AULA 008 2017 (1)

Prévia do material em texto

MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Elemento de treliça Espacial
-Exercício
AULA_08
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 01
Exercício: Determine para a treliça espacial apresentada a seguir os deslocamentos
Nodais, as Reações de apoios e as Forças Internas em cada elemento:
Admita: E = 70 GPa; A = 1,0 cm2;
força em Z sobre o Nó 4 : FZ = 10.000 N
2
3
1
4
E1
E2
E3
10.000 N
Z
Y
X
Coordenadas Nodais da Estrutura da Treliça Espacial
Nó X Y Z 
1 0 0 0
2 0 -1 1
3 0 1 1
4 1 0 1
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 02
Exercício: Solução:
1 - PASSO: Definir as Condições de contorno da estrutura;
- Restrições de deslocamentos (APOIOS): Nós 1, 2 e 3 possuem:
U = 0; V= 0; W = 0;
- Forças externas sobre o Nó 4: F4X = F4Y = 0; F4Z = -10.000 N
2 - PASSO: Definir a dimensão da matriz de rigidez dos elementos;
- elemento de treliça plano: número de dós: n = 2
deslocamentos por nó : m = 3
Kelem= n x m = 2 x 3 = 6  k6X6
número de graus de liberdade de deslocamento do elemento: GLD = 6
3 - PASSO: Definir a dimensão da matriz de rigidez da estrutura;
- estrutura: número de dós: N = 4
número de deslocamento por nó do elemento: m = 3
Kestr = N x m = 4 x 3 = 12  k12X12
número de graus de liberdade de deslocamento da estrutura: GLD = 12
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 03
Exercício: Solução:
4 - PASSO: Numeração dos GLD da estrutura;
- Inicia-se pelo primeiro Nó e depois
aplica-se para cada Nó da estrutura.
2
3
1
4
E1
E2
E3
Z
Y
X
2
3
1
4
E1
E2
E3
Z
Y
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F10
F11
F12
F7
F8
F9
2
3
1
4
E1
E2
E3
Z
Y
X
D1
D2
D3
D4
D5
D6
D10
D11
D12
D7
D8
D9
Forças Nodais
e 
Deslocamentos Nodais
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 04
Exercício: Solução:
5 - PASSO: Definir a relação Força x Deslocamento da Estrutura;
Esta relação é representada pela equação fundamental do MEF: F = K . D
F1 x GLD = KGLD x GLD . DGLD x GLD
Aplicando a equação anterior para a estrutura, que possui  GLD = 12:
F1 K11 K12 K13 K14 K15 … K110 K111 K112 D1
F2 K21 K22 K23 K24 K25 … K210 K211 K212 D2
F3 K31 K32 K33 K34 K35 … K310 K311 K312 D3
F4 K41 K42 K43 K44 K45 … K410 K411 K412 D4
F5 K51 K52 K53 K54 K55 … K510 K511 K512 D5
F6 K61 K62 K63 K64 K65 … K610 K611 K612 D6
F7 K71 K72 K73 K74 K75 … K710 K711 K712 D7
F8 K81 K82 K83 K84 K85 … K810 K811 K812 D8
F9 K91 K92 K93 K94 K95 … K910 K911 K912 D9
F10 K101 K102 K103 K104 K105 … K1010 K1011 K1012 D10
F11 K81 K82 K83 K84 K85 … K1110 K1111 K1112 D11
F12 K81 K82 K83 K84 K85 … K1210 K1211 K1212 D12
= .
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 05
Exercício: Solução:
6 - PASSO: Definir o 1º e o 2º Nó de cada elemento e em seguida calcular os cossenos
diretores diretores dos elementos e os seus comprimentos:
Elemento 10 Nó  20 Nó X1 X2 Y1 Y2 Z1 Z2
1 1  4 0 1 0 0 0 1
2 2  4 0 1 -1 0 1 1
3 3  4 0 1 1 0 1 1
Elemento 10 Nó  20 Nó X2 - X1 Y2 - Y1 Z2 - Z1
1 1  4 1 – 0 = 1 0 – 0 = 0 1 – 0 = 1
2 2  4 1 – 0 = 1 0 - (-1)= 1 1 – 1 = 0
3 3  4 1 – 0 = 1 0 – 1 = -1 1 – 0 = 0
Elemento 10 Nó  20 Nó L(m) = √(X2 - X1 )2 + (Y2 - Y1 )2 + (Z2 - Z1)2
1 1  4 √(1)2 + (0)2 + (1)2 = √2
2 2  4 √(1)2 + (1)2 + (0)2 = √2
3 3  4 √(1)2 + (-1)2 + (0)2 = √2
Elemento 10 Nó  20 Nó l = (X2 - X1 )/ L m = (Y2 - Y1 )/ L h = (Z2 - Z1 )/ L
1 1  4 1/ √2 = √2 /2 0/ √2 = 0 1/ √2 = √2 /2
2 2  4 1/ √2 = √2 /2 1/ √2 = √2 /2 0/ √2 = 0
3 3  4 1/ √2 = √2 /2 -1/ √2 = -√2 /2 0/ √2 = 0
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 06
Exercício: Solução:
7 - PASSO: Definir a matriz de rigidez de cada elemento em termos das coordenadas
Globais da estrutura (Nós)  ELEMENTO 1;
1 2 3 10 11 12
l2 l m lh - l2 -lm -lh 1
lm m2 mh - lm -m2 -mh 2
lh mh h2 -lh -mh -h2 3
K = (EA)/ L .
