06 Ajuste de Curvas

Prévia do material em texto

Ajuste de Curvas
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@gmail.com
Programag
1. Introdução
) C Dia) Caso Discreto
2. Método dos Quadrados Mínimos
3 Caso Não Linear3. Caso Não-Linear
Ajuste de Curvas
Introduçãoç
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@gmail.com
Introduçãoç
 No capítulo anterior vimos uma forma de trabalhar com 
f d fi id b l i luma função definida por uma tabela: a interpolação 
polinomial 
 Nem sempre a interpolação é aconselhável:
 Quando se quer aproximar um valor da função fora do 
intervalo de tabelamento (extrapolação).
 Quando os valores são medidas experimentais com erros. 
Nesse caso, a função deve passar pela barra de erros e 
não pelos pontos.
Introduçãoç
 Graficamente, a extrapolação e o ajuste por barras de 
i b ierros são vistos abaixo:
xexf )()(xf
C j t dCurva ajustada
 f
Barra de 
erros
xx
 xf
Curva extrapolada
Introduçãoç
 É necessário então ajustar essas funções tabeladas por 
f j “b i ”uma função que seja uma “boa aproximação” e que nos 
permita “extrapolar” com certa margem de segurança
 Devemos então aproximar f(x) por outra função x), 
escolhida de uma família de funções ou por uma soma 
de funções em duas situações distintas:
 Caso discreto: quando a função f é dada por uma tabela 
de valores
 Caso contínuo: quando a função f é dada por sua forma 
analítica
Introduçãoç
 Caso discreto:
 Caso contínuo: Caso contínuo:
Introdução – Caso Discretoç
 Dados os pontos 
i l [ b] d lh f
     )(,,......,)(,,)(, 2211 mm xfxxfxxfx
em um intervalo [a,b], devemos escolher funções 
, e constantes )(,.......,)(,)( 21 xgxgxg n n ,.......,, 21
tais que a função
)(...)()()( 2211 xgxgxgx nn 
se aproxime de )(xf
 Este modelo é dito linear pois os coeficientes a 
determinar aparecem linearmenten ,.......,, 21
 Note que as funções podem ser)(,.......,)(,)( 21 xgxgxg nNote que as funções podem ser 
funções não-lineares, como por exemplo
)(,,)(,)( 21 ggg n
  .......,1)(,)( 221 xxgexg x 
Introdução – Caso Discretoç
 Problema 1
 Como escolher as funções ?)(,.......,)(,)( 21 xgxgxg n
 Podemos escolher as funções 
observando os pontos tabelados (diagrama de 
)(,...,)(,)( 21 xgxgxg n
dispersão) ou a partir de conhecimentos teóricos do 
experimento
 Assim, dada uma tabela de pontos 
, devemos, 
primeiramente, colocar esses pontos em um gráfico 
     )(,,......,)(,,)(, 2211 mm xfxxfxxfx
cartesiano, o que vai nos permitir visualizar a 
curva que melhor se ajusta aos dados
Introdução – Caso Discretoç
 Exemplo: Dada a tabela: 
x -1,0 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7 1,0
f(x) 2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05
 Devemos construir o diagrama de dispersão Devemos construir o diagrama de dispersão
Introdução – Caso Discreto – Diagrama de 
Dispersão
Introdução – Caso Discretoç
 Escolhemos a partir da forma dos pontos no 
di d di
2
1 )( xxg 
diagrama de dispersão
 Procuramos a função que se aproxime ao máximo 
de e que tenha a forma )(xf 211 )()( xxgx  
parábola passando pela origem
 Problema 2: 
 Qual o valor de gera melhor ajuste da parábola?
Introdução – Caso Discretoç
 Uma vez escolhidas as funções g1(x), g2(x), ..., gn(x), 
d b l i d i id dtemos de estabelecer o conceito de proximidade entre 
as funções (x) e f(x) para obter as constantes 1, 2, 3, …, n
 Uma possibilidade é impor que o desvio entre f(x) e 
(x), ou seja, dk = (f(xk) - ϕ(xk)) seja mínimo para todos 
os pontos (k 1 2 m)os pontos (k =1, 2, ...., m)
 Existem varias formas de impor que os desvios sejam 
mínimos. Estudaremos o Método dos Quadrados 
Mí iMínimos 
Ajuste de Curvas
Método dos Quadrados MínimosQ
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@gmail.com
Método dos Quadrados Mínimos Q
 Objetivo: encontrar os coeficientes aj tais que a função 
)()()()()( 2211 xgxxgxgx nn  
se aproxime ao máximo de f(x)
 Método dos Quadrados Mínimos - Consiste em 
escolher os j’s de modo que a soma dos quadrados j q q
dos desvios seja mínima
mm
 deve ser mínimo


