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Álgebra Linear: Matrizes e Sistemas Lineares

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NOTAS DE AULA - ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
MATRIZES, DETERMINANTES E 
SISTEMAS DE EQUAÇOES LINEARES 
 
 
 
 ISABEL C. C. LEITE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SALVADOR – BA 
2008 
 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 1 
 
 
MATRIZES 
 
 
Uma matriz é um agrupamento retangular de números. 
 
Matriz de ordem m por n é um retângulo de m x n números dispostos em m linhas e n colunas. 
 












=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
L
MMM
L
L
21
22221
11211
 
 
• A matriz na qual m ≠ n é retangular se representa por A(m,n) e se diz de ordem m por n (ou m x 
n). 
• A matriz na qual m = n é quadrada se representa por An (ou A(n,n)) e se diz de ordem n. 
• Cada elemento de uma matriz A se apresenta com dois índices: aij. O primeiro índice indica a 
linha e o segundo a coluna a que o elemento pertence. 
• A matriz A pode ser representada abreviadamente por A = [aij], i variando de 1 a m e j variando 
de 1a n. Assim, se a matriz tem 2 linhas e 3 colunas, tem-se 
 
( ) 





=
232221
131211
3,2
aaa
aaa
A
 
 
Exemplo: Dada a matriz 













−
−
−
=
4
3
3
1
5
1
61
72
45
2,03 pi
A
 
 A é uma matriz de ordem 4 por 3. 
a23 = – 4 a31 = 2 a12 = – 0,2 a43 = 4
3
 
 
• Duas matrizes são definidas como sendo iguais se têm a mesma ordem (tamanho) e se todos os 
elementos correspondentes são iguais. 
 
Ex: 





=





5
0
4
90
2
9
5
1log
2
1
2
3
2
2 osen
 
 
• A matriz de ordem m por 1 é uma matriz-coluna ou vetor-coluna e a matriz de ordem 1 por n é 
uma matriz-linha ou vetor-linha. 
( ) ( ) [ ]1352
7
2
1
 :Ex 4,11,3 −=









−
= AA
 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 2 
 
 
• Matriz nula é aquela em que aij = 0, ∀i e ∀j. 
 
[ ]00000
0
0
00
00
:Ex =





= BA
 
 
• Diagonal principal e diagonal secundária 
Numa matriz quadrada de ordem n, os elementos aij em que i = j constituem a diagonal principal; os 
elementos aij em que i + j = n + 1 constituem a diagonal secundária. 
 










=
333231
232221
131211
3 matriz a Dada :Ex
aaa
aaa
aaa
A os elementos 332211 aaa constituem a diagonal 
principal e os elementos 312213 aaa constituem a diagonal secundaria. 
 
• Matriz diagonal é uma matriz quadrada onde aij = 0 para i ≠ j. 
 
• Matriz identidade é a matriz diagonal que tem os elementos aij = 1 para i = j. É denotada por In 
ou simplesmente por I. 
 






=










=












−
−
=
10
01
100
010
001
4000
0100
0050
0003
 :Exs 23 IIA 
 
• Matriz triangular superior e matriz triangular inferior. 
A matriz quadrada A = [aij] que tem os elementos aij = 0 para i > j é uma matriz triangular superior 
e a matriz quadrada B = [bij] que tem os elementos bij = 0 para i < j é uma matriz triangular inferior. 












−−
−
=









 −
=
3214
0502
0035
0005
200
350
011
:Exs BA
 
 
• Adição de matrizes 
A soma de duas matrizes A = [aij] e B = [bij], de mesma ordem, é uma matriz C = [cij] tal que cij = aij 
+
 
bij. Analogamente, a diferença de matrizes de mesma ordem obtem-se subtraindo os elementos 
correspondentes. 
 










−
−
−=−










−
−
=+









 −
=










−
−
=
1
8
4
5
6
1
1
2
0
1
6
1
,
0
3
2
2
6
0
 e 
1
5
2
3
0
1
 Dados :Ex
BABA
BA
 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 3 
 
 
• Propriedades da adição de matrizes 
 
Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem m x n, tem-se: 
i) A + B = B + A 
ii) A + (B + C) = (A + B) + C 
iii) A + 0 = 0 + A = A, onde 0 denota a matriz nula m x n. 
 
 
• Multiplicação de uma matriz por um escalar 
 Se k é um escalar, o produto de uma matriz A = [aij] por esse escalar é uma matriz B = [bij] tal que 
bij = k⋅ aij. 






