lista exercícios calculo B

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Cálculo B
Lista de Exercícios 0
2° semestre de 2017 – Prof. Claudio H. Asano
1 Derivadas
1.1 A derivada de uma função f(x) no ponto a é o número f ′(a) = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
.
Dadas as funções f(x) a seguir, calcule f ′(a).
(a) f(x) = 4
Resp: f ′(a) = 0
(b) f(x) = 5x+ 3
Resp: f ′(a) = 5
(c) f(x) = −4x+ 2
Resp: f ′(a) = −4
(d) f(x) = x2
Resp: f ′(a) = 2a
(e) f(x) = 3x2
Resp: f ′(a) = 6a
(f) f(x) = x3
Resp: f ′(a) = 3a2
(g) f(x) = x4
Resp: f ′(a) = 4a3
(h) f(x) = x2 + 3x− 4
Resp: f ′(a) = 2a+ 3
(i) f(x) =
1
x
Resp: f ′(a) = − 1
a2
(j) f(x) =
1
x+ 1
Resp: f ′(a) =
− 1
(a+ 1)2
(k) f(x) =
√
x
Resp: f ′(a) =
1
2
√
a
1.2 A função derivada de f(x) é o limite f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
.
Dadas as funções f(x) a seguir, calcule a função f ′(x).
(a) f(x) = c (constante)
Resp: f ′(x) = 0
(b) f(x) = mx+ c
Resp: f ′(x) = m
(c) f(x) = ax2 + bx+ c
Resp: f ′(x) = 2ax+b
(d) f(x) = (x+ 4)2
Resp: f ′(x) = 2x+ 8
(e) f(x) =
1
2x
Resp: f ′(x) = − 1
2x2
(f) f(x) =
1
3x+ 1
Resp: f ′(x) =
− 3
(3x+ 1)2
(g) f(x) =
√
3x
Resp: f ′(x) =
3
2
√
3x
1.3 A inclinação de uma reta y = mx + c é o número m. A derivada de uma função f(x)
no ponto a é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)).
Dadas as funções f(x) a seguir, encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f no
ponto (a, f(a)). Esboce os gráficos de f e da reta tangente.
(a) f(x) = 2x2 + 3 em (1, 5).
Resp: f ′(1) = 4 e a reta tangente é y = 4x+ 1.
(b) f(x) =
1
x
em (1, 1).
Resp: f ′(1) = −1 e a reta tangente é y = −x+ 2.
1.4 A derivada de uma função f(x) no ponto a é a taxa de variação instantânea de f em
relação a x no ponto a. Se f(x) representar o deslocamento de uma partícula em dado
instante x, então f ′(x) é a velocidade da partícula no instante x.
Suponha que o deslocamento de uma partícula é dado pela função f(x) = −10x2+40x+1.
Encontre a velocidade da partícula em x = 1. Em qual instante a velocidade da partícula
é zero?
Resp: A velocidade da partícula em x = 1 é f ′(1) = 20. A velocidade da partícula é zero
quando x = 2.
1.5 A população de bactérias em um meio de cultura para um dado instante x é dado por
f(x) = x3 + 2x. Encontre a taxa de crescimento desta população para x = 2.
Resp: A taxa de crescimento da população em x = 2 é f ′(2) = 14.
1.6 O retorno de um investimento para um dado capital inicial x > 0 é dado por f(x) =
−2x2 + 40x− 10. Para quais valores de x o retorno é crescente? A partir de qual valor
x o retorno é descrescente?
Resp: O retorno é crescente se f ′(x) > 0, ou seja, para 0 < x < 10. O retorno é
decrescente a partir de x = 10.
1.7 Determine a equação da reta tangente ao gráfico de y = 3
√
x no ponto (1, 1).
Resp: y = 13x+
2
3
2 Regras de Derivação
2.1 (Regra da derivada da soma)
Se f e g forem duas funções deriváveis então (f + g)′ = f ′ + g′.
