Apostila fluxo de potencia revisada final Victor

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FLUXO DE POTÊNCIA EM SISTEMAS ELÉTRICOS 
PROFESSOR: Msc. ERALDO DA SILVA PEREIRA 
 
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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E CULTURA 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO 
FACULDADE DE ARQUITETURA, ENGENHARIA E TECNOLOGIA. 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
01 de junho de 2012 
 
 
 
 
APOSTILA 
 
 
 
FLUXO DE POTÊNCIA EM SISTEMAS 
ELÉTRICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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APRESENTAÇÃO 
 
 
Este trabalho é composto de Notas de Aulas sobre o tema: FLUXO DE POTÊNCIA, 
integrante da disciplina ANÁLISE DE SISTEMA DE ENERGIA ELETRICA II 
 
Foi elaborado pelo Prof. Msc. ERALDO DA SILVA PEREIRA, do Departamento de 
Engenharia Elétrica da FAET/UFMT, mediante concentração de material de aulas 
ministradas ao longo de vários anos. 
 
A composição (digitação, desenho, reprodução) foi realizada pela Coordenação de 
Ensino de Graduação em Engenharia Elétrica, com a participação de alunos bolsistas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SUMÁRIO 
 
CONSIDERAÇÕES INICIAIS 4 
 MODELAGEM DE REDES ELÉTRICAS EM REGÍME PERMANENTE 14 
 EQUAÇÕES DE FLUXO DE POTÊNCIA 22 
 MÉTODOS DE SOLUÇÃO 29 
 1. MÉTODOS DE GAUSS E GAUSS SEIDEL 30 
 2. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON OU NEWTON 43 
 3. DESACOPLADOS 71 
 ANÁLISE DOS FLUXOS DE POTÊNCIA 88 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
 
1. Conceituação 
 
Trata-se da análise do comportamento elétrico de um sistema em regime permanente, tanto em 
condições normais de operação quanto em situações de emergências, ou seja, na eventual perda de 
um dos seus elementos (unidades de geração, transformadores, circuitos de linhas de transmissão, 
etc.). 
Consiste em se determinar as tensões (módulo e ângulo de fase) dos barramentos dos sistemas e as 
potências ativa e reativa nos respectivos ramos, para determinadas condições de carga e geração pré 
estabelecidas. Portanto visa à determinação do estado de operação do sistema, a partir da sua 
topologia e da demanda. 
O estudo de fluxo de potência é talvez o mais importante daqueles frequentemente realizados nos 
sistemas elétricos, e consome a maior parcela de tempo dos profissionais da área, e também dos 
sistemas computacionais. 
 
 
2. Aplicações 
 
Existem duas importantes áreas da engenharia elétrica onde são fundamentais os estudos de fluxos de 
potência: 
 
 
 Operação 
Neste caso procura-se antever o desempenho de um sistema elétrico existente, ou seja, com sua 
configuração estruturada e parâmetros definidos para condições de carga atual (tempo real) e de curto 
prazo (até 3 anos). 
Como resultado obtém-se as instruções operativas para que o sistema funcione em condições 
adequadas, nas condições de carga pesada, média e leve. Também é avaliado o início de 
funcionamento de novos elementos do sistema (unidades transformadoras, capacitores, circuitos de 
linhas de transmissão, etc.). 
 
 
 
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 Planejamento 
Esta aplicação tem por objetivo a estruturação dos sistemas elétricos, tanto para sua implantação 
como para a sua expansão, a médio e longo prazo (5, 10 anos, ou mais), utilizando-se de valores 
típicos para os parâmetros do sistema. 
Os resultados dos estudos de fluxo de potência permitem definir as características principais dos 
elementos do sistema, bem como o cronograma da sua implantação. Também são realizados estudos 
de curto prazo (1 a 3 anos) com vistas a ajustar os cronogramas de obras previamente definidas. 
 
 Apresentação dos Resultados 
 
Os principais resultados dos estudos de fluxo de potência são indicados conforme a seguir: 
 
Vi

i Vk

k 
 Pik Pik 
 Qik Qik 
 
Onde: 
Vi e Vk são os módulos das tensões dos barramentos i e k; 
θi e θk são os ângulos de fase das tensões dos barramentos i e k; 
Pik é a potência ativa transferida de i para k (positiva); 
Qjk é a potência reativa transferida de i para k (positiva); 
Pki é a potência ativa transferida de k para i (negativa); 
Qki é a potência reativa transferida de k para i (negativa). 
 
 
3. Histórico 
 
Até 1930 todos os estudos de fluxo de potência eram feitos a mão, o que pressupunha inúmeras 
simplificações para diminuição dos cálculos e imprecisão nos resultados. Sua atuação limitava-se a 
pequenos sistemas, atendendo porém as necessidades da época, uma vez que não existiam sistemas 
elétricos de grande porte. 
i k 
 
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De 1930 até 1956 utilizaram-se os analisadores de rede, ou seja, modelos em miniatura do sistema 
elétrico em estudo, onde seu comportamento é determinado pela medição das suas grandezas 
elétricas. Continuou o problema de imprecisão e lentidão na obtenção dos resultados; porém 
possibilitou a análise de sistemas elétricos de maior porte. 
Na década de 50 foram feitas as primeiras tentativas para resolver a dificuldade de elaboração do 
estudo de fluxo de potência utilizando-se computadores digitais. As primeiras tentativas tiveram 
sucesso limitado, já que os softwares apenas automatizavam os cálculos dos métodos manuais, 
representando a rede por meio das equações de malha, e não exploravam adequadamente as 
vantagens da utilização dos computadores. 
Em 1956 Ward e Hale apresentaram o primeiro software realmente bem sucedido para solução das 
equações do fluxo de potência, que serve como marco do obsoletismo dos analisadores de rede. O 
software apresentado por Ward e Hale utilizava a formulação nodal do problema, e resolvia as 
equações não lineares que descreviam o sistema elétrico pelo método iterativo de Newton 
modificado. 
Os softwares que se seguiram a esse utilizavam o algoritmo iterativo de Gauss-Seidel. Pela natureza 
dos parâmetros dos sistemas elétricos, usualmente, obtinha-se solução do fluxo de potência com o 
método de Gauss- Seidel. Na década de 60, a tendência à interligação dos sistemas elétricos com 
linhas de transmissão de tensões elevadas, provocou a necessidade de representação do sistema 
elétrico com um número muito maior de barramentos. 
As características do método de Gauss-Seidel fazem com que ele não se adaptebem a sistemas 
representados por um grande numero de barras, de forma que se sentiu necessidade de um outro 
método de solução de problemas do fluxo de potência. 
Após vários anos de pesquisa, desenvolveu-se um método extremamente bem sucedido de solução 
das equações de fluxo de potência por meio do algoritmo de Newton-Raphson. Não só o método se 
adaptava muito bem a grandes sistemas elétricos, como também obtinha solução de problemas em 
que o método de Gauss-Seidel havia falhado. 
O método de Newton-Raphson para solução de fluxos de potência é muito utilizado atualmente. 
Desde a sua primeira formulação vem sofrendo diversas complementações no sentido de torná-lo 
mais eficiente. 
No início da década de 70, B. Stott e O. Alsaç começaram a explorar as características do fraco 
acoplamento “P - V” e “Q – θ”, observado nos sistemas elétricos, e desenvolveram os métodos 
desacoplados com o algoritmo de Newton (1972) e desacoplado rápido (1974). Tais métodos 
utilizam algoritmos de iteração semelhantes ao de Newton-Raphson e apresentam vantagens tais 
como maior rapidez e menor memória computacional, o que atualmente já não é importante devido 
aos avanços expressivos na evolução dos computadores digitais. 
 
 
Avell B155
Realce
Avell B155
Realce
Avell B155
Realce
Avell B155
Realce
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Nota
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4. Suposições e Aproximações 
 
As simplificações que comumente se fazem em um estudo de fluxo de potência são: 
a. As cargas nos barramentos do sistema são supostas constantes, isto é o problema é 
estático; 
 
b. Admite-se que o sistema opera de maneira equilibrada e, portanto uma representação 
unifílar é suficiente; 
 
c. Os elementos passivos do sistema são representados com parâmetros concentrados. 
 
As simplificações “b” e “c” geralmente não afetam de forma significativa a precisão dos resultados. 
A aproximação “a” é justificada porque as cargas, embora variem grandemente dentro de período 
longos de tempo, o fazem de maneira lenta e gradual, portanto, o resultado obtido é válido dentro de 
um intervalo de tempo razoável. 
 
