[FIS123] - Experimento 5

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UFBA-UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE FÍSICA
Departamento de física do estado sólido
Física geral e experimental III
Professor: Sandinei
Turma: T08 / P12
Experimento 5:
MEDIDAS DA COMPONENTE HORIZONTAL DA INDUÇÃO MAGNÉTICA TERRESTRE
Camila Vergasta
Fabio Queiroz
Heider Berlink
Rafael Rebouças
Salvador, junho de 2008
1)Introdução
O formato do campo magnético da Terra é similar àquele de uma barra magnética gigante enterrado no centro da Terra ao longo dos pólos geográficos norte e sul, ou seja , magneticamente falando , a terra se comporta como um imenso imã.Entretanto, seus pólos magnéticos não coincidem com os pólos geográficos, pois o Pólo Norte Magnético está situado a cerca de 1900 km ao sul do Pólo Norte Geográfico, a 73o de latitude N e 100o de longitude O. Assim, ao submetermos uma bússola aos efeitos do campo magnético terrestre, o seu pólo Norte não aponta na direção norte, na maioria dos locais da Terra. O ângulo de desvio da bússola do Norte verdadeiro é chamado ângulo de declinação. 
O estudo das componentes horizontal e vertical do campo de indução magnética terrestre, o que inclui a orientação e quantificação do campo, é de suma importância para o desenvolvimento dos instrumentos eletrônicos, considerando que estes sofrem influencia de um campo magnético externo. O estudo destas componentes é um dos focos deste experimento. 
2)Objetivo
Este experimento tem como objetivo o cálculo do valor da componente horizontal da indução magnética terrestre local , além da análise de dados referentes ao campo magnético gerado por uma bobina percorrida por corrente.
3)Abordagem Teórica
Indução magnética:
Uma bússola consiste em uma agulha imantada que pode girar ao redor de um eixo perpendicular à sua direção. Quando nas proximidades de uma barra imantada, a agulha da bússola parece sofrer uma influência magnética, se deslocando e apontando para uma determinada posição fixa em cada ponto do espaço. Em outras palavras, o imã provoca uma perturbação no meio que o circunda. Essa perturbação é indicada pelas chamadas “linhas de força”, que, por convenção, são orientadas do pólo norte para o pólo sul do imã. A “indução magnética” ou “densidade de fluxo magnético” 
 é a grandeza utilizada para medir essa perturbação.
É possível definir o valor da indução magnética com o auxílio de uma bússola, pois sabemos que o módulo do torque da agulha da bússola é diretamente proporcional à indução magnética e ao seno do ângulo de giro:
Esta expressão pode se tornar uma igualdade com a introdução de uma constante µ, associada com a intensidade da imantação da agulha:
	
Ou, na forma vetorial,
No sistema internacional MKS, a unidade de 
é o Tesla(T), e no CGS é o Gauss (G).
Indução Magnética Terrestre:
Num dado lugar da superfície da Terra, uma bússola procura sempre a mesma orientação e indica aproximadamente a mesma direção. Portanto, em cada ponto da superfície da terra existe uma indução magnética 
, que é decomposta em uma componente vertical e outra horizontal. A Terra pode ser comparada, assim, com uma grande barra imantada.
Sabendo que a indução magnética natural da terra atua em todos os pontos, quando uma bússola está próxima a um imã, ela tende a se alinhar sobre a indução resultante 
. No ponto P qualquer, a soma vetorial de 
devido ao imã com 
 é dada por:
Neste experimento, iremos calcular apenas a componente horizontal da indução magnética terrestre local. 
Efeitos magnéticos da corrente elétrica:
Se substituirmos o ímã permanente por um fio condutor, retilíneo, percorrido por uma corrente I, a bússola, mais uma vez, acusa a presença de uma indução magnética 
. As linhas de força desse campo são círculos, centrados no fio, traçados em planos perpendiculares à direção do fio.
A lei de Biot-Savart dá o módulo da contribuição 
em um ponto genérico P:
Ou, vetorialmente, 
A indução magnética 
total no ponto P devida à totalidade do circuito será escrita por uma integração vetorial que representa a soma vetorial de todas as contribuições infinitesimais de todos os elementos que constituem o circuito.
