AP2 métodos estatísticos 2009/ 2

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ME´TODOS ESTATI´STICOS I
2a AVALIAC¸A˜O PRESENCIAL
2o Semestre de 2009
Prof. Moise´s Lima de Menezes
Versa˜o Tutor
1. (1,0 ponto) Em certa linha de montagem, treˆs ma´quinas B1 , B2 e B3 produzem 30%, 45% e
25% dos produtos, respectivamente. Sabe-se, de experieˆncia anterior, que 2%, 3% e 2% dos produos
feitos por cada ma´quina, respectivamente, sa˜o defeituosos. Suponha que um produto ja´ acabado seja
selecionado aleatoriamente. Qual a probabiidade que ele na˜o apresente defeito?
2.(1,5 ponto) Uma indu´stria emprega treˆs planos anal´ıticos para criar e desenvolver certo produto.
Devido aos custos, os treˆs planos sa˜o usados em momentos variados na proporc¸a˜o de 30%, 20% e 50%
para os planos 1, 2 e 3 respectivamente. O ı´ndice de defeito para cada procedimento e´ de 1%, 3% e 2%
respectivamente. Se selecionarmos um produto aleatoriamente e verificarmos que o mesmo apresenta
defeito, qual foi o prova´vel plano usado e, consequentemente, responsa´vel pelo defeito?
3.(2,0 pontos) Considere uma varia´vel aleato´ria X tal que a sua func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada
tem os pontos: FX(0) =
1
16
, FX(1) =
5
16
, FX(2) =
22
32
, FX(3) =
15
16
e FX(4) = 1 .
a) Determine E(X) ;
b) Determine V ar(X) .
4. (2,0 pontos) Determine a distribuic¸a˜o de probabilidades para o nu´mero de CDs de jazz selecionados
quando quatro CDs sa˜o selecionados aleatoriamente e sem reposic¸a˜o de uma colec¸a˜o que consiste em
cinco CDs de jazz, dois CDs de mu´sica cla´ssica e treˆs CDs de rock. Determine tambe´m o nu´mero
esperado de CDs de jazz selecionados.
5. (2,0 pontos) Uma grande rede varejista compra certo tipo de equipamento eletroˆnico de um
fabricante. A indicac¸a˜o do fabricante e´ que 3% dos equipamentos sa˜o defeituosos.
a) O inspetor da rede seleciona 20 itens de um carregamento. Qual e´ a probabilidade de que haja
pelo menos um item defeituoso?
b) Suponha que a rede varejista receba 10 carregamentos por meˆs e o inspetor selecione aleatoria-
mente 20 equipamentos de cada carregamento. Qual e´ a probabilidade de que haja treˆs carregamentos
com pelo menos um item com defeito?
6. (1,5 ponto) Seja X uma varia´vel aleato´ria de uma distribuic¸a˜o Binomial de probabilidade com
me´dia 12 e desvio padra˜o 2 e seja Z = X−6
3
. Determine:
a) O nu´mero de experimentos independentes de Bernoulli de X;
b) A probabilidade de sucesso em cada experimento Bernoulli de X;
c) O nu´mero esperado de sucessos da varivel Z.
1
Soluc¸o˜es:
1)
As probabilidades de um produto vir de cada uma das treˆs ma´quinas sa˜o, respectivamente:
Pr(B1) = 0, 30, P r(B2) = 0, 45 e Pr(B3) = 0, 25.
As probabilidades de um produto ser defeituoso dado que vem de cada ma´quina, respectivamente, sa˜o:
Pr(D|B1) = 0, 02, P r(D|B2) = 0, 03 e Pr(D|B3) = 0, 02.
Pelo Teorema da Probabilidade Total, a probabilidade de um produto ser defeituoso e´:
Pr(D) = Pr(B1)Pr(D|B1) + Pr(B2)Pr(D|B2) + Pr(B3)Pr(D|B3)
= 0, 30× 0, 02 + 0, 45× 0, 03 + 0, 25× 0, 02 = 0, 006 + 0, 0135 + 0, 005 = 0, 0245.
