Apostila

A característica da qualidade de interesse, associada a um processo que está sob controle
estatístico, é normalmente distribuída com média 100 e desvio-padrão 5. As especificações
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estabelecidas para esta característica da qualidade são 95 ± 10.
a) Qual e a proporção de não-conformidade referente a esta característica?
b) Qual e a proporção de não-conformidade referente a esta característica, se o processo
passasse a operar centrado no valor 95, chamado valor nominal da especificação?
Solução:
a) P(X > 105) + P(X < 85) = P
(
Z >
105− 100
5
)
+ P
(
Z <
85− 100
5
)
= P(Z > 1) + P(Z < -3) = (0,5 - 0,3413) + (0,5 - 0,4987) = 0,1600
b) µ = 95
P(X > 105) + P(X < 85) = P
(
Z >
105− 95
5
)
+ P
(
Z <
85− 95
5
)
= P(Z > 2) + P(Z < -2) = 2(0,5 – 0,4772) = 0,0456
4.4 4a LISTA DE EXERCÍCIOS
1) Seja Z uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Determine o valor de z:
a) P(Z < z) = 0,09
b) P(-1,71 < Z < z) = 0,25
c) P(-z < Z < z) = 0,90
d) P(-z < Z < z) = 0,99 Resp.: a)-1,34; b) -0,54; c) 1,64; d) 2,58.
2) Sejam z1 e z2, simétricos, dois particulares valores de Z. Determine-os tais que:
a) P(z1 ≤ Z ≤ z2) = 0,9216
b) P(z1 ≤ Z ≤ z2) = 0,8858 Resp.: a) -1,76 e 1,76; b) -1,58 e 1,58.
3) Suponha que as amplitudes de vida de dois aparelhos elétricos, D1 e D2, tenham distribuição
N(42,36) e N(45,9), respectivamente. Se o aparelho é para ser usado por um período, no
mínimo, de 45 horas, qual aparelho deve ser preferido? Resp.: R: D2.
4) Uma enchedora automática de garrafas de refrigerante está regulada para que o volume
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médio de líquido em cada garrafa seja de 1.000 cm3 e o desvio-padrão de 10 cm3. Pode-se
admitir que a distribuição da variável seja normal.
a) Qual a probabilidade de encontrarmos garrafas em que o volume de líquido seja menor
que 990 cm3?
b) Qual a probabilidade de encontrarmos garrafas em que o volume de líquido não se desvie
da média em mais que dois desvios-padrão? Resp.: a) 0,1587; b) 0,9545.
5) Uma empresa produz televisores e garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor
apresentar algum defeito grave no prazo de 6 meses. Ela produz televisores do tipo A comum e
do tipo B luxo, com um lucro respectivo de 1.000 u.m. e 2.000 u.m. caso não haja restituição,
e com um prejuízo de 3.000 u.m. e 8.000 u.m. se houver restituição. Suponha que o tempo
para a ocorrência de algum defeito grave seja, em ambos os casos, uma variável aleatória com
distribuição normal, respectivamente, com médias 9 meses e 12 meses, e variâncias 4 meses2 e 9
meses2. Se tivesse que planejar uma estratégia de marketing para a empresa, você incentivaria
as vendas dos aparelhos do tipo A ou do tipo B? Resp.: Tipo B
6) Suponha que o diâmetro médio dos parafusos produzidos por uma fabrica é de 0,25 polegadas
e o desvio-padrão 0,02 polegadas. Um parafuso é considerado defeituoso se seu diâmetro é maior
que 0,28 polegadas ou menor que 0,20 polegadas. Suponha distribuição normal.
a) Encontre a probabilidade de parafusos defeituosos.
b) Qual deve ser a medida mínima para que tenhamos no máximo 12% de parafusos defei-
tuosos? Resp.:a) 0,072; b) 0,2178.
7) A duração de certos tipos de amortecedores, em km rodados é normalmente distribuída, com
duração média de 5000 km e desvio-padrão de 1000 km.
a) Qual a probabilidade de um amortecedor escolhido ao acaso durar entre 4500 e 6350 km?
b) Se o fabricante desejasse fixar uma garantia de quilometragem, de tal forma que se a
duração do amortecedor fosse inferior a garantia, o amortecedor seria trocado, de quanto deveria
ser esta garantia para que somente 1% dos amortecedores fossem trocados? Resp.: a) 0,60295; b)
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2670 km.
