Microeconomia Aula 04

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Teoria e Exercícios 
Prof. César Frade 
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Fala Galera, 
Vocês estão pulando Carnaval ou estudando? Eu passei o meu dia de Carnaval 
fazendo a aula, apesar de gostar bastante de Carnaval. Mas, enfim, são os
compromissos. 
Ainda continuo aguardando o retorno da maioria. A aula de hoje será mais
tranqüila e bem importante. 
Agradeço algumas sugestões que tenho recebido. E, claro, as críticas também.
As críticas ou sugestões poderão ser enviadas para: 
cesar.frade@pontodosconcursos.com.br. 
Prof. César Frade 
Março/2011 
 
 
 
 
 
 
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6.12. Equação de Slutsky (TÓPICO AVANÇADO) 
A equação de Slutsky nos mostrará como podemos calcular matematicamente
o efeito renda e o efeito substituição. Com ela poderemos separar o efeito total
em dois efeitos separados e, portanto, classificar os bens sem que seja
necessário recorrer a exemplos hipotéticos ou aos gráficos. 
A equação de Slutsky nos diz que: 
߲ݔଵ଴
߲݌ଵ
ൌ
߲ݔଵ଴
߲݌ଵ
ቤ
௨
െ
߲ݔଵ଴
߲ݓ
· ݔଵ଴
Sendo: 
ݔଵ଴ - demanda inicial pelo bem 1; 
݌ଵ - preço do bem 1; e
w - renda 
Vamos tentar decifrar o que cada parte da equação nos indica: 
బడ௫భ
డ௣భ
 – informa qual a mudança na quantidade demandada inicial do bem 1 tendo 
em vista uma alteração no preço do bem 1; 
బడ௫భ
డ௣భ
ቚ
௨
 – informa a mudança na quantidade demandada inicial do bem 1 por 
causa de uma alteração no preço do bem, mas que mantenha o consumidor na
mesma curva de indiferença, ou seja, com a mesma utilidade. Esse é o efeito
substituição; 
బడ௫భ
డ௪
 – informa a mudança na quantidade demandada inicial em decorrência de 
uma mudança na renda do consumidor; 
డ௫భ
బ
డ௪
· ݔଵ଴ - esse é o efeito Renda. Seria a mudança na quantidade demandada em 
função de um aumento na renda vezes a quantidade demandada inicial. 
 
 
 
 
 
 
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Com isso, podemos pegar essa equação e desmembrá-la da seguinte forma: 
߲ݔଵ଴
߲݌ଵต
ாிாூ்ை
்ை்஺௅
ൌ
߲ݔଵ଴
߲݌ଵ
ቤ
௨ᇣᇤᇥ
ாிாூ்ை
ௌ௎஻ௌ்ூ்௎ூÇÃை
െ
߲ݔଵ଴
ᇣᇧᇤᇧᇥ߲ݓ
· ݔଵ଴
ாிாூ்ை
ோாே஽஺
Podemos pegar essa equação e fazer algumas modificações e algebrismos para
que tenhamos outras formas de resolver nossos possíveis problemas. 
Inicialmente, vamos multiplicar cada membro da equação por ௣భ
௫భ
బ. Assim, 
teríamos: 
߲ݔଵ଴
߲݌ଵ
·
݌ଵ
ݔଵ
଴ ൌ
݌ଵ
ݔଵ
଴ ·
߲ݔଵ଴
߲݌ଵ
ቤ
௨
െ
߲ݔଵ଴
߲ݓ
· ݔଵ଴ ·
݌ଵ
ݔଵ
଴ ·
ݓ
ݓ
Rearranjando os temos, temos: 
߲ݔଵ଴
߲݌ଵ
·
݌ଵ
ݔଵ
଴ ൌ
݌ଵ
ݔଵ
଴ ·
߲ݔଵ଴
߲݌ଵ
ቤ
௨
െ
݌ଵ · ݔଵ଴
ݓ
·
߲ݔଵ଴
߲ݓ
·
ݓ
ݔଵ
଴
Observe que o lado esquerdo da equação (డ௫భ
బ 
డ௣భ
· ௣భ
௫భ
బ) mensura a elasticidade-preço 
da demanda do bem x1. O efeito substituição é chamado de elasticidade-preço
da demanda compensada. 
Enquanto isso, o efeito renda é formado por dois termos. O primeiro deles 
(௣భ·௫భ
బ
௪
) tem no numerador o produto entre o preço do bem e a quantidade 
consumida do mesmo. Dessa forma, o numerado é igual ao valor dispendido
com o bem x1. Dessa forma, a fração acima indica o percentual total da renda
gasto com o consumo do bem x1. 
A segunda parte do termo (డ௫భ
బ 
డ௪
· ௪
௫భ
బ) indica a elasticidade-renda da demanda do 
bem x1. O produto entre eles dá origem ao efeito renda. 
Portanto, a fórmula pode ser representada da seguinte forma: 
A parte dentro do envoltório
mostra que estamos multiplicando
por um o último termo. 
 
 
 
 
 
 
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߲ݔଵ଴
߲݌ଵ
·
݌ଵ
ݔଵ
଴ᇣᇧᇤᇧᇥ
ா௟௔௦௧௜௖௜ௗ௔ௗ௘ି௣௥௘ç௢
ௗ௔ ௗ௘௠௔௡ௗ௔
ൌ
݌ଵ
ݔଵ
଴ ·
߲ݔଵ଴
߲݌ଵ
ቤ
௨ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ
ா௟௔௦௧௜௖௜ௗ௔ௗ௘ି௣௥௘ç௢
ௗ௔ ௗ௘௠௔௡ௗ௔ ௖௢௠௣௘௡௦௔ௗ௔
െ
݌ଵ · ݔଵ଴
ݓᇣᇤᇥ
௣௥௢௣௢௥çã௢ ௗ௔ ௥௘௡ௗ௔
௚௔௦௧௔ ௖௢௠ ௢ ௕௘௠
·
߲ݔଵ଴
߲ݓ
·
ݓ
ݔଵ
଴ᇣᇧᇤᇧᇥ
ா௟௔௦௧௜௖௜ௗ௔ௗ௘ି௥௘௡ௗ௔
ௗ௔ ௗ௘௠௔௡ௗ௔
Questão 53 
(BNDES – Economista – CESGRANRIO – 2009) – Um consumidor gastava 10%
de sua renda com carne, sendo que a elasticidade renda de sua demanda por
carne é +1. O preço deste produto aumentou 20%, permanecendo constantes
as demais variáveis determinantes da demanda. Ele comprou uma quantidade
5% menor de carne; logo, em relação às suas compras de carne, 
a) não houve efeito renda, pois as compras pouco diminuíram. 
b) o efeito renda reduziu as compras em 2%, aproximadamente. 
c) o efeito substituição reduziu as compras em 2%, aproximadamente. 
d) o produto é um bem inferior para esse consumidor. 
e) a elasticidade preço da demanda é -5. 
7. Teoria da Produção 
A Teoria da Produção tem vários conceitos idênticos aos da teoria do
consumidor. Ao longo da aula será possível notar que muitos dos itens só
modificam seus nomes, mas as características e propriedades permanecem,
praticamente, as mesmas. 
Enquanto na teoria do consumidor estávamos em um plano em que as duas
direções nos indicavam as quantidades de uma mercadoria para consumo, na
teoria da produção também estaremos em um plano, mas ele nos indicará nas
duas direções insumos necessários para a produção de um determinado item,
produto. 
Teremos assim, a criação do espaço dos insumos que poderá ser representado
conforme representação abaixo: 
 
 
 
 
 