5. Representações 
 
 Geradores: São representados pelas suas potências ativa e reativa geradas, sejam elas 
especificadas ou a serem calculadas. 
 
 Sk
G
= Pk
G 
+ jQk
G 
 SK
G
= PK
G 
+ jQK
G
 
  
 
 k k 
 
 Cargas: Geralmente são representadas pelas potências ativa e reativa consumidas (fixas). 
 
 k Sk
C
= Pk
C 
+ jQk
C 
k
 
Sk
C
= Pk
C 
+ jQk
C
 
  
 
 
Avell B155
Realce
 
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Em estudos de fluxo de potência que se desejam resultados com maior precisão as cargas podem ser 
representadas com parcelas de potência, corrente e impedância constante de acordo com sua 
participação no valor global, levantadas empiricamente. 
 
 Linhas de Transmissão: São representadas pelo seu circuito π, normalmente com as 
susceptâncias incluídas. 
 
(i) (k) 
 
 jy jy 
 
 
 Transformadores: São representados pela sua impedância de dispersão. Se tiverem taps fora 
do nominal essês são representados. 
 
 
 Tap nominal Taps fora do nominal 
 
 Em fase Em quadratura 
 
 (i) Z (k) (i) i:n Z (k) (i) 1: n + jn Z (k) 
 
 
Quando o tap está fora da posição nominal o transformador é representado por um circuito π 
equivalente conforme a seguir 
 
 
 
R +jX 
 
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Sendo Z1 , Z2 e Z3 calculados da seguinte forma: 
Inicialmente considera-se um transformador ideal de relação de tensões n:1, em série com outro 
transformador de relação de tensões 
 n:1 
 Dessa representação pode-se escrever: 
 
 
 = 
 
 
 e 
 
 
 = 
 
 
 ou 
 
 
 = 
 
 
 
Por outro lado: 
 = 
 
 
 ( ’-Vk) = 
 
 
 (
 
 
 - ) 
Então: 
Ii = 
 
 
 [
 
 
 
 
 
 ‐ Vk)] = 
 
 
Vi ‐ 
 
 
Do circuito π equivalente pode-se escrever: 
Ii’ = Ik + 
 
 
 +
 
 
 e Ik 
 ‐ 
 
 ‐ 
 
 
 
E também: 
 = + z3 (Ik + 
 
 
 ) 
Operando, vem: 
Ik = 
 
 
 - (1 + 
 
 
 ) 
 
 
 
Ii = 
 
 
 - (1 + 
 
 
 ) 
 
 
 + 
 
 
 + 
 
 
 
Finalmente encontra-se: 
n:1 
 
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Ii = 
 
 
 ‐ 
 
 
 
Comparando as expressões equivalentes, obtém-se o seguinte: 
Equação de Ii: 
Z3 = nX 
Equação de Ik: 
(1 + 
 
 
) = 
 
 
 = 
 
 
 
(1 + 
 
 
) 
 
 
 = 
 
 
 
Z2 + nX = n Z2 
Z2 (1 - n) = nX 
Z2 = 
 
 ‐ 
 
Equação de Ii: 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
Z1+ nX = 
 
 
 
Z1 (1 ‐ 
 
 
) = ‐ nX 
Z1 = 
 
 
 
 
 = - 
 
 
 
 
 
Z1 = - 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
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E o circuito equivalente pode ser representado conforme a seguir: 
Observa-se que o circuito π equivalente não é simétrico, portanto deve-se atentar quanto ao lado 
em que se encontra o tap fora da posição nominal. 
 Capacitores ou Reatores Paralelos (Shunt): São normalmente representados por suas 
reatâncias ligadas à terra (positivas para reatores e negativas para capacitores). 
 
 (k)(k) 
 jXL -jXc 
 
 
6. Programas Digitais de Fluxo de Potência 
 
Fluxos de potência em sistemas elétricos de pequeno porte, radiais, podem ser resolvidos por 
intermédio da aplicação, sucessiva, das equações básicas dos quadripolos. 
Para sistemas elétricos de maior porte e mais complexos a solução só é praticável utilizando-se 
processos computacionais. 
Atualmente, os estudos de fluxo de potência são realizados exclusivamente por computadores 
digitais. 
Existe um grande número de programas digitais para os estudos de fluxo de potência em operação 
comercial. 
Os métodos iterativos mais aplicados na maioria dos programas são de Gauss-Seidel e de Newton-
Raphson, utilizando a matriz admitância nodal, os quais serão estudados adiante. 
O tempo de processamento por iteração desses métodos usando matriz admitância nodal é 
proporcional ao número de barras. O número de iterações cresce com o número de barras, porém é 
também muito dependente da complexidade e das condições operacionais do sistema elétrico. 
 
 
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Sistemas com igual número de barras, porém com configurações operacionais diferentes, poderão 
apresentar, para um mesmo método iterativo, números bem diferentes de iterações. 
O tempo total para o processamento de uma simulação do fluxo de potência é função também da 
velocidade do computador e da qualidade do programa. Entretanto, praticamente todos os 
computadores atuais, inclusive laptops, tem recursos suficientes para o processamento do fluxo de 
potência de sistemas elétricos de grande porte. 
Os requisitos mais importantes de um programa digital de fluxo de potência são: 
Capacidade - definida pelo número máximo de barramentos. Depende não só do programa em si (n° 
de áreas, n° de circuitos, n° de equipamentos de controle, etc), como da capacidade do computador 
(memória, funções internas, rotinas, etc). 
Versatilidade - definida pelos recursos disponíveis no programa em termos de condicionamento, não 
só da configuração (capacitor série, transformadores com derivação, defasadores, elos de corrente 
contínua, etc), como dos tipos de barras. 
Velocidade - corresponde à rapidez de solução desde a entrada de dados até a saída com a impressão 
final dos resultados. Nesse tempo incluem-se não só o destinado às iterações, como também à fase da 
preparação dos dados, as rotinas de modificações das redes (saída da linha, transformador, etc.) e das 
condições operacionais (variação da carga, da geração, etc.). 
Cada tipo de barra pode, em um programa digital, desenvolver-se para vários condicionamentos de 
barramento, que podem ser agrupados nas seguintes categorias: 
1) Local não condicionado; 
2) Local condicionado; 
3) Remoto não condicionado; 
4) Remoto condicionado. 
Na primeira categoria incluem os três tipos de barra dos sistema indicados, isto é, barra de carga, 
onde são dadas as potências ativa e reativa; barra de geração com a especificação da potência ativa e 
do módulo de tensão; e barra de referência onde é fixada a tensão em módulo e ângulo. 
Nos barramentos da segunda categoria (local-condicionado) pode-se alterar suas características 
durante o cálculo. 
Assim, para a barra de carga condiciona-se um limite para a tensão (Vmln < V < Vmax). Quando um 
dos limites é atingido, o valor limite da tensão é retido, passando a uma barra de geração, isto é, 
fixado P e V. Nesse caso o programa indica no final, também o valor da potência reativa adicional 
necessária para manter a tensão no valor limite. 
No caso da barra de geração condiciona-se o limite de reativos (Qmin < Q < Qmax). Atingindo este 
limite, a potência reativa é mantida constante, passando a variar o módulo da tensão. A barra passa a 
ser de carga. 
Na categoria de barramento “remoto - não condicionado” definem-se a potência ativa e o módulo da 
tensão (barra P e | |) de um barramento e um outro barramento remoto que deverá fornecer os 
 
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reativos para manter a tensão do primeiro barramento constante. Nesse caso fica aberto o limite dos 
reativos do segundo barramento. 
Finalmente, na última categoria tem-se um esquema semelhante ao anterior, porém com fixação dos 
limites da potência reativa da segunda barra. 
Os programas digitais de fluxo de potência podem ainda ser classificados em: 
1) programa de versão em batch; 
2) programa de versão interativa. 
Na versão em batch, uma vez introduzidos os dados de entrada o programa realiza os cálculos até o 
final, sem intervenção externa, podendo os resultados não ser satisfatórios. 
A atuação do engenheiro limita-se a preparar dados e analisar os resultados. 
Na versão interativa o programa permite, durante sua realização, a intervenção externa para checar os 
resultados preliminares e/ou para introduzir alterações nos dados iniciais. 
O desenvolvimento do programa geralmente é efetuado por partes com a atuação constante do 
engenheiro visando à obtenção dos resultados adequados. 
Alguns programas permitem as duas versões. 
Os dados de entrada em um programa de fluxo de potência podem ser classificados em três tipos: 
1) Dados dos Parâmetros: compreende os parâmetros das linhas de transmissão (n° de circuito, 
impedância série, susceptância), dos transformadores (reatância e taps), banco de capacitores 
(shunt ou série), etc.; 
 
2) Dados Operacionais: envolvendo as condições de carga e os despachos de geração; 
 
3) Dados de Condicionamento: são definidos os condicionamentos a serem ajustados tais como: 
limite máximo e mínimo da geração de reativos em determinado barramento, faixa de 
variação das derivações dos transformadores com comutação em carga e respectivo degraus, 
capacidade de transporte das linhas de transmissão (algumas vezes para duas ou três 
condições); etc. 
Os resultados dos cálculos são apresentados em formato de tabelas onde inicialmente são indicadas 
as informações que identificam a alternativa processada e em seguida vêm os resultados dos cálculos. 
Normalmente indicam-se a tensão, em módulo e ângulo, de cada barra; a potência ativa e reativa, na 
extremidade de cada linha ou transformadora; a carga (potência ativa e reativa); a potência reativa 
gerada em cada barra de geração ou compensação; a relação de transformador; as perdas, etc. 
 
