AULA 009 2017 (1)

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Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 01
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Elemento de viga no plano
Elemento de Viga com rigidez à flexão e rigidez axial
- Vigas e Pórticos Planos
- Formulação
AULA_09
Elemento de viga no plano: Formulação com rigidez à flexão e axial
- Um elemento de viga na sua forma completa, ou seja, no espaço é capaz de transmitir
Forças Axiais, Forças Cortantes, Momentos Fletores e Momentos Torçores, conforme
ilustra a figura a seguir. Porém, o estudo deste elemento será realizado com a seguinte
simplificação: Considerar o elemento viga no plano apenas com rigidez à flexão e axial;
Elemento de viga espacial:
Forças Axiais: f1, f7
Forças Cortantes: plano xy: f2, f8
plano xz: f3, f9
Momentos Fletores: plano xy: f6, f12
plano xz: f5, f11
Momentos Torçores: f4, f10
Elemento de viga plano: apenas com 
rigidez à flexão e axial 
Forças Axiais: f1, f7
Forças Cortantes: plano xy: f2, f8 
Momentos Fletores: plano xy: f6, f12
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Nó 2
Nó 1
Nó 2
Nó 1
Elemento de viga no plano: Formulação com rigidez à flexão e axial
- O elemento de viga neste caso possui três graus de liberdade por nó.
- Cada nó possui três componentes de força e três componentes de deslocamento,
conforme ilustra a figura a seguir. O elemento de viga neste caso transmite Forças
Axiais, Forças Cortantes e Momentos Fletores no plano XY.
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X
Y
Sistema Global
F1y; V1
M1; q1
F2y ; V2
M2; q2
X X
Y Y
y
x
Sistema Local
Sistema Global
M1; q1
2
3
5
6
Graus de Liberdade do elemento 
no Sistema local
Em cada nó: 
1 força axial (1)
1 força cortante (2)
1 momento fletor (3)
Em cada nó: 
2 deslocamentos lineares (U,V)
1 deslocamento angular (rotação) (q)
1 4
F1x; U1
F2x;U2
fx1; u1
fy1; v1
M2; q2
fx2; u2
fy2; v2
F1x U1
F1y V1
M1 q1
F(6X1) = ; D(6X1) = 
F2x U2
F2y V2
M2 q2
f1x u1
f1y v1
M1 q1
f(6X1) = ; d(6X1) = 
f2x u2
f2y v2
M2 q2
Elemento de viga no plano: Formulação com rigidez à flexão e axial
- No sistema local as equações de equilíbrio para elemento de viga são dadas pela:
Relação força x deslocamento  F = K . D
Para o elemento de viga plano com rigidez à flexão e radial:
F = vetor coluna com 6 linhas;
D = vetor coluna com 6 linhas;
K = matriz de rigidez do elemento de 6 x6;
- As forças são relacionadas aos deslocamento pela matriz de rigidez do elemento
- A seguir é apresentada de forma direta a matriz de rigidez do elemento (K);
- A dedução desta matriz é extensa e por esta razão não será demonstrada nesta aula.
Entretanto, pode ser verificada no livro texto da disciplina, referenciado no final da aula;
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2
3
5
6
Graus de Liberdade do 
elemento no Sistema 
local
1 4
f1x a 0 0 -a 0 0 u1
f1y 0 12b 6bL 0 -12b 6bL v1
M1 0 6bL 4bL
2 0 -6bL -2bL2 q1
= .
f2x -a 0 0 a 0 0 u2
f2y 0 -12b -6bL 0 12b -6bL v2
M2 0 6bL -2bL
2 0 -6bL 4bL2 q2
K 
Elemento de viga no plano: Formulação com rigidez à flexão e axial
- No sistema local as equações de equilíbrio para elemento de viga são dadas por:
Onde: a = (E . A) / L ; b = (E. I) / L3
{ f } = [ k ] . { d }
f - Forças nodais no Sistema Local;
k - Matriz de Rigidez no Sistema Local;
d - Deslocamento nodais no Sistema Local
Matriz de rigidez do elemento de viga no plano
no Sistema Local
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2
3
5
6
Graus de Liberdade do 
elemento no Sistema 
local
1 4 f1x a 0 0 -a 0 0 u1
f1y 0 12b 6bL 0 -12b 6bL v1
M1 0 6bL 4bL
2 0 -6bL -2bL2 q1
= .
