Geometria Analitica

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Geometria Anal´ıtica
Beto Rober Bautista Saavedra
03/08/2011
.
” Ama e faz o que quiseres. Se calares,
calara´s com amor; se gritares gritara´s com
amor; se corrigires, corrigira´s com amor; se
perdoares, perdoara´s com amor. Se teveres o
amor enraizado em ti, nenhuma coisa sena˜o
o amor sera˜o os teus frutos ”
(Santo Agostinho)
1
.
”Por mais esforc¸o que fac¸a para ser dida´tico, quem tem
que aprender e´ voc¸eˆ, e isto demanda trabalho individual,
que inclui:
• Dedicac¸a˜o diaria fora da sala de aula, nem que seja
de pouca durac¸a˜o , resolvendo exerc´ıcios e lendo
a mate´ria dada e, se poss´ıvel, se na˜o for sonhar
demais, a que sera´ dada.
• Atenc¸a˜o em sala de aula, procurando absorver ao
ma´ximo o ensinamento do seu professor. Deixe o
mı´nimo de du´vidas para depois.”
2
.
1 Unidade
O Plano
3
.
1.1 Sistemas de Coordenadas
Agora veremos a construc¸a˜o que permite estabelecer uma correspondeˆncia biun´ıvoca entre os
pontos do plano e o conjunto de pares ordenados de nu´meros reais (x, y).
.
Construc¸a˜o .
1. Considerar o plano definido pelo par de retas perpendiculares X e Y, tal como
mostra a Figura 1.
2. Seja o comprimento de OA a unidade de comprimento assumida.
3. Seja P um ponto qualquer do plano.
4. Por P podemos trac¸ar uma u´nica paralela xo a reta Y e uma u´nica paralela yo a
reta X.
5. Estas paralelas interceptam as retas X e Y, respectivamente, nos pontos
Pxo e Pyo . Seja x o nu´mero real correspondente a` distaˆncia dirigida do segmento
OPxo e y o nu´mero real correspondente a` distaˆncia dirigida do segmento OPyo .
6. Assim, chegamos a uma relac¸a˜o biun´ıvoca entre os pontos do plano e o conjunto de
pares ordenados de nu´meros reais (x, y).
♣ Os nu´meros x e y sa˜o chamados, respectivamente, abscissa e ordenada do
ponto P ; eles constituem as coordenadas de P. Para indicar que o ponto
P tem abscissa x e ordenada y usamos a notac¸a˜o
P (x, y)
4
Figura 1
.
1.2 Distaˆncia entre dois pontos
.
Definic¸a˜o . Sejam P (x1, y1) e Q(x2, y2) dois pontos do plano. Como mostra a
Figura 2, a partir de P e Q, podemos construir o triaˆngulo retaˆngulo PSQ. A medida dos
catetos deste triaˆngulo sa˜o |x1 − x2| e |y1 − y2|. Logo, a medida de sua hipotenusa e´√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2.
Este nu´mero e´ chamado distaˆncia de P a Q e indicado por d(P,Q), isto e´, por definic¸a˜o
d(P,Q) =
√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
5
Figura 2
6
.
1.3 Vetores no Plano
.
Definic¸a˜o . Um objeto ao qual se pode associar os conceitos de direc¸a˜o , sentido
e mo´dulo (comprimento) e´ chamado de vetor ou seta. Se (x, y) 6= (0, 0), ale´m do ponto
podemos tambe´m fazer corresponder ao par ordenado (x, y) um vetor ~ν contido num plano
Cartesiano. A seguir, explicamos esta correspondeˆncia (ver Figura 3). Colocamos o origem
do vetor ~ν num ponto qualquer A(x1, y1). Logo, observamos que a extremidade do vetor
coincide com o ponto B(x2, y2). Assim, ao vetor ~ν fazemos corresponder o par ordenado
(x, y), onde
x = x2 − x1 e y = y2 − y1
Esta correspondeˆncia na˜o depende da escolha do ponto A(x1, y1). Para lidar com os vetores,
identificamos qualquer vetor ~ν com seu correspondente par ordenado (x, y). Isto e´,
~ν = (x, y)
Por convenc¸a˜o , assumimos que o par ordenado (0, 0) corresponde ao vetor nulo.
O mo´dulo (comprimento) do vetor ~ν = (x, y) e´
‖ ~ν ‖=
√
x2 + y2
Figura 3
7
.
1.4 Operac¸o˜es com Vetores
.
Definic¸a˜o . Sejam os vetores u = (x1, y1), v = (x2, y2) e k ∈ R. Definimos:
(a) u + v = (x1 + x2, y1 + y2)
(b) u− v = (x1 − x2, y1 − y2)
(c) k.u = (k.x1, k.y1).
A operac¸a˜o , definida no item (a), chama-se adic¸a˜o de vetores. A operac¸a˜o , definida no
item (b), chama-se diferenc¸a de vetores . A operac¸a˜o , definida no item (c), chama-se
multiplicac¸a˜o de um vetor por um nu´mero.
.
Exerc´ıcios.
1. Graficar os pontos (1,2) e (2,4) no plano Cartesiano.
2. Graficar os vetores (1,2) e (2,4) no plano Cartesiano.
3 Sejam os vetores u, v, w e os nu´meros reais k1, k2. Provar as seguintes propriedades:
1. u + v = v + u,
2. u + (v + w) = (u + v) + w,
3. u + O = u, onde O = (0, 0) e´ o vetor nulo.
4. k1(u + v) = k1u + k1v,
5. (k1 + k2)u = k1u + k2u,
6. k1(k2u) = (k1k2)u,
7. 1.u = u e 0.u = 0.
4. Sejam os vetores u, v representar graficamente os vetores u + v, u− v.
5 O vetor (−1)u e´ indicado por −u e chamado o oposto do vetor u. Dado um vetor
qualquer u, graficar o oposto. Dados dois vetores u, v demonstrar que
u− v = u + (−1)v.
8
.
6 O vetor ku e u sa˜o vetores da mesma direc¸a˜o , isto e´, sa˜o paralelos. Se k > 0, os
sentidos de u e ku coincidem. Se k < 0 os sentidos de u e ku sa˜o opostos. Mostrar
graficamente estes fatos.
7 Sejam dois pontos A,B quaisquer. Demonstrar que
−−→
AB = B −A
8 Sejam u e v vetores e k um nu´mero real. Demonstrar as seguintes propriedades:
1. ‖ k.u ‖= |k| ‖ u ‖
2. ku = 0 ⇒ k = 0 ou u = 0,
3. ‖ u ‖≥ 0 e ‖ u ‖= 0 ⇔ u = 0.
4. ‖ u + v ‖≤‖ u ‖ + ‖ v ‖ ( Desigualdade Triangular)
9 Sejam o vetor u e o nu´mero real k. O que acontece com o vetor ku se 0 < k < 1 ?.
E, quando k > 1 ?
10. Sejam os vetores na˜o -paralelos (1, 3) e (−2, 1) . Encontrar os nu´meros reais α e β
tal que
α(1, 3) + β(−2, 1) = (0, 0)
11. Sejam os vetores na˜o -paralelos −→v ,−→w . Os s´ımbolos α, β denotam dois nu´meros reais.
Demonstrar que
α.−→v + β.−→w = O =⇒ α = β = 0 (1)
Os vetores −→v ,−→w que teˆm a propriedade (1) sa˜o chamados linearmente independentes
( abreviadamente, L. I.).
9
.
1.5 Aplicac¸o˜es : ponto me´dio e vetor unita´rio
.
Ponto Me´dio. Sejam os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2). As coordenadas do ponto
me´dio M do segmento AB sa˜o
M = (
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
) (1)
z Provar a fo´rmula (1)
.
Vetor Unita´rio. Um vetor unita´rio de mo´dulo e´ chamado vetor unita´rio. Qualquer
que seja o vetor na˜o -nulo −→v , o vetor unita´rio e´
1
|−→v |
−→v =
−→v
|−→v | (2)
z vc. entende a fo´rmula (2) ? Provar.
10
.
1.6 Produto Escalar, Aˆngulo entre Vetores e
Projec¸a˜o de Vetores
.
Produto Escalar. Definimos o produto escalar dos vetores −→u = (x1, y1) e −→v =
(x2, y2) como sendo o nu´mero
−→u .−→v = x1x2 + y1y2 (1)
O s´ımbolo −→u .−→v deve ser lido assim : −→u escalar −→v .
.
Propriedades do Produto Escalar. Sejam dois vetores quaisquer −→u =
(x1, y1) e
−→v = (x2, y2), e um nu´mero real qualquer k. Da definic¸a˜o decorrem as
seguintes propriedades do produto escalar:
1. −→u .−→u = ‖−→u ‖2
2. −→u .−→v = −→v .−→u
3. −→u .(−→v +−→w ) = −→u .−→v +−→u .−→w
4. (k.−→u )−→v = −→u (k.−→v )
5. |−→u .−→v | ≤ ‖−→u ‖‖−→v ‖ ( Desigualdade de Cauchy-Schwartz )
.
Aˆngulo entre vetores. Sejam os vetores −→u 6= −→0 e −→v 6= −→0 enta˜o
‖−→u ‖−→v ‖ > 0
Pela, propriedade (5) do produto escalar temos
|−→u−→v |
‖−→u ‖‖−→v ‖ ≤ 1 o que e´ equivalente a − 1 ≤
−→u−→v
‖−→u ‖‖−→v ‖ ≤ 1
Logo, existe um u´nico aˆngulo θ (medido em radianos) entre 0 e pi, tal que
cos(θ) =
−→u−→v
‖−→u ‖‖−→v ‖ (♠)
Este aˆngulo e´ definido como aˆngulo entre os vetores −→u e −→v .
11
.
Exerc´ıcios.
1. Se −→u = (1, 2) e −→v = (−1, 2), encontrar o aˆngulo θ entre estes vetores.
2. Demonstrar que
−→u e´ perpendicular a −→v ⇔ −→u .−→v = 0 ⇔ θ = pi
2
3. Provar a desigualdade triangular.
.
Projec¸a˜o de vetores. Sejam os vetores −→u 6= −→0 e −→v 6= −→0 colocados sobre o
mesmo ponto O, e o ponto P a projec¸a˜o ortogonal (ou perpendicular) do ponto final
do vetor −→u sobre a reta que suporta o vetor −→v ( ver figura 4 ). Enta˜o , o vetor −−→OP
chamado projec¸a˜o de −→u sobre −→v que sera´ denotado por Proj−→v −→u e´ igual a
−−→
OP = Proj−→v
−→u =
−→u−→v
‖−→v ‖2
−→v (?)
Figura 4
12
.
Exerc´ıcios.
1. Se −→u =(1, 2) e −→v = (−1, 3), calcular Proj−→v −→u .
2. Se −→u .−→v > 0, o que acontece com os vetores Proj−→v −→u e −→v ?
3. Se −→u .−→v < 0, o que acontece com os vetores Proj−→v −→u e −→v ?
4. Provar a fo´rmula (?).
5. Verificar se a definic¸a˜o do aˆngulo entre vetores ( ♠ ) coincide com a usual da geometria
Euclideana.