−
−
=




−
⋅−
02
410
01
25
2:Ex
 
 
• Propriedades. 
Dadas matrizes A e B de mesma ordem m x n e escalares k, k1 e k2, tem-se: 
i) k (A + B) = kA + kB 
ii) (k1 + k2)A = k1A + k2A 
iii) 0⋅A = 0 obs: 0 escalar e 0 matriz nula 
 
• Multiplicação de matrizes 
Se A é uma matriz m x r e B é uma matriz r x n, então o produto AB é a matriz m x n cujos elementos 
são determinados como segue. Para obter o elemento cij de AB destaque a linha i de A e a coluna j de 
B. Multiplique os elementos correspondentes desta linha e desta coluna e então some os produtos 
resultantes. 
( ) ( )










−=





=
2
1
3
5
3
4
7
1
1
2
0
4
0
4
6
2
2
1
:Ex 4,33,2 BA 
 
 
( )
( )
( )






−
=






⋅+⋅+⋅
⋅+⋅+⋅
⋅+⋅+⋅
⋅+⋅+⋅
⋅+−⋅+⋅
⋅+−⋅+⋅
⋅+⋅+⋅
⋅+⋅+⋅
=
12
13
26
30
4
27
8
12
201632
241231
503642
543241
701612
741211
200642
240241
4,2AB
 
 
Obs: o produto AB não está definido se o número de colunas da matriz A não for igual ao número de 
linhas da matriz B. 
 
• Propriedades 
Dadas as matrizes A, B e C tais que as operações indicadas possam ser efetuadas, tem-se: 
i) AI = IA = A, onde I é a matriz identidade 
ii) A (B + C) = AB + AC (lei distributiva à esquerda) 
iii) (A + B) C = AC + BC (lei distributiva à direita) 
iv) (AB)C = A(BC) (lei associativa) 
v) 0 ⋅A = 0 e A⋅ 0 = 0 , onde 0 é a matriz nula. 
 
 
 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 4 
 
 
Obs: 
1) AB e BA não precisam ser iguais. 
 






−
=




 −−
=





=




−
=
03
63
411
21
03
21
32
01
BAABBA
 
Assim, AB ≠ BA. 
 
2) Pode-se ter AB = 0 sem que A = 0 ou B = 0 . 
 






=





=





=
00
00
00
52
20
10
ABBA
 
 
 
• Transposição de matrizes 
A matriz transposta da matriz A, de ordem m por n, é a matriz AT, de ordem n por m, que se obtém da 
matriz A permutando as linhas pelas colunas de mesmo índice. 
 
Exemplo: 










=





=
23
22
21
13
12
11
23
13
22
12
21
11 ;
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
a
a
a
A T
 
 
• Propriedades 
Dadas asmatrizes A e B tais que as operações indicadas possam ser efetuadas e o escalar k, tem-se: 
i) (A + B)T = AT + BT 
ii) (kA)T = kAT 
iii) (AT)T = A 
iv) (AB)T = BT AT 
 
• Matriz simétrica 
 
Uma matriz quadrada A = [aij] é simétrica se AT = A. 
Exemplo 










==
789
835
951
TAA 
 
• Matriz anti-simétrica 
 
Uma matriz quadrada A = [aij] é anti-simétrica se AT = – A. 
Exemplo 










−
−
−
=










−
−
−
=
089
805
950
089
805
950
TAA 
 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 5 
 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
 
Equação linear é uma equação da forma bxaxaxaxa nn =++++ K332211 na qual 1x , 2x , 3x , ..., 
nx são as variáveis (ou incógnitas), naaaa ,,,, 321 K são os respectivos coeficientes das variáveis e 
b é o termo independente. 
Os valores das variáveis que satisfazem à equação constituem sua solução. Esses valores são 
denominados raízes da equação linear. 
 
A um conjunto de equações lineares se dá o nome de sistema de equações lineares: 
 








=++++
=++++
=++++
=++++
mnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
K
MMMMM
K
K
K
332211
33333232131
22323222121
11313212111
 
 
Este sistema possui m equações lineares e n incógnitas. 
Uma solução do sistema acima é uma n-upla de números ( 1x , 2x , 3x , ... , nx ) que satisfaça 
simultaneamente estas m equações. Esses números são chamados raízes do sistema de equações 
lineares. 
 
 
Classificação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas e matrizes 
 
Podemos escrever o sistema anterior numa forma matricial: 
 












=












⋅












mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
MM
L
MOMM
L
L
2
1
2
1
21
22221
11211
 ou A⋅ X = B, 
 
onde A é a matriz dos coeficientes, X é a matriz das incógnitas e B é a matriz dos termos 
independentes. 
Consistente ou possível 
 
Determinado: solução única 
 
Indeterminado: infinitas soluções 
 
Inconsistente ou impossível 
 
Sem solução 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 6 
 
 
Uma outra matriz que podemos associar ao sistema é 
 
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
a a a b
 
 
 
 
 
 
L
L
M M O M M
L
 
 
chamada matriz ampliada do sistema. Cada linha desta matriz é uma representação abreviada da 
equação correspondente do sistema. 
 
Exemplo: 
Dado o sistema 





=−−
=++
=++
523
4452
134
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 , temos a matriz ampliada 










−− 5231
4452
1341
. 
 
Tal sistema ou tal matriz pode ser substituído por um sistema ou matriz equivalente mais simples, 
através de operações que preservem as igualdades, de modo que seja mais fácil determinar a sua 
solução. 
 
1º passo: eliminar x1 das linhas 2 e 3. 
 
( )
( )
( ) 









−
−⇒
−=
−=
=
4570
2230
1341
2
313
212
11
LLL
LLL
LL
i
i
i
 
 
2º passo: tornar o coeficiente de x2 igual a 1 na 2ª linha. 
 