 
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É claro que podemos ter a necessidade de aplicar vários insumos para produzir
um determinado bem. No entanto, só conseguimos visualizar até a terceira
dimensão. Com o intuito de facilitar a compreensão devemos sempre utilizar
apenas duas dimensões. Importante ressaltar que todos os resultados
encontrados para duas dimensões podem ser estendidos para N dimensões,
feitas as pequenas adaptações necessárias. 
No caso da Teoria da Produção, representaremos a quantidade produzida com
base nos insumos capital e trabalho. A função produção, portanto, pode ser
representada da seguinte forma: 
ܻ ൌ ݂ሺܭ, ܮሻ ݋ݑ ܳ ൌ ݂ሺܭ, ܮሻ 
A quantidade produzida pode ser tanto representada por Y ou por Q. Está claro
que a representação por Q advém da palavra Quantidade e a representação
por Y ocorre em geral nos livros que foram escritos em inglês e advém da
palavra Yield que significa rendimento. 
Entendemos como capital as máquinas que são utilizadas no processo de
produção e não devemos levar em consideração o seu custo, ou melhor, o
custo de investimento, mas a taxa de remuneração do capital que poderemos
chamar de r. Para simplificar a compreensão, você deve pensar que essa taxa
seria uma espécie de custo de oportunidade do capital, ou seja, a taxa de juros
que o empresário deixa de ganhar no mercado financeiro por ter adquirido
essa máquina. Se compreender isto, está de ótimo tamanho. 
Como trabalho, entendemos a mão-de-obra necessária para auxiliar na
fabricação dos bens. Os trabalhadores devem ir até o chão de fábrica e auxiliarCurso Online – Microeconomia para o BNDES 
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na fabricação dos bens e para isso devem receber uma remuneração que irá se
chamar salário e será representada por w. 
Segundo Pindyck: 
“Durante o processo produtivo, as empresas transformam insumos,
também denominados fatores de produção, em produtos. Por
exemplo, uma padaria utiliza insumos que incluem o trabalho de seus
funcionários; matérias-primas, como farinha e açúcar; e o capital
investido nos fornos, misturadores e em outros equipamentos
utilizados na produção de pães, bolos e confeitos. 
Podemos dividir os insumos em amplas categorias de trabalho,
matérias-primas e capital, sendo que cada uma dessas poderia incluir
subdivisões mais limitadas. Os insumos de trabalho abrangem os
trabalhadores especializados (carpinteiros, engenheiros) e os não-
especializados (trabalhadores agrícolas), bem como os esforços
empreendedores dos administradores da empresa. 
As matérias-primas incluem o aço, o plástico, a eletricidade, a água e
quaisquer outros que a empresa adquira e transforme em um produto
final. O capital envolve as edificações, os equipamentos e os
estoques. 
A relação entre os insumos do processo produtivo e o produto
resultante é descrita como função de produção. Uma função de
produção indica o produto (volume de produção) Q que uma empresa
produz para cada combinação específica de insumos. Para simplificar,
adotamos a premissa de que há apenas dois insumos: o trabalho L e
o capital K. Podemos, então, escrever a expressão da função de
produção como: 
ܳ ൌ ܨሺܭ, ܮሻ 
Essa equação nos diz que a quantidade de produto depende das
quantidades de dois insumos – capital e trabalho.” 
 
 
 
 
 
 
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Já sei que vocês devem estar se perguntando como devemos representar as
matérias-primas. Na verdade, como estamos utilizando apenas capital e
trabalho, a matéria-prima será a utilizados dos itens que, possivelmente,
estavam estocados e devemos considerar como capital. No entanto, lembrem-
se de que estamos fazendo uma simplificação para passemos a um plano com
duas dimensões, enquanto que a vida real nos leva a um plano com N
dimensões. 
7.1. Isoquantas 
De forma análoga à teoria do consumidor, que ligávamos todos os pontos que
davam ao consumidor o mesmo nível de satisfação, na teoria da produção
fazemos isso com as quantidades produzidas. Ao ligamos todas as
combinações de capital e trabalho que geram um produto final idêntico,
teremos a formação das isoquantas. Imagine a seguinte situação: 
Capital 
 Trabalho 
1 2 3 4 5 
1 6 10 15 30 35 
2 10 15 30 40 65 
3 15 30 35 50 78 
4 23 35 50 65 90 
5 30 50 65 78 110 
6 35 65 78 90 135 
Observe que a tabela desenvolvida acima indica que a utilização de 6 unidades
de capital combinadas com 1 unidade de trabalho, origina 35 unidades de
produto final. De forma análoga, 4 unidades de capital combinadas com 2
unidades de trabalho originam a mesma produção. Podemos mostrar que: 
ܻ ൌ ܨሺܭ, ܮሻ 
 
 
 
 
 
 
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ܻ ൌ ܨሺ6,1ሻ ൌ 35
ܻ ൌ ܨሺ4,2ሻ ൌ 35
ܻ ൌ ܨሺ3,3ሻ ൌ 35
ܻ ൌ ܨሺ1,5ሻ ൌ 35
Segundo Pindyck: 
“Uma isoquanta é a curva que representa todas as possíveis
combinações de insumos que resultam no mesmo volume de
produção.” 
Geralmente, representamos uma isoquanta utilizando curvas bem comportadas
do tipo Cobb-Douglas. 
Nesse gráfico acima temos a presença de duas isoquantas: Q35 e QN. A
isoquanta Q35 é a representação da combinação capital x trabalho destacada
na tabela acima e que produz uma quantidade igual a 35 unidades do bem. 
Todas as cestas
produzem a mesma 
quantidade. 
Cestas formam
uma isoquanta. 
 
 
 
 
 
 
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Entretanto, várias outras combinações1 de capital x trabalho podem ser feitas
para que seja possível a obtenção de 35 unidades do produto final. 
Em geral, curvas do tipo Cobb-Douglas geram a seguinte função matemática
para a formação das isoquantas: 
ܳ ൌ ܣ · ܭఈ · ܮఉ
Sendo: 
A – uma constante positiva; 
K – a quantidade de capital empregada; 
L – a quantidade de trabalho empregado; e 
α, β – constantes positivas 
Como na Teoria do Consumidor, não há a obrigatoriedade de as constantes α e 
β serem positivas. Entretanto, as trataremos dessa forma, fato que irá gerar
isoquantas bem comportadas como as desenhadas acima. O fato de essas
constantes serem positivas implica que um aumento no capital utilizado na
produção mantendo constante o nível de trabalho, aumentaria a quantidade
produzida e o mesmo ocorreria se aumentássemos a quantidade de trabalho e
mantivéssemos constante o nível de capital. 
A propriedade de densidade que existe na teoria do consumidor também é vida
na teoria da produção. Ou seja, entre quaisquer duas isoquantas passa uma
isoquanta e, portanto, passam infinitas isoquantas entre quaisquer duas
isoquantas. 
Com isso, podemos concluir que qualquer combinação de capital x trabalho nos
levará a uma quantidade de produto final. 
Além das isoquantas poderem ser representada por curvas do tipo Cobb-
Douglas, os insumos podem ser tanto complementares quanto substitutos
perfeitos dependendo do produto que será gerado. 
 
1 Devemos sempre pensar em variáveis contínuas e não discretas. Portanto, há uma quantidade infinita de combinações
para cada uma das isoquantas. 
 
 
 
 
 
 
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Imagine uma empresa que cava buracos na rua. Essa empresa precisa de
trabalhadores para cavar buracos e de máquinas que seriam as pás para que
os buracos sejam escavados. Para cada trabalhador há a necessidade de uma
pá. Portanto, pás e trabalhadores são insumos complementares perfeitos. Não
adianta termos mais pás que trabalhadores ou mais trabalhadores que pás.
Devemos ter uma relação de uma pá para cada trabalhador. Importante
ressaltar que para que dois bens sejam complementares perfeitos não há a
necessidade de termos uma relação de um para um, mas nesse caso essa é a
relação. Graficamente, temos: 
Observe que da mesma forma que na Teoria do Consumidor, o gráfico que
representam as isoquantas de insumos complementares perfeitos é
representado por duas retas perpendiculares. O empresário deverá sempre
procurar o vértice das isoquantas. 
Matematicamente, elas são representadas da seguinte forma: 
ܳ ൌ ܯ݅݊ሼܽܭ; ܾܮሽ 
Para resolver um problema matemático com isoquantas de complementares
perfeitos, temos que achar o vértice das isoquantas. Para isso, basta
igualarmos os dois lados da minimização em questão. Ou seja, fazermos: 
aK = bL 
 
 
 
 
 
 
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Se tivermos uma empresa que consegue trocar capital por trabalho ou vice-
versa, seus insumos serão substitutos perfeitos. Imagine uma empresa de
arbitragem de tênis ou vôlei. Ela pode contratar o árbitro e mais os
bandeirinhas. Se não quiser, ela poderá instalar sensores no fundo de quadra
e, no caso do tênis, na linha do saque, para determinar se as bolas caíram
dentro ou fora de campo. Dessa forma, a empresa tem a opção de substituir
trabalho por capital e vice-versa. Essa substituição pode ser feita e a empresa
deverá verificar qual o formato que dá a ela uma maior quantidade de
produção. 
Podemos também pensar em uma indústria tradicional, uma indústria de
carros. Eles podem comprar máquinas para auxiliar na fabricação dos bens ou
podem fazer tudo de forma manual. Nesse caso, os insumos também são
substitutos perfeitos. 
Importante lembrar que não há a necessidade de que a substituição seja feita
na relação de um para um. Graficamente, temos: 
Matematicamente: 
ܳ ൌ ܽܭ ൅ ܾܮ
 
 
 
 
 
