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NOTAS DE AULA - ÁLGEBRA LINEAR MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS DE EQUAÇOES LINEARES ISABEL C. C. LEITE SALVADOR – BA 2008 Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 1 MATRIZES Uma matriz é um agrupamento retangular de números. Matriz de ordem m por n é um retângulo de m x n números dispostos em m linhas e n colunas. = mnmm n n aaa aaa aaa A L MMM L L 21 22221 11211 • A matriz na qual m ≠ n é retangular se representa por A(m,n) e se diz de ordem m por n (ou m x n). • A matriz na qual m = n é quadrada se representa por An (ou A(n,n)) e se diz de ordem n. • Cada elemento de uma matriz A se apresenta com dois índices: aij. O primeiro índice indica a linha e o segundo a coluna a que o elemento pertence. • A matriz A pode ser representada abreviadamente por A = [aij], i variando de 1 a m e j variando de 1a n. Assim, se a matriz tem 2 linhas e 3 colunas, tem-se ( ) = 232221 131211 3,2 aaa aaa A Exemplo: Dada a matriz − − − = 4 3 3 1 5 1 61 72 45 2,03 pi A A é uma matriz de ordem 4 por 3. a23 = – 4 a31 = 2 a12 = – 0,2 a43 = 4 3 • Duas matrizes são definidas como sendo iguais se têm a mesma ordem (tamanho) e se todos os elementos correspondentes são iguais. Ex: = 5 0 4 90 2 9 5 1log 2 1 2 3 2 2 osen • A matriz de ordem m por 1 é uma matriz-coluna ou vetor-coluna e a matriz de ordem 1 por n é uma matriz-linha ou vetor-linha. ( ) ( ) [ ]1352 7 2 1 :Ex 4,11,3 −= − = AA Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 2 • Matriz nula é aquela em que aij = 0, ∀i e ∀j. [ ]00000 0 0 00 00 :Ex = = BA • Diagonal principal e diagonal secundária Numa matriz quadrada de ordem n, os elementos aij em que i = j constituem a diagonal principal; os elementos aij em que i + j = n + 1 constituem a diagonal secundária. = 333231 232221 131211 3 matriz a Dada :Ex aaa aaa aaa A os elementos 332211 aaa constituem a diagonal principal e os elementos 312213 aaa constituem a diagonal secundaria. • Matriz diagonal é uma matriz quadrada onde aij = 0 para i ≠ j. • Matriz identidade é a matriz diagonal que tem os elementos aij = 1 para i = j. É denotada por In ou simplesmente por I. = = − − = 10 01 100 010 001 4000 0100 0050 0003 :Exs 23 IIA • Matriz triangular superior e matriz triangular inferior. A matriz quadrada A = [aij] que tem os elementos aij = 0 para i > j é uma matriz triangular superior e a matriz quadrada B = [bij] que tem os elementos bij = 0 para i < j é uma matriz triangular inferior. −− − = − = 3214 0502 0035 0005 200 350 011 :Exs BA • Adição de matrizes A soma de duas matrizes A = [aij] e B = [bij], de mesma ordem, é uma matriz C = [cij] tal que cij = aij + bij. Analogamente, a diferença de matrizes de mesma ordem obtem-se subtraindo os elementos correspondentes. − − −=− − − =+ − = − − = 1 8 4 5 6 1 1 2 0 1 6 1 , 0 3 2 2 6 0 e 1 5 2 3 0 1 Dados :Ex BABA BA Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 3 • Propriedades da adição de matrizes Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem m x n, tem-se: i) A + B = B + A ii) A + (B + C) = (A + B) + C iii) A + 0 = 0 + A = A, onde 0 denota a matriz nula m x n. • Multiplicação de uma matriz por um escalar Se k é um escalar, o produto de uma matriz A = [aij] por esse escalar é uma matriz B = [bij] tal que bij = k⋅ aij. − − = − ⋅− 02 410 01 25 2:Ex • Propriedades. Dadas matrizes A e B de mesma ordem m x n e escalares k, k1 e k2, tem-se: i) k (A + B) = kA + kB ii) (k1 + k2)A = k1A + k2A iii) 0⋅A = 0 obs: 0 escalar e 0 matriz nula • Multiplicação de matrizes Se A é uma matriz m x r e B é uma matriz r x n, então o produto AB é a matriz m x n cujos elementos