APOSTILA MATEMATICA FINANCEIRA 2012

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Matemática Financeira - Resumo e Exercícios - Prof. Martins José 
 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA – Resumo de Teoria e Exercícios 
 
PROF. MARTINS JOSÉ 
 
INTRODUÇÃO: 
A matemática financeira trata do conceito do valor do dinheiro no tempo. Empréstimos ou investimentos 
realizados no presente terão seu valor aumentado no futuro. Inversamente, valores disponíveis no futuro, se 
considerarmos ou avaliarmos no presente, terão seus valores reduzidos. 
 
JUROS SIMPLES 
 
VALOR PRESENTE ou CAPITAL : 
Valor disponível para ser emprestado. Dinheiro. Conhecido sob diversas formas, tais como: principal, capital, 
valor atual, valor presente, valor disponível, valor real, etc. 
NOTAÇÕES: PV ou C 
 
JURO: 
Juro (no singular e juros no plural) é o valor financeiro (dinheiro) obtido como compensação conseguida por 
quem empresta ou aplica seu capital durante certo tempo. Diz-se que o juro é a remuneração do dinheiro 
investido, ou ainda, é o aluguel pago por uma pessoa pelo uso durante algum tempo do capital de outra. 
Fundamentalmente os juros representam a remuneração monetária do Capital empregado em alguma 
atividade financeira. 
NOTAÇÃO: J 
 
TAXA DE JURO: 
É a razão entre o juro e o capital investido. A taxa de juro expressa a relação de grandeza existente entre o 
juro e o recurso financeiro que o mesmo remunera. 
NOTAÇÃO: i 
A taxa de juro pode apresentar-se de duas formas: 
PERCENTUAL 
ex: i = 10% 
ou 
CENTESIMAL: 
ex: i = 0,10 
OBS.: A Taxa de Juros (i) sempre se referirá a um intervalo de tempo (ao ano, ao semestre, ao dia, ao mês, 
etc). 
 
PRAZO OU NÚMERO DE PERÍODOS: 
É o intervalo de tempo durante o qual o capital fica investido. O prazo, em conjunto com a taxa de juros e o 
valor tomado como empréstimo (capital), determina o valor do juro e do montante. 
NOTAÇÕES: n ou t 
 
VALOR FUTURO ou MONTANTE: 
Também chamado de valor futuro, o montante é a soma dos juros obtidos e o capital investido. 
NOTAÇÕES: FV ou M 
 
RESUMO DAS NOTAÇÕES: 
JURO = J TAXA DE JURO = i VALOR PRESENTE = PV VALOR FUTURO = FV 
NÚMERO DE PERÍODOS = n 
 
FÓRMULAS: 
FV = PV . (1 + i.n) J = FV - PV 
 
EXEMPLOS: 
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1. Suponhamos que se tome emprestada a quantia de $ 1.000,00 pelo prazo de 2 anos à taxa de 10% a.a. 
Qual será o valor a ser pago como juro? 
2. Quanto rende um principal de $ 100,00 aplicado à taxa de 5% ao semestre e por um prazo de 2 anos? 
3. Qual é o montante de um capital de $ 1.000,00 aplicado à taxa de 10% a.a. pelo prazo de 2 anos? 
 
TAXA PROPORCIONAL: 
Consideremos duas taxas de juros arbitrárias i1 e i2, relacionadas respectivamente aos períodos n1 e n2, 
referidos à unidade comum de tempo das taxas. 
Estas taxas se dizem proporcionais se houver a igualdade de quociente das taxas com o quociente dos 
respectivos períodos, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
Como em uma proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, temos: 
i1 . n2 = i2 . n1 
 
EXEMPLOS: 
1. Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais. 
2. Sendo dada a taxa de juros de 24% ao ano, determinar a taxa proporcional mensal. 
3. Sendo dada a taxa de 10% ao semestre, achar a taxa trimestral que lhe é proporcional. 
 
TAXAS EQUIVALENTES: 
Duas taxas que se referem a unidades de tempo diferentes são chamadas de equivalentes se quando 
aplicadas a um mesmo capital durante o mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo juro. 
Exemplo: No regime de capitalização simples, a taxa de 2% ao mês é equivalente à taxa de 24% ao ano. 
Verifique isso calculando o juro simples produzido, por exemplo, ao serem aplicadas sobre o capital de 
R$2.000,00 durante 3 anos. Ambas produzirão juros iguais a R$1.440,00. 
 
JURO EXATO E JURO COMERCIAL: 
Nas aplicações correntes, muito embora as taxas sejam expressas em termos anuais, os prazos são fixados 
em dias. Como em curto prazo o regime geralmente adotado é o de juros simples, torna-se necessário 
calcular a taxa proporcional referente a 1 dia. 
 
JURO EXATO: 
Chama-se juro exato aquele que é obtido quando o período (n) está expresso em dias e quando é adotada a 
convenção do ano civil (365 dias): 
Je= PV.n.i /365 
JURO COMERCIAL: 
Denomina-se juro comercial (ou ordinário) o juro que é calculado quando se adota como base o ano 
comercial (360 dias): 
Jc= PV.n.i /360 
 
EXEMPLO: Qual é o juro exato e comercial de um capital de $ 10.000,00 que é aplicado por 40 dias e à taxa 
de 36% a.a.? 
 
VALOR NOMINAL: ( NOTAÇÃO: FV) 
É quanto vale um título na data de seu vencimento. 
EXEMPLO: uma pessoa que aplicou uma quantia hoje e que vai resgatá-la por $ 20.000,00 daqui a 12 meses. 
O valor nominal desta aplicação é $ 20.000,00 no mês 12. 
 
VALOR ATUAL: NOTAÇÃO: PV 
Também conhecido como capital, é o valor que um compromisso tem em uma data que antecede ao seu 
vencimento. 
 
DIAGRAMA de FLUXO de CAIXA ou simplesmente FLUXO de CAIXA: 
É uma representação gráfica das entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo através de um diagrama. 
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EXEMPLO: 
 
 
Exercícios: 
 
1) A que taxa anual um capital qualquer produziria em 2 anos, 1/5 do seu valor? R:10% a.a. 
2) Em quanto tempo R$ 120,00 a 4 ½%aa, produziram o montante de R$121,50? R:3 meses e 10 dias 
3) A que taxa anual devemos colocar certo capital para que, em 8 anos ele dobre? R: 12,5%aa 
4) Durante quanto tempo se deve emprestar certa quantia para que, a 12%aa ele triplique? R:16a e 8 m 
5) Determinar o capital e os seus juros cuja soma, no final de 5 meses, à taxa de 5,5%aa, atingiu R$ 17.676 
R:R$ 17.280,00(capital) R$ 396,00(juros) 
6) Determinar o capital que diminuído de seu juros 1 ano e 7 meses, à taxa de 3%aa, reduz-se a R$ 13.716 . 
7) R: R$ R$ 14.400,00 
8) A que taxa anual o capital de R$ 137.950,00 em 15 anos renderá juros equivalentes aos seus 3/5? R: 4% 
9) Emprestei, há 1 ano e 3meses, R$ 600.000,00 e recebi hoje de juros correspondentes 30% da importância 
aplicada. A que taxa anual esteve emprestado meu capital? R: 24% 
10) Determinar o capital que somado a seus juros de 1 ano 2 meses e 20 dias , a taxa de 9%a.a., produz 
R$355.200,00 de montante. R:R$ 320.000.00 
11) Calcular os juros de um capital de R$ 5.000.00 a taxa de 0,01% ad durante 3 meses e 4 dias.R: R$ 47,00 
12) Um capital esta para seus juros como 8 esta para 5. Calcule o tempo que esteve sabendo-se que a taxa de 
transportação foi de 0,5% am.R: 10 anos e 5 meses 
13) A que a taxa mensal, o capital de R$ 150.000.00 aplicado por 1 ano e meio rendeu R$459.000.00 de juros 
simples. Encontre a taxa correspondente a essa aplicação. R:17%am 
 Continuação 
1) Calcule: 
a) 360% ao ano = ao mês = ao dia = ao semestre = ao quad. 
b) 40% ao mês = ao dia = ao bimestre= ao semestre 
c) 90% ao ano = ao mês = ao dia = ao trimestre= 
2)Calcule: 
a) 360 dias = meses = ano = bimestres= semanas 
b) 60 dias = meses = bimestres = trimestres= quadrimestres 
c) 2,5 semestres = dias = meses = anos = décadas= trimestres 
3) Calcular os juros anuais de R$ 2.100,00 a 12%a.a 
4) Calcular os juros mensais de R$ 1.315,00 à taxa de 15% a.a. 
5) Calcularos juros produzidos por R$ 600,00 à taxa de 40% a.a. Em um ano e três meses. 
6) Calcular os juros de R$ 1.400,00 aplicados durante 8 meses à taxa de 45% a.a. 
7) Qual é o capital que à taxa de 18% ao ano, produz em dois anos R$ 1.845,00 de juros. 
8) A que taxa anual um capital de R$ 8.400,00, em dez meses e quinze dias, renderia R$ 4.200,00? 
9) Quero que meu capital seja aplicado a uma taxa tal que triplique em 15 meses. Qual a taxa que devo usar? 
10) Quais os juros de R$ 1.220,00 à taxa de 8% ao mês, aplicados de 10 de janeiro a 9 de maio? (ano bissexto) 
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11) Quais os juros produzidos por um capital de R$ 4.500,00 durante 15 dias a uma taxa mensal de 40%? 
12) Determinar o capital e os juros cuja soma, no fim de 6 meses, á taxa de 20%a.a,atingiu R$ 1.100,00. 
13) Qual é a diferença entre o capital e os juros, sabendo que os juros acrescidos do capital em 240 dias, à taxa de 
14,5% ao ano, se eleva a R$ 41.115,00. 
14) Calcular o capital que em 1 ano, 2 meses e 20 dias à taxa de 1/3% ao mês, rende R$ 3.520,00 de juros. 
15) Por quanto tempo se deve aplicar certo capital para triplicar de valor à taxa de 15% ao ano? 
16) Determinar o montante de R$ 120.000,00 no fim de 4 anos, a 12% a.a.. 
17) Durante quanto tempo R$ 25.000,00 produzem R$ 12.000,00 de juros, a 24% a.a. ? 
18) Um poupador dispõe de R$ 24.000,00 para ser aplicado, e resolve que irá aplicar 1/3 no CDB, 2/5 do restante em 
ouro e o restante na poupança. Sabendo que o CDB rende 4,5% de juros mensais, o ouro rende 8,5% de juros mensais 
e a poupança rende 2,7% de juros mensais, então qual o seu montante daqui a 1 ano e 5 meses? 
19) O tempo que devo aplicar certo capital para que a taxa de 40% a.a., renda o triplo de seu valor é: 
a) 5anos b) 7anos e 5meses c) 7anos e 6meses d) 8anos e) 8anos e 6meses 
20) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 30.000,00 feito pelo prazo de 3 meses, a taxa de 
juro simples de 24% a.a.? 
21) Quantos dias um capital de R$ 400,00, aplicado à taxa de 10% ao bimestre, leva para produzir R$ 840,00 de juro 
simples? 
22) Um capital de R$ 150,00, aplicado por 1 ano e meio, rendeu R$ 459,00 de juros simples. Encontre a taxa 
correspondente a essa aplicação. 
23) Apliquei R$ 1.200,00, entre os dias 10 de março de 1.989 e 20 de dezembro de 1.989, à taxa de 36,5%aa. Quanto 
receberei de juros simples exato? 
24) A importância de R$ 120.000,00 foi aplicada em 10/01/90, à taxa de 73% a.a., e produziu em seu vencimento 
juro simples exato de R$ 9.600,00. Em que data ocorreu o vencimento da aplicação? 
25) Apliquei um 1/3 do meu capital a 15% am e o restante a 20% am. Decorridos 1 ano e 3 meses, obtive R$ 1.980,00 
de juro simples pelas duas aplicações. De quanto era o meu capital inicial? 
26) Que quantia devo colocar a 3% a.a. para no mesmo prazo ter os mesmos juros que R$ 15.000,00a 4% a.a.? 
27) A que taxa deve ser aplicado um capital para que no fim de 10 meses produza um rendimento igual a 3/5 de si 
próprio? 
Gabarito (Continuação) 
1. a) 30%; 1% b) 4/3% c) 15/2%; 1/4% 2. a) 12; 1 b) 2; 1 c) 360; 12; 1 
3. R$ 252,00 4. R$ 16,43 5. R$ 300,00 6. R$ 420,00 7. R$ 5.125,00 
8. 57,14%aa 9. 13,33%am 10. R$ 390,40 11. R$ 900,00 
12. C = R$ 1.000,00 J= R$ 100,00 13. 33.865,00 14. R$ 72.000 
15. 13a 4m 16. R$ 177.600,00 17. 2 anos 18. R$ 43.774,40 
19. C 20. J = R$ 1.800,00 21. T = 3a e 6m 22. i = 19,125%am 
23. J = R$ 24. 17/ 02/ 90 
25. C = R$ 26. C = R$ 20.000,00 27. 6%am 
 