6.
(a) Verifique que o triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o A(3, 3), B(0, 1) e C(1, 6) e´ retaˆngulo
em A.
(b) Calcule a projec¸a˜o do cateto AB sobre a hipotenusa BC. Para isto, usar a lei
dos cosenos.
(c) Determine o pe´ da altura do triaˆngulo relativo ao ve´rtice A.
7. Calcule o aˆngulo entre −→u + −→v e −→u − −→v , sabendo que ‖−→u ‖ = √3, ‖−→v ‖ = 1 e
que o aˆngulo entre −→u e −→v e´ 30o.
13
.
1.7 Exerc´ıcios Extras
.
1. Determinar x para que se tenha
−−→
AB =
−−→
CD,
sendo A(x, 1), B(4, x + 3), C(x, x + 2) e D(2x, x + 6).
2. Determine a extremidade da seta que representa o vetor −→v = (3,−7), sabendo que sua
origem e´ o ponto A(2, 1).
3. Dados A(2, y) e B(3, 3), determine y para que o mo´dulo do vetor
−−→
AB seja
√
5.
4. Dado B(3, 4) e sendo |−−→AB| = 2, qual e´ o valor ma´ximo que a primeira coordenada de
A pode assumir ? E o mı´nimo ?
5. Sejam A(x1, y1) e B(x2, y2) pontos do plano. Demonstre que
d(A,B) = |−−→AB|.
6. Determine vetores −→u e −→v tais que
|−→u |2 + |−→v |2 = |−→u −−→v |2.
7. Dados os pontos A(2, 3) e B(5, 4), determine um ponto C tal que
−→
AC seja paralelo ao
vetor −→u = (2, 1) e |−→AC| = |−−→AB|.
8. Dados A(−1, 1) e B(3, 5), determine o ponto C no segmento de extremos A e B tal
que
(a)
−→
AC = 12
−−→
AB
(b) |
−→
AC|
|−−→CB| =
1
2
(c) |
−→
AC|
|−−→CB| =
2
3
14
.
9. Dados os pontos A,B e C, exprima o vetor
−−→
CM em func¸a˜o dos vetores
−→
CA e
−−→
CB, sendo M
(a) o ponto me´dio do segmento AB;
(b) um ponto de AB tal que 3
−−→
AM =
−−→
AB.
10. Represente graficamente os vetores da forma
(2, 4) + t(3,−1)
11. Sejam dois pontos diferentes A e B. Seja X um ponto da reta AB tal que
X −A = m(B −A)
(i) Para quais valores de m o ponto X e´ interno ao segmento AB ?
(ii) Para quais valores de m o ponto X e´ externo ao segmento AB. ?
12. Demonstre que os segmento que une os pontos me´dios de dois lados de um triaˆngulo e´
paralelo ao terceiro lado e igual a` sua metade.
13. Demonstre que o segmento que une os pontos me´dios dos lados na˜o -paralelos de um
trape´zio e´ paralelo a`s bases, e sua medida e´ a semi-soma das medidas das bases.
14. Supondo A,B,C pontos na˜o alinhados, determinar o vetor X − C quando X e´ o
ponto de intersecc¸a˜o da bissectriz do aˆngulo interno ÂCB do triaˆngulo ABC com
lado AB.
15
.
15. Dados treˆs pontos A, B, C na˜o alinhados, construir o vetor −→x = P −A tal que
2(A−B) + 3(P −A) = 4(B − C)
16. Dados treˆs pontos A, B e C, exprimir o vetor X − C sabendo que X e´ o ponto da
reta AB tal que
B −X = 4(A−X)
17. Dados treˆs pontos A, B, C na˜o lineares exprimir o vetor X − C sabendo que X e´
o ponto da reta AB tal que
B −X = m(A−X)
(a) Para que valor de m na˜o existe o ponto X? Qual e´ o ponto X para
m = −1?
(b) Para quais valores de m o ponto X e´ interno ao segmento AB?
(c) Para quais valores de m o ponto X esta´ na semi-reta de origem B que na˜o
conte´m o ponto A?
18. Num triaˆngulo ABC e´ dado X sobre AB tal que ‖−−→AX‖ = 2‖−−→XB‖ e e´ dado Y sobre
BC tal que ‖−−→BY ‖ = 3‖−−→Y C‖. Mostre que as retas CX e AY se cortam.
16
Figura f
.
19. Num triaˆngulo ABC, sejam X a intersec¸a˜o do lado AB com a bissetriz interna do aˆngulo
AĈB, e, supondo ‖−→CA‖ < ‖−−→CB‖, Y a intersec¸a˜o da reta AB com uma das bisetrizes
externas do aˆngulo AĈB. (Ver figura (f) ).
(a) Provar que os vetores
−→
CA
‖−→CA‖ +
−−→
CB
‖−−→CB‖ e
−→
CA
‖−→CA‖ −
−−→
CB
‖−−→CB‖ sa˜o respectivamente paralelos
a
−−→
CX e
−−→
CY .
(b) Prove que ‖
−→
CA‖
‖−−→AX‖ =
‖−−→CB‖
‖−−→BX‖ e
‖−→CA‖
‖−−→AY ‖ =
‖−−→CB‖
‖−−→BY ‖ .
(c) Exprima
−−→
CX,
−−→
CY em func¸a˜o de
−→
CA e
−−→
CB.
Soluc¸a˜o . Primeiro respondemos o item (a) anal´ıticamente. Sejam θ1 =
∠
(−→
CA;
−→
CA
‖−→CA‖ +
−−→
CB
‖−−→CB‖
)
e θ2 = ∠
(−−→
CB;
−→
CA
‖−→CA‖ +
−−→
CB
‖−−→CB‖
)
Observamos que
cos(θ1) =
−→
CA.
[ −→
CA
‖−→CA‖
+
−−→
CB
‖−−→CB‖
]
÷ ‖−→CA‖
∥∥∥∥∥
−→
CA
‖−→CA‖
+
−−→
CB
‖−−→CB‖
∥∥∥∥∥
=
[
1 +
−−→
CB.
−→
CA
‖−−→CB‖‖−→CA‖
]
÷
∥∥∥∥∥
−→
CA
‖−→CA‖
+
−−→
CB
‖−−→CB‖
∥∥∥∥∥
=
[−−→
CB
−−→
CB
‖−−→CB‖2
+
−−→
CB.
−→
CA
‖−−→CB‖‖−→CA‖
]
÷
∥∥∥∥∥
−→
CA
‖−→CA‖
+
−−→
CB
‖−−→CB‖
∥∥∥∥∥
=
−−→
CB.
[ −→
CA
‖−→CA‖
+
−−→
CB
‖−−→CB‖
]
÷ ‖−−→CB‖
∥∥∥∥∥
−→
CA
‖−→CA‖
+
−−→
CB
‖−−→CB‖
∥∥∥∥∥
= cos(θ2).
Logo, θ1 = θ2. Assim, provamos que
−→
CA
‖−→CA‖ +
−−→
CB
‖−−→CB‖ e´ paralelo ao vetor
−−→
CX. Como
e´ a prova geome´trica desse fato ? O restante se prova analogamente. Porqueˆ assumimos
que ‖−→CA‖ < ‖−−→CB‖.
17
.
Continuac¸a˜o da Soluc¸a˜o de 19. Para provar o item (b), observamos a figura (f) e
escrevemos
−→
CA +
−−→
AX =
−−→
CX =
−−→
CB −−−→XB
−→
CA + γ
−−→
AB = λ
( −→
CA
‖−→CA‖ +
−−→
CB
‖−−→CB‖
)
=
−−→
CB − β−−→AB
(1− γ)−→CA + γ−−→CB = λ
( −→
CA
‖−→CA‖ +
−−→
CB
‖−−→CB‖
)
= β
−→
CA + (1− β)−−→CB (♦)
Como
−→
CA na˜o e´ paralelo a
−−→
CB, isto e´, sa˜o linearmente independentes, temos
1− γ = λ
‖−→CA‖
; γ =
λ
‖−−→CB‖
; 1− β = λ
‖−−→CB‖
; β =
λ
‖−→CA‖
Logo,
λ =
‖−−→CB‖‖−→CA‖
‖−→CA‖+ ‖−−→CB‖
; β =
‖−−→CB‖
‖−→CA‖+ ‖−−→CB‖
; γ =
‖−→CA‖
‖−→CA‖+ ‖−−→CB‖
Assim,
−−→
AX =
‖−→CA‖
‖−→CA‖+ ‖−−→CB‖
−−→
AB e
−−→
XB =
‖−−→CB‖
‖−→CA‖+ ‖−−→CB‖
−−→
AB
Portanto,
‖−−→AX‖
‖−→CA‖
=
‖−−→XB‖
‖−−→CB‖
O resto prova-se ana´logamente. Em relac¸a˜o ao item (c), colocamos o valor de γ nas
equac¸o˜es (♦) e obtemos
−−→
CX =
‖−−→CB‖
‖−→CA‖+ ‖−−→CB‖
−→
CA +
‖−→CA‖
‖−→CA‖+ ‖−−→CB‖
−−→
CB
Obtemos o resto ana´logamente.
18
Figura ♣
.
20. Na figura ♣, M, N, P sa˜o pontos me´dios de AB, BC e CA respectivamente.
(a) Exprima
−−→
BP,
−−→
AN,
−−→
CM em func¸a˜o de
−−→
AB e
−→
AC.
(b) Prove que num triaˆngulo as retas suportes de duas medianas se interseptam.
(c) Prove que as medianas de um triaˆngulo se encontram num mesmo ponto, que
divide cada uma na raza˜o 2 : 1 a partir do ve´rtice correspondente.
Soluc¸a˜o .
(a) As expresso˜es correspondentes sa˜o :
−−→
BP = 12
−→
AC − −−→AB; −−→AN = 12
−→
AC +
1
2
−−→
AB e
−−→
CM = 12
−−→
AB −−→AC.
(b) Vamos provar a afirmac¸a˜o provando que
−−→
AN e
−−→
BP na˜o sa˜o paralelos. Os
demais casos se provam ana´logamente. Se fossem, haveria λ ∈ R tal que
−−→
BP = λ
−−→
AN. Isto e´,
1− λ
2
−→
AC =
(
1 +
λ
2
)−−→
AB
Agora, observar que na˜o pode suceder λ = 1. Logo,
−→
AC‖−−→AB, o que e´ um
absurdo.
(c) Seja G o ponto comum a`s retas AN e BP e H o ponto comum a`s retas
AN e CM. Existem λ, µ, α e β tais que
G = A + λ
−−→
AN = B + µ
−−→
BP e H = C + α
−−→
CM = A + β
−−→
AN
Enta˜o , λ = µ = α = β = 23 . Assim, G = H.
19
.
21. Dado um triaˆngulo qualquer, mostre que existe outro com lados paralelos e congruentes
a`s medianas do primeiro.