 
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7.2. Isocusto 
A linha de isocusto representa o conjunto de cestas de insumos que custam
exatamente o mesmo valor. Se fizermos uma analogia com a Teoria do
Consumidor, essa curva é a restrição orçamentária da Teoria da Produção. 
Se o empresário utilizar apenas capital na produção do bem, ele conseguirá
comprar o custo total (C) dividido pelo preço do capital (r) de máquinas. Se a
opção for por adquirir apenas trabalho, ele conseguirá comprar a totalidade do
custo (C) dividido pelo salário (w) dos trabalhadores. 
7.3. Dualidade da Produção 
A dualidade da produção ocorre porque temos duas formas diferentes de
definir qual seria a melhor opção para o produtor. Por um lado, ele poderá
maximizar a produção mantendo um certo nível de custo e por outro lado,
poderá minimizar o nível de custo dada uma quantidade de produtos sendo
fabricados. 
Matematicamente, podemos representar da seguinte forma a dualidade da
produção: 
 
 
 
 
 
 
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ܯܽݔ ݂ሺܭ, ܮሻ
ݏ. ܽ. ݎ · ܭ ൅ ݓ · ܮ ൌ ܥ
ou 
s.a. 
ܯ݅݊ ሺݎ · ܭ ൅ ݓ · ܮሻ
݂ሺܭ, ܮሻ
Graficamente, temos: 
Observe que traçamos a linha de isocusto e escolhemos a isoquanta mais alta
dado um nível de custo. Com isso, estaremos maximizando a quantidade
consumida dos insumos por um dado custo. Outra hipótese seria definirmos
uma quantidade a ser produzida (Q2) e traçarmos as linhas de isocusto de
forma que minimizemos o custo. Graficamente, temos: 
 
 
 
 
 
 
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Questão 54 
(ESAF – AFC – 2000) – A função de produção de uma empresa é dada por
y=min {5L, 25K} na qual y é a quantidade produzida, L é a quantidade
empregada de trabalho e K, a quantidade empregada de capital. Sendo r a
taxa de remuneração do capital e w a taxa de remuneração do trabalho, a
função de custo (CT(y))dessa empresa será dada por: 
a) CT(y) = 5w + 25r 
b) CT(y) = rw(y + y2) 
c) CT(y) = min {0,2y, 0,04r} 
d) CT(y) = y(0,2w + 0,04r) 
e) CT(y) = ݕ · ௥ା௪
ଶ
7.4. Taxa Marginal de Substituição Técnica – TMST 
A taxa marginal de substituição técnica indica quantas unidades de um insumo
são necessárias para dispor uma unidade do outro insumo e manter a
produção no mesmo patamar. 
Graficamente, temos: 
 
 
 
 
 
 
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Observe que se tratarmos da taxa marginal de substituição técnica de trabalho
por capital teremos quantas unidades de capital serão necessárias para que a
indústria reduza o consumo de trabalho em uma unidade e mantenha o nível
de produção. 
Matematicamente, podemos representar da seguinte forma: 
ܶܯܵ ௅ܶ,௄ ൌ െ
∆ܭ
∆ܮ 
De forma análoga, se estivermos tratando da taxa marginal de substituição
técnica de capital por trabalho teremos quantas unidades de trabalho são
necessárias para que a indústria reduza o consumo de capital em uma unidade
e mantenha o nível de produção. 
Segundo Varian: 
“A taxa técnica de substituição mede o intercâmbio entre dois fatores
de produção. Ela meda a taxa à qual as empresas devem substituir
um insumo por outro para manter constante a produção.” 
Segundo Eaton & Eaton: 
“A taxa marginal de substituição técnica (TMST) mede a taxa em que
um insumo pode substituir outro, mantendo a produção constante.” 
Em outro ponto, os mesmos autores definem que: 
“Há dois casos extremos de capacidade de substituição de insumos –
substitutos perfeitos e complementares perfeitos. (...) Quanto
insumos são substitutos perfeitos, um insumo sempre pode substituir
o outro em proporções fixas, e a TSMT é constante. (...) Quando os
insumos são complementares perfeitos, a substituição é impossível, e
a TMST não pode ser definida para a combinação de insumos na
quebra da isoquanta.” 
 
 
 
 
 
 
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Podemos também mostrar que a taxa marginal de substituição técnica será
igual ao produto marginal de um insumo dividido pelo produto marginal do
outro insumo. 
ܶܯܵ ௅ܶ,௄ ൌ െ
∆ܭ 
∆ܮ
ൌ
ܲܯ݃௅
ܲܯ݃௄
Questão 55 
(Petrobrás – Economista Pleno – CESGRANRIO – 2005) – Suponha que
estamos operando em algum ponto (x1, x2) e consideramos a possibilidade de
diminuir a quantidade do fator 1 e aumentar a quantidade do fator 2,
mantendo inalterada a quantidade produzida y. A taxa de substituição técnica
entre 1 e 2 seria dada por: 
a) – Pmg1(x1,x2) / Pmg2(x1,x2) 
b) Pmg1(x1,x2) / Pmg2(x1,x2) 
c) Δx1 / Δx2 
d) Δx1 / Δx2 . Δy 
e) - Δx1 / Δx2 . Δy 
7.5. Produto Médio e Produto Marginal 
Agora vamos definir quatro conceitos que são cobrados em prova com uma
certa freqüência. Devemos definir: 
• Produto Médio do Trabalho; 
• Produto Médio do Capital; 
• Produtividade Marginal do Trabalho; e 
• Produtividade Marginal do Capital. 
O Produto Médio do Trabalho – PMeL é a razão entre a quantidade produzida e
o número de trabalhadores existentes no processo de produção, mantendo
constante a quantidade de capital disponível. Representa, em média, quanto
cada trabalhador está produzindo. 
 
 
 
 
 
 
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ܲܯ݁௅ ൌ
ܳ
ܮ
De maneira análoga, o Produto Médio do Capital – PmeK é a razão entre a
quantidade produzida e o número de máquinas existentes no processo de
produção, mantendo constante a quantidade de trabalho disponível.
Representa, em média, quanto cadamáquina está produzindo. 
ܲܯ݁௄ ൌ
ܳ
ܭ
Vamos imaginar uma situação em que uma empresa tenha 3 máquinas e
começa a variar a quantidade de trabalhadores de 3 a 8. Observe abaixo a
quantidade produzida para cada par capital x trabalho existente. 
 K L Q PMeL 
 3 3 3000 1000 
 3 4 5200 1300 
 3 5 7500 1500 
 3 6 8400 1400 
 3 7 8750 1250 
 3 8 8000 1000 
Observe que mantivemos constante o capital e variamos o trabalho. Quando o
trabalho era igual a 3, a quantidade produzida estava em 1000 unidades 
( ܲ ܯ݁௅ ൌ
ଷ଴଴଴
ଷ
ൌ 1000). Quando foi contratada a quarta pessoa, o trabalho médio
passou para 1300 (ܲܯ݁௅ ൌ
ହଶ଴଴
ସ
ൌ 1300). Sendo contratada a quinta pessoa, o
trabalho médio passa para 1500 (ܲܯ݁௅ ൌ
଻ହ଴଴
ହ
ൌ 1500). 
Observe que até um determinado momento, a contratação adicional de
trabalho faz com que a média da produção seja majorada. Não podemos 
C
O
N
S
T
A
N
T
E
 
 
 
 
 
 
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esquecer que, por definição, todos os trabalhadores possuem a mesma
eficiência. Entretanto, pode estar havendo uma melhor divisão do trabalho e
isso faz com que a quantidade produzida, em média, seja aumentada. 
Imagine que estejamos falando de uma reprografia (empresa que tira Xerox).
Suponha que a empresa tenha 3 máquinas e 3 pessoas. Entretanto, há uma
demanda enorme pelo produto e o atendente tem que ir até um balcão, pegar
o documento que precisa ser copiado, voltar até a máquina, tirar a cópia,
grampear, entregar ao demandante e ainda cobrar. Se você contrata uma
pessoa para atender e pegar a demanda e outra para ser caixa, é bem
provável que se consiga aumentar a produção pois algumas pessoas ficarão
exclusivamente nas máquinas definindo como as cópias devem ser feitas. 
No entanto, a partir de um determinado momento, o ganho adicional
provocado pela contratação de mais um funcionário pode não ser expressivo e
a partir de um determinado ponto, o funcionário adicional pode, inclusive,
reduzir a produção. Isto ocorre porque além de não trabalhar (pois não tem
mais o que fazer), ele ainda pode atrapalhar os outros que já estavam
trabalhando. 
O mesmo pode ser feito com o Produto Médio do Capital, mas para isso
devemos fixar o número de trabalhadores e variar o número de máquinas. 
O Produto Marginal do Trabalho – PMgL mostra a variação na quantidade
produzida com o aumento do número de trabalhadores de uma unidade,
mantendo constante o capital. Ou seja, ao contratarmos uma pessoa adicional
quanto ela consegue modificar a quantidade produzida é a PMgL. 
ܲܯ݃௅ ൌ
∆ܳ
∆ܮ 
O Produto Marginal do Capital – PMgK mostra a variação na quantidade
produzida com o aumento de uma unidade no número de máquinas, mantendo
constante o trabalho. Ou seja, ao comprarmos uma máquina adicional quanto
ela consegue modificar na quantidade produzida é a PMgK. 
ܲܯ݃௄ ൌ
∆ܳ
∆ܭ
 
