Trabalho 2 de Volumes Finitos

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Trabalho 2 de Volumes Finitos 
Professor: José Adilson 
Aluno: Renner Egalon Pereira - PGMEC 
 
Estudo da condução 1D em uma barra composta por 3 
materiais diferentes e condutividade térmica variando 
com a temperatura para cada material 
 
Modelamento Matemático: 
O problema baseia no estudo da condução de calor e gradiente de temperatura de 
três barras dispostas em série (fluxo constante), que possuem comprimentos 
diferentes. Para o estudo foram utilizados os materiais cobre, ferro e ouro, dispostos 
nesta ordem da esquerda para direita num domínio de 0 à L, onde L é o 
comprimento final da “barra composta”. 
Foram utilizados 10, 20 e 50 volumes de controle unitários (um de cada vez), ou 
seja, por unidade de comprimento (m). A multiplicação deste volume unitário pelo 
comprimento de cada barra dava o número de volumes por barra. O comprimento 
total da barra composta “L” foi dado pela soma dos comprimentos das barras. Cada 
volume de controle contém uma temperatura a ser calculada de forma iterativa pelo 
algoritmo de Thomas. 
Para este problema, foram utilizadas temperaturas inicias “T_Ghost” nos lados 
esquerdo e direito da barra, Phi1_Chute e Phi2_Chute, respectivamente. 
 
 
 
 
 
A equação fundamental para análise do problema na direção x é dada por: 
ΓΦe
𝑑Φ
𝑑𝑥
| 𝑒 − ΓΦw
𝑑Φ
𝑑𝑥
|𝑤 = 0 
Para este trabalho, os materiais das barras tem condutividade térmica variando com 
a temperatura, k=k(T), ou seja, ΓΦe ≠ ΓΦw para cada temperatura. 
Neste caso, os gamas nas interfaces são dados pela média harmônica dos gamas 
adjacentes. 
Γ𝑒 = 
2 Γ𝑃 Γ𝐸
 Γ𝑃+ Γ𝐸
 
Γ𝑤 = 
2 Γ𝑃 Γ𝑊
 Γ𝑃+ Γ𝑊
 
Assim, os coeficientes do algoritmo de Thomas são dados por: 
𝑏𝑖 = 𝐴𝐸 = 
Γ𝑖 Γ𝑖+1
0.5 Δ𝑋𝑖 Γ𝑖+1 + 0.5 Δ𝑋𝑖+1Γ𝑖
 
 
𝑐𝑖 = 𝐴𝑊 = 
Γ𝑖−1 Γ𝑖
0.5 Δ𝑋𝑖−1 Γ𝑖 + 0.5 Δ𝑋𝑖 Γ𝑖−1
 
 
𝑎𝑖 = 𝐴𝑃 = 𝑏𝑖 + 𝑐𝑖 
 
Figura 1 – Esquema ilustrativo dos volumes de controle ao longo do domínio da 
barra composta 
Baseando-se no método da temperatura “Ghost”, a análise se iniciou considerando 
uma temperatura “Ghost” no infinito,), Phi2_Chute, que está fora do domínio da 
barra, ou seja, uma temperatura do ambiente à direita da barra. A partir do input 
desta temperatura (chute de um valor inicial para esta temperatura “Ghost”) e 
conhecida a condição de contorno de gradiente de temperatura para a extremidade 
direita da barra (em TB), foi possível encontrar uma relação para TB, até então 
desconhecido: 
 𝜙𝐵 = 𝜙𝐶ℎ𝑢𝑡𝑒2 + (
𝛿𝑥
2
) ∗ 
𝑑𝑇
𝑑𝑥
| 𝑥(𝐿) 
 