Soluc¸a˜o . Para a soluc¸a˜o desse exerc´ıcio, aproveitamos a figura do exerc´ıcio 20 e o item
(a) do mesmo exerc´ıcio:
−−→
AN +
−−→
BP +
−−→
CP = 0 (♦)
Tomamos um ponto O qualquer e considere os pontos X = O +
−−→
AN, Y = X +
−−→
BP e Z = Y +
−−→
CM. Agora, observar que para mostrar o solicitado e´ suficiente provar
que Z = O e que os pontos O,X, Y na˜o sa˜o colineares.De fato, temosZ = O +
−−→
AN +
−−→
BP +
−−→
CP = 0
e, os pontos O,X, Y na˜o sa˜o colineares porque os vetores
−−→
OX ∦
−−→
XY .
20
Figura ♠
.
22. Seja o triaˆngulo da figura ♠. Sendo h = ‖−−→CX‖ a altura do 4 ABC relativa ao
ve´rtice C, exprima
−−→
CX e X em func¸a˜o de A,
−→
CA, e
−−→
CB
Soluc¸a˜o .Primeiro observar que:
• tan(Â) = h‖−−→AX‖
• tan(B̂) = h‖−−→XB‖
Tambe´m, temos que
−−→
AX
‖−−→AX‖ =
−−→
XB
‖−−→XB‖ . Logo, tan(Â)
−−→
AX = tan(B̂)
−−→
XB. Assim,
−−→
XB = tan(Â)
tan(B̂)
−−→
AX. Segue-se que
−−→
AX =
tan(B̂)
tan(Â) + tan(B̂)
−−→
AB =
tan(B̂)
tan(Â) + tan(B̂)
[−−→
CB −−→CA
]
.
Resulta que
−−→
CX −−→CA = tan(B̂)
tan(Â) + tan(B̂)
[−−→
CB −−→CA
]
.
Portanto,
−−→
CX =
tan(B̂)
tan(Â) + tan(B̂)
−−→
CB +
tan(Â)
tan(Â) + tan(B̂)
−→
CA
e,
X =
tan(B̂)
tan(Â) + tan(B̂)
−−→
AB + A =
tan(B̂)
tan(Â) + tan(B̂)
[−−→
CB −−→CA
]
+ A
23. Efetuar o mesmo do exerc´ıcio 22 quando o aˆngulo  e´ obtuso.
21
Figura ♣
.
24. Na figura ♣, M,N, P sa˜o as projec¸o˜es ortogonais dos ve´rtices
C,B,A respetivamente.
(a) Exprima
−−→
BP,
−−→
AN,
−−→
CM em func¸a˜o de
−−→
AB e
−→
AC.
(b) Prove que os vetores
−−→
BP,
−−→
AN e
−−→
CM na˜o sa˜o paralelos dois a dois.
(c) Prove que num triaˆngulo as retas suportes de dois alturas se encontram num u´nico
ponto.
Soluc¸a˜o .
(a) Observa-se do gra´fico (♣) que
−−→
CM =
−→
AC − Proj−→AC−−→
AB
−−→
AN =
−−→
BA− Proj−−→BA−−→
BC
−−→
BP =
−−→
AB − Proj−−→AB−→
AC
O que implica
−−→
CM =
−→
AC
−−→
AB
‖−−→AB‖2
−−→
AB −−→AC
−−→
AN =
−→
CA.
−−→
CB
‖−−→CB‖2
−−→
AB +
−−→
AB.
−−→
CB
‖−−→CB‖2
−→
AC
−−→
BP =
−−→
AB.
−→
AC
‖−→AC‖2
−→
AC −−−→AB
(b) Prova-se somente que
−−→
AN e
−−→
BP na˜o sa˜o paralelos; os outros casos prova-se
analogamente.Assumamos o contrario:
−→
CA
−−→
CB
‖−−→CB‖2
−−→
AB +
−−→
AB.
−−→
CB
‖−−→CB‖2
−→
AC =
λ
−−→
AB
−→
AC
‖−→AC‖2
−→
AC − λ−−→AB
22
. Logo,
λ =
−→
AC
−−→
CB
‖−−→CB‖2
e
−−→
AB
−−→
CB
‖−−→CB‖2
=
λ
−−→
AB
−→
AC
‖−→AC‖2
Isto implica, (
−−→
AB −
−−→
AB.
−→
AC
‖−→AC‖2
−→
AC
) −−→
CB
‖−−→CB‖2
= 0
O que´ e´ equivalente a (
−−→
AB −
−−→
AB.
−→
AC
‖−→AC‖2
−→
AC
)
−−→
CB = −−−→BP.−−→CB = 0
Isto e´,
−−→
BP ⊥ −→AC. Mas, como −−→BP ⊥ −→AC enta˜o
−−→
BC ‖ −→AC
Assim, chegamos ao absurdo que os pontos A, B, C sa˜o colineares.
(c) Seja G o ponto comum a`s retas AN e BP e H o ponto comum a`s retas
AN e CM. Existem λ, µ, α e β tais que
G = A + λ
−−→
AN = B + µ
−−→
BP e H = C + α
−−→
CM = A + β
−−→
AN
Enta˜o , 
λ
−→
CA
−−→
CB
‖−−→CB‖2 + µ = 1
λ
−−→
AB
−−→
CB
‖−−→CB‖2 − µ
−−→
AB
−→
AC
‖−→AC‖2 = 0
e 
β
−−→
AB
−−→
CB
‖−−→CB‖2 + α = 1
β
−→
CA
−−→
CB
‖−−→CB‖2 + α
−→
CA
−−→
AB
‖−−→AB‖2 = 0
Logo, 
λ
−→
CA
−−→
CB
‖−−→CB‖2 + µ = 1
λ + µ
−−→
BC
−→
AC
‖−→AC‖2 = 1
e 
β
−−→
AB
−−→
CB
‖−−→CB‖2 + α = 1
β + α
−−→
CB
−−→
AB
‖−−→AB‖2 = 1
23
. Assim, 
λ(1− |
−→
CA.
−−→
CB|2
‖−−→CB‖2‖−→CA‖2 ) = 1−
−→
CA
−−→
CB
‖−→AC‖2
β(1− |
−−→
AB
−−→
CB|2
‖−−→AB‖2‖−−→CB‖2 ) = 1−
−−→
AB
−−→
CB
‖−−→AB‖2
Segue-se que 
λ‖−−→AN‖2 = −→AC−−→AB
β‖−−→AN‖2 = −→AC−−→AB
Portanto,
G = H
24
Figura ♠
.
25. Na figura ♠, M,N, P sa˜o os pontos das bissectrizes internas do triaˆngulo ABC que
passam pelos pontos C,A,B respetivamente.
(a) Exprima
−−→
BP,
−−→
AN,
−−→
CM em func¸a˜o de
−−→
AB e
−→
AC.
(b) Prove que os vetores
−−→
BP,
−−→
AN e
−−→
CM na˜o sa˜o paralelos dois a dois.
(c) Prove que num triaˆngulo as treˆs retas suportes de as bissectrizes internas se en-
contram num u´nico ponto.
Soluc¸a˜o .
(a) Aplicando o item (c) do exerc´ıcio 19, obtermos
−−→
CM =
‖−−→CB‖
‖−→CA‖+ ‖−−→CB‖
−→
CA +
‖−→CA‖
‖−→CA‖+ ‖−−→CB‖
−−→
CB
−−→
AN =
‖−−→AB‖
‖−→AC‖+ ‖−−→AB‖
−→
AC +
‖−→AC‖
‖−→AC‖+ ‖−−→AB‖
−−→
AB
−−→
BP =
‖−−→BC‖
‖−−→BA‖+ ‖−−→BC‖
−−→
BA +
‖−−→BA‖
‖−−→BA‖+ ‖−−→BC‖
−−→
BC
Logo,
−−→
CM = −−→AC + ‖
−→
AC‖
‖−→AC‖+ ‖−−→CB‖
−−→
AB
−−→
AN =
‖−−→AB‖
‖−→AC‖+ ‖−−→AB‖
−→
AC +
‖−→CA‖
‖−→AC‖+ ‖−−→AB‖
−−→
AB
−−→
BP =
‖−−→BA‖
‖−−→BA‖+ ‖−−→BC‖
−→
AC −−−→AB
25
.
(b) Vamos provar a afirmac¸a˜o provando que
−−→
AN e
−−→
BP na˜o sa˜o paralelos. Os demais
casos se provam ana´logamente. Se fossem, haveria λ ∈ R tal que −−→BP = λ−−→AN. Isto
e´, Vamos provar a afirmac¸a˜o provando que
−−→
AN e
−−→
BP na˜o sa˜o paralelos. Os demais
casos se provam ana´logamente. Se fossem paralelos os vetores mencionados acima,
existiria λ ∈ R tal que −−→BP = λ−−→AN. Isto e´,
‖−−→BA‖
‖−−→BA‖+ ‖−−→BC‖
−→
AC −−−→AB = λ‖
−−→
BA‖
‖−−→BA‖+ ‖−→AC‖
−→
AC +
λ‖−→CA‖
‖−→AC‖+ ‖−−→AB‖
−−→
AB
Logo, 
λ = ‖
−→
AC‖+‖−−→AB‖
‖−−→AB‖+‖−−→BC‖ > 0
e
λ = −‖
−→
AC‖−‖−−→AB‖
‖−→AC‖ < 0
Assim, chegamos a um absurdo.
(c) Seja G o ponto comum a`s retas AN e BP e H o ponto comum a`s retas
AN e CM. Existem λ, µ, α e β tais que
G = A + λ
−−→
AN = B + µ
−−→
BP e H = C + α
−−→
CM = A + β
−−→
AN
Assim, 
λ
−−→
AN =
−−→
AB + µ
−−→
BP
β
−−→
AN =
−→
AC + α
−−→
CM
Enta˜o , 
λ(‖−−→BA‖+ ‖−−→BC‖)− µ(‖−→AC‖+ ‖−−→AB‖) = 0
λ‖−→AC‖+ µ(‖−→AC‖+ ‖−−→AB‖) = 1
e 
β(‖−→AC‖+ ‖−−→CB‖)− α(‖−→AC‖+ ‖−−→AB‖) = 0
β‖−−→AB‖+ α(‖−→AC‖+ ‖−−→AB‖) = 1
Portanto,
α = β =
1
‖−−→AB‖+ ‖−→AC‖+ ‖−−→BC‖
Isto e´, G = H.
26
Figura f
.
26. Sejam o quadrado � ABCD e o triaˆngulo isosceles M DEF tais que
‖−−→AB‖ = ‖−−→DE‖ = ‖−−→EF‖ = ‖−−→DF‖ = 1.
Achar a a´rea do triaˆngulo sombreado.
Soluc¸a˜o . Se considerarmos o ponto D como a origem das coordenadas, segue-se que
a = (0, 12 ), E = (
1
2 ,
√
3
2 ) e F = (1, 0). Para a soluc¸a˜o precisamos as coordenadas do
ponto b, que e´ a intersec¸a˜o de duas retas.
27
.
1.8 Equac¸o˜es Parame´tricas e Equac¸a˜o
Cartesiana da Reta
.