DESCONTOS NO REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
 
1 - VALOR ATUAL e VALOR NOMINAL de um TÍTULO DE CRÉDITO. 
 
Valor Atual (VA) é o valor de um título de crédito em qualquer data antes da data de seu vencimento. 
 
Valor Nominal (VN) é o valor do TÍTULO DE CRÉDITO na data do seu vencimento (É o valor que está escrito 
no Titulo). 
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 VN 
 
 C VA 
 
 
 momento ZERO data do vencimento do título 
 data anterior ao vencimento 
 
2 – DESCONTO COMERCIAL, DESCONTO BANCÁRIO e DESCONTO RACIONAL 
 
DESCONTO (D) é a diferença obtida entre o VALOR NOMINAL de um título e o seu VALOR ATUAL quando o 
título é pago ou trocado em uma data anterior a data de seu vencimento: D = VN - VA 
 
O desconto recebe “nomes” diferentes dependendo da maneira como é calculado. Assim o desconto pode 
ser classificado como: 
 
a) Desconto Comercial ou Por Fora: DC = VN . i . n onde: 
DC é o desconto comercial, VN é o valor nominal do título, i é a taxa de desconto e n é o prazo de 
antecipação do pagamento. Uma igualdade útil é a que estabelece a relação entre O valor atual comercial e 
o valor nominal de um título, ou seja: 
OBSERVAÇÃO: o cuidado que se deve ter com a uniformidade das unidades de tempo entre taxa e prazo e 
com a utilização da taxa na forma unitária é o mesmo que o aplicado no caso dos juros simples. 
 
b) Desconto Bancário: DB = VN . (i . n + h) onde: 
DB é o desconto bancário, VN é o valor nominal do título, i é a taxa de desconto, n é o prazo de antecipação 
do pagamento e h é a taxa de serviço cobrada pela instituição financeira pela prestação do serviço bancário 
(pagamento antecipado do título para quem o detém). Para calcularmos o VALOR ATUAL BANCÁRIO 
utilizaremos VAB = VN . (1 – i. n – h) 
 
 c) Desconto Racional ou Por Dentro: DR = VAR . i . n onde: 
DR é o desconto racional , VAR é o Valor Atual (racional) ou Valor Presente do título, i é a taxa de desconto e 
n é o prazo de antecipação do pagamento. Para obtenção do Valor nominal teremos a seguinte relação 
 
As igualdades abaixo se mostrarão extremamente úteis para a resolução de problemas de descontos 
simples. São elas: 
 
1) Relação que fornece o conceito de desconto e é utilizada para qualquer tipo de desconto: D = VN – VA 
 
2) Relações que são utilizadas nos cálculos que envolvem apenas desconto simples comercial: 
a) DC = VN . i . n (muito útil nos cálculos do prazo ou da taxa) 
b)VAC = VN. (1 – i.n) (relaciona o Valor Atual Comercial com o valor nominal) 
 
3) Relações que são utilizadas nos cálculos que envolvem apenas desconto simples bancário: 
a) DB = VN . (i . n + h) (muito útil nos cálculos do prazo ou da taxa) 
b)VAB = VN. (1 – i.n – h) (relaciona o Valor Atual Bancário com o Valor Nominal) 
 
4) Relações que são utilizadas nos cálculos que envolvem apenas desconto simples racional: 
a) DR = VAR . i . n (muito útil nos cálculos do prazo ou da taxa) 
b)VN = VAR. (1 + i.n) (relaciona o Valor Atual Racional com o Valor Nominal) 
c) i.n1
n i. VN.
 DR


 (relaciona o Desconto Racional com o Valor Nominal) 
 
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5) Relação entre o Desconto Racional e o Desconto Comercial: DC = DR . (1 + i.n) 
 
6) Relações para o cálculo da taxa efetiva do Desconto Comercial (DC) e do Desconto Bancário (DB) : 
a) n
ief
1
VA
VN


 b) ni
i
i
c
c
ef
 . 1

(esta somente para o desconto comercial sendo ic a taxa do 
desconto comercial) 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1a Uma pessoa pretende saldar uma dívida no valor de $7.500,00 a 4 meses antes do seu vencimento. 
Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 36% a a.. Qual é o desconto comercial e quanto deverei pagar 
por esta dívida? 
DC= $900,00 e VAC = 6.600,00 
 
2a Por quanto devo comprar um título com vencimento daqui a 4 meses se seu valor nominal for de 
$35.000,00 e se eu quiser ganhar 40% a a. ? (desconto racional) VAR = $30.882,35 
 
3a Um título de valor nominal $ 38.000,00 foi resgatado 100 dias antes do seu vencimento, qual é o desconto 
racional se a taxa de juros contratada for de 48% a a ? DR = $4.470,00 
 
4a Um título de valor nominal $ 6.700,00 foi descontado à taxa de 24% a. a, sabendo-se que o desconto 
racional foi de 1.340,00, quanto tempo antes do seu vencimento efetuou-se o resgate? N = 12,5 meses 
 
5a Uma nota promissória de valor nominal $ 9.600,00 com vencimento em 8 meses foi comprada por 
$8.160,00. Qual é a taxa de desconto racional exigida pelo comprador ? i = 2,2%am 
 
6a O desconto racional de um título que vence em 150 dias é igual a $1.600,00. Qual é o seu valor nominal se 
a taxa de juros adotada é de 36% a a? VN = 12.266,67 
 
7a Uma nota promissória, com o valor de $250.000,00 em seu vencimento, foi descontada 3 meses antes do 
seu vencimento. Sabendo que a taxa de desconto comercial era de 48% a.a , qual foi o desconto e o valor 
atual comercial? DC = $30.000,00 ; VAC = $220.000,00 
 
8a Uma duplicata de valor nominal de $36.000,00 é descontada num banco dois meses antes do seu 
vencimento. Sendo de 9,5% a m a taxa de desconto usada na operação e sabendo que o banco cobra uma 
taxa de serviço de 1,5% sobre o valor nominal do título, descontados integralmente no momento da 
liberação dos recursos,como despesa administrativa, calcule o desconto bancário e o valor recebido após o 
desconto. 
DB = $7.380,00 e VAB = $28.620,00 
 
9a Um banco desconta um título de valor nominal de $ 98.000,00 180 dias antes do seu vencimento. Nesta 
operação, o banco cobra 86% a a de taxa de desconto comercial e 3% de despesa administrativa. Calcule o 
valor líquido liberado ao cliente. VAB = 52.920,00 
 
10a Uma empresa retira do banco um empréstimo no valor de $670.000,00 por 7 meses. Se a taxa de juros 
cobrada for de 6,5% a m e 1,5% de taxa administrativa, qual será o desconto bancário? DB = $314.900,00 
11a Um banco credita na conta de um cliente a quantia de $37.000,00 proveniente do desconto de um 
cheque pré-datado efetuado 150 dias antes do seu vencimento. Sendo de 8% a m a taxa de desconto e 2% a 
taxa administrativa, pede-se determinar o valor nominal deste título. VN = $ 63.793,10 
12a Qual é o prazo de antecipação do resgate de um título tal que o desconto comercial seja igual a uma vez 
e meia o desconto racional considerando-se uma taxa de juros de 36% a. a? n = 1 ano, 4 meses e 20 dias 
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13a A diferença entre o desconto comercial e o desconto racional é de $150,00. Sabendo-se que o prazo de 
antecipação é de 5 meses e que a taxa de juros considerada é de 36% a.a., qual é o valor nominal do 
compromisso? VN= $ 7.666,67 
14a Quanto devo pagar por um título no valor nominal de 45.000,00 com vencimento em 150 dias se quero 
ganhar efetivamente 43% a a.? (desconto racional). $38.162,55 
15a Se o desconto racional concedido for de $130,00, qual será a taxa considerada uma vez que o valor 
nominal é de $1.354,00 e o período de antecipação 6 meses? i =1,8% a m. 
16a Um título de valor nominal $ 32.000,00 foi resgatado antes do seu vencimento, sendo por isso 
bonificado com um desconto racional de $5.900,00. Considerando a taxa de 36% aa, qual foi a antecedência? 
n = 7 meses e 16 dias 
17a O valor de uma promissória é de $15.000,00. Tendo sido adotada a taxa de 24% a a. qual será o prazo em 
dias de antecedência, se o desconto racional for de $525,00? n = 55dias 
 