 
 
 
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MODELAGEM DE REDES ELÉTRICAS EM REGÍME 
PERMANENTE 
 
Os sistemas elétricos podem ser representados por modelos matemáticos desenvolvidos a partir da 
análise dos circuitos lineares, por meio dos métodos das malhas e/ou dos nós, baseados nas duas Leis 
de Kirchhoff. 
 
I. Equação das Malhas 
Na análise das malhas de um circuito linear o objetivo é calcular as correntes nos ramos do circuito, 
sendo conhecidas as fontes de tensão e as impedâncias. 
Seja a seguinte rede elétrica: 
G1 G2
T1 T21 2
3
L1
L2 L3
 
O circuito equivalente desse sistemaelétrico pode ser representado conforme a seguir, onde são 
indicadas as correntes em cada ramo e a tensões nos respectivos barramentos: 
 
A carga ligada ao barramento 3 foi representada por uma impedância constante. 
 
 
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Existem outros modos de representação da carga. Dentre eles um dos mais comuns é a representação 
por uma potência complexa (P + jQ) constante. A representação adequada de uma carga como uma 
função da tensão e da frequência, S = f (V, f), é muito importante nos estudos dinâmicos. 
Por simplificação não foram indicadas na figura anterior as impedâncias shunt das linhas de 
transmissão, de forma a não aumentar o número de malhas independentes, e, portanto elevar o 
número de equações. 
A figura a seguir apresenta as três malhas do sistema elétrico em análise com os sentidos das 
correntes das malhas indicados arbitrariamente: 
 
As equações que descrevem o circuito são escritas em função das correntes de malhas independentes 
IA, IB e IC, hipotéticas. A escolha das malhas e da direção das correntes hipotéticas é arbitrária desde 
que pelo menos uma corrente de malha independente passe por cada elemento do circuito. 
O número de malhas independentes (conseqüentemente de correntes de malhas independentes) é 
dado pela equação: 
 
M = B - N + 1 
 
Onde: B é número de ramos e N é o número de nós. 
Essa equação só é válida para sistemas elétricos onde todos os nós são conectados apenas por 
intermédio de ramos simples. Não é válida quando as conexões são de transformadores ou circuitos 
mistos. 
 
 
 
 
 
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A 2ª Lei de Kirchhoff (lei das malhas) é usada para obter as equações do circuito, conforme a seguir: 
 
Malha A: E1 = (IA + IC) Z1 + IA ZL2 + (IA + IB ) Z3 
Malha B: E2 = (IB - IC ) Z2 
+
 IB ZL3 
+
 (IA + IB ) Z3 
Malha C: E1 - E2 = (IA + IC ) Z1 + IC ZL1 + (IC - IB ) Z2 
 
 
Desenvolvendo vem: 
E1 = (Z1 + ZL2 + Z3 ) IA + Z3 IB + Z1 Ic 
E2 = Z3 IA + (Z2 + ZL3 + Z3 ) IB – Z2 IC 
E1 - E2 = Z1 IA - Z2 IB + (Z1 + ZL1 + Z2 ) Ic 
 
Ou: 
EA = ZAA IA 
+
 ZAB IB 
+
 ZAC IC 
EB = ZBA IA 
+
 ZBB IB 
+
 ZBC IC 
EC = ZCA IA 
+
 ZCB IB 
+
 ZCC IC 
 
Onde: 
1) EA, EA e EC: são as FEM das malhas respectivas. No caso EA = E1, EB = E2 e EC = E1 - E2. O sinal 
da FEM é definido pelo sentido arbitrado à corrente da malha; 
 
2) ZAA, ZBB e ZCC são as impedâncias próprias da malha e são iguais a soma das impedâncias que 
compõem a respectiva malha. (ZAA = Z1 + ZL2 + Z3 e etc.); 
 
 
3) ZAB = ZBA, ZAC = ZCA e ZBC = ZCB são as impedâncias mútuas entre duas malhas e são iguais à 
impedância do ramo comum às duas malhas. 
Quando os sentidos arbitrados para as correntes das duas malhas que circulam pela impedância 
mútua forem iguais, essa impedância terá sinal igual ao das impedâncias do ramo comum. Caso 
contrário, a impedância mútua terá sinal diferente da impedância do ramo (ZBC = ZCB = -Z2). 
 
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Reescrevendo na forma matricial, vem: 
[ Em ] = [ Zm ] [Im] 
Expandindo a equação matricial, pode-se escrever: 
 |
 
 
 
 
| = |
 
 
 
 
 
 
 
 
| X |
 
 
 
 
| 
Conhecidos os valores de [Em] e de [Zm] tem-se: 
[Im] = [Zm]
-1
 . [Em] 
Sendo Z(m) chamada matriz impedância de malhas, montada da seguinte maneira: 
Elementos da diagonal principal (impedâncias próprias): 
São dados pela soma das impedâncias dos ramos que constituem a malha (por onde flui a corrente da 
malha em consideração). 
Elementos fora da diagonal principal (impedâncias mútuas): 
São dados pela soma algébrica das impedâncias dos ramos comuns às malhas em questão. Se as 
correntes das malhas têm o mesmo sentido, o sinal será positivo, e vice-versa. 
 
Quando há Acoplamento Magnético Mútuo: 
Elementos da diagonal principal: 
São dados pela soma das impedâncias próprias dos ramos que constituem a malha em questão e das 
impedâncias mútuas que existem entre esses ramos. As impedâncias mútuas têm sinal negativo se a 
corrente da malha flui em sentidos opostos de enrolamento nos 2 ramos com acoplamento. 
Elementos fora da diagonal principal: 
São dados pela soma algébrica das impedâncias próprias dos ramos comuns às malhas em questão e 
das impedâncias mútuas que existem entre ramos dessas malhas. A convenção de sinal é a seguinte: 
Impedâncias Próprias: positivo se as correntes de malha têm o mesmo sentido, e vice-versa. 
Impedâncias Mútuas; positivo se as correntes de malha fluem no mesmo sentido de enrolamento, e 
vice versa. 
 
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Voltando à equação matricial, verifica-se que: 
Determinados os valores de [lm ], podem ser calculadas as correntes em cada ramo. 
I1 
=
 IA 
+
 lC 
I2 
=
 IB – lC 
 
etc. 
e daí têm-se as tensões nos barramentos (E1 = EG1 – I1Z1, etc.) e as potências em trânsito 
 (P12 + JQ12 = VI IL1 , etc.). 
Conclui-se finalmente que na análise das malhas os elementos representados nos circuitos são 
facilmente identificáveis com os componentes físicos do sistema que eles modelam o que torna este 
método desejável, do ponto de vista do entendimento por parte do analisador, porém o método sofre 
de sérias limitações quando aplicado a sistemas de grande porte, principalmente no que diz respeito à 
identificação das malhas independentes. 
II. Equação dos Nós 
Na análise nodal de um circuito linear, procura-se calcular as tensões dos nós do circuito, (com 
relação a uma certa referência) sendo conhecidas as correntes injetadas nos nós e as admitâncias dos 
ramos. 
Este método de análise não apresenta limitações quanto ao porte do sistema elétrico, e possui a 
vantagem adicional de, geralmente, reduzir o número de variáveis das equações, e constitui a base de 
solução dos estudos elétricos empregando computadores digitais, devido a sua forma direta do 
cálculo das correntes. 
Em um sistema elétrico, a cada barramento corresponde um nó. Como o neutro é também um nó, 
esse é considerado como referência, existindo assim tantos nós independentes quantas forem as 
barras do sistema, ou seja, igual ao número total de nós, menos um. 
A figura a seguir representa o mesmo sistema elétrico analisado pelo método das malhas, onde as 
impendâncias foram substituídas por admitâncias. As fontes de geração e as cargas ligadas aos 
barramentos foram indicados tracejadas porquanto deseja-se tão somente evidenciar as correntes que 
entram (ou saem) do sistema elétrico, isto é: I1 , l2 e l3. 
 