Indução magnética criada por uma espira circular:
No experimento vamos compor a indução magnética 
de uma bobina circular, constituída de N espiras de fio condutor percorrida por uma corrente I e que possua seu eixo orientado na direção leste-oeste magnético, com a indução magnética terrestre a 90º no espaço. Num determinado ponto P do eixo, a uma distância x do centro da bobina, a indução magnética resultante será a soma vetorial da indução devido à bobina com a indução magnética terrestre. Aplicando Biot-Savart ao caso de uma espira e efetuando algumas manipulações algébricas, temos:
Integrando a expressão ao longo da espira (comprimento 2πR, sendo R o raio da bobina), e considerando que a bobina possui N espiras, chegamos a:
Como representado na figura acima, nesse experimento só iremos nos utilizar da componente horizontal da indução magnética terrestre, 
, que composta com a indução da bobina gerará uma resultante 
 (
), que será medida através da deflexão θ da bússola.
4) Material utilizado
Para a realização do experimento , os seguintes materiais foram utilizados:
i) bancada de medida constituída de uma mesa para a bússola e de um suporte deslizante para a bobina
ii) bússola graduada em graus
iii)bobina
iv) medidor multi-escala usado como amperímetro
v)reostato
vi) década de resistores
vii)fonte de tensão
viii)chave liga-desliga
viiii)chave inversora
ix)placa de ligação
x)fios
5)Realização experimental
Para a realização do experimento , a seguinte configuração foi montada:
Primeiramente , foram registrados os dados referentes aos instrumentos utilizados para que depois fosse feita a analise dos resultados.Os dados estão descritos abaixo:
(Diâmetro médio da bobina: 
Diâmetro externo: 15,25 cm
Diâmetro interno: 12,45 cm
(Desvio avaliado do amperímetro:
Escala utilizada (250mA)
O desvio será metade da menor divisão, logo:
(Desvio avaliado da régua:
A menor divisão da régua é de 1 mm 
 Desvio avaliado = 0,5mm=0,05cm
(Desvio avaliado da bússola:
A menor divisão da bússola é de 1º
Desvio avaliado = 0,5º
Na realização do experimento, fizemos dois tipos de procedimento :
No primeiro conjunto de medidas, mantemos a bobina a uma distancia constante de 10,0cm da bussola , e variamos o valor da corrente que passava pela bobina. Registramos a posição inicial da bussola 
=12,5º, ou seja , quando esta estava submetida apenas ao campo de indução terrestre . Posteriormente ,dispondo de uma chave inversora , medimos o valor do ângulo e ’ de deflexão da bússola para os dois sentidos de corrente , sendo os valores registrados na tabela abaixo:
�
	i+Δi (mA)
	
+ θ
	
+ θ’
	|θ| º
	|θ’| º
	10
	-26,5
	4
	14
	16,5
	20
	-40
	22
	27,5
	34,5
	30
	-48
	35,5
	35,5
	48
	40
	-54,5
	46
	42
	58,5
	50
	-60
	54,5
	47,5
	67
	60
	-63,5
	60
	51
	72,5
	70
	-66,5
	64,5
	54
	77
	80
	-68,5
	67,5
	56
	80
	90
	-71
	70
	58,5
	82,5
	100
	-72,5
	72,5
	60
	85
	110
	-73,5
	74
	61
	86,5
	120
	-75
	75,5
	62,5
	88
	130
	-76
	76,5
	63,5
	89
	140
	-77
	77,5
	64,5
	90
	150
	-78
	79
	65,5
	91,5
Para a realização do segundo conjunto de medidas, mantivemos a mesma configuração e agora, mantendo o valor da corrente constante, registramos os valores dos ângulos de deflexão da bussola ao variarmos a distancia x da bussola até a bobina. Da mesma forma, observamos a deflexão para os dois sentidos de corrente, sendo medidos tais valores até um ângulo de deflexão limite igual a 5 requisitado no roteiro. Diferentemente do primeiro procedimento, alinhamos a configuração utilizada de forma que o ângulo inicial
observado na bussola era nulo.As medidas foram feitas duas vezes , para dois valores diferentes de corrente constante. 
Os valores registrados estão descritos na tabela abaixo:
Para i=100mA , temos:
	x+Δx (cm) QUOTE �
	|θ+
| º
	|θ’+
| º
	10
	72,5
	72,5
	13
	59,5
	61,5
	16
	49
	46,5
	19
	34,5
	33
	22
	24,5
	23,5
	25
	17
	16,5
	28
	12,5
	11,5
	31
	9,5
	8,5
	34
	7,5
	7
	37
	6
	5,5
Para i=150mA , temos:
	x+Δx (cm) QUOTE �
	|θ+
| º
	|θ’
| º
	10
	7,5
	78,5
	13
	70
	69,5
	16
	58,5
	57
	19
	46
	43,5
	22
	34,5
	32
	25
	25
	23,5
	28
	19
	17,5
	31
	14,5
	13
	34
	11,5
	10
	37
	8,5
	7,5
	40
	7
	5,5
	42
	6
	5
Posteriormente , colocando a bobina à menor distancia possível da bussola e mantendo a corrente constante , giramos a bobina de um pequeno ângulo em relação à bussola , e observamos que a bussola sempre gira no sentido contrario ao sentido em que giramos a bobina , ou seja , quando giramos a bobina no sentido horário a bussola gira no sentido anti-horário , e vice-versa. Os resultados serão analisados posteriormente.