18a Se o desconto comercial for de $2.000,00 qual será o valor nominal, se a taxa considerada for de 45% a a. 
e o prazo de antecipação 90 dias? VN = 17.777,78 
19a Uma duplicata no valor de $2.300,00 foi descontada 60 dias antes do vencimento a uma taxa de 192% 
a.a. 
a) Qual foi o desconto comercial que sofreu? $736,00 
b) Quanto recebeu seu portador? $1.564,00 
c) Se o desconto fosse racional, quais seriam as taxas mensal e anual que corresponderiam ao mesmo 
valor descontado? 23,53% a.m. e 282% a.a. 
20a Qual foi o prazo de antecipação na operação de desconto de um título à taxa de 5% a.m., sabendo que a 
razão entre os descontos comercial e racional foi de 1,25?. n = 5 meses 
21a A que taxa um título descontado 8 meses antes do seu vencimento teve um desconto comercial 30% 
maior que o desconto racional ? i = 45% a.a. 
22a Qual é a diferença entre os descontos comercial e racional se um título de $ 1.200,00 foi pago 50 dias 
antes do vencimento a uma taxa de 8% a.a. R.: $0,15 
23a Uma pessoa tomou emprestada de um banco a quantia de $2.000.000,00 à taxa de 12% a.m. para 7 
meses. No entanto, 15 dias antes do prazo previsto para o vencimento, a empresa decidiu liquidar a dívida. 
Qual o valor a ser pago nessa data se se sabe que o banco operava a 15 % a.m. R.: $3.404.000,00 
24a O desconto comercial aplicado a certo título que em 4 meses excede o desconto racional deste mesmo 
título em $240,00. Se a taxa do desconto é de 2,5% a.m., calcule a soma dos dois descontos. R.: 5040,00 
25a Um fornecedor oferece 3 meses de prazo em suas vendas. O cliente que optar pelo pagamento à vista 
receberá um desconto de 10% sobre o valor nominal. Que taxa efetiva de juros anuais está sendo cobrada?i 
= 44,44%a.a. 
26a Se uma instituição deseja ganhar 36% ao ano (taxa efetiva), que taxa de desconto deverá aplicar para 
operações com os prazos de: a) 1 mês 2,91%a.m. b) 3 meses 8,26% a.t. c) 6 meses 10,71%a.s. 
27a Em quantos meses o pagamento de um título T foi antecipado, se o valor líquido recebido corresponde a 
4/5 de T, e a taxa de desconto simples comercial usada foi de 60% a.a. ? R: 4 meses 
28a Uma dívida no valor de R$ 600,00 vencível em 4 meses será quitada mediante um desconto simples à 
taxa de 30% a.s.. Calcule a diferença entre o desconto comercial e o desconto racional. R: R$ 20,00 
29a Numa operação de desconto de um título a vencer em 5 meses, o desconto por fora é R$ 140,00 maior 
que o desconto por dentro. Qual o valor nominal do título, se a taxa empregada nos descontos foi de 24% 
a.a. ? R: R$ 15.400,00 
 
30a O quociente entre os descontos comercial e racional é 1,06. Qual é o prazo de antecipação, se a taxa é 
igual a 24% a.a. ?R: 3 meses 
 
31a Qual é o prazo de antecipação tal que o desconto racional seja igual a cinco sextos do desconto 
comercial, considerando-se uma taxa de 60% a.a. em ambos os descontos ? R: 4 meses 
32a Calcule a taxa de juros mensal efetiva a partir da taxa de desconto comercial dada, em cada um dos 
seguintes casos (considere um regime de capitalização simples): 
 
a) 5% a.m. b) 18% a.m. c) 3,5% a.m. R: (5,26% ; 21,95% ; 3,63%) 
 
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33a Calcule a taxa mensal de desconto comercial a partir da taxa efetiva dejuros, em cada um dos seguintes 
casos (considere um regime de capitalização simples): 
a) 6% a.m. b) 15% a.m. c) 7,5% a.m. R: ( 5,66% ; 13,04% ; 6,98% ) 
34a Calcule a taxa de juros que efetivamente está sendo cobrada numa operação de desconto simples 
comercial com um prazo de 3 meses e uma taxa de 5% a.m. R: 5,88% a.m. 
 
35a De posse de algumas duplicatas, procurei dois bancos para tentar descontá-las. O banco “A” pratica 
uma taxa de desconto de 3% a.m., enquanto que o banco “B” cobra uma taxa efetiva de juros igual a 3,20% 
a.m.. Onde devo operar os títulos? R: No banco “A “, pois esse oferece taxa menor. 
 
 
 
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 
FÓRMULA BÁSICA: M = C (1 + i)n onde: 
 
M é o montante obtido na aplicação após n períodos. 
C é o capital investido 
i é a taxa de juros compostos e n é o prazo ou tempo de duração do investimento. 
Como na capitalização simples A TAXA E O PRAZO DEVEM SE REFERIR A UMA MESMA UNIDADE DE TEMPO. 
 
Relações auxiliares: 
PARA O CÁLCULO DO CAPITAL: 
ni
M
C
)1( 

 
PARA O CÁLCULO DO PRAZO: 
)1log(
log
i
C
M
n







 OU 
)1log(
loglog
i
CM
n



 
 
PARA O CÁLCULO DA TAXA: 








 n
C
M
i
 - 1 
PARA O CÁLCULO DO JURO COMPOSTO: 
]1)1[(  niCj
 
 
 CÁLCULO COM UNIDADES DE TEMPO FRACIONÁRIAS: 
 
CONVENÇÃO EXPONENCIAL: Quando o cálculo é efetuado aplicando juros compostos por todo o período do 
investimento, independente do prazo ser inteiro ou fracionário. M= C . ( 1 + i ) n 
CONVENÇÃO LINEAR: Quando o cálculo é feito aplicando juros compostos a parte inteira do prazo e juros 
simples a parte fracionária. 
M= C . ( 1 + i ) n . (1 + i .m) com n sendo a parte inteira do prazo e m a parte fracionária menor que 1 
Aplique as fórmulas nos casos abaixo: 
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EXEMPLO 1: Qual é o montante obtido quando são aplicados $2.000,00 durante 2,5 meses a uma taxa mensal 
de 5%. 
Convenção linear: Convenção exponencial: 
 
 
EXEMPLO 2: Calcule o valor do capital que deve ser aplicado em 3,16 anos para que a uma taxa de 10% ao ano 
produza um montante igual a $8.000,00. 
Convenção linear: Convenção exponencial: 
 
**IMPORTANTE** 
PARA VALORES DE n (PRAZO) MENORES QUE 1, OS JUROS COMPOSTOS PRODUZIDOS SEMPRE SERÃO 
MENORES QUE OS JUROS SIMPLES; 
PARA n = 1, OS JUROS COMPOSTOS SÃO IGUAIS AOS JUROS SIMPLES; 
PARA VALORES INTEIROS DE n MAIORES QUE 1, OS JUROS COMPOSTOS SEMPRE SERÃO MAIORES QUE OS 
JUROS SIMPLES; 
OS JUROS COMPOSTOS SÃO TAMBÉM CONHECIDOS COMO JUROS EXPONENCIAIS, ENQUANTO OS JUROS 
SIMPLES PODEM SER REFERIDOS COMO JUROS LINEARES OU JUROS PROPORCIONAIS. 
 CÁLCULO COM O PRAZO SENDO EXPRESSO EM VÁRIAS UNIDADES DE TEMPO. 
!!!!! Como procedimento padrão, sugerimos que o prazo fornecido em várias unidades de tempo seja 
transformado para a unidade de tempo dias sendo depois transformado para a unidade de tempo na qual 
vem expressa a taxa. 
EXEMPLO 3: Na aplicação de $ 2.000 que montante será obtido após 2 anos, 5 meses, três semanas e 4 dias se 
a taxa de juros compostos aplicada foi de 8 % ao trimestre? 
 
EXEMPLO 4: Calcule a taxa semestral sob a qual esteve aplicado o capital de $ 8.000 durante 1 década, 4 anos, 2 
trimestres, 5 meses e 13 dias sabendo que foram gerados juros compostos iguais a $6.500. 
 
TAXAS NOMINAIS 
CONCEITO: Taxa nominal é aquela que se refere a uma unidade de tempo diferente da unidade tempo do 
período de capitalização. Exemplos: 
12% a.a. capitalizados mensalmente; 
2,5 % a.m. com capitalização quadrimestral; 
6% a.t. capitalizável bimestralmente. 
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Observe que em todos os exemplos acima as taxas se referem a uma unidade de tempo diferente da unidade de 
tempo do período de capitalização. 
OBSERVAÇÃO: EM HIPÓTESE ALGUMA AS TAXAS NOMINAIS PODEM SER UTILIZADAS 
NAS FÓRMULAS DE JUROS COMPOSTOS. Para tais cálculos, devemos obter as taxas efetivas dos 
períodos de capitalização utilizando a proporcionalidade entre as unidades de tempo da taxa nominal e do 
período de capitalização (semelhante ao que é feito na conversão de taxas no regime de capitalização 
simples). Assim: 
Para 12 % a.a. capitalizados mensalmente devemos dividir 12 por 12 para obtermos A TAXA EFETIVA MENSAL 
de 1%, ou seja, 1% a.m. 
Para 2,5% a.m. capitalizados quadrimestralmente devemos multiplicar 2,5 por 4 para obtermos A TAXA 
EFETIVA QUADRIMESTRAL de 10%, ou seja, 10% a.q. 
Para 6 % a.t. capitalizados bimestralmente devemos dividir 6 por 1,5 para obtermos A TAXA EFETIVA 
BIMESTRAL de 4%, ou seja, 4% a.b. 
TAXAS EFETIVAS 
São as taxas utilizadas nas fórmulas de juros compostos. Tais taxas EFETIVAMENTE determinam quanto de juro 
composto será formado para o período a que se refere. 
TAXAS EQUIVALENTES 
Tal como nos juros simples, taxas equivalentes são taxas que se referem a unidades de tempo diferentes, mas 
que produzem o mesmo montante ao serem aplicadas sobre um mesmo capital durante um mesmo período de 
tempo. Devido à maneira como os juros compostos são calculados, para se determinar uma taxa equivalente à 
outra, devemos lançar mão do PRINCÍPIO EXPONENCIAL DE EQUIVALÊNCIA. Este princípio está resumido na 
seguinte igualdade: 
1)1(  nt
nq
tq ii
 na qual: 
iq é a taxa que quero (que será obtida na forma unitária); 
it é a taxa que tenho na forma unitária; 
nq é o prazo em dias a que se refere à taxa que quero ; 
nt é o prazo em dias a que se refere à taxa que tenho. 
 