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1 2
3
YL1
YL2 YL3
EG1 EG2
I1 I2
I3
Z1 Z2
Z3 E2E1 E3
 
De acordo com o sentido indicado, as correntes entrando no barramento são positivas e saindo, 
negativas. Aplicando-se a 1ª Lei de Kirchoff (lei dos nós) ao barramento 1 tem-se 
I1 = I12 + I13 
Como: 
I12= (E1 - E2 ) YL1 e 
I13= (E1 - E3 ) YL2 
 
Pode-se escrever: 
I1= [YL1 + YL2 ] E1 – YL1 E2 – YL2 E3 
 Analogamente, vem: 
I2 = –YL1 E1 + [YL1 + YL3 ] E2 – YL3 E3 
I3 = –YL2 E1 – YL3 E2 + [YL2 + YL3 ] E3 
Ou, generalizando: 
I1 = Y11 E1 + Y12 E2+ Y13 E3 
I2 = Y21 E1 + Y22 E2 + Y23 E3 
I3 = Y31 E1 + Y32 E2 + Y33 E3 
 
 
 
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Onde: 
1.Y11, Y22 e Y33 são as admitâncias próprias dos barramentos e são iguais a soma das 
admitâncias ligadas a cada barramento (Y11 = YL1 + YL2 , etc.). 
2.Y12 = Y21 , Y13 = Y31 e Y23 = Y32 são as admitâncias mútuas entre barramentos, sendo iguais 
aos valores das admitâncias dos ramos que ligam os respectivos barramentos, com o sinal 
trocado (Y12 = -YL1 , etc.). 
Na forma matricial, o sistema de equações pode ser escrito conforme a seguir: 
[ I N ] = [YN] [EN] 
Ou: 
|
 
 
 
 
| = |
 
 
 
 
 
 
 
 
| x |
 
 
 
 
| 
A matriz [YN ] é denominada matriz admitância nodal, também conhecida como YBARRA ou YBUS. 
Observa-se que a matriz [YN ] representa o sistema de transmissão e não inclui os componentes 
ligados aos barramentos e externos à rede de transmissão, como as fontes de geração com suas 
impedâncias e as cargas. 
Na figura apresentada anteriormente não foram indicadas as admitâncias shunt das linhas de 
transmissão, de possíveis equipamentos da rede de transmissão (capacitores, reatores, etc.), porém 
sua inclusão não altera o número de equações como no caso do método das malhas. Apenas são 
adicionadas às admitâncias próprias dos barramentos onde estão ligadas. 
A matriz [YN] pode ser montada por inspeção, da seguinte forma: 
Elementos da Diagonal Principal: (Admitâncias Próprias) 
São dados pela soma de todas as admitâncias conectadas ao nó em questão. 
Elementos fora da Diagonal Principal: (Admitâncias Mútuas) 
São dados pela admitância (ou pela admitância equivalente, no caso de existir mais de uma) 
conectada entre nós em questão, com sinal trocado. 
Se existir acoplamento magnético no circuito, a análise nodal não é indicada devido à grande 
complexidade de que se reveste. 
Essa Lei de formação permite montar qualquer matriz [YN ] , de qualquer sistema elétrico, incluindo 
todos os componentes ligados aos barramentos, inclusive aqueles externos à rede de transmissão. 
Avell B155
Realce
Avell B155
Realce
 
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É importante observar que as admitâncias, próprias e mútuas dos barramentos representam grandezas 
de conceitos diferentes das impedâncias, próprias e mútuas das malhas definidas no método das 
malhas (ZAA, ZAB, etc.) e, como tal uma não é inversa da outra. 
Define-se, no entanto, uma matriz impedância nodal [ZN], ou ZBARRA OU ainda ZBUS, tal que [ZN] = 
[YN]
-1
 e assim, pode-se reescrever a equação matricial, conforme a seguir: 
[EN] = [ZN] . [IN] 
A matriz impedância nodal | ZN | pode ser representada por: 
 | | |
 
 
 
 
 
 
 
| 
Observa-se, no entanto que Zij Yij 
-1
 
Essa matriz, que não deve ser confundida com a matriz de impedância de malha ZM, tem grande 
importância na análise de sistemas elétricos, principalmente no estudo de curto-circuitos. 
Considerando agora todas as tensões, exceto E1, iguais a zero, verifica-se pela equação de IN que, 
neste caso, o produto Y11 E1 dará a corrente na barra 1, quando todas as barras exceto 1, são curto-
circuitadas. 
Assim a matriz YN é também denominada matriz curto-circuito. 
Por outro lado, admitindo-se todas as correntes nos barramentos, exceto , nulas, tem-se, pela 
equação de EN que o produto Z11 dará a tensão na barra 1, quando todas as demais estão abertas. 
Assim, a matriz ZN é denominada também de matriz de circuito aberto. 
EQUAÇÕES DE FLUXO DE POTÊNCIA 
Os métodos atuais de solução das equações de fluxo de potência, em sua grande maioria, foram 
desenvolvidos com base no sistema nodal de modelagem do sistema elétrico, equacionando-se 
potências no lugar de correntes. 
Sabe-se que em qualquer nó i de um sistema elétrico existe o equilíbrio de potências, que pode ser 
expresso pela seguinte equação: 
Si
G
 – SiC - SiT = 0 
 
 
 
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Onde: 
Si
G
 é a potência gerada no nó i; 
Si
C
 é a potência consumida no nó i; 
Si
T
 é a potência transferida do nó i para os demais nós do sistema ligados a ele. 
A potência transferida de um determinado nó i de um sistema para outro nó k, através do ramo i - k, é 
conhecida como fluxo de potência do nó i para o nó k, e pode ser encontrada da seguinte forma: 
Seja o ramo i - k, representado por uma linha de transmissão, indicado a seguir: 
 
 
 Sik Iik IS r + jx 
 IP 
 jy jy 
 
 
Sabe-se que a potência transferida do nó i para o nó k pode ser equacionada da seguinte maneira: 
Sik = Vi i Iik
* 
Sendo: 
Iik = IP + IS 
Vem: 
Iik = Vi I jy + (Vi i – Vk k) / (r + jx) 
Ou: 
Iik* = Vi -i(- jy ) + (Vi -i – Vk -k) / (r - jx) 
E daí: 
Sik = Vi i [Vi -i (- jy ) + (Vi -i – Vk -k) / (r - jx)] 
 
(i) (k) 
Vi  θi Vk  θk 
 
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Operando vem: 
Sik = - jyVi
2
 + (Vi
2
 – ViVk  i - k) / (r - jx) 
Sabendo que: 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
Pode-se escrever: 
Sik = - jyVi
2
 + (Vi
2
 – ViVk  (i - k) . 
 
 
 
Sendo: 
gik = 
 
 
 a condutência série de LT 
bik = 
 
 
 a susceptância série de LT 
A equação de potência pode ser escrita conforme a seguir: 
 
Sik = - jyVi
2
 + (Vi
2
 – ViVk  (i - k) . (gik – jbik) 
Por outro lado, da lei de formação de matriz YN, sabe-se que o elemento de fora da diagonal principal 
é exatamente a admitância do ramo correspondente à sua posição na matriz, com o sinal trocado. 
Assim, para o ramo i - k, esse elemento pode ser escrito da seguinte forma: 
Yik = Gik + j Bik 
E as parcelas: real e imaginária são calculadas conforme a seguir: 
Gik= 
 
 
 = - gik 
Bik = - (
 
 
) = 
 
 
 = - bik 
 
 
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E a equação de potência pode ser escrita em função de Gik e Bik, conforme adiante, já que esses 
elementos estão armazenados na matriz YN. 
Então: 
Sik = - jyVi
2
 + (Vi
2
 – ViVk  (i - k) . ( - Gik + jBik ) 
 
Escrevendo: θik = θi - θk vem: 
 
