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livroquantum

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[146]. Observamos que em [146] as condic¸o˜es de fronteira para as
autofunc¸o˜es ϕn : [a, b] → R sa˜o gerais (por exemplo da forma ϕn(a) =
0 = ϕn(b)) mas na˜o exatamente perio´dicas da forma ϕn(a) = ϕn(b)).
De qualquer forma os mesmos princ´ıpios gerais podem ser aplicados no
caso perio´dico. Em [210] na expressa˜o (1.3.2) da sec¸a˜o 1.3 as condic¸o˜es
perio´dicas de fronteira sa˜o contempladas como caso particular.
O mesmo ocorre para o operador Hamiltoniano H correspondente a
V : M → R quandoM e´ variedade Riemanniana compacta (sem bordo).
Estas questo˜es unidimensionais esta˜o relacionadas ao Problema de
Sturm Liouvile (num intervalo [a, b]) e sa˜o descritas com muitos detalhes
em [146] e tambe´m por J. Bellissard na sec¸a˜o 1.5 pagina 555 de [299].
Por exemplo, as autofunc¸o˜es tomam valores reais (ver 2.5 na pa´gina
102 de [146]) e os autovalores formam um conjunto enumera´vel (ver 2.6
pa´gina 103 e Cor. 4 pa´gina 117 em [146]). Referimos tambe´m o leitor a
[64] para outros detalhes sobre estas considerac¸o˜es.
A autofunc¸a˜o ϕ0 associada menor autovalor λ0 do operador H (ver
sec¸a˜o 11.5 em [184]) satisfaz e´ claro a equac¸a˜o
H(ϕ0) = − ~
2
2m
△(ϕ0) + V(ϕ0) = λ0ϕ0.
Assim, ϕt = e
−i
~ λ0 tϕ0 descreve a evoluc¸a˜o desta condic¸a˜o inicial que e´
estacionaria.
Denote por ϕm0 a soluc¸a˜o para cadam distinto deH(ϕ
m
0 ) = [− ~
2
2m △+
V ](ϕm0 ) = λ0ϕm0
No caso unidimensional a autofunc¸a˜o associada ao menor autovalor
e´ u´nica e estritamente positiva. No item 3) da sec¸a˜o 1.6 onde apresen-
tamos va´rios exemplos o caso espec´ıfico de potencial V perio´dico e as
autofunc¸o˜es de H sera´ analisado com mais detalhe. O leitor interessado
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Sec¸a˜o 1.1 Estados e a equac¸a˜o de Schrodinger 51
em mais detalhes pode encontra´-los na proposition 2.9 chapter 8 in [283]
ou em [184].
Em [272] o autor (que e´ um matematico expert no assunto de limite
semicla´ssico) explica que no caso de um eletron a equac¸a˜o
i ǫ
∂ψ
∂t
(t, x) = − ǫ
2
2m
∂2ψ(t, x)
∂x2
+ V (x)ψ(t, x)
e´ aquela obtida reescalando todos os parametros f´ısicos da equac¸a˜o de
Schrodinger (massa, carga do eletron, constante de Plank, etc.). Este
ǫ e´ uma constante ”dimensionless”, ou seja, uma constante matema´tica
sem atributos de grandezas como metros, segundos, etc... Assim, o com-
portamento cla´ssico ”deveria”emergir quando ǫ vai a zero assumindo a
premissa ba´sica que a Mecaˆnica Cla´ssica descreve sistemas que possuem
escalas de energia-tempo muito maiores que ~.
Mais precisamente, para t fixo, a distribuic¸a˜o de probabilidade de
|ψt(x)|2 - onde ψt satisfaz a equac¸a˜o de Schorodinger acima com ǫ
varia´vel - deveria descrever, de alguma forma, quando ǫ→ 0, um sistema
mecaˆnico cla´ssico.
Mas uma ana´lise completa da questa˜o, segundo o autor, ainda na˜o
esta´ totalmente contemplada em termos matema´ticos (ver [100] para
maiores detalhes).
Observac¸a˜o: No caso de V perio´dico a ana´lise do limite semicla´ssico
quando m → ∞ afirma que a probabilidade descrita pela densidade
|ϕm0 |2(x)dx vai se concentrar nos mı´nimos do potencial V . Esta afirmac¸a˜o
esta´ matematicamente fundamentada em va´rios casos e referimos o lei-
tor a [139] [265] [266], [108], [161], [162], [111] e [143] para a prova destes
resultados. Observe que do ponto de vista f´ısico faz sentido que o limite
do estado quantico de mı´nima energia, quando m → ∞, va´ determi-
nar soluc¸o˜es no menor n´ıvel de energia para o Hamiltoniano cla´ssico.
Observamos que embora em [143] (e em outras das referencias acima
mencionadas) os autores falem em ~→ 0, ou ǫ→ 0, o resultado tambe´m
pode ser la´ enunciado alternativamente como m→∞.
