Cáculo II Lista de Exercícios 3 Eng Ambiental (1)

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IFF/Campus Campos Guarus – Engenharia Ambiental 
Cálculo II - Lista de Exercícios 3 
Prof. André Soares Velasco 
 
1)Seja 
2f(x, y) = x y +1. 
Determine: 
a)f(2,1) d)f(0,0) 
b)f(1,-3) e)f(3a,a) 
c)f(1,2) f)f(ab,a-b) 
 
2)Seja 
2 3f(x, y, z) = xy z + 3. 
Determine: 
a)f(2,1,2) d)f(a,a,a) 
b)f(-3,2,0) e)f(t,t
2
,-t) 
c)f(0,0,0) f)f(a+b,a-b,b) 
 
3)Uma empresa fabrica dois modelos de impressoras, um de baixa resolução e outro de alta 
resolução. A função custo para produzir x impressoras de baixa resolução e y impressoras de 
alta resolução é 
C(x, y) = 27 xy +195x + 215y + 980. 
Determine o custo para produzir 80 
impressoras de baixa resolução e 20 impressoras de alta resolução. 
 
4)O tempo médio que uma pessoa passa em uma fila é dado por 
1
W(x, y) = , com y < x 
x - y
 
onde y é o fluxo médio de pessoas e x é a rapidez de atendimento (x e y são medidos em 
pessoas por hora). Determine os valores de W para os valores dados de x e y. 
a)(15,10) b)(12,9) c)(12,6) d)(4,2) 
 
5)Em um prédio industrial de formato retangular, com dimensões x, y e z, temos a informação 
da quantidade de calor perdida por dia através de cada uma das laterais do prédio, do teto e do 
piso, medidas em uma unidade apropriada de calor, por metro quadrado. Seja f(x,y,z) a perda 
de calor total em um dia. 
 
a)Encontre uma fórmula para f(x,y,z). 
b)Determine a perda total de calor diária tendo o prédio o comprimento de 100 metros, a 
largura de 70 metros e a altura de 50 metros. 
 
6)Em um determinado período de tempo, o número de unidades de bens produzidos, quando 
utilizamos x unidades de mão-de-obra e y unidades de capital, é 
3/4 1/4f(x, y) = 60x y . 
Determine: 
a)Quantas unidades de bens serão produzidas utilizando 81 unidades de mão-de-obra e 16 
unidades da capital. 
b)Mostre que a produção será dobrada sempre que as quantidades de mão-de-obra e capital 
forem multiplicados por dois. 
Teto 
Face 
Leste 
Face 
Oeste 
Face 
Norte 
Face 
Sul 
Piso 
10 8 6 10 5 1 
Perda de calor 
(por metro quadrado) 
xy yz yz xz xz xy 
Área 
(metros quadrados) 
 
7)Esboce as curvas de nível das alturas -2, -1, 0, 1 e 2 para as seguintes funções: 
a)
f(x, y) = 2x + y
 
b) 
2f(x, y) = x y
 
c) 
2 2f(x, y) = x 25y 
 
 
8)Esboce as superfícies de nível das alturas 0, 1 e 2 para as seguintes funções: 
a)
f(x, y,z) = x + y + z - 2
 
b) 
2 2 2f(x, y,z) = x 1y z  
 
c) 
2 2f(x, y,z) = z - x - y
 
 
9)Seja 
2 3f(x, y) = x 2 3x xy 
. Determine a equação da curva de nível que passa pelos pontos: 
a)(-1,1) b)(0,0) c)(2,-1) 
 
10)Seja 
2 2f(x, y, z) = x y z 
. Determine a equação da superfície de nível que passa pelos 
pontos: 
a)(1,-2,0) b)(1,0,3) c)(0,0,0) 
 
11)Calcular o limite, caso exista. 
a)
2
(x,y) (1,3)
lim 4xy -x 

 
b) 3
(x,y) (-1,2)
xy
lim 
x+y
 
c) 
2 3
(x,y) (0,0)
lim ln(1+x y )

 
d)
2
(x,y) (1/2, )
lim x y sen(xy) 

 
e) 4 4
2 2(x,y) (0,0)
x -16y
lim 
x +4y
 
f) 2 2
3 3(x,y) (2,2)
x -y
lim 
x -y
 
g) 2
2 2 2(x,y,z) (2,-1,2)
xz
lim 
x +y +z
 
 
12)Determine todos os pontos em que a função é contínua. 
a)
4 3 2f(x,y) = x -2xy -3x y+5y-11
 c)
2 2
x-y+1
f(x,y) = 
x y-3x -y+3
 
b)
2 2f(x,y) = cos x +y +1
 d)
f(x,y) = ln(xy-1)
 