f2x -a 0 0 a 0 0 u2
f2y 0 -12b -6bL 0 12b -6bL v2
M2 0 6bL -2bL
2 0 -6bL 4bL2 q2
1 2 3 4 5 6
a 0 0 -a 0 0 1
0 12b 6bL 0 -12b 6bL 2
0 6bL 4bL2 0 -6bL -2bL2 3
k = 
-a 0 0 a 0 0 4
0 -12b -6bL 0 12b -6bL 5
0 6bL -2bL2 0 -6bL 4bL2 6
L  comprimento do elemento;
E  Módulo de elasticidade;
I  Momento de inércia da seção;
A  área da seção transversal;
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Elemento de viga plano: Formulação com rigidez à flexão e axial
- De forma semelhante ao proposto para o elemento de treliça plano, as forças nodais
no sistema local (f) podem ser relacionadas às forças nodais no sistema global (F)
por meio da matriz de transformação, sendo esta relação dada por:
f1x l m 0 0 0 0 F1X
f1y -m l 0 0 0 0 F1Y
M1 0 0 1 0 0 0 M1
= .  { f } = [ T ] . { F }
f2x 0 0 0 l m 0 F2X
f2y 0 0 0 -m l 0 F2Y
M2 0 0 0 0 0 1 M2
f - Forças nodais no Sistema Local;
T - Matriz de transformação;
F - Forçasnodais no Sistema Gobal;
l = cos a
Onde l, m, são os cossenos diretores: m = sen a
Nó 2
Nó 1
F1y
M1
F2y
M2; q2
X
Y
Sistema Global
F1x
F2x
Nó 2
Nó 1
X
Y
y
x
Sistema Local
M1
fx1
fy1
M2
fx2
fy2
a
a
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Elemento de viga plano: Formulação com rigidez à flexão e axial
- De forma semelhante os deslocamentos nodais no sistema local (d) podem ser
relacionadas aos deslocamentos nodais no sistema global (D) por meio da matriz de
transformação, sendo esta relação dada por:
u1 l m 0 0 0 0 U1
v1 -m l 0 0 0 0 V1
q1 0 0 1 0 0 0 q1
= .  { d } = [ T ] . { D }
u2 0 0 0 l m 0 U2
v2 0 0 0 -m l 0 V2
q2 0 0 0 0 0 1 q2
d - deslocamentos nodais no Sistema Local;
T - Matriz de transformação;
D - deslocamentos nodais no Sistema Gobal;
l = cos a
Onde l, m, são os cossenos diretores: m = sen a
Nó 2
Nó 1
V1
q1
V2
q2
X
Y
Sistema Global
U1
U2
Nó 2
Nó 1
X
Y
y
x
Sistema Local
q1
u1
v1
q2
u2
v2
a
a
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Nó1 Nó2
Nó1
Nó2
Elemento de viga plano: Formulação com rigidez à flexão e axial
- A partir das relações já apresentadas é possivel relacionar as Forças nodais no
sistema global (D) com os deslocamentos nodais no sistema global (D), o que
permite obter para o elemento de viga plano a sua Matriz de Rigidez no Sistema no
Global (K), sendo esta dada por:
U1 V1 q1 U2 V2 q2
a.l2 +12bm2 (a-12b)lm-6bLm -al2 -12bm2 -(a-12b)lm -6bLm U1
(a-12b)lm am2 +12bl2 6bLl -(a-12b)lm -am2 -12bl2 6bLl V1
-6bLm 6bLl 4bL2 6bLm -6bLl 2bL2 q1
-al2 -12bm2 -(a-12b)lm 6bLm al2+12bm2 (a-12b)lm 6bLm U2
-(a-12b)lm -am2 -12bl2 -6bLl (a-12b)lm am2+12bl2 -6bLl V 2
-6bLm 6bLl 2bL2 6bLm -6bLl 4bL2 q2
a = (E . A)/ L ; b = (E. I)/ L3 ; l = cos a; m = sen a
MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO DE VIGA PLANO NO SISTEMA GLOBAL
- A dedução desta matriz é extensa e por esta razão não será demonstrada nesta aula.