m
k
kk
m
k
k xxf
1
2
1
2 ))()((d
Método dos Quadrados Mínimos 
 Recapitulando, no caso discreto temos o tabelamento 
Q
dos pontos como 
entrada do problema
     )(,...,,)(,,)(, 2211 mm xfxxfxxfx
 Dadas as funções , escolhidas )(,.......,)(,)( 21 xgxgxg n
de alguma forma, nosso objetivo então é encontrar os 
coeficientes tais que a função
n
n ,.......,, 21
)()()()( 2211 xgxgxgx nn 
Se aproxime ao máximo de f(x)
Método dos Quadrados Mínimos 
 Seja o desvio em : )()( kkk xxf dkx
Q
 Se a soma dos quadrados dos desviosq
  m
k
kk
m
k
k xxf
1
2
1
2 ))()((d
é mínima, cada desvio 
será pequeno Assim ’s devem ser tais que
 kk 11
)()( kkk xxf d
será pequeno. Assim, j’s devem ser tais que 
minimizem a função
m f 2)]()([)(F 


k
kkn xxf
1
2
21 )]()([),,(  F
 Se a aproximação (x) for perfeita  somatório acima 
será nulo, que é o que acontece na interpolação
Método dos Quadrados Mínimos 
 Para obter um ponto mínimo devemos encontrar os 
Q
números críticos, ou seja, j’s tais que
nj
j
2,1,0
)(



F
onde
n
j  ),,,( 21 
  m xxf 2)]()([)( Fonde 


k
kkn xxf
1
21 )]()([),,,(  F
 m xgxgxgxf 2)]()()()([ 


k
knnkkk xgxgxgxf
1
2211 )]()()()([  
Método dos Quadrados Mínimos 
 Calculando as derivadas, temos
Q



F
 

m
j
xgxgxgxgxf
n ),,,(
)]()][()()()([2
21

  
 Igualando a zero



k
kjknnkkk xgxgxgxgxf
1
2211 )]()][()()()([2  
 Igualando a zero,
njxgxgxgxgxf
m
210)]()][()()()([   njxgxgxgxgxf
k
kjknnkkk ,,2,1,0)]()][()()()([
1
2211  


Método dos Quadrados Mínimos 
 Ou seja, temos um sistema linear a resolver:
Q
  0)]()][()()()([ 12211m kknnkkk xgxgxgxgxf  


 


0)]()][()()()([ 22211
1
12211
m
kknnkkk
k
kknnkkk
xgxgxgxgxf  



 
)()()()()(
1
22211
k
kknnkkk ggggf

  0)]()][()()()([1 2211
m
k
knknnkkk xgxgxgxgxf  
Método dos Quadrados Mínimos 
 Reescrevendo o sistema
Q
   m kkm nkknm kk xgxfxgxgxgxg 11111 )()()]()([)]()([  