 
13)Verifique se 2 2
3xy
 se (x,y) (0,0)
x +yf(x,y) = 
0 se (x,y) = (0,0)





 é contínua em (0,0). 
 
h) 2
2(x,y,z) (2,3,1)
y -4y+3
lim 
x z(y-3)
 
i)
2 2(x,y) (0,0)
1
lim 
x +y
 
j) 2 2
2 2(x,y) (0,0)
x -2xy+5y
lim 
3x +4y
 
k) 2 2
2 2(x,y) (0,0)
2x -y
lim 
x +2y
 
l) 2
(x,y) (2,1)
x -4x+4
lim 
xy-2y-x+2
 
m) 3 3 3
(x,y,z) (0,0,0)
x +y +z
lim 
xyz
 
14)Determine as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x e em relação a y. 
a)
f(x,y) = 2x-3y+5
 
b)
2f(x,y) = 5 x-6y
 
c)
x
f(x,y) = 
y
 
 
15)Calcule os valores de 
x yf e f
no ponto indicado. Determine a inclinação da superfície, no ponto 
indicado, na direção x e na direção y. 
a)
2 2f(x,y) = 3x +xy-y , (2,1)
 c)
xy
f(x,y) = , (2,-2)
x-y
 
b)
3xyf(x,y) = e , (0,4)
 d)
2 2f(x,y) = ln(x +y ), (1,0)
 
 
16)Determine a inclinação da superfície, no ponto P indicado, na direção x e na direção y. 
a)
2 2z = x -9y , P = (3,1,0)
 b)
2 2f(x,y) = 25-x -y , P = (3,0,4)
 
 
17)Determine as derivadas parciais de segunda ordem 
xx yy xy yxf , f , f e f
. 
a)
3 2f(x,y) = x -4y
 c)
xy
f(x,y) = 
x-y
 
b)
3 2 3f(x,y) = 4x +3xy -4y
 d)
2-yf(x,y) = xe
 
 
18)A temperatura em qualquer ponto (x,y) de uma placa de aço é dada por T = 500-0,6x
2
-1,5y
2
, onde x 
e y são medidos em metros. Determine as taxas de variação da temperatura com a distância ao longo 
dos eixos x e y no ponto (2,3). 
 
19)Uma medida de sensação de calor é o chamado Índice de Temperatura Aparente, dado pela 
equação A(t,h) = 0,885t-22,4h+1,2th-0,544, onde A é a temperatura aparente em graus Celsius, t é a 
temperatura do ar em graus Celsius e h é a umidade relativa em forma decimal. (Fonte: The UMAP 
Journal) 
a)Determine 
A
t


 e 
A
h


. 
b)Determine as taxas de aumento da temperatura aparente em relação à temperatura do ar e em relação 
à umidade quando a temperatura do ar em graus Celsius é de 32ºC e a unidade relativa do ar é de 80%. 
 
20)Uma companhia petroquímica tem duas unidades industriais que produzem resina PET em forma 
de chips. Se x1 e x2 são os números de unidades (em milhares) produzidas na fábrica 1 e na fábrica 2, 
respectivamente, a receita total com o artigo é dada por 
2 2
1 2 1 1 2 2R = 200x + 200x - 4x - 8x x - 4x
. Para x1 = 
4 e x2 = 12, determine: 
a)A receita marginal da fábrica 1, 
1
R
x


. b)A receita marginal da fábrica 2, 
2
R
x


. 
 
 
 
 
 
d)
2 2f(x,y) = x +y
 
e)
2 2yf(x,y) = x e
 
f)
2f(x,y) = sen(y -4x)
 
 
21)Determine os valores das integrais impróprias dadas, caso seja possível. 
a)
 
0
3/2- 
1
 dx
1 - 2x

 b)
2-x
0
2xe dx


 c)
2
31
1
 dx
x - 1

 d)
2
21
2
 dx
x - 2x
 
 
22)Seja R a região à direita de x = 1 que é limitada pelo eixo x e pela curva y = 1/x. Quando este 
região é girada em torno do eixo x, ela gera um sólido cuja superfície é conhecida como Trombeta de 
Gabriel ou Trombeta de Torriceli (por razões bem claras na figura abaixo). Mostre que o sólido tem 
um volume finito. É importante destacar que a sua superfície tem uma área infinita. [Nota: foi sugerido 
que se alguém pudesse saturar o interior do sólido com tinta e permitir que fosse filtrada para a 
superfície, então poderia pintar uma superfície infinita com uma quantidade de finita de tinta! O que 
você acha?]