Calcule as derivadas das funções abaixo:
(a) y = 5x3 − 3x2
Resp: y′ = 15x2 − 6x
(b) y = x2 + 3x+
√
x
Resp: y′ = 2x+ 3 +
1
2
√
x
(c) y = 3x2 + 3
√
x
Resp: y′ = 6x+
1
3
3
√
x2
(d) y = x
1
4 + x−3
Resp: y′ =
1
4
x−
3
4 − 3x−4
2.2 (Regra da derivada do produto)
Se f e g forem duas funções deriváveis então (fg)′ = f ′g + fg′.
Calcule as derivadas das funções abaixo:
(a) y = (3x+ 2)(5x− 1)
Resp: y′ = 3(5x − 1) + (3x + 2)5 =
30x+ 7
(b) y = (x2 + 1)(x3 − 3x)
Resp: y′ = 2x(x3 − 3x) + (x2 +
1)(3x2 − 3)
(c) y =
√
x(x2 + x− 1)
Resp: y′ =
1
2
√
x
(x2+x−1)+√x(2x+
1)
(d) y = x−2(2x+ 3)
Resp: y′ = −2x−3(2x+ 3) + x−22
2.3 (Regra da derivada do quociente)
Se f e g forem duas funções deriváveis e g 6= 0 então
(
f
g
)′
=
f ′g − fg′
g2
.
(a) y =
1
2x+ 3
Resp: y′ =
−2
(2x+ 3)2
(b) y =
2
3x2 + x
Resp: y′ =
−12x− 2
(3x2 + x)2
(c) y =
2x+ 1
3x− 2
Resp: y′ =
−7
(3x− 2)2
(d) y =
x2 + 1
x3 + 3x
Resp: y′ =
−x4 − 3
(x3 + 3x)2
2.4 (Regra da derivada da função composta)
Se f e g forem duas funções deriváveis e h(x) = f(g(x)) então h′(x) = f ′(g(x))g′(x).
(a) y = (3x+ 1)2
Resp: y′ = 2(3x+ 1)3 = 18x+ 6
(b) y = (2x− 1)3
Resp: y′ = 3(2x− 1)22 = 6(2x− 1)2
(c) y =
√
3x+ 1
Resp: y′ =
3
2
√
3x+ 1
(d) y =
(2x− 1)3
(4x− 3)2
Resp:
y′ =
6(2x− 1)2(4x− 3)2 − 8(2x− 1)3(4x− 3)
(4x− 3)4
2.5 O faturamento F (em milhares de reais) de um supermercado e o número de horas
t de seu funcionamento diário estão relacionados pela expressão F = 20
(
1− 100
100+t2
)
,
0 ≤ t ≤ 24. Encontre a derivada F ′(10) e interprete o resultado.
Resp: F ′(t) = 4000t
(100+t2)2
e F ′(10) = 1
2.6 Calcule as derivadas das funções abaixo:
(a) y = ex
Resp: y′ = ex
(b) y = e2x
Resp: y′ = 2e2x
(c) y = xex
Resp: y′ = ex + xex
(d) y = ln x
Resp: y′ =
1
x
(e) y = ln(3x)
Resp: y′ =
1
x
(f) y = ex ln x
Resp: y′ = ex lnx+ e
x
x
(g) y = ln(x2)
Resp: y′ = 2
x
(h) y = 2x
Resp: y′ = 2x(ln 2)
2.7 Calcule as derivadas das funções abaixo:
(a) y = sen x+ 2 cos x
Resp: y′ = cosx− 2 senx
(b) y = sen(2x)
Resp: y′ = 2 cos(2x)
(c) y = sen(x2)
Resp: y′ = 2x cos(x2)
(d) y = sen2 x
Resp: y′ = 2 senx cosx = sen(2x)
(e) y = sen x cos(2x)
Resp: y′ = cosx cos(2x) −
2 senx sen(2x)
(f) y = senx
cosx
Resp: y′ = 1
cos2 x
= sec2 x
(g) y = tan2 x
Resp: y′ = 2 tanx
cos2 x
= tanx sec2 x
(h) y = sec x
Resp: y′ = senx
cos2 x
= tanx secx
2.8 Calcule as derivadas das funções abaixo:
(a) y = ex sen x
Resp: y′ = ex(senx+ cosx)
(b) y = ln x sen x
Resp: y′ = senx
x
+ lnx cosx
(c) y = cos(ln(x))
Resp: y′ = − sen(lnx)
x
(d) y = sen(
√
x)
Resp: y′ = cos(
√
x)
2
√
x
(e) y = ln(sen x)
Resp: y′ = cosxsenx = cotanx
(f) y = sen(ln x)
Resp: y′ = cos(lnx)
x
(g) y = e2x tan x
Resp: y′ = e2x(2 tanx+ sec2 x)
(h) y = sen(ln(
√
x))
Resp: y′ = cos(ln
√
x)