Assim, a temperatura de chute ou temperatura “Ghost” pôde ser atualizada no 
primeiro passo iterativo, da seguinte forma: 
𝑇𝐶ℎ𝑢𝑡𝑒 = 𝑇𝑁 + 𝛿𝑥 ∗ 
𝑑𝑇
𝑑𝑥
| 𝑥(𝐿) 
O procedimento foi repetido para inúmeros passos iterativos até que a diferença 
entre o vetor de temperaturas do passo atual e o vetor de temperaturas do passo 
anterior fosse menor ou igual a tolerância especificada para o problema, no caso, 
0.001. Assim, em cada passo iterativo era calculada uma nova temperatura 𝜙𝐵. 
Inicialmente, neste caso, foi necessária chutar um vetor de Temperaturas T* inicial, 
para que fossem calculado o vetor gama, até então, desconhecido. 
𝑇∗ = 
{
 
 
 
 
𝑇2
𝑇3
⋮
𝑇𝑁
𝑇𝑁+1}
 
 
 
 
 
A partir deste chute, os gamas iniciais foram calculados para cada temperatura. Em 
sequências as temperaturas e os gamas eram atualizados de forma iterativa 
utilizando o algoritmo de Thomas, até atingir o critério de parada. 
 
Os coeficientes de condutividade térmica dos materiais são válidos entre as 
temperaturas de 100K e 1200K e suas equações são: 
 
i) Cobre Puro 
k(T) = 0.0001 ∗ T2 − 0.2457 ∗ T + 478.86 
 
ii) Ferro Puro 
 
k(T) = 0.0001 ∗ T2 − 0.2093 ∗ T + 141.27 
iii) Ouro 
 
k(T) = −0.00001 ∗ T2 − 0.0514 ∗ T + 333.09 
Resultados: 
1º Caso: 𝒅𝑻
𝒅𝒙
| 𝒙(𝑳) < 𝟎 
 
Entrada>>> 
PhiA = 873 'Temperatura para x=0 (K) 
NU = 10 'Número de volumes por unidade de comprimento (Volumes/metro) 
l1 = 1 'comprimento da barra 1 (m) 
l2 = 2 ' comprimento da barra 2 (m) 
l3 = 3 'comprimento da barra 3 (m) 
dPhidx = -10 'Gradiente de Temperatura em x=L (K/m) 
Phi1_Chute = 873 'Temperatura de chute ghost lado esquerdo (K) 
Phi2_Chute = 473 'Temperatura de chute ghost lado direito (K) 
tolerancia = 0.001 'Condição de Parada 
Conhecida a condição de contorno de temperatura TA = 873K (600°C) (em x=0), 
para 10 volumes de controles unitários e conhecidos os comprimentos das barras e 
o gradiente de temperatura de -10K/m para x=L (a partir de uma temperatura de 
chute 2 para o ponto “Ghost” à direita de 473K (200°C), foi possível analisar o 
comportamento estacionário da temperatura na barra ao longo das iterações a fim 
de se estabelecer a condição de parada. 
Foram necessárias 1642 iterações até atingir o critério de parada e observa-se 
que pelo fluxo ser negativo na extremidade direita, a temperatura da barra 
decresce de 873K a partir de x=0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Evolução da temperatura da barra ao longo das iterações. Gradiente negativo de 
temperatura em x=L faz a temperatura barra atingir aproximadamente 369K em x=L 
ouro cobre ferro 
 
 
 
Observa-se, claramente, a mudança de inclinação e perfil da curva ao fina da cada 
barra, em 1 e 3m, respectivamente, mercadas com um círculo vermelho nos 
gráficos. Isso é devido a mudança no coeficiente de condutividade térmica. 
Percebe-se, ainda, que o ferro (barra 2), entre 1 e 3 m no gráfico, possui uma 
variação brusca de temperatura, maior inclinação. Isso é devido a ter o menor 
coeficiente de condutividade térmica dentre os materiais analisados, 
consequentemente, possuindo um maior gradiente de temperatura. A condutividade 
térmica é inversamente proporcional ao gradiente de temperatura. A tabela para 
última iteração é mostrada abaixo. 
 