Sik = - jyVi
2
 + [Vi
2
 – ViVk ( cos θik + j sen θik )] . ( - Gik + jBik ) 
Sik = - jy Vi
2
 + jVi
2
 Bik – Vi
2
 Gik – Vi Vk ( - Gik cos θi k – jGIk sen θ i k + jBik cos θik – Bik sen θik ) 
Sik = [ ViVk (Gik cos θik + Bik sen θik)
 – GikVi
2
 ] + j [ViVk (Gik sen θik – Bik cos θik ) + (Bik - y) Vi
2
 ] 
 
Como: 
Sik = Pik + j Qik , pode-se concluir que: 
 
Pik = Vi Vk (Gik cos θik + Bik sen θik ) – Gik Vi
2
 
 
Qik = Vi Vk (Gik sen θik - Bik cos θik ) + (Bik - y) Vi
2
 
Voltando à equação de equilíbrio de potência e escrevendo as potências complexas em termos de 
suas componentes ativa e reativa, vem: 
 
(Pi
G
 + jQi
G 
) - (Pi
C
 + jQi
C
) - (Pi
T
 + Qi
T
) = 0 
 
Pode-se dividir essa equação em duas, da seguinte forma: 
 
Pi
G
 – Pi
C
 – Pi
T
 = 0 
QI
G
 – Qi
C
 – QI
T
 = 0 
 
 
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PI
T
 e QI
T
 são dadas, respectivamente, pela soma de todas as potências ativas e reativas que deixam o 
nó i por intermédio dos ramos conectados a ele. 
Se for designado por k i o conjunto de todos os nós k ligados ao nó i (com k i), pode-se escrever: 
 
PI
T
 = ∑ 
QI
T
 = ∑ 
e as equações de equilíbrio de potência poderão ser reescritas como: 
 
Pi
G
 – Pi
C
 ∑ 
 = 0 
QI
G
 – Q i
C
 – ∑ 
 = 0 
 
Do estudo da matriz admitância nodal sabe-se que: 
∑ = Gii 
∑ Bii 
Sendo θii = θi – θi = 0, então: cos θii = 1 e sen θii = 0 
Pode-se, portanto, incluir o caso k = i nos somatórios acima e escrever: 
 
Pi
G
 – Pi
C
 – Vi ∑ = 0 
Qi
G
 – Qi
C
 – Vi ∑ = 0 
 
E finalmente essas equações são as equações de equilíbrio de potência no nó i de um sistema de n 
nós. Se essas equações forem escritas para todos os nós do sistema tem-se um vetor de equações de 
dimensão 2n que descreve o equilíbrio ou balanço de potência de todo o sistema elétrico. 
Por outro lado, qualquer nó i, ou barramento do sistema elétrico, fica caracterizado por 6 grandezas, 
a saber: 
 
 
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Módulo de Tensão → Vi 
Ângulo de Fase de Tensão → θi 
Potência Ativa Gerada → Pi
G
 
Potência Reativa Gerada → Qi
G
 
Potência Ativa Consumida → Pi
C
 
Potência Reativa Consumida → Qi
C
 
 
Sendo as cargas (Pi
C
 e Qi
C
) consideradas fixas e conhecidas, restam 4 grandezas a serem 
determinadas para cada nó i : Vi , θi , Pi
G
 e Qi
G
. 
Então, para um sistema elétrico de n nós, o número de variáveis será, portanto igual a 4 n, e o 
número de equações de fluxo de potência é igual a 2 n, o que não permite a solução direta do 
problema. 
Para contornar essa dificuldade é preciso especificar 2 das 4 variáveis em cada nó do sistema elétrico, 
de forma a igualar o número de equações ao número de incógnitas. 
 
 
Dependendo de quais variáveis são especificadas em determinado nó, esse é classificado em um dos 
3 tipos a seguir: 
I. nó de referência, slack (folga) ou swing (balanço) 
V e θ são especificadas 
P
G
 e Qi
G
 são incógnitas 
II. nós de tensão controlada ou nós P - V 
P
G
 e V são especificadas 
θ e Qi
G
 são incógnitas 
III. nós de cargaa ou nós P - Q 
P
G
 e Q
G
 são especificadas 
 
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V e θ são incógnitas 
 
Observe que a escolha das variáveis especificadas e as calculadas é bastante coerente com o 
problema, por exemplo: as barras de carga (P – Q) representam cargas ou gerações fixas onde são 
conhecidos o total de potência ativa e reativa injetada na barra. 
As barras de tensão controlada (P - V ) são utilizadas para barras onde existe alguma fonte de reativo 
variável (gerador, compensador síncrono ou estático) entre certos limites, que possibilite o controle 
da tensão. 
A barra swing serve como referência de fase para as tensões dos demais barramentos. Ao contrário 
das barras de carga e de geração, a barra de referência é um conceito fictício, criado pelos analistas 
de Fluxo de Potência. Ela se faz necessária porque não é possível pré-especificar as potências 
injetadas em todas as barras do sistema, já que as perdas na transmissão não são conhecidas até que a 
solução do fluxo de potência seja obtida. 
É usual escolher uma das barras P - V para swing (desde que seja um gerador) e fixar a sua tensão 
(módulo e ângulo) deixando a geração em aberto para fazer o balanço final: 
 
(PCARGA + Perdas= PGERADA) 
 
De acordo com as especificações acima as variáveis do sistema são classificadas em dois grupos: 
1) Variáveis de Controle 
 
São também chamadas de variáveis independentes e são constituídas por aquelas variáveis que são 
especificadas em cada nó. 
 
2) Variáveis de Estado 
 
Também chamadas variáveis dependentes, são constituídas pelas variáveis não especificadas em cada 
nó. 
 
As variáveis de controle e de estado são reunidas em dois vetores da seguinte forma: 
 
 
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ϋ |
 
 
 
| → variáveis de controle (especificada) 
 
 |
 
 
 
| → variáveis de estado (incógnitas) 
 
 
Existe ainda um conjunto de inequações que fazem parte do estudo do fluxo de potência formado, 
dentre outras, pelas restrições nos módulos das tensões nodais das barras P Q e nas injeções de 
potência reativa das barras P V. 
Vk
mim
 Vk Vk
max
 
Qk
min
 Qk Qk
máx
 
Tk1 
mín
 tk1 tk1 
max
 (tap) 
Conclui-se finalmente que, uma vez conhecidas as tensões nos barramentos do sistema (módulo e 
ângulo) qualquer outra grandezaelétrica pode ser obtida, tais como: fluxos de potência ativa e 
reativa, perdas, etc... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MÉTODOS DE SOLUÇÃO 
 
Devido à complexidade do sistema de equações do fluxo de potência, não é possível obter uma 
solução analítica exata. Então, deve-se utilizar uma técnica aproximada, que permita obter uma 
solução numérica suficientemente precisa por intermédio de métodos numéricos (iterativos). 
Esses métodos numéricos buscam a solução da seguinte maneira: 
Seja f(x) = 0 um sistema de equações não lineares. 
Primeiramente é estimada uma solução inicial que será usada no sistema de equações a ser resolvido, 
para calcular uma segunda melhor que a primeira, e assim sucessivamente, até que seja encontrada 
uma solução suficientemente precisa, dentro de certa tolerância pré-fixada. 
Há vários métodos iterativos utilizados em estudos de fluxo de potência, porém serão analisados 
aqueles considerados mais importantes. 
MÉTODOS DE GAUSS E GAUSS SEIDEL 
 
Estes métodos utilizam a matriz admitância nodal como instrumento de iteração. 
Sabe-se que para um sistema de n nós, vale a equação nodal: 
IN = YN EN 
Onde: 
1) EN é um vetor complexo (Vi i) n dimensional das tensões complexas dos nós; 
2) IN é um vetor complexo n dimensional das correntes injetadas nos nós; 
3) YN é uma matriz complexa, de ordem n x n. 
 
Por outro lado, a corrente injetada no nó i é resultado da injeção da potência complexa líquida: 
 
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Si = Si
G
 – Si
C 
 
Ou, em forma de suas componentes ativa e reativa: 
 
Si = Pi + jQi = (Pi
G
 – Pi
C
) + j(QI
G
 – QI
C
) 
 
A seguinte relação é verdadeira: 
 
Si = . 
 