são determinados como segue. Para obter o elemento cij de AB destaque a linha i de A e a coluna j de B. Multiplique os elementos correspondentes desta linha e desta coluna e então some os produtos resultantes. ( ) ( ) −= = 2 1 3 5 3 4 7 1 1 2 0 4 0 4 6 2 2 1 :Ex 4,33,2 BA ( ) ( ) ( ) − = ⋅+⋅+⋅ ⋅+⋅+⋅ ⋅+⋅+⋅ ⋅+⋅+⋅ ⋅+−⋅+⋅ ⋅+−⋅+⋅ ⋅+⋅+⋅ ⋅+⋅+⋅ = 12 13 26 30 4 27 8 12 201632 241231 503642 543241 701612 741211 200642 240241 4,2AB Obs: o produto AB não está definido se o número de colunas da matriz A não for igual ao número de linhas da matriz B. • Propriedades Dadas as matrizes A, B e C tais que as operações indicadas possam ser efetuadas, tem-se: i) AI = IA = A, onde I é a matriz identidade ii) A (B + C) = AB + AC (lei distributiva à esquerda) iii) (A + B) C = AC + BC (lei distributiva à direita) iv) (AB)C = A(BC) (lei associativa) v) 0 ⋅A = 0 e A⋅ 0 = 0 , onde 0 é a matriz nula. Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 4 Obs: 1) AB e BA não precisam ser iguais. − = −− = = − = 03 63 411 21 03 21 32 01 BAABBA Assim, AB ≠ BA. 2) Pode-se ter AB = 0 sem que A = 0 ou B = 0 . = = = 00 00 00 52 20 10 ABBA • Transposição de matrizes A matriz transposta da matriz A, de ordem m por n, é a matriz AT, de ordem n por m, que se obtém da matriz A permutando as linhas pelas colunas de mesmo índice. Exemplo: = = 23 22 21 13 12 11 23 13 22 12 21 11 ; a a a a a a A a a a a a a A T • Propriedades Dadas asmatrizes A e B tais que as operações indicadas possam ser efetuadas e o escalar k, tem-se: i) (A + B)T = AT + BT ii) (kA)T = kAT iii) (AT)T = A iv) (AB)T = BT AT • Matriz simétrica Uma matriz quadrada A = [aij] é simétrica se AT = A. Exemplo == 789 835 951 TAA • Matriz anti-simétrica Uma matriz quadrada A = [aij] é anti-simétrica se AT = – A. Exemplo − − − = − − − = 089 805 950 089 805 950 TAA Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 5 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Equação linear é uma equação da forma bxaxaxaxa nn =++++ K332211 na qual 1x , 2x , 3x , ..., nx são as variáveis (ou incógnitas), naaaa ,,,, 321 K são os respectivos coeficientes das variáveis e b é o termo independente. Os valores das variáveis que satisfazem à equação constituem sua solução. Esses valores são denominados raízes da equação linear. A um conjunto de equações lineares se dá o nome de sistema de equações lineares: =++++ =++++ =++++ =++++ mnmnmmm nn nn nn bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa K MMMMM K K K 332211 33333232131 22323222121 11313212111 Este sistema possui m equações lineares e n incógnitas. Uma solução do sistema acima é uma n-upla de números ( 1x , 2x , 3x , ... , nx ) que satisfaça simultaneamente estas m equações. Esses números são chamados raízes do sistema de equações lineares. Classificação Sistemas e matrizes Podemos escrever o sistema anterior numa forma matricial: = ⋅ mnmnmm n n b b b x x x aaa aaa aaa MM L MOMM L L 2 1 2 1 21 22221 11211 ou A⋅ X = B, onde A é a matriz dos coeficientes, X é a matriz das incógnitas e B é a matriz dos termos independentes. Consistente ou possível Determinado: solução única Indeterminado: infinitas soluções Inconsistente ou impossível Sem solução Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 6 Uma outra matriz que podemos associar ao sistema é 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n m m mn m a a a b a a a b a a a b L L M M O M M L chamada matriz ampliada do sistema. Cada linha desta matriz é uma representação abreviada da equação correspondente do sistema. Exemplo: Dado o sistema =−− =++ =++ 523 4452 134 321 321 321 xxx xxx xxx , temos a matriz ampliada −− 5231 4452 1341 . Tal sistema ou tal matriz pode ser substituído por um sistema ou matriz equivalente mais simples, através de operações que preservem as igualdades, de modo que seja mais fácil determinar a sua solução. 