  


m
kk
m
nkkn
m
kk
k
kk
k
nkkn
k
kk
xgxfxgxgxgxg 22121
1
1
1
1
1
111
)()()]()([)]()([  


   k kkk nkknk kk gfgggg 1 21 21 121
 
)()()()()()(

   
m
k
knk
m
k
nknkn
m
k
knk xgxfxgxgxgxg
111
11 )()()]()([)]()([  
 Sistema linear com n equações e com n incógnitas 
(1, 2, 3, ..., n)
Método dos Quadrados Mínimos 
 O sistema linear pode ser reescrito na forma matricial 
Q
A = b:



 nn
baaa
baaa

 ... 11212111

  nn baaa  ... 22222121 
onde A = (a ) tal que
  nnnnnn baaa  ...2211
onde A = (aij) tal que 
jiki
m
kjkj
m
kiij axgxgxgxga   )()()()(
ou seja, A é uma matriz simétrica,e 
j
k
jj
k
j 
 11
t
n ]...,,,[ 21  
m
é tal que tnbbbb ]...,,,[ 21 


m
k
kiki xgxfb
1
)()(
Método dos Quadrados Mínimos – Passo a 
Passo
 O funcionamento do Método dos Quadrados Mínimos 
pode ser dividido em 4 passos:
 Passo 1:
 Depois de escolhida a função ajuste (x) identificar nela p ç j  ( )
as funções auxiliares g(x) tal que (x) seja do tipo:
)()()()(
 Passo 2:
)(...)()()( 2211 xgxgxgx nn 
 Passo 2:
 Montar o sistema de equações. O numero de equações do 
sistema é igual ao numero de funções auxiliares g (x) (sistema é igual ao numero de funções auxiliares gi(x) ( 
igual ao numero de incógnitas i )
Método dos Quadrados Mínimos – Passo a 
Passo
 Passo 2:
 No caso da reta
teremos um sistema com 2 equações:
exgxx 1)()( 121  
xxg )(2 q çg )(2
 111211
baa 
 N d áb l


 222221 baa 
 2)(  No caso de uma parábola
teremos um sistema 
3 õ
 321)( xxx 
2
321 )()(,1)( xxgexxgxg 
com 3 equações:
 11131211
baaa 
















 3
2
3
2
333231
232221
b
b
aaa
aaa


Método dos Quadrados Mínimos – Passo a 
Passo
 Passo 2:
 No caso de uma exponencial simples
teremos um sistema com 1 equação:
 xex 1)( 
xexg )(1 q çg )(1
1111 ba 
 Passo 3:
 C l l fi i t b d 2 E Calcular os coeficientes aij e bi do passo 2. Esses 
coeficientes são definidos pelos seguintes somatórios e 
após seu calculo obteremos númerosapós seu calculo obteremos números
número de pontos experimentais
jikj
m
k
kiij axgxga 

)()(
1



m
k
kiki xgxfb
1
)()(
Método dos Quadrados Mínimos – Passo a 
Passo
 Passo 4:
 Reescrever o sistema de equações do passo 2 (agora os 
aij e bi são números) e resolvê-lo, por exemplo, utilizando j
o método de eliminação de Gauss ou algum método 
iterativo (Gauss-Jacobi ou Gauss-Seidel).
Método dos Quadrados Mínimos - Retas
 Exemplo: Encontre a reta de quadrados mínimos que 
Q
melhor se ajusta aos pontos (2, 1), (5, 2), (7, 3), (8, 3). 
Calculemos para . )(e1)( 21 xxgxg 
Solução:
Nesse caso temos o que resulta em 
termos Para encontrarmos 1 e 
xxxf 21)()(  
. )(e1)( 21 xxgxg 
2, resolveremos o sistema de 2 equações abaixo: 







2
1
2
1
2221
1211
b
b
aa
aa


 222221
Método dos Quadrados Mínimos - Retas
 Exemplo: Encontre a reta de quadrados mínimos que 
Q
melhor se ajusta aos pontos (2, 1), (5, 2), (7, 3), (8, 3). 
Calculemos para . )(e1)( 21 xxgxg 
Solução:
Escrevendo o sistema em termos dos aij e bi, ficamos assim:
   444 )()()()()()( f