Que pode ser reescrita da seguinte forma: 
 
Ii = 
 
 
 
 = 
 
 
 
A equação matricial da corrente pode ser escrita para cada componente do vetor IN , da seguinte 
forma: 
 
I1 = Y11E1 + Y12E2 + ... + Y1iEi + ... + Y1nEn 
I2 = Y21E1 + Y22E2 + ... + Y2iEi + ... + Y2nEn 
. 
. 
. 
Ii = Yi1E1 + Yi2E2 + ... + Yii Ei + ... + YinEn 
. 
. 
. 
ln = Yn1 E1 + Yn2 E2 + ... +YniEi + ... + Ynn En 
 
Daí, tirando o valor de E1 da 1
a
 equação pode-se escrever: 
 
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Y11 E1 = I1 – Y12E2 - ... – Y1i.Ei - ... – Y1n En 
 
Ou: 
 
Y11 E1 = I1 – ∑ 
 
 = I1 – ∑ 
 
 
 
 
 
E finalmente: 
 
E1 = 
 
 
 [I1 – ∑ 
 
 
 
 ] 
De acordo com a classificação dos nós feita anteriormente, pode-se concluir: 
a) Para o nó de referência, o valor de E é conhecido. Logo não há necessidade de escrever a sua 
equação. Isso é compensado pelo fato de que o número de tensões desconhecidas do sistema de 
equações também fica reduzido de 1; 
b) Nos nós tipo PQ, tanto o módulo como o ângulo de fase da tensão são desconhecidos. As 
grandezas especificadas em tais barras são as potências ativas e reativas geradas. Portanto, é válida a 
seguinte relação: 
Ii = 
 
 
 – 
 
 
 
 
Onde: 
 
 
 
 = 
 – 
 e 
 
 = 
 – 
 
 
Substituindo na equação de tensão, obtém-se: 
 
 
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Ei = 
 
 
 [ 
 
 
 – 
 
 
 – ∑ 
 
 
 
 ] 
Note que com a substituição feita, a equação passa a ser do tipo recursiva. 
c) Nos nós tipo PV, o módulo da tensão é especificado e somente o ângulo de fase é desconhecido. 
Por outro lado, nesse tipo de barra, apenas a potência ativa gerada é especificada, devendo a potência 
reativa gerada ser calculada. Nesse caso procede-se da seguinte forma: 
Inicialmente, calcula-se a potência reativa líquida injetada Qi
cal
 a partir de equação da potência, 
conforme a seguir: 
Qi
cal
 = Im { Ei li*} 
Portanto: 
Qi
cal
 = - Im { 
 Ii } 
 
Do sistema de equações de corrente, pode-se escrever: 
 
Ii = ∑ 
 
 
Portanto: 
 
Qi
cal = - Im { 
 ∑ 
 
 } 
 
Normalmente são especificados limites físicos da variação da potência reativa dos geradores e/ou 
compensadores. Nesse caso, quando o valor de Qi
cal
, obtido pela equação anterior, exceder esses 
limites, significa que a barra não tem condições de controlar o módulo da tensão no valor desejado, 
então, adota-se para Qi, o valor do limite mais próximo e considera-se a barra como PQ. 
Uma vez obtido Qi
cal
 utiliza-se a equação de cálculo das tensões da seguinte forma: 
 
Ei = 
 
 
 [ 
 
 
 – 
 
 
 – ∑ 
 
 
 
 ] 
 
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O valor de Ei calculado pode não satisfazer, necessariamente, a restrição o |Ei | = 
 
 o que se faz, 
então, é racionalizar Ei calculado, de tal forma que |Ei | = 
 
sem que o seu ângulo de fase 
encontrado mude. Em outras palavras, adota-se: 
 
 
 = 
 
 

 
 Onde 
 é o ângulo de fase de Ei, obtido pela equação de tensão. 
 
ROTEIRO DE SOLUÇÃO 
 
a) Estima-se valores inicias para o vetor das tensões de nó EN. Normalmente, para os nós do tipo 
PQ: Ei
0
 = 

 e para os do tipo PV, Ei
0
 = V
esp
 

 
 
b) Para todos os nós (menos o de referência) testa-se se o nó é do tipo PV. Se for, pula-se para o 
item d . Se for do tipo PQ continua-se; 
 
c) Calcula-se Ei usando a equação específica para o cálculo de tensões para os nós do tipo PQ, 
onde as tensões desconhecidas que aparecem no segundo membro são dadas pelos valores 
correntes do vetor EN . Vai-se ao item e; 
 
d) Calcula-se Qi
calc
 usando a equação para o cálculo de potência reativa. Os valores das tensões 
desconhecidas são dados pelos valores correntes do vetor EN. Calcula-se Ei usando a equação 
especifica para os cálculos das tensões para nó PV. Usa-se o valor do ângulo de fase de Ei 
encontrado para se obter Ei
ado;
; 
 
e) Após todos os nós (menos o de referência) terem sido processados, a primeira iteração está 
completada. Testa-se, então, se houve convergência do processo iterativo. Se houve, o 
processo é terminado e os últimos valores do vetor EN obtidos constituem a solução do 
problema. Se não houve convergência, o processo iterativo é reiniciado em b onde os valores 
do vetor EN recém encontrados substituemos valores da iteração anterior. 
 
Esse procedimento de substituição dos valores de tensão é posto em prática em todas as iterações, e é 
executado de maneira diferente nos métodos de Gauss e de Gauss Seidel. 
No método de Gauss, em cada iteração, todos os valores de tensão que aparecem no segundo membro 
das equações de tensão e potência são os valores da iteração anterior. No final da iteração, todos os 
valores das tensões são atualizados. A essa técnica dá-se o nome de substituição simultânea. 
No método de Gauss-Seidel, apenas os valores ainda não calculados na presente iteração são os da 
iteração anterior, ou seja, assim que um valor de tensão é calculado ele substitui o da iteração 
anterior. A essa técnica denomina-se substituição sucessiva. 
 
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O método de Gauss-Seidel além de apresentar maior rapidez de convergência do que o de Gauss 
ainda economiza memória, pois o vetor dos valores de tensão da iteração anterior não é necessário. 
Por essas razões, o método de Gauss Seidel é sempre preferido ao método de Gauss. 
 
 
CRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA 
O critério para detectar a convergência do processo iterativo, nesses métodos, normalmente consiste 
em verificar se a variação em todos os valores das tensões de todos os barramentos da iteração 
anterior para a atual está dentro de certa tolerância pré-estabelecida . 
Assim: | 
 
 | 
Sendo i = 1, 2, ... , n 
Onde o índice k denota o número da iteração. 
 
ACELERAÇÃO DE CONVERGÊNCIA 
Os métodos de Gauss e Gauss-Seidel são, normalmente, métodos de convergência lenta e, portanto, 
há vantagem em se utilizar fatores de aceleração no processo de convergência. As novas tensões, 
após as acelerações são dadas por: 
 
 
 
Onde α é o fator de aceleração, determinado empiricamente e quase sempre contido no seguinte 
intervalo 1 < α < 2. Para determinar o valor ótimo de α para um determinado sistema elétrico, 
resolve-se vários fluxos de potência com diferentes valores de α até encontrar o menor número de 
iterações necessário para a convergência. 
 
 
 
 
 
 
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Isso é ilustrado na figura a seguir: 
 
 iterações 
 
 α 
 1 α ótimo 2 
O valor típico adotado para α é de 1,6 por ser esse valor o que melhor acelera esses métodos na 
maioria dos sistemas elétricos. 
 
ASPECTOS COMPUTACIONAIS 
Em um programa de computador de caráter prático, nunca se deve usar conjuntos bidimensionais 
para armazenar a matriz YN porque não se poderia explorar a extrema esparsidade dessa matriz. 
Levando-se em conta essa afirmação, o uso total de memória dos métodos de Gauss e Gauss Seidel é 
proporcional a n, sendo n o número de nós do sistema elétrico. 
O número de operações por iteração do método é proporcional a n. Portanto, o número total de 
operações é proporcional a n
2
 . 
A convergência é lenta e duvidosa, devida, principalmente, ao fraco acoplamento observado entre os 
nós do sistema elétrico, quando o mesmo é modelado através de sua matriz admitância nodal. 
As principais vantagens são a sua facilidade de implementação e a pouca necessidade de memória de 
computadores. 
As principais desvantagens são: a inconfiabilidade da convergência e elevado tempo de 
processamento. 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 
 
Resolver as equações de fluxo de potência pelo método de Gauss-Seidel, do seguinte sistema elétrico: 
 
 
 
 X1 
 G1 G2 
 
 X2 X3 
 
 
Dado dos nós (p.u) 
Barra V θ PG QG PC QC 
1 1,05 0° ? ? - - 
2 1,04 ? 0,20 ? - - 
3 ? ? - - 0,60 0,25 
 
Dados dos ramos (p.u.) 
Emissor Receptor r x y 
1 2 - 0,24 - 
1 3 - 0,06 - 
2 3 - 0,18 - 
 
Tolerância = 0,005 
Fator de Aceleração FA = 1,6 
 
 
1 2 
~ 
 
~ 
3 
 
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Solução: 
1. Montagem da matriz YN 
gik = 
 
 
 = 0 → Gik = 0 
bik = - (
 
 
) = 
 
 
 → Bik 0 
yik = 0, então não existe admitância shunt ligada diretamente às barras 
 
YN = |
 
 
 
 
 
| 
 
B12 = 
 
 
 = j 4,17 p.u. = B21 
B13 = 
 
 
 = j 16,67 p.u. = B31 
B23 = 
 
 
 = j 5,56p.u. = B32 
B11 = - (B12 + B13) = - j 20,84 p.u. 
B22 = - (B21 + B23) = - j 9,73 p.u. 
B33 = - (B31 + B32) = - j 22,23 p.u. 
 