8) Suponha que T, a duração até falhar de uma peça, seja normalmente distribuída com E(T) =
90 horas e desvio-padrão 5 horas. Quantas horas de operação mínimas devem ser consideradas,
a fim de se achar uma probabilidade de 0,90. Resp.: 83,6 horas.
9) Suponha que a duração de vida de um dispositivo eletrônico seja exponencialmente distri-
buída. Sabe-se que a probabilidade desse dispositivo durar mais de 100 horas de operação
é de 0,90. Quantas horas de operação devem ser levadas em conta para conseguir-se uma
probabilidade de 0,95? Resp.: 48,68 horas.
10) A duração de vida de um satélite é uma variável aleatória exponencialmente distribuída,
com duração de vida esperada igual a 1,5 anos. Se três desses satélites forem lançados simul-
taneamente, qual será a probabilidade de que ao menos dois deles ainda venham a estar em
órbita depois de 2 anos? Resp.: 0,1719.
11) Suponha que n componentes, que funcionem independentemente, sejam ligados em série.
Admita que a duração até falhar, de cada componente, seja normalmente distribuída, com
esperança de 50 horas e desvio-padrão de 5 horas.
a) Se n=4, qual será a probabilidade de que o sistema ainda esteja a funcionar depois de 52
horas de operação?
b) Se n componentes forem instalados em paralelo, qual deverá ser o valor de n, para que
a probabilidade de falhar durante as primeiras 55 horas seja aproximadamente igual a 0,01?
Resp.: a) 0,014; b) 27.
12) Estudos meteorológicos indicam que a precipitação pluviométrica mensal em períodos de
seca numa certa região pode ser considerada como seguindo a distribuição Normal de média
30mm e variância 16mm2.
a) Qual a probabilidade de que a precipitação pluviométrica mensal no período da seca
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esteja entre 24mm e 38mm?
b) Qual seria o valor da precipitação pluviométrica de modo que exista apenas 10% de
chance de haver uma precipitação inferior a esse valor?
c) Construa um intervalo central em torno da média que contenha 80% dos possíveis valores
de precipitação pluviométrica. Resp.: a) 0,9104; b) 24,88; c) [24,88; 35,12].
13) Se a altura de 300 estudantes é normalmente distribuída com média igual a 172,72cm e
variância 49,5cm2. a) Quantos estudantes têm altura superior a 182,88cm?
b) Qual a altura que separa os estudantes em dois grupos de forma que um deles seja formado
pelos 30% mais altos? Resp.: a)22; b) 176,41.
14) Suponha que as notas de um vestibular tenham distribuição normal com média 60 e desvio-
padrão de 15 pontos.
a) Se você prestou este vestibular e obteve nota igual a 80 pontos, qual a sua posição
em termos de unidades de desvios-padrão, com relação a média das notas? b) Se foram
considerados aprovados os candidatos que obtiveram nota mínima correspondente a 1 desvio-
padrão acima da média, qual a nota mínima de aprovação na escala original? Resp.: a) 1,333;
b) 75.
15) Em uma fábrica de chocolate verifica-se que os “bombons” são acondicionados automa-
ticamente em caixas com aproximadamente 1 Kg. Verifica-se que 25,14% das caixas tem peso
inferior a 1 Kg. A máquina de acondicionamento foi regulada aumentando-se o peso médio
da caixa de 3g e verificou-se então que a porcentagem com peso inferior a 1 Kg foi de 12,5%.
Admitir distribuição normal.
a) Calcular a média e o desvio-padrão. b) De quanto deve ser novamente aumentado o
peso médio para que essa porcentagem caia para 4%? Resp.: a) média = 1,0042 Kg e desvio = 0,0063 Kg
b) 0,006825 g.
16) Experimentam-se três elementos que trabalham independentemente entre si. A duração
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de trabalho sem falhas dos elementos tem respectivamente para o 1o, 2o e 3o. as seguintes
funções densidades:
f1(t) = 0, 1e−0,1t f2(t) = 0, 2e−0,2t f3(t) = 0, 3e−0,3t
Ache a probabilidade que no intervalo de tempo (0, 10).
a) Falhe ao menos um elemento
b) Falhem não menos que dois elementos Resp.: a) 0,9975; b) 0,9301.
17) Um componente eletrônico tem distribuição exponencial, com média de 50 horas. Suposta
uma produção de 10000 unidades, quanto deles espera-se que durem entre 45 e 55 horas? Resp.:
737.
18) O tempo de vida de certo dispositivo