Entretanto, pode ser verificada no livro texto da disciplina, referenciado no final da aula,
Conforme já mencionado;
“Simétrica”
K = 
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Aplicação Prática - exercício
Determine os deslocamentos Nodais, as Reações de apoios, e a tensão Normal
máxima atuante sobre o Nó 1 da viga 123:
P1
L1
A1 ; E1 ; I1
E1
P1 = 3000 N
P2 = 5000 N
q = 4000 N/m
L1 = L2 = 1,0 m
Y = 1,3 m
E = E1= E2 = 210 GPa
I = I1 = I2 = 5,923 . 10
-4 m4
A = A1 = A2 = 10,35 . 10
-3 m2
Perfil I : 
bf = 150,0 mm
tf = 12,0 mm
t0 = 15,0 mm
tf = 12,0 mm
h = 450,0 mm
y
z
3
L2
P2
Y
A2 ; E2 ; I2
E2
q a = 450
Y
X
21
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Exercício: Solução:
1 - PASSO: Definir as Condições de contorno da estrutura;
- Restrições de deslocamentos (APOIOS): Nó 1 possue: U = 0; V= 0; q = 0;
- Forças externas: Nó 2: F2X = P2 cos45
0 = 3535,53 N ; F2y = P2 sen45
0 = 3535,53 N
Nó 3: F3X = P1 = 3000 ; M3 = 1,3 . P1 = 3900 N.m
Carga distribuída sobre E1: q = 4000N/m
OBS: no método dos elementos finitos a análise é realizada em termos nodais, o que
exige que as cargas sejam representadas em relação aos Nós dos elementos;
Da resistência dos materiais uma carga distribuída produz o mesmo efeito físico da
seguinte carga equivalente:
Portanto, a carga sobre a viga em termos nodais é dada por:
q 
q. L /2 q. L /2 
q. L2 /12 
L 
q. L2 /12 
q. L /2
q. L2 /12 q. L2 /12 
q. L /2
1,3 .P1
P1
P2 cos45
0
P2 sen45
0
2000N
333,33 N.m333,33 N.m
5535,53 N
3900 N .m
3000 N
3535,53 N
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Exercício: Solução:
2 - PASSO: Definir a dimensão da matriz de rigidez dos elementos;
- elemento de viga plano: número de dós: n = 2
deslocamentos por nó : m = 3
Kelem= n x m = 2 x 3 = 6  k6X6
número de graus de liberdade de deslocamento do elemento: GLD = 6
3 - PASSO: Definir a dimensão da matriz de rigidez da estrutura;
- estrutura: número de dós: N = 3
número de deslocamento por nó do elemento: m = 3
Kestr = N x m = 3 x 3 = 9  k9x9
número de graus de liberdade de deslocamento da estrutura: GLD = 9
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Exercício: Solução:
4 - PASSO: Numeração dos GLD da estrutura;
- Inicia-se pelo primeiro Nó e depois
aplica-se para cada Nó da estrutura.
5 - PASSO: Definir o 1º e o 2º Nó de cada elemento e em seguida calcular os cossenos
diretores diretores dos elementos e os parâmetros que definem os coeficientes da matriz
de rigidez:
1 2 3E1 E2
2
3
1
5
6
4
8
9
7
E1
1 2 X
x
10 Nó 20 Nó 
a = 00
E2
2 3 X
x
10 Nó 20 Nó 
a = 00
X
Y
Forças Nodais
e 
Deslocamentos Nodais
1 2 3E1 E2
F2
F3
F1
F5
F6
F4
F8
F9
F7
X
Y
1 2 3E1 E2
D2
D3
D1
D5
D6
D4
D8
D9
D7
X
Y
Parâmetros para os elementos;
l = cos a ; m = sen a ; a = (E . A)/ L ; b = (E. I)/ L3
Elemento a l m l2 m2 lm a b
1 0 1 0 1 0 0 2173,5 x 106 124,38 x 106
2 0 1 0 1 0 0 2173,5 x 106 124,38 x 106
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Exercício: Solução:
6 - PASSO: PASSO: Definir a relação Força x Deslocamento da Estrutura;
Esta relação é representada pela equação fundamental do MEF: F = K . D
F1 x GLD = KGLD x GLD . DGLD x GLD
Aplicando a equação anterior para a estrutura, que possui  GLD = 9:
F1 K11 K12 K13 … K17 K18 K19 D1
F2 K21 K22 K23 … K27 K28 K29 D2
F3 K31 K32 K33 … K37 K38 K39 D3
. … … … …
F7 K71 K72 K73 … K77 K78 K79 D7
F8 K81 K82 K83 … K87 K88 K89 D8
F9 K91 K92 K93 … K97 K98 K99 D9
= .