1º passo: eliminar x1 das linhas 2 e 3. ( ) ( ) ( ) − −⇒ −= −= = 4570 2230 1341 2 313 212 11 LLL LLL LL i i i 2º passo: tornar o coeficiente de x2 igual a 1 na 2ª linha. ( ) ( ) − −⇒= 4570 10 1341 3 3 2 3 22 2 i ii LL 3º passo: eliminar o coeficiente de x2 na 3ª linha. ( ) ( ) ( ) −− −⇒−= 3 2 3 1 3 2 3 2 323 00 10 1341 7 iiiiiii LLL 4º passo: tornar o coeficiente de x3 igual a 1 na 3ª linha. ( ) ( ) ( ) −⇒−⋅= 2100 10 1341 3 323233 iiiiv LL Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 7 5º passo: eliminar o coeficiente de x2 da 1ª linha. ( ) ( ) ( ) −⇒−= 2100 10 01 4 3232 3 11 3 1 211 ivivv LLL 6º passo: eliminar o coeficiente de x3 das duas primeiras linhas. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −⇒ −= −= 2100 2010 3001 3 2 3 322 3 11 vvvi v vvi LLL LLL que é a matriz ampliada do sistema de equações equivalente =++ −=++ =++ 200 200 300 321 321 321 xxx xxx xxx Portanto, a solução (3, –2, 2) é solução de qualquer dos sistemas equivalentes. Operações elementares sobre linhas i) Permuta da i-ésima linha e j-ésima linha. (Li ↔ Lj) ii) Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo k. (Li →→→→ kLi) iii) Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a j-ésima linha. (Li →→→→ Li + kLj) Se A e B são matrizes m x n, dizemos que B é linha equivalente a A, se B for obtida de A através de um número finito de operações elementares sobre as linhas de A. Forma escada ou escalonada reduzida por linhas Uma matriz m x n está na forma escalonada reduzida por linhas se: i) o primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1; ii) cada coluna que contém o 1º elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero; iii) toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas; iv) em quaisquer duas linhas sucessivas que não consistem só de zeros, o primeiro elemento não nulo da linha superior ocorre mais à esquerda do elemento não nulo da linha inferior. Exemplos: Ex1. − 0100 0110 0001 Diz-se que esta matriz está na forma escalonada, mas não está escalonada reduzida por linhas, pois falha a condição (ii). Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 8 Ex2. − 000 301 120 Falha as condições (i) e (iv). Ex3. − − 21000 00000 10310 Falha as condições (i) e (iii). Ex4. − − 00000 21000 10310 Está na forma escalonada reduzida por linhas. Ex5. − 1000000 0210000 0301000 0400310 Escalonada red. por linhas. Teorema: Toda matriz m x n tem uma única forma escalonada reduzida por linhas. Exercício: Resolver o sistema linear =−+ =−+ =++ 0563 1342 92 zyx zyx zyx , escrevendo a sua matriz ampliada e reduzindo-a à forma escalonada reduzida por linhas. (Método de Gauss-Jordan) Solução (1, 2, 3). Posto ou característica de uma matriz Dada uma matriz Amxn, seja Bmxn a matriz escalonada reduzida por linhas equivalente a A. • O posto (ou característica) de A, denotado por p, é o número de linhas não nulas de B. Exemplos: Encontrar o posto das seguintes matrizes − −= 1121 5301 0121 :1 AEx − − → −− → −− → − → − → −= += = += −= =+= += 8 11 4 18 7 2 3 8 11 2 58 2 52 2 2 52 100 010 001 100 210 5301 11800 210 5301 6420 210 0121 6420 5420 0121 322 31133 323 211 2 2 323 212 LLL LLLLLLLL LLL L LLLL LLL posto: 3 Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 9 Obs: Pode-se interpretar a matriz A acima como sendo a matriz ampliada do sistema linear =+− =++− =++ 12 530 02 321 321 321 xxx xxx xxx que é equivalente ao sistema associado à matriz escalonada reduzida por linhas = −= = 8 11 3 4 1 2 8 7 1 x x x