[FIS123] - Experimento 7

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UFBA – Universidade Federal da Bahia
Departamento de Física do Estado Sólido
Física Geral e Experimental III
Professor: Sandinei
Turma: T06 / P12
Experimento 7:
Constante de Tempo em Circuitos RC
Grupo:	Camila Vergasta
Fábio Queiroz
Francisco Viana
Salvador, 28 de maio de 2008
�
INTRODUÇÃO
O experimento realizado tem por objetivo obter medidas da constante de tempo em um circuito RC, de modo que, a partir da mesma, encontre-se um valor experimental para a resistência interna de um voltímetro real, além de, obviamente, poder-se determinar o valor da capacitância do elemento passivo utilizado.
Na montagem do circuito desejado, foram utilizados os seguintes elementos:
1 Fonte de tensão DC;
1 Capacitor;
1 Década de resistores;
1 Voltímetro;
1 Chaveamento;
Conectores
Diante da utilização de um circuito capacitivo, deve-se ter a idéia chave de como esse elemento funciona em um circuito elétrico.
O capacitor é um elemento bipolar passivo projetado para armazenar energia em seu campo elétrico. Além dos resistores, os capacitores são os elementos mais comuns utilizados em circuitos elétricos.
O dispositivo é constituído por duas placas condutoras separadas por um meio dielétrico qualquer. Quando uma fonte de tensão DC é conectada entre seus terminais, a fonte deposita uma carga q positiva em uma placa e uma carga negativa –q na outra. Diz-se então que o capacitor está armazenando carga elétrica. O total da carga armazenada, representada por q, é diretamente proporcional à tensão v aplicada, logo:
q = C.v
Onde C é a constante de proporcionalidade, chamada de capacitância do capacitor. A unidade de capacitância é o Farad (F). Apesar de a capacitância ser a razão da carga q pela tensão v, ela independe de q ou de v. Ela depende das dimensões físicas do capacitor. No exemplo mais comum, para capacitor de placas planas paralelas, a capacitância é:
Com A sendo a área da superfície de cada placa, d a distância entre elas e ε a permissividade do material entre as mesmas.
Voltando à equação q = C.v e derivando-a em relação ao tempo, obtém-se:
Mas 
, logo:
Esta equação expressa a relação corrente-tensão para um capacitor linear assumindo-se a convenção de sinal passivo.
A partir desta lei básica, notam-se duas observações de extrema importância na aplicação em circuitos elétricos:
Se a tensão aplicada não varia com o tempo, a corrente no capacitor é zero, ou seja, o mesmo funciona como circuito aberto.
A tensão em um capacitor deve ser continua, ou seja, não pode variar abruptamente, pois, neste caso, a corrente seria infinita, o que é fisicamente impossível.
Um circuito resistor-capacitor (circuito RC) é caracterizado por uma equação diferencial de 1ª ordem. O circuito é descrito abaixo com a aplicação direta da Lei das Tensões de Kirchoff.
Esta é uma E.D.O. cuja solução é: 
A constante RC é conhecida como constante de tempo capacitiva e é representada por τ. Após um tempo t = τ, a carga no capacitor atinge um valor igual a 63,8% da sua carga máxima.
Com o capacitor em regime permanente, diz-se que o mesmo já se encontra carregado. Pode-se então descarregá-lo utilizando o circuito da figura abaixo:
Aplicando novamente a LTK ao loop:
Esta é uma E.D.O. de solução 
, sendo Qo a carga máxima do capacitor.
�
PARTE EXPERIMENTAL
Inicialmente, montou-se o seguinte circuito:
Com a chave ligada em 3, colocou-se o voltímetro nos terminais 1 e D para medição da tensão fornecida pela fonte DC. O valor obtido foi Vo = 8V
Com a chave ligada em 1, inseriu-se o voltímetro em paralelo com os terminais D e E (observou-se aí a não idealidade do voltímetro utilizado, pois o mesmo é caracterizado por uma resistência RV em paralelo com um voltímetro dito ideal).
Portanto, após um tempo suficiente para que o sistema entrasse em regime estabilizado, foi feita a leitura do voltímetro, acusando uma ddp VED = 7,8V.
Os valores para os demais elementos foram:
Década de resistores: R = 5kΩ
Resistência interna do voltímetro para fundo de escala de 10V: RV = 200kΩ
Resistência de Thévenin para a chave em 1 e 3: 
Desvio avaliado do voltímetro: ∆V = 0,1V
Colocamos a chave na posição 3 e acionamos o cronômetro. O capacitor passou a descarregar-se sobre a resistência de Thévenin do circuito, de modo que foi mensurada a constante de tempo de descarga t3, que é o tempo necessário para a tensão nos terminais do capacitor cair até 36,8% do seu valor máximo
36,8% de 7,8V = 2,8704V ≈ 2,9V
Após um bom período necessário para o sistema estabilizar-se, a chave foi colocada em 1 e mediu-se a constante de tempo de carga t1, que é o tempo necessário para a tensão elevar-se até 63,2% do seu valor máximo.
63,2% de 7,8V = 4,9296V ≈ 4,9V
Considerando-se a manutenção da mesma resistência de Thévenin, os valores obtidos para t1 e t3 foram bem próximos, de modo que podemos torná-los iguais com as devidas aproximações, haja vista a imprecisão na utilização do cronômetro.
Após a estabilidade do sistema, a chave foi colocada em 2 e o capacitor passou a descarregar-se sobre a resistência RV do voltímetro. Foi medida a constante de tempo de descarga t2 = 322,00s (t2 = 5min e 22s), a qual é muito maior que a constante de tempo de descarga t3. Esse resultado já era esperado, pois com a chave em 3, o capacitor se descarrega sobre a resistência de Thévenin, e com a chave em 2 o mesmo descarrega-se sobre a resistência RV. Como a constante de tempo é definida por τ = R.C e temos RTH < RV, implica-se aí que t3 < t2, pois o capacitor é o mesmo nas duas situações.
O procedimento acima foi realizado mais duas vezes de modo que se obteve, sendo os últimos valores obtidos através da média aritmética das três medidas:
	