( ) ( )










−
−⇒=
4570
10
1341
3 3
2
3
22
2
i
ii LL
 
 
3º passo: eliminar o coeficiente de x2 na 3ª linha. 
 
( ) ( ) ( )










−−
−⇒−=
3
2
3
1
3
2
3
2
323
00
10
1341
7 iiiiiii LLL
 
 
4º passo: tornar o coeficiente de x3 igual a 1 na 3ª linha. 
 
( ) ( ) ( )










−⇒−⋅=
2100
10
1341
3 323233
iiiiv LL
 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 7 
 
5º passo: eliminar o coeficiente de x2 da 1ª linha. 
 
( ) ( ) ( )










−⇒−=
2100
10
01
4 3232
3
11
3
1
211
ivivv LLL
 
 
6º passo: eliminar o coeficiente de x3 das duas primeiras linhas. 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )










−⇒
−=
−=
2100
2010
3001
3
2
3
322
3
11
vvvi
v
vvi
LLL
LLL
 
 
que é a matriz ampliada do sistema de equações equivalente 





=++
−=++
=++
200
200
300
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
 
Portanto, a solução (3, –2, 2) é solução de qualquer dos sistemas equivalentes. 
 
 
Operações elementares sobre linhas 
 
i) Permuta da i-ésima linha e j-ésima linha. (Li ↔ Lj) 
ii) Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo k. (Li →→→→ kLi) 
iii) Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a j-ésima linha. 
(Li →→→→ Li + kLj) 
 
Se A e B são matrizes m x n, dizemos que B é linha equivalente a A, se B for obtida de A através de 
um número finito de operações elementares sobre as linhas de A. 
 
Forma escada ou escalonada reduzida por linhas 
 
Uma matriz m x n está na forma escalonada reduzida por linhas se: 
 
i) o primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1; 
ii) cada coluna que contém o 1º elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros 
elementos iguais a zero; 
iii) toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas; 
iv) em quaisquer duas linhas sucessivas que não consistem só de zeros, o primeiro elemento 
não nulo da linha superior ocorre mais à esquerda do elemento não nulo da linha inferior. 
 
Exemplos: 
Ex1. 










−
0100
0110
0001
 
Diz-se que esta matriz está na forma escalonada, mas não está escalonada reduzida por linhas, pois 
falha a condição (ii). 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 8 
 
Ex2. 










−
000
301
120
 Falha as condições (i) e (iv). 
 
Ex3. 










−
−
21000
00000
10310
 Falha as condições (i) e (iii). 
 
Ex4. 










−
−
00000
21000
10310
 Está na forma escalonada reduzida por linhas. 
 
Ex5. 












−
1000000
0210000
0301000
0400310
 Escalonada red. por linhas. 
 
Teorema: Toda matriz m x n tem uma única forma escalonada reduzida por linhas. 
 
Exercício: 
Resolver o sistema linear 





=−+
=−+
=++
0563
1342
92
zyx
zyx
zyx
, escrevendo a sua matriz ampliada e reduzindo-a à 
forma escalonada reduzida por linhas. (Método de Gauss-Jordan) 
 
Solução (1, 2, 3). 
 
Posto ou característica de uma matriz 
Dada uma matriz Amxn, seja Bmxn a matriz escalonada reduzida por linhas equivalente a A. 
• O posto (ou característica) de A, denotado por p, é o número de linhas não nulas de B. 
 
Exemplos: Encontrar o posto das seguintes matrizes 










−
−=
1121
5301
0121
:1 AEx
 










−
−
 →









 −−
 →









 −−
 →










−
 →










−
 →
−=
+=
=
+=
−=
=+=
+=
8
11
4
18
7
2
3
8
11
2
58
2
52
2
2
52
100
010
001
100
210
5301
11800
210
5301
6420
210
0121
6420
5420
0121
322
31133
323
211
2
2
323
212
LLL
LLLLLLLL
LLL
L
LLLL
LLL
 posto: 3 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 9 
 
 
Obs: Pode-se interpretar a matriz A acima como sendo a matriz ampliada do sistema linear 





=+−
=++−
=++
12
530
02
321
321
321
xxx
xxx
xxx
que é equivalente ao sistema associado à matriz escalonada reduzida por 
linhas 





=
−=
=
8
11
3
4
1
2
8
7
1
x
x
x
 e portanto possuindo ambos a mesma solução. 
 
 
Ex2: 











 −
 →











 −
 →












−
−
 →












−
−
=
=
−
−
−
−=
000
000
10
151
000
000
190
151
8164
151
241
151
8164
151
241
312
9
1
94
2
2
24
13
12
211
L
LLL
LL
LL
LLLB
 
 












 → +=
000
000
10
01
9
1
9
14
5 211 LLL
 
Posto: 2 
Observe que a matriz 




 −
=
241
312
1B tem o mesmo posto de B. 
 
Reinterpretando as matrizes acima como sistemas de equações, diremos que o sistema de quatro 
equações associado à matriz inicial







=+
=−
=+
=−
8164
15
24
32
yx
yx
yx
yx
é equivalente ao sistema de duas 
equações



=+
=+
9
1
9
14
0
0
yx
yx
 associado à matriz escalonada reduzida por linhas. 
 