Posição 
(m) 
Temperatura 
(K) 
0 873 
0,05 871,6248879 
0,15 868,8746638 
0,25 866,1260348 
0,35 863,3790101 
0,45 860,6335992 
0,55 857,8898113 
0,65 855,1476557 
0,75 852,4071413 
Figura 3 – Temperatura da barra na última iteração. Gradiente negativo de temperatura em 
x=L faz a temperatura barra atingir aproximadamente 369K em x=L 
0,85 849,6682774 
0,95 846,9310729 
1,05 832,6631352 
1,15 807,2597955 
1,25 782,6524341 
1,35 758,8419591 
1,45 735,8180451 
1,55 713,5620464 
1,65 692,0494702 
1,75 671,2519877 
1,85 651,1390108 
1,95 631,6788908 
2,05 612,8398016 
2,15 594,5903728 
2,25 576,9001244 
2,35 559,7397531 
2,45 543,0813069 
2,55 526,8982772 
2,65 511,1656329 
2,75 495,8598127 
2,85 480,9586896 
2,95 466,4415169 
3,05 457,7523342 
3,15 454,7050978 
3,25 451,6596863 
3,35 448,6160944 
3,45 445,574317 
3,55 442,5343492 
3,65 439,4961858 
3,75 436,4598219 
3,85 433,4252524 
3,95 430,3924723 
4,05 427,3614768 
4,15 424,3322608 
4,25 421,3048194 
4,35 418,2791477 
4,45 415,2552408 
4,55 412,2330939 
4,65 409,2127021 
4,75 406,1940607 
4,85 403,1771646 
4,95 400,1620093 
5,05 397,1485899 
5,15 394,1369017 
5,25 391,1269399 
5,35 388,1186998 
5,45 385,1121768 
5,55 382,1073661 
5,65 379,1042631 
5,75 376,1028631 
5,85 373,1031616 
5,95 370,1051539 
6 368,60615 
 
Para o mesmo caso anterior, agora, NU = 20 'Número de volumes por unidade de 
comprimento 
 
 
 
 
Figura 4 – Evolução da temperatura da barra ao longo das iterações. Gradiente negativo de 
temperatura em x=L faz a temperatura barra atingir aproximadamente 369K em x=L 
0
100200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0 2 4 6
Te
m
p
er
at
u
ra
 T
(K
)
Posição da Barra x(m)
Temperatura na Barra Iterações = 2909
 
 
 
Posição 
(m) 
Temperatura 
(K) 
0 873 
⋮ ⋮ 
6 368,7800229 
 
 
Para o mesmo caso anterior, agora, N = 50 'Número de volumes de controle 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 – Temperatura da barra na última iteração. Gradiente negativo de temperatura em 
x=L faz a temperatura barra atingir aproximadamente 369K em x=L 
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0 2 4 6
Te
m
p
er
at
u
ra
 T
(K
)
Posição da Barra x(m)
Temperatura na Barra Iteração Nº 2909
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 – Temperatura da barra na última iteração. Gradiente negativo de temperatura em 
x=L faz a temperatura barra atingir aproximadamente 369K em x=L 
Figura 7 – Evolução da temperatura da barra ao longo das iterações. Gradiente negativo de 
temperatura em x=L faz a temperatura barra atingir aproximadamente 369K em x=L 
Posição 
(m) 
Temperatura 
(K) 
0 873 
⋮ ⋮ 
6 369,5412122 
 
Percebe-se que o aumento no número de volumes de controle acarreta um aumento 
no número de iterações de solução, porém aumenta a precisão de cálculo uma vez 
que aumenta-se o número de pontos e diminui o incremento do volume de controle. 
 
2º Caso: 𝒅𝑻
𝒅𝒙
| 𝒙(𝑳) = 𝟎 
 
Agora com o gradiente de temperatura nulo na extremidade direita, espera-se que 
a temperatura ao longo da barra se mantenha constante em 873K (600°C). Com um 
input de temperatura de 773K, a temperatura fica em torno de 873K ao final das 
iterações. 
Entrada >>> 
PhiA = 873 'Temperatura para x=0 (K) 
NU = 10 'Número de volumes por unidade de comprimento (Volumes/metro) 
l1 = 1 'comprimento da barra 1 (m) 
l2 = 2 ' comprimento da barra 2 (m) 
l3 = 3 'comprimento da barra 3 (m) 
dPhidx = 0 'Gradiente de Temperatura em x=L (K/m) 
Phi1_Chute = 873 'Temperatura de chute ghost lado esquerdo (K) 
Phi2_Chute = 773 'Temperatura de chute ghost lado direito (K) 
tolerancia = 0.001 'Condição de Parada 
 