Então: 
 YN = |
- 
 - 
 
 
 - 
| 
 
 
 
 
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2. Estimativa dos valores Iniciais 
E = [
 
 
 
] [
 

 
 

 
 

 
] 
 
3. Calculo das tensões 
1ª Iteração 
Barra 1 → referência → não se calcula 
Barra 2 → PV 
Q2
cal
 = - Im { E2* ∑ 
 
 } 
Q2
cal
 = - Im { E2*( + E2 + E3 )} 
Q2
cal
 = - Im {  [  . j4,17 +  (-j9,73)+  . j5,56]} 
Q2
cal
 = - Im{ - 0,0 – j0,19 } = 0,19 p.u. 
Daí: 
E2
1
 = 
 
 
 [ 
 
 
 – 
 
 
 – ∑ 
 
 
 
 ] 
 
 
 
 
= P2
G
 - P2
C
 = 0,20 – 0, 0 = 0,20 p.u. 
E2
1
 = 
 
 
 (
 – 
 

 
 

 

 ) 
E2
1
 =  p.u. → calculado 
E2
1
acelerado = α (E2
1
 – E2
0
 ) + E2
0 
 
E2
1
ac = 1,6 (  -  )  
E2
1
ac =  p.u. → calculado 
E2
1
ac =  p.u. → adotado 
 
 
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Barra 3 → PQ 
E3 = 
 
 
[(
 
 
 – 
 
 
 
 ) – ∑ 
 
 
 
] 
 
 
= P3
G
 - P3
C 
= 0,0 – 0,60 = - 0,60 
 
 
 = 
 
Q3
G
 - Q3
C 
= 0,0 – 0,25 = - 0,25 
E3
1
 = 
 
 
 [ 
 
 

 
 - ( 

 . j16,67 + 

 . j5,56)] 
E3
1
 =  p.u. 
E3
1
acelerado = α (E3
1
 –E3
0
 ) + E3
0
 
E3
1
ac = 1,6 (  -  ) +  
E3
1
ac =  p.u. 
 
Teste de Convergência 
| 
 
 | = | 

 

 | 
| 
 
 | = 0,03 → não convergiu 
Quando não converge para uma barra, não precisa testar para as demais, deve-se fazer outras 
iterações, até atingir a convergência. 
Supõe-se que o sistema convergiu ao alcançar os seguintes valores: 
E1 =  p.u. 
E2 =  p.u. 
E3 =  p.u. 
 
4. Cálculo dos Fluxos de Potência nos Ramos 
Pik = Vi Vk (Gik cos θik + Bik sen θik ) – Gik Vi
2
 
 
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Qik = Vi Vk (Gik sen θik – Bik cos θik ) + (Bik - y) Vi
2
 
Ramo 1 – 2 
P12 = V1 V2 (G12 cos θ12 + B12 sen θ12) – G12 V1
2 
P12 = 1,05 x 1,04 (4,17 sen (-2°)) = - 0,1589 p.u. 
Q12 = V1 V2 (G12 sen θ12 – B12 cos θ12 ) + (B12 - y) V1
2 
Q12 = 1,05 x 1,04 (- 4,17 cos (-2°))+ 4,17x 1,05
2
 = 0,0465 p.u. 
Ramo 2 - 1 
P21 = V2 V1 (G21 cos θ21 + B21 sen θ21 ) – G21 V2
2
 
P21 = 1,04 x 1,05 (4,17 sen (2°)) = 0,1589 p.u. 
Q21 = V2 V1 (G21 sen θ21 – B21 cos θ21 ) + (B21 - y) V2
2 
Q21 = 1,04 x 1,05 (- 4,17 cos (2°))+ 4,17 x 1,04
2
 = - 0,0406 p.u. 
 
O cálculo dos fluxos de potência nos demais ramos é análogo, limitando-se à simples aplicação de 
valores nas equações. 
 
5. Cálculo das Perdas 
Perda Ativa no ramo = (Pik + Pki) 
Perda Reativa no ramo = (Qik + Qik) 
 
Ramo 1 - 2 
P12 + P21 = - 0,1589 + 0,1589 = 0 
Q12 
+
 Q21 
=
 0,0465 - 0,0406 = 0,0059 p.u. 
 
Perdas totais do Sistema 
Ativas = ∑ Perdas Ativas em todos os ramos 
Reativas = ∑ Perdas Reativas em todos os ramos 
 
 
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6. Cálculo das Potências Geradas 
Para os cálculos das potências geradas são utilizadas as equações de equilíbrio de potências nas 
respectivas barras onde há geração e os valores são desconhecidos, conforme segue: 
 
Pi
G
 – Pi
C
 – Vi ∑ = 0 
Qi
G
 – Qi
C
 – Vi ∑ = 0 
 
Para a Barra de Referência, calcula-se Pi
G 
 e Qi
G
 , então para i = 1 → Pi
G
 e Qi
G
 
Para a Barra P V, calcula-se apenas Qi
G
 , então para i = 2 → Q2
G
 
 
Assim: 
P1
G 
= V1 (V1 B11 sen θ11 + V2 B12 sen θ12 + V3 B13 sen θ13) 
P1
G
 = 1,05 [1,04 x 4,17 sen (– 2°) + 1,037 x 16.67 sen (5°)] 
P1
G
 = 1,4231 p.u. 
Q1
G
 = V1 (–V1 B11 cos θ11 – V2B12 cosθ12 – V3 B13 cos θ13) 
Q1
G
 = 1,05 [– 1,05 (– 20,84) x 1,0 – 1,04 x 4,17 cos (-2°) – 1,037 x 16,67 cos (5°)] 
Q1
G
 = 0,3431 p.u. 
 
Q2
G
 = V2 (– V1 B21 cos θ21 – V2 B22 cos θ22 – V3 B23 cos θ23) 
Q2
G
 = 1,04 [– 1,05 x 4,17 x cos (2o) –1,04 x (– 9,73) x 1,0 – 1,037 x 5,56 cos (5o) ] 
Q2
G
 = – 0,00043 p.u. 
 
 
 
 
 
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MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON OU NEWTON 
 
É o método geral para a determinação de raízes reais de equações não lineares. Em essência, o 
método de Newton-Raphson baseia-se na série de Taylor, da seguinte forma: 
Se uma aproximação x
k
 é conhecida para uma das raízes da equação f (x) = 0, então uma melhor 
aproximação pode ser obtida calculando-se: 
 
x
k+1
 = x
k
 - (f’(xk))-1 . f (xk) 
Chamado xk = - (f’(xk))-1 . f (xk) 
Pode-se escrever: 
x
k+1
 = x
k
 + xk 
 
Este método pode ser estendido a um conjunto de equações não lineares da seguinte forma: 
f1 (x1 , x2 , ... , xn) = 0 
f2 (x1 , x2 , ... , xn) = 0 
 
fn (x1, x2 , ... , xn) = 0 
Da mesma forma se é conhecido o vetor X
k
 das variáveis (x1
k
, x2
k
, ... , xn
k
) que constituem uma 
aproximação a uma das raízes do conjunto, então uma melhor aproximação pode ser calculada por: 
 
X
k+1
 = X
k
 – J-1 F(Xk) 
Chamando: Xk = - J -1 F (xk) 
 
Pode-se escrever: 
 
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X
k+1
 = X
k
 + Xk 
 
Onde: 
1) F (X
k
) é o vetor constituído pelos resultados das equações anteriores substituindo-se os valores do 
vetor X
k
. 
2) J é a matriz das derivadas parciais de primeira ordem das equações, com relação às variáveis X. 
Essa matriz é chamada matriz Jacobiana do sistema de equações, ou simplesmente Jacobiano. Os 
elementos da matriz Jacobiana são definidos como: 
 Jij = 
 
 
 
 Jii = 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Sejam as equações: 
f1 (x1 , x2) = x1
2
 + x2
2
 - 5 = 0 
f2 (x1, x2) = x1
2
 - x2
2
 + 3 = 0 
cujas as raízes são: 
x1= ±1 
x2 = ±2 
Supondo que sejam conhecidas as seguintes aproximações: 
x1= 0,5 e x2 = 1,5 
Pede-se obter uma aproximação melhor, usando o método de Newton-Raphson. 
 