444
1
12
1
121
1
11 )()()()()()(
k
kk
k
kk
k
kk xgxfxgxgxgxg 





 
 1
22
1
221
1
21 )()()()()()(
k
kk
k
kk
k
kk xgxfxgxgxgxg 
Método dos Quadrados Mínimos - Retas
 Exemplo: Encontre a reta de quadrados mínimos que 
Q
melhor se ajusta aos pontos (2, 1), (5, 2), (7, 3), (8, 3). 
Calculemos para . )(e1)( 21 xxgxg 
Solução:
Calculando os termos da primeira equação:
  4 222224 41111)()()( xgxgxg
= 1
 


1
1
1
11 41111)()()(
k
k
k
kk xgxgxg
2218171512)()(
4
= xk = 1
4
2218171512)()(
1
12 
k
kk xgxg
= 1
913131211)()(
4
1
1 
k
kk xgxf
Método dos Quadrados Mínimos - Retas
 Exemplo: Encontre a reta de quadrados mínimos que 
Q
melhor se ajusta aos pontos (2, 1), (5, 2), (7, 3), (8, 3). 
Calculemos para . )(e1)( 21 xxgxg 
Solução:
Calculando os termos da segunda equação:
2281715121)()(
4
 xgxg
= 1 = xk
  1428752)()()( 22224 24 
2281715121)()(
1
21 
k
kk xgxg
= xk = xk
4
  1428752)()()( 2222
1
2
2
1
22 
 k
k
k
kk xgxgxg
= xk
5738372512)()(
4
1
2 
k
kk xgxf
Método dos Quadrados Mínimos - Retas
 Exemplo: Encontre a reta de quadrados mínimos que 
Q
melhor se ajusta aos pontos (2, 1), (5, 2), (7, 3), (8, 3). 
Calculemos para . )(e1)( 21 xxgxg 
Solução:
Logo, chegamos ao seguinte sistema de equações:
  92249224 










57
9
14222
224
5714222
9224
2
1
21
21




Resolvendo o sistema acima pela Eliminação de Gauss 
T 52chegamos à solução: 


14
5
7
2
Método dos Quadrados Mínimos - Retas
 Exemplo: Encontre a reta de quadrados mínimos que 
Q
melhor se ajusta aos pontos (2, 1), (5, 2), (7, 3), (8, 3). 
Calculemos para . )(e1)( 21 xxgxg 
Solução:
Substituindo os valores encontrados na equação original:
f )()( xxxf 21)()(  
xxxf
14
5
7
2)()( 
Método dos Quadrados Mínimos - RetasQ
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
 Exemplo: Ajuste os dados abaixo pelo método dos 
Q
quadrados mínimos utilizando uma parábola do tipo
2
321
2
321 )()(,1)()( xxgexxgxgxxx  
x 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) 0,5 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0
Solução:
f(x) , , , , , , , ,
Solução:
Para encontrarmos 1, 2 e 3 resolveremos o sistema de 3 
equações a seguir:equações a seguir:
 11131211 b
baaa 
















 3
2
3
2
333231
232221
b
b
aaa
aaa


Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
 Exemplo: Ajuste os dados abaixo pelo método dos 
Q
quadrados mínimos utilizando uma parábola do tipo
2
321
2
321 )()(,1)()( xxgexxgxgxxx  
x 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) 0,5 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0
Escrevendo o sistema em termos dos a e b temos:
f(x) , , , , , , , ,
Escrevendo o sistema em termos dos aij e bi, temos:

 





  8
1
13
8
1
132
8
1
121
8
1
11 )()()()()()()()(
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk xgxfxgxgxgxgxgxg 



 










8
1
23
8
1
232
8
1
221
8
1
21
1111
)()()()()()()()(
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
kkkk
xgxfxgxgxgxgxgxg 