Percebe-se que a temperatura da barra se mantém praticamente constante ao final 
da última iteração, com T = 0,4K entre as extremidades direita e esquerda da 
barra composta. O fluxo em x=L neste caso é nulo, como condição inicial. 
Figura 8 – Temperatura da barra na última iteração. Gradiente nulo de temperatura em x=L 
faz a temperatura barra manter 873K de 0 a L 
Figura 9 – Evolução da temperatura da barra ao longo das iterações. Gradiente nulo de 
temperatura em x=L faz a temperatura barra manter 873K de 0 a L 
Posição 
(m) 
Temperatura 
(K) 
0 873 
0,05 872,9991784 
0,15 872,9975352 
0,25 872,9958921 
0,35 872,9942489 
0,45 872,9926057 
0,55 872,9909625 
0,65 872,9893194 
0,75 872,9876762 
0,85 872,986033 
0,95 872,9843899 
1,05 872,9755195 
1,15 872,9594221 
1,25 872,943325 
1,35 872,9272282 
1,45 872,9111315 
1,55 872,8950352 
1,65 872,8789391 
1,75 872,8628433 
1,85 872,8467477 
1,95 872,8306524 
2,05 872,8145574 
2,15 872,7984626 
2,25 872,7823681 
2,35 872,7662738 
2,45 872,7501798 
2,55 872,734086 
2,65 872,7179926 
2,75 872,7018993 
2,85 872,6858064 
2,95 872,6697136 
3,05 872,6606702 
3,15 872,658676 
3,25 872,6566817 
3,35 872,6546875 
3,45 872,6526932 
3,55 872,650699 
3,65 872,6487047 
3,75 872,6467105 
3,85 872,6447162 
3,95 872,642722 
4,05 872,6407277 
4,15 872,6387335 
4,25 872,6367392 
4,35 872,634745 
4,45 872,6327508 
4,55 872,6307565 
4,65 872,6287623 
4,75 872,626768 
4,85 872,6247738 
4,95 872,6227796 
5,05 872,6207853 
5,15 872,6187911 
5,25 872,6167969 
5,35 872,6148026 
5,45 872,6128084 
5,55 872,6108142 
5,65 872,6088199 
5,75 872,6068257 
5,85 872,6048315 
5,95 872,6028373 
6 872,6018401 
 
Para N = 20 'Número de volumes de controle 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3º Caso: 𝒅𝑻
𝒅𝒙
| 𝒙(𝑳) > 𝟎 
 
Considerando agora um gradiente positivo, partindo de uma temperatura de 473K 
na esquerda, a temperatura da barra cresce a partir de x=0, dada uma temperatura 
de chute para a extremidade direita de 673K. 
 
Entrada >>> 
PhiA = 473 'Temperatura para x=0 (K) 
Posição 
(m) 
Temperatura 
(K) 
0 873 
⋮ ⋮ 
6 872,2030557 
Figura 10 – Temperatura da barra na última iteração. Gradiente nulo de temperatura em x=L 
faz a temperatura barra manter 873K de 0 a L 
Figura 11 – Evolução da temperatura da barra ao longo das iterações. Gradiente nulo de 
temperatura em x=L faz a temperatura barra manter 873K de 0 a L 
NU = 10 'Número de volumes por unidade de comprimento (Volumes/metro) 
l1 = 1 'comprimento da barra 1 (m) 
l2 = 2 ' comprimento da barra 2 (m) 
l3 = 3 'comprimento da barra 3 (m) 
dPhidx = 10 'Gradiente de Temperatura em x=L (K/m) 
Phi1_Chute = 473 'Temperatura de chute ghost lado esquerdo (K) 
Phi2_Chute = 673 'Temperatura de chute ghost lado direito (K) 
tolerancia = 0.001 'Condição de Parada 
 
Partindo de uma temperatura do infinito de 473K (200°C) e que o fluxo seja positivo 
em x=L, era de se esperar que a barra ganhasse calor e sua temperatura 
aumentasse de x=0 para x=L. A temperatura chegou em torno de 937K em x=L. 
 
