Derivadas - técnicas de Cálculo

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CLCULO DE REASE DEVIVADAS 11
2. Calcule as derivadas das func¸o˜es abaixo:
(i) f(x) = 18x
8 − x4, R : x7 − 4x3; (ii) g(x) = x
3 − 6
x3 + 8
, R :
48x2
(x3 + 8)2
;
(iii) h(s) =
√
3[s3 − s2] R : 3√3s2 − 2√3s;
(iv) γ(x) = (2x4 − 1)(5x3 + 6x), R : 70x6 + 60x4 − 15x2 − 6;
(v) h(x) =
2x+ 1
x+ 5
(3x− 1), R : 6(x
2 + 10x+ 1)
(x+ 5)2
; (vi) f(x) =
x2 − 3x
x− 1 ,
(vii) g(x) = 3
√
x2(x2 − 1), (viii) h(x) = (4x2 + 3)2.
3. Em cada item abaixo encontre f ′(x).
(i) f(x) = −10x+ 3 cosx, (ii ) f(x) = 3
x
+ sinx, (iii) f(x) = − 1
x2
+ x2 cotx;
(iv) f(x) = (secx+ tanx)(secx− tanx), (v) f(x) = (sinx+ cosx) secx,
(vi ) f(x) =
cotx
1 + tanx
, (vii ) f(x) =
cosx
1 + sinx
.
4. a: Ache a reta tangente ao gra´fico de f(x) = 2x3 + 4x2− 4x− 3 nos pontos P = (0,−3), Q = (1,−1),
S = (2, f(2)). Em cada item anterior determine a reta normal ao G(f), nos pontos indicados.
b: Encontre a reta tangente a` curva y =
8
x2 + 3
, no ponto (1,2).
5. Use o teste da primeira derivada para estudar a continuidade e o crescimento das func¸o˜es f , g abaixo.
(i) f(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1; (ii) f(x) = −x4 + 4x3 + 8x2; (iii) f(x) = x
2
x2 + 1
;
(iv) g(x) =
(x2 − 1)
x+ 1
; (v) g(x) = x+ cos(x);x ∈ [0, 2pi]
(vi) g(x) = tg x; (vii) g(x) =
√
x2 + 1.
Em uma operac¸a˜o de manufatura o custo da produc¸a˜o C e´ uma func¸a˜o do nu´mero de unidades produzidas
x, portanto C = C(x). O custo marginal da produc¸a˜o e´ a TAXA DE VARIAC¸A˜O do custo em relac¸a˜o
ao n´ıvel de produc¸a˜o .
Suponha que C(x) represente o custo (em alguma unidade de moeda) semanal da produc¸a˜o de x toneladas
de ac¸o. Produzir x + h toneladas por semana custa mais; a diferenc¸a de custo, dividida pela acrescimo na
quantidade de unidades produzidas aqui reprsentada por h, e´ o custo me´dio para produzir cada tonelada
adicional e´ dado por
C(x+ h)− C(x)
h
=
custo me´dio de cada uma das
h toneladas de ac¸o adicionais produzidas. (0.9)
O limite desta raza˜o 0.10 quando h→ 0 e´ o custo marginal para produzir mais ac¸o por semana quando a
produc¸a˜o semanal de ac¸o e´ de x toneladas. Na linguagem Matema´tica representamos este limite por
lim
h→0
C(x+ h)− C(x)
h
= C ′(x) = custo marginal de produc¸a˜o. (0.10)
Como exemplo, suponha que o custo seja C(x) = x3 − 6x2 + 15x do´lares para produzir x unidades de
aquecedores quando forem produzidos de 8 ate´ 30 unidades por dia e que r(x) = x3 − 2x2 + 12x represente
o rendimento da venda de x unidades. A venda dia´ria e´ x0 = 10 unidades. Qual sera´ o custo adicional
aproximado para produzir um aquecedor a mais por dia e qual o aumento estimado do rendimento na venda
de x0 + 1 = 11 aquecedor por dia ?.
Resoluc¸a˜o O custo para produzir uma unidade a mais, quando sa˜o produzidas 10 unidades por dia e´
aproximadamente C ′(10) :
C ′(x) = 3x2 − 12x+ 15 enta˜o C ′(10) = 3(10)2 − 12(10) + 15 = 195.