 
 
 
 
 
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 K L Q PMgL 
 3 3 3000 - 
 3 4 5200 2200 
 3 5 7500 2300 
 3 6 8400 900 
 3 7 8750 350 
 3 8 8000 - 750 
Mantivemos o mesmo exemplo e calculamos agora a produtividade marginal
do trabalho. Observe que quando a empresa contratou o quarto trabalhador, a
produção subiu de 3000 para 5200, logo, a produtividade marginal foi de 2200 
(ܲܯ݃௅ ൌ
ହଶ଴଴ିଷ଴଴଴
ସିଷ
). A partir do momento em que a empresa contrata o quinto 
trabalhador, a produção aumenta de 5200 para 7500 e, assim, a produtividade
marginal do trabalho é de 2300 (ܲܯ݃௅ ൌ
଻ହ଴଴ିହଶ଴଴
ହିସ
). 
Questão 56 
(ESAF – AFC – STN – 2005) – Seja a função de produção dada pela seguinte
expressão: 
Q =
( )αα −⋅⋅ 1LKA
Onde: 
Q = produção;
A e α constantes positivas; 
K = capital; L = trabalho. 
Considerando esta função de produção, os produtos marginal e médio em
relação a K serão, respectivamente: 
a) ( )KQ ⋅α e ( ) ( )α−−⋅ 1LKA 
b) LK ⋅⋅α e ( ) 1−⋅ LKA 
C
O
N
S
T
A
N
T
E
 
 
 
 
 
 
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c) ( )KQ ⋅α e ( ) α−⋅ LKA 
d) Q ⋅α e A
e) ( )KQ ⋅α e ( )LKA ⋅ 
7.6. Rendimentos de Escala 
Agora, ao invés de aumentarmos a quantidade de um insumo e manter a
quantidade do outro constante, aumentaremos a quantidade de todos os
insumos em uma proporção constante. Imagine que iremos multiplicar por um
valor a quantidade de todos os insumos e verificaremos o que irá ocorrer com
a quantidade produzida. Vamos utilizar o dobro do fator um e o dobro do fator
2, por exemplo. 
Imagine uma função de produção ܳ ൌ ݂ሺܭ, ܮሻ. Se a empresa optar por dobrar a
quantidade de capital e dobrar a quantidade de trabalho e o resultado for o
dobro de produção, temos um rendimento constante de escala. 
Esse é o resultado normal, pois se uma empresa sabe a forma como deve
atuar para produzir, caso ela opte por duplicar todos os seus fatores, é
esperado que sua produção também seja duplicada. 
Segundo Pindyck: 
“Uma (...) possibilidade relacionada à escala de produção é a de que
a produção possa dobrar quando ocorrer a duplicação dos insumos.
Nesse caso, dizemos que há rendimentos constantes de escala.
Havendo rendimentos constantes de escala, o tamanho da empresa
não influencia a produtividade de seus insumos. A produtividade
média e marginal dos insumos da empresa permanecem constantes,
sejam suas instalações pequenas ou grandes. Com rendimentos
constantes de escala, uma fábrica utilizando um determinado
processo produtivo poderia ser facilmente copiada, de modo que as
duas fábricas juntas pudessem produzir o dobro.” 
 
 
 
 
 
 
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x 2 
x 2 
Suponha que ߣ seja o fator pelo qual iremos multiplicar cada um dos insumos.
Se a empresa tiver rendimento constante de escala, a seguinte equação
deverá ser obedecida: 
݂ሺߣ · ܭ, ߣ · ܮሻ ൌ ߣ · ݂ሺܭ, ܮሻ 
Ou seja, se a empresa tiver tanto o seu capital quanto o número de
trabalhadores dobrado, supondo ߣ igual a 2 (݂ሺߣ · ܭ, ߣ · ܮሻ), ela irá produzir
exatamente a mesma quantidade da que seria produzida se fosse feitas duas
empresas com a mesma quantidade de capital e trabalho da inicial (ߣ · ݂ሺܭ, ܮሻ). 
Vamos a um exemplo. Suponha que a função de produção seja ܻ ൌ ܭ଴,ହ · ܮ଴,ହ. Se 
o valor inicial do trabalho for igual a 4 e o valor inicial de capital for igual a 4,
teremos: 
ܭ ൌ 4
ܮ ൌ 4
ൠ ܳ ൌ 4଴,ହ · 4଴,ହ ൌ 4
ܭ ൌ 8
ܮ ൌ 8
ൠ ܳ ൌ 8଴,ହ · 8଴,ହ ൌ 8
Observe que quando multiplicamos por dois todos os fatores de produção, o
produto também foi multiplicado por dois. Exatamente por esse motivo,
dizemos que esse processo de produção tem rendimento constante de escala. 
Uma empresa terá um rendimento crescente de escala se ao multiplicarmos
todos os insumos por um determinado fator fixo, a produção ficar maior do
que a anterior multiplicada por esse mesmo fator. 
Isso é comum, por exemplo, em uma empresa que trabalha com um gasoduto.
O capital e trabalho são empregados na construção do tubo e como ele é oco,
esses fatorestêm influência direta no perímetro do tubo. Entretanto, a
quantidade que será produzida depende da área do tubo. Enquanto o
perímetro depende do raio, a área depende do raio do tubo ao quadrado. Logo,
ao dobrarmos capital e trabalho, será produzido um tubo de raio 2R, mas a
área será multiplicada por 4 (Áݎ݁ܽ ൌ ߨ · ሺ2ܴሻଶ ൌ 4ߨܴଶ). Dessa forma, teremos um 
rendimento crescente de escala. 
 
 
 
 
 
 
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Segundo Varian: 
“Os rendimentos constantes de escala são o caso mais “natural” em
virtude do argumento da reprodução, mas isso não quer dizer que
outros resultados não possam ocorrer. Por exemplo, poderá
acontecer que, ao multiplicarmos ambos os insumos por um fator t,
obtenhamos uma produção de mais de t vezes. Isso é conhecido
como o caso de rendimento crescente de escala.” 
Mais à frente, o Varian continua: 
“Qual seria o exemplo de uma tecnologia com rendimentos
crescentes de escala? Um belo exemplo é o oleoduto. Se duplicarmos
o diâmetro do oleoduto, estaremos utilizando o dobro de materiais,
mas o corte transversal do oleoduto crescerá por um fator de quatro.
Assim, poderemos bombear mais do que o dobro de petróleo.” 
Por outro lado, o Pindyck opta pelo seguinte exemplo: 
“Se a produção crescer mais que o dobro, quando houver uma
duplicação dos insumos, então haverá rendimentos crescentes de
escala. Isto poderia ocorrer pelo fato de a operação em maior escala
permitir que administradores e funcionários se especializem em suas
tarefas e façam uso de instalações e equipamentos mais
especializados e em grande escala. A linha de montagem na indústria
automobilística é um famoso exemplo de rendimentos crescentes. 
A presença dos rendimentos crescentes de escala é um tema
importante do ponto de vista de política pública. Quando existem
rendimentos crescentes, torna-se economicamente mais vantajoso
que se tenha uma grande empresa em produção (a custo
relativamente baixo) do que muitas empresas pequenas (a custos
relativamente altos). Mas, pelo fato de uma empresa grande poder
exercer o controle sobre os preços que estabelece, ela poderá estar
sujeita a regulamentações. Por exemplo, os rendimentos crescentes
do fornecimento de energia elétrica são uma das razões pelas quais
temos grandes empresas de fornecimento de energia elétrica (nos 
 
 
 
 
 
 
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x 2 
x 2 
x 4 
Estados Unidos), contudo, sujeitas à regulamentação
governamental.” 
Interessante observar que o exemplo dado pelo Pindyck já nos indica os
motivos da existência do Monopólio Natural. 
Suponha que ߣ seja o fator pelo qual iremos multiplicar cada um dos insumos.
Se a empresa tiver rendimento crescente de escala, a seguinte equação deverá
ser obedecida: 
݂ሺߣ · ܭ, ߣ · ܮሻ ൐ ߣ · ݂ሺܭ, ܮሻ 
Ou seja, se a empresa tiver tanto o seu capital quanto o número de
trabalhadores dobrado, supondo ߣ igual a 2 (݂ሺߣ · ܭ, ߣ · ܮሻ), ela irá produzir mais
do que quantidade que seria produzida se fosse feitas duas empresas com a
mesma quantidade de capital e trabalho da inicial (ߣ · ݂ሺܭ, ܮሻ). 
Vamos a um exemplo. Suponha que a função de produção seja ܻ ൌ ܭଵ · ܮଵ. Se o 
valor inicial do trabalho for igual a 4 e o valor inicial de capital for igual a 4,
teremos: 
Utilizando 4 unidades de capital e 4 unidades de trabalho, serão produzidas 16
unidades. Se passarmos para 8 unidades de capital e 8 unidades de trabalho,
dobrando os dois insumos, a produção passará para 64 unidades e, com isso,
será quadruplicada. Portanto, a função de produção descrita tem rendimento
crescente de escala. 
Uma empresa que possui rendimento decrescente de escala teria seus insumos
duplicados, mas a produção não seria duplicada. 
Segundo o Varian: 
 