Este é um caso de sistema com equações redundantes. A 3ª e 4ª equações podem ser desprezadas. 
Isto significa que o sistema inicial é equivalente ao sistema 



=+
=−
24
32
yx
yx
 associado à matriz B1. 
 
Usamos dizer também que as duas primeiras equações são “independentes” e as demais são 
“dependentes”. 
Assim o posto da matriz ampliada de um sistema nos dá o número de equações independentes deste. 
 
 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 10 
 
 
Soluções de um sistema de equações lineares 
 
Teorema: 
i) Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se, o posto da matriz 
ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes. 
ii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p = n, a solução será única. 
iii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p < n, podemos escolher n – p incógnitas e as 
outras p incógnitas serão dadas em função destas. Neste caso, dizemos que o grau de 
liberdade do sistema é n – p, o que significa que o sistema possui n – p variáveis livres. 
 
Exemplos: 
Notação: pc = posto da matriz dos coeficientes; pa = posto da matriz ampliada. 
 Se pc = pa denotamos simplesmente p. 
 










−
2100
2010
3001
Ex1. pc = pa = p = 3 e n = 3 
Caso (ii): existe uma única solução .2,2,3 321 =−== xxx 
 






−
−
6510
10701
Ex2. pc = pa = p = 2 e n = 3 
Caso (iii): grau de liberdade = 1 → infinitas soluções: 



−−=
−−=
32
31
56
710
xx
xx
, Rx ∈∀ 3 










−
−
2000
6510
10701
Ex3. pc = 2, pa = 3 e m = n = 3 
pc ≠ pa → o sistema é incompatível e não existe solução. 
Observe que a última linha da matriz corresponde a uma equação do tipo 2000 =++ zyx , que é de 
fato impossível de ter solução. 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 11 
 
 
 
SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO 
 
 
É o sistema de equações lineares que possui todos os termos independentes iguais a zero. 
 








=++++
=++++
=++++
=++++
0
0
0
0
332211
3333232131
2323222121
1313212111
nmnmmm
nn
nn
nn
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa
K
MMMMM
K
K
K
 
 
Observe que este sistema sempre possui a solução nixi ,,2,1,0 K== , denominada solução trivial. 
Portanto um sistema linear homogêneo ou é determinado tendo a solução trivial como solução 
única, ou é indeterminado (possui infinitas soluções, incluindo a solução trivial). Nunca é 
incompatível. 
 
Exemplos: 
 
1) 





=++
=+
=−+
0
022 
03
zyx
zy
zyx
 ( ){ }0,0,0=S 
2) 





=++
=++
=+−
033
0652
032
zyx
zyx
zyx
 ( ){ }RzzzS ∈−= ,,0,3
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 12 
 
 
DETERMINANTES 
 
A toda matriz quadrada A está associado um número real chamado determinante de A, usualmente 
representado por det(A) ou |A| ou det[aij]. 
 
Podemos obtê-lo operando com os elementos de A da seguinte forma: 
 
1. Se A é de ordem n =1, então det (A) é o único elemento de A. 
 
[ ] ( ) 1111 det aAaA =⇒= . 
 
Ex.: [ ] ( ) 6det 6 −=⇒−= AA . 
 
 
2. Se A é de ordem n=2, então det (A) é o produto dos elementos da diagonal principal menos o 
produto dos elementos da diagonal secundária. 
 
( ) 21122211
2221
1211
..det aaaaA
aa
aa
A −=⇒





= . 
 
Ex.: ( ) ( )( ) 131524
21
54
−=−−−−=
−−
−
. 
 
 
3. Se A é de ordem n=3, então det (A) é definido por: 
 
( ) 332112322311312213322113312312332211 ............det aaaaaaaaaaaaaaaaaaA −−−++= . 
 
Na prática, utilizamos a Regra de Sarrus: 
 
 
 
Ex. 
( ) ( )
8212016010032
583422011023512481
0
8
2
5
2
1
405
182
321
=+−−++−=
⋅−⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅−⋅=
−−
 
 
 
 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 13 
 
 
4. Se M é de ordem 3n > , então calcularemos o determinante de M usando o 
 
Desenvolvimento de Laplace 
 
Já vimos que: 
312213322113
312312332112322311332211
333231
232221
131211
aaaaaa
aaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
−+
+−−
=
 
que podemos escrever como 
( ) ( )312232211331233321123223332211 )( aaaaaaaaaaaaaaa −+−−− 
ou ainda, 
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
a +−
 
131312121111det AaAaAaA +−= , onde Aij é a submatriz da inicial de onde foram retiradas a i-
ésima linha e j-ésima coluna. 
Além disso, se chamarmos ( ) ijjiij A+−=∆ 1 , obtemos a expressão 
131312121111det ∆+∆+∆= aaaA , 
que continua válida para matrizes de ordem n. 
ininiiiin aaaA ∆++∆+∆= K2211det 
ij∆ é o cofator ou complemento algébrico do elemento aij. 
Uma forma análoga é válida para colunas: 
njnjjjjjn aaaA ∆++∆+∆= K2211det 
 
Obs.: É melhor escolher uma fila que possua a maior quantidade de zeros com a finalidade de 
simplificar os cálculos. 
 