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Exercício: Solução:
7 - PASSO: Definir a matriz de rigidez de cada elemento em termos das coordenadas
Globais da estrutura (Nós)  ELEMENTO 1;
U1 V1 q1 U2 V2 q2
a.l2 +12bm2 (a-12b)lm -6bLm -al2 -12bm2 -(a-12b)lm -6bLm U1
(a-12b)lm am2 +12bl2 6bLl -(a-12b)lm -am2 -12bl2 6bLl V1
-6bLm 6bLl 4bL2 6bLm -6bLl 2bL2 q1
-al2 -12bm2 -(a-12b)lm 6bLm al2+12bm2 (a-12b)lm 6bLm U2
-(a-12b)lm -am2 -12bl2 -6bLl (a-12b)lm am2+12bl2 -6bLl V 2
-6bLm 6bLl 2bL2 6bLm -6bLl 4bL2 q2
a = 2173,5 x 106 ; b = 124,38 x 106 ; l = 1; m = 0
MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO DE VIGA PLANO NO SISTEMA GLOBAL
1 2 3 4 5 6
876,396x103 0 -1.314,594x103 876,396x103 0 -1.314,594x103 1
0 163,8x106 0 0 -163,8x106 0 2
-1.314,594x103 0 2.629,188x103 1.314,594x103 0 1.314,594x103 3
876,396x103 0 1.314,594x103 876,396x103 0 1.314,594x103 4
0 -163,8x106 0 0 163,8x106 0 5
-1.314,594x103 0 1.314,594x103 1.314,594x103 0 -2.629,188x103 6
Nó1 Nó2
Nó1
Nó2
K1=
K1=
2173500000 0 0 -2173500000 0 0
0 1492596000 746298000 0 -1492596000 746298000
0 746298000 497532000 0 -746298000 248766000
-2173500000 0 0 2173500000 0 0
0 -1492596000 -746298000 0 1492596000 -746298000
0 746298000 248766000 0 -746298000 497532000
1 2E1
2
3
1
5
6
4
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Exercício: Solução:
7 - PASSO: Definir a matriz de rigidez de cada elemento em termos das coordenadas
Globais da estrutura (Nós)  ELEMENTO 2;
U1 V1 q1 U2 V2 q2
a.l2 +12bm2 (a-12b)lm -6bLm -al2 -12bm2 -(a-12b)lm -6bLm U1
(a-12b)lm am2 +12bl2 6bLl -(a-12b)lm -am2 -12bl2 6bLl V1
-6bLm 6bLl 4bL2 6bLm -6bLl 2bL2 q1
-al2 -12bm2 -(a-12b)lm 6bLm al2+12bm2 (a-12b)lm 6bLm U2
-(a-12b)lm -am2 -12bl2 -6bLl (a-12b)lm am2+12bl2 -6bLl V 2
-6bLm 6bLl 2bL2 6bLm -6bLl 4bL2 q2
a = 2173,5 x 106 ; b = 124,38 x 106 ; l = 1; m = 0
MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO DE VIGA PLANO NO SISTEMA GLOBAL
4 5 6 7 8 9
876,396x103 0 -1.314,594x103 876,396x103 0 -1.314,594x103 4
0 163,8x106 0 0 -163,8x106 0 5
-1.314,594x103 0 2.629,188x103 1.314,594x103 0 1.314,594x103 6
876,396x103 0 1.314,594x103 876,396x103 0 1.314,594x103 7
0 -163,8x106 0 0 163,8x106 0 8
-1.314,594x103 0 1.314,594x103 1.314,594x103 0 -2.629,188x103 9
Nó1 Nó2
Nó1
Nó2
K2=
K2=
2173500000 0 0 -2173500000 0 0
0 1492596000 746298000 0 -1492596000 746298000
0 746298000 497532000 0 -746298000 248766000
-2173500000 0 0 2173500000 0 0
0 -1492596000 -746298000 0 1492596000 -746298000
0 746298000 248766000 0 -746298000 497532000
2 3E2
5
6
4
8
9
7
Exercício: Solução:
8 - PASSO: Definir a matriz de rigidez da estrutura em termos das coordenadas globais da
estrutura (Nós);
Somando a contribuição de cada elemento da estrutura;
Matriz de rigidez da estrutura 
1 2 34 5 6 7 8 9
5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,0 -0,5 1
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 2
0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,0 -0,5 3
0,0 0,5 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 -0,5 0,0 4
K = 0,0 0,5 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 -0,5 0,0 5
,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 6
0,0 0,0 0,0 0,5 -0,5 0,0 -0,5 0,5 0,0 7
0,0 0,0 0,0 -0,5 0,5 0,0 0,5 -0,5 0,0 8
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 9
0,5
