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AULA 0010 2017 (1)

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MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Elemento de viga no plano
Elemento de Viga com rigidez à flexão e rigidez axial
- Exercícios
AULA_10
Trazer impresso a AULA_09
para auxiliar a resolução
dos exercícios propostos
apresentados a seguir;
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 01
Para tirar dúvidas do exercício proposto a seguir:
Exercício Proposto1: Preparação para a prova
Numerar os graus de liberdade da estrutura, determinar as condições de contorno da
estrutura, a dimensão da matriz de rigidez de cada elemento, a dimensão da matriz de
rigidez da estrutura e a dimensão da matriz de rigidez expandida de cada elemento;
P1
A1 ; E1 ; I1
P1 = 3000 N
P2 = 5000 N
L1 = L2 = 1,0 m
E = E1= E2 = 210 GPa
I = I1 = I2 = 5,923 . 10
-4 m4
A = A1 = A2 = 10,35 . 10
-3 m2
Perfil I : 
bf = 150,0 mm
tf = 12,0 mm
t0 = 15,0 mm
h
 =
 4
5
0
,0
 m
m
P2
A2 ; E2 ; I2
a1 = 450
Y
X
tf = 12,0 mm
a2 = 100
a3 = 600
1
2
3
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 02
Para tirar dúvidas do exercício proposto a seguir:
Exercício Proposto2: Preparação para a prova
Representar as cargas aplicadas em termos nodais, ou seja, a carga equivalente sobre os
Nós para que a análise da estrutura possa ser realizada;
E1 (1;2);
L1
P1 = 13 kN
q1 = 24 kN/m
q2 = 30 kN/m
L1 = L2 = 3,0 m
L3 = 2,5 m
L4 = 2,0 m
P1
Y
X
1
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 03
2
q1
q2
5
3
4
E2 (2;3);
L2
E3 (3;4);
L3
E4 (4;5);
L4
a = 350
Para tirar dúvidas do exercício proposto a seguir:
Exercício Proposto3: Preparação para a prova
Determine os cossenos diretores dos elementos. Considerar a indicação do primeiro e do
segundo nó do elemento adotada;
E1 (2;1);
P1 = 13 kN
q1 = 24 kN/m
q2 = 30 kN/m
Elemento1:
Nó1 = 2;
Nó2 = 1;
Elemento2:
Nó1 = 3;
Nó2 = 2;
Elemento3:
Nó1 = 4;
Nó2 = 3;
Elemento4:
Nó1 = 5;
Nó2 = 4;
P1
Y
X
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 04
2
q1
E2 (3;2);
E3 (4;3);
E4 (5;4);
a = 350
1
3
4
5
380
250
Para tirar dúvidas do exercício proposto a seguir:
Exercício Proposto4: Preparação para a prova
Determine a matriz de rigidez Expandida dos elementos 3;
A matriz de rigidez do elemento 3 é apresentado a seguir;
E1 (1;2);
L1
P1 = 13 kN
q1 = 24 kN/m
q2 = 30 kN/m
L1 = L2 = 3,0 m
L3 = 2,5 m
L4 = 2,0 m
P1
Y
X
1
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 05
2
q1
q2
5
3
4
E2 (2;3);
L2
E3 (3;4);
L3
E4 (4;5);
L4
a = 350
Para tirar dúvidas do exercício proposto a seguir:
Exercício Proposto4: Preparação para a prova
Determine a matriz de rigidez Expandida dos elementos 3;
A matriz de rigidez do elemento 3 é apresentado a seguir;
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 06
Elemento3:
Nó1 = 4;
Nó2 = 3; 2,17.10
9 0 0 -2,17.109 0 0
0 1,49.109 0,746.109 0 -1,49.109 0,746.109
0 0,746.109 0,497.109 0 -0,746.109 0,248.109
-2,17.109 0 0 2,17.109 0 0
0 -1,49.109 -0,746.109 0 1,49.109 -0,746.109
0 0,746.109 0,248.109 0 -0,746.109 0,497.109
K3=
v
GLD
GLD
Para tirar dúvidas do exercício proposto a seguir:
Exercício Proposto5: Preparação para a prova
Determine a tensão normal máxima sobre o Nó 1 e sobre o Nó 5 da estrutura. Considerando
que após a análise desta estrutura, as forças nodais dos nós 1 e 5 assumem os seguintes
valores:
E1 (2;1);
P1 = 18 kN
Y
X
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 07
2
q1 =12 kN/m
E2 (3;2);
E3 (4;3);
E4 (5;4);
a = 350
1
3
380
250
Forças globais obtidas após 
análise da estrutura:
F1 = -16,70 KN; 
F2 = 7,60 KN;
F3 = 12,60 KN.m;
F13 = - 5,30 KN;
F14 = 14,50 KN;
F15 = - 5,50 KN.m;
4 5
h
hSeção transversal:
h = 310 mm
x
y
Ix = 165 . 10
6 mm4
Iy = 23,4 . 10
6 mm4
A = 9480 mm2
Referências Bibliográficas:
Livro texto: ELEMENTOS FINITOS - A Base da Tecnologia CAE
Avelino Alves Filho, prof. Dr.
Editora: Érica, 5ª edição, 2007
Bibliografias complementares:
Introdução à Análise e ao Projeto em Elementos Finitos
Nam-Ho Kim ; Bhavani V. Sankar
Editora: LTC, 2011
Um Primeiro Curso em Elementos Finitos
Jacob Fish ; Ted Belytschko
Editora: LTC, 2009
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 08

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