Equac¸o˜es Parame´tricas da Reta. Seja −→v = (a, b) um vetor na˜o -nulo e
A(xo, yo) um ponto do plano. Estes dois objetos determinam uma u´nica reta r ( ver figura
5). Isto e´, um ponto P (x, y) pertence a` reta r se, e somente se,
−→
AP = t−→v ,
para algum nu´mero real t. Ou, em termos de coordenadas,
(x− xo, y − yo) = t(a, b).
Esta equac¸a˜o e´ equivalente ao sistema de equac¸o˜es
x = xo + ta
y = yo + tb
chamadas equac¸o˜es parame´tricas de r.
z Para determinar a direc¸a˜o de uma reta, e´ suficiente tomar dois pontos quaisquer da reta
A e B e considerar o vetor
−−→
AB ou
−−→
BA que determina a direc¸a˜o da reta.
Figura 5
28
.
Exerc´ıcios.
1. Uma part´ıcula esta´ animada de um movimento tal que, no instante t, ela se encontra
no ponto
(x, y) = (2 + 3t, 1 + 4t).
(a) Determine sua posic¸a˜o nos instantes t = 0, t = 1 e t = 2.
(b) Determine o instante no qual a part´ıcula atinge o ponto (11, 13).
(c) A part´ıcula passa pelo ponto (5, 6)?
(d) Descreva sua trajeto´ria.
(e) Determine sua velocidade no instante t.
2. Sejam o ponto A(xo, yo) e o vetor na˜o nulo
−→v = (a, b). Se −→w e´ um vetor na˜o nulo
paralelo a −→v , demonstrar que os vetores −→v , −→w determinam a mesma reta r que
passa por A.
.
Equac¸a˜o Cartesiana da Reta. Sejam o vetor na˜o -nulo −→v = (a, b) e o ponto
Q(xo, yo). O vetor
−→v ⊥ = (−b, a) e´ perpendicular ao vetor −→v , pois
−→v .−→v ⊥ = −ab + ab = 0
Tambe´m, o ponto Q e o vetor −→v ⊥ determinam uma reta r, que passapelo ponto Q na
direc¸a˜o do vetor −→v , como segue ( ver figura 6 ).
Um ponto P (x, y) pertence a` reta r se, e somente se,
−→v ⊥.−−→QP = −→v ⊥.(P −Q) = 0
Ou, em termos de coordenadas,
ay − bx = ayo − bxo (I)
Fazendo A = −b, B = a e C = bxo − ayo, podemos escrever a equac¸a˜o de r assim
Ax + By + C = 0, (II)
que e´ chamada equac¸a˜o cartesiana de r.
29
Figura 6
Figura 7
30
.
Reciprocamente, toda equac¸a˜o da forma (II) tem como gra´fico uma reta r. De fato, na˜o
e´ dificil mostrar que existe um ponto (xo, y0) tal que
Ax0 + Byo + C = 0 (III)
Por outro lado, o vetor (A,B) e´ perpendicular ao vetor (−B,A). Pois, (A,B).(−B,A) =
0. Pela equac¸a˜o (III), a equac¸a˜o (II) e´ equivalente a
A(x− xo) + B(y − yo) = 0
Interpretando este resultado como o produto escalar dos vetores (A,B) e (x − xo, y −
yo), vemos que o conjunto soluc¸a˜o de (II) e´ constitu´ıdo de todos os pontos (x, y) tais que
os vetores (x − xo, y − yo) e (A,B) sa˜o perpendiculares. Isto significa que o gra´fico de
(II) e´ a reta r que conte´m (xo, yo) e tem a direc¸a˜o do vetor (−B,A).
.
Se B = 0 o gra´fico da equac¸a˜o (II) e´ uma reta paralela ao eixo das ordenadas Y que passa
pelo ponto (xo, 0) = (
−C
A
, 0) (Ver figura 7). A equac¸a˜o (II) e´ equivalente a
x = xo
Se B 6= 0. Por um lado, sabemos que a equac¸a˜o (II) determina uma reta r na direc¸a˜o do
vetor (−B,A). Logo, como se veˆ na figura 8, o nu´mero
m =
−A
B
= tg(θ),
onde θ e´ o aˆngulo que r faz com o eixo das abscissas X, e´ a declividade de r.
Fazendo, k = −C
B
, a equac¸a˜o (II) e´ equivalente a
y = mx + k (IV )
A constante k pode ser interpretada como a ordenada do ponto de intersec¸a˜o da reta r
com o eixo das ordenadas Y, pois (0, k) satisfaz a equac¸a˜o (IV ).
.
31
Figura 8
.
Exercicios.
1. Seja o vetor na˜o -nulo −→v perpendicular aos vetores na˜o -nulos −→w 1 e −→w 2. Provar
que −→w 1 e´ paralelo ao vetor −→w 2.
2. Seja a equac¸a˜o na˜o trivial
Ax + By + C = 0
Provar que existe um ponto (xo, yo) tal que
Axo + Byo + C = 0
3. Determinar o gra´fico correspondente da equ¨ac¸a˜o
pi
3
= arctang(
y
x
)
4. Determinar o gra´fico correspondente da equ¨ac¸a˜o
pi
3
= arctang(
x
y
)
32
.
1.9 Aˆngulos entre retas. Distaˆncia de um
ponto a uma reta. Equac¸o˜es da Circunfereˆncia.
Exerc´ıcio. Determine o menor dos aˆngulos entre as retas r e s, cujas equac¸o˜es sa˜o ,
respectivamente,
y = 2x− 2 e y = −x + 4
Distaˆncia de um ponto a uma reta. A distaˆncia do ponto P (xo, yo) a` reta r de
equac¸a˜o y = mx + k, e´ definida como sendo a distaˆncia de P a A, onde A(x1, y1) e´ o pe´
da perpendicular baixada de P a r. Indicando por d(P, r) a distaˆncia de P a r, temos
d(P, r) =
|yo + mxo + k|√
1 + m2
(1)
z Provar a fo´rmula (1).
Equac¸o˜es Parame´tricas da Circunfereˆncia. Na figura 9, representamos uma circun-
fereˆncia de centro C(xo, yo) e raio r. Seja P (x, y) um ponto qualquer desta circunfereˆncia
e t o aˆngulo formado pelos vetores
−−→
CP e
−→
CA, onde A(xo + r, yo).
x = xo + rcos(t)
(2)
y = yo + rsen(t)
z Provar a fo´rmula (2).
Equac¸a˜o Cartesiana da Circunfereˆncia. Eliminando t nas equac¸o˜es parameˆtricas,
obtemos a equac¸a˜o cartesiana da circunfereˆncia de centro C(xo, yo) e raio r. Isto e´,
(x− xo)2 + (y − yo)2 = r2 (3)
z Provar a fo´rmula (3).
33
Figura 9
Exerc´ıcios.
1. Escreva uma equac¸a˜o cartesiana da circunfereˆncia que passa pelos pontos
A(1, 1), B(−1, 2) e C(2, 3).
2. Descreva a trajeto´ria de uma part´ıcula animada de um movimento tal que, no instante
t, ela se encontra no ponto
(x, y) = (2cos(3t), 2sen(3t)).
3. Encontrar a equac¸a˜o da circunfereˆncia, tangente ao eixo X, que passa pelos pontos (1,2)
e (2,3).
34
.
2 Unidade
Coˆnicas
35
.
2.0 Introduc¸a˜o
.
Considere uma circunfereˆncia C. Seja A a reta que passa pelo centro de C e e´
perpendicular ao plano de C e seja V um ponto de A que na˜o pertence ao plano de
C e desenhe uma reta por P que passa tambe´m por V. Fazendo P percorrer C, a reta
PV gera um cone circular reto com eixo A e Ve´rtice V. Cada uma das retas PV
chama-se geratriz do cone, e o aˆngulo α entre o eixo e qualquer geratriz chama-se aˆngulo
do ve´rtice.O cone mostrado na figura I tem um eixo vertical; as porc¸o˜es superior e inferior
do cone que se intersectam no ve´rtice chamam-se folhas do cone.Em Geometria Elementar,
um cone geralmente e´ entendido como sendo uma figura solida que ocupa a regia˜o limitada
do espac¸que esta´ entre V e o plano de C e no interior da superf´ıcie que acabamos de
descrever. Entretanto, no contexto presente, o cone e´ apenas essa superf´ıcie, e e´ encarado
como constitu´ıdo de ambas as folhas, estendendo-se ao infinito em ambos os sentidos.
.
Figura I
36
.
As curvas obtidas cortando-se um cone com um plano que na˜o passa pelo ve´rtice chamam-
se sec¸o˜es coˆnicas ou simplesmente coˆnicas. Se o plano secante e´ paralelo a uma geratriz, a
coˆnica chama-se para´bola. Caso contra´rio, a coˆnica chama-se elipseou hipe´rbole, conforme o
plano corte uma so´ ou ambas as folhas. A hipe´rbole deve ser encarada como uma curva so´,
consistindo em dois ”ramos”, um em cada folha. Essas treˆs curvas sa˜o ilustradas na figura II.
.
Parábola
Elipse
Hipérbola
Figura II
.
As treˆs curvas mostradas na figura II podem ser descritas de outra maneira. Imagine uma
fonte de luz colocada em V e um anel circular colocado em C. Enta˜o a sombra do anel
projetada sobre um plano sera´ uma para´bola, uma elipse ou ramo de hipe´rbole, dependendo
da inclinac¸a˜o do plano. Se o plano e´ paralelo a uma das retas que une V a C, obtemos
uma sombra para´bolica, a sombra sera´ uma elipse se o plano for menos inclinado que esse
plano que gera a para´bola e sera´ parte de uma hipe´rbole se for mais inclinado.
Devemos notar que transladando cada um dos planos secantes da figura II paralelamente a`
posic¸a˜o original ate´ passar pelo ve´rtice, obteremos as chamadas sec¸o˜es coˆnicas ”degeneradas”,
ou seja, respectivamente uma u´nica reta, um ponto e um par de retas concorrentes.
37
.
Estudaremos as sec¸o˜es coˆnicas como curvas planas. Para esse propo´sito, conve´m utilizar
definic¸o˜es equivalentes que se referem somente ao plano em que as curvas esta˜o e que dependem
de pontos especiais desse plano chamados focos. Assim, elipse e´ definida como o conjunto de
todos os pontos do plano cujas somas das distaˆncias d1 e d2 a dois pontos fixos F1 e F
′
(os
focos) e´ constante, figura III (a` esquerda). Hipe´rbole e´ o conjunto de todos os pontos para
os quais o valor absoluto da diferenc¸a |d1 − d2| e´ constante. Finalmente, para´bola e´ o
conjunto de todos pontos cuja distaˆncias a um ponto fixo F (foco) e a uma reta fixa (chamada
diretriz)sa˜o iguais.
Umaconstante
Umaconstante(Elipse)
(Hipérbole)
Diretriz
(Parábola)
Figura III
Figura IV
38
.