	MEDIDAS REALIZADAS
	
	1ª
	2ª
	3ª
	t1(s)
	7,50
	7,71
	7,62
	t3(s)
	7,59
	7,66
	7,50
	t1(s)
	7,61
	t3(s)
	7,58
Após essas medidas, carregamos o capacitor e colocamos a chave na posição 2. Logo, o capacitor passou a descarregar-se sobre a resistência interna RV do voltímetro e, a cada 30s, mensurou-se a diferença de potencial nos terminais do capacitor de maneira que obtivemos 24 pontos de medida, conforme a tabela abaixo.
	DESCARGA SOBRE A RESISTÊNCIA RV
	t2 (s)
	VED (V)
	
	t2 (s)
	VED (V)
	30,00
	7,1
	
	390,00
	2,4
	60,00
	6,3
	
	420,00
	2,2
	90,00
	5,7
	
	450,00
	2,0
	120,00
	5,2
	
	480,00
	1,8
	150,00
	4,8
	
	510,00
	1,7
	180,00
	4,4
	
	540,00
	1,5
	210,00
	4,1
	
	570,00
	1,4
	240,00
	3,8
	
	600,00
	1,3
	270,00
	3,5
	
	630,00
	1,2
	300,00
	3,2
	
	660,00
	1,1
	330,00
	2,9
	
	690,00
	1,0
	360,00
	2,7
	
	720,00
	0,9
O tempo total escolhido para a obtenção das medidas engloba um valor maior que duas constantes de tempo t2. Essa escolha satisfaz a condição de que o intervalo contenha o ponto t2 e de que se consiga observar na curva traçada a característica exponencial já esperada.
�
RELATÓRIO
Cálculo de RV para o fundo de escala 10V
De acordo com o circuito da montagem abaixo:
Pode-se determinar o valor da resistência interna do voltímetro na escala utilizada (10V) através da simples divisão de tensão sobre RV:
E, arrumando a equação acima, tem-se: 
Substituindo-se os valores conhecidos, 
Pode-se ainda calcular RV através das constantes de tempo t2 e t3.
Se a constante de tempo capacitiva é dada por τ = RC
Então: t2 = RV.C e t3 = RTh.C
Isolando a capacitância C do capacitor e igualando-o numa única expressão, tem-se:
Substituindo os valores previamente conhecidos,
 
Os valores de RV calculados de diferentes formas são distintos, porém, não se diferem muito do valor exato de 200kΩ fornecido pelo fabricante do multímetro. Esta diferença é encontrada devido às imprecisões na utilização do cronômetro, como também à resistência dos condutoresaliada à não precisão da resistência de década.
Cálculo do erro da determinação de RV
Através das constantes de tempo t2 e t3, pode-se obter uma expressão para o desvio de RV. Seja 
, então,
Onde:
∆R = 0,05*5000 = 250
∆t2 = ∆t3 = 0,01s
Logo, ∆RV ≈ 10656,86 ≈ 10,66kΩ
Mas, esse valor ainda é minorado para ∆RV = ± 10 kΩ
Portanto, RV = (207 ± 10) kΩ , e este limite de erro é aceitável, já que o valor exato da resistência interna do voltímetro pertence a este conjunto.
Tempo de carga e descarga do capacitor
O tempo de carga do capacitor obedece à seguinte relação vista anteriormente:
; onde τc = R.C é a constante de tempo de carga
E a equação de descarga estabelece o tempo de descarga:
; onde τd = R.C é a constante de tempo de descarga
Ao determinarmos t1, o capacitor carregava-se sobre a influência da resistência R e da resistência interna do voltímetro RV. Calculando a resistência de Thévenin conforme já foi citado anteriormente, 
.
Logo, 
 
Na determinação de t3, o capacitor descarregou-se sobre a resistência R em paralelo com a resistência RV, de modo que obtemos por equivalência:
O que fornece: 
 