6)Análise experimental
6.1) Análise dos resultados referentes à distância x constante
6.1.1)Análise a partir do método gráfico
Dos resultados obtidos no primeiro procedimento, a seguinte gráfico foi plotado:
O gráfico foi plotado com os valores médios de ângulo de deflexão da bussola , tal que:
É sabido que a reta deve passar na origem, pois quando a corrente i na bobina é zero, não existe deflexão na agulha da bússola (( e tg( são nulos). Assim , traçando a melhor reta sem usar os métodos dos mínimos quadrados , temos que:
Coeficiente angular = k = =
Coeficiente linear = b = zero
O coeficiente angular da reta obtida é de suma importância para a analise decorrente. Avaliando dimensionalmente a constante k , temos que:
 , e sendo:
é adimensional
 , desta forma:
A dimensão encontrada para a constante k comprova o resultado já esperado, pois a reta é dada por 
. A corrente “i” é dada em ampère, e como a tangente de um ângulo é adimensional, k tem que ser dado em 
.
Cálculo de BTH a partir da inclinação da reta obtida pelo método gráfico
Analisando a equação obtida pela lei de Biot-Savart para o campo magnético gerado pela bobina , vimos que:
Assim , podemos encontrar BTH que é dado pela seguinte relação:
.
Sabemos que:
N = número de espiras da bobina = 320
 
R = raio médio da bobina = 6,93 cm = 0,0693 m
x = distância do centro da bússola até o plano na bobina = 10 cm = 0,1m
k = coeficiente angular = 31,1 (1/A)
Logo, aplicando na relação obtida , temos: 
6.1.2)Analise pelo método dos mínimos quadrados
Utilizando o mesmo conjunto de pontos, foi traçada agora a melhor reta usando o método dos mínimos quadrados. Como sabemos que a reta deve passar pela origem, temos que:
O gráfico plotado foi o seguinte:
Sendo os valores encontrados :
Coeficiente angular = k = 0.0316
 = 31.6 
Coeficiente linear = b= 0 , tal que a reta foi forçada a passar na origem, pois quando i = 0 não há deflexão na agulha ((=0, logo tg(=0)
Cálculo de BTH a partir da inclinação da reta obtida pelo MMQ
Utilizando a mesma expressão anterior, o valor de BTH foi calculado com o novo valor de k encontrado pelo MMQ. Logo, temos:
Comparação dos resultados
Os valores encontrados para BTH utilizando o método gráfico e o método dos mínimos quadrados foram , respectivamente, 
 e 
. De posse da informação que o valor do BTH em Salvador é 
, podemos concluir que a melhor determinação de BTH é aquela obtida através do gráfico tg( versus i, sem a aplicação do MMQ, pois é a que mais se aproxima do valor real, o que difere do resultado esperado apesar da discrepância ser aceitável para os dois valores encontrados.Possíveis erros na analise do gráfico podem ter ocorrido para que este resultado fosse obtido , tal como na utilização do método gráfico de forma que o resultado mais preciso para esta forma de analise não era esperado em relação ao MMQ.
 
6.2) Análise dos resultados referentes à corrente i constante
Para os dados obtidos para corrente constante foi possível plotar os seguintes gráficos utilizando o método dos mínimos quadrados :
Corrente fixa em 100 mA
Utilizando o Método dos Mínimos Quadrados, temos:
Coeficiente angular = 
= 0.6458
Coeficiente linear = 
= -3.4598
Corrente fixa em 150 mA
Utilizando o Método dos Mínimos Quadrados, temos:
Coeficiente angular = 
= 0.6406
Coeficiente linear = 
= -3.2032
Sendo os valores de ângulo utilizados os valores médios obtidos da mesma forma que no item anterior.Plotando os gráficos no mesmo plano cartesiano , temos:
Comparação entre os coeficientes angulares das retas obtidas e o valor teórico
De acordo com a equação teórica da reta encontrada, temos que o coeficiente angular da reta vale . Os coeficientes angulares encontrados para i = 100mA e i = 150mA foram , respectivamente , 0.6458 e 0.6406 . Assim, como o valor teórico desejado para esse coeficiente é a = 2/30,667, o valor do coeficiente angular foi melhor determinado para o gráfico plotado para a corrente de i=100mA. Entretanto, os dois valores são aceitáveis considerando a baixa discrepância obtida com relação ao valor teórico. A pequena diferença é devida a possíveis erros experimentais 
Cálculo de a partir do coeficiente linear das retas obtidas
Os valores de constante linear encontrados nos gráficos para i=100mA e i=150mA são , respectivamente , -3.4598 e -3.2032.