Agora utilize esta igualdade para encontrar as taxas equivalentes abaixo: 
 
EXEMPLO 5: Qual é a taxa mensal que produz o mesmo montante que a taxa anual de 24%. 
 
EXEMPLO 6: Calcule a taxa diária equivalente a 10% a.s. 
 
EXEMPLO 7: Qual é a taxa trimestral equivalente à taxa de 6% ao bimestre. 
 
EXEMPLO 8: Qual é a taxa quadrimestral equivalente à taxa de 0,12% ao dia. 
 
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Dada uma taxa efetiva, para se determinar outra taxa efetiva (que se refere à outra unidade de tempo) SÓ 
PODEMOS utilizar o PRINCÍPIO EXPONENCIAL DE EQUIVALÊNCIA já visto. No outro sentido, ESTE PRINCÍPIO 
SOMENTE PODE SER UTILIZADO COM TAXAS EFETIVAS. 
EXERCÍCIOS ELEMENTARES 
1) Uma pessoa tem condições de aplicar seu dinheiro a 1,5% a.m., no mercado de capitais, capitalizada mensalmente. Se um 
amigo lhe pedir emprestado $12.000 por um ano, quanto deverá devolver para que sua aplicação seja equivalente neste período? 
Resp. $14.347,42 
2) O capital de $29.200, produziu o montante de $44.000 em um ano. Considerando a capitalização mensal, qual é a taxa mensal 
de juros? Resp.:3,47% a.m. 
3) Qual o capital que, aplicado a 6% a.m., capitalizável mensalmente, produz o montante de $313.669,20 após 3 anos? Resp. 
$38.500 
4) O capital de $25.000, aplicado à taxa de 24% a.a., capitalizável semestralmente, produz o montante de $37.800. quanto tempo 
ficou aplicado? Resp.: 1a 9m 27d 
5)Quais os juros de $20.000, no fim de 2 anos e meio, a 20% a.a., capitalizável trimestralmente?Resp. $12.577,89 
6) Um capital de $140.000 rendeu $59.090 de juros numa capitalizaçãotrimestral. Sabendo-se que ficou aplicado durante dois 
anos, qual a taxa anual de juros? Resp.: 19,25% a.a. 
7) Determinar o montante composto de $35.000 durante 3a 7m 25d a juros de 10% a.t., capitalizável trimestralmente? Resp. 
$140.883,84 
8) Calcular a taxa anual equivalente a: 
a. 5% ao mês Resp.: 79,58% 
b. 12% ao semestre Resp.: 25,44% 
c. 8% ao trimestre Resp.: 36,05% 
d. 10% ao quadrimestre Resp.: 33,1% 
9) Calcular a taxa mensal equivalente a: 
 a) 10% ao bimestre Resp.: 4,88% 
 b) 60% ao ano Resp.: 3,99% 
 c) 30% ao semestre Resp.: 4,46% 
 d) 15% ao trimestre Resp.: 4,76% 
10) Uma pessoa deposita $45.000 numa instituição financeira por 3 anos à taxa nominal de 24% a.a. Calcular o montante, 
sabendo que no 1º ano os juros são capitalizados semestralmente, no 2º ano trimestralmente em o 3º ano mensalmente. Resp. 
$90.380,36 
11) Um objeto é vendido por $50 de entrada mais $100 em 1 ano, ou por $120 a vista. Se a taxa de juros de mercado é de 2% 
a.m, capitalizável mensalmente, qual é a melhor alternativa? Resp. Para o comprador, a segunda alternativa, ou seja, a vista. 
12) Um capital de $40.000, a 2% a.m. produziu um montante de $58.426,51. Qual o tempo de aplicação? Resp. 19m 4d 
13) Uma pessoa aplicou num banco um valor que, após 9 meses, rendeu $2.480. Sabendo que a taxa é de 0,85% a.m., 
capitalização mensal, qual foi o valor aplicado? Resp. $31.331,62 
14) Uma pessoa recebeu um montante de $606.852,26, de um capital de $500.000, à taxa de 2,2% a.m.. Calcule o tempo durante 
o qual este capital ficou empregado. Resp. 8m 27d 
15) Uma pessoa emprestou um valor, para após 24 meses receber um total de $150.699,68. Sendo a taxa, capitalizável 
mensalmente, de 3,5% a.m., qual é o valor do capital emprestado? Resp. $66.000 
16) Um capital de $20.000,00 foi investido num regime de juros compostos, durante 18 meses, numa aplicação que 
rende 2% ao mês. Calcule o montante no final do período. (28.564,92). 
17) Qual o capital que precisa ser investido durante 5 anos, à uma taxa de 10% ao ano, para se obter um montante de 
$10000,00 ao final do período? $ 6.209,21. 
18) Indique qual a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 8% ao ano com capitalização semestral. 
Resposta = 8,16% a.a. 
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19) O capital de R$ 1.000,00 é aplicado do dia 10 de junho ao dia 25 do mês seguinte, a uma taxa de juros 
compostos de 21 % ao mês. Usando a convenção linear, calcule os juros obtidos, aproximando o resultado em 
real. Resp.R$ 337,00 
20) Obtenha o valor hoje de um título de R$ 10.000,00 de valor nominal, vencível ao fim de três meses, a 
uma taxa de juros de 3% ao mês, considerando um desconto racional composto e desprezando os centavos. 
Resposta = R$9.151,00 
 21) A que taxa mensal de inflação os preços duplicam de valor, em um ano? 5,9463 % a a. 
 22) A que taxa de juros um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual a 1/4 do seu 
valor?2,256 % a. m. 
23) Se um capital de $ 2.000,00 rendeu $ 840,00 de juros em 2 anos, qual é a taxa de juros equivalente ao 
trimestre? 4,48% a. t. 
24) Calcular a taxa de juros trimestral equivalente às seguintes datas: 
24% ao ano b) 36% ao biênio c) 6% ao semestre 
5,53% a. t. 3,92% a. t. 2,96% a. t. 
25) Qual o montante acumulado a partir da aplicação de $2895,00 a 3,5% ao mês durante 3 anos e meio? 
Resp: $12277,70 
26) Investindo-se mensalmente $150,00 durante 6 anos e um trimestre, a 6% ao mês, qual o valor acumulado 
ao final do período? Resp: $198200,00 
27) Na compra de um Bem cujo valor à vista é de R$ 140,00, deve-se pagar uma entrada mais duas prestações 
de R$ 80,00 no fim dos próximos 2 meses. Considerando uma taxa de juros de 20% am, qual o valor da 
entrada? 
28) Por um equipamento de R$ 360.000,00 paga-se uma entrada de 20% mais dois pagamentos mensais 
consecutivos. Se o primeiro pagamento for de R$ 180.000,00 e a taxa de juros efetiva aplicada, de 10% am, 
calcular o valor do segundo pagamento. 
29) Um capital de R$ 50.000,00 rendeu R$ 1.000,00 em um determinado prazo. Se o prazo fosse dois meses 
maior, o rendimento aumentaria em R$ 2.060,40. Calcular a taxa de juros efetiva ao mês ganha pela aplicação e 
o prazo em meses. 
30) Um capital foi aplicado a juros efetivos de 30% aa. Após 3 anos, resgatou-se a metade dos juros ganhos e, 
logo depois, o resto do montante foi reaplicado à taxa efetiva de 32% aa, obtendo-se um rendimento de R$ 
102,30 no prazo de 1 ano. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado. 
31) Determine o capital que aplicado durante 3 meses à taxa efetiva composta de 4% am produz um montante 
que excede em R$ 500,00 ao montante que seria obtido se o mesmo capital fosse aplicado pelo mesmo prazo a 
juros simples de 4% am. 
 
TAXA INFLACIONÁRIA, REAL E APARENTE 
 
Fórmulas básicas: 
 
*M=C. (1+ i).(1+ iR) para um período unitário 
 
*(1+ iA)=(1+ i).(1+ iR) 
 
*M = C. (1+ iA)
n onde: 
 
iR é a taxa real de juros iA é a taxa aparente ou taxa “cheia” 
 
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i é a taxa inflacionária ou taxa de correção monetária. 
 
1) Qual é a taxa anual anunciada para uma aplicação que corrige monetariamente o capital em 6% ao ano e 
paga uma taxa real de 12% ao ano? 18,72 % ao ano. 
 
2)Se é anunciada uma taxa de 22% ao ano para um fundo de investimento e sabe-se que para o mesmo 
período a inflação foi de 8%, qual foi a taxa anual real de juros? 12,9629 % ao ano. 
 
3)Calcule a taxa de correção monetária que está embutida em uma aplicação de poupança que rende 
aparentemente 0,82% ao mês sabendo que a rentabilidade real é de 0,5%a.m. 0,31841% ao mês 
 
4)Determinada casa foi comprada por R$75.000.Dezoito meses depois foi vendida por R$120.000.Qual foi a 
rentabilidade real mensal do negócio se a inflação mensal ficou fixa em 0.5%a.m.? 2,1348 % ao mês. 
 