8
1
33
8
1
332
8
1
321
8
1
31 )()()()()()()()(
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk xgxfxgxgxgxgxgxg 
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
Calculando os termos da primeira equação:
Q
 


8
1
222222222
1
8
1
11 811111111)()()(
k
k
k
kk xgxgxg
= 1
161514131211)()(
8
12  kk xgxg
11 kk = 1
361817
1


k
8
= xk = 1
161514131211)()(
22
222222
8
1
13 
k
kk xgxg
= xk2 = 1
15111 2180190160150)()(
8
 xgxf
2041817 22  xk 1
9,2 1 0,2 1 7,1
 15,111,218,019,016,015,0)()(
1
1


k
kk xgxf
= 1
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
8
Calculando os termos da segunda equação:
Q
368171
615141312111)()(
8
1
21 
k
kk xgxg
= 1 = xk
368171 
  654321)()()( 2222228 228 22  kkk xgxgxg
20487 22
11

 kk
8
= xk = xk
665544332211)()(
22
222222
8
1
23 
k
kk xgxg
= xk2 = xk
65151 2480390260150)()(
8
 xgxf
12968877 22 k k
50,5 8 0,2 7 7,16 5,151,248,039,026,015,0)()(
1
2


k
kk xgxf
= xk
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
8 Calculando os termos da terceira equação:
Q
2048171
615141312111)()(
22
222222
8
1
31 
k
kk xgxg
= 1 = xk2
2048171 22 
665544332211)()( 222222
8
32  kk xgxg
12968877 22
1

k
88
= xk = xk2
  654321)()()(
44
444444
8
1
2
3
8
1
33 
 k
k
k
kk xgxgxg
= xk2 = xk2
 5 1,2 4 8,0 3 9,0 2 6,0 1 5,0)()( 22222
8
3  kk xgxf
877287 44 k k
319,1 8 0,2 7 7,1 6 5,1 222
1


k = xk2
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
Logo, chegamos ao seguinte sistema de equações:
Q




550129620436
2,9204368
321
321







1,31987721296204
5,50129620436
321
321














5,50
2,9
129620436
204368
2
1












 1,319
5,50
87721296204
129620436
3
2


Resolvendo o sistema acima pela Eliminação de Gauss 
chegamos à solução:  T0,03160,0871-0,7587chegamos à solução:  0,03160,08710,7587
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
 Exemplo: Ajuste os dados abaixo pelo método dos 
Q
quadrados mínimos utilizando uma parábola do tipo
2
321
2
321 )()(,1)()( xxgexxgxgxxx  
x 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) 0,5 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0
Solução:
f(x) , , , , , , , ,
Solução:
Substituindo os valores encontrados na equação original:
22
321)()( xxxxf  
2031600871075870)()( xxxxf  0316.00871.07587,0)()( xxxxf 
Método dos Quadrados Mínimos – ParábolasQ
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
 Exemplo: Encontre a parábola através dos quadrados 
Q
mínimos que melhor se ajusta aos pontos da tabela
x -1,0 0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7 1,0x 1,0 0,75 0,6 0,5 0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7 1,0
f(x) 2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05
Solução:
Nesse caso temos ou seja2)()( xxxxf  Nesse caso temos , ou seja, 
uma parábola. Todavia, vimos pelo diagrama de dispersão 
que uma parábola que passa pela origem seria uma boa
321)()( xxxxf  
que uma parábola que passa pela origem seria uma boa 
escolha, logo o que resulta em termos 
Para encontrarmos 1, basta resolvermos a 
2
1)()( xxxf  
. )( 21 xxg  1
equação abaixo: 
1
1111 ba 
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
Montando os termos da equação:
Q



11
1
1
11
1
111 )()()]()([
k
kk
k
kk xgxfxgxg 
  2111
1
11
11
1
2
1 )()()()( kk
k
kk
k
k xxgcomoxgxfxg  


   