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 16
2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00
0,00E+00 1,49E+09 7,46E+08 0,00E+00 -1,49E+09 7,46E+08 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00
0,00E+00 7,46E+08 4,98E+08 0,00E+00 -7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00
-2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 4,35E+09 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00
0,00E+00 -1,49E+09 -7,46E+08 0,00E+00 2,99E+09 0,00E+00 0,00E+00 -1,49E+09 7,46E+08
0,00E+00 7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 0,00E+00 9,95E+08 0,00E+00 -7,46E+08 2,49E+08
0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00
0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 -1,49E+09 -7,46E+08 0,00E+00 1,49E+09 -7,46E+08
0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 -7,46E+08 4,98E+08
Exercício: Solução:
9 - PASSO: Escrever a Relação Força x Deslocamento (F = K . D) da estrutura
interpretando as Condições de contorno da estrutura;
F1 0,5 0,0 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,0 -0,5 D1
F2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 D2
F3 0,5 0,0 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,0 -0,5 D3
F4 0,0 0,0 0,0 0,5 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 -0,5 0,0 D4
F5 = 0,0 0,0 0,0 0,5 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 -0,5 0,0 . D5
F6 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 D6
F7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,5 -0,5 0,0 -0,5 0,5 0,0 D7
F8 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,5 0,0 0,5 -0,5 0,0 D8
F9 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 D9
valores conhecidos:
- Restrições de deslocamentos (APOIOS): D1 = D2 = D3 = 0
- Forças externas: F4 = -3535,53 N; F5 = -5535,53 N; F6 = 333,33 N.m;
F7 = -3000 N; F8 = 0 N; F9 = -3900 N.m;
valores desconhecidos (INCÓGNITAS DO PROBLEMA):
- Reações de apoio da estrutura: F1 = Rh1 = ?; F2 =Rv1 - 2000 = ?; F3 = M1 - 333,33 = ?;
-Deslocamentos nodais desconhecidos: D4 = ? ; D5 = ? ; D6 = ? ; D7 = ? ; D8 = ? ; D9 = ? ;
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 17
2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00
0,00E+00 1,49E+09 7,46E+08 0,00E+00 -1,49E+09 7,46E+08 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00
0,00E+00 7,46E+08 4,98E+08 0,00E+00 -7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00
-2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 4,35E+09 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00
0,00E+00 -1,49E+09 -7,46E+08 0,00E+00 2,99E+09 0,00E+00 0,00E+00 -1,49E+09 7,46E+08
0,00E+00 7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 0,00E+00 9,95E+08 0,00E+00 -7,46E+08 2,49E+08
0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00
0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 -1,49E+09 -7,46E+08 0,00E+00 1,49E+09 -7,46E+08
0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 -7,46E+08 4,98E+08
1 2 3E1 E2
2
3
1
5
6
4
8
9
7
X
Y
2000N
333,33 N.m333,33N.m
5535,53 N
3000 N
3535,53 N 3900 N.m
1
Rv1
Rh1
M1
Exercício: Solução:
10 - PASSO: Realizar o particionamento da matriz de rigidez: ELIMINAR AS LINHAS E
COLUNAS DA MATRIZ DE RIGIDEZ ASSOCIADAS AOS DESLOCAMENTOS NULOS, o
que permite calcular os deslocamentos desconhecidos da estrutura.