5)As taxas de inflação mensal nos quatro primeiros meses do ano de 2005 foram respectivamente 0,3%, 
0,6%, 0,7%, 0,5%.Se uma instituição financeira pagou para seus aplicadores juros de 5% para o período 
considerado calcule a rentabilidade real da aplicação. 2,8241 % para o primeiro quadrimestre de 2005 
 
6)Um banco anuncia que remunera aplicações a uma taxa nominal de 24% ao ano sendo a capitalização 
mensal.Calcule a inflação anual sabendo que a taxa real dessas aplicações é da ordem de 6% ao ano. 19,6455 
% ao ano 
 
7) Que capital dever ser aplicado para se obter um montante de $4.500 após dois anos se a taxa real que se 
deseja ganhar é de 0,8% a.m. e que a inflação do período da aplicação é de 10,5%. $ 3363,55 
 
8) A inflação calculada para determinado setor produtivo de nossa economia durante o primeiro semestre de 
2005 foi de 4,5% e durante o segundo semestre do mesmo ano foi de 3,5%. A que taxa nominal anual com 
capitalização mensal devia ser anunciada uma aplicação para que o ganho real anual fosse de 21%? 
27,207725% ao ano com capitalização mensal 
 
9) A inflação para o primeiro semestre de 2005 na região metropolitana de Salvador foi de 5,5%. Se para os 
meses Janeiro, fevereiro, março e abril foram medidas respectivamente as seguintes inflações: 0,2%, 0,5%, 
0,9% e 1,2%, calcule as inflações dos meses maio e junho sabendo que foram iguais. 1,291616% ao mês 
 
10) Que taxa nominal anual com capitalização mensal deve ser anunciada para uma aplicação se se deseja 
uma remuneração real anual de 10% sendo quepara o primeiro semestre do ano há uma previsão de 
inflação de 5% e para o segundo semestre uma previsão de inflação de 2,5%? 16,9986% ao ano com 
capitalização mensal 
 
DESCONTO COMPOSTO RACIONAL, VALOR ATUAL e VALOR NOMINAL (VALOR FUTURO) 
 
O conceito de desconto (D = VN – VA) e os conceitos de VN e VA são os mesmos vistos no regime de 
capitalização simples modificando apenas a formulação. 
FÓRMULAS UTILIZADAS : 
 ni
VF
VA
)1( 

 (Com essa relação é obtido o valor atual do título através da descapitalização do valor 
futuro do título) e com a relação niVAVF )1(  é obtido o valor futuro do título, através da 
capitalização do valor atual do título. Para ambas tem-se que: 
VA é o valor atual do título; VF é o Valor Futuro do título; i é a taxa de desconto e n é o prazo de antecipação 
do pagamento do título. 
 
Exemplo 1: Calcule quanto vale um título de $18.000,00 com vencimento em 6 meses. Considere a taxa de 
desconto composto de 8% ao mês 
a) Hoje; 11.343,05 
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b) Daqui a 15 meses; 35.982,08 
c) Dois meses antes do seu vencimento; 15.432,10 
d) Três meses após seu vencimento. 22.674,82 
Exemplo 2: Uma corretora está oferecendo uma taxa de 3% a.m. na venda dos seguintes papéis de uma de 
suas carteiras: $150.000,00 com vencimento para 3 meses; $200.000,00 com para 6 meses e $300.000,00 
para 9 meses. Calcule o valor que poderia ser pago hoje por estes três títulos segundo a taxa oferecida. 
$534.693,12 
Exemplo 3: Uma pessoa deseja fazer uma aplicação financeira a juros compostos de 3%a.m. de forma que 
possa retirar $45.000,00 no final do oitavo mês e $60.000,00 no final do décimo segundo mês.Qual o menor 
valor da aplicação que permite a retirada desses dois valores nas datas indicadas? $77.606,21 
 
SUBSTITUIÇÃO DE TÍTULOS (EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS) 
 
As fórmulas acima são utilizadas para o cálculo de um conjunto de títulos em uma data específica (anterior 
ou posterior ao vencimento dos mesmos) o que possibilita a substituição dos mesmos por um outro conjunto 
de títulos cujo pagamento seja mais conveniente ao devedor e ao credor. Observe os exemplos: 
Exemplo 4: Uma empresa tem uma dívida com um banco de investimentos que deverá ser paga em dois 
depósitos, sendo o primeiro de $560.000,00 no final do nono mês e o segundo de $800.000,00 no final do 
décimo sexto mês. Sabendo que nestes dois valores já foram computados juros de 2,5%a.m. determine: 
a) o valor que deve ser pago para liquidação imediata da dívida. $ 987.307,83 
b) o valor do único pagamento feito no décimo quarto mês que substitui a dívida. 1.395.040,12 
c) os valores dos dois pagamentos iguais, no final do sexto e do décimo segundo mês que substituem a 
dívida. $ 614.818,40 
 
Exemplo 5: Em 30/03 uma empresa deseja liquidar uma nota promissória de $150.000,00, vencida há doze 
meses, e ainda antecipar o pagamento de outra nota promissória no valor de $350.000,00 que tem 25 meses 
a decorrer até o seu vencimento. Calcule o pagamento a ser feito nesta data, para liquidar as duas notas 
promissórias, levando em consideração uma taxa de juros de 3% a.m. $381.026,08 
 
 Exercícios 
 
1. Um título que vence daqui a doze meses será pago hoje pelo valor de $10.000. Sabendo que a taxa de 
juros compostos utilizada foi de 1%a.m. determine o seu VALOR NOMINAL. R. 11268,25 
2. Um título que vence daqui a seis meses será quitado hoje. Se seu valor nominal corresponde a $10.000 
determine o seu valor atual sabendo que a taxa de juros compostos utilizada no desconto do título foi de 
4%a.m. R. 7903,14 
3. Qual foi o prazo de antecipação no pagamento de um título de $10.000,00 sabendo que a taxa de 
desconto era de 10% a m e que o valor recebido foi de $ 6400,00? R. aprox. 4 meses e 20 dias. 
4. Quanto deve ser pago por um título que vence em três meses sabendo que seu valor nominal é igual a $ 
2.500,00 e a taxa efetiva de desconto composto racional utilizada é de 12% a.a ? R. 2.430,16 
5. Uma pessoa é a beneficiária de dois títulos, um de $1.500,0 para 2 meses e outro de $1.000,00 para 3 
meses. Deseja viajar e quer recebê-los daqui a um mês utilizando a taxa de 4% a m. Quanto receberá? R. 
2.366,86 
6. Uma pessoa deseja substituir um título de $ 1.000,00 com vencimento hoje, por outros três títulos de 
mesmo valor com vencimentos na seguinte seqüência: um para hoje e os outros dois para daqui a um e 
dois meses. Adotando a taxa composta de 6% a m calcule o valor dos títulos. R. 352,93 
7. O pagamento de um cheque pré-datado será antecipado em seis meses. Sabendo que pelo cheque será 
paga a quantia de $5.000 e que o valor escrito no cheque é igual a $8.000 calcule a taxa mensal de 
desconto composto racional utilizada na operação. R. aprox. 8,15% ao mês 
8. Duas notas promissórias que irão vencer em seis e oito meses, a primeira com valor nominal igual a 
$4.000 e a segunda $6.000, serão quitadas através de um único pagamento daqui a um mês. Calcule o 
valor do único pagamento se a taxa de juros compostos utilizada para o desconto será de 3,5% a.m. R. 
8083,84 
9. Um industrial devedor de duas duplicatas que irão vencer em cinco e sete meses, a primeira com valor 
$5.000 e o segundo $8.000, negociou com o banco a quitação da dívida através de três pagamentos 
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iguais daqui a seis, oito e doze meses. Calcule o valor dos pagamentos se a taxa de desconto composto 
racional aplicada será de 2%a.m. R. 4542,82 
10. O beneficiário de duas NP’s que irão vencer em três e quatro meses, a primeira de valor $4.000 e a 
segunda $6.000, resolve que irá descontá-las em um banco daqui a 45 dias. Calcule o valor que receberá 
se a taxa utilizada para o desconto composto racional será de 3,5% a.m. R. 9304,37 
11. Dois títulos de valores $13.000 e $20.000 vencem respectivamente daqui a quatro e sete meses. Se 
desejar quitá-los daqui a oito meses qual é o valor que devo pagar se sei que a taxa de juros para a 
operação é igual a 3% am? R. 35231,61 
12. Para viajar daqui a um ano João vende seu apartamento hoje e seu carro daqui a 8 meses, aplicando o 
dinheiro em um banco que paga uma taxa de juros de 40% a.a. O carro será vendido por $30.000 e o 
apartamento por $250.000, sendo que na viagem ele pretende gastar $300.000. Que saldo deixará 
aplicado após o saque necessário para a viagem? R. 83.560,67 
13. Uma dívida que vale hoje 15.000,00 será substituída por três pagamentos mensais que formam uma 
progressão aritmética cuja razão é o valor do primeiro pagamento. Calcule o valor das prestações 
sabendo que a primeira será paga daqui a um mês e que a taxa de juros compostos é de 5% a.m. R. 
2799,58 
14. Uma empresa contraiu um empréstimo no regime de juros compostos, à taxa de 2,5% ao mês para ser 
liquidado em dois pagamentos. O primeiro pagamento será de 400.000,00 e deverá ocorrer no final do 
sexto mês. O segundo pagamento será de 800.000,00 e deverá ocorrer no final do décimo mês. Este 
empréstimo poderia, entretanto, ser liquidado com um único pagamento de 1.404.677,20. Determine 
em que mês deveria ser efetuado este pagamento, para que a taxa de 2,5% ao mês fosse mantida. R. 
15m 
15. Deseja-se liquidar hoje uma dívida igual representada por dois cheques pré-datados de mesmo valor que 
vencem daqui a doze e dezoito meses. Se a taxa de desconto composto racional utilizada para a 
operação foi de 5% a.m. e o valor da dívida hoje é igual a $4.000 qual é o valor dos cheques? R. 4113,712 
16. Deseja-se liquidar hoje uma dívida representada por dois cheques pré-datados de mesmo valor que 
vencem daqui a quinze e vinte meses. Se a taxa de descontocomposto racional utilizada para a operação 
foi de 2% a.m. e o valor desta dívida daqui a seis meses é $4.000 qual é o valor dos cheques? R. 2.508,42 
17. Dois títulos com vencimentos em 6 e 10 meses serão substituídos por um novo título com vencimento 
em 12 meses. Considerando uma taxa de juros de 6% ao trimestre com capitalização mensal e sabendo 
que a soma dos títulos antigos é igual a $6.000,00 e o primeiro está para o segundo assim como 3 está 
para 5 determine o valor do novo pagamento. R. 6.435,36 
18. Uma empresa tomou emprestada de um banco a quantia de $3.000,00, à taxa de juros compostos de 
4,5% a.m. por 10 meses. No entanto, 15 dias antes do vencimento, a empresa decidiu liquidar a dívida. 
Qual o valor que deve ser pago se nesta data o banco estava operando a taxa de desconto composto 
racional de 6,0% am? R. 4.525,13 
19. Certa loja realiza suas vendas a prazo da seguinte maneira: as compras podem ser financiadas em três 
vezes sendo a primeira dada como entrada e as duas restantes em dois e quatro meses 
respectivamente. Sabendo que cada prestação equivale a 40% do valor à vista determine a taxa anual de 
juros com a qual a loja opera. R. 212,10% ao ano 
 
 
Rendas, Anuidades ou Séries de Pagamentos e de Recebimentos. 
 