Ha´ um argumento simples e elegante que mostra que a propriedade focal de uma elipse pode ser
obtida de sua definic¸a˜o como sec¸a˜o coˆnica. A demonstrac¸a˜o utiliza as duas esferas mostradas
na Figura IV, internamente tangentes ao cone nos pontos das circunfereˆncias horizontais
C1 e C2. As esferas sa˜o tambe´m tangentes ao plano secante, que origina a elipse nos
pontos F e F
′
. Sendo P um ponto arbitra´rio da elipse, devemos mostrar que a soma de
suas distaˆncias aos focos d(P, F ) + d(P, F ′) e´ constante no sentido de que na˜o depende da
posic¸a˜o particular de P. Para ver isto, notamos que, sendo Q e R pontos sobre C1 e C2
que esta˜o na geratriz que passa por P, enta˜o d(P, F ) = d(P,Q) e d(P, F ′) = d(P,R), pois
duas tangentes quaisquer a uma esfera, traadas de um mesmo ponto externo, teˆm o mesmocomprimento. Segue-se que d(P, F )+d(P, F ′) = d(P,Q)+d(P,R) = d(Q,R); e o argumento
se completa observando-se que d(Q,R), considerada como medida da distaˆncia de C1 a
C2 tomada sobre uma geratriz, tem o mesmo valor qualquer que seja a posic¸a˜o de P.
Com pequenas modificac¸o˜es , essa prova funciona tambe´m para a hipe´rbole e para a para´bola.
No caso da hipe´rbole, utilizamos uma esfera em cada folha do cone, com ambas as esferas
tangentes ao plano secante.E para a para´bola utilizamos uma esfera tangentes ao plano secante.
O foco da para´bola e´ esse ponto de tangeˆncia, e sua diretriz e´ a reta de intersec¸a˜o do plano
secante com o plano da circunfeˆren cia ao longo da qual a esfera e´ internamente tangente ao
cone.
.
Exerc´ıcio.
1. Provar a propriedade focal da para´bola.
2. Provar a propriedade focal da Hipe´rbole.
39
.
2.1 Coˆnicas: Elipse
.
Definic¸a˜o . Dados dois pontos F e F1 e um nu´mero r > d(F1, F ), o conjunto dos pontos
P do plano tais que
d(P, F ) + d(P, F1) = r
e´ chamado de elipse de focos F1 e F e eixo maior r. Porqueˆ assumimos r > d(F1, F ) ?
Figura 10
Figura 11
40
.
Exerc´ıcios.
1. Descrever um me´todo, usando re´gua e compasso, para constru´ır uma elipse.
2. Descrever um me´todo, usando um lac¸o completo de barbante e dois pregos, para constru´ır
uma elipse.
3. Deduzir uma equac¸a˜o da elipse na situac¸a˜o particular em que seu centro coincide com a origem
e os focos estam sobre o eixo X. Ver Figura 10. Provar que d(A,A1) = r.
4. Deduzir uma equac¸a˜o da elipse na situac¸a˜o particular em que seu centro coincide com a origem
e os focos estam sobre o eixo Y. Ver Figura 11. Provar que d(B,B1) = r.
Os pontos A,A1 sa˜o a intersec¸a˜o da elipse com o eixo X e os pontos B,B1, sa˜o
a intersec¸a˜o da elipse com o eixo Y. Estes pontos sa˜o chamados de ve´rtices da elipse.
Observamos que o segmento AA1 e´ perpendicular ao segmento BB1. O ponto de
intersec¸a˜o de AA1 e BB1 e´ chamado o centro da elipse.
z Em ambos casos (Exerc´ıcios 3-4), a equac¸a˜o da elipse e´
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
Se a > b, os focos da elipse esta˜o no Eixo X e sa˜o F1(−c, 0) e F (c, 0), onde c =√
a2 − b2.
Se a < b, os focos da elipse esta˜o no Eixo Y e sa˜o F1(0,−c) e F (0, c), onde c =√
b2 − a2.
z Na verdade, nos exerc´ıcios 3-4, demonstramos apenas que todo ponto da elipse satisfaz
uma equac¸a˜o da forma
(♠) x
2
a2
+
y2
b2
= 1.
Mas, seguindo os passos da demonstrac¸a˜o dos exerc´ıcios, no sentido inverso, podemos
mostrar que todo ponto que satisfaz a equac¸a˜o ♠ e´ um ponto da elipse.
5. A equac¸a˜o x − y + 1 = 0 e´ equivalente a` (x − y + 1)(x + y + 1) = 0 ?? Isto e´, o mesmo
conjunto total de pontos satisfazem estas equac¸o˜es ??
6. Em geral, uma equac¸a˜o de uma elipse e´ do segundo grau. Quando os ve´rtices na˜o esta˜o sobre
os eixos do sistema de coordenadas, ale´m dos termos em x2 e y2, a equacao apresenta ta´mbem
termos em xy, x e y. Como veremos no exerc´ıcio seguinte.
Determinar a equac¸a˜o da elipse cujos focos sa˜o F1(−3, 0) e F (0, 4) e o eixo maior e´ 7.
41
.
2.2 Coˆnicas: Hipe´rbole
.
Definic¸a˜o . Dados dois pontos F e F1 e um nu´mero r < d(F1, F ), o conjunto dos pontos
P do plano tais que
| d(P, F ) − d(P, F1) |= r
e´ chamado de Hipe´rbole de focos F1 e F e eixo r. Porqueˆ assumimos r < d(F1, F ) ?
Figura 12
Figura 13
42
.
Exerc´ıcios.
1. Descrever um me´todo, usando re´gua e compasso, para constru´ır uma hipe´rbole.
2. Deduzir uma equac¸a˜o da hipe´rbole na situac¸a˜o particular em que os focos estam sobre
o eixo X e a origem seja o ponto me´dio do segmento F1F. Ver Figura 12. Os pontos
A,A1 da hipe´rbole, que sa˜o as intersec¸o˜es com o eixo X, sa˜o chamados de ve´rtices da
hipe´rbole. Provar que d(A,A1) = r.
3. Deduzir uma equac¸a˜o da hipe´rbole na situac¸a˜o particular em que os focos estam sobre
o eixo Y e a origem seja o ponto me´dio do segmento F1F. Ver Figura 13.Os pontos
B,B1, , que sa˜o as intersec¸o˜es com o eixo Y, sa˜o chamados de ve´rtices da hipe´rbole.
Provar que d(B,B1) = r.
z No Exerc´ıcio 2, a equac¸a˜o da hipe´rbole e´
x2
a2
− y
2
b2
= 1.
se os focos da hipe´rbole sa˜o F1(−c, 0) e F (c, 0), onde c =
√
a2 + b2.
z No Exerc´ıcio 3, a equac¸a˜o da hipe´rbole e´
y2
a2
− x
2
b2
= 1.
se os focos da hipe´rbole sa˜o F1(0,−c) e F (0, c), onde c =
√
a2 + b2.
z Na verdade, nos exerc´ıcios 2-3, demonstramos apenas que todo ponto da hipe´rbole
satisfaz uma equac¸a˜o da forma
(♠) x
2
a2
− y
2
b2
=
+− 1.
Mas, seguindo os passos da demonstrac¸a˜o dos exerc´ıcios, no sentido inverso, pode-
mos mostrar que todo ponto que satisfaz a equac¸a˜o ♠ e´ um ponto da hipe´rbole.
4. Em geral, uma equac¸a˜o de uma hipe´rbole e´ do segundo grau. Quando os focos na˜o
esta˜o sobre os eixos do sistema de coordenadas, ale´m dos termos em x2 e y2, a equacao
apresenta ta´mbem termos em xy, x e y. Como veremos no exerc´ıcio seguinte.
Determinar a equac¸a˜o da hipe´rbole cujos focos sa˜o F1(−2, 1) e F (1, 3) e o eixo e´ 2.
Resposta. 20x2 + 48xy − 76x + 24y − 79 = 0
43
.
Exerc´ıcios. ( Ass´ıntotas da Hipe´rbole )
1. Demonstrar que a reta y = mx intercepta a hipe´rbole
x2
a2
− y
2
b2
= 1
se, e somente se, sua declividade estiver compreendida entre −b
a
e b
a
.
2. Demonstrar que a reta y = mx intercepta a hipe´rbole
y2
b2
− x
2
a2
= 1
se, e somente se, m > b
a
ou m < −b
a
.
z Cada uma das retas
y =
b
a
x
y =
−b
a
x
e´ chamada ass´ıntota da hipe´rbole.Tambe´m, os exerc´ıcios 1 - 2 mostram que a
hipe´rbole (ambos os ramos) tende para as ass´ıntotas, a` medida que se afasta da
origem.
z O anterior sugere um procedimento coˆmodo para se esboc¸ar uma hipe´rbole, a
saber, primeiro trac¸amos as ass´ıntotas e, depois, os ramos da hipe´rbole tendendo
a`s ass´ıntotas.
3. Encontrar a equac¸a˜o Cartesiana de todos pontos que sa˜o centros da circunfereˆncia que
passa pelo ponto (1,1) e corta num ponto a` circunfereˆncia (x− 3)2 + (y − 3)2 = 1.
44
.
2.3 Coˆnicas: Para´bola
.
Definic¸a˜o . Dados um ponto F e uma reta R, chama-se para´bola de foco F e diretriz R
ao conjunto de pontos P do plano tais que
d(P, F ) = d(P,R).
A reta perpendicular a` R que passa por F e´ chamada eixo da para´bola. O ponto da para´bola
mais pro´ximo de R e´ chamado ve´rtice da para´bola.
Figura 14
Figura 15
45
.
Exerc´ıcios.
1. Descrever um me´todo, usando re´gua e compasso, para constru´ır uma para´bola.
2. Deduzir uma equac¸a˜o da para´bola na situac¸a˜o particular em que o foco e´ F (0, a), a > 0, e
a diretriz e´ a reta y = −a. Ver Figura 14(a).Neste caso, o eixo da para´bola e´ o eixo Y e o
ve´rtice da para´bola e´ a origem dos eixos coordenados.
3. Deduzir uma equac¸a˜o da para´bola na situac¸a˜o particular em que o foco e´ F (0,−a), a > 0, e
a diretriz e´ a reta y = a. Ver Figura 14(b).Neste caso, o eixo da para´bola e´ o eixo Y e o
ve´rtice da para´bola e´ a origem dos eixos coordenados.
4. Deduzir uma equac¸a˜o da para´bola na situac¸a˜o particular em que o foco e´ F (a, 0), a > 0, e
a diretriz e´ a reta x = −a. Ver Figura 15(c).Neste caso, o eixo da para´bola e´ o eixo X e o
ve´rtice da para´bola e´ a origem dos eixos coordenados.