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12 SANTOS, J. S.
O custo adicional sera´ de aproximadamente 195 do´lares. Analogamente ao que foi feito para o custo em
(0.9) e (0.10) podemos fazer para a func¸a˜o rendimento e enta˜o rendimento marginal sera´ dado por
r′(x) = 3x2 − 6x+ 12 enta˜o r′(10) = 3(10)2 − 6(10) + 12 = 252.
Se voce atualmente vende 10 unidades por dia, voce pode esperar que seu rendimento aumente aproximada-
mente 252 do´lares se a venda aumentar de 10 para 11 unidades por dia.
• Suponha agora que o custo em unidades de moeda para produzir x ma´quinas de lavar seja C(x), e que o
rendimento da venda de x ma´quinas de lavar seja r(x) onde
C(x) = 2000 + 100x− 1
10
x2 e r(x) = 20000
(
1− 1
x
)
? Determine o custo ma´dio por ma´quina prodizida durante a produc¸a˜o das 100 primeiras ma´quinas.
? Calcule o custo marginal para a produc¸a˜o de 100 ma´quinas de lavar.
? Mostre que, para a produc¸a˜o de 100 ma´quinas de lavar o custo marginal e´ aproximadamente o custo
para a produc¸a˜o de uma ma´quina de lavar a mais (depois que as 100 primeiras unidades foram produzudas),
calculando diretamente o u´ltimo custo citado.
? Determine o rendimento marginal para aproduc¸a˜o de 100 ma´quinas de lavar.‘R: U$ 2.
? Use a func¸a˜o r′ para estimar o aumento resultante no rendimento, se a venda aumentar de 100 para 101
ma´quinas de lavarU$ 2.
? Calcule o limite de r(x) quando x→∞. Como voce interpreta este limite U$ 0?
6. (Leithold vol I, Exc 2.5 p 73 / resp. A 65) Encontre o valor do limite e conforme o caso indique os
teoremas usados.
(i) lim
x→2
(x2 + 2x− 1) (ii) lim
x→2
x2 − 5
2x3 + 6
(iii) lim
y→−2
y3 + 8
y + 2
(vi) lim
x→−3
x2 + 5x+ 6
x2 − x− 12
(v) lim
r→1
√
8r + 1
r + 3
(vi) lim
y→−3
√
y2 − 9
2y2 + 7y + 3
(vii) lim
x→0
√
x+ 2−√2
x
(Racionalize o numerador) (viii)
lim
h→0
√
h+ 1− 1
h
(ix) lim
x→3
2x3 − 5x2 − 2x− 3
4x3 − 13x2 + 4x− 3
Respostas ( 7, − 122 , 12, 17 , 32 , 15
√
30, 14
√
2, 13 ,
11
17 ).
7. Suponha que lim
x→0
f(x) = 1, lim
x→0
g(x) = −5, lim
x→1
h(x) = 5, lim
x→1
p(x) = 1 e lim
x→1
r(x) = −2. Especifique
as regras (Teoremas) que esta˜o sendo utilizadas para efetuar os ca´lculos do seguinte limete:
(i) lim
x→0
2f(x)− g(x)
[f(x) + 7]
2
3
=
7
4
(ii) lim
x→1
√
5h(x)
p(x)[4− r(x)] =
5
2
(iii) lim
x→0
f(x)g(x) = −5
(iv) lim
x→0
f(x)
[f(x)− g(x)] 23 (v) limx→0x
2f(x)− g(x)
[f(x) + 7]
2
3
(vi) lim
x→1
(x2 − 1)
√
5h(x)
p(x)[4− r(x)] = 0
(vii) lim
h→0
√
h+ 3−√3
h
(viii) lim
t→0
2−√4− t
t
(ix) lim
h→ 32
√
8t3 − 27
4t2 − 9
8. Em cada item abaixo calcule lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a ; a ∈ R, a 6= 0.
(i) f(x) = 3
√
x, R.
1
3 3
√
a2
; (ii) f(x) = 4
√
x, R.
1
4 4
√
a3
; (iii) f(x) = 5
√
x, R.
1
5 5
√
a4
; (iv) f(x) = x−2,
R. −2a−3; (v) f(x) = x−3, R. −3a−4; (vi) f(x) = |x− 5|, tome a = 5, a = 2 e a = 6.
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