11
1
2
1
11
1
4 )()()(
k
kk
k
k xfxx 
11 kk
Calculando os termos:
11
 11 kk
  )0()3,0()5,0()6,0(75,0)0,1()(
44444
444444
11
1
4 
k
kx
8464,2)1()7,0()5,0()4,0()2,0( 44444 
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
Calculando os termos:
Q
  153,175,005,2)0,1()()( 2211
1
2 
k
kk xfx
5120)50(60)40(20)20(0)0(
5,0)3,0(4,0)5,0(45,0)6,0(
2222
222


8756,505,2)1(2,1)7,0(
512,0)5,0(6,0)4,0(2,0)2,0(0)0(
22 

Substituindo na equação original, temos
2
11 0642,2)(0642,28756,58464,2 xx  
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
 Comentários:
Q
 Note que a parábola pela origem que melhor ajusta os 
pontos fornecidos, através Método dos Quadrados 
Mínimos, é dada por
20642,2)( xx 
 Uma parábola da forma permite 
0642,2)( xx
2
321)( xxx  p p
um melhor ajuste dos pontos, mas o sistema a ser 
resolvido é 3x3 com várias somas e produtos 
321)(
intermediários, o que aumenta o tempo de processamento
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
 Exercício: Ajuste os dados abaixo pelo método dos 
Q
quadrados mínimos utilizando uma parábola do tipo
2
321
2
321 )()(,1)()( xxgexxgxgxxx  
x 0 1 2 3 4
f(x) 27 42 60 87 127
Resposta: 221,464,702,28)( xxx 
Ajuste de Curvas
Caso Não-Linear
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@gmail.com
Caso Não-Linear
 Em alguns casos, a família de funções escolhidas pode 
li ânão ser linear nos parâmetros
 Ex: Função exponencial do tipo , xaexxf 21)()(
 
sendo 1 e 2 positivos 
 Para aplicar o Método dos Quadrados Mínimos torna-se 
necessário o uso de alguma transformação linear
 Ex: . Se 
e que é um problema 
xyzey xa 211 )ln()ln(2    )ln( 11 b
)()ln( 2122 xxbbyb  
linear nos parâmetros b1 e b2
Caso Não-Linear
 Aplicamos então o Método dos Quadrados Mínimos na 
l d bl li i d U iliresolução do problema linearizado. Utilizamos então os 
valores encontrados para calcular os parâmetros 
originaisoriginais
 Observação: Os parâmetros 1 e 2 não serão ótimos 
dentro do critério dos quadrados mínimos, pois vamos 
aplicar o método ao problema lineari ado e não aoaplicar o método ao problema linearizado e não ao 
problema original
Caso Não-Linear
 Exemplo: Suponhamos que em um laboratório 
b i i l i lobtivemos experimentalmente os seguintes valores para 
f(x) sobre os pontos xi, i = 1, 2, ..., 8
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0x
f(x) 36,547 17,264 8,155 3,852 1,820 0,860 0,406 0,246
Fazendo diagrama de dispersão dos dadosFazendo diagrama de dispersão dos dados
Caso Não-Linear
O gráfico de dispersão nos sugere um ajuste
x)(  xexy 21)(
 
Caso Não-Linear
 Como vimos, a lineaziração a ser feita é
)()ln()ln()ln( 211 2 xxeyz
xa   
 Logo, ajustaremos por quadrados mínimos, 
encontrando , onde 
)ln( yz 
xbbx 21)(  eb )ln( 11 
. Assim, temos: 22 b
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0
z = ln(y) 3,599 2,849 2,099 1,349 0,599 -0,151 -0,901 -1,402(y)
Caso Não-Linear
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0x 1,0 0,7 0,4 0,1 0,2 0,5 0,8 1,0
z = ln(y) 3,599 2,849 2,099 1,349 0,599 -0,151 -0,901 -1,402
Solução:
Montando o sistema linear Utilizando xxgxg  )(e1)(Montando o sistema linear. Utilizando 
(caso linear) e lembrando que b1 e b2 serão a solução desse 
sistema:
xxgxg  )(e1)( 21
s ste a