e portanto possuindo ambos a mesma solução. Ex2: − → − → − − → − − = = − − − −= 000 000 10 151 000 000 190 151 8164 151 241 151 8164 151 241 312 9 1 94 2 2 24 13 12 211 L LLL LL LL LLLB → += 000 000 10 01 9 1 9 14 5 211 LLL Posto: 2 Observe que a matriz − = 241 312 1B tem o mesmo posto de B. Reinterpretando as matrizes acima como sistemas de equações, diremos que o sistema de quatro equações associado à matriz inicial =+ =− =+ =− 8164 15 24 32 yx yx yx yx é equivalente ao sistema de duas equações =+ =+ 9 1 9 14 0 0 yx yx associado à matriz escalonada reduzida por linhas. Este é um caso de sistema com equações redundantes. A 3ª e 4ª equações podem ser desprezadas. Isto significa que o sistema inicial é equivalente ao sistema =+ =− 24 32 yx yx associado à matriz B1. Usamos dizer também que as duas primeiras equações são “independentes” e as demais são “dependentes”. Assim o posto da matriz ampliada de um sistema nos dá o número de equações independentes deste. Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 10 Soluções de um sistema de equações lineares Teorema: i) Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se, o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes. ii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p = n, a solução será única. iii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p < n, podemos escolher n – p incógnitas e as outras p incógnitas serão dadas em função destas. Neste caso, dizemos que o grau de liberdade do sistema é n – p, o que significa que o sistema possui n – p variáveis livres. Exemplos: Notação: pc = posto da matriz dos coeficientes; pa = posto da matriz ampliada. Se pc = pa denotamos simplesmente p. − 2100 2010 3001 Ex1. pc = pa = p = 3 e n = 3 Caso (ii): existe uma única solução .2,2,3 321 =−== xxx − − 6510 10701 Ex2. pc = pa = p = 2 e n = 3 Caso (iii): grau de liberdade = 1 → infinitas soluções: −−= −−= 32 31 56 710 xx xx , Rx ∈∀ 3 − − 2000 6510 10701 Ex3. pc = 2, pa = 3 e m = n = 3 pc ≠ pa → o sistema é incompatível e não existe solução. Observe que a última linha da matriz corresponde a uma equação do tipo 2000 =++ zyx , que é de fato impossível de ter solução. Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 11 SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO É o sistema de equações lineares que possui todos os termos independentes iguais a zero. =++++ =++++ =++++ =++++ 0 0 0 0 332211 3333232131 2323222121 1313212111 nmnmmm nn nn nn xaxaxaxa xaxaxaxa xaxaxaxa xaxaxaxa K MMMMM K K K Observe que este sistema sempre possui a solução nixi ,,2,1,0 K== , denominada solução trivial. Portanto um sistema linear homogêneo ou é determinado tendo a solução trivial como solução única, ou é indeterminado (possui infinitas soluções, incluindo a solução trivial). Nunca é incompatível. Exemplos: 1) =++ =+ =−+ 0 022 03 zyx zy zyx ( ){ }0,0,0=S 2) =++ =++ =+− 033 0652 032 zyx zyx zyx ( ){ }RzzzS ∈−= ,,0,3 Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 12 DETERMINANTES A toda matriz quadrada A está associado um número real chamado determinante de A, usualmente representado por det(A) ou |A| ou det[aij]. Podemos obtê-lo operando com os elementos de A da seguinte forma: 1. Se A é de ordem n =1, então det (A) é o único elemento de A. [ ] ( ) 1111 det aAaA =⇒= . Ex.: [ ] ( ) 6det 6 −=⇒−= AA . 2. Se A é de ordem n=2, então det (A) é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. ( ) 21122211 2221 1211 ..det aaaaA aa aa A −=⇒ = . Ex.: ( ) ( )( ) 131524 21 54 −=−−−−= −− − . 