 
 
 
 
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Solução: 
1° Passo: montagem, do vetor X
1 
Tem se: X
1 
= |
 
 
| 
 
2° Passo: montagem do vetor F (X
1
) 
f1 ( 
 , 
 ) = 0,5
2
 + 1,5
2
 - 5 = - 2,5 
f2 ( 
 , 
 ) = 0,5
2
 – 1,52 + 3 = 1,0 
 
logo: f(X
1 
) = |
 
 
| 
 
3° Passo: montagem da matriz Jacobiana 
 
 
 
 = 2x1 = 1 
 
 
 = 2x2 = 3 
 
 
 
 = 2x1 = 1 
 
 
 = - 2x2 = - 3 
Portanto: 
J = |
 
 
| 
 
Nota-se que o Jacobiano não é simétrico. 
 
4° Passo: Inversão do Jacobiano 
A inversa de uma determinada matriz é igual à sua matriz adjunta dividida pelo seu determinante. 
Então: 
 
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J
-1
 = |
 
 
| 
 
5° Passo determinação de X1 
Sabendo-se que: X1 = - J -1 F (X1) 
 X1 = - |
 
 
| |
 
 
| = |
 
 
| 
6° Passo: determinação de X
2 
Sendo X
2 
= X
1 
+ X1 , obtém – se: 
X
2 
= |
 
 
| |
 
 
| = |
 
 
| 
Observa-se que X
2
 constitue uma melhor aproximação às raízes (x1=1, x2 = 2) que X
1
. 
O processo poderia agora ser reiniciado do 2
o
 passo, usando os valores de X
2
 para obter uma melhor 
aproximação ( X 
3
) e assim por diante até que a aproximação fosse suficientementeacurada. 
 
Representação Gráfica 
 
Seja uma função com apenas uma variável f (x): 
 
 
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Na solução f (x) = 0 
Seja a aproximação x
1
 
Uma melhor aproximação será: 
x
2
 = x
1
 + x1 
 x1 = - f’(x1)-1 . f (x1) = - 
 
 
 
Sabe-se que: f ’ (x1) = tg α = - tg 
 tg = 
 
 
 
 x1 = 
 
 
 
 
 = l 
Então x
2 
=
 
x
1 
+ l 
 
Pelo gráfico conclui-se que x
3
 já pode ser aceita como solução, já que x
1
 é uma boa estimativa inicial. 
Por outro lado, se for adotado x
1’
 como estimativa inicial, o método não alcança a solução. 
Pode-se observar que o método é bastante influenciado pela forma da função f(x) e também pela 
escolha da aproximação inicial x
1.
 Normalmente o método trabalha muito bem para funções 
contínuas convexas. 
A grande vantagem desse método é que ele possui convergência quadrática, o que significa que 
quanto mais se aproxima da solução, mais rápido o método tende a convergir para ela. Por isso, a sua 
confiabilidade é muito grande para funções contínuas e bem definidas analiticamente. 
 
 
 
 
 
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APLICAÇÃO AS EQUAÇÕES DE FLUXO DE POTÊNCIA 
 
Para as equações do fluxo de potência, trabalha-se com o vetor g, definido pelas seguintes equações: 
 
Gi
p 
= Pi
G
 – Pi
C
 – Vi ∑ = 0 
Gi
Q
 = Qi
G
 – Qi
C
 – Vi ∑ = 0 
 
O vetor g é constituído dos seguintes elementos: 
 
a) Para o nó de referência 
Vr e θr são conhecidos, portanto não é preciso nenhuma equação para esse nó. 
 
b) Para cada nó P - Q 
Vj e θj são desconhecidos, portanto é preciso duas equações: Gi
p 
 e Gi
Q
. 
 
c) Para cada nó P - V 
Vj é conhecido e θj é incógnito, portanto só é preciso uma equação: Gi
p
.
 
 
Assim, concluí-se que o número total de incógnitas é igual a npv + 2npq. E também que o número 
total de equações é igual a npv + 2npq 
Onde: npv e npq são, respectivamente, os números de nós P - V e P - Q do sistema. 
 
Então, o vetor g que engloba todas as equações do fluxo de potência pode ser organizado da seguinte 
forma: 
g = |
 
 
| 
 
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Onde: 
1) g 
p
 é o vetor das equações de potência ativa, escritas para todos os nós do sistema, exceto o de 
referência; 
2) g 
Q
 é o vetor das equações de potência reativa, escritas para todos os nós P-Q do sistema. 
 
O vetor x contendo as incógnitas (ou variáveis de estado) pode ser escrito como: 
x = |
 
 
| 
Onde: 
1) θ é o vetor dos ângulos das tensões para todos os nós, menos o de referência; 
2) V é o vetor dos módulos das tensões para todos os nós P – Q do sistema. 
 
Durante o processo iterativo de solução, os vetores g
P
 e g
Q
 não serão nulos já que seus elementos 
estarão sendo calculados com valores aproximados das variáveis θ e V. Portanto, os valores obtidos 
para os elementos desses vetores são resíduos (mismatches) que medem a menor ou maior 
proximidade da solução - quanto mais próximos esses elementos estão de zero, mais próximo estará o 
processo iterativo da solução. Por essa razão os vetores g
P
 e g
Q
 são também denotados, 
respectivamente, como P e Q, indicando que eles traduzem os mismatches (erros) de potência 
ativa e reativa nos nós do sistema durante o processo iterativo. 
 
Então, a expressão iterativa para solução das equações será: 
x
k + 1 
 = x
k
 + xk 
 Sendo: xk = - J-1 gk 
 
A matriz J (Jacobiano), neste caso, constará de 4 submatrizes, da seguinte forma: 
J = |
 
 
| 
 
 
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Cujos elementos de cada uma dessas submatrizes são dados por: 
Hij = 
 
 
 
 Hii = 
 
 
 
 
N’ij = 
 
 
 
 N’ii = 
 
 
 
 
Jij = 
 
 
 
 Jii = 
 
 
 
 
L’ij = 
 
 
 
 L’ii = 
 
 
 
 
 
Onde os índices i e j são relativos aos nós i e j do sistema elétrico e não a eixos da matriz Jacobiana. 
Os elementos do vetor x, em concordância com os do vetor x, são dados por: 
 
 x = [
 
 
] 
 
As equações de solução do método podem, portanto, ser reescritas como: 
 
[
 
 
] = [
 
 
] + [
 
 
] 
[
 
 
] = - |
 
 
|
 
[
 
 
] 
 
Para simplificação dos cálculos costuma-se redefinir as submatrizes N’ e L’, com o fim de tomar 
iguais, numericamente, os termos Hij e L’ij, bem como simétricos os termos Jij e N’ij do Jacobiano, 
como o vetor x da seguinte forma: 
 
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 x = [
 
 
] 
 
Onde V/V é um vetor onde cada elemento de V aparece dividido pelo V correspondente. 
As submatrizes N’ e L’ passam a ser denotadas por N e L e seus elementos dados por: 
 
Nij = 
 
 
 
 Nii = 
 
 
 
 
Lij = 
 
 
 
 Lii = 
 
 
 
 
 
Assim, não se altera a equação do método, conforme a seguir: 
 
[
 
 
] = - | 
 
 
| [
 
 
] 
 
E finalmente as novas equações iterativas serão dadas por: 
 
[
 
 
] = [
 
 
] + [
 
 
] 
[
 
 
] = - |
 
 
|
 
 [
 
 
] 
 
ROTEIRO DE SOLUÇÃO 
 
a) Fazer o contador de iterações k = 0 e estimar valores iniciais para θk e Vk (normalmente θ = 0 
e V=1,0); 
 
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b) Formar os vetores Pk e Qk e testar a convergência; 
 
c) Formar e inverter a matriz Jacobiana; 
 
d) Calcular os vetores de correção θk e Vk; 
 
e) Obter os novos valores θk +1 e Vk +1 usando a expressão iterativa da solução, fazer k = k + 1 e 
voltar ao item b. 
 
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Os vetores