Exemplo: Seja 












−
−
=
3310
2140
4020
2213
M . Calcule det(M). 
 
Solução: Expansão pela coluna 1j = , pois esta possui um maior número de zeros. 
 
( ) =∆+∆+∆+∆= 4141313121211111 ....det aaaaM 
 
( ) ( ) ( ) ( ) =
−
−
−+
−
−+−
−
−+−−= ++++
214
402
221
.1.0
331
402
221
.1.0
331
214
221
.1.0
331
214
402
.1.3 14131211 
 
( ) ( ) 18662.3124486.3 ==+−+= . 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 14 
 
Exercício: Seja 












=
1205
2230
2013
0214
B . Calcule det(B). 
 
Propriedades dos determinantes 
 
Seja A uma matriz quadrada. 
i) O determinante de uma matriz A e de sua transposta At são iguais: |A| =|At|. 
Daí concluímos que as propriedades que são válidas para linhas também o são para colunas. 
ii) Se A tem uma linha (coluna) nula, então |A| = 0. 
iii) Se A tem duas linhas (colunas) idênticas, então |A| = 0. 
iv) Se A tem duas linhas (colunas) cujos elementos correspondentes são proporcionais, então 
|A| = 0. 
v) Se A é matriz triangular, então |A| = produto dos elementos da diagonal principal. 
vi) Se A é matriz diagonal, então |A| = produto dos elementos da diagonal principal. 
Em particular, |I| =1 onde I é a matriz identidade. 
 
Se B a matriz obtida de A por: 
vii) multiplicação de uma linha (coluna) por um escalar k, então, |B| = k|A|; 
viii) troca entre si de duas linhas (colunas) de A, então |B| = – |A|; 
ix) adição de um múltiplo de uma linha (coluna) de A a outra, então |B| = |A|. 
 
x) O determinante do produto de duas matrizes A e B é igual ao produto dos determinantes: 
|A⋅B| = |A|⋅|B| 
 
 
MATRIZ INVERSA 
 
 
Definição: Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chamamos de inversa de A a uma matriz A-1 
tal que 
nIAAAA =⋅=⋅
−− 11
, onde In é a matriz identidade de ordem n. 
 
 
Ex. 





=





=
−
dc
ba
AA 1;
41
32
 
Para determinar A-1 fazemos: 






=





⋅





10
01
41
32
dc
ba
 e resolvemos o sistema obtendo 








−
−
=
−
5
2
5
1
5
3
5
4
1A 
 
 
OBS: 
i. Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, ambas inversíveis, então A⋅B é 
inversível e ( ) 111 −−− ⋅=⋅ ABBA 
ii. Nem toda matriz admite inversa. 
 
 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 15 
 
Ex: 
impossívelsistema
d
c
d
c
dc
ba







=
=
=
=
⇒





=





⋅





1
0
02
12
10
01
10
20
 
 
iii. A inversa de uma matriz é única. 
 
 
Inversão de uma matriz por meio de operações elementares 
 
Para determinar a inversa da matriz A: 
i. coloca-se ao lado da matriz A a matriz I, separada por um traço vertical; 
ii. transforma-se por meio de operações elementares, a matriz A na matriz I, aplicando-se 
simultaneamente, à matriz I as mesmas operações elementares. 
 
Exemplo: 
Dada 










−−
−−
−
=
121
132
131
A , determinar A-1. 
 










−−
−−
−−
−
→
−
















−
−−
−−
−
−
+
→










−−
−−
−
−
−
→
−










−
−
−
+
→
+










−−
−−
−
311
101
011
100
010
001
3
1
3
1
3
1
0
3
1
3
2
011
3
100
3
110
001
101
0
3
1
3
2
011
010
3
110
001
3
101
012
001
010
130
1312
1
0
0
0
1
0
0
0
1
121
132
131
3
32
23
2
21
13
12
L
LL
LL
L
LL
LL
LL
 
Assim, 










−−
−−
−−
=
−
311
101
011
1A . 
 
Suponhamos que A tenha inversa A-1, tal que nIAA =⋅
−1
. 
Aplicando o determinante, 
( ) ( ) ( ) 1detdetdet)det( 11 ==⋅=⋅ −− nIAAAA 
Logo, ( ) ( ) 1detdet 1 =⋅ −AA e concluímos que: 
i. ( ) 0det ≠A 
ii. ( )AA det
1)det( 1 =− 
 
Teorema: Uma matriz quadrada A admite inversa se, e somente se, ( ) 0det ≠A . 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 16 
 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES N x N 
 
 
MÉTODO DA MATRIZ INVERSA 
 
Seja o sistema de equações com n equações e n incógnitas: 
 








=++++
=++++
=++++
=++++
nnnnnnn
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
K
MMMMM
K
K
K
332211
33333232131
22323222121
11313212111
 
 
Na forma matricial temos: 
 












=












⋅












nnnnnn
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
MM
L
MOMM
L
L
2
1
2
1
21
22221
11211
 ou A⋅ X = B, 
 