- l2 - lm -lh l2 lm lh 10
-lm -m2 -mh lm m2 mh 11
-lh -mh -h2 lh mh h2 12 l = √2 /2; m= 0; h = √2 /2
1 2 3 10 11 12
0,5 0 0,5 - 0,5 0 -0,5 1
0 0 0 0 0 0 2
0,5 0 0,5 -0,5 0 -0,5 3
K(1) = 35.10
5.√2 .
-0,5 0 -0,5 0,5 0 0,5 10
0 0 0 0 0 0 11
-0,5 0 -0,5 0,5 0 0,5 12
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 07
1
4
E1
1
2
3
10
11
12
1º Nó
2º Nó
Exercício: Solução:
7 - PASSO: Definir a matriz de rigidez de cada elemento em termos das coordenadas
Globais da estrutura (Nós)  ELEMENTO 2;
4 5 6 10 11 12
l2 l m lh - l2 -lm -lh 4
lm m2 mh - lm -m2 -mh 5
lh mh h2 -lh -mh -h2 6
K = (EA)/ L .
- l2 - lm -lh l2 lm lh 10
-lm -m2 -mh lm m2 mh 11
-lh -mh -h2 lh mh h2 12 l = √2 /2; m= √2 /2; h = 0
4 5 6 10 11 12
0,5 0,5 0 -0,5 -0,5 0 4
0,5 0,5 0 -0,5 -0,5 0 5
0 0 0 0 0 0 6
K(2) = 35.10
5.√2 .
-0,5 -0,5 0 0,5 0,5 0 10
-0,5 -0,5 0 0,5 0,5 0 11
0 0 0 0 0 0 12
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 08
2
4
E2
4
5
6
11
12
1º Nó
2º Nó
Exercício: Solução:
7 - PASSO: Definir a matriz de rigidez de cada elemento em termos das coordenadas
Globais da estrutura (Nós)  ELEMENTO 3
7 8 9 10 11 12
l2 l m lh - l2 -lm -lh 7
lm m2 mh - lm -m2 -mh 8
lh mh h2 -lh -mh -h2 9
K = (EA)/ L
- l2 - lm -lh l2 lm lh 10
-lm -m2 -mh lm m2 mh 11
-lh -mh -h2 lh mh h2 12 l = √2 /2; m= -√2 /2; h = 0
7 8 9 10 11 12
0,5 -0,5 0 -0,5 0,5 0 7
-0,5 0,5 0 0,5 -0,5 0 8
0 0 0 0 0 0 9
K(3) = 35.10
5.√2 .
-0,5 0,5 0 0,5 -0,5 0 10
0,5 -0,5 0 -0,5 0,5 0 11
0 0 0 0 0 0 12
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 09
3
4
E3
7
8
9
10
11
12
1º Nó
2º Nó
Exercício: Solução:
8 - PASSO: Definir a matriz de rigidez da estrutura em termos das coordenadas globais da
estrutura (Nós);
Somando a contribuição de cada elemento da estrutura;
Matriz de rigidez da estrutura 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0,5 0,0 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,0 -0,5 1
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 2
0,5 0,0 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,0 -0,5 3
0,0 0,0 0,0 0,5 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 -0,5 0,0 4
0,0 0,0 0,0 0,5 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 -0,50,0 5
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 6
K = 35.105.√2 .
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,5 -0,5 0,0 -0,5 0,5 0,0 7
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,5 0,0 0,5 -0,5 0,0 8
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 9
-0,5 0,0 -0,5 -0,5 -0,5 0,0 -0,5 0,5 0,0 1,5 0,0 0,5 10
0,0 0,0 0,0 -0,5 -0,5 0,0 0,5 -0,5 0,0 0,0 1,0 0,0 11
-0,5 0,0 -0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,5 0,0 0,5 12
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 10
Exercício: Solução:
9 - PASSO: Escrever a Relação Força x Deslocamento (F = K . D) da estrutura
interpretando as Condições de contorno da estrutura;
F1 0,5 0,0 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,0 -0,5 D1
F2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 D2
F3 0,5 0,0 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,0 -0,5 D3
F4 0,0 0,0 0,0 0,5 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 -0,5 0,0 D4
F5 0,0 0,0 0,0 0,5 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 -0,5 0,0 D5
F6 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 D6
= 35.105.√2 .