 
 
 
 
 
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x 8 
x 8 
x 4 
“Esse caso é um pouco peculiar. Se obtivermos menos do que o
dobro da produção depois de duplicar cada um dos insumos, deve
haver alguma coisa errada. Afinal, poderíamos apenas produzir o que
fazíamos antes! 
Em geral, quando os rendimentos decrescentes de escala aparecem é
quando esquecemos de levar em conta algum insumo. Se tivermos o
dobro de todos os insumos à exceção de um deles, não poderemos
reproduzir o que fazíamos antes, de modo que não é obrigatório
obter o dobro da produção. Os rendimentos decrescentes de escala
são, na verdade, um fenômeno de curto prazo, em que alguma coisa
está fixa.” 
Suponha que ߣ seja o fator pelo qual iremos multiplicar cada um dos insumos.
Se a empresa tiver rendimento decrescente de escala, a seguinte equação
deverá ser obedecida: 
݂ሺߣ · ܭ, ߣ · ܮሻ ൏ ߣ · ݂ሺܭ, ܮሻ 
Ou seja, se a empresa tiver tanto o seu capital quanto o número de
trabalhadores dobrado, supondo ߣ igual a 2 (݂ሺߣ · ܭ, ߣ · ܮሻ), ela irá produzir
menos do que quantidade que seria produzida se fosse feitas duas empresas
com a mesma quantidade de capital e trabalho da inicial (ߣ · ݂ሺܭ, ܮሻ). 
Vamos a um exemplo. Suponha que a função de produção seja ܻ ൌ ܭ
ଵ
ଷൗ · ܮ
ଵ
ଷൗ . 
Se o valor inicial do trabalho for igual a 8 e o valor inicial de capital for igual a
8, teremos: 
 
 
 
 
 
 
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Utilizando 8 unidades de capital e 8 unidades de trabalho, a função de
produção mostra que seriam produzidas 4 unidades de produto final. Ao
multiplicarmos por 8 cada um dos insumos, passaríamos a ter 64 unidades de
trabalho e 64 unidades de capital. Entretanto, a produção passou para 16,
tendo sido multiplicada por 4. Portanto, temos um retorno decrescente de
escala. 
Questão 57 
(BNDES – CESGRANRIO – 2008) – A função de produção Q = min (aK, bL),
onde Q = produto, K = fator capital, L = fator trabalho e a e b são parâmetros,
apresenta 
a) retornos crescentes de escala se a + b > 1. 
b) retornos constantes de escala. 
c) fatores de produção perfeitamente substitutos. 
d) inovação tecnológica se a > b. 
e) cada isoquanta como uma linha reta. 
7.7. Grau de Homogeneidade da Função 
Muitas vezes precisamos determinar o grau de homogeneidade de uma
determinada função. Para isto, devemos nos utilizar o Teorema de Euller.
Entretanto, não podemos ficar perdendo tempo aqui com demonstrações. Meu
dever é tentar traduzir da melhor forma possível e da forma mais simples.
Logo, para calcularmos o grau de homogeneidade da função devemos fazer
com que as desigualdades da função abaixo passem a ser igualdades. 
݂ሺߣ · ܭ, ߣ · ܮሻ
൐
ൌ
൏
ߣ · ݂ሺܭ, ܮሻ 
No entanto, para que as desigualdades desaparecem tanto nos rendimentos
crescentes quanto nos rendimentos decrescentes devemos introduzir um
expoente no fator ߣ para que as igualdades sejam estabelecidas. Isto ocorrerá
da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
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݂ሺߣ · ܭ, ߣ · ܮሻ ൌ ߣࡺ · ݂ሺܭ, ܮሻ 
O valor de N será o grau de homogeneidade da função. 
Vamos nos utilizar do exemplo dado no rendimento crescente de escala. A
função de produção é: ܻ ൌ ܭଵ · ܮଵ. Sabemos que ݂ሺܭ, ܮሻ é igual a 16 se
utilizarmos 4 unidades de cada um dos insumos. Se dobrarmos todos os
insumos, a função de produção ݂ሺߣ · ܭ, ߣ · ܮሻ ൌ ݂ሺ2 · ܭ, 2 · ܮሻ resultará em 64 
unidades de produção. 
Para determinar o grau de homogeneidade da função, devemos substituir os
resultados alcançados na equação: 
݂ሺߣ · ܭ, ߣ · ܮሻ ൌ ߣࡺ · ݂ሺܭ, ܮሻ
݂ሺ2 · ܭ, 2 · ܮሻ ൌ 2ࡺ · ݂ሺܭ, ܮሻ
16 ൌ 2ࡺ · 4
2ࡺ ൌ
16
4
ࡺ ൌ ૛
Portanto, essa equação tem grau de homogeneidade igual a 2. 
Já sei que você deve estar interessado em saber se teremos que calcular o
grau de homogeneidade de uma função e em que momentos uma função é
homogênea, não é mesmo? 
É possível que isso seja cobrado, já ocorreu algumas vezes, mas não é tão
complicado. 
Para que uma função seja considerada homogênea, para qualquer valor de ߣ
aplicado a todos os insumos, o valor de N deverá ser constante. Para saber se 
isso é verdade, devemos testar vários valores de ߣ. 
 
 
 
 
 
 
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No entanto, de antemão já lhes adianto que a função do tipo Cobb-Douglas é
homogênea e seu grau de homogeneidade será igual à soma dos expoentes
dos insumos. Ou seja, essa função considerada será homogênea de grau 2. 
Uma função do tipo ܳ ൌ ܣ · ܭఈ · ܮఉ é homogênea de grau ߙ ൅ ߚ. 
Mais uma dica é fundamental. Pensando em uma função do tipo ܳ ൌ ܣ · ܭఈ · ܮఉ, 
temos: 
• se ߙ ൅ ߚ ൌ 1 ֜ Rendimento Constante de Escala; 
• se ߙ ൅ ߚ ൐ 1 ֜ Rendimento Crescente de Escala; e 
• se ߙ ൅ ߚ ൏ 1 ֜ Rendimento Decrescente de Escala; 
Questão 58 
(Petrobrás – Economista Junior – CESGRANRIO – 2005) – A função de
produção Y = K1/2N1/2, onde K representa o estoque de capital e N o estoque
de trabalho, é uma função: 
a) de rendimentos crescentes de escala. 
b) de rendimentos constantes de escala. 
c) homogênea de grau 2. 
d) homogênea de grau 0. 
e) heterogênea de grau 1. 
Questão 59 
(CESGRANRIO – SFE – Economista Junior – 2009) – Considere a função de
produção Y = AKα L1-α, onde Y é a produção, K e L são os fatores de produção,
A e são parâmetros, sendo 0 < < 1. Pode-se afirmar, corretamente, que 
a) é uma função homogênea do grau zero. 
b) o uso ótimo de K e L se dá em proporção fixa, quaisquer que sejam os
preços dos fatores. 
c) o fator de produção L não é substituível pelo fator K. 
d) o valor de Y também dobra, dobrando-se os valores de K e L. 
 