Para estas equações, supondo que det(A) ≠ 0, ou seja, existe A-1 
 
BAXBAXIBAXAA ⋅=⇔⋅=⋅⇔⋅=⋅⋅ −−−− 1111
 
 
Exemplo: Resolver pelo método matricial 





=−+−
=+−
=−+−
3
2
1
2
3
32
bzyx
bzyx
bzyx
 
Temos portanto, 
 










=










=










−−
−
−−
=
3
2
1
,
121
131
132
b
b
b
Be
z
y
x
XA
 
 
Antes de procurar A-1 verifiquemos se esta existe, ou seja, se det(A) ≠ 0. 
 
det(A) = – 1 , 










−−
−−
−−
=
−
311
110
011
1A , 










⋅










−−
−−
−−
=
3
2
1
311
110
011
b
b
b
X 
 










−−
−−
−−
=
321
32
21
3bbb
bb
bb
X 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 17 
 
 
É conveniente empregar este método no caso em que temos que resolver diversos sistemas entre os 
quais variam somente os termos independentes de cada um deles. Neste caso basta calcular a matriz 
inversa da matriz dos coeficientes, que será a mesma para todos os sistemas e multiplicá-la por cada 
matriz dos termos independentes, determinando as diferentes soluções. 
 
Exemplo. Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. 
• Para a manufatura de cada kg de X são utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo 
B. 
• Para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 1 grama de insumo B. 
• Para cada kg de Z, 1 grama de A e 4 gramas de B. 
• O preço de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z é R$ 2,00, R$ 3,00 e R$ 5,00, 
respectivamente. 
 
Podemos usar matrizes para esquematizar a produção de X, Y e Z da seguinte forma: 
 
A
kgpreço
kgBdegramas
kgAdegramas
ZYX
=










532
412
111
/
/
/
 
X
z
y
x
produzidosZdekg
produzidosYdekg
produzidosXdekg
=










 
 
totalreceita
usadoBdegramas
usadoAdegramas
zyx
zyx
zyx
AX










++
++
++
=
532
42
 
Temos que 
















−
−
−
=
−
5
1
5
1
5
4
5
2
5
3
5
2
5
3
5
2
5
7
1A 
 
(a) Se em um período com a venda de toda a produção de X, Y e Z manufaturada com 1 kg de A e 
2 kg de B, essa indústria arrecadou R$2.500,00, então determine quantos kg de cada um dos 
produtos X, Y e Z foram vendidos. 
Neste período temos com matriz dos coeficientes 
totalreceita
usadoBdegramas
usadoAdegramas










2500
2000
1000
. 
Logo, 










=










⋅
















−
−
−
=⋅==










−
100
200
700
2500
2000
1000
5
1
5
1
5
4
5
2
5
3
5
2
5
3
5
2
5
7
1 BAX
z
y
x
produzidosZdekg
produzidosYdekg
produzidosXdekg
 
Portanto, foram produzidos 700 kg do produto X, 200 kg de Y e 100 kg deZ. 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 18 
 
 
(b) Se em outro período com a venda de toda a produção de X, Y e Z manufaturada com 1 kg de A 
e 2,1 kg de B, essa indústria arrecadou R$2.900,00, determine quantos kg de cada um dos 
produtos X, Y e Z foram vendidos. 
 
Analogamente, temos 










=










⋅
















−
−
−
=⋅==










−
200
300
500
2900
2100
1000
5
1
5
1
5
4
5
2
5
3
5
2
5
3
5
2
5
7
1 BAX
z
y
x
produzidosZdekg
produzidosYdekg
produzidosXdekg
 
Portanto, foram produzidos 500 kg do produto X, 300 kg de Y e 200 kg de Z. 
 
 
REGRA DE CRAMER 
 
Se A⋅ X = B é um sistema de n equações lineares com n incógnitas tal que det(A) ≠ 0, então o sistema 
tem uma única solução. Esta solução é 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )A
A
x
A
A
x
A
A
x nn det
det
,,
det
det
,
det
det 2
2
1
1 === K 
 
onde Aj é a matriz obtida substituindo as entradas da j-ésima coluna de A pelas entradas da matriz 












=
nb
b
b
B
M
2
1
. 
Exemplo: Usando a regra de Cramer para resolver 





=+−−
=++−
=+
832
30643
62
321
321
31
xxx
xxx
xx
. 
Temos: 










−−
−=










−
−=










−
=










−−
−=
821
3043
601
,
381
6303
261
,
328
6430
206
,
321
643
201
32
1
AA
AA
 
Portanto, 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 11
38
44
152
det
det
,
11
18
44
72
det
det
,
11
10
44
40
det
det
3
2
2
1
1 ======−=
−
==
A
A
x
A
A
x
A
A
x n
 
 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 19 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
• CALLIOLI, Carlos A., DOMINGUES, Hygino H., COSTA, Roberto C. F. Álgebra linear e 
aplicações. 6a edição. Atual Editora. 1998. 
• STEINBRUCH, A., WINTERLE, P. Álgebra Linear. Editora Makron Books. 1987. 
• ANTON Howard. & RORRES Chris. Álgebra Linear com Aplicações. Ed. Bookman. 8a Edição. 
 