F7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,5 -0,5 0,0 -0,5 0,5 0,0 D7
F8 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,5 0,0 0,5 -0,5 0,0 D8
F9 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 D9
F10 -0,5 0,0 -0,5 -0,5 -0,5 0,0 -0,5 0,5 0,0 1,5 0,0 0,5 D10
F11 0,0 0,0 0,0 -0,5 -0,5 0,0 0,5 -0,5 0,0 0,0 1,0 0,0 D11
F12 -0,5 0,0 -0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,5 0,0 0,5 D12
valores conhecidos:
- Restrições de deslocamentos (APOIOS): D1 = D2 = D3 = D4 = D5 = D6 = D7 = D8 =D9 = 0
- Forças externas sobre os Nós B e C: F10 = F11 = 0; F12 = -10.000;
valores desconhecidos (INCÓGNITAS DO PROBLEMA):
- Reações de apoio da estrutura: F1 = ?; F2 = ?; F3 = ?; F4 = ?; F5 = ?; F6 = ?; F7 = ?; F8 = ?; F9 = ?;
-Deslocamentos nodais desconhecidos: D10 = ? ; D11 = ? ; D12 = ? ;
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 11
Exercício: Solução:
10 - PASSO: Realizar o particionamento da matriz de rigidez: ELIMINAR AS LINHAS E
COLUNAS DA MATRIZ DE RIGIDEZ ASSOCIADAS AOS DESLOCAMENTOS NULOS, o
que permite calcular os deslocamentos desconhecidos da estrutura.
F1 0,5 0,0 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,0 -0,5 D1
F2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 D2
F3 0,5 0,0 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,0 -0,5 D3
F4 0,0 0,0 0,0 0,5 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 -0,5 0,0 D4
F5 0,0 0,0 0,0 0,5 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 -0,5 0,0 D5
F6 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 D6
= 35.105.√2 .
F7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,5 -0,5 0,0 -0,5 0,5 0,0 D7
F8 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,5 0,0 0,5 -0,5 0,0 D8
F9 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 D9
F10 -0,5 0,0 -0,5 -0,5 -0,5 0,0 -0,5 0,5 0,0 1,5 0,0 0,5 D10
F11 0,0 0,0 0,0 -0,5 -0,5 0,0 0,5 -0,5 0,0 0,0 1,0 0,0 D11
F12 -0,5 0,0 -0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,5 0,0 0,5 D12
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 12
Nota: Sempre será resolvido nesta ordem:
1- inicialmente determina-se os deslocamentos nodais desconhecidos;
2 - depois de calculado os deslocamentos nodais calcula-se as forças nodais desconhecidas
Exercício: Solução:
11 - PASSO: Determinar os Deslocamentos desconhecidos e em seguida determinar as
Forças desconhecidas :
F10 1,5 0,0 0,5 D10 0 7424621,202 0 2474873,734 D10
F11 = 35.10
5.√2 . 0,0 1,0 0,0 . D11 0 = 0 4949747,468 0 . D11
F12 0,5 0,0 0,5 D12 -10000 2474873,734 0 2474873,734 D12
{ F } = [ K ] . { U }  { U } = { F } / [ K ]  { U } = [ K ]-1 . { F }
D10 7424621,202 0 2474873,734 -1 0
D11 = 0 4949747,468 0 . 0
D12 2474873,734 0 2474873,734 -1000
D10 2,0203x10
-6 0 -2,0203x10-6 0
D11 = 0 2,0201x10
-7 0 . 0
D12 -2,0203x10
-6 0 6,0609x10-6 -1000
D10 = 2,0203x10
-3 m
D11 = 0 m
D12 = -6,0609x10
-3 m
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 13
Exercício: Solução:
11 - PASSO: Determinar os Deslocamentos desconhecidos e em seguida determinar as
Forças desconhecidas :
F1 0,5 0,0 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,0 -0,5 D1
F2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 D2
F3 0,5 0,0 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,0 -0,5 D3
F4 0,0 0,0 0,0 0,5 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 -0,5 0,0 D4
F5 0,0 0,0 0,0 0,5 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 -0,5 0,0 D5
F6 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 D6
= 35.105.√2 . .