 
Figura 12 – Temperatura da barra na última iteração. Gradiente positivo de temperatura em 
x=L faz a temperatura da barra chegar em torno de 937K em x=L 
 
 
Posição 
(m) 
Temperatura 
(K) 
0 473 
0,05 474,076815 
0,15 476,2304449 
0,25 478,3858912 
0,35 480,543153 
0,45 482,7022299 
0,55 484,8631211 
0,65 487,025826 
0,75 489,1903437 
0,85 491,3566737 
0,95 493,524815 
1,05 501,3479549 
1,15 514,990138 
1,25 528,9702293 
1,35 543,3046915 
1,45 558,010888 
Figura 13 – Evolução da temperatura ao longo das iterações. Gradiente positivo de 
temperatura em x=L faz a temperatura da barra chegar em torno de 937K em x=L 
1,55 573,1070853 
1,65 588,6124367 
1,75 604,5469392 
1,85 620,931354 
1,95 637,787079 
2,05 655,1359593 
2,15 673,0000173 
2,25 691,4010812 
2,35 710,3602884 
2,45 729,8974356 
2,55 750,0301494 
2,65 770,7728522 
2,75 792,1355075 
2,85 814,1221448 
2,95 836,7291914 
3,05 849,6547496 
3,15 852,5916138 
3,25 855,5305731 
3,35 858,471634 
3,45 861,4148026 
3,55 864,3600853 
3,65 867,3074885 
3,75 870,2570187 
3,85 873,2086823 
3,95 876,1624856 
4,05 879,1184354 
4,15 882,076538 
4,25 885,0368 
4,35 887,9992281 
4,45 890,9638288 
4,55 893,9306088 
4,65 896,8995749 
4,75 899,8707336 
4,85 902,8440919 
4,95 905,8196564 
5,05 908,7974339 
5,15 911,7774314 
5,25 914,7596557 
5,35 917,7441137 
5,45 920,7308123 
5,55 923,7197586 
5,65 926,7109595 
5,75 929,7044221 
5,85 932,7001535 
5,95 935,6981608 
6 937,1971645 
 
Para N = 20 'Número de volumes de controle 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14 – Temperatura da barra na última iteração. Gradiente positivo de temperatura em 
x=L faz a temperatura da barra chegar em torno de 937K em x=L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Posição 
(m) 
Temperatura 
(K) 
0 873 
⋮ ⋮ 
6 936,63052 
Figura 15 – Evolução da temperatura ao longo das iterações. Gradiente positivo de 
temperatura em x=L faz a temperatura da barra chegar em torno de 937K em x=L 
Código Principal 
 
Public l As Double 
 
Sub Barra_Condução_Trabalho_Final()Application.ScreenUpdating = False 
 
Sheets("Dados").Select 
Call Limpar_Excel 
Call Deletar_Grafico_Trabalho_2 
 
Sheets("Trabalho").Select 
 
ActiveWindow.FreezePanes = False 
Call Deletar_Grafico_Trabalho 
Call Limpar_Excel 
 
PhiA = 473 'Temperatura para x=0 (K) 
NU = 20 'Número de volumes por unidade de comprimento (Volumes/metro) 
l1 = 1 'comprimento da barra 1 (m) 
l2 = 2 ' comprimento da barra 2 (m) 
l3 = 3 'comprimento da barra 3 (m) 
dPhidx = 10 'Gradiente de Temperatura em x=L (K/m) 
Phi1_Chute = 473 'Temperatura de chute ghost lado esquerdo (K) 
Phi2_Chute = 673 'Temperatura de chute ghost lado direito (K) 
tolerancia = 0.001 'Condição de Parada 
 
N1 = Round(NU * l1, 0) 'Número de Volumes Barra 1 
N2 = Round(NU * l2, 0) 'Número de Volumes Barra 2 
N3 = Round(NU * l3, 0) 'Número de Volumes Barra 3 
 
N = N1 + N2 + N3 'Número de Volumes de Controle Total 
 
l = l1 + l2 + l3 'Comprimento Total da Barra Composta (m) 
 