A relação obtida teoricamente para , ou seja , Y = K , é:
Donde podemos calcular 
Sabemos que:
N = número de espiras da bobina = 320
 
R = raio médio da bobina = 6,93 cm = 0,0693 m
Para i=100mA o valor de x é 16cm e para i=150mA o valor de x é 19cm , ambos para médio igual a 45.
Assim , os respectivos valores de são :
Para i=100mA ( 1,82151429.
Para i=150mA ( 1,75090649.
O valor médio de é então : 1,786210394.
Comparação dos valores calculados de 
Os valores médios de obtidos nos métodos 1 e 2 e o valor indicado no anexo são , respectivamente : 
Método 1 ( =1,710532.
Metodo 2 ( =1,786210. 
Valor indicado ( 2,0.
Assim , temos que o método mais eficaz para o cálculo de , levando em consideração que este a menor discrepância deste com relação ao valor indicado no anexo:
É possível ver neste caso a comprovação da maior validade das medidas feitas a partir dos métodos dos mínimos quadrados , sendo que uma menor discrepância foi encontrada no método 2 onde só o MMQ foi utilizado .
Entretanto, é possível notar que ambos os valores experimentais são validos já que possuem um valor de discrepância dentro do limite aceitável para a validação do experimento.
6.3) Cálculo dos erros cometidos na determinação de medidos pelos dois métodos
Ao utilizar o método dos mínimos quadrados para encontrar os gráficos, a calculadora utilizada já forneceu o desvio ( para os casos de distância e corrente constante.
Assim, para distância constante, o valor de 
. Assim, escrevendo o número na forma BTH±(BTH, temos:
BTH=(1,8±0,3).10-5 T
Para a corrente constante igual a 100mA e 150mA, foram encontrados, respectivamente, os erros 
 e 
 . Assim, esses valores podem ser escritos da seguinte forma:
Para i=100mA ( BTH=(1,8±0,4).10-5 T
Para i=150mA ( BTH=(1,8±0,3).10-5 T
A partir desses valores, é possível perceber que os erros estão dentro do aceitável, já que o valor tabelado (2,0.10-5 T) está compreendido em todos os intervalos BTH±(BTH encontrados. 
Construção do gráfico de B versus x, para I=150mA:
A partir da equação
, foi construída a seguinte tabela, utilizando os seguintes valores:
I = 150mA = 0,15A (máxima corrente utilizada)
N = número de espiras da bobina = 320
 
R = raio médio da bobina = 6,93 cm = 0,0693
m
	x+x (cm)
	B (T)
	10
	1,44825E-10
	13
	6,59214E-11
	16
	3,53592E-11
	19
	2,11157E-11
	22
	1,36019E-11
	25
	9,26936E-12
	28
	6,59776E-12
	31
	4,86168E-12
	34
	3,68498E-12
	37
	2,85935E-12
	40
	2,26304E-12
	42
	1,9549E-12
Então, com esses valores foi possível construir o gráfico de B versus x.
Analisando o gráfico, é possível perceber um comportamento hiperbólico do mesmo, de forma que à medida que a distância x aumenta, o campo magnético B diminui e vice versa.
Percebe-se, também, que quando 
 e quando 
. Isto significa que ao afastar muito a bobina da bússola, a influência de seu campo magnético vai se tornando cada vez mais desprezível. Em contrapartida, se aproximássemos muito a bobina da bússola, a influência de seu campo magnético seria muito intensa.
7)Tópicos propostos
7.1)Justifique, pela lei de Biot-Savart , porque a indução B criada no eixo da bobina aumenta se o seu raio diminui
Como visto anteriormente, a lei de Biot-Savart, que dá o módulo da contribuição 
em um ponto P, é dada por:
Aplicando essa lei ao caso de uma bobina de raio R, constituída de N espiras juntas, obtemos a indução magnética em um ponto P situado no seu eixo:
Assim, por esta relação, vemos que o campo criado em um ponto no eixo da espira é inversamente proporcional ao raio R da espira, tal que uma diminuição no valor do raio da bobina vai gerar um aumento no valor do campo criado. Trabalhando com linhas de força, é possível imaginar a situação analisada como o aumento ou diminuição da densidade das linhas de campo magnético no eixo da bobina, tal que uma diminuição do raio produzirá um aumento na densidade de linhas de campo e, conseqüentemente, um aumento do valor absoluto do mesmo.