F7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,5 -0,5 0,0 -0,5 0,5 0,0 D7
F8 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,5 0,0 0,5 -0,5 0,0 D8
F9 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 D9
D10
F1 = 35.10
5.√2 . [ (-0,5 . D10 ) + (0,0 .D11) + (-0,5 . D12 )] = 9999,97481 N D11
F2 = 35.10
5.√2 . [ (0,0 . D10 ) + (0,0 .D11) + (0,0 . D12 )] = 0 N D12
F3 = 35.10
5.√2 . [ (-0,5 . D10 ) + (0,0 .D11) + (-0,5 . D12 )] = 9999,97481 N
F4 = 35.10
5.√2 . [ (-0,5 . D10 ) + (-0,5 .D11) + (0,0 . D12 )] = -4999,9874 1 N
F5 = 35.10
5.√2 . [ (-0,5 . D10 ) + (-0,5 .D11) + (0,0 . D12 )] = -4999,9874 1 N
F6 = 35.10
5.√2 . [ (0,0 . D10 ) + (0,0 .D11) + (0,0 . D12 )] = 0 N
F7 = 35.10
5.√2 . [ (-0,5 . D10 ) + (0,5 .D11) + (0,0 . D12 )] = -4999,98741 N
F8 = 35.10
5.√2 . [ (0,5 . D10 ) + (-0,5 .D11) + (0,0 . D12 )] = 4999,98741 N
F9 = 35.10
5.√2 . [ (0,0 . D10 ) + (0,0 .D11) + (0,0 . D12 )] = 0 N
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 14
D10 = 2,0203x10
-3 m D11 = 0 m D12 = -6,0609x10
-3 m
Exercício: Solução:
12 - PASSO: Determinar a Força interna em cada elemento:
Força interna no elemento 1 da treliça espacial:
Fe = E . A . ( u2 - u1 )  Fe = E . A . [ l m h ] . U2 - U1
L L V2 - V1
W2 - W1
Fe1 = 35x10
5x√2 . [ √2 /2 0 √2 /2 ] . 2,020 x 10-3 - 0 = -14143,5 N 
0 - 0
-6,061 x 10-3 - 0
O elemento 1 está comprimido
Nó 1 = 1º nó do elemento 1  U1 = D1 = 0; V1 = D2 = 0; W1 = D3 = 0;
Nó 4 = 2º nó do elemento 1  U4 = D10 = 2,020 x10
-3 m ; 
V4 = D11 = 0 m ;
W4 = D12= -6,061 x 10
-3 m ;
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 15
1
4
E1
1
2
3
10
11
12
1º Nó
2º Nó
Exercício: Solução:
12 - PASSO: Determinar a Força interna em cada elemento:
Força interna no elemento 2 da treliça espacial:
Fe = E . A . ( u2 - u1 )  Fe = E . A . [ u2 - u1 ] = [ l m h ] . U2 - U1
L L V2 - V1
W2 - W1
Fe2 = 35x10
5x√2 . [ √2 /2 √2 /2 0 ] . 2,020 x 10-3 - 0 = 7070,0 N
0 - 0
-6,061 x 10-3 - 0
O elemento 2 está tracionado
Nó 2 = 1º nó do elemento 1  U1 = D4 = 0; V1 = D5 = 0; W1 = D6 = 0;
Nó 4 = 2º nó do elemento 1  U4 = D10 = 2,020 x10
-3 m ; 
V4 = D11 = 0 m ;
W4 = D12= -6,061 x 10
-3 m ;
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 16
2
4
E2
4
5
6
11
12
1º Nó
2º Nó
Exercício: Solução:
12 - PASSO: Determinar a Força interna em cada elemento:
Força interna no elemento 3 da treliça espacial:
Fe = E . A . ( u2 - u1 )  Fe = E . A . [ u2 - u1 ] = [ l m h ] . U2 - U1
L L V2 - V1
W2 - W1
Fe3 = 35x10
5x√2 . [ √2 /2 √2 /2 0 ] . 2,020 x 10-3 - 0 = 7070,0 N
0 - 0
-6,061 x 10-3 - 0
O elemento 3 está tracionado
Nó 2 = 1º nó do elemento 1  U1 = D7 = 0; V1 = D8 = 0; W1 = D9 = 0;
Nó 4 = 2º nó do elemento 1  U4 = D10 = 2,020 x10
-3 m ; 
V4 = D11 = 0 m ;
W4 = D12= -6,061 x 10
-3 m ;
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 17
3
4
E3
7
8
9
10
11
12
1º Nó
2º Nó
Referências Bibliográficas:
Livro texto: ELEMENTOS FINITOS - A Base da Tecnologia CAE
Avelino Alves Filho, prof. Dr.
Editora: Érica, 5ª edição, 2007
Bibliografias complementares:
Introdução à Análise e ao Projeto emElementos Finitos
Nam-Ho Kim ; Bhavani V. Sankar
Editora: LTC, 2011
Um Primeiro Curso em Elementos Finitos
Jacob Fish ; Ted Belytschko
Editora: LTC, 2009
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 18