3. Se A é de ordem n=3, então det (A) é definido por: ( ) 332112322311312213322113312312332211 ............det aaaaaaaaaaaaaaaaaaA −−−++= . Na prática, utilizamos a Regra de Sarrus: Ex. ( ) ( ) 8212016010032 583422011023512481 0 8 2 5 2 1 405 182 321 =+−−++−= ⋅−⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅−⋅= −− Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 13 4. Se M é de ordem 3n > , então calcularemos o determinante de M usando o Desenvolvimento de Laplace Já vimos que: 312213322113 312312332112322311332211 333231 232221 131211 aaaaaa aaaaaaaaaaaa aaa aaa aaa −+ +−− = que podemos escrever como ( ) ( )312232211331233321123223332211 )( aaaaaaaaaaaaaaa −+−−− ou ainda, 3231 2221 13 3331 2321 12 3332 2322 11 aa aa a aa aa a aa aa a +− 131312121111det AaAaAaA +−= , onde Aij é a submatriz da inicial de onde foram retiradas a i- ésima linha e j-ésima coluna. Além disso, se chamarmos ( ) ijjiij A+−=∆ 1 , obtemos a expressão 131312121111det ∆+∆+∆= aaaA , que continua válida para matrizes de ordem n. ininiiiin aaaA ∆++∆+∆= K2211det ij∆ é o cofator ou complemento algébrico do elemento aij. Uma forma análoga é válida para colunas: njnjjjjjn aaaA ∆++∆+∆= K2211det Obs.: É melhor escolher uma fila que possua a maior quantidade de zeros com a finalidade de simplificar os cálculos. Exemplo: Seja − − = 3310 2140 4020 2213 M . Calcule det(M). Solução: Expansão pela coluna 1j = , pois esta possui um maior número de zeros. ( ) =∆+∆+∆+∆= 4141313121211111 ....det aaaaM ( ) ( ) ( ) ( ) = − − −+ − −+− − −+−−= ++++ 214 402 221 .1.0 331 402 221 .1.0 331 214 221 .1.0 331 214 402 .1.3 14131211 ( ) ( ) 18662.3124486.3 ==+−+= . Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 14 Exercício: Seja = 1205 2230 2013 0214 B . Calcule det(B). Propriedades dos determinantes Seja A uma matriz quadrada. i) O determinante de uma matriz A e de sua transposta At são iguais: |A| =|At|. Daí concluímos que as propriedades que são válidas para linhas também o são para colunas. ii) Se A tem uma linha (coluna) nula, então |A| = 0. iii) Se A tem duas linhas (colunas) idênticas, então |A| = 0. iv) Se A tem duas linhas (colunas) cujos elementos correspondentes são proporcionais, então |A| = 0. v) Se A é matriz triangular, então |A| = produto dos elementos da diagonal principal. vi) Se A é matriz diagonal, então |A| = produto dos elementos da diagonal principal. Em particular, |I| =1 onde I é a matriz identidade. Se B a matriz obtida de A por: vii) multiplicação de uma linha (coluna) por um escalar k, então, |B| = k|A|; viii) troca entre si de duas linhas (colunas) de A, então |B| = – |A|; ix) adição de um múltiplo de uma linha (coluna) de A a outra, então |B| = |A|. x) O determinante do produto de duas matrizes A e B é igual ao produto dos determinantes: |A⋅B| = |A|⋅|B| MATRIZ INVERSA Definição: Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chamamos de inversa de A a uma matriz A-1 tal que nIAAAA =⋅=⋅ −− 11 , onde In é a matriz identidade de ordem n. Ex. = = − dc ba AA 1; 41 32 Para determinar A-1 fazemos: = ⋅ 10 01 41 32 dc ba e resolvemos o sistema obtendo − − = − 5 2 5 1 5 3 5 4 1A OBS: i. Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, ambas inversíveis, então A⋅B é inversível e ( ) 111 −−− ⋅=⋅ ABBA ii. Nem toda matriz admite inversa. Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 15 Ex: impossívelsistema d c d c dc ba = = = = ⇒ = ⋅ 1 0 02 12 10 01 10 20 iii. A inversa de uma matriz é única. Inversão de uma matriz por meio de operações elementares Para determinar a inversa da matriz A: i. coloca-se ao lado da matriz A a matriz I, separada por um traço vertical; ii. transforma-se por meio de operações elementares, a matriz A na matriz I, aplicando-se simultaneamente, à matriz I as mesmas operações elementares. Exemplo: Dada −− −− − = 121 132 131 A , determinar A-1. −− −− −− − → − − −− −− − − + → −− −− − − − → − − − − + → + −− −− − 311 101 011 100 010 001 3 1 3 1 3 1 0 3 1 3 2 011 3 100 3 110 001 101 0 3 1 3 2 011 010 3 110 001 3 101 012 001 010 130 1312 1 0 0 0 1 0 0 0 1 121 132 131 3 32 23 2 21 13 12 L LL LL L LL LL LL Assim, −− −− −− = − 311 101 011 1A . Suponhamos que A tenha inversa A-1, tal que nIAA =⋅ −1 . Aplicando o determinante, ( ) ( ) ( ) 1detdetdet)det( 11 ==⋅=⋅ −− nIAAAA Logo, ( ) ( ) 1detdet 1 =⋅ −AA e concluímos que: i. ( ) 0det ≠A ii. ( )AA det 1)det( 1 =− Teorema: Uma matriz quadrada A admite inversa se, e somente se, ( ) 0det ≠A . Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 16 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES N x N MÉTODO DA MATRIZ INVERSA Seja o sistema de equações com n equações e n incógnitas: =++++ =++++ =++++ =++++ nnnnnnn nn nn nn bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa K MMMMM K K K 332211 33333232131 22323222121 11313212111 Na forma matricial temos: = ⋅ nnnnnn n n b b b x x x aaa aaa aaa MM L MOMM L L 2 1 2 1 21 22221 11211 ou A⋅ X = B, Para estas equações, supondo que det(A) ≠ 0, ou seja, existe A-1 BAXBAXIBAXAA ⋅=⇔⋅=⋅⇔⋅=⋅⋅ −−−− 1111 Exemplo: Resolver pelo método matricial =−+− =+− =−+− 3 2 1 2 3 32 bzyx bzyx bzyx Temos portanto, = = −− − −− = 3 2 1 , 121 131 132 b b b Be z y x XA Antes de procurar A-1 verifiquemos se esta existe, ou seja, se det(A) ≠ 0. det(A) = – 1 , −− −− −− = − 311 110 011 1A , ⋅ −− −− −− = 3 2 1 311 110 011 b b b X −− −− −− = 321 32 21 3bbb bb bb X Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 17 É conveniente empregar este método no caso em que temos que resolver diversos sistemas entre os quais variam somente os termos independentes de cada um deles. Neste caso basta calcular a matriz inversa da matriz dos coeficientes, que será a mesma para todos os sistemas e multiplicá-la por cada matriz dos termos independentes, determinando as diferentes soluções. Exemplo. Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. • Para a manufatura de cada kg de X são utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B. • Para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 1 grama de insumo B. • Para cada kg de Z, 1 grama de A e 4 gramas de B. • O preço de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z é R$ 2,00, R$ 3,00 e R$ 5,00, respectivamente. Podemos usar matrizes para esquematizar a produção de X, Y e Z da seguinte forma: A kgpreço kgBdegramas kgAdegramas ZYX = 532 412 111 / / / X z y x produzidosZdekg produzidosYdekg produzidosXdekg = totalreceita usadoBdegramas usadoAdegramas zyx zyx zyx AX ++ ++ ++ = 532 42 Temos que − − − = − 5 1 5 1 5 4 5 2 5 3 5 2 5 3 5 2 5 7 1A (a) Se em um período com a venda de toda a produção de X, Y e Z manufaturada com 1 kg de A e 2 kg de B, essa indústria arrecadou R$2.500,00, então determine quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos. Neste período temos com matriz dos coeficientes totalreceita usadoBdegramas usadoAdegramas 2500 2000 1000 . Logo, = ⋅ − − − =⋅== − 100 200 700 2500 2000 1000 5 1 5 1 5 4 5 2 5 3 5 2 5 3 5 2 5 7 1 BAX z y x produzidosZdekg produzidosYdekg produzidosXdekg Portanto, foram produzidos 700 kg do produto X, 200 kg de Y e 100 kg deZ. Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 18 (b) Se em outro período com a venda de toda a produção de X, Y e Z manufaturada com 1 kg de A e 2,1 kg de B, essa indústria arrecadou R$2.900,00, determine quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos. Analogamente, temos = ⋅ − − − =⋅== − 200 300 500 2900 2100 1000 5 1 5 1 5 4 5 2 5 3 5 2 5 3 5 2 5 7 1 BAX z y x produzidosZdekg produzidosYdekg produzidosXdekg Portanto, foram produzidos 500 kg do produto X, 300 kg de Y e 200 kg de Z. REGRA DE CRAMER Se A⋅ X = B é um sistema de n equações lineares com n incógnitas tal que det(A) ≠ 0, então o sistema tem uma única solução. Esta solução é ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A A x A A x A A x nn det det ,, det det , det det 2 2 1 1 === K onde Aj é a matriz obtida substituindo as entradas da j-ésima coluna de A pelas entradas da matriz = nb b b B M 2 1 . Exemplo: Usando a regra de Cramer para resolver =+−− =++− =+ 832 30643 62 321 321 31 xxx xxx xx . Temos: −− −= − −= − = −− −= 821 3043 601 , 381 6303 261 , 328 6430 206 , 321 643 201 32 1 AA AA Portanto, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 38 44 152 det det , 11 18 44 72 det det , 11 10 44 40 det det 3 2 2 1 1 ======−= − == A A x A A x A A x n Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 19 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS • CALLIOLI, Carlos A., DOMINGUES, Hygino H., COSTA, Roberto C. F. Álgebra linear e aplicações. 6a edição. Atual Editora. 1998. • STEINBRUCH, A., WINTERLE, P. Álgebra Linear. Editora Makron Books. 1987. • ANTON Howard. & RORRES Chris. Álgebra Linear com Aplicações. Ed. Bookman. 8a Edição. • BOLDRINI, J. L. Álgebra Linear. Harbra. 1984. • LIPSCHUTZ, S. Álgebra Linear. 3a edição. Coleção Schaum. Editora Makron Books. • SANTOS, Reginaldo J. Introdução à Álgebra Linear. Livro disponível no site www.mat.ufmg.br/~regi . Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 20 EXERCÍCIOS 1. Considere as matrizes ( ) 22xijaA = , tal que ≠ =+ = ji jiji aij ,0 , e ( ) 22xijbB = , tal que jibij 32 −= . Determine BA + . 2. Determine yx. para que se tenha − + = + − 43 11 418 21 xy y x yx . 3. Considere as matrizes − = − = − = 43 20 e 01 45 , 23 11 CBA . Mostre as seguintes propriedades: a) ( ) ( )CBACBA ++=++ (associativa na adição). b) ( ) ( )ABBA +=+ (comutativa na adição). c) ( ) 0=−+ AA (matriz oposta). d) ( ) ℜ∈∀+=+ λλλλ ,BABA . (distributiva por escalar). e) ( ) ( )BCACAB = (associativa na multiplicação). f) ( ) BCACCBA +=+ (distributiva à direita). g) ( ) ACABCBA +=+ (distributiva à esquerda). h) BAAB ≠ (as matrizes não comutam necessariamente). i) ( ) AA tt = . j) ( ) ttt BABA +=+ . k) ( ) ( ) ℜ∈∀= λλλ ,tt AA . l) ( ) ttt ABAB = (é falso ( ) ttt BAAB = ). 4. Considere as seguintes matrizes: = = − − = − = − = 116 45 e 43 21 , 562 431 , 76 05 , 43 21 EDCBA . a) Determine BA 25 − e BA 32 + . b) Determine AAA =2 e AC . c) Mostre que as matrizes D e E comutam* e A e B não comutam*. (* DE = ED e AB ≠ BA) 5. Encontre as matrizes de ordem 2 e 3 que comutam, respectivamente, com: a) 10 11 b) 100 110 011 Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 21 6. Determine, se possível, ℜ∈x para que a matriz + − 01 40 120 3 2 xx xx x seja: a) simétrica. b) anti-simétrica 7. Dada a matriz −= 030 211 202 A , mostre que tAAS = é uma matriz simétrica. (O produto de uma matriz quadrada A pela sua transposta At é uma matriz simétrica). 8. Seja = 63 21 A . Ache uma matriz ( ) 32xijbB = , com todos os elementos distintos, tal que 0=AB . (observe que 0=AB não implica 0ou 0 == BA ). 9. Seja −− −− − = 455 343 112 A . Mostre que A é idempotente, isto é, AA =2 . 10. Seja −− −− − = 444 333 111 B . Mostre que B é nilpotente de índice 2, isto é, 0B2 = . 11. Dada a matriz ℜ∈ − = θθθ θθ , 100 0cos 0cos sen sen M , calcule tMM e conclua que 1t MM −= . 12. Considere o polinômio ( ) xxxg 32 += . Calcule ( )Ag , sendo − = 43 21 A . 13. Prove que se A, B e C são matrizes inversíveis de ordem n, então ( ) 1111 −−−− = ABCABC . 