Conceito: 
Série de Pagamentos é qualquer seqüência de pagamentos (prestações) realizados com a intenção de se 
quitar uma dívida contraída em uma data anterior às datas dos pagamentos. 
Exemplos: 
a) Compra de um carro através de financiamento em 48 prestações; 
b) Pagamento de um empréstimo de $10.000 em 24 prestações mensais; 
c) Renegociação do saldo devedor do cartão de crédito junto a um banco. 
 
Série de Recebimentos é uma seqüência de depósitos que são efetuados com a intenção de se acumular em 
uma data futura: 
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Exemplos: 
a) Depósitos periódicos em uma caderneta de poupança; 
b) Depósitos realizados para um Título de capitalização; 
c) Depósitos em um Plano de previdência Privada. 
 
Tanto as séries de pagamentos quanto as séries de recebimentos são conhecidas pelas denominações 
Anuidades ou Rendas. 
 
Tipos de Séries de Pagamentos 
 
Aqui utilizaremos os diagramas de fluxo de caixa para visualização das séries. Inicialmente utilizaremos a 
notação utilizada para séries de pagamentos. Posteriormente, verificaremos que os conceitos também serão 
utilizados para as séries de recebimentos. 
Dois conceitos importantes: 
TERMO DA SÉRIE ou TERMO DA RENDA é o valor que é pago como prestação periódica para a quitação de 
uma dívida em uma série de pagamentos e 
PÉRIODO DA SÉRIE é o intervalo de tempo entre os termos da série (se este intervalo de tempo for fixo entre 
os termos) 
Dependendo da disposição dos termos da série em relação ao momento da contratação da dívida as séries 
podem ser classificadas nos seguintes tipos abaixo. Para tanto utilizaremos como exemplo uma dívida que 
deve ser quitada em 4 pagamentos iguais a 100: 
 
1o Tipo: 100 100 100 100 
 0 
 
 1 2 3 4 
 
 
O diagrama de fluxos de caixa acima poderia, por exemplo, representar a compra de um aparelho de tv em 
quatro prestações mensais iguais com a primeira prestação sendo paga um mês após a compra. Esta série 
recebe as seguintes classificações: 
 Finita ou Temporária - pois possui um número finito de termos; 
 Uniforme ou constante - pois o valor de cada termo da série é constante ($100,00); 
 Periódica – pois o intervalo de tempo entre os termos da série é fixo – 1 mês; 
 Imediata - pois o primeiro termo está sendo pago no primeiro período; 
 Postecipada – pois cada termo está sendo pago no fim de cada período. 
 
2o TIPO: 
 100 100 100 100 
 0 
 1 2 3 4 
 
 
O diagrama de fluxos de caixa acima poderia, por exemplo, representar a compra de um aparelho de tv em 
quatro prestações mensais iguais com a primeira prestação sendo paga no ato da compra. Esta série recebe 
as seguintes classificações: 
 
 Finita ou Temporária - pois possui um número finito de termos; 
 Uniforme ou constante - pois o valor de cada termo da série é constante ($100,00); 
 Periódica – pois o intervalo de tempo entre os termos da série é fixo – 1 mês; 
 Imediata - pois o primeiro termo está sendo pago no primeiro período; 
 Antecipada – pois cada termo está sendo pago no início de cada período. 
 
3o TIPO: 
 0 
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 1 2 3 4 5 6 7 
 
 
O diagrama de fluxos de caixa acima poderia, por exemplo, representar a compra de um aparelho de tv em 
quatro prestações mensais iguais com a primeira prestação sendo paga apenas no fim do quarto mês após a 
compra. Esta série recebe as seguintes classificações: 
 
 Finita ou Temporária - pois possui um número finito de termos; 
 Uniforme ou constante - pois o valor de cada termo da série é constante ($100,00); 
 Periódica – pois o intervalo de tempo entre os termos da série é fixo – 1 mês; 
 Diferida em ou Com Carência de quatro períodos (meses) com prestações antecipadas ou ainda Diferida 
em ou Com Carência de três períodos (meses) com prestações postecipadas. 
 
OBSERVAÇÕES 
i) O prazo durante o qual não há pagamento de prestações é chamado de prazo ou período de carência. 
Mais tarde constataremos que, na realidade, o prazo de carência é o intervalo de tempo durante o qual 
não há amortização (redução) da dívida; 
ii) Se uma série é diferida, com certeza, não é imediata, e vice-versa, de tal maneira que um conceito exclui 
o outro. 
iii) As séries diferidas podem ser classificadas tanto com prestações postecipadas quanto antecipadas. 
iv) Os três tipos de séries de pagamentos vistos acima podem ser “encaixados” em qualquer problema que 
envolva conjuntos de séries de pagamentos fixos e periódicos (poderíamos chamá-las de séries mistas e 
aparecerão nos exercícios que se seguirão). Este “encaixe” será exercitado com os problemas resolvidos 
em sala de aula. 
 
Cálculo do Valor atual de uma série de pagamentos 
Seja a resolução do problema sugerido para o primeiro tipo de série, ou seja, a compra de um aparelho de tv 
com quatro prestações mensais imediatas e postecipadas de $100. Consideremos uma taxa de juros de 2% 
ao mês. Utilizando o que conhecemos até então de pagamento de dívidas utilizaríamos o seguinte 
“algebrismo”: 
 
Dividindo o preço à vista da tv em quatro partes (que não são iguais) 
 
VALOR ATUAL DA TV = VA1 + VA2 + VA3 + VA4 (Equação 1) 
 
Cada parte individualmente gerará a prestação correspondente. Assim; 
VA1 . ( 1 + 0,02 ) 
1 = 100 
VA2 . ( 1 + 0,02 ) 
2 = 100 
VA3 . ( 1 + 0,02 ) 
3 = 100 
VA4 . ( 1 + 0,02 ) 
4 = 100 
 
O que implica que: 
 
02,1
100
1 VA 33 02,1
100
VA
 
22 02,1
100
VA
 44 02,1
100
VA
 
 
Dessa maneira a Equação 1 fica: 
 
 
 
432 02,1
100
02,1
100
02,1
100
02,1
100
 TVDA ATUAL VALOR
 
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E, portanto: 
 
VALOR ATUAL DA TV = 380,77 
 
Agora imagine o trabalho que teríamos se em vez de quatro prestações tivéssemos24 prestações ou 36 
prestações (claro que, mantidos o preço à vista da tv e a taxa de juros, o valor das prestações iria diminuir). 
Para evitarmos tal mão de obra, e abrindo mão de deduções matemáticas, apenas enunciaremos aqui as 
fórmulas que relacionam as variáveis que nos interessam em problemas de séries de pagamentos. São elas: 
 
 PV que é o valor presente ou VALOR ATUAL da dívida ou do principal, que é efetivamente o valor da 
dívida na data zero; 
 
 PMT que é o valor de cada pagamento (prestação) periódico; 
 
 n que é o NÚMERO DE PRESTAÇÕES. (não confundir número de prestações com prazo do empréstimo ou 
financiamento); 
 
 i que é o valor da taxa de juros 
 
Assim, para problemas que envolvam séries dos TIPOS 1, 2 e 3 (PAGAMENTOS IMEDIATOS E 
POSTECIPADOS, ANTECIPADOS OU DIFERIDOS) utilizaremos as seguintes relações: 
 
 
 
1)1.(
)1(1
.





m
n
ii
i
PMTPV
 ou 
1
/
)1(
.


m
in
i
a
PMTPV
 (preferível) 
 
Nas quais m É O PERÍODO NO FIM DO QUAL É FEITO O PRIMEIRO 
PAGAMENTO. Essa quantidade m de períodos deve ser medida 
na mesma unidade de tempo da taxa i. 
 
OBS: o fator 
i
i n )1(1
.
 
Que aparece na relação anterior é chamado de fator de atualização do capital e encontra-se calculado nas 
páginas finais de qualquer livro de matemática financeira para alguns valores da taxa i e para alguns valores 
do número de termos n de uma série de pagamentos. Ele é indicado resumidamente pela notação an / i . 
Outra forma de apresentação deste fator é a seguinte: 
 
n
n
in
ii
i
a
)1.(
1)1(
/



 
 
 
EXERCÍCIOS DE SALA – SÉRIES DE PAGAMENTOS 
Para a resolução dos exercícios recomendamos fortemente que o aluno habitue-se a elaborar, antes de 
qualquer coisa, o diagrama de fluxos de caixa representativo da situação descrita no problema. 
1. PAGAMENTOS IMEDIATOS E POSTECIPADOS 
 