No entanto, estamos interessados na probabilidade de o produto na˜o apresentar defeito. Ou seja,
Pr(D) = 1− Pr(D) = 1− 0, 0245 = 0, 9755.
2)
As probabilidades de a empresa empregar cada um dos treˆs planos anal´ıticos sa˜o, respectivamente:
Pr(1) = 0, 30, P r(2) = 0, 20 e Pr(3) = 0, 50.
As probabilidades de um produto estar defeituoso dado que o plano utilizado foi 1, 2 ou 3, sa˜o,
respectivamente:
Pr(D|1) = 0, 01, P r(D|2) = 0, 03 e Pr(D|3) = 0, 02.
A probabilidade de ter sido udado o plano 1, dado que o produto apresenta defeito e´, segundo o
Teorema de Bayes:
Pr(1|D) = Pr(1)Pr(D|1)
Pr(1)Pr(D|1) + Pr(2)Pr(D|2) + Pr(3)Pr(D|3)
=
0, 30× 0, 01
0, 30× 0, 01 + 0, 20× 0, 03 + 0, 50× 0, 02
=
0, 003
0, 003 + 0, 006 + 0, 01
=
0, 003
0, 019
= 0, 1579.
A probabilidade de ter sido udado o plano 2, dado que o produto apresenta defeito e´, segundo o
Teorema de Bayes:
Pr(2|D) = Pr(2)Pr(D|2)
Pr(1)Pr(D|1) + Pr(2)Pr(D|2) + Pr(3)Pr(D|3)
=
0, 20× 0, 03
0, 30× 0, 01 + 0, 20× 0, 03 + 0, 50× 0, 02
2
=
0, 006
0, 003 + 0, 006 + 0, 01
=
0, 006
0, 019
= 0, 3158.
A probabilidade de ter sido udado o plano 3, dado que o produto apresenta defeito e´, segundo o
Teorema de Bayes:
Pr(3|D) = Pr(3)Pr(D|3)
Pr(1)Pr(D|1) + Pr(2)Pr(D|2) + Pr(3)Pr(D|3)
=
0, 50× 0, 02
0, 30× 0, 01 + 0, 20× 0, 03 + 0, 50× 0, 02
=
0, 01
0, 003 + 0, 006 + 0, 01
=
0, 01
0, 019
= 0, 5263.
Como a probabilidade de ter sido o plano 3, dado que o produto apresentou defeito foi a maior , enta˜o
o plano 3 e´ o mais prova´vel.
3)
Para determinarmos E(X) e V ar(X) , precisamos da distribuic¸a˜o de probabilidade de X . Para
isso, encontremos as func¸o˜es de probabilidade aplicadas aos pontos onde X esta´ definida. Assim:
fX(0) = FX(0) =
1
16
fX(1) = FX(1)− FX(0) = 516 − 116 = 416
fX(2) = FX(2)− FX(1) = 1116 − 516 = 616
fX(3) = FX(3)− FX(2) = 1516 − 1116 = 416
fX(4) = FX(4)− FX(3) = 1616 − 1516 = 116
Assim, a distribuic¸a˜o de X e´:
X 0 1 2 3 4
fX(x) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16
a)
E(X) = 0× 1
16
+ 1× 4
16
+ 2× 6
16
+ 3× 4
16
+ 4× 1
16
=
0 + 4 + 12 + 12 + 4
16
=
32
16
= 2.
b)
Para encontrar V ar(X) , precisamos encontrar E(X2) .
A distribuic¸a˜o de X2 e´:
X2 0 1 4 9 16
fX(x
2) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16
3
Assim,
E(X2) = 0× 1
16
+ 1× 4
16
+ 4× 6
16
+ 9× 4
16
+ 16× 1
16
=
0 + 4 + 24 + 36 + 16
16
=
80
16
= 5.
V ar(X) = E(X2)− E2(X) = 5− (2)2 = 5− 4 = 1.
4)
Temos 10 CDs, dos quais 5 sa˜o de jazz e destes 10, 4 sera˜o retirados sem reposic¸a˜o.