14. Sejam A, B e C matrizes inversíveis de mesma ordem. Resolva as equações em X, sabendo-se que: a) CBXA =.. b) ( ) AXBA =+. c) CBXCA =... d) ( ) ( ) 11 .... −− = CCXABA e) tt ABXBA =−1... 15. Mostre que se A é uma matriz inversível de ordem 2, então ( ) ( )tt AA 11 −− = . 16. Resolva as equações matriciais abaixo: a) − − = 1 1 . 32 43 X b) = 2 7 5 . 132 012 001 Y c) = + 72 71 . 53 21 55 22 W Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 22 17. Calcule o determinante das matrizes abaixo: a) − 24 13 b) yseny senxx cos cos c) − yseny xsenx cos cos d) − senxx xsenx cos cos e) − 241 325 431 f) − −− −−− 300 520 641 g) 3120 1032 2013 0231 h) 01 0 0010 10 ab baa ba i) d c b a 0000 1000 2100 3210 54321 18. Determine x nas equações abaixo: a) 11 1354 22 = −+ − xx xx b) 0 11 11 11 = − − x x x c) 2 0211 0123 122 3211 = − − −− − x 19. Usando escalonamento, resolva os seguintes sistemas de equações lineares: a) =++ =++=−+ 4345 1223 1022 zyx zyx zyx b) −=−+ −=−+ =++ 872 5252 1 zyx zyx zyx c) =++ =++ =+− =+− 43 6 0234 1132 zyx zyx zyx zyx d) =−+ =−+ =++ 577 3252 4 zyx zyx zyx e) =++ =+− 0652 032 zyx zyx f) =++− −=+−+ =−++ =+++ 2 4 4 0 tzyx tzyx tzyx tzyx 20. Resolva os seguintes sistemas pela regra de Cramer. a) =++ −=++ =++ 1253 12 422 zyx zyx zyx b) =++ =+ =−+ 0 022 03 zyx zy zyx c) =+− =++ =−+ 13 12 0 zyx zyx zyx d) − − = −− − − −− 4 11 14 32 4121 1311 9712 1241 d c b a Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 23 21. Determine os valores de βα e que tornam o sistema a seguir possível determinado: −+=+ +=+ =+ =− 12 2535 73 βα βα β α yx yx yx yx 22. Considere a matriz ( ) 33xijaA = , tal que >− =− <+ = jiij jiji jiji aij , ,2 , . Determine X na equação BAX = , onde − − − = 2 2 2 B . 23. Discuta em função de k os seguintes sistemas lineares: a) =− =− =+− kyx yx yx 2 045 234 b) =++ =+− =−−− 0 2 12 : zyx zykx kzyx S c) =++ =++ =+− 002 0 0252 kzyx zyx zyx d) =− =+− −=++ 1 42 1 kz y kkzyx zyx 24. Usando operações elementares sobre linhas, determine se as matrizes abaixo são inversíveis e, em caso afirmativo, determine a sua inversa. a) = 72 31 A b) − − = 140 214 152 B c) − − − = 210 423 211 C Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 24 Respostas 1. 1 4 1 2 − 2. 10 4. a) − − − 5 10 27 34 17 4 12 13 e b) 7 69 22 5 9 6 5 33 32 − − − − − e 5. a) x y x x y0 ∈ℜ, , b) x y z x y x x y z0 0 0 ∀ ∈ℜ, , , 6. a) x = 0 b) x = −2 7. S = − − 8 6 0 6 6 3 0 3 9 8. B = − − − 2 4 6 1 2 3 . Existem outras. 11. MM I M Mt t= ⇒ = −1 . M é chamada matriz ortogonal. 12. 100 010 14. a) X A C B= − −1 1. . b) X I B= − c) ( )X B C A C= − −. . .1 1 d) X B= e) ( )X B A A Bt t= − −1 1. . . 16. a) X = − 1 1 b) Y = − 5 3 1 c) W = − − 1 21 0 13 17. a) 10 b) ( )yx +cos c) ( )yxsen + d) 1 e) 49 f) -6 g) 48 h) a2 + b2 i) abcd 18. a) x x= − =1 1 2 ou b) x x= =0 1 ou c) x = 8 19. a) ( ) ( )x y z, , , ,= −1 2 3 b) ( ) ( )x y z, , , ,= −1 11 c) ( ) ( )x y z, , , ,= −12 5 d) não existe solução. e) x z y+ = =3 0 0 e f) ( ) ( )x y z t, , , , , ,= − −1 12 2 20. a) ( ) ( )x y z, , , ,= − −5 2 2 b) ( ) ( )x y z, , , ,= 0 0 0 c) ( ) ( )x y z, , , ,= 1 4 1 8 3 8 d) ( ) ( )1,3,8,5,,, −=dcba 21. α β= =2 4 e 22. − − = 1 1 1 X 23. a) Se k ≠ −6 o sistema é impossível; c) Se k = 2 o sistema é possível indeterminado; Se k = −6 o sistema é possível determinado. Se k ≠ 2 o sistema é possível determinado. b) Se 0k = o sistema é impossível; d) Se k = −2 5 o sistema é impossível; Se 1ke0k ≠≠ o sistema é possível determinado; Se k ≠ −2 5 o sistema é possível determinado. Se 1k = o sistema é possível indeterminado. 24. a) A− = − − 1 7 3 2 1 b) B − = − − − 1 1 6 1 6 1 6 2 27 1 27 4 27 8 27 4 27 11 27 c) C não é inversível.
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