Questo˜es interessantes que relacionam a poss´ıvel descoberta de um
certo Hamiltoniano especial (tal que seus autovalores satisfac¸am certas
propriedades determinadas) e a Hipo´tese de Riemman aparecem em [31],
[54] and [26]
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52 Uma Visa˜o Panoraˆmica da Mecaˆnica Quaˆntica Cap. 1
Note que para obter a densidade da posic¸a˜o do estado ψt, t fixo, nos
basta |ψt|2. O papel e a necessidade de se tratar o estado ψt, t fixo, como
uma func¸a˜o que toma valores complexos, no entanto, esta´ associado ao
seu cara´ter de onda e sua sucetibilidade a` interfereˆncia. Vamos elaborar
sobre isto.
Suponha que
H =
∑
n
λn Pϕn .
Se por acaso o estado inicial fosse ψ0 = a2ϕ2 + a7ϕ7., enta˜o,
ψt = α2 e
−i
~ λ2 t ϕ2 + α7 e
−i
~ λ7 t ϕ7
vai definir a distribuic¸a˜o de probabilidade em x, via |ψt(x)|2, que vai
variar dependendo de t. Assim, na˜o seria um estado estaciona´rio.
Suponha ainda que t esta´ fixo, e, que seja poss´ıvel construir um
aparato de tal forma que a part´ıcula sob a ac¸a˜o do Hamiltoniano H
selecione no tempo t um estado fixo (com norma 1), digamos, e
−i
~ λ2 t ϕ2.
Enta˜o, a densidade na varia´vel x observada seria dada por
|ϕ2(x)|2.
Suponha que t esta´ fixo, e, que agora construimos um novo aparato,
similar ao anterior, mas de tal forma que a part´ıcula sob a ac¸a˜o do
Hamiltoniano H selecione o estado (com norma 1) e
−i
~ λ7 t ϕ7. Enta˜o, a
densidade na varia´vel x observada seria dada por
|ϕ7(x)|2.
Um fato surprendente na Mecaˆnica Quaˆntica e´ que as distintas pos-
sibilidades de probabilidade se interferem entre si! Esta interfereˆncia
poderia se dar de muitas formas distintas, mas a que realmente
ocorre na Natureza e´ aquela que e´ a mais natural em termos
da estrutura subjacente de espac¸o vetorial. Mais exatamente, su-
ponha que contru´ıssemos um terceiro aparato que se utiliza dos outros
dois anteriores, que na˜o privilegia em excesso nenhum dos dois, mas que
permite a selec¸a˜o de part´ıculas sob as duas situac¸o˜es.
Pode ocorrer uma combinac¸a˜o do dois estados. Obter´ıamos assim um
estado mixto. Suponha que a2, a7 ∈ C sa˜o tais que a func¸a˜o resultante
tenha norma em L2(R3) igual a 1, ou seja, que
|a2 e
−i
~ λ2 t ϕ2 + a7 e
−i
~ λ7 t ϕ7 | = 1.
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Sec¸a˜o 1.1 Estados e a equac¸a˜o de Schrodinger 53
Ao se fazer uma medic¸a˜o deste novo estado, a densidade em x ob-
servada no tempo t no fenoˆmeno f´ısico em considerac¸a˜o, e´ dada por
| [ a2 e
−i
~ λ2 t ϕ2(x) ] + [ a7 e
−i
~ λ7 t ϕ7(x) ] |2 (∗).
O cara´ter da soma
[ a2 e
−i
~ λ2 t ϕ2(x) ] + [ a7 e
−i
~ λ7 t ϕ7(x) ] (∗∗),
e´ exatamente como aquela obtida atrave´s da soma de duas func¸o˜es de
ondas,
[ a2 e
−i
~ λ2 t ϕ2(x) ] e [ a7 e
−i
~ λ7 t ϕ7(x) ] (∗ ∗ ∗),
que se superpo˜em. Note como podem ser distintos os possiveis valores
da norma da soma ao variarmos apenas t. Se num certo tempo t e
num certo ponto x as parcelas estivessem positivamente alinhadas, por
exemplo,
[ a2 e
−i
~ λ2 t ϕ2(x) ] = 0.5 e
−0.3i,
e
[ a7 e
−i
~ λ7 t ϕ7(x) ] = 0.4 e
−0.3i
a soma das parcelas seria ma´xima. Desta forma a probabilidade de
encontrar a part´ıcula perto deste ponto x no tempo t seria grande.
Se, por outro lado, no tempo t e num certo ponto x as parcelas na˜o
estivessem alinhadas, por exemplo, uma igual a 0.5 e−0.3i e a outra igual
a 0.4 e (−0.3+π)i, enta˜o a soma seria bem menor.
Uma expressa˜o do tipo (*) e que e´ oriunda de (**) determina muitas
vezes um distribuic¸a˜o com muitas pequenas oscilac¸o˜es (grande variac¸a˜o
da derivada). Isto ocorre mesmo que |ϕ2(x)|2 e |ϕ7(x)|2 na˜o possuam
muitas oscilac¸o˜es. Uma descric¸a˜o geome´trica do que estamos dizendo:
imagine que na figura 1.3 temos que (a) descreve o gra´fico de |a2 ϕ2(x)|2
e (b) descreve o gra´fico de |a7 ϕ7(x)|2. Enta˜o poderia eventualmente
ocorrer em uma dada situac¸a˜o que (d) descreve ”aproximadamente”o
gra´fico de (*).
Observe que sob as condic¸o˜es acima quando se fizer uma medic¸a˜o da
energia vamos obter ou λ2 ou λ7. Quando se faz uma medic¸a˜o
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