Deltax = l / N 'Comprimento para 1 volume de controle (m) 
 
Dim a(), b(), c(), Phi(), T_anterior(), T(), x(), d(), P(), q(), 
residuo(), gama() As Double 
ReDim a(2 To N + 1), b(2 To N + 1), c(2 To N + 1), Phi(2 To N + 1), 
T_anterior(1 To N + 2), T(1 To N + 2), x(1 To N + 2), d(2 To N + 1), P(2 
To N + 1), q(2 To N + 1), residuo(1 To N + 2), gama(1 To N + 2) As Double 
 
Dim i, j, w, cont, passo, z, y As Long 
 
 
'Zerar inicialmente os vetores 
_____________________________________________________ 
 
For i = 2 To N + 1 
 
a(i) = 0 
b(i) = 0 
c(i) = 0 
d(i) = 0 
P(i) = 0 
q(i) = 0 
Phi(i) = 0 
gama(i) = 0 
 
Next 
 
For i = 1 To N + 2 
 
T(i) = 0 
T_anterior(i) = 0 
 
Next 
'________________________________________________________________________
___________ 
 
'Vetor Posição x(m) 
 
For i = 3 To N + 1 
 
x(1) = 0 
 
x(2) = x(1) + ((Deltax) / 2) 
 
x(i) = x(i - 1) + Deltax 
 
x(N + 2) = x(N + 1) + ((Deltax) / 2) 
 
Cells(1, 8) = x(1) 
 
Cells(2, 8) = x(2) 
 
Cells(i, 8) = x(i) 
 
Cells(N + 2, 8) = x(N + 2) 
 
Next 
 
 
'________________________________________________________________________
____________ 
 
'CHUTE DE TEMPERATURAS INICIAIS PARA TODOS OS PHI'S A SEREM CALCULADOS 
 
PhiB = dPhidx * (Deltax / 2) + Phi2_Chute 
 
'PARA VOLUME GHOST ESQUERDO 
 
Phi(2) = 2 * PhiA - Phi1_Chute 
 
'PARA VOLUME GHOST DIREITO 
 
Phi(N + 1) = 2 * PhiB - Phi2_Chute 
 
'Chutes da temperaturas iniciais do passo 1 
 
For i = 3 To N 
 
Phi(i) = ((Phi(N + 1) - Phi(2)) / ((N - 1) * Deltax)) * ((i - 2) * 
Deltax) + Phi(2) 
 
Next 
'________________________________________________________________________
________________ 
 
PhiB = 0 
passo = 0 
 
For cont = 1 To N + 2 
 
Do 
 
passo = passo + 1 
 
For w = 1 To N + 2 
 
T_anterior(w) = T(w) 
 
Next 
 
PhiB = dPhidx * (Deltax / 2) + Phi2_Chute 
 
'a(1) = Ae + 2 * Aw 
'b(1) = Ae 
'd(1) = Aw * (2 * Phi1) 
'a(N) = Ae + 2 * Aw 
'c(N) = Aw 
'd(N) = Ae * (2 * Phi2) 
 
 
For i = 2 To (N1 + 1) 
 
gama(i) = 0.0001 * Phi(i) ^ 2 - 0.2457 * Phi(i) + 478.86 'k(T) para cobre 
puro 
 
Next 
 
For i = (N1 + 2) To (N1 + N2) + 1 
 
gama(i) = 0.0001 * Phi(i) ^ 2 - 0.2093 * Phi(i) + 141.27 'k(T) para ferro 
puro 
 
Next 
 
For i = (N1 + N2) + 2 To (N + 1) 
 
gama(i) = -0.00001 * Phi(i) ^ 2 - 0.0514 * Phi(i) + 333.09 'k(T) para 
ouro 
 
Next 
 
'Cálculo dos Coeficients do Algoritmo de Thomas 
 
For i = 3 To N 
 
b(i) = (gama(i) * gama(i + 1)) / (0.5 * Deltax * gama(i + 1) + 0.5 * 
Deltax * gama(i)) 'b3 à bN 
c(i) = (gama(i - 1) * gama(i)) / (0.5 * Deltax * gama(i) + 0.5 * Deltax * 
gama(i - 1)) 'c3 à cN 
a(i) = b(i) + c(i) 
d(i) = 0 
 