1. Um financiamento de $10.000 será pago através de seis prestações mensais sendo a primeira paga um 
mês após a tomada do empréstimo. Qual é o valor das prestações se a taxa utilizada para o negócio foi 
de 2% a.m? RESP. $1.785,26 
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2. A venda a prazo de determinado eletrodoméstico será feita por meio do pagamento de sete prestações 
mensais de $80. Qual é o valor à vista do eletrodoméstico se foi dada uma entrada de $4.000? A taxa 
utilizada para o cálculo das prestações foi de 2% a.m. RESP. $4.517,75 
3. Calcule o valor de cada prestação mensal de um financiamento de $4.000 feito em 24 parcelas, sendo a 
primeira paga daqui a um mês e a taxa nominal anual com capitalização mensal foi de 36%. RESP. 
$236,19 
4. Um automóvel no valor de 21.500,0 é negociado por uma concessionária para ser pago em prestações 
mensais iguais no valor de $988,15. Calcule o número de prestações se a taxa de juros negociada é de 
0,8% ao mês. RESP. 24 prestações 
5. Quantas prestações postecipadas de $1.365,72 são necessárias para quitar um empréstimo de $15.000 
se a taxa da operação é de 2,5%am. ? RESP. 13 prestações 
6. Para um imóvel com preço a vista igual a $150.000 certa imobiliária propõe a seguinte forma de 
pagamento para o comprador: entrada de $40.000 mais 48 prestações mensais postecipadas. Calcule o 
valor das prestações mensais sabendo que taxa negociada foi de 5% ao mês. RESP. $6.085,03 
7. Uma pessoa deve pagar hoje um cheque de $2.000 e outro de $5.000 somente daqui a um ano . Propõe 
a seu credor refinanciamento da dívida total, comprometendo-se a liquidá-la em cinco pagamentos 
trimestrais iguais, vencendo o primeiro em 3 meses. Qual é o valor das prestações trimestrais, se 
considerarmos a taxa efetiva anual de 25%. RESP. $1.414,21 
8. O financiamento de certa quantia pode ser feito em 12 prestações mensais postecipadas de 1.000,0 a 
uma taxa de 2% am.Determine: 
a) O valor financiado. RESP. $10.575,34 
b) Sendo mantida a taxa qual seria o valor das prestações se o mesmo financiamento fosse feito em oito 
prestações mensais iguais e antecipadas? RESP. $1.415,33 
9. Um bem que normalmente é vendido a prazo por dezoito prestações mensais antecipadas de $1500 
pode agora ser pago com uma entrada de 40% do seu preço à vista mais vinte quatro prestações mensais 
postecipadas. Se a taxa para o cálculo das prestações é de 4% a.m. pergunta-se: 
a) Qual é o valor das prestações postecipadas? RESP. $777,15 
b) Se a opção de financiamento é a primeira forma, qual é o saldo devedor logo após o pagamento da 13a 
prestação sabendo-se que todas as anteriores já foram quitadas? RESP. $6.677,73 
10. Uma loja vende um eletrodoméstico em 12 prestações mensais e postecipadas de $120,42 ou em 24 
prestações mensais antecipadas iguais a $Y. Sabendo que a taxa será de 4% ao mês, determine o valor de 
Y. RESP. $71,27 
 
11 Determinado imóvel será comprado pagando-se oito prestações mensais de $23.000 sendo a primeira 
paga quatro meses após a venda. Se a taxa utilizada para fechar o negócio foi de 1% ao mês qual é o 
preço à vista do imóvel? RESP. $170.812,79 
12 Determinado imóvel será comprado nas seguintes condições: entrada de 30% do preço à vista mais 
doze prestações mensais de $15.000 sendo a primeira paga quatro meses após a venda. Se a taxa 
utilizada para fechar o negócio foi de 1% ao mês qual será o valor da entrada? RESP. $70.226,15 
13 A venda a prazo de determinado eletrodoméstico será feita por meio do pagamento de sete prestações 
mensais, as quatro primeiras de $80 e as restantes de $60. Qual é o valor à vista do eletrodoméstico se 
as prestações só começaram a ser pagas cinco meses após a compra? A taxa utilizada para o cálculo das 
prestações foi de 2% a.m. RESP. $429,10 
14 Um financiamento cujo principal é $10.000,00 deve ser liquidado por meio de 12 prestações mensais 
imediatas e postecipadas. As seis primeiras prestações são iguais a $1.000,00 e as seis últimas também 
devem ter valores iguais. Determine o valor dessas últimas seis prestações para que a taxa efetiva de 
juros desse financiamento seja igual a 1,2% ao mês, no regime de juros compostos. RESP. $792,07 
 
2. PAGAMENTO COMPLEMENTAR 
15 Um eletrodoméstico cujo preço à vista é igual a $700 é vendido a prazo em 8 pagamentos mensais 
iguais antecipados de $80,00 e um pagamento complementar feito um mês após a última prestação. 
Sabendo que a loja opera com uma taxa de juros de 1,5% a.m., calcule o valor do pagamento 
complementar. RESP. $103,80 
16 Para um imóvel cujo valor a vista é de $150.000,00 certa imobiliária propõe a seguinte forma de 
pagamento: entrada de $40.000, 48 prestações mensais de $2.500,00 e um pagamento complementar 
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feito um ano após o fim das prestações mensais. Calcule o valor do pagamento complementar sabendo-
se que taxa negociada foi de 5% ao mês. RESP. $1.210.543,97 
 
3. PRESTAÇÕES ADICIONAIS OU INTERMEDIÁRIAS 
17 O financiamento de um imóvel é feito nas seguintes condições: 24 prestações mensais imediatas e 
postecipadas de $400 mais 4 prestações semestrais adicionais de $2.500 com a primeira semestral 
sendo paga a partir do fim do sexto mês. Qual é o preço à vista deste imóvel se a taxa do financiamento 
é de 1% ao mês. RESP. $17.130,05 
18. Certa pessoa obteve um empréstimo de $ 100.000,00, à taxa de juros compostos de 2 % ao mês para ser 
pago da seguinte maneira: 24 prestações mensais de $3.000,00 e quatro parcelas intermediárias semestrais 
vencendo nos meses6, 12 ,18 e 24. Determine o valor das parcelas semestrais RESP. $14.427,36 
 
OUTROS TIPOS DE SÉRIES DE PAGAMENTOS 
4º TIPO: SÉRIES VARIÁVEIS 
Neste tipo de série tanto o período entre os termos quanto os valores dos próprios termos não são 
constantes. Diante de tais situações recorreremos sempre aos conceitos de desconto racional composto já 
vistos. 
 
Exemplo: Calcule o valor atual PV da série abaixo: 
 
 
4947,13
015,1
400
015,1
2300
015,1
1500
015,1
1000
7431
TVA
 
 
Séries de Recebimentos 
 
1º TIPO: Série de Depósitos Postecipados 
A característica básica dessa série de depósitos é que o montante acumulado FV é obtido na data do último 
depósito. Visualmente: 
i
i
PMTFV
n 1)1(
 .


 
2º TIPO: Série de Depósitos Antecipados 
A característica básica dessa série de depósitos é que o montante acumulado FV é obtido UM PERÍODO APÓS 
a data do último depósito. Visualmente: 
FV 
 
PV 
1 2 3 4 5 6 7 8 
1000 
 1500 2300 
400 
meses 
i = 1,5% a.m. 
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)1(
1)1(
 . i
i
i
PMTFV
n



 
 
nas relações acima PMT é o valor de cada depósito realizado e FV é o valor acumulado de n depósitos 
remunerados à taxa i de juros compostos. 
 
EXERCÍCIOS – SÉRIES DE RECEBIMENTOS 
 
19. Desejo realizar depósitos bimestrais postecipados para que ao fim de um ano e meio possua $15.000. 
Qual é o valor dos depósitos se a taxa que remunera a poupança é de 1% a.b.? RESP. $1.601,11 
20. Um cidadão resolve efetuar seis depósitos trimestrais de $10.000,00 em um banco que remunera seus 
depósitos com a taxa de juros compostos de 6% ao trimestre, com o primeiro depósito sendo efetuado 
daqui a três meses. Determine o saldo acumulado imediatamente após o último depósito. RESP. 
$69.753,19 
21. Quantos depósitos postecipadas de $869,84 são necessários para acumular um montante de $12.000 se 
a taxa que remunera os mesmos é de 2,5%am. ? RESP. 12 DEPÓSITOS 
22. Deseja-se acumular a quantia de $200.000 em dois anos através de depósitos mensais iguais no fim de 
cada um dos quatro últimos meses de cada ano. Se a taxa efetiva mensal é de 2,5% calcule o valor dos 
depósitos. RESP. $20.539,81 
23. Durante os meses de junho, julho, agosto e setembro de 2005, no fim de cada mês, serão feitos 
depósitos de mesmo valor com o intuito de se acumular no fim de dezembro do mesmo ano a quantia de 
$12.000. Qual é o valor dos depósitos se a taxa utilizada para sua remuneração será de 1,5% a.m.? RESP. 
$2.805,20 
24. Possuo hoje na minha caderneta de poupança o valor de $6.000. Pretendo viajar daqui a 24 meses para a 
ALEMANHA. Nesta viagem gastarei $30.000. Quanto deverei depositar no fim de cada um dos próximos 18 
meses para que NA DATA DA VIAGEM tenha exatamente esse valor disponível em minha caderneta se sei 
que a mesma é remunerada à taxa fixa de 1,5% a.m.? RESP. $956,21 
25. A partir de hoje realizarei 16 depósitos iguais mensais a $2.500 em um banco que me retornará uma 
taxa de juros efetiva anual igual a 26,8242%. Oito meses após o último depósito começarei a fazer 
saques bimestrais num total de seis. Quanto deverei sacar bimestralmente para que o saldo da conta 
esteja zerado após o último saque? RESP. $10.224,16 
26. 8. Para construir uma casa durante os seis primeiros meses de 2007 planejo fazer retiradas mensais de 
minha poupança no fim de cada um daqueles meses no valor individual de $15.000. Para poder pagar 
tais despesas desejo realizar depósitos entre fevereiro de 2006 e dezembro de 2006, todo fim de mês. Se 
a taxa de remuneração estará fixada em 1,5% a.m. quanto devo depositar para poder realizar as 
retiradas desejadas? RESP. $7.203,56 
 