F1 0,5 0,0 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,0 -0,5 D1
F2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 D2
F3 0,5 0,0 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,0 -0,5 D3
F4 0,0 0,0 0,0 0,5 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 -0,5 0,0 D4
F5 = 0,0 0,0 0,0 0,5 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 -0,5 0,0 . D5
F6 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 D6
F7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,5 -0,5 0,0 -0,5 0,5 0,0 D7
F8 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,5 0,0 0,5 -0,5 0,0 D8
F9 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 D9
valores conhecidos:
- Restrições de deslocamentos (APOIOS): D1 = D2 = D3 = 0
- Forças externas: F4 = -3535,53 N; F5 = -5535,53 N; F6 = 333,33 N.m;
F7 = -3000 N; F8 = 0 N; F9 = -3900 N.m;
valores desconhecidos (INCÓGNITAS DO PROBLEMA):
- Reações de apoio da estrutura: F1 = Rh1 = ?; F2 =Rv1 - 2000 = ?; F3 = M1 - 333,33 = ?;
-Deslocamentos nodais desconhecidos: D4 = ? ; D5 = ? ; D6 = ? ; D7 = ? ; D8 = ? ; D9 = ? ;
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 18
2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00
0,00E+00 1,49E+09 7,46E+08 0,00E+00 -1,49E+09 7,46E+08 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00
0,00E+00 7,46E+08 4,98E+08 0,00E+00 -7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00
-2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 4,35E+09 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00
0,00E+00 -1,49E+09 -7,46E+08 0,00E+00 2,99E+09 0,00E+00 0,00E+00 -1,49E+09 7,46E+08
0,00E+00 7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 0,00E+00 9,95E+08 0,00E+00 -7,46E+08 2,49E+08
0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00
0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 -1,49E+09 -7,46E+08 0,00E+00 1,49E+09 -7,46E+08
0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 -7,46E+08 4,98E+08
Nota: Sempre será resolvido nesta ordem:
1- inicialmente determina-se os deslocamentos nodais desconhecidos;
2 - depois de calculado os deslocamentos nodais calcula-se as forças nodais desconhecidas
Exercício: Solução:
11 - PASSO: Determinar os Deslocamentos desconhecidos e em seguida determinar as
Forças desconhecidas :
F4 D4
F5 D5
F6 = . D6
F7 D7
F8 D8
F9 D9
{ F } = [ K ] . { U }  { U } = { F } / [ K ]  { U } = [ K ]-1 . { F }
D4
-1 -3535,53
D5 -5535,53
D6 = . 333,33
D7 -3000
D8 0
D9 -3900
D4 -3535,53
D5 -5535,53
D6 = . 333,33
D7 -3000
D8 0
D9 -3900
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 19
4,35E+09 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00
0,00E+00 2,99E+09 0,00E+00 0,00E+00 -1,49E+09 7,46E+08
0,00E+00 0,00E+00 9,95E+08 0,00E+00 -7,46E+08 2,49E+08
-2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00
0,00E+00 -1,49E+09 -7,46E+08 0,00E+00 1,49E+09 -7,46E+08
0,00E+00 7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 -7,46E+08 4,98E+08
4,35E+09 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00
0,00E+00 2,99E+09 0,00E+00 0,00E+00 -1,49E+09 7,46E+08
0,00E+00 0,00E+00 9,95E+08 0,00E+00 -7,46E+08 2,49E+08
-2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00
0,00E+00 -1,49E+09 -7,46E+08 0,00E+00 1,49E+09 -7,46E+08
0,00E+00 7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 -7,46E+08 4,98E+08
F4 = -3535,53 N; F5 = -5535,53 N;
F6 = 333,33 N.m; F7 = -3000 N;
F8 = 0 N; F9 = -3900 N.m;
D4 = -3,006344 .10
-6 m;
D5 = -29,173234 .10
-6 m;
D6 = -50,928857 .10
-6 rad;
D7 = -4,3863 .10
-6 m;
D8 = -95,8447 .10
-6 m;
D9 = -82,3628 .10
-6 rad;
4,60E-10 0,00E+00 0,00E+00 4,60E-10 0,00E+00 0,00E+00
0,00E+00 2,68E-09 4,02E-09 0,00E+00 6,70E-09 4,02E-09
0,00E+00 4,02E-09 8,04E-09 0,00E+00 1,21E-08 8,04E-09
4,60E-10 0,00E+00 0,00E+00 9,20E-10 0,00E+00 0,00E+00
0,00E+00 6,70E-09 1,21E-08 0,00E+00 2,14E-08 1,61E-08
0,00E+00 4,02E-09 8,04E-09 0,00E+00 1,61E-08 1,61E-08
Exercício: Solução:
11 - PASSO: Determinar os Deslocamentos desconhecidos e em seguida determinar as
Forças desconhecidas :
F1 D1
F2 D2
F3 D3
F4 D4
F5 = . D5
F6 D6
F7 D7
F8 D8
F9 D9
F1 = -2,17E+09 . D4 = -2,17E+09 . (- 3,006344 .10
-6 ) = 6523,766 N  6,5 KN
F1 = Rh1  6,5 KN
F2 = -1,49E+09 . D5 + 7,46E+08 . D6 = -1,49E+09 . (-29,173234.10
-6 ) + 7,46E+08 . (-50,928857 .10-6 ) = 5475,19 N
F2 = Rv1 - 2000 = 5475,19  Rv1 = 5475,19 + 2000 = 7475,16 N  Rv1  7,5 KN
F3 = -7,46E+08 . D5 + 2,49E+08 . D6 = -7,46E+08 . (-29,173234 .10
-6 ) + 2,49E+08 . (-50,928857 .10-6 ) = 9081,9472 N
F3 = M1 - 333,33 = 9081,9472 + 333,33  M1 = 9415,277 N.m  M1  9,4 KN.m
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 20
2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00
0,00E+00 1,49E+09 7,46E+08 0,00E+00 -1,49E+09 7,46E+08 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00
0,00E+00 7,46E+08 4,98E+08 0,00E+00 -7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00
-2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 4,35E+09 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00
0,00E+00 -1,49E+09 -7,46E+08 0,00E+00 2,99E+09 0,00E+00 0,00E+00 -1,49E+09 7,46E+08
0,00E+00 7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 0,00E+00 9,95E+08 0,00E+00 -7,46E+08 2,49E+08
0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00
0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 -1,49E+09 -7,46E+08 0,00E+00 1,49E+09 -7,46E+08
0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 -7,46E+08 4,98E+08
D4 = -3,006344 .10
-6 m;
D5 = -29,173234 .10
-6 m;
D6 = -50,928857 .10
-6 rad;
D7 = -4,3863 .10
-6 m;
D8 = -95,8447 .10
-6 m;
D9 = -82,3628 .10
-6 rad;
Exercício: Solução:
12 - PASSO: Definir a tensão normal máxima sobre o Nó 1 da viga 123:
- Forças resultantes externas sobre o Nó 1: F1; F2; F3
F1 = + 6523,766 N = + 6,5 kN;
F2 = + 5475,19 N = + 5,5 kN;
F3 = + 9081,947 N = + 9,1 kN.m;
- As forças resultantes externas sobre o Nó 1 geram os esforços internos: Fih; Fiv; Mi
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 21
F3 = 9,1 KN.m
F2 = 5,5 KN
F1 = 6,5 KN
F3 = 9,1 KN.m
F2 = 5,5 KN
F1 = 6,5 KN
Fiv = 5,5 KN
Fih = 6,5 KN
Mi = 9,1 KN.m
Apenas Fih e Mi são 
capazes de produzir 
tensão normal
2
3
1
convenção
Exercício: Solução:
12 - PASSO: Definir a tensão normal máxima sobre o Nó 1 da viga 123:
- Esforços internos  Nó 1
- A resistência dos materiais fornece:
1 - a forca Fih produz um tensão normal de compressão: s1 = Fih /A
2 - o momento Mi produz um tensão normal de flexão: s2 = (M. y)/I
3 - A tensão normal máxima é obtida pelo superposição dos efeitos:
s1 + s2 = sFinal
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 22
Fiv = 5,5 KN
Fih =6,5 KN
Mi = 9,1 KN.m
Linha neutraM = momento fletor; 
I = momento de inércia da seção transversal; 
y = distância da linha neutra até a fibra mais afastada;
y
M = Mi  9,1 KN.m
I = 5,923 . 10-4 m4
y = 225 mm =0,225 m
s2 = (9,1 . 10
3 . 0,225) / 5,923 . 10-4 = 3,46 . 106 N/m2 = 3,46 Mpa
s1 = 6,5 . 10
3 / 10,35 . 10-3 = 0,628 . 106 N/m2 = 0,628 Mpa
A
B
A
B
sA = -0,628 + 3,46 = 2,8322 MPa
sb = -0,628 - 3,46 = - 4,088 MPa
sMÁXIMA = - 4,088 MPa
Referências Bibliográficas:
Livro texto: ELEMENTOS FINITOS - A Base da Tecnologia CAE
Avelino Alves Filho, prof. Dr.
Editora: Érica, 5ª edição, 2007
Bibliografias complementares:
Introdução à Análise e ao Projeto em Elementos Finitos
Nam-Ho Kim ; Bhavani V. Sankar
Editora: LTC, 2011
Um Primeiro Curso em Elementos Finitos
Jacob Fish ; Ted Belytschko
Editora: LTC, 2009
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 23