Cells(i - 1, 1) = a(i) 
Cells(i - 1, 2) = b(i) 
Cells(i - 1, 3) = c(i) 
Cells(i - 1, 4) = d(i) 
 
Next 
 
 
b(2) = (gama(2) * gama(3)) / (0.5 * Deltax * gama(3) + 0.5 * Deltax * 
gama(2)) 
c(N + 1) = (gama(N) * gama(N + 1)) / (0.5 * Deltax * gama(N + 1) + 0.5 * 
Deltax * gama(N)) 
c(2) = 0 
b(N + 1) = 0 
a(N + 1) = c(N + 1) + 2 * b(N) 
a(2) = b(2) + 2 * c(3) 
d(2) = c(3) * (2 * PhiA) 
d(N + 1) = b(N) * (2 * PhiB) 
 
'Algoritmo de Thomas 
 
 
'1º PASSSO: 
 
P(2) = b(2) / a(2) 
q(2) = d(2) / a(2) 
 
 
Cells(1, 1) = a(2) 
Cells(N, 1) = a(N + 1) 
Cells(1, 2) = b(2) 
Cells(N, 2) = b(N + 1) 
Cells(1, 3) = c(2) 
Cells(N, 3) = c(N + 1) 
Cells(1, 4) = d(2) 
Cells(N, 4) = d(N + 1) 
Cells(1, 5) = P(2) 
Cells(1, 6) = q(2) 
 
'2º PASSO: 
 
For i = 3 To N + 1 
 
'c(2) = 0 
'b(N + 1) = 0 
 
P(i) = b(i) / (a(i) - c(i) * P(i - 1)) 
 
q(i) = (d(i) + c(i) * q(i - 1)) / (a(i) - c(i) * P(i - 1)) 
 
 
Cells(i - 1, 5) = P(i) 
Cells(i - 1, 6) = q(i) 
 
 
Next 
 
'3º PASSO: 
 
Phi(N + 1) = q(N + 1) 
 
Cells(N, 7) = Phi(N + 1) 
 
Phi2_Chute = Phi(N + 1) + dPhidx * Deltax 
 
'4º PASSO: 
 
For i = N To 2 Step -1 
 
Phi(i) = P(i) * Phi(i + 1) + q(i) 
 
Cells(i - 1, 7) = Phi(i) 
 
Next 
 
'Vetor Temperatura T(°C) 
 
For i = 2 To N + 1 
 
T(1) = PhiA 
 
T(i) = Phi(i) 
 
T(N + 2) = PhiB 
 
Cells(1, 9) = T(1) 
 
Cells(i, 9) = T(i) 
 
Cells(N + 2, 9) = T(N + 2) 
 
Next 
 
For j = 1 To N + 2 
 
residuo(j) = Abs(T(j) - T_anterior(j)) 
 
 
Cells(j, 10) = residuo(j) 
 
Next 
 
'Escrever as temperatura para cada iteração na plan Dados 
 
Sheets("Dados").Select 
 
For z = 2 To N + 3 
 
Cells(z, passo + 1) = T(z - 1) 
 
Next 
 
Cells(1, passo + 1) = "Iteração " & passo 
 
Sheets("Trabalho").Select 
 
Loop Until residuo(cont) <= tolerancia 
 
Next 
 
 
 
'Escrever gama final 
 
For i = 2 To N + 1 
 
Cells(i - 1, 12) = gama(i) 
 
Next 
 
 
 
Cells(1, 11) = passo 
 
Call Inserir_Cabeçalho 
 
Call Copiar_Vetor_Posição 
 
Call Gráfico_Iterativo 
 
Sheets("Trabalho").Select 
 
 
'Gráfico 
_________________________________________________________________ 
 
'Temperatura T(°C) X Posição x(m) 
 
Call Grafico_TFinal 
 
MsgBox "Número de Passos Iterativos = " & passo 
 
End Sub