7.2)Interprete, com o auxilio de uma analise gráfica, os resultados do item IV.3
Neste item , realizamos uma rotação na bobina percorrida por corrente , procedimento já enunciado na seção “Realização experimental” . Considerando a distancia minima , temos enta que é possível considerar como desprezível o efeito do campo de indução magnética terrestre no experimento , sendo que este pode ser analisado a partir apenas da induçao magnetica produzida pela bobina percorrida por corrente. Neste procedimento , observamos que a bussola sempre girava em sentido contrario ao movimento feito na bobina , ou seja , ao girar a bobina no sentido anti-horario a bussola girava no sentido horário , e vice – versa. Este fato ocorre porque a bussola vai sempre se alinhar com o campo externo , ou seja , considere uma espira submetida a uma certa corrente com o sentido indicado, produzindo o campo magnético B indicado:
Ao ser efetuado um giro na bobina , temos a seguinte resposta da bussola:
Assim, é possível ver que a bussola tende sempre a se alinhar com o campo externo em um dos lados da bobina , tal que a orientação deste campo é fator determinante para o giro inverso da bussola em relação à bobina.
7.3) Você mediu a deflexão q da bússola para uma certa corrente I e distância x, constantes. Posteriormente, inverteu o sentido dessa corrente. Explique porque o valor encontrado para a deflexão deve ser, ((’ = - (). Analise e interprete todas as razões possíveis que fariam (’ diferente de - (.
Ao inverter o sentido da corrente, o campo criado no eixo da bobina possui mesmo módulo e direção, porém sentido contrário em relação ao anterior, produzido pela corrente no sentido inverso. Essa afirmação pode ser verificada pela lei de Biot-Savart, citada anteriormente. Desta forma, o vetor indução magnética resultante BRH, composto pela indução B devida à bobina e pela componente horizontal da indução magnética terrestre BTH, terá simetria em relação ao BRH anterior. A diferença se dá apenas no sentido de B, pois BTH se mantém fixo. Assim, temos que o ângulo de deflexão (’ formado entre BTH e BRH com a inversão do sentido da corrente tem o mesmo módulo que o anterior, porém está situado do outro lado do eixo norte-sul, o que na bússola representa um ângulo de mesmo valor e sinal contrário. Em outras palavras, caso a agulha da bússola esteja alinhada com o eixo da bobina (
=0º), (’ = - (.
No experimento, contudo, pequenas diferenças entre os valores de (’ e -( foram constatadas. São inúmeras as razões que podem ter causado essas diferenças, dentre elas imprecisões na leitura do amperímetro e da bússola, falhas na horizontalidade da bússola e no alinhamento da agulha com o eixo da bobina, influências de efeitos magnéticos externos,além de erros no posicionamento da bobina. 
8)Conclusão
Com a realização deste experimento, pudemos obter, com relativa precisão, valores para a componente horizontal da indução magnética terrestre. Para isso, nos utilizamos de uma montagem experimental para obter diferentes valores do ângulo de deflexão de uma bússola para diferentes correntes que atravessavam uma bobina. Após traçar diversos gráficos, em diferentes situações, primeiro com a distância x constante e depois com a corrente I constante, pudemos, através de diferentes métodos, como o Método dos Mínimos Quadrados ou mesmo a obtenção gráfica do coeficiente angular, determinar valores aproximados de BTH. No caso de um dos gráficos, utilizamos um processo de linearização para depois calcular o valor do coeficiente angular K. Comparamos BTH obtido experimentalmente com o seu valor real e identificamos que o método que nos propiciou uma melhor aproximação, ao contrário do esperado, não foi o MMQ. Observamos ainda que alguns erros experimentais foram cometidos nesse processo, devido principalmente a falhas de medição, mas estes não impediram que alcançássemos o objetivo do experimento, permitindo ainda encontrar valores de BTH com discrepâncias satisfatórias. Pudemos ainda observar alguns aspectos do comportamento da indução magnética B de uma bobina e sua influência sobre uma bússola.
Pudemos ainda observar alguns aspectos do comportamento da indução magnética B de uma bobina e sua influência sobre uma bússola, como o comportamento do angulo de deflexão com a variação angular da bobina.
0
9)Bibliografia
Halliday , David , RESNICK , Robert .Fundamentos de Fisica , vol.3 ,7ed. , Rio de janeiro.
 NUSSENZVEIG , H.M. Curso de Fisica Basica , vol.3 . São Paulo : Edgard Blucher LTDA. , 199
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