 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
 
Amortização é o processo financeiro pelo qual uma dívida ou obrigação é quitada progressivamente por 
meio do pagamento de prestações de modo que ao término do prazo estipulado o débito original esteja 
totalmente liquidado. Essas prestações são a soma de, no mínimo, duas parcelas: a parcela de amortização 
que é a devolução do valor emprestado e os juros que remuneram, recompensam esse valor emprestado, ou 
seja: 
PRESTAÇÃO = PARCELA DE AMORTIZAÇÃO + PARCELA DEJUROS 
Conceitos importantes: 
a) Prazo de carência: corresponde ao período compreendido entre a data da concessão do empréstimo até 
a data em que será paga a primeira prestação. Durante o prazo de carência não há amortização do saldo 
devedor, portanto, o tomador do empréstimo só paga os juros. É possível também que as partes 
FV 
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concordem em que os juros devidos no prazo de carência sejam capitalizados e pagos posteriormente. 
Neste caso, não haverá desembolso de juros durante a carência. 
b) Planilha: é um quadro, padronizado ou não, onde são colocados os valores referentes ao empréstimo, ou 
seja, cronograma dos valores de recebimento e de pagamentos. 
c) Prazo total do financiamento: é a soma do prazo de carência com o prazo de amortização. 
d) Saldo devedor é o estado da dívida, ou seja, do débito, em um determinado instante de tempo. 
Princípios que devem ser observados para a elaboração de uma planilha de qualquer sistema de 
amortização: 
i. Somente a parcela de amortização é utilizada para reduzir o saldo devedor da dívida; 
ii. A parcela de juros embutida em uma prestação será sempre o resultado da multiplicação da taxa de juros 
contratada pelo saldo devedor do período imediatamente anterior. 
Os principais sistemas de amortização são os seguintes: 
a) Sistema Francês ou Price 
A característica principal desse sistema é que as prestações são fixas. A dívida fica completamente saldada 
com o pagamento da última prestação. A tabela Price é um caso particular do Sistema francês na qual a taxa 
de juros é dada na forma nominal e as prestações têm período menor que aquele a que se refere a taxa de 
juros, geralmente é uma taxa nominal anual com capitalização mensal. 
Exemplo 1: Um empréstimo de $200.000 será pago pelo sistema Francês em quatro prestações mensais 
postecipadas. Construa a planilha de amortização se os juros efetivos são de 10%a.m. 
N 
Saldo 
Devedor Amortização Juros Prestação 
0 200.000,00 
1 156.905,84 43.094,16 20.000,00 63.094,16 
2 109.502,26 47.403,58 15.690,58 63.094,16 
3 57.358,33 52.143,93 10.950,23 63.094,16 
4 0,00 57.358,33 5.735,83 63.094,16 
total 
 
200.000 52.376,64 252.376,64 
 
Exemplo 2: O mesmo exemplo acima considerando uma carência de 3 meses (Postecipada) durante a qual os 
juros serão pagos. Construa a planilha. 
N 
Saldo 
Devedor Amortização Juros Prestação 
0 200.000,00 
1 200.000,00 20.000,00 20.000,00 
2 200.000,00 20.000,00 20.000,00 
3 200.000,00 20.000,00 20.000,00 
4 156.905,84 43.094,16 20.000,00 63.094,16 
5 109.502,26 47.403,58 15.690,58 63.094,16 
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7 57.358,33 52.143,93 10.950,23 63.094,16 
8 0,00 57.358,33 5.735,83 63.094,16 
total 200.000,00 112.376,64 312.376,64 
 
 
Exemplo 3: Considere o exemplo acima com uma carência (postecipada) de 3 meses durante a qual os juros 
serão capitalizados e incorporados ao principal. Construa a planilha. 
N 
SaldoDevedor Amortização Juros Prestação 
0 200.000,00 
1 220.000,00 
2 242.000,00 
3 266.200,00 
4 208.841,67 57.358,33 26.620,00 83.978,33 
5 145.747,51 63.094,16 20.884,17 83.978,33 
7 76.343,93 69.403,58 14.574,75 83.978,33 
8 0,00 76.343,93 7.634,39 83.978,33 
total 266.200,00 69.713,31 335.913,31 
 
Exemplo 4: Um empréstimo de $200.000 será pago em três prestações mensais iguais consecutivas. 
Considerando uma taxa de juros nominal de 180% a.a. com capitalização mensal, construa a tabela de 
amortização. Qual foi o total de juros pagos? 
Exercícios 
 
1)Um financiamento de $100.000 será pago pela tabela Price em oito parcelas mensais com juros nominais de 
72%a.a com capitalização mensal. Calcular os juros embutidos na 6a prestação. 
 
2)Um financiamento de $10.000,00 será pago pela Tabela Price em cinco parcelas mensais a juros nominais de 
120% a.a. capitalizados mensalmente. Pede-se calcular: a) a amortização do 4o mês; b) a soma dos juros pagos 
no 2o e 3o meses; c) o saldo devedor logo após o pagamento da 3a prestação. 
 
b) Sistemas de amortização constante (SAC): 
 
Neste sistema AS PARCELAS DE AMORTIZAÇÃO são iguais entre si. Os juros são calculados, a cada período, 
multiplicando-se a taxa de juros contratada (na forma unitária) pelo saldo devedor existente no período 
anterior. Neste sistema, as prestações são continuamente decrescentes e os juros decrescem segundo uma 
progressão aritmética. 
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Exemplo 1: Elabore a planilha de amortização para o seguinte financiamento: Valor:$200.000,00 ;reembolso 
em quatro meses pelo SAC e taxa de juros de 10% a.m. 
N Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 200000 
1 150000 50000 20000 70000 
2 100000 50000 15000 65000 
3 50000 50000 10000 60000 
4 0 50000 5000 55000 
total 0 200000 50000 250000 
 
Exemplo 2: Um empréstimo de $200.000,00 contratado a juros efetivos de 10%a.m. será pago em quatro 
prestações mensais ANTECIPADAS com carência de três meses pelo SAC. Construa a planilha. 
(considere que durante a carência haverá pagamento de juros) 
 
N 
Saldo 
devedor Amortização Juros Prestação 
0 200000 
1 200000 20000 20000 
2 200000 20000 20000 
3 150000 50000 20000 70000 
4 100000 50000 15000 65000 
5 50000 50000 10000 60000 
6 0 50000 5000 55000 
total 0 200000 90000 290000 
 
Exemplo 3: Um financiamento de $500.00,00 será pago pelo SAC em cinco parcelas mensais a juros efetivos 
de 4% a.m. Pede-se calcular: a) a amortização do 4o mês; b) a soma dos juros no 2o e 3o meses; c) o 
saldo devedor logo após o pagamento da 3a prestação. 
 
Exemplo 4: Uma empresa contratou a juros efetivos de 5%a.m. um financiamento de $600.000,00 que será 
amortizado por meio de seis prestações mensais postecipadas. Pede-se calcular a soma dos valores das 
prestações dos três primeiros meses. desembolso a ser efetuado para amortizar o principal. Tal fundo é 
conhecido por “sinking fund” na literatura americana e, na brasileira, por “fundo de amortização”. 
 
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c) Sistema de amortizações Variáveis (SAV): 
 As parcelas de amortização são contratadas pelas partes e os juros são calculados sobre o saldo 
devedor. 
d) Sistema Americano e Sinking fund: 
A característica desse sistema é o fato do saldo devedor original somente ser amortizado uma única vez no 
fim do prazo contratado para liquidação do empréstimo. 
O chamado sinking fund, que muitas vezes é confundido com o “sistema americano”, é um fundo de 
amortização constituído pelo mutuário para pagar o principal devido, quando o cálculo é feito pelo sistema 
americano. Com tal providência o mutuário procura evitar o problema de liquidez que surgiria devido a um 
grande desembolso de uma só vez. Este fundo é formado aplicando-se recursos de tal modo que, na data de 
pagamento do principal, o valor do fundo de amortização seja igual ao desembolso a ser efetuado. 
Admitindo que o fundo resulte da aplicação de parcelas iguais, periódicas, postecipadas e sem carência a 
partir do recebimento do empréstimo, resta o problema da taxa de juros. 
Teoricamente, a taxa de juros de aplicação pode ser: 
a) maior que a taxa de empréstimo; 
b) igual à taxa de empréstimo; 
c) menor que a taxa de empréstimo. 
Via de regra, nas operações financeiras normais, tem-se o caso c, ou seja, a taxa de juros de aplicação é 
menor que a taxa de juros que foi cobrada pelo empréstimo recebido. 
Admitindo-se esta hipótese, sendo i a taxa de juros de aplicação com n períodos, um montante (igual ao 
principal) e sendo PMT o depósito por período, tem-se: 
FV = PMT. sn i% 
Isto porque os depósitos PMT formam uma anuidade postecipada, constante, de n termos, segundo o 
modelo básico, da qual se quer calcular o montante. 
Exemplo 1. Elabore a planilha de amortização de um empréstimo de R$800.000,00 quitado em 8 anos, à taxa 
de juros efetiva de 15% aa, através do Sistema Americano com juros pagos. Elabore a planilha de um fundo 
de amortização (poupança) remunerado á taxa de 8% a.a. para quitação desse empréstimo após os oito 
anos. 
Planilha do Financiamento 
N Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 R$ 800.000,00 
1 R$ 800.000,00 R$ 120.000,00 R$ 120.000,00 
2 R$ 800.000,00 R$ 120.000,00 R$ 120.000,00 
3 R$ 800.000,00 R$ 120.000,00 R$ 120.000,00 
4 R$ 800.000,00 R$ 120.000,00 R$ 120.000,00 
5 R$ 800.000,00 R$ 120.000,00 R$ 120.000,00 
6 R$ 800.000,00 R$ 120.000,00 R$ 120.000,00 
7 R$ 800.000,00 R$ 120.000,00 R$ 120.000,00 
8 R$ 800.000,00 R$ 120.000,00 R$ 920.000,00 
Total R$ 800.000,00 R$ 960.000,00 R$ 1.760.000,00 
 
Planilha da Poupança ou fundo de amortização (Sinking Fund) 
N Depósito Juros Saldo 
1 69.955,21 69.955,21 
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e) Sistema de Amortização Crescente ou Misto - SACRE 
Este sistema de amortização é utilizado somente pela Caixa Econômica Federal. Na elaboração das planilhas 
de amortização por este sistema, as prestações são obtidas calculando-se a média aritmética entre as 
prestações obtidas pelo SAC e pelo Francês (SFA) para o mesmo financiamento. Os valores das prestações 
são decrescentes e obedecem a uma progressão aritmética de razão negativa. 
Exemplo: Um banco empresta R$600.000,00 a um cliente cobrando a taxa de 10% aa. A devolução do 
principal será em 10 prestações obtidas pelo SACRE. Elabore a planilha de amortização. 
N Pt SAC PT SFA PT SACRE JURO SACRE AMORT S. DEVEDOR 
0 
 
 R$ 600.000,00 
1 R$ 120.000,00 R$ 97.647,24 R$ 108.823,62 R$ 60.000,00 R$ 48.823,62 R$ 551.176,38 
2 R$ 114.000,00 R$ 97.647,24 R$ 105.823,62 R$ 55.117,64 R$ 50.705,98 R$ 500.470,40 
3 R$ 108.000,00 R$ 97.647,24 R$ 102.823,62 R$ 50.047,04 R$ 52.776,58 R$ 447.693,82 
4 R$ 102.000,00 R$ 97.647,24 R$ 99.823,62 R$ 44.769,38 R$ 55.054,24 R$ 392.639,59 
5 R$ 96.000,00 R$ 97.647,24 R$ 96.823,62 R$ 39.263,96 R$ 57.559,66