• BOLDRINI, J. L. Álgebra Linear. Harbra. 1984. 
• LIPSCHUTZ, S. Álgebra Linear. 3a edição. Coleção Schaum. Editora Makron Books. 
• SANTOS, Reginaldo J. Introdução à Álgebra Linear. Livro disponível no site 
www.mat.ufmg.br/~regi . 
 
 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 20 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Considere as matrizes ( )
22xijaA = , tal que 



≠
=+
= ji
jiji
aij
 ,0
 ,
 e ( )
22xijbB = , tal que jibij 32 −= . 
Determine BA + . 
 
2. Determine yx. para que se tenha 





−
+
=





+
−
43
11
418
21
xy
y
x
yx
. 
 
3. Considere as matrizes 




 −
=





−
=




 −
=
43
20
 e 
01
45
 ,
23
11
CBA . Mostre as seguintes 
propriedades: 
 
a) ( ) ( )CBACBA ++=++ (associativa na adição). 
 
b) ( ) ( )ABBA +=+ (comutativa na adição). 
 
c) ( ) 0=−+ AA (matriz oposta). 
 
d) ( ) ℜ∈∀+=+ λλλλ ,BABA . (distributiva por escalar). 
 
e) ( ) ( )BCACAB = (associativa na multiplicação). 
 
f) ( ) BCACCBA +=+ (distributiva à direita). 
 
g) ( ) ACABCBA +=+ (distributiva à esquerda). 
 
 
h) BAAB ≠ (as matrizes não comutam necessariamente). 
 
i) ( ) AA tt = . 
 
j) ( ) ttt BABA +=+ . 
 
k) ( ) ( ) ℜ∈∀= λλλ ,tt AA . 
 
l) ( ) ttt ABAB = (é falso ( ) ttt BAAB = ). 
 
4. Considere as seguintes matrizes: 






=





=





−
−
=





−
=





−
=
116
45
 e 
43
21
 ,
562
431
 ,
76
05
 ,
43
21
EDCBA . 
 
a) Determine BA 25 − e BA 32 + . 
b) Determine AAA =2 e AC . 
c) Mostre que as matrizes D e E comutam* e A e B não comutam*. (* DE = ED e AB ≠ BA) 
 
 
5. Encontre as matrizes de ordem 2 e 3 que comutam, respectivamente, com: 
 
a) 





10
11
 
b) 










100
110
011
 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 21 
 
6. Determine, se possível, ℜ∈x para que a matriz 










+
−
01
40
120
3
2
xx
xx
x
 seja: 
a) simétrica. b) anti-simétrica 
 
7. Dada a matriz 










−=
030
211
202
A , mostre que tAAS = é uma matriz simétrica. (O produto de 
uma matriz quadrada A pela sua transposta At é uma matriz simétrica). 
 
8. Seja 





=
63
21
A . Ache uma matriz ( )
32xijbB = , com todos os elementos distintos, tal que 
0=AB . (observe que 0=AB não implica 0ou 0 == BA ). 
 
9. Seja 










−−
−−
−
=
455
343
112
A . Mostre que A é idempotente, isto é, AA =2 . 
 
10. Seja 










−−
−−
−
=
444
333
111
B . Mostre que B é nilpotente de índice 2, isto é, 0B2 = . 
 
11. Dada a matriz ℜ∈









 −
= θθθ
θθ
 ,
100
0cos
0cos
sen
sen
M , calcule tMM e conclua que 1t MM −= . 
 
12. Considere o polinômio ( ) xxxg 32 += . Calcule ( )Ag , sendo 





−
=
43
21
A . 
 
13. Prove que se A, B e C são matrizes inversíveis de ordem n, então ( ) 1111 −−−− = ABCABC . 
 
14. Sejam A, B e C matrizes inversíveis de mesma ordem. Resolva as equações em X, sabendo-se 
que: 
 
a) CBXA =.. b) ( ) AXBA =+. c) CBXCA =... d) ( ) ( ) 11 .... −− = CCXABA e) tt ABXBA =−1... 
 
15. Mostre que se A é uma matriz inversível de ordem 2, então ( ) ( )tt AA 11 −− = . 
 
16. Resolva as equações matriciais abaixo: 
 
a) 





−
−
=





1
1
.
32
43
X 
b) 










=










2
7
5
.
132
012
001
Y 
c) 





=





+





72
71
.
53
21
55
22
W 
 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 22 
 
 
17. Calcule o determinante das matrizes abaixo: 
 
a) 




 −
24
13
 b) 





yseny
senxx
cos
cos
 c) 




 −
yseny
xsenx
cos
cos
 d) 




 −
senxx
xsenx
cos
cos
 
 
e) 










−
241
325
431
 
f) 










−
−−
−−−
300
520
641
 
g) 














3120
1032
2013
0231
 
h) 














01
0
0010
10
ab
baa
ba
 
i) 
















d
c
b
a
0000
1000
2100
3210
54321
 
 
18. Determine x nas equações abaixo: 
 
a) 11
1354
22
=
−+
−
xx
xx
 
b) 0
11
11
11
=
−
−
x
x
x
 
c) 2
0211
0123
122
3211
=
−
−
−−
−
x
 
 
19. Usando escalonamento, resolva os seguintes sistemas de equações lineares: 
 
a) 