Assim, como a resistência R permaneceu constante e igual a 5kΩ, não foi alterado o fundo de escala do voltímetro e nem o capacitor, percebe-se a equivalência das constantes de tempo de carga e descarga capacitivas, ou seja, τc = τd. Por isso, experimentalmente, os valores t1 e t3 ficaram bem próximos.
Gráfico VED (V) x t2 (s) em papel milimetrado
A análise do gráfico em papel milimetrado faz-nos perceber que, quando o tempo t→∞, a tensão nos terminais do capacitor tende a zero. Este comportamento já era esperado, pois, ao descarregar-se, o capacitor obedece à seguinte relação vista anteriormente:
 Em uma função exponencial que tem como assíntota o eixo Ot, a curva não chega a tocar o eixo do tempo. Entretanto, em termos práticos adota-se que, para um tempo de descarga t > 5*τd, pode-se considerar o capacitor descarregado e o circuito em regime permanente.
Cálculo de C através do gráfico mono-log
Traçando-se o gráfico mono-log desejado, obteve-se uma reta, ou seja, houve a linearização da curva VED (V) x t2 (s).
Sabe-se que, para a descarga do capacitor, temos a seguinte relação:
Mas 
 e 
Logo, 
; tal que a resistência R é a resistência interna do voltímetro.
Para o método de linearização da equação acima, aplica-se logaritmo de base 10:
Se log (V) for chamado de V’, 
 de α e log(Vo) de β, encontramos uma relação linear caracterizada por: V’ = α.t + β
Para encontrar o valor da capacitância C, basta encontrar o coeficiente angular α da reta obtida em papel mono-log. Aplicando o método dos mínimos quadrados (MMQ) para a reta obtida, temos:
	t2 (s)
	VED (V)
	log (VED)
	30,00
	7,1
	0,851258
	60,00
	6,3
	0,799341
	90,00
	5,7
	0,755875
	120,00
	5,2
	0,716003
	150,00
	4,8
	0,681241
	180,00
	4,4
	0,643453
	210,00
	4,1
	0,607455
	240,00
	3,8
	0,579784
	270,00
	3,5
	0,544068
	300,00
	3,2
	0,50515
	330,00
	2,9
	0,462398
	360,00
	2,7
	0,423246
	390,00
	2,4
	0,380211
	420,00
	2,2
	0,342423
	450,00
	2,0
	0,30103
	480,00
	1,8
	0,255273
	510,00
	1,7
	0,217484
	540,00
	1,5
	0,176091
	570,00
	1,4
	0,146128
	600,00
	1,3
	0,09691
	630,00
	1,2
	0,060698
	660,00
	1,1
	0,021189
	690,00
	1,0
	0
	720,00
	0,9
	-0,04576
	∑(t2)
	∑ (logVED)
	∑(t2²)
	∑(t2*logVED)
	n
	α
	β
	9000,00
	9,520951
	4410000
	2232,3903
	24
	-0,001278177
	0,879445
Logo, como 
Portanto, C = 1,641432 → C ≈ 1,64 mF
O desvio associado à medida da capacitância pode ser dado pela fórmula:
Onde:
∆α = 0,9996.10-4 → erro associado ao MMQ
∆RV = 10,66.103
Logo, ∆C = 2,12904.10-4 ≈ 0,21.10-3
Sendo assim, o valor da capacitância C pode ser escrito como,
C = (1,64 ± 0,21) mF
Dimensão temporal da constante RC
Para validar a dimensão temporal da constante R.C, basta relembrar as unidades especificas de:
Ampére [A] = Coulomb [C] / Segundo [s] → A = C.s-1 → C = A.s
Ohm [Ω] = Volt [V] / Ampére [A] → Ω = V.A-1
Farad [F] = Coulomb [C] / Volt [V] → F = C.V-1
Logo, com a análise dimensional de τ = R.C, obtém-se:
Ω.F = (V.A-1).(C.V-1) = C.A-1
Ω.F = (A.s).A-1
Ω.F = s
Portanto, τ = R.C [s]
Solução das Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) trabalhadas
Seja a EDO: 
 (7)
Sua solução geral é da forma: 
 (8) ; tal que τ = R.C 
Logo, podemos substituir a solução geral na EDO e obtermos a identidade:
Portanto, a eq. (8) é solução da EDO (7)
Seja a EDO:
 (14)
Sua solução geral é da forma: 
 (15); tal que τ = RC
Logo, podemos substituir a solução geral na EDO e obtermos a própria solução:
Portanto, a eq. (15) é solução geral da EDO (14)
�
CONCLUSÃO
Com a realização deste experimento, foi possível compreender melhor o comportamento de um capacitor em um circuito RC. Inicialmente, foram medidas as constantes de tempo de carga e descarga do capacitor. De posse desses dados, foi calculado um valor experimental para a resistência interna de um voltímetro real, que não diferiu muito do valor fornecido pelo fabricante, ou seja, apresentou uma discrepância dentro dos limites aceitáveis. O valor da capacitância do capacitor, obtido através do gráfico linearizado VED x t2, também esteve sujeito a alguns erros, provocados, sobretudo, pela imprecisão dos instrumentos de medição do laboratório.
Concluiu-se também que as constantes de tempo de carga e descarga são iguais, desde que sejam mantidos os mesmos valores de resistência equivalente e de capacitância.
D
E
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