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PRIMEIRA LISTA DE GEOMETRIA ANALÍTICA E CÁLCULO VETORIAL 1. Seja AB um segmento no plano. Vimos que um ponto C divide o segmento AB na razão k po l se d(A,C) d(C,B) = k l . Mostre que as coordenadas do ponto C, são dadas por lA+ kB l + k . 2. Dados os pontos A(6) e B(−2), determine os pontos A′, simétrico de A em relação a B e B′, simétrico de B em relação a A. 3. Verifique usando vetores que em um quadrilátero qualquer ABCD os pon- tos médios E,F,G e H dos lados, são os vértices de um paralelogramo. 4. Sejam A(−1, 6) e B(4,−4) pontos no plano. Considere os vetores ~u = ~AC e ~v = ~CB, onde C é um ponto sobre o segmento AB. Encontre as coordenadas do ponto C sendo 3~u = 2~v. 5. Dados A,B e C vértices de um triângulo, mostre que o baricentro G é dado por G = A+B + C 3 . 6. Dados os pares ordenados A(3,−1), B(−7, 2) e C(1,−4), calcule as co- ordenadas do vetor ~AB, as coordenadas do vetor ~BA e o vetor ~W = 2 ~AC − 3 ~BC + ~BA 7. Escreva o vetor ~v = (11, 7) como combinação linear dos vetores ~u = (1, 3) e ~w = (4, 1). 8. Determine um vetor unitário que tenha sentido oposto ao do vetor ~u = −3~i+ 4~j. 9. Dois vértices consecutivos de um quadrado são dados pelos pontos A(3, 1) e B(−2, 4). Calcule a área e a medida da diagonal deste quadrado. 10. Determine o ponto sobre a bissetriz do segundo quadrante que dista 5 unidades do ponto A(3, 1). 11. Calcule a medida da mediana traçada do vértice A do triângulo ABC, dados A(−1, 3), B(0,−2) e C(4, 0). 12. Verifique se os pontos A(−1,−1), B(3, 7) e C(0, 1) estão alinhados. 13. Qual relação deve existir entre x e y paa o ponto P (x, y) esteja alinhado com os pontos A(4,−2) e B(2, 1)? Tente generalizar este problema consi- derando A(x1, y1) e B(x2, y2). 1 14. Dados os pontos A, B e C vértices de um triângulo, sejam ~u = ~AC = (a, b) e ~v = ~AB = (c, d) os lados desse triângulo. Seja Θ o ângulo formado por ~u e ~v. Mostre que área do triângulo é dada por S = 1 2 |∆|, onde |∆| = ∣∣∣∣ a bc d ∣∣∣∣ .(Dica: Utilize a fórmula da geometria plana que fornece a área de um triângulo conhecidos seus lados e o ângulo formado por esses lados.) Observação 1. Observe que se |∆| = 0 os pontos estarão alinhados! Observe também que ao efetuar a conta para verificar o alinhamento dos pontos, o resultado encontrado é justamente o valor de ∆. 15. Sejam ~u = (2x− 1, 3) e ~v = (3, 4). Determine x para que os vetores ~u e ~v sejam perpendiculares. 16. Calcule o ângulo entre os vetores ~u = ( √ 3, 1) e ~v = (3, 0). 17. Dois vetores ~u e ~v tem módulo (norma) iguais a 5 e √ 3, respectivamente. Calcule: (a) a norma de ~u− ~v. (b) o produto escalar (~u+ 2~v) · (3~u− ~v) 18. Os ângulos diretores de um vetor não nulo ~v = (v1, v2, v3) são os ângulos α, β e γ que o vetor ~v faz com os eixos coordenados positivos x, y e z. Os cossenos desses ângulos diretores, cos(α), cos(β) e cos(γ) são chamados de cossenos diretores do vetor ~v. Mostre que cos2(α) + cos2(β) + cos2(γ) = 1. 19. O trabalho realizado por uma força ~F para deslocar um objeto de um ponto P a um ponto Q, é dado pelo produto escalar da força pelo vetor distância. Encontre o trabalho realizado por uma força ~F = 8~i− 6~j + 9~k que move um objeto do ponto (0, 10, 8) para o ponto (6, 12, 20) ao longo de uma reta. A distância é media em metros e a força em Newtons. 20. Um caminhão guincho puxa um carro quebrado por uma uma estrada reta. A corrente faz um ângulo de 30◦ com a estrada e a tensão na corrente é de 1.500N . Quanto trabalho é feito pelo caminhão ao puxar o carro por 1km. 2
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