Lista exercicios Derivadas Pariciais

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MEC – SETEC
INSTITUTO FEDERAL MINAS GERAIS - CAMPUS AVANC¸ADO PIUMHI
CURSO: Engenharia Civil
Disciplina Ca´lculo Diferencial e Integral II - MAT021
Professor Vinı´cius Barbosa de Paiva
Nome:
Questa˜o 1 - Se f(x, y) = 16 − 4x2 − y2, determine fx(1, 2) e fy(1, 2) e interprete esses nu´meros como
inclinac¸o˜es.
Questa˜o 2 - Se f(x, y) =
√
4− x2 − 4y2, determine fx(1, 0) e fy(1, 0) e interprete esses nu´meros como
inclinac¸o˜es.
Questa˜o 3 - Determine as derivadas parciais de primeira ordem das func¸o˜es:
a) f(x, y) = x2y3
b) f(x, y) =
1
1 + x2y2
c) f(x, y) = y5 − 3xy
d) f(x, y) = x4y3 + 8x2y
e) f(x, t) = e−tcospix
f) f(x, t) =
√
xln t
g) z = (2x+ 3y)10
h) z = tg xy
i) f(x, y) =
x
y
j) f(x, y) =
x
(x+ y)2
l) f(x, y) =
ax+ by
cx+ dy
m) w =
ew
u+ v2
n) g(u, v) = (u2v − v3)5
o) f(x, t) = arctg(x
√
t)
p) w = senαcosβ
q) f(x, y) = xy
r) f(x, y, z) = xz − 5x2y3z4
s) f(x, y, z) = xsen(y − z)
t) w = ln (x+ 2y + 3z)
u) w = zexyz
v) u = xysen−1(yz)
x) u = xy/z
z) u =
√
x21 + x
2
2 + . . .+ x
2
n
Questa˜o 4 - Determine as derivadas parciais indicadas.
a) f(x, y) = ln (x+
√
x2 + y2); fx(3, 4)
b) f(x, y) = arctg(y/x); fx(2, 3)
c) f(x, y, z) =
y
x+ y + z
; fy(2, 1,−1)
d) f(x, y, z) =
√
sen2x+ sen2y + sen2z; fz(0, 0, pi/4)
Questa˜o 5 - Use a definic¸a˜o de derivadas parciais como limites para encontrar fx(x, y) e fy(x, y).
a) f(x, y) = xy2 − x3y
1
b) f(x, y) =
x
x+ y2
Questa˜o 6 - Use a definic¸a˜o de derivadas parciais como limites para encontrar fx(x, y) e fy(x, y).
a) f(x, y) = xy2 − x3y
b) f(x, y) =
x
x+ y2
Questa˜o 7 - Use a derivac¸a˜o implı´cita para encontrar ∂z/∂x e ∂z/∂y.
a) x2 + 2y2 + 3z2 = 1
b) x2 − y2 + z2 − 2z = 4
c) ez = xyz
d) yz + xln y = z2
Questa˜o 8 - Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
a) f(x, y) = x3y5 + 2x4y
b) f(x, y) = sen2(mx+ ny)
c) w =
√
u2 + v2
d) v =
xy
x− y
e) z = arctg
x+ y
1− xy
f) v = exe
y
Questa˜o 9 - Verifique se a conclusa˜o do Teorema de Clairaut e´ va´lida, isto e´, uxy = uyx.
a) u = x4y3 − y4
b) u = exyseny
c) u = cos(x2y)
d) u = ln (x+ 2y)
Questa˜o 10 - Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).
a) f(x, y) = x4y2 − x3y; fxxx fxyx
b) f(x, y) = sen(2x+ 5y); fyxy
c) f(x, y, z) = exyz
2
; fxyz
d) g(r, s, t) = ersen(st); grst
e) u = erθsen(θ);
∂3u
∂r2∂θ
f) z = u
√
u− w; ∂
3z
∂u∂v∂w
g) w =
x
y + 2z
;
∂3w
∂z∂y∂x
∂3w
∂x2∂y
Bons estudos!
Prof.
√
inicius
2