 
 
 
 
 
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e) a função apresenta retornos crescentes de escala, se A > 1. 
Questão 60 
(CESGRANRIO – TJ Rondônia – Economista Junior – 2008) – A função de
produção ܻ ൌ ܣ · ܯ݅݊ሾܭ, ܮሿ, onde Y é o produto, K e L são os fatores de produção
e A é uma constante, 
a) tem isoquantas em ângulo reto. 
b) permite substituição entre K e L. 
c) apresenta retornos crescentes de escala se A for maior que 1. 
d) é conhecida como Função Cobb-Douglas. 
e) vai sempre gerar curvas de oferta de Y perfeitamente inelásticas. 
Questão 61 
(Cesgranrio – Casa da Moeda – Analista de Economia e Finanças – 2009) – A
função de produção dada pela expressão ܳ ൌ ܣ · ܭఈ · ܮఉ · ܶఋ ,na qual Q é o 
produto, K, L e T são os fatores de produção e A, α, β e δ são parâmetros, 
apresenta 
a) proporções fixas no uso dos fatores de produção. 
b) externalidades, se A > (α + β+ δ). 
c) rendimentos crescentes de escala, se A > 1. 
d) homogeneidade do grau 1, se α + β + δ = 1. 
e) produto marginal de K decrescente, se α > 1. 
Questão 62 
(Cesgranrio –ANP – Economista – 2009) – A função de produção ܳ ൌ ܣ ·
ሺܽ · ܭ ൅ ܾ · ܮሻ଴,ହ, onde Q é o produto, K e L são os fatores de produção, e A, a e
b são parâmetros com as unidades adequadas, apresenta 
 
 
 
 
 
 
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a) fatores de produção substitutos perfeitos. 
b) retornos crescentes de escala. 
c) aumento de produtividade, se A for positivo. 
d) produtividade marginal crescente do fator K. 
e) homogeneidade de grau um. 
Questão 63 
(Cesgranrio – Eletrobrás – Economista – 2010) – A função de produção 
ܻ ൌ ܣ · ܭ · ܮ, onde Y é o produto, K e L são os fatores de produção, e A e b são
parâmetros, 
a) é uma função homogênea do grau 2, se b = 1. 
b) não permite substituição entre os fatores de produção. 
c) tem produto marginal de K igual a zero. 
d) leva ao uso dos fatores de produção em proporção fixa, independentemente
de seus preços. 
e) apresenta rendimentos decrescentes de escala, se A <1. 
Questão 64 
(Cesgranrio – Petrobrás Biocombustível – Economista Júnior – 2010) – Uma
função de produção é dada pela expressão Y = A (aK + bL), onde Y é a
quantidade do produto, K e L são as quantidades dos dois fatores de produção,
e A, a e b são parâmetros com as unidades apropriadas. Essa função de
produção 
a) é homogênea do grau 1, se a+b = 1. 
b) é conhecida como função Cobb-Douglas. 
c) apresenta isoquantas não retilíneas. 
d) apresenta economias de escala, se A>1. 
e) não permite substituição entre os fatores de produção. 
 
 
 
 
 
 
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QUESTÕES RESOLVIDAS
Questão 53 
(BNDES – Economista – CESGRANRIO – 2009) – Um consumidor gastava 10%
de sua renda com carne, sendo que a elasticidade renda de sua demanda por
carne é +1. O preço deste produto aumentou 20%, permanecendo constantes
as demais variáveis determinantes da demanda. Ele comprou uma quantidade
5% menor de carne; logo, em relação às suas compras de carne, 
a) não houve efeito renda, pois as compras pouco diminuíram. 
b) o efeito renda reduziu as compras em 2%, aproximadamente. 
c) o efeito substituição reduziu as compras em 2%, aproximadamente. 
d) o produto é um bem inferior para esse consumidor. 
e) a elasticidade preço da demanda é -5. 
Resolução: 
Para fazermos essa questão devemos nos utilizar da equação de Slutsky.
Portanto, temos: 
߲ݔଵ଴
߲݌ଵต
ாிாூ்ை
்ை்஺௅
ൌ
߲ݔଵ଴
߲݌ଵ
ቤ
௨ᇣᇤᇥ
ாிாூ்ை
ௌ௎஻ௌ்ூ்௎ூÇÃை
െ
߲ݔଵ଴
ᇣᇧᇤᇧᇥ߲ݓ
· ݔଵ଴
ாிாூ்ை
ோாே஽஺
Multiplicando todos os temos por ௣భ
௫భ
బ, teremos: 
߲ݔଵ଴
߲݌ଵ
·
݌ଵ
ݔଵ
଴ ൌ
݌ଵ
ݔଵ
଴ ·
߲ݔଵ଴
߲݌ଵ
ቤ
௨
െ
߲ݔଵ଴
߲ݓ
· ݔଵ଴ ·
݌ଵ
ݔଵ
଴ ·
ݓ
ݓ
Manipulando os temos, temos: 
߲ݔଵ଴
߲݌ଵ
·
݌ଵ
ݔଵ
଴ ൌ
݌ଵ
ݔଵ
଴ ·
߲ݔଵ଴
߲݌ଵ
ቤ
௨
െ
݌ଵ · ݔଵ଴
ݓ
·
߲ݔଵ଴
߲ݓ
·
ݓ
ݔଵ
଴
Dessa forma, a fórmula pode ser representada da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
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߲ݔଵ଴
߲݌ଵ
·
݌ଵ
ݔଵ
଴ᇣᇧᇤᇧᇥ
ா௟௔௦௧௜௖௜ௗ௔ௗ௘ି௣௥௘ç௢
ௗ௔ ௗ௘௠௔௡ௗ௔
ൌ
݌ଵ
ݔଵ
଴ ·
߲ݔଵ଴
߲݌ଵ
ቤ
௨ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ
ா௟௔௦௧௜௖௜ௗ௔ௗ௘ି௣௥௘ç௢
ௗ௔ ௗ௘௠௔௡ௗ௔ ௖௢௠௣௘௡௦௔ௗ௔
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݌ଵ · ݔଵ଴
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௣௥௢௣௢௥çã௢ ௗ௔ ௥௘௡ௗ௔
௚௔௦௧௔ ௖௢௠ ௢ ௕௘௠
·
߲ݔଵ଴
߲ݓ
·
ݓ
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଴ᇣᇧᇤᇧᇥ
ா௟௔௦௧௜௖௜ௗ௔ௗ௘ି௥௘௡ௗ௔
ௗ௔ ௗ௘௠௔௡ௗ௔
Substituindo os dados do problema, temos: 
߲ݔଵ଴
߲݌ଵ
·
݌ଵ
ݔଵ
଴ ൌ
݌ଵ
ݔଵ
଴ ·
߲ݔଵ଴
߲݌ଵ
ቤ
௨
െ
݌ଵ · ݔଵ଴
ݓ
·
߲ݔଵ଴
߲ݓ
·
ݓ
ݔଵ
଴
െ0,05
0,20
ൌ
݌ଵ
ݔଵ
଴ ·
߲ݔଵ଴
߲݌ଵ
ቤ
௨
െ 0,1 · 1
݌ଵ
ݔଵ
଴ ·
߲ݔଵ଴
߲݌ଵ
ቤ
௨
ൌ െ0,25 ൅ 0,10
݌ଵ 
ݔଵ
଴ ·
߲ݔଵ଴
߲݌ଵ
ቤ
௨
ൌ െ0,15
Com isso, temos: 
െ0,25ᇣᇤᇥ
ாிாூ்ை
்ை்஺௅
ൌ െ0,15ᇣᇤᇥ
ாிாூ்ை
ௌ௎஻ௌ்ூ்௎ூÇÃை
െ 0,10ถ
ாிாூ்ை
ோாே஽஺
Como o comprador reduziu o consumo de carne em 5%, 60% desse valor veio
do Efeito Substituição e 40% do Efeito Renda. Dessa forma, o Efeito Renda
proporcionou uma queda de 2% no consumo de carne. 
Sendo assim, o gabarito é a letra B. 
Gabarito: B 
Questão 54 
(ESAF – AFC – 2000) – A função de produção de uma empresa é dada por
y=min {5L, 25K} na qual y é a quantidade produzida, L é a quantidade
empregada de trabalho e K, a quantidade empregada de capital. Sendo r a
taxa de remuneração do capital e w a taxa de remuneração do trabalho, a
função de custo (CT(y))dessa empresa será dada por: 
 
 
 
 
 
 
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a) CT(y) = 5w + 25r 
b) CT(y) = rw(y + y2) 
c) CT(y) = min {0,2y, 0,04r} 
d) CT(y) = y(0,2w + 0,04r) 
e) CT(y) = y · ୰ା୵
ଶ
Resolução: 
Essas isoquantas possuem uma função do tipo Leontief. Funções desse tipo
têm a sua solução no vértice e para encontrarmos o vértice devemos igualar os
dois lados da função. Veja o gráfico abaixo: 
Observe que quanto aplicamos 5 unidades de trabalho e 1 unidade de capital,
a função de produção nos informa que a quantidade produzida é ܻ ൌ ܯ݅݊ሼ5 ·
5; 25 · 1ሽ. Dessa forma, o mínimo entre 25 e 25 é igual a 25 e dará origem à
isoquanta Q25, conforme mostrado. 
Vemos que todas as vezes que igualamos os dois lados da função Leontief
garantimos que nenhum dos insumos está sendo desperdiçado no processo de
produção e que, portanto, estamos no vértice. 
 