 



  8 128 1218 11 )()()()()()( kkkkkk xgxfbxgxgbxgxg











8
22
8
221
8
21
111
)()()()()()( kkkkkk
kkk
xgxfbxgxgbxgxg    1 221 2211 21 )()()()()()( k kkk kkk kk gfgggg
Caso Não-Linear
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0x 1,0 0,7 0,4 0,1 0,2 0,5 0,8 1,0
z = ln(y) 3,599 2,849 2,099 1,349 0,599 -0,151 -0,901 -1,402
Solução:
Calculando os termos da primeira equação:Calculando os termos da primeira equação:
  8 28 8)()()( xgxgxg
= 1
 


1
1
1
11 8)()()(
k
k
k
kk xgxgxg
30)()(
8
= xk = 1
8
3,0)()(
1
12 
k
kk xgxg
= 1
041,8)()(
8
1
1 
k
kk xgxz
Caso Não-Linear
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0x 1,0 0,7 0,4 0,1 0,2 0,5 0,8 1,0
z = ln(y) 3,599 2,849 2,099 1,349 0,599 -0,151 -0,901 -1,402
Solução:
Calculando os termos da segunda equação:Calculando os termos da segunda equação:
30)()(
8 xgxg
= 1 = xk
593)()(
8
3,0)()(
1
21 
k
kk xgxg
= xk = xk
8
59,3)()(
1
22 
k
kk xgxg
= xk
646,8)()(8
1
2 
k
kk xgxz
Caso Não-Linear
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0x 1,0 0,7 0,4 0,1 0,2 0,5 0,8 1,0
z = ln(y) 3,599 2,849 2,099 1,349 0,599 -0,151 -0,901 -1,402
Solução:
Logo chegamos ao seguinte sistema de equações:Logo, chegamos ao seguinte sistema de equações:

 041,83,08041,83,08 121 bbb 


  646.859,33,0646,859,33,0 221 bbb
Resolvendo o sistema acima pela Eliminação de Gauss 
chegamos à solução:  Tb 5,2099,1 chegamos à solução:  b 5,2099,1
Caso Não-Linear
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0x 1,0 0,7 0,4 0,1 0,2 0,5 0,8 1,0
z = ln(y) 3,599 2,849 2,099 1,349 0,599 -0,151 -0,901 -1,402
Solução:
Agora 0013)ln( 099,11   eeb bAgora,
5,2
001,3)ln(
222
1111




b
eeb
Assim, a função xx eex 5,21 001,3)( 2
  
Caso Não-Linear
 Existem outras situações em que será preciso fazer a 
linearização da curva ajustada aos pontos do diagrama 
de dispersão:
 Hipérbole: )(
1 x
x
y   xyz 21
1  
 Curva Exponencial:
21 x  y
)(21 xy
x  p )(21y 
))()ln()ln()ln(,0( 2121 xxbbxyzyse  
b b
 Curva Trigonométrica:
1b 2b
)()cos( xwxy   Curva Trigonométrica: )()cos(21 xwxy  
ttwxt 21)()cos(  
Caso Não-Linear
 Exercício: O número de bactérias, por unidade de 
volume, existente em uma cultura após x horas é dado 
na tabela abaixo:
x 0 1 2 3 4 5 6
y 32 47 65 92 132 190 275
a) Ajuste os dados acima à curva pelo método dos 
y
xey 21
a) juste os dados ac a à cu a pe o étodo dos
quadrados mínimos.
Resposta:
y 1
xeyxy 355,0104,32355,0469,3ln Resposta: 
b) Quantas horas seriam necessárias para que o número de 
eyxy 104,32355,0469,3ln 
bactérias por unidade de volume ultrapasse 2000?
Resposta: 11,64 hrs