2x
2.9 Calcule a derivada das funções abaixo.
(a) y = 3x5 − 5x+√x+ e2 −√e
Resp: y′ = 15x− 5 + 1
2
√
x
(b) y = (2x4 + 5)7
Resp: y′ = 56x3(2x4 + 5)6
(c) y =
1
3x2 + 6
Resp: y′ = −6x
(3x2+6)2
(d) y =
√
4x2 + 6x
Resp: y′ = 4x+3√
4x2+6x
(e) y = ln(x)
√
x
Resp: y′ =
√
x
x
+ lnx
2
√
x
(f) y = ln(
√
x)
Resp: y′ = 12x
(g) y =
√
sen x
Resp: y′ = cosx
2
√
senx
(h) y =
√
x sen x
Resp: y′ = senx
2
√
x
+
√
x cosx
(i) y = sen(ln
√
x)
Resp: y′ = cos(ln
√
x)
2x
(j) y = sen(x) ln
√
x
Resp: y′ = cos(x) ln
√
x+ senx2x
(k) y = sen(x) ln(x)
√
x
Resp: y′ = cos(x) ln(x)
√
x + senx√
x
+
sen(x) ln(x)
2
√
x
(l) y = sen(ln x)
√
x
Resp: y′ = cos(lnx)√
x
+ sen(lnx)
2
√
x
2.10 Derive as funções a seguir.
(a) y = ex cos(x2)
Resp: y′ = ex cos(x2)− 2xex sen(x2)
(b) y = ln(3x4) sen x
Resp: y′ = 4 senx
x
+ ln(3x4) cosx
(c) y = ecosx senx
Resp: y′ = ecosx senx(− sen2 x +
cos2 x)
(d) y = ecosx sen x
Resp: y′ = −ecosx sen2 x+ ecosx cosx
(e) y = ex cos x sen x
Resp: y′ = ex cosx senx−ex sen2 x+
ex cos2 x
(f) y = ex cosx sen x
Resp: y′ = ex cosx(cosx −
x senx) senx+ ex cosx cosx
2.11 Utilize Regra de l’Hospital para calcular os limites abaixo.
(a) lim
x→∞
2x+ 1
3x+ 2
Resp: 2/3
(b) lim
x→∞
x
ex
Resp: 0
(c) lim
x→∞
x2
2x
Resp: 0
(d) lim
x→0
sen x
x
Resp: 1
Referências
[1] LARSON, R.; HOSTETLER, R. P.; EDWARDS, B. H. Cálculo. 8. ed. v. 1, São Paulo:
McGraw-Hill, 2006.
[2] LARSON, R.; HOSTETLER, R. P.; EDWARDS, B. H. Cálculo. 8. ed. v. 2, São Paulo:
McGraw-Hill, 2006.
[3] STEWART, J. Cálculo. 5. ed. v. 1, São Paulo: Cengage Learning, 2005.
[4] STEWART, J. Cálculo. 5. ed. v. 2, São Paulo: Cengage Learning, 2005.
[5] THOMAS, G. B. Cálculo.10. ed. v. 1, São Paulo: Pearson Education, 2003.
[6] THOMAS, G. B. Cálculo. 10. ed. v. 2, São Paulo: Pearson Education, 2003.
[7] FOULIS, D. J.; MUNEN, M. A. Cálculo. v. 1, São Paulo: LTC, 1982.
[8] FOULIS, D. J.; MUNEN, M. A. Cálculo. v. 2, São Paulo: LTC, 1982.
[9] SWOKOWSKY, E. Cálculo. v. 1, São Paulo: Makron Books, 1996.
[10] SWOKOWSKY, E. Cálculo. v. 2, São Paulo: Makron Books, 1996.