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Aula 01 - Mecânica

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1AULA
Metas da aula 
Movimento em uma dimensão
Discutir a equação diferencial que descreve o movimento de uma partícula 
em uma dimensão sob a ação de uma força geral, o método de solução numérica, 
e o papel das condições iniciais; apresentar métodos simples 
de solução desta equação quando a força depende somente do 
tempo ou somente da velocidade; mostrar a utilidade das 
expansões em séries nas aproximações e análise de resultados.
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você 
seja capaz de:
• resolver a equação do movimento para forças do tipo 
 F(t) e F(v);
• usar a série de Taylor para obter soluções aproximadas
 simples a partir das soluções analíticas exatas.
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POR QUE MAIS MECÂNICA?
Vamos dar início ao nosso curso de Mecânica Clássica com algumas 
observações gerais sobre seus objetivos. Você vai ser professor de Física 
para alunos do Ensino Médio e nas disciplinas Física I e Física II já estudou, 
provavelmente, mais do que vai poder ensinar de Mecânica para seus 
alunos. Então, qual a relevância de um aprofundamento maior ainda 
nos seus estudos? Primeiro, porque você vai ser um professor e não um 
mero repetidor e não há como ensinar sem um conhecimento sólido dos 
fundamentos do conteúdo do que está sendo ensinado. Você deverá ter uma 
noção clara das aproximações envolvidas nas aplicações que apresentar 
aos seus alunos, assim como ser capaz de analisar situações novas que 
certamente surgirão. Depois, é importante saber situar a Mecânica Clássica 
no contexto da Física Moderna e conhecer os limites de validade dos seus 
resultados. Com o seu maior e melhor conhecimento, acima de tudo você 
também será mais capaz de motivar seus futuros alunos.
Para concretizar esses objetivos, esperamos treiná-lo neste curso 
a pensar sobre fenômenos físicos em termos matemáticos. Isso não quer 
dizer que você deva abandonar uma abordagem qualitativa, guiada por 
sua intuição do fenômeno mecânico, mas que você desenvolva uma igual 
intuição para a formulação matemática de problemas físicos e para a 
interpretação física de soluções matemáticas.
O PROBLEMA GERAL DO MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO
Começaremos estudando o movimento de uma partícula de massa 
m ao longo de uma linha reta, que vamos tomar como sendo o eixo 
x. A partícula move-se sob a ação de uma força F dirigida ao longo 
do eixo x. O movimento da partícula, como você já aprendeu, é dado 
pela segunda lei de Newton,
 
 (1.1)
onde a é a aceleração
 (1.2)
F ma=
a
d x
dt
x= =
2
2
&&
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A força F em geral depende do que a partícula está fazendo. Para 
saber o que a partícula está fazendo, é preciso conhecer sua posição
e sua velocidade x(t) = dx(t)/dt num dado instante de tempo t. Logo, 
em geral, a força F é alguma função de x(t), &x t( )0(t) e t, ou seja, F(x, &x t( )0, t). 
Então, a segunda lei de Newton assume a seguinte forma:
 (1.3)
Exercício 1.1. Dê exemplos de forças: (a) constantes; (b) que dependem da 
posição; (c) que dependem da velocidade; (d) que dependem do tempo.
A Equação (1.3) é uma equação diferencial de segunda ordem 
porque ela envolve uma derivada segunda e nenhuma outra derivada 
de ordem superior. Uma equação diferencial de segunda ordem para x 
tem, em geral, um número infinito de soluções que podem ser rotuladas 
pelos valores de x e &x t( )0 num dado tempo, digamos, no instante em que 
começamos a observar o movimento. Estas condições que especificam a 
solução são chamadas condições iniciais. Uma vez dadas as condições 
iniciais, ou seja, a posição inicial e a velocidade inicial, a solução da 
equação diferencial estará completamente especificada.
Exemplo 1.1. Considere o problema mais simples da mecânica que é 
o de encontrar o movimento de uma partícula movendo-se em uma 
linha reta sob a ação de uma força constante. Neste caso, F(x, &x t( )0, t) = F0 
e a Equação (1.3) fica 
 