Admita o evento J : o CD e´ de jazz (Consequentemente, J sra´ o evento: o CD na˜o e´ de jazz).
Defina X a varia´vel aleato´ria que conta o nu´mero de CDs de jazz.
Assim, X pode assumir os valores:
X = 0 , quando os 4 CDs selecionados na˜o forem de jazz.
Na seguinte situac¸a˜o:
J J J J
X = 1 , quando um dos 4 CDs selecionados for de jazz.
Na seguinte situac¸a˜o:
J J J J ou J J J J ou J J J J ou J J J J
X = 2 , quando dois dos CDs selecionados forem de jazz.
Na seguinte situac¸a˜o:
J J J J ou J J J J ou J J J J ou J J J J ou J J J J ou J J J J
X = 3 , quando treˆs dos CDs selecionados forem de jazz.
Na seguinte situac¸a˜o:
J J J J ou J J J J ou J J J J ou J J J J
X = 4 , quando os 4 CDs selecionados forem de jazz.
Na seguinte situac¸a˜o:
J J J J
Assim,
Pr(X = 0) =
5
10
× 4
9
× 3
8
× 2
7
=
120
5040
= 0, 0238.
P r(X = 1) = 4× 5
10
× 5
9
× 4
8
× 3
7
= 4× 300
5040
=
1200
5040
= 0, 2381.
P r(X = 2) = 6× 5
10
× 4
9
× 5
8
× 4
7
= 6× 400
5040
=
2400
5040
= 0, 4762.
4
Pr(X = 3) = 4× 5
10
× 4
9
× 3
8
× 5
7
= 4× 300
5040
=
1200
5040
= 0, 2381.
P r(X = 4) =
5
10
× 4
9
× 3
8
× 2
7
=
120
5040
= 0, 0238.
Assim, a distribuic¸a˜o de X e´:
X 0 1 2 3 4
fX(x) 0,0238 0,2381 0,4762 0,2381 0,0238
E(X) = 0× 0, 0238 + 1× 0, 2381 + 2× 0, 4762 + 3× 0, 2381 + 4× 0, 0238
= 0 + 0, 2381 + 0, 9524 + 0, 7143 + 0, 0952 = 2.
O nu´mero esperado de CDs de jazz e´ de 2 CDs.
5)
a)
temos: p = 0, 03 e n = 20 em uma distribuic¸a˜o binomial de probabilidade
Pr(X ≥ 1) = 1− Pr(X < 1) = 1− Pr(X = 0) = 1− C20,0(0, 03)0(0, 97)20 = 1− 1× 1× (0, 97)20
= 1− (0, 97)20 = 1− 0, 54379 = 0, 45621.
b)
Neste segundo momento p = 0, 45621 (encontrado no item a)) e n = 10 .
Pr(X = 3) = C10,3(0, 45621)
3(0, 54379)7 =
10!
3!7!
× 0, 0949× 0, 0140
=
10× 9× 8× 7!
3× 2× 1× 7! × 0, 0013 =
10× 9× 8
6
× 0, 0013 = 720
6
× 0, 0013 = 120× 0, 0013 = 0, 156.
6)
Segundo o enunciado, E(X) = 12 e σX = 2 , que nos leva a V AR(X) = 4.
Como
X ∼ Binomial(n; p),
enta˜o:
E(X) = np = 12 e V AR(X) = np(1−p) = 4 . Assim, 12(1−p) = 4 o que implica em 12−12p = 4 ,
Logo: 12p = 8 e, consequentemente,
p =
2
3
.
Assim
np= 12⇒ n× 2
3
= 12⇒ n = 12× 3
2
=
36
2
= 18.
5
a)
o nu´mero de experimentos e´ n = 18.
b)
a probabilidade de sucesso e´ p = 2
3
.
c)
E(Z) = E
(
X − 6
3
)
=
1
3
E(X − 6) = 1
3
[E(X)− E(6)] = 1
3
(12− 6) = 1
3
× 6 = 6
3
= 2.
6