'b'),grid; 
 
 
 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
 
 
 
Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Prof. Fernando Nogueira de Lima 
206
------------------------------------------------------------- 
Programa P-1.9 
------------------------------------------------------------- 
 
clear all 
% 
% Este programa traça as curvas de circuitos submetidos a chaveamentos 
% 
K=input(' Entre com K: '); 
per=input(' Entre com o período: '); 
T=per/2; 
 
delta=per/100; 
t=-per/2; 
aux=t; 
 
for i=1:201 
 
 if i<=100 
 if aux<0 
 f(i)=(K/T)*aux+K; 
 else 
 f(i)=(-K/T)*aux+K; 
 end 
 else 
 
 if i<=150; 
 f(i)=(K/T)*aux-K; 
 else 
 f(i)=(-K/T)*aux+3*K; 
 end 
 end 
 
 x(i)=aux; 
 aux=t+i*delta; 
 
end 
 
plot(x,f,'b'),grid; 
 
 
-2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
 
 
Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Prof. Fernando Nogueira de Lima 
207
------------------------------------------------------------- 
Programa P-2.1 
------------------------------------------------------------- 
clear all 
% 
% Este programa traça as curvas de circuitos submetidos a chaveamentos 
% 
incr=0; 
tal=5/10000; 
np=1000; 
t1=4*tal; 
t2=8*tal; 
t3=12*tal; 
tempo=13*tal; 
delta=tempo/np; 
 
for k=1:np+1; 
 
 
 if incr<=t1 
 p(k)=20-20*exp(-2000*incr); 
 
 else 
 if incr<=t2 
 p(k)=-30+50*exp(-2000*(incr-t1)); 
 else 
 p(k)=40-70*exp(-2000*(incr-t2)); 
 end 
 end 
 
 x(k)=incr; 
 incr=incr+delta; 
 
end 
plot(x,p,'b-'),grid; 
title('Corrente Série do Circuito') 
xlabel('tempo(s)') 
ylabel('corrente(A)') 
 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 7
x 10-3
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
Corrente Série do Circuito
tempo(s)
co
rr
en
te
(A
)
 
 
Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Prof. Fernando Nogueira de Lima 
208
------------------------------------------------------------- 
Programa P-2.2 
------------------------------------------------------------- 
% 
% Este programa traça as curvas de circuitos submetidos a chaveamentos 
% 
incr=0; 
tal=5e-2; 
np=1000; 
t1=4*tal; 
t2=8*tal; 
t3=12*tal; 
tempo=13*tal; 
delta=tempo/np; 
 
for k=1:np+1; 
 
 
 if incr<=t1 
 p(k)=40*exp(-20*incr); 
 else 
 if incr<=t2 
 p(k)=-20*exp(-20*(incr-t1)); 
 else 
 p(k)=-50*exp(-20*(incr-t2)); 
 end 
 end 
 
 x(k)=incr; 
 incr=incr+delta; 
 
end 
 
plot(x,p,'b-'),grid; 
title('Corrente Série do Circuito') 
xlabel('tempo(s)') 
ylabel('corrente(A)') 
 
 
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
Corrente Série do Circuito
tempo(s)
co
rr
e
n
te
(A
)
 
 
 
Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Prof. Fernando Nogueira de Lima 
209
------------------------------------------------------------- 
Programa P-2.3 
------------------------------------------------------------- 
% 
% Este programa traça as curvas de circuitos submetidos a chaveamentos 
% 
incr=0; 
tal=4/10000; 
np=1000; 
t1=2*tal; 
t2=8*tal; 
t3=12*tal; 
tempo=13*tal; 
delta=tempo/np; 
 
for k=1:np+1; 
 
 if incr<=t1 
 p(k)=300*exp(-2500*incr); 
 q(k)=300-p(k); 
 else 
 if incr<=t2 
 p(k)=-259.4*exp(-2500*(incr-t1)); 
 q(k)=-p(k); 
 else 
 p(k)=-600*exp(-2500*(incr-t2)); 
 q(k)=-600-p(k); 
 end 
 end 
 
 x(k)=incr; 
 incr=incr+delta; 
 
end 
plot(x,p,'b-',x,q,'r'),grid; 
title('Tensões nos terminais do Indutor e do Resistor') 
xlabel('tempo(s)') 
ylabel('tensão(v)') 
 
 
0 1 2 3 4 5 6
x 10-3
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
Tensões nos terminais do Indutor e do Resistor
tempo(s)
te
n
sã
o
(v)
 
Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Prof. Fernando Nogueira de Lima 
210
 
------------------------------------------------------------- 
Programa P-2.4 
------------------------------------------------------------- 
clear all 
% 
% Este programa traça as curvas de circuitos submetidos a chaveamentos 
% 
incr=0; 
tal=1/1000; 
np=1000; 
t1=500e-6; 
tempo=4*tal; 
delta=tempo/np; 
 
for k=1:np+1; 
 
 if incr<=t1 
 p(k)=150*(1-exp(-1000*incr)); 
 s(k)=150-p(k); 
 j(k)=s(k)/200; 
 else 
 p(k)=-41*exp(-1000*(incr-t1))+100; 
 s(k)=100-p(k);