=++
=++=−+
4345
1223
1022
zyx
zyx
zyx
 b) 





−=−+
−=−+
=++
872
5252
1
zyx
zyx
zyx
 
c) 







=++
=++
=+−
=+−
43
6
0234
1132
zyx
zyx
zyx
zyx
 
 
d) 





=−+
=−+
=++
577
3252
4
zyx
zyx
zyx
 
e) 



=++
=+−
0652
032
zyx
zyx
 
f) 







=++−
−=+−+
=−++
=+++
2
4
4
0
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
 
 
20. Resolva os seguintes sistemas pela regra de Cramer. 
 
a) 





=++
−=++
=++
1253
12
422
zyx
zyx
zyx
 b) 





=++
=+
=−+
0
022 
03
zyx
zy
zyx
 
 
c) 





=+−
=++
=−+
13
12
0
zyx
zyx
zyx
 d) 












−
−
=
























−−
−
−
−−
4
11
14
32
4121
1311
9712
1241
d
c
b
a
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 23 
 
 
21. Determine os valores de βα e que tornam o sistema a seguir possível determinado: 







−+=+
+=+
=+
=−
12
2535
73
βα
βα
β
α
yx
yx
yx
yx
 
 
22. Considere a matriz ( )
33xijaA = , tal que 





>−
=−
<+
=
jiij
jiji
jiji
aij
 ,
 ,2
 ,
. Determine X na equação BAX = , 
onde 










−
−
−
=
2
2
2
B . 
 
23. Discuta em função de k os seguintes sistemas lineares: 
 
a) 





=−
=−
=+−
kyx
yx
yx
2
045
234
 b) 





=++
=+−
=−−−
0
2
12
:
zyx
zykx
kzyx
S c) 





=++
=++
=+−
002
0
0252
kzyx
zyx
zyx
 d) 





=−
=+−
−=++
1 
42
1
kz y 
kkzyx
zyx
 
 
24. Usando operações elementares sobre linhas, determine se as matrizes abaixo são inversíveis e, 
em caso afirmativo, determine a sua inversa. 
 
a) 





=
72
31
A 
b) 










−
−
=
140
214
152
B c) 










−
−
−
=
210
423
211
C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 24 
 
 
Respostas 
1. 
1 4
1 2
−





 2. 10 
 
4. a) −
−






−






5 10
27 34
17 4
12 13
 e b) 7 69 22
5 9 6
5 33 32
−
−






−
− −






 e 
 
5. a) x y
x
x y0





 ∈ℜ, , b) 
x y z
x y
x
x y z0
0 0










∀ ∈ℜ, , , 
 6. a) x = 0 b) x = −2 
 
7. S = −
−










8 6 0
6 6 3
0 3 9
 8. B =
− − −






2 4 6
1 2 3 . Existem outras. 
11. MM I M Mt t= ⇒ = −1 . M é chamada matriz ortogonal. 
 
12. 






100
010
 
 
14. a) X A C B= − −1 1. . b) X I B= − c) ( )X B C A C= − −. . .1 1 d) X B= e) ( )X B A A Bt t= − −1 1. . . 
16. a) X =
−






1
1 b) Y = −










5
3
1
 c) W = − −





1 21
0 13 
 
17. a) 10 b) ( )yx +cos c) ( )yxsen + d) 1 e) 49 f) -6 g) 48 h) a2 + b2 i) abcd 
 18. a) x x= − =1 1 2 ou b) x x= =0 1 ou c) x = 8 
 
19. a) ( ) ( )x y z, , , ,= −1 2 3 b) ( ) ( )x y z, , , ,= −1 11 c) ( ) ( )x y z, , , ,= −12 5 
 
 d) não existe solução. e) x z y+ = =3 0 0 e f) ( ) ( )x y z t, , , , , ,= − −1 12 2 
 
20. a) ( ) ( )x y z, , , ,= − −5 2 2 b) ( ) ( )x y z, , , ,= 0 0 0 c) ( ) ( )x y z, , , ,= 1 4 1 8 3 8 d) ( ) ( )1,3,8,5,,, −=dcba 
 
21. α β= =2 4 e 22. 










−
−
=
1
1
1
X 
23. a) Se k ≠ −6 o sistema é impossível; c) Se k = 2 o sistema é possível indeterminado; 
 Se k = −6 o sistema é possível determinado. Se k ≠ 2 o sistema é possível determinado. 
 
 b) Se 0k = o sistema é impossível; d) Se k = −2 5 o sistema é impossível; 
 Se 1ke0k ≠≠ o sistema é possível determinado; Se k ≠ −2 5 o sistema é possível determinado. 
 Se 1k = o sistema é possível indeterminado. 
 
 
24. a) A− = −
−





1
7 3
2 1 b) B
−
=
−
−
−










1
1 6 1 6 1 6
2 27 1 27 4 27
8 27 4 27 11 27
 c) C não é inversível.

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