5. Deduzir uma equac¸a˜o da para´bola na situac¸a˜o particular em que o foco e´ F (−a, 0), a > 0, e
a diretriz e´ a reta x = a. Ver Figura 15(d).Neste caso, o eixo da para´bola e´ o eixo X e o
ve´rtice da para´bola e´ a origem dos eixos coordenados.
z Nos Exerc´ıcios 2-3, a equac¸a˜o da para´bola e´
y =
+− 1
4a
x2.
se o foco da para´bola e´ F (0,
+− a), e o ve´rtice da para´bola e´ a origem dos eixos coorde-
nados, (0, 0).
z Nos Exerc´ıcios 4-5, a equac¸a˜o da para´bola e´
x=
+− 1
4a
y2.
se o foco da para´bola e´ F (
+− a, 0), e o ve´rtice da para´bola e´ a origem dos eixos coorde-
nados, (0, 0).
z Na verdade, nos exerc´ıcios 2-3-4-5, demonstramos apenas que todo ponto da para´bola
satisfaz uma equac¸a˜o da forma
(♠) y =+− 1
4a
x2 ou x =
+− 1
4a
y2.
Mas, seguindo os passos da demonstrac¸a˜o dos exerc´ıcios, no sentido inverso, podemos
mostrar que todo ponto que satisfaz a equac¸a˜o (♠) e´ um ponto da para´bola.
6. Em geral, uma equac¸a˜o de uma para´bola e´ de segundo grau. Quando o eixo da para´bola
na˜o esta sobre os eixos do sistema de coordenadas e a origem dos eixos coordenados na˜o e´ o
ve´rtice, ale´m dos termos em x2 e y2, a equac¸a˜o apresenta tambe´m termos em xy, x e y. Como
veremos no exerc´ıcio seguinte. Deduza uma equac¸a˜o da para´bola com foco F (1, 1) e cuja
diretriz e´ a reta y = −x.
46
.
2.3 Rotac¸a˜o e Translac¸a˜o de Eixos
Nos para´grafos anteriores vimos que a equac¸a˜o de uma coˆnica ( elipse, hipe´rbole ou para´bola ) e´
sempre do segundo grau, isto e´, da forma
Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0. (♣)
Vimos que , ainda, em situac¸o˜es particulares, a equac¸a˜o da coˆnica reduz-se a uma das formas
x2
a2
+
y2
b2
= 1, (I)
x2
a2
− y
2
b2
= 1 ou
y2
b2
− x
2
a2
= 1, (II)
y =
+− 1
4a
x2 ou x =
+− 1
4a
y2. (III)
Dizemos que estas equac¸o˜es esta˜o na forma reduzida ou canoˆnica.
Observamos que, por enquanto, e´ dif´ıcil identificar a coˆnica correspondente a uma equac¸a˜o geral
do segundo grau. Assim, a te´cnica utilizada para identificar e esboc¸ar a coˆnica correspondente a
uma equac¸a˜o geral do segundo grau consiste em simplificar sua equac¸a˜o efetuando-se mudanc¸as
no sistema de coordenadas.Estas mudanc¸as sa˜o translac¸a˜o e rotac¸a˜o de eixos e sera˜o introduzidas
a seguir.
Figura 16
47
.
Translac¸a˜o de Eixos.
Na figura 16, esta˜o representados dois sistemas coordenados: o sistema XOY e o sistema
X1O1Y1, que pode ser imaginado como uma translac¸a˜o de XOY em que a origem O coincide com
a origem O1. Se P e´ um ponto do plano, podemos tomar suas coordenadas em relac¸a˜o a cada um
dos dois sistemas. Se (x, y) sa˜o coordenadas de P em relac¸a˜o ao sistema XOY e (x1, y1) em
relac¸a˜o ao sistema X1O1Y1, temos
x = x1 + a x1 = x− a
ou
y = y1 + b y1 = y − b
Exerc´ıcios.
1. Seja o ponto P (4,−1). Encontrar as coordenadas de P em relac¸a˜o a`s novas coordenadas
X1O1Y1, onde O1 = (−2, 3).
2. Usando uma translac¸a˜o conveniente, elimine os termos do primeiro grau da equac¸a˜o
4x2 − 8x + 9y2 − 36y + 4 = 0
3. Determine os focos, os ve´rtices e o eixo maior da elipse cuja equac¸a˜o e´
(x− h)2
a2
+
(y − k)2
b2
= 1,
quando a > b e quando b > a.
4. Determine os focos, os ve´rtices e o eixo da hipe´rbole cuja equac¸a˜o e´
(x− h)2
a2
− (y − k)
2
b2
= 1.
5. Determine os focos, os ve´rtices e o eixo da hipe´rbole cuja equac¸a˜o e´
(y − k)2
b2
− (x− h)
2
a2
= 1.
6. Determine o foco, a diretriz e o ve´rtice da para´bola cuja equac¸a˜o e´
a. (y − k)2 =+− 4a(x− h), a > 0 b. (x− h)2 =+− 4a(y − k), a > 0
48
Figura 17
.
Rotac¸a˜o de Eixos.
Consideremos o sistema de coordenadas XOY, e seja X1O1Y1 o sistema de coordenadas obtido
de XOY por uma rotac¸a˜o de um aˆngulo θ, no sentido anti-horario, como mostra a Figura 17.
Sejam os vetores unita´rios ~u1 = (cos(θ), sen(θ)) e ~u2 = (−sen(θ), cos(θ)) . Se P e´ um ponto
do plano, podemos tomar suas coordenadas em relac¸a˜o a cada um dos dois sistemas. Se (x, y) sa˜o
coordenadas de P em relac¸a˜o ao sistema XOY e (x1, y1) em relac¸a˜o ao sistema X1O1Y1 temos
(x, y) = x1~u1 + y1~u2.
De onde obtemos
x = x1cos(θ)− y1sen(θ) x1 = xcos(θ) + ysen(θ)
ou
y = x1sen(θ) + y1cos(θ) y1 = −xsen(θ) + ycos(θ)
Exerc´ıcios.
1. Seja o ponto P (6, 4). Efetuando-se uma rotac¸a˜o de um aˆngulo de pi3 radianos nos eixos,
determinar as coordenadas do ponto P, em relac¸a˜o ao novo sistema.
2. Usando uma rotac¸a˜o de eixos convenientes, transforme a equac¸a˜o
4x2 + y2 + 4xy + x− 2y = 0
em uma que na˜o contenha o termo xy.
49
.
2.3 Equac¸a˜o Geral do Segundo Grau.Definic¸a˜o
Unificada das Coˆnicas
.
Teorema 1. Seja C um conjunto de pontos (x, y) que satisfazem a equac¸a˜o
Ax2 + +Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Seja o nu´mero ∆ = B2 − 4AC. Enta˜o
(i) Se ∆ < 0 enta˜o C e´ uma elipse ou um ponto ou um conjunto vazio.
(ii) Se ∆ > 0 enta˜o C e´ uma hipe´rbole ou um par de retas concorrentes.
(iii) Se ∆ = 0 enta˜o C e´ uma para´bola ou um par de retas paralelas ou uma u´nica reta.
.
Teorema 2. (Definic¸a˜o Unificadas das Coˆnicas) Dados uma reta d e um
ponto F na˜o pertencente a d. Seja C um conjunto de pontos P que satisfazem a equac¸a˜o
d(P, F ) = ed(P, d)
Enta˜o
(i) Se e > 1 enta˜o C e´ uma hipe´rbole.
(ii) Se e = 1 enta˜o C e´ uma para´bola.
(iii) Se e < 1 enta˜o C e´ uma elipse.
∗ O nu´mero e chama-se excentricidade.
.
Exerc´ıcios.
1. Deˆ um exemplo de uma equac¸a˜o da forma Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, onde
todos os coeficientes sejam na˜o -nulos, cujo gra´fico seja o conjunto vazio.
2. Deduza uma equac¸a˜o da coˆnica de foco F (2, 0) com excentricidade e = 14 e diretriz
x = 8.
3. Determine a reta d e o ponto F, do Teorema 2, correspondente a hipe´rbole cuja
equac¸a˜o e´ x
2
a2
− y2
b2
= 1. Fazer o mesmo para uma elipse e uma para´bola.
50
.
3 Unidade
O Espac¸o
51
.
3.1 Sistema de Coordenadas.Distaˆncia entre
dois Pontos.Equac¸a˜o Cartesiana da Esfera.
.
Exercicio. Explicar a correspondeˆncia biun´ıvoca entre os pontos do Espac¸o e as ternas
ordenadas (x, y, z).
.
Definic¸a˜o . (Distaˆncia entre dois Pontos ) Sejam dois pontos no espac¸o
P (x1, y1, z1), Q(x2, y2, z2). A distaˆncia entre P e Q, indicado por d(P ;Q), e´
d(P ;Q) =
√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
.
Teorema.( Equac¸a˜o Cartesiana da Esfera ) A Equac¸a˜o Cartesiana da Esfera
de centro C(xo, yo, zo) e raio r e´
(x− xo)2 + (y − yo)2 + (z − zo)2 = r2
.
Exerc´ıcios.
1. Determine o centro e o raio das seguintes esferas:
(a) x2 + y2 + z2 − 2z − 3y − 5x = 0
(b) 4x2 + 4y2 + 4z2 − 8z − 7y − 5x = 0
2. Determine uma equac¸a˜o da esfera de centro na origem, sabendo que sua intersec¸a˜o com
um plano paralelo ao plano XY e distante duas unidades da origem e´ uma circunfereˆncia
de raio 3.
3. Determine t para que o ponto
(t, t + 1, t + 2)
pertenc¸a a` esfera de centro (0, 1, 2) e raio
√
12.
52
.
3.2 Vetores No Espac¸o: Operac¸o˜es com vetores,
Produto Escalar e Aˆngulos entre Vetores.
.
Definic¸a˜o . Definimos um vetor como sendo uma terna de nu´meros reais
−→v = (a, b, c). Indicaremos o conjunto dos vetores do espac¸o por R3. O vetor
O = (0, 0, 0)
e´ o vetor nulo do espac¸o. Representamos o vetor −→v por uma seta (ver figura 18 )
−−→
AB = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) = (a, b, c)
definido pelos pontos A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2).
.
Operac¸o˜es com Vetores.
1. O nu´mero √
x2 + y2 + z2
e´ chamado o mo´dulo do vetor −→v = (x, y, z) e e´ indicado por ‖ −→v ‖ . Observe que o
mo´dulo de um vetor e´ igual ao comprimento da seta que o representa.
2. Sejam −→u = (x1, y1, z1) e −→v = (x2, y2, z2) vetores e k um nu´mero real. Enta˜o ,
−→u +−→v , k−→u ,−→u .−→v ,
respectivamente, a soma de vetores, o produto de um nu´mero por um vetor e o produto
escalar de dois vetores, sa˜o definidos como segue:
−→u +−→v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2);
k−→u = (kx1, ky1, kz1);
−→u .−→v = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2.
3. E´ valida a Desigualdade de Cauchy-Schwartz para vetores no espac¸o, isto e´, tem-se
|−→u .−→v | ≤‖ −→u ‖‖ −→v ‖ .
4. Se −→u e −→v sa˜o vetores na˜o -nulos do espac¸o, o u´nico aˆngulo θ ( medido em radianos
) tal que
(a) 0 ≤ θ ≤ pi
(b) cos(θ) =
−→u .−→v‖−→v ‖‖−→u ‖
53
Figura 18
.