 
 
 
 
 
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Com isso, para iniciarmos a solução dessa complicada questão, igualaremos os
dois lados da função e também que a quantidade Y. 
ܻ ൌ 5ܮ ൌ 25ܭ 
Com isso, temos: 
ܻ ൌ 5ܮ
ܮ ൌ
ܻ
5
ܻ ൌ 25ܭ
ܭ ൌ
ܻ
25 
Devemos agora encontrar a função de custo de produção e efetuar as
substituições. O custo de produção de Y unidades será igual à soma dos custos
do trabalho e do capital. O custo do trabalho é o produto do preço do trabalho
pela quantidade de trabalho. O custo do capital é igual ao produto do custo do
capital pela quantidade de capital. Com isso, temos: 
ܥܶሺܻሻ ൌ ܥ ௅ܶ ൅ ܥ ௄ܶ
ܥ ௅ܶ ൌ ݓ · ܮ
ܥ ௄ܶ ൌ ݎ · ܭ
ܥܶሺܻሻ ൌ ݓ · ܮ ൅ ݎ · ܭ
Substituindo os termos, temos: 
ܥܶሺܻሻ ൌ ݓ ·
ܻ
5
൅ ݎ ·
ܻ
25
ܥܶሺܻሻ ൌ ܻ · ሺ0,04 · ܭ ൅ 0,2 · ܮሻ 
Sendo assim, o gabarito é a letra D. 
Gabarito: D 
 
 
 
 
 
 
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Questão 55 
(Petrobrás – Economista Pleno – CESGRANRIO – 2005) – Suponha que
estamos operando em algum ponto (x1, x2) e consideramos a possibilidade de
diminuir a quantidade do fator 1 e aumentar a quantidade do fator 2,
mantendo inalterada a quantidade produzida y. A taxa de substituição técnica
entre 1 e 2 seria dada por: 
a) – Pmg1(x1,x2) / Pmg2(x1,x2) 
b) Pmg1(x1,x2) / Pmg2(x1,x2) 
c) Δx1 / Δx2 
d) Δx1 / Δx2 . Δy 
e) - Δx1 / Δx2 . Δy 
Resolução: 
Teremos que demonstrar a fórmula da taxa marginal de substituição técnica,
nesse caso, para encontrar a resposta correta. Vamos fazer isso, então.
Sabemos que uma mudança no fator de produção irá causar uma modificação
na quantidade produzida igual à produtividade marginal do fator de produção.
Logo, teríamos: 
∆ܳଵฐ
ି
ൌ ܲܯ݃ଵᇩᇪᇫ
ା
· ∆ݔଵฐ
ି
 
∆ܳଶต
ା
ൌ ܲܯ݃ଶᇣᇤᇥ
ା
· ∆ݔଶต
ା
Importante frisar que a produtividade marginal dos dois fatores é positiva.
Entretanto, o examinador solicita que seja descartada uma unidade do bem x1 
e majorada a quantidade empregada do bem x2, mantendo o produtor sobre a
mesma isoquanta. 
Dessa forma, a variação no consumo do bem x1 é negativa e a variação no
consumo do bem x2 é positiva. Além disso, devemos considerar que não há
variação na quantidade produzida, ou seja, ∆ܳଵ ൅ ∆ܳଶ ൌ 0. 
 
 
 
 
 
 
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Com isso, temos: 
∆ܳଵฐ
ି
൅ ∆ܳଶฐ
ା
ൌ 0
ܲܯ݃ଵ · ∆ݔଵ ൅ ܲܯ݃ଶ · ∆ݔଶ ൌ 0
ܲܯ݃ଵ · ∆ݔଵ ൌ െܲܯ݃ଶ · ∆ݔଶ
ܶܯܵ ௫ܶభ,௫మ ൌ െ
∆ݔଶ 
∆ݔଵ
ൌ
ܲܯ݃ଵ
ܲܯ݃ଶ
Portanto, o gabarito é a letra A. Você pode questionar o sinal, mas enquanto o
Varian considera o sinal das substituições marginais sempre negativo, o
Pindyck considera sempre positivo. Como a taxa marginal de substituição
mostra quantas unidades de um bem são necessárias para descartar uma
unidade do outro bem, opto pela definição do Pindyck, mas elas podem ser
negativas ou positivas. Tudo é uma questão de definição. 
Gabarito: A 
Questão 56 
(ESAF – AFC – STN – 2005) – Seja a função de produção dada pela seguinte
expressão: 
Q =
( )αα −⋅⋅ 1LKA
Onde: 
Q = produção;
A e α constantes positivas; 
K = capital; L = trabalho. 
Considerando esta função de produção, os produtos marginal e médio em
relação a K serão, respectivamente: 
a) ( )KQ ⋅α e ( ) ( )α−−⋅ 1LKA 
b) L K ⋅⋅α e ( ) 1−⋅ LKA 
c) ( )KQ ⋅α e ( ) α−⋅ LKA 
d) Q ⋅α e A
 
 
 
 
 
 
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e) ( )KQ ⋅α e ( )LKA ⋅ 
Resolução: 
A questão solicita que seja calculada a produtividade marginal do capital
(PMgK) e a produtividade média do capital (PMeK). 
( )
( )
( )
K
QPMgK
: temos, 1
1
11
11
⋅=
⋅⋅=
⋅⋅⋅=
=⋅=
⋅⋅⋅=∂
∂=
−
−
−−
−−
α
α
α
αα
α
α
α
αα
αα
LKAQComo
L
K
KAPMgK
K
KKKK
LKA
K
QPMgK
Para calcular o produto médio do capital devemos dividir a quantidade
produzida Q pela quantidade de capital empregada K. Além disso, é necessária
uma manipulação algébrica grande para que consigamos atingir o resultado
previsto. 
( )
( )
( )1
1
1
1
11
1
1
: temos, 
−−
−
−
−
−−
−
−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅=⋅=⋅⋅=
=
⋅⋅=
=
α
α
α
α
αα
α
α
αα
L
KAPMeK
L
KA
L
KALKAPMeK
K
K
KComo
K
LKAPMeK
K
QPMeK
Sendo assim, o gabarito é a letra A. 
Gabarito: A 
 
 
 
 
 
 
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Questão 57 
(BNDES – CESGRANRIO – 2008) – A função de produção Q = min (aK, bL),
onde Q = produto, K = fator capital, L = fator trabalho e a e b são parâmetros,
apresenta 
a) retornos crescentes de escala se a + b > 1. 
b) retornos constantes de escala. 
c) fatores de produção perfeitamente substitutos. 
d) inovação tecnológica se a > b. 
e) cada isoquanta como uma linha reta. 
Resolução: 
Para sabermos se há retorno crescente, decrescente ou constante, devemos
aplicar a lógica do teorema de Euller ou atribuir valores à função e descobrir. 
Vamos tentar resolver essa questão usando a ideia de que para chegarmos ao
ponto ótimo em uma Leontief, devemos igualar os dois lados da minimização.
Igualando e resolvendo para um dos fatores, temos: 
ܳ ൌ ܽ · ܭ ൌ ܾ · ܮ
Ou 
ܭ ൌ
ܾ
ܽ
· ܮ
ܳ ൌ ܽ · ܭ ݁ ܳ ൌ ܾ · ܮ 
Com isso vemos que ao multiplicarmos os fatores L e K por qualquer
constante, o resultado final será exatamente o mesmo. Dessa forma,
concluímos que a função tem retorno constante de escala e terá grau de
homogeneidade igual a 1. 
DICA: Se uma Leontief estiver com os insumos sempre elevados à potência 1,
ela terá retorno constante de escala. 
Gabarito: B 
 
 
 
 
 
 
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Questão 58 
(Petrobrás – Economista Junior – CESGRANRIO – 2005) – A função de
produção Y = K1/2N1/2, onde K representa o estoque de capital e N o estoque
de trabalho, é uma função: 
a) de rendimentos crescentes de escala. 
b) de rendimentos constantes de escala. 
c) homogênea de grau 2. 
d) homogênea de grau 0. 
e) heterogênea de grau 1. 
Resolução: 
Como essa função é do tipo Cobb-Douglas, ele será sempre homogênea e o
seu grau de homogeneidade será igual à soma dos expoentes. Portanto, essa
função é homogênea de grau 1 e assim, terá retorno constante de escala. 
Sendo assim, o gabarito é a letra B. 
Gabarito: B 
Questão 59 
(CESGRANRIO – SFE – Economista Junior – 2009) – Considere a função de
produção Y = AKα L1-α, onde Y é a produção, K e L são os fatores de produção,
A e são parâmetros, sendo 0 < α < 1. Pode-se afirmar, corretamente, que 
a) é uma função homogênea do grau zero. 
b) o uso ótimo de K e L se dá em proporção fixa, quaisquer que sejam os
preços dos fatores. 
c) o fator de produção L não é substituível pelo fator K. 
d) o valor de Y também dobra, dobrando-se os valores de K e L. 
e) a função apresenta retornos crescentes de escala, se A > 1. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
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Sabemos que a função é ܻ ൌ ܣ · ܭఈ · ܮଵିఈ. Se a soma dos expoentes for igual a
1, essa função terá retorno constante de escala, se for maior do que 1 ela terá
retorno crescente de escala e se for menor do que 1 terá retorno decrescente
de escala. 
Efetuando a soma, temos: 
ߙ ൅ ሺ1 െ ߙሻ ൌ 1 
Portanto, como a soma dos expoentes é igual a 1, a função tem retorno
constante de escala. Com isso, ao dobrarmos todos os insumos, a produção
também irá dobrar. 
Sendo assim, o gabarito é a letra D. 
Gabarito: D 
Questão 60 
(CESGRANRIO – TJ Rondônia – Economista Junior – 2008) – A função de
produção ܻ ൌ ܣ · ܯ݅݊ሾܭ, ܮሿ, onde Y é o produto, K e L são os fatores de produção
e A é uma constante, 
a) tem isoquantas em ângulo reto. 
b) permite substituição entre K e L. 
c) apresenta retornos crescentes de escala se A for maior que 1. 
d) é conhecida como Função Cobb-Douglas. 
e) vai sempre gerar curvas de oferta de Y perfeitamente inelásticas. 
Resolução: 
Essa equação representa uma isoquanta do tipo Leontief, conforme mostrada
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
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Essas isoquantas tem ângulo reto. 
Sendo assim, o gabarito é a letra A. 
Gabarito: A 
Questão 61 
(Cesgranrio – Casa da Moeda – Analista de Economia e Finanças – 2009) – A
função de produção dada pela expressão ܳ ൌ ܣ · ܭఈ · ܮఉ · ܶఋ, na qual Q é o 
produto, K, L e T são os fatores de produção e A, α, β e δ são parâmetros, 
apresenta 
a) proporções fixas no uso dos fatores de produção. 
b) externalidades, se A > (α + β+ δ). 
c) rendimentos crescentes de escala, se A > 1. 
d) homogeneidade do grau 1, se α + β + δ = 1. 
e) produto marginal de K decrescente, se α > 1. 
Resolução: 
Uma função de produção do tipo ܳ ൌ ܣ · ܭఈ · ܮఉ · ܶఋ é uma Cobb-Douglas. A
soma dos expoentes da função será igual ao grau de homogeneidade da 
 