 (1.4)
Mas d x dt dx dt dv dt2 2 = =& e assim,
 (1.5)
Integrando
 
 (1.6)
ou
 (1.7)
m
d x
dt
F x x t
2
2
= ( , , )&
dv
F
m
dt= 0
v
dx
dt
v
F
m
t t= = + −0 0 0( )
d x
dt
=
F
m
= const
2
2
0
dv
F
m
dt
v
v
t
t′ = ′∫ ∫
0 0
0
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Integrando novamente
 (1.8)
ou
 (1.9)
A solução geral da Equação (1.4) é, portanto, 
 (1.10)
Dados os valores de e no instante inicial t
0 
, a solução x(t) estará 
completamente especificada e será única.
RESOLVENDO A EQUAÇÃO DO MOVIMENTO 
NUMERICAMENTE
Se você tiver uma força complicada, dependendo de x, , e t, você 
não poderá, na maioria das vezes, encontrar uma solução em termos de 
funções conhecidas. No entanto, você sempre poderá resolver a Equação 
(1.3) numericamente. O modo de resolver seria assim: se você conhece a 
posição x t( )0 e a velocidade &x t( )0 no instante inicial t0, você pode usar 
esta informação para determinar a posição da partícula em um tempo 
muito curto t
0 
+ ∆t posterior (ou anterior) através da expressão
 
 (1.11)
Esta expressão vem da definição de derivada e é tanto mais acurada 
quanto menor for ∆t. Nós queremos iterar este procedimento e achar 
x(t
0
 + n∆t), o que significaria achar x(t) (pelo menos aproximadamente) 
em toda uma seqüência de tempos futuros (ou passados). Na etapa 
seguinte à equação (1.11), isto é, para n = 2, teremos:
 
 (1.12)
x x v t t
F
m
t t− = − + −0 0 0 0 0 22
( ) ( )
x t
F
m
t t x t t t x t( ) ( ) ( )( ) ( )= − + − +0 0 2 0 0 02
&
x t( )0 &x t( )0
x t t x t x t t( ) ( ) ( )0 0 0+ = +∆ ∆&
x t t x t t x t t t( ) ( ) ( )0 0 02+ = + + +∆ ∆ ∆ ∆&
&x t( )0
dx dt v
F
m
t t
x
x
t
t′ = ′ + ′∫ ∫
0 0
0
0
0( ( ))−−
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Note que agora precisamos de que não é dado pela 
condição inicial. Aqui entra em cena a segunda lei de Newton. Como
 , (1.13) 
para prosseguir precisamos saber qual o valor de . Mas a segunda 
lei de Newton diz que é dado dividindo-se a força no instante t
0
 pela 
massa da partícula
 (1.14)
Pondo este valor da aceleração na Equação (1.13), obtemos a 
velocidade no instante t
0 
+ ∆t que, por sua vez, substituído na Equação 
(1.12), permite encontrar x(t
0 
+ 2∆t). Note que a aceleração necessária 
em um passo é sempre dada em termos dos valores de x, &x t( )0 já calculados 
no passo anterior. Na próxima etapa, temos de calcular x(t
0 
+ 3∆t),
e assim por diante.
Exercício 1.2. Escreva os passos necessários para calcular x, &x t( )0 
em t
0 
+ 3∆t.
O método numérico deixa muito claro o papel da segunda lei de 
Newton e descreve a estrutura da solução do problema do movimento 
da partícula em uma forma extremamente simples. Quando precisamos 
do valor da aceleração em um dado instante, a segunda lei nos diz para 
tomar o valor da força naquele instante e dividir pela massa. Nada 
mais simples. Por outro lado, a Equação (1.11), que

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