Exercicio. Provar que o aˆngulo entre os vetores −→u e −→v , definido acima, e´ exatamente o
mostrado na Figura 19. Assim, podemos dizer que
−→u e −→v sa˜o perpendiculares se, e somente se, −→u .−→v = 0.
Figura 19
54
.
3.3 Produto Vetorial.
.
Definic¸a˜o . Seja −→w o vetor perpendicular simultaneamente a −→u = (a1, b1, c1) e
−→v = (a2, b2, c2), definido por
−→w =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
a1 b1 c1
a2 b2 c2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (b1c2 − b2c1, a2c1 − a1c2, a1b2 − a2b1),
onde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), e k = (0, 0, 1). O vetor −→w e´ chamado produto vetorial
de −→u por −→v e indicado por −→u ×−→v ( Ver Figura 20 ).
Figura 20
55
.
Propriedades. Sejam os vetores −→u ,−→v ,−→w em R3 e o nu´mero real k ∈ R. O produto
vetorial verifica as seguintes propriedades:
1. O produto vetorial na˜o e´ comutativo (ver figura 21) : −→u ×−→v = −−→v ×−→u .
2. O produto vetorial na˜o e´ associativo.
3. (−→u +−→v )×−→w = (−→v +−→u )×−→w .
4. (k−→u )×−→v = −→u × (k−→v ) = k(−→u ×−→v ).
5. Se os vetores −→u 6= 0 e −→v 6= 0 enta˜o
‖−→u ×−→v ‖ = ‖−→u ‖.‖−→v ‖sen(θ), (♣)
onde θ e´ o aˆngulo entre −→u e −→v .
A partir da fo´rmula (♣), conclu´ımos que o mo´dulo de −→u × −→v
e´ nume´ricamente igual a` a´rea do paralelogramo definido por −→u e
−→v (V erfigura19).
Figura 21
.
Exerc´ıcio. Provar todas as propriedades dadas do Produto vetorial.
56
.
3.4 Produto Misto.
.
Definic¸a˜o . O nu´mero
(−→u ×−→v ).−→w .
onde −→u , −→v e −→w pertencem ao espac¸o R3, e´ chamado Produto Misto dos
vetores −→u , −→v e −→w . Se −→u = (a1, b1, c1), −→v = (a2, b2, c2) e −→w = (a3, b3, c3), o pro-
duto misto de −→u , −→v e −→w e´ dado por
(−→u ×−→v ).−→w =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Propriedades. Sejam os vetores −→u = (a1, b1, c1), −→v = (a2, b2, c2) e −→w = (a3, b3, c3). O
Produto Misto possui as seguintes propriedades :
(a) (−→u ×−→v ).−→w = −→u .(−→v ×−→w )
(b) O paralelep´ıpedo definido pelos vetores −→u , −→v e −→w , e´ numericamente igual ao mo´dulo
do Produto Misto destes vetores.
Exerc´ıcio. Demonstrar todas as propriedades dadas do Produto Misto.
57
.
3.5 Equac¸a˜o do Plano.
.
Equac¸a˜o Cartesiana do Plano. Sejam A(xo, yo, zo) um ponto do espac¸o e
−→v = (a, b, c) um vetor na˜o -nulo. Sabemos que passando por A, existe um u´nico plano
α perpendicular ao vetor −→v ( ver figura 22 ). Ou seja, o ponto P (x, y, z) pertence a α se,
e somente se,
−→
AP.−→v = 0
Como
−→
AP = (x− xo, y − yo, z − zo), temos
a(x− xo) + b(y − yo) + c(z − zo) = 0,
que e´ a equac¸a˜o Cartesiana do Plano α.
Equac¸o˜es Parame´tricas do Plano. Dizemos que um plano α e´ paralelo a um
vetor −→u se existe em α uma reta com a direc¸a˜o de −→u . Sejam −→u = (a1, b1, c1) e −→v =
(a2, b2, c2) vetores com direc¸o˜es diferentes. Um ponto P (x, y, z) pertence ao plano que conte´m
A(xo, yo, zo) e e´ paralelo aos vetores
−→u e −→v se, e somente se, existem nu´meros s e t tais
que
−→
AP = s−→u + t−→v .
Escrevendo esta igualdade em func¸a˜o das coordenadas de A, P,−→u e −→v , obtemos
(x− xo, y − yo, z − zo) = s(a1, b1, c1) + t(a2, b2, c2).
ou
x = xo + a1s + a2t
y = yo + b1s + b2t
z = zo + c1s + c2t,
que sa˜o chamadas equac¸o˜es parame´tricas do Plano.
Exerc´ıcios.
1. Equac¸a˜o do Plano que e´ perpendicular ao segmento AB, dados A(1, 3,−2) e B(3, 5, 4).
2. Intersec¸a˜o do Plano α de equac¸a˜o
2x + 3y + z = 6
com os eixos do sistema de coordenadas.
3. Equac¸o˜es parame´tricas e Cartesiana do plano que conte´m o ponto A(2, 3,−1) e e´
paralelo aos vetores −→u = (3, 4, 2) e −→v = (2,−2, 6).
58
Figura 22
59
.
3.6 Equac¸o˜es Parame´tricas da Reta. Intersec¸a˜o
de Retas.
.
Equac¸o˜es Parame´tricas da Reta. Seja a reta r que conte´m o ponto A(xo, yo, zo) e
e´ paralela ao vetor na˜o -nulo −→v = (a, b, c) ( ver figura 23) . Um ponto P (x, y, z) pertence
a` reta r se, e somente se,
−→
AP = t−→v ,
onde t e´ um nu´mero real. Em termos de coordenadas, temos
(x− xo, y − yo, z − zo) = t(a, b, c)
que e´ equivalente a
x = xo + ta
y = yo + tb
z = zo + tc
Intersec¸a˜o de Retas . Duas retas no espac¸o podem ser concorrentes, reversas ou
paralelas como veremos nos exerc´ıcios.
Exerc´ıcios.
1. Verifique que a reta
x = −1 + t
y = 2 + 3t
z = 5t
esta´ contida no plano x + y − z = 3.
2. Determine os valores de a e b para que as retas
x = 1 + at x = −2 + 2t
y = 2 + bt y = 1 + bt
z = −1 + 2t z = −1 + 2t
sejam:
(a) paralelas.
(b) concorrentes.
(c) reversas.
60
A
P
Figura 23
.
3.7 Intersec¸a˜o de Planos. Intersec¸a˜o de Retas e
Planos.
.
Exerc´ıcios.
1. Intersec¸a˜o dos planos 2x + 3y + z = 1 e x− 2y + 3z = 0.
2. Determine a intersec¸a˜o da reta
x = 3− 2t
y = 1 + t
z = 2 + 3t
com o plano x− 4y + z = −2.
3. Verifique que a reta
x = −1 + t
y = 2 + 3t
z = 5t
esta´ contida no plano 2x + y − z = 0.
4. Escreva as equac¸o˜es parame´tricas da intersec¸a˜o dos planos.
(a) 2x + y − z = 0 e x + y + z = 1;
(b) x + 2y = 1 e z = 2.
61
. 3.8 Distaˆncia de um Ponto a um Plano.
Figura 24
.
Na Figura 24, r e´ a reta que conte´m o ponto P (xo, yo, zo) e e´ perpendicular ao plano α e I
e´ a intersec¸a˜o de r com α. O ponto I e´ chamado projec¸a˜o ortogonal de P sobre α. A
distaˆncia de P a I, d(P, I), e´ a distaˆncia de P a α, que sera´ indicada por d(P, α). Logo,
se ax + by + cz + d = 0 e´ a equac¸a˜o de α enta˜o
d(P, α) =
|axo + byo + czo + d|√
a2 + b2 + c2
Exercicios.
1. Deduzir a fo´rmula dada acima.
2. Determine a distaˆncia do ponto P (2, 4, 1) ao plano α de equac¸a˜o x+5y +3z−13 = 0.
62
.
3.9 Distaˆncia de um Ponto a uma Reta
Figura 25
.
Para determinar a distaˆncia de um ponto P a uma reta r, procedemos assim: primeiro,
trac¸amos por P um plano perpendicular a r e, emseguida, determinamos o ponto I de
intersec¸a˜o deste plano com r. E´ fa´cil ver que d(P, I) e´ a menor distaˆncia do ponto P a` reta
r. Veja a Figura 25.
Exercicio. Calcular a distaˆncia do ponto P (1, 2,−1) a` reta r dada pelas equac¸o˜es
parame´tricas :
x = 1 + 2t
y = 5− t
z = −2 + 3t
63
. 3.10 Distaˆncia entre Retas Reversas.
Figura 26
Dadas as retas reversas r e s, tracemos por um ponto P de uma delas, s por exemplo, uma
reta r
′
paralela a r. Assim, o plano α e´ paralelo a reta r. Portanto, a distaˆncia de um
ponto qualquer de r a α e´ igual a uma constante ℵ. Esta constante ℵ e´ a menor distaˆncia
entre r e s.
Exerc´ıcios.
1. Provar que << a constante ℵ e´ a menor distaˆncia entre r e s >> .
2. Determine a distaˆncia entre as retas reversas
x = 2 + t x = −5 + 4t
r : y = 1− 3t s : y = 6− 5t
z = 1 + 2t. z = 4 + 3t.
64
.
4 Unidade
Qua´dricas
65
. 4.0 Introducc¸a˜o .
.
.
No Cap´ıtulo 2 estudamos gra´ficos de equac¸o˜es quadra´ticas com duas varia´veis. Vimos que
atrave´s de mudanc¸as de coordenadas (rotac¸a˜o e translac¸a˜o ) e´ poss´ıvel colocar uma tal
equac¸a˜o numa das formas canoˆnicas e identificar a coˆnica que ela representa. Neste cap´ıtulo,
nosso objetivo e´, tambe´m, estudar gra´ficos de equac¸o˜es quadra´ticas, so´ que, agora, com treˆs
varia´veis. Mais precisamente,equac¸o˜es da forma
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Jz = R
Os gra´ficos de tais equac¸o˜es , se diferentes do conjunto vazio, sa˜o superf´ıcies chamadas
qua´dricas.
O estudo que a seguir apresentaremos consistira´ em identificar e esboc¸ar uma qua´drica, co-
nhecida sua equac¸a˜o .
.
66
.
4.1 Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o .
.
.
Figura 27
.
Definic¸a˜o . Uma superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o de uma curva plana C em torno de um
eixo chama-se Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o .
Por exemplo, na maioria dos casos, a equac¸o˜es de C pode serescrita assim
F (y, z) = 0, x = 0
Logo, a equac¸o˜es Cartesianas da superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o de C em torno do eixo Z e´
F (y1, z) = 0, y1 = x
2 + y2 (4)
Exerc´ıcios.
1. Provar a fo´rmula (4).
2. Deduza a equac¸a˜o da superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o da elipse y
2
b2
+ z
2
c2
= 1, x = 0,
em torno do eixo Z. Essa superf´ıcie chama-se elipsoide de revoluc¸a˜o .
.
67
.
3. Determinar as equac¸o˜es das superf´ıcies geradas pela rotac¸a˜o da hipe´rbole
y2
b2
− z
2
c2
= 1, x = 0.
em torno de um de seus eixos de simetria. Se a rotac¸a˜o e´ em torno do eixo Z enta˜o
obtemos uma superf´ıcie chamada hiperbolo´ide de uma folha. Se a rotac¸a˜o e´ em torno do
eixo Y enta˜o obtemos uma superf´ıcie chamada hiperbolo´ide de duas folhas.
4. Determinar a equac¸a˜o da superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o da para´bola
x = y2, z = 0
em torno do eixo X. Esta superf´ıcie chama-se parabolo´ide de revoluc¸a˜o .
5. As equac¸o˜es gerais de uma reta R, no plano Y Z, que passa pela origem e´
y = mz, x = 0
Determinar a equac¸a˜o da superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o da reta R em torno do eixo
Z. Esta superf´ıcie chama-se Cone de Revoluc¸a˜o . Ale´m disso, determine a equac¸a˜o da
superf´ıcie gerada usando o aˆngulo α entre R e S.
6. A superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o de uma reta R em torno de uma reta S, sendo R
e S paralelas, e´ chamada cilindro de revoluc¸a˜o ou cilindro circular. Deduzir uma equac¸a˜o
do cilindro, em relac¸a˜o a um sistema de coordenadas que conte´m S como eixo Z.
.
68
.
4.2 Formas Canoˆnicas.
.
.
Observamos que as equac¸o˜es das qua´dricas dos exerc´ıcios anteriores sa˜o casos paticulares da
equac¸a˜o
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Jz = R (I)
Um caso particular de (I) e´
Gx + Hy + Jz = R
e seu gra´fico e´, como ja vimos, um plano.Pode tambe´m acontecer de o gra´fico de (I) reduzir-se a
um ponto.Por exemplo, na equac¸a˜o
2x2 + 4y2 + z2 = 0 ou
x2
2
+ y2 +
z2
4
= 0
isto se da´.
Outra classe importante de qua´dricas sa˜o as de equac¸o˜es do tipo (I), cujos coeficientes de uma
das varia´veis sa˜o todos nulos. Isto e´,

Ax2 + By2 + Dxy + Gx + Hy = R (C1)
By2 + Cz2 + Fyz + Hy + Jz = R (C2)
Ax2 + Cz2 + Exz + Gx + Jz = R (C3)
Os gra´ficos dessa classe sa˜o superf´ıcies chamadas cilindros retos. A coˆnica que se obte´m fazendo-se
a intersec¸a˜o deste cilindro com o plano
t = 0,
sendo t a varia´vel ausente na equac¸a˜o do cilindro, e´ chamada diretriz do cilindro. Conforme a
diretriz seja uma elipse, para´bola ou hipe´rbole, o cilindro e´ chamado el´ıptico reto, para´bolico reto
ou hiperbo´lico reto.
.
.
69
.
Exerc´ıcios.
1. Esboc¸ar os gra´ficos das seguintes equac¸o˜es :
(a) x
2
4 +
y2
9 = 1. Este gra´fico chama-se cilindro el´ıptico reto.
(b) y = z2. Este gra´fico chama-se cilindro parabo´lico reto.
(c) x
2
4 − z
2
16 = 1. Este gra´fico chama-se cilindro hiperbo´lico reto.
(d) 2y2 + z2 − 4y − 6z + 7 = 0.
(e) x2 = y2.
.
Agora daremos um teorema relacionado aos retantes casos da equac¸a˜o (I).
70
.
Teorema. Se o gra´fico da equac¸a˜o
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Jz = R (I)
na˜o e´ o conjunto vazio, um ponto, um plano, ou um cilindro, usando mudanc¸as de coorde-
nadas convenientes, podemos reduz´ı-la a uma das formas constantes dos grupos seguintes.
GRUPO (E)
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
GRUPO(H1)
−x
2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
x2
a2
− y
2
b2
+
z2
c2
= 1
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1
GRUPO (H2)
x2
a2
− y
2
b2
− z
2
c2
= 1
−x
2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1
−x
2
a2
− y
2
b2
+
z2
c2
= 1
GRUPO (PE)
x =
y2
b2
+
z2
c2
y =
x2
a2
+
z2
c2
z =
x2
a2
+
y2
b2
.
71
.
GRUPO(PH)
x =
y2
b2
− z
2
c2
y =
x2
a2
− z
2
c2
z =
x2
a2
− y
2
b2
x = −y
2
b2
+
z2
c2
y = −x
2
a2
+
z2
c2
z = −x
2
a2
+
y2
b2
GRUPO (C)
x2 =
y2
b2
+
z2
c2
y2 =
x2
a2
+
z2
c2
z2 =
x2
a2
+
y2
b2
.
72
.
Observac¸o˜es .
1. A demonstrac¸a˜o deste teorema segue os mesmos caminhos da demonstrac¸a˜o do teorema
referente a coˆnicas.Primeiro, efetuamos uma mudanc¸a de sistema de coordenadas com
o objetivo de eliminar os termos que envolvem o produto de varia´veis. No caso das
coˆnicas, esta questa˜o foi resolvida com uma rotac¸a˜o . Aqui, a rotac¸a˜o e´ mais complexa e
envolve alguns resultados sobre autovetores de matrizes. A outra mudanc¸a de sistema de
coordenadas e´ uma translac¸a˜o de eixos no espac¸o, em tudo parecida com as translac¸o˜es
no plano.
2. Salientarmos que, para chegarmos a`s equac¸o˜es escritas no enunciado da proposic¸a˜o ,
fizemos mudanc¸as de coordenadas.Da´ı, a rigor, dever´ıamos usar s´ımbolos tais como
x1, y1 e z1 ou x2, y2 e z2, para denotar as varia´veis. Mas, por comodidade, conti-
nuaremos a usar x, y, e z.
3. As equac¸o˜es que compo˜em os va´rios grupos sa˜o chamadas formas canoˆnicas. Conforme a
forma canoˆnica pertenc¸a ao grupo (E),(H1),(H2),(PE),(PH) ou (C), a qua´drica que ela
representa chama-se (na mesma ordem):
Elipsoide
Hiperbolo´ide de uma folha
Hiperbolo´ide de duas folhas
Parabolo´ide el´ıptico
Parabolo´ide hiperbo´lico
Cone qua´drico
4. As figuras seguintes, constru´ıdas sem preocupac¸a˜o com o sistema de coordenadas, da˜o
ide´ia da forma geome´trica de cada uma destas superf´ıcies. Veremos nessas figuras que,
exceto o parabolo´ide hiperbo´lico, cada qua´drica possui pelo menos um eixo de simetria.
Interceptando a qua´drica por um plano perpendicular ao seu eixo de simetria, obtemos
uma elipse.Quando a qua´drica e´ de revoluc¸a˜o , esta elipse reduz-se a uma circunfereˆncia.
.
73
Elipsóide Hiperbolóidedeuma?folha
Hiperbolóidededuasfolhas
ParabolóideElíptico
Parabolóidehiperbólico Conequádrico
.
Figura 28
74
.
Os seguintes exerc´ıcios visam o treinamento ba´sico para a identificac¸a˜o e o esboc¸o das qua´dricas
usando o teorema dado acima. O procedimento, para lidar com os exerc´ıcios, consiste,
primeiro, escrever a equac¸a˜o dada na forma canoˆnica. A partir da forma canoˆnica, identi-
ficamos a qua´drica e, apo´s fazermos sua intersec¸a˜o com os planos coordenados, a esboc¸amos.
.
Exerc´ıcios. Identifique e esboce as qua´dricas cujas equac¸o˜es sa˜o :
1. 4x2 − y2 + 8z2 = 16;
2. 4x2 + y2 − 8z2 = 16;
3. x2 + 2y2 − z = 0;
4. x2 + y + z2 = 0;
5. x2 + 2y2 − z2 = 0;
6. x
2
4 − y
2
8 − z
2
16 = 1
7. z = −x24 + y
2
9
.
75
.
4.3 Curvas no Espac¸o.
.
No estudo das superf´ıcies, apresentado nas sec¸o˜es anteriores, algumas vezes mencionamos
curvas no espac¸o. As coˆnicas, por exemplo, surgiram ao fazermos intersec¸o˜es das qua´dricas
com os planos coordenados. Em todos os casos, elas ficavam determinadas por pares de
equac¸o˜es cartesianas. De modo geral, o gra´fico de uma equac¸a˜o cartesiana no espac¸o e´ uma
superf´ıcie, e uma curva no espac¸o na˜o fica determinada por uma u´nica equac¸a˜o .Determina-se,
enta˜o , uma curva no espac¸o pela intersec¸a˜o de duas superf´ıcies. O sistema constitu´ıdo pelas
equac¸o˜es das duas superf´ıcies da´ as equac¸o˜es cartesianas da curva.
Outra maneira conveniente de se escrever equac¸o˜es de uma curva no espac¸o consiste em resolver
o sistema formado pelas equac¸o˜es das superf´ıcies que definem a curva e dar sua soluc¸a˜o geral em
func¸a˜o de uma das varia´veis.As equac¸o˜es , assim obtidas, sa˜o chamadas equac¸o˜es parame´tricas.
.
Exerc´ıcios.
1. Escreva equac¸o˜es parame´tricas da curva dada pela intersec¸a˜o das superf´ıcies(a) z = x2 + y2 e x2 + y2 + z2 = 1;
(b) x2 + (y − 1)2 = 1 e y = x2 + 2.
2. Mostre que a curva dada pela intersec¸a˜o das superf´ıcies x2+(y−1)2 = 1 e x2+y2+z2 =
4 na˜o e´ plana.
3. Verifique que a curva cujas equac¸o˜es parame´tricas sa˜o
x = cos(t)
y = sen(t)
z = t
4. Deduza equac¸o˜es parame´tricas da intersec¸a˜o
(a) do cilindro x2 + y2 = 1 com o plano x + y + z = 1;
(b) dos cilindros x = z2 e x = 1− y2.
76
.
4.4 Questona´rio.
.
Exerc´ıcios.
1. Qual e´ o menor nu´mero de pontos para determinar uma Elipse?
Depende.
2. Qual e´ o menor nu´mero de pontos para determinar uma Para´bola?
Depende.
3. Qual e´ o menor nu´mero de pontos para determinar uma Hipe´rbole?
Depende.
4. Sabemos que o menor nu´mero de pontos para determinar uma reta e´ 2. Mas, para
determinar os coeficientes da equac¸a˜o Cartesiana Ax + By + C = 0, precisaremos de
treˆs pontos. Porqueˆ ?
5. Existe alguma foˆrmula para determinar a distaˆncia de um ponto a uma Elipse ?
6. Existe alguma foˆrmula para determinar a distaˆncia de um ponto a uma Para´bola ?
7. Existe alguma foˆrmula para determinar a distaˆncia de um ponto a uma Hipe´rbole ?
8. Resolver este sistema de equac¸o˜es :
2A + 3B + C = 0
A− 2B + C = 0
77