 
 
 
 
 
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mesma. Portanto, se a função for homogênea de grau 1, isso significa que a
soma de α + β + δ também é igual a 1. 
Sendo assim, o gabarito é a letra D. 
Gabarito: D 
Questão 62 
(Cesgranrio –ANP – Economista – 2009) – A função de produção ܳ ൌ ܣ ·
ሺܽ · ܭ ൅ ܾ · ܮሻ଴,ହ, onde Q é o produto, K e L são os fatores de produção, e A, a e
b são parâmetros com as unidades adequadas, apresenta 
a) fatores de produção substitutos perfeitos. 
b) retornos crescentes de escala. 
c) aumento de produtividade, se A for positivo. 
d) produtividade marginal crescente do fator K. 
e) homogeneidade de grau um. 
Resolução: 
Exatamente pelo fato de ter essa soma na função de produção, vemos que os
insumos são substitutos perfeitos da mesma forma que a função ܳ ൌ ܣ ·
ሺܽ · ܭ ൅ ܾ · ܮሻ também teria insumos substitutos perfeitos. 
É claro que na teoria de produção não podemos fazer transformações
monotônicas como essa, pois estaríamos alterando a quantidade produzida.
Mas o fato de uma função de produção estar elevada a um determinado fator
não faz com que as características da função sejam alteradas. 
Observe que o que interessa é o valor resultante da parcela que está dentro
dos parênteses e, portanto, podemos trocar um insumo pelo outro desde que o
resultado final seja o mesmo. Se isso ocorrer, a quantidade produzida será
igual, mesmo com a extração da raiz quadrada2. 
 
2 Elevar a meio é a mesma coisa que extrair uma raiz quadrada. 
 
 
 
 
 
 
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Sendo assim, o gabarito é a letra A. 
Gabarito: A 
Questão 63 
(Cesgranrio – Eletrobrás – Economista – 2010) – A função de produção 
ܻ ൌ ܣ · ܭ · ܮ௕, onde Y é o produto, K e L são os fatores de produção, e A e b são
parâmetros, 
a) é uma função homogênea do grau 2, se b = 1. 
b) não permite substituição entre os fatores de produção. 
c) tem produto marginal de K igual a zero. 
d) leva ao uso dos fatores de produção em proporção fixa, independentemente
de seus preços. 
e) apresenta rendimentos decrescentes de escala,se A <1. 
Resolução: 
Essa é uma função do tipo Cobb-Douglas e o grau de homogeneidade da
mesma será igual à soma dos expoentes. Exatamente pelo fato de não ser
mostrado nenhum expoente do capital é que devemos concluir que ele é igual
a 1. 
Portanto, essa função é homogênea como qualquer função do tipo Cobb-
Douglas e que seu grau de homogeneidade é igual a 1+b. Se b for igual a 1,
essa função será homogênea de grau 2. 
Sendo assim, o gabarito é a letra A. 
DICA: Observe que a letra c está dizendo que K tem produto marginal igual a
zero. Em uma função Cobb-Douglas, um insumo somente terá produto
marginal igual a zero se o seu expoente for igual a zero. Pois, dessa forma, se 
 
 
 
 
 
 
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o insumo não for igual a zero3 e aumentarmos ele em uma unidade, não
haverá nenhum aumento no produto final. 
Gabarito: A 
Questão 64 
(Cesgranrio – Petrobrás Biocombustível – Economista Júnior – 2010) – Uma
função de produção é dada pela expressão Y = A (aK + bL), onde Y é a
quantidade do produto, K e L são as quantidades dos dois fatores de produção,
e A, a e b são parâmetros com as unidades apropriadas. Essa função de
produção 
a) é homogênea do grau 1, se a+b = 1. 
b) é conhecida como função Cobb-Douglas. 
c) apresenta isoquantas não retilíneas. 
d) apresenta economias de escala, se A>1. 
e) não permite substituição entre os fatores de produção. 
Resolução: 
Nesse caso, os insumos K e L são substitutos perfeitos. Ao multiplicarmos K e L
por um mesmo número, sempre a produção será multiplicada por esse
número. Veja: 
ܻ ൌ ܣ · ሺܽ · ܭ ൅ ܾ · ܮሻ
Multiplicando K e L por ߣ, temos: 
ܻ ൌ ܣ · ሺܽ · ߣ · ܭ ൅ ܾ · ߣ · ܮሻ
ܻ ൌ ܣ · ሾߣ · ሺܽ · ܭ ൅ ܾ · ܮሻሿ
ܻ ൌ ܣ · ߣ · ሺܽ · ܭ ൅ ܾ · ܮሻ
 
3 O insumo não pode ser igual a zero porque ݔ଴é igual a um se x for diferente de zero. Nesse caso, se x for igual a zero
haverá uma indeterminação e precisaremos aplicar L’Hôpital para solucionar o problema. Não entrarei em detalhes pois
é desnecessário a aplicação desse conceito nas aulas. 
 
 
 
 
 
 
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Sendo assim, o gabarito é a letra A. 
DICA: Independentemente dos valores de a e b, SEMPRE que os insumos
forem substitutos perfeitos e estiverem elevados ao grau 1, a função será
homogênea de grau 1. 
Se a função for do tipo ܻ ൌ ܣ · ሺܽ · ܭே ൅ ܾ · ܮேሻ, os insumos serão substitutos
perfeitos da mesma forma, mas a função será homogênea de grau N. 
Gabarito: A 
 
 
 
 
 
 
 
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Bibliografia 
Eaton & Eaton – Microeconomia, Editora Saraiva – 3ª Edição, 1999. 
Ferguson, C.E. – Microeconomia, Editora Forense Universitária – 8ª Edição,
1985. 
Mankiw, N. Gregory – Introdução à Economia – Princípios de Micro e
Macroeconomia, Editora Campus, 1999. 
Mas-Colell, Whinston & Green – Microeconomic Theory, Oxford University
Press, 1995. 
Pindyck & Rubinfeld – Microeconomia, Editora MakronBooks – 4a Edição, 1999. 
Varian, Hal R. – Microeconomia – Princípios Básicos, Editora Campus – 5ª
Edição, 2000. 
 
 
 
 
 
 
 
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GABARITO
53- B 54- D 55- A 56- A 57- B 
58- B 59- D 60- A 61- D 62- A 
63- A 64- A 
 
 
Galera, 
Terminamos a nossa quarta aula de microeconomia. 
Espero que o atraso da aula não tenha atrapalhado o estudo de vocês. Espero
também que compreendam. Estou tentando fazer a aula da melhor forma
possível acredito que seria melhor atrasar do que colocar uma aula ruim ainda
mais dessa matéria que tem questões muito fáceis e que caem com muita
freqüência na Cesgranrio. 
Ah, não que eu esteja afirmando que a aula está boa, até porque tenho
recebido poucos retornos e não sei o que vocês estão achando. Mas, se eu
fosse aluno, estaria gostando da abordagem pois ela está sendo facilitada. Ao
invés de falar economês, tento colocar as coisas de